Skript zur Vorlesung "Codierungstheorie und Kryptographie"

gilt, falls also die Zeilen von G eine Basis von C bilden. Im ausgearteten Fall
C = {0} sei G = (0, . . . , 0) ∈ K n die Erzeugermatrix von C. Stets hat G den
Rang k = dim(C).
b) Ist k < n, so heißt eine (n − k) × n-Matrix H über K mit rang(H) = n − k
eine Kontrollmatrix für C, falls
(34)
{v ∈ K n | H · v T = 0} = C
gilt. Im ausgearteten Fall C = K n sei H = (0, . . . , 0) ∈ K n die Kontrollmatrix
von C.
Bemerkung 4.7 Ist C ein Linearcode und C d der dazu duale Code, so ist jede
Generatormatrix von C eine Kontrollmatrix von C d und umgekehrt.
Satz 4.8 Ist C nicht-trivialer [n, k]-Code über K und H eine Kontrollmatrix von
C, so gilt
wt(C) = min{r ∈ N | es gibt r linear abhängige Spalten von H}
= max{r ∈ N | je r − 1 Spalten von H sind linear unabhängig}.
Beweis: Seien h 1 , . . . , h n die Spalten von H. Wegen C ≠ {0} sind sie linear
abhängig. Sei r minimal gewählt, so daß es r linear abhängige Spalten h i1 , . . . , h ir
gibt. Unmittelbar klar ist dann, daß es maximal r −1 linear unabhängige Spalten
von H gibt, so daß die zweite Gleichheit gilt. Weiterhin gibt es c i ∈ K für
i = 1, . . . , n mit c i ≠ 0 genau für i ∈ {i 1 , . . . , i r } und ∑ n
i=1 c i h i = 0. Daher liegt
c = (c 1 , . . . , c n ) wegen H · c T = 0 in C. Wegen wt(c) = r folgt wt(C) ≤ r.
Angenommen, es gäbe ein c ′ ∈ C mit wt(c ′ ) = r ′ < r. Dann würde H · c ′T = 0
die Existenz von r ′ < r linear abhängigen Spalten liefern, im Widerspruch zur
minimalen Wahl von r. Also gilt sogar wt(C) = r und damit auch die erste
Gleichheit.
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Definition 4.9 Zwei [n, k]-Linearcodes C und C ′ heißen äquivalent, wenn es eine
Permutation π ∈ S n mit C ′ = P π (C) gibt. Ein [n, k]-Linearcode heißt systematisch,
wenn er eine Generatormatrix G der Form
(35)
G = (E k | G ′ )
besitzt, wobei E k die k×k-Einheitsmatrix und G ′ eine beliebige k×(n−k)-Matrix
ist.
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