Skript zur Vorlesung "Codierungstheorie und Kryptographie"

Für m = 1 ergibt sich ein Translations-Kryptosystem. Für m > 1 spricht man
von einem polyalphabetischen Kryptosystem, da für jeden Buchstaben, je nach
seiner Position im Klartext, mehrere Verschlüsselungen möglich sind.
b) Permutations-Kryptosysteme, Transpositions-Kryptosysteme (Giovanni
Battista Della Porta, 1535 - 1615) Es seien m und q natürliche Zahlen und
A = B = (Z q ) m . Weiterhin sei K = S m die symmetrische Gruppe der Ordnung m
und für jeden Schlüssel K = π ∈ K sei E K (x 1 , . . . , x m ) = (x π(1) , . . . , x π(m) ) und
D K (x 1 , . . . , x m ) = (x π −1 (1), . . . , x π −1 (m)). Die Buchstaben des Klartextes werden
also nur vertauscht, nicht verändert.
c) Hill-Kryptosysteme (Lester S. Hill, 1929) Es seien m und q natürliche Zahlen
und A = B = (Z q ) m . Weiterhin sei K = {K ∈ M m,m (Z q ) | K invertierbar }. Für
K ∈ K sei E K (x) = xK und D K (x) = xK −1 für alle x ∈ (Z q ) m . Für m = 1
ergeben sich spezielle affine Kryptosysteme mit b = 0. Für Permutationsmatrizen
K π ergeben sich die Permutations-Kryptosysteme.
Beispiel 6.7 a) RSA-Kryptosysteme (vgl. Abschnitt 8) Es seien p, q Primzahlen
und n = p · q sowie A = B = Z n . Weiterhin sei K = {(n, p, q, e, d) |
ed ≡ 1 mod ϕ(n)}. Für K = (n, p, q, e, d) sei E K (x) ≡ x e mod n und D K (x) ≡
x d mod n. Der Teil (n, e) von K heißt öffentlicher Schlüssel, der Teil (p, q, d)
geheimer Schlüssel.
b) Rabin-Kryptosysteme Es seien p, q Primzahlen mit p, q ≡ 3 mod 4 und
n = p · q sowie A = B = Z n . Weiterhin sei K = {(n, p, q, r) | √0 ≤ r ≤ n − 1}. Für
K = (n, p, q, r) sei E K (x) ≡ x(x + r) mod n und D K (x) ≡ r 2
+ x − r mod n.
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Der Teil (n, r) von K heißt öffentlich, der Teil (p, q) geheim.
c) ElGamal-Kryptosysteme Es sei p eine “geeignete” Primzahl, α ∈ Z ∗ p primitives
Element (vgl. Satz 9.2), A = Z ∗ p und B = Z ∗ p × Z ∗ p. Weiterhin sei K =
{(p, α, a, β) | β = α a mod p}. Für K = (p, α, a, β) werde ein Exponent k ∈
{0, . . . , p−1} zufällig gewählt und E K (x, k) ≡ (α k , xβ k ) mod p und D K (x 1 , x 2 ) ≡
x 2 (x a 1) −1 mod p berechnet. Der Teil (p, α, β) von K heißt öffentlich, der Teil a geheim.
Bemerkung 6.8 Man unterscheidet verschiedene Angriffe auf Kryptosysteme:
i) Geheimtext-Angriffe liegen vor, wenn dem Angreifer nur Geheimtexte bekannt
sind, er daraus Klartexte und Schlüssel ermitteln möchte: Gegeben sind also
C i = E K (P i ) für i = 1, . . . , n, gesucht K, P i bzw. ein Algorithmus, um P n+1 aus
C n+1 = E K (P n+1 ) zu berechnen.
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