Beliebige Dreiecke - Michael-buhlmann.de

Michael Buhlmann
Mathematik-Formelsammlung
> Geometrie
> Trigonometrie (Dreiecksberechnung)
> Beliebige Dreiecke
Eine ebene geometrische Figur aus drei Punkten (Ecken) A, B, C und den Seiten a, b, c heißt
Dreieck ∆ABC, das Rechnen mit Dreiecken nennt man Trigonometrie. Die Winkel im Dreieck heißen
α, β, γ und liegen bei den Punkten A, B, C. Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ∆ABC mit den
Seiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ. Der Inkreis berührt die Dreieckseiten, der Umkreis läuft
durch die Dreiecksecken. Die drei Seitenhalbierenden halbieren jeweils von der gegenüberliegenden
Ecke aus die Dreiecksseite, die drei Winkelhalbierenden halbieren die jeweiligen Dreieckswinkel.
Beliebige Dreiecke
Winkelsumme α+β+γ = 180°
α = 180° – β – γ β = 180“ – α – γ γ = 180° – α – β
Umfang
U = a + b + c
a = U – b – c b = U – a – c c = U – a – b
Flächeninhalt
1
A ah
a
2
A 2
1 bh
A 2
1 ch
= =
b
=
c
a =
2A
h a
2A
h a
=
a
Michael Buhlmann, Mathematik-Formelsammlung > Geometrie > Trigonometrie > Beliebige Dreiecke 1

=
c =
2A
h b
2A
h c
2A
h b
=
b
2A
h c
=
c
1 1 1 A = ab sin γ A = ac sin β A = bc sin α
2
2
2
2A
a =
bsin γ
2A
a =
csin β
2A
b =
csinα
2
a
A =
sin β sin γ
2sinα
2A
b =
asin γ
2A
c =
asin β
2A
c =
bsinα
2
b
A =
sinα
sin γ
2sin β
2A
sin γ =
ab
2A
sin β =
ac
2
c
A =
sin α =
2A
bc
sin α sin β
2sin γ
a + b + c
s = A = s( s − a)(
s − b)(
s − c)
(Heronsche Formel)
2
Höhen
A =
α β
cot cot cot
2 2 2
2 γ
r I
h a
= bsin γ
h b
= a sin γ
h c
= asin β
h a
= csin β
h b
= csinα
h c
= bsinα
h
a
: h : h =
b
c
1 1 1
: :
a b c
h
h
a
=
b
b
a
h
h
a
=
c
c
a
h
h
b
=
c
c
b
Satz des Pythagoras
a
a =
2
+ 2 2
1
h c
c = a + h
2 2
1 a
a
a =
2
+ 2 2
2
h b
b = a + h
2 2
2 a
2
h a
h a
=
= c
c
2
2
− a
2
1
− a
2
1
a 1 + a 2 = a bzw.
a 1 – a 2 = a bzw.
a 2 – a 1 = a
a
a
= c
− h
2 2 2
1 a
=
c
− h
2 2
1 a
a
a
= b
− h
2 2 2
2 a
=
b
− h
2 2
2 a
2
h a
h a
=
= b
b
2
2
− a
2
2
− a
2
2
b
b =
2
+ 2 2
1
h a
a = b + h
2 2
1 b
b
b =
2
+ 2 2
2
h c
c = b + h
2 2
2 b
2
h b
h b
=
= a
a
2
2
− b
2
1
− b
2
1
b 1 + b 2 = b bzw.
b 1 – b 2 = b bzw.
b 2 – b 1 = b
b
b
= a
− h
2 2 2
1 b
=
a
− h
2 2
1 b
b
b
= c
− h
2 2 2
2 b
=
c
− h
2 2
2 b
2
h b
h b
=
= c
c
2
2
− b
2
2
− b
2
2
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c
c =
2
+ 2 2
1
h b
b = c + h
2 2
1 c
c
c =
2
+ 2 2
2
h a
a = c + h
2 2
2 c
2
h c
h c
=
= b
2
b
2
− c
2
1
− c
2
1
c 1 + c 2 = c bzw.
c 1 – c 2 = c bzw.
c 2 – c 1 = c
c
c
= b
− h
2 2 2
1 c
=
b
− h
2 2
1 c
c
c
= a
− h
2 2 2
2 c
=
a
− h
2 2
2 c
2
h c
h c
=
= a
a
2
2
− c
2
2
− c
2
2
Trigonometrische
Funktionen
h c
sin α =
b = h c
= bsinα
b
sinα
h c
c 1
cos α =
b = c
1
= bcosα
b
cosα
c 1
tan α =
h c
c
1
h c
c
1
= h c
= c 1
tanα
tanα
h b
sin α =
c = h b
= csinα
c
sinα
b 2
cos α =
c = b
2
= c cosα
c
cosα
h b
b 2
tan α =
h b
b
2
h b
b
2
= h b
= b 2
tanα
tanα
h c
sin β =
a = h asin β
a
sin β
c
=
c 2
cos β =
a = c
2
= acosβ
a
cos β
h c
c 2
tan β =
h c
c
2
h c
c
2
= h c tan β
tan β
c
= 2
h a
sin β =
c = h csin β
c
sin β
a
=
a 1
cos β =
c = a
1
= ccosβ
c
cos β
h a
a 1
tan β =
h a
a
1
h a
a
1
= h a tan β
tan β
a
= 1
h b
sin γ =
a = h asin γ
a
sin γ
b
=
b 1
cos γ =
a = b
1
= acosγ
a
cosγ
h b
b 1
tan γ =
h b
b
1
h b
b
1
= h b tan β
tan β
b
= 1
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Sinussatz
h a
sin γ =
b = h bsin γ
b
sin γ
a
=
a 2
cos γ =
b = a
2
= bcosγ
b
cosγ
tan γ =
a
b
h a
a
sinα
=
sin β
2
a b c
= =
sinα
sin β sin γ
h a
a 2
h a
a
2
= h a tanγ
tanγ
a
= 2
b
c
sin β
=
sinγ
a
c
=
sin α
sin γ
sinα
sin β
a
b
a = b
b = a sinα = sin β sin β = sinα
sin β
sinα
b
a
sin β
sin γ
b
c
b = c
c = b sin β = sin γ sin γ = sin β
sin γ
sin β
c
b
sinα
sin γ
a
c
a = c
c = a sinα = sin γ sin γ = sinα
sin γ
sinα
c
a
Cosinussatz
Mollweidesche
Formeln
Tangenssatz
a + b
c
b + c
a
c + a
b
a
b
c
2
2
2
= b
= c
2
2
= a
2
α − β
cos
=
2
γ
sin
2
β − γ
cos
=
2
α
sin
2
γ −α
cos
=
2
β
sin
2
+ c
+ a
+ b
2
2
2
− 2bc
cosα
− 2ca
cos β
− 2ab
cos γ
a − b
c
b − c
a
c − a
b
α − β
sin
=
2
γ
cos
2
β − γ
sin
=
2
α
cos
2
γ −α
sin
=
2
β
cos
2
α + β γ
tan cot
a + b
=
2
=
2
a − b α − β α − β
tan tan
2 2
b
cosα
=
a
cos β =
cos γ =
a
2
2
2
2
+ c − a
2bc
2
+ c − b
2ac
2
+ b − c
2ab
2
2
2
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+ c
b − c
=
β + γ
tan
2
=
β − γ
tan
2
α
cot
2
β − γ
tan
2
a + c
a − c
=
α + γ
tan
2
=
α − γ
tan
2
β
cot
2
α − γ
tan
2
Halbwinkelsätze
α
sin =
2
( s −b)(
s −c)
bc
β
sin =
2
( s − a)(
s − c)
ac
γ
sin =
2
( s − a)(
s −b)
ab
s =
a + b + c
2
α
cos =
2
s ( s − a)
bc
β
cos =
2
s ( s − b)
ac
γ
cos =
2
s ( s − c)
ab
α
tan =
2
( s −b)(
s −c)
s(
s −a)
β
tan =
2
( s − a)(
s − c)
s(
s −b)
γ
tan =
2
( s − a)(
s −b)
s(
s − c)
Seitensätze a + b > c b + c > a a + c > b
Seitenhalbierende
Winkelhalbierende
Umkreisradius
1 2 2 2 1 2
s 2( )
2
a
= b + c − a = b + c + 2bccosα
2
2
1 2 2 2 1 2
s 2( )
2
b
= a + c − b = a + c + 2accosβ
2
2
1 2 2 2 1 2
s 2( )
2
c
= a + b − c = a + b + 2abcosγ
2
2
w
w
w
α
β
γ
α
bc
= 1 2 cos
2
bc[(
b + c)
− a
2 ] = 2
b + c
b + c
β
ac
= 1 2 cos
2
ac[(
a + c)
− b
2 ] = 2
a + c
a + c
γ
ab
= 1 2 cos
2
ab[(
a + b)
− c
2 ] = 2
a + b
a + b
a b c
r U
= = =
2sin α 2sin β 2sin
γ
r
U
=
bc
2h
a
=
ac
2h
b
=
ab
2h
c
Inkreisradius
A ( s − a)(
s − b)(
s − c)
r I
= =
s
s
s =
a + b + c
2
r I
α
= ( s − a)tan
2
r I
β
= ( s − b)tan
2
r I
γ
= ( s − c)tan
2
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α β γ
r I
= s tan tan tan
2 2 2
r = 4
I
r U
α β γ
sin sin sin
2 2 2
Beliebige Dreiecke
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