8. Von der Zentralprojektion zur projektiven Geometrie.

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96 . Geometrie (L2) Eine kombinatorische Ebene ist ein Tripel P = (V, L, I) von Mengen V, L, I mit V ∩ L = ∅ und V ∪ L ≠ ∅ und I ⊂ V × L. Hier heißt V = die Menge der Punkte (= vertices), L = die Menge der Geraden (= lines) und I = die Inzidenztafel der kombinatorischen Ebene P. Bezeichnungen. Man sagt p ∈ V und l ∈ L sind inzident, genau dann wenn (p, l) ∈ I. Man sagt auch einfach p liegt auf l. Punkte einer kombinatorischen Ebene heißen colinear, wenn sie auf einer gemeinsamen Linie liegen. Ein Vierpunkt ist ein Quadrupel (p, q, r, s) von Punkten aus V mit der Eigenschaft dass kein Tripel dieser Punkte colinear ist. Definition. Eine abstrakte projektive Ebene ist eine kombinatorische Ebene P = (V, L, I) so dass (1) Je zwei Punkte von V sind inzident zu genau einer Gerade von ̷L, (2) Je zwei Geraden von L sind inzident zu genau Klaus Johannson, Geometrie (L2)
§8 Projektive Geometrie 97 einem Punkt von V , (3) Es gibt einen Vierpunkt. Bemerkung. Abstrakte projektive Ebenen können endlich oder unendlich sein. Die konkrete projektive Geometrie ist ein Beispiel für eine unendliche abstrakte projektive Ebene. Später werden wir ein Beispiel für eine endliche abstrakte Ebene sehen. Bemerkung. Entscheidend ist hier, dass es nicht länger darauf ankommt was ”Punkte” und ”Geraden” konkret sind, sondern nur darauf was ihre Inzidenzverhältnisse sind. Bei projektiven Ebenen kann man eigentlich zwischen Punkten und Geraden nicht mehr wirklich unterscheiden. Wir sagen eine Ebene ist selbst-dual, wenn jede Aussage über die Ebene richtig bleibt, wenn man in ihr ”Punkt” durch ”Gerade” und ”Gerade” durch ”Punkt” ersetzt. Die Axiome (1) und (2) der projektiven Ebene sind Beispiele für duale Aussagen. Alle projektiven Ebenen sind selbst-dual. Satz. (Das Dualitätsprinzip der projektiven Geometrie) Jede Aussage der projektiven Geometrie bleibt wahr, wenn man ihr die Worte ”Punkte” und Klaus Johannson, Geometrie (L2)
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