Aussagenlogik

Logik
Logik
Vorkurs Informatik
Theoretischer Teil
Wintersemester 2012/13
1. Oktober 2012
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen
Logik
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen
Motivation
Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sind
z.B.
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Logik > logische Aussagen
Motivation
Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sind
z.B.
Modellierung von Wissen, etwa in der künstlichen Intelligenz
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Logik > logische Aussagen
Motivation
Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sind
z.B.
Modellierung von Wissen, etwa in der künstlichen Intelligenz
Automatische Verifikation (automatisches Testen, ob ein System
die Spezifikationen erfüllt)
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Logik > logische Aussagen
Motivation
Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sind
z.B.
Modellierung von Wissen, etwa in der künstlichen Intelligenz
Automatische Verifikation (automatisches Testen, ob ein System
die Spezifikationen erfüllt)
Kontrollfluss von Computerprogrammen
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Logik > logische Aussagen
Motivation
Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sind
z.B.
Modellierung von Wissen, etwa in der künstlichen Intelligenz
Automatische Verifikation (automatisches Testen, ob ein System
die Spezifikationen erfüllt)
Kontrollfluss von Computerprogrammen
Logikbauteile in der Hardware
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Logik > logische Aussagen
Motivation
Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sind
z.B.
Modellierung von Wissen, etwa in der künstlichen Intelligenz
Automatische Verifikation (automatisches Testen, ob ein System
die Spezifikationen erfüllt)
Kontrollfluss von Computerprogrammen
Logikbauteile in der Hardware
Datenbanken: Auswerten von Anfragen
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Logik > logische Aussagen
Motivation
Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sind
z.B.
Modellierung von Wissen, etwa in der künstlichen Intelligenz
Automatische Verifikation (automatisches Testen, ob ein System
die Spezifikationen erfüllt)
Kontrollfluss von Computerprogrammen
Logikbauteile in der Hardware
Datenbanken: Auswerten von Anfragen
Mathematische Beweise
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Logik > logische Aussagen
Motivation
Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sind
z.B.
Modellierung von Wissen, etwa in der künstlichen Intelligenz
Automatische Verifikation (automatisches Testen, ob ein System
die Spezifikationen erfüllt)
Kontrollfluss von Computerprogrammen
Logikbauteile in der Hardware
Datenbanken: Auswerten von Anfragen
Mathematische Beweise
Korrektes Argumentieren
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Logik > logische Aussagen
logische Aussagen
Die Logik behandelt die allgemeinen Prinzipien des korrekten
Argumentierens. Diese Prinzipien gelten auch unabhängig vom
konkreten Inhalt. Eine logische Aussage (kurz Aussage) ist ein Satz
oder Ausdruck, der entweder wahr oder falsch sein kann.
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Logik > logische Aussagen
logische Aussagen
Die Logik behandelt die allgemeinen Prinzipien des korrekten
Argumentierens. Diese Prinzipien gelten auch unabhängig vom
konkreten Inhalt. Eine logische Aussage (kurz Aussage) ist ein Satz
oder Ausdruck, der entweder wahr oder falsch sein kann.
Beispiel 1: Folgende Sätze und Ausdrücke sind Aussagen:
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Logik > logische Aussagen
logische Aussagen
Die Logik behandelt die allgemeinen Prinzipien des korrekten
Argumentierens. Diese Prinzipien gelten auch unabhängig vom
konkreten Inhalt. Eine logische Aussage (kurz Aussage) ist ein Satz
oder Ausdruck, der entweder wahr oder falsch sein kann.
Beispiel 1: Folgende Sätze und Ausdrücke sind Aussagen:
“2 ist gerade.”
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Logik > logische Aussagen
logische Aussagen
Die Logik behandelt die allgemeinen Prinzipien des korrekten
Argumentierens. Diese Prinzipien gelten auch unabhängig vom
konkreten Inhalt. Eine logische Aussage (kurz Aussage) ist ein Satz
oder Ausdruck, der entweder wahr oder falsch sein kann.
Beispiel 1: Folgende Sätze und Ausdrücke sind Aussagen:
“2 ist gerade.”
“2 < 1”
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Logik > logische Aussagen
logische Aussagen
Die Logik behandelt die allgemeinen Prinzipien des korrekten
Argumentierens. Diese Prinzipien gelten auch unabhängig vom
konkreten Inhalt. Eine logische Aussage (kurz Aussage) ist ein Satz
oder Ausdruck, der entweder wahr oder falsch sein kann.
Beispiel 1: Folgende Sätze und Ausdrücke sind Aussagen:
“2 ist gerade.”
“2 < 1”
“Dieser Ball ist rot.”
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Logik > logische Aussagen
Beispiel 2
Beispiel 2: Folgende Sätze und Ausdrücke sind keine Aussagen:
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Logik > logische Aussagen
Beispiel 2
Beispiel 2: Folgende Sätze und Ausdrücke sind keine Aussagen:
“1 + 2”, “21 ∗ 2” usw., da sie keine vollständigen Ausdrücke sind,
denen man die Werte wahr oder falsch zuordnen kann.
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Logik > logische Aussagen
Beispiel 2
Beispiel 2: Folgende Sätze und Ausdrücke sind keine Aussagen:
“1 + 2”, “21 ∗ 2” usw., da sie keine vollständigen Ausdrücke sind,
denen man die Werte wahr oder falsch zuordnen kann.
“2 ist eine kleine Zahl” (“klein” ist für Zahlen nicht definiert.)
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Logik > logische Aussagen
Beispiel 2
Beispiel 2: Folgende Sätze und Ausdrücke sind keine Aussagen:
“1 + 2”, “21 ∗ 2” usw., da sie keine vollständigen Ausdrücke sind,
denen man die Werte wahr oder falsch zuordnen kann.
“2 ist eine kleine Zahl” (“klein” ist für Zahlen nicht definiert.)
Aufforderungen (“Komm her!”) und Fragen (“Was machen wir?”)
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Logik > logische Aussagen
Beispiel 2
Beispiel 2: Folgende Sätze und Ausdrücke sind keine Aussagen:
“1 + 2”, “21 ∗ 2” usw., da sie keine vollständigen Ausdrücke sind,
denen man die Werte wahr oder falsch zuordnen kann.
“2 ist eine kleine Zahl” (“klein” ist für Zahlen nicht definiert.)
Aufforderungen (“Komm her!”) und Fragen (“Was machen wir?”)
“Dieser Satz ist falsch!”, da dieser Satz weder wahr noch falsch
sein kann.
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Logik > logische Aussagen > Aussagenlogik
Aussagenlogik
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wir nehmen an, dass wir eine unendliche Menge A, B, A 1 , A 2 , A 3 , . . . ,
B 1 ,B 2 ,B 3 ,. . . von Atomen (auch aussagenlogische Variablen
genannt) gegeben haben. Aussagenlogische Formeln bestehen aus den
Atomen, den Junktoren ∧, ∨, ¬, →, ↔ und Klammern. Sie werden
nach den folgenden Regeln aufgebaut:
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wir nehmen an, dass wir eine unendliche Menge A, B, A 1 , A 2 , A 3 , . . . ,
B 1 ,B 2 ,B 3 ,. . . von Atomen (auch aussagenlogische Variablen
genannt) gegeben haben. Aussagenlogische Formeln bestehen aus den
Atomen, den Junktoren ∧, ∨, ¬, →, ↔ und Klammern. Sie werden
nach den folgenden Regeln aufgebaut:
Definition
Atome sind Formeln.
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wir nehmen an, dass wir eine unendliche Menge A, B, A 1 , A 2 , A 3 , . . . ,
B 1 ,B 2 ,B 3 ,. . . von Atomen (auch aussagenlogische Variablen
genannt) gegeben haben. Aussagenlogische Formeln bestehen aus den
Atomen, den Junktoren ∧, ∨, ¬, →, ↔ und Klammern. Sie werden
nach den folgenden Regeln aufgebaut:
Definition
Atome sind Formeln.
Beispiele:
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wir nehmen an, dass wir eine unendliche Menge A, B, A 1 , A 2 , A 3 , . . . ,
B 1 ,B 2 ,B 3 ,. . . von Atomen (auch aussagenlogische Variablen
genannt) gegeben haben. Aussagenlogische Formeln bestehen aus den
Atomen, den Junktoren ∧, ∨, ¬, →, ↔ und Klammern. Sie werden
nach den folgenden Regeln aufgebaut:
Definition
Atome sind Formeln.
Beispiele:
L Lucy spielt Gitarre
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wir nehmen an, dass wir eine unendliche Menge A, B, A 1 , A 2 , A 3 , . . . ,
B 1 ,B 2 ,B 3 ,. . . von Atomen (auch aussagenlogische Variablen
genannt) gegeben haben. Aussagenlogische Formeln bestehen aus den
Atomen, den Junktoren ∧, ∨, ¬, →, ↔ und Klammern. Sie werden
nach den folgenden Regeln aufgebaut:
Definition
Atome sind Formeln.
Beispiele:
L Lucy spielt Gitarre
A 9 geteilt durch 3 ist 2
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax und Semantik
Definition (Syntax)
Mit der Syntax legen wir fest, welche Zeichenreihen gültige
Formeln(Aussagen) sind.
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax und Semantik
Definition (Syntax)
Mit der Syntax legen wir fest, welche Zeichenreihen gültige
Formeln(Aussagen) sind.
So soll etwa (A ∧ B) eine gültige Zeichenreihe sein, wohingegen die
Zeichenreihe ∧()AB nicht erlaubt sein soll.
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax und Semantik
Definition (Syntax)
Mit der Syntax legen wir fest, welche Zeichenreihen gültige
Formeln(Aussagen) sind.
So soll etwa (A ∧ B) eine gültige Zeichenreihe sein, wohingegen die
Zeichenreihe ∧()AB nicht erlaubt sein soll.
Definition (Semantik)
Die Semantik legt die Bedeutung einer Formel fest; also ob eine
Formel wahr oder falsch ist. Dies ist immer abhängig davon, ob die
einzelnen atomaren Aussagen, aus denen eine Formel besteht, wahr
oder falsch sind. Der Einfachheit halber belegen wir die Atome nur mit
“wahr”(1) oder “falsch”(0), den sogenannten Wahrheitswerten.
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Negation
Definition (Negation)
Ist A eine Formel, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel. Die
Aussage ¬A ist genau dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
Beispiel:
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Negation
Definition (Negation)
Ist A eine Formel, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel. Die
Aussage ¬A ist genau dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
Beispiel:
A Deutschland ist Fußballweltmeister
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Negation
Definition (Negation)
Ist A eine Formel, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel. Die
Aussage ¬A ist genau dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
Beispiel:
A Deutschland ist Fußballweltmeister
¬A Deutschland ist nicht Fußballweltmeister
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Negation
Definition (Negation)
Ist A eine Formel, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel. Die
Aussage ¬A ist genau dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
Wahrheitstafel:
A ¬A
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Negation
Definition (Negation)
Ist A eine Formel, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel. Die
Aussage ¬A ist genau dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
Wahrheitstafel:
A ¬A
0
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Negation
Definition (Negation)
Ist A eine Formel, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel. Die
Aussage ¬A ist genau dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
Wahrheitstafel:
A ¬A
0 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Negation
Definition (Negation)
Ist A eine Formel, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel. Die
Aussage ¬A ist genau dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
Wahrheitstafel:
A ¬A
0 1
1
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Negation
Definition (Negation)
Ist A eine Formel, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel. Die
Aussage ¬A ist genau dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
Wahrheitstafel:
A ¬A
0 1
1 0
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist genau dann wahr, wenn
sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Beispiel:
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist genau dann wahr, wenn
sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Beispiel:
A 6 ist teilbar durch 3
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist genau dann wahr, wenn
sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Beispiel:
A 6 ist teilbar durch 3
B 6 ist teilbar durch 2
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist genau dann wahr, wenn
sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Beispiel:
A 6 ist teilbar durch 3
B 6 ist teilbar durch 2
(A ∧ B) 6 ist teilbar durch 3 und 6 ist teilbar durch 2
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist genau dann wahr, wenn
sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist genau dann wahr, wenn
sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A ∧ B)
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist genau dann wahr, wenn
sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A ∧ B)
0 0
0 1
1 0
1 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist genau dann wahr, wenn
sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A ∧ B)
0 0 0
0 1
1 0
1 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist genau dann wahr, wenn
sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A ∧ B)
0 0 0
0 1 0
1 0
1 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist genau dann wahr, wenn
sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A ∧ B)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist genau dann wahr, wenn
sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A ∧ B)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist genau dann wahr, wenn
mindestens eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist genau dann wahr, wenn
mindestens eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
D Im WS wird die Vorlesung “Logik und Datenbanken”
angeboten
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist genau dann wahr, wenn
mindestens eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
D Im WS wird die Vorlesung “Logik und Datenbanken”
angeboten
L Im WS wird die Vorlesung “Logik in der Informatik”
angeboten
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist genau dann wahr, wenn
mindestens eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
D Im WS wird die Vorlesung “Logik und Datenbanken”
angeboten
L Im WS wird die Vorlesung “Logik in der Informatik”
angeboten
(D ∨ L) Im WS wird die Vorlesung “Logik und Datenbanken”
oder die Vorlesung “Logik in der Informatik” angeboten.
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist genau dann wahr, wenn
mindestens eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist genau dann wahr, wenn
mindestens eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Wahrheitstafel:
A B (A ∨ B)
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist genau dann wahr, wenn
mindestens eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Wahrheitstafel:
A B (A ∨ B)
0 0
0 1
1 0
1 1
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist genau dann wahr, wenn
mindestens eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Wahrheitstafel:
A B (A ∨ B)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A,
dann B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist genau wahr,
wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die
Aussage B wahr sind.
Beispiel:
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A,
dann B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist genau wahr,
wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die
Aussage B wahr sind.
Beispiel:
A Es regnet
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A,
dann B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist genau wahr,
wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die
Aussage B wahr sind.
Beispiel:
A Es regnet
B Die Straße ist nass
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A,
dann B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist genau wahr,
wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die
Aussage B wahr sind.
Beispiel:
A Es regnet
B Die Straße ist nass
(A → B) Wenn es regnet, dann ist die Straße nass
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A dann
B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist genau dann wahr,
wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die
Aussage B wahr sind.
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A dann
B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist genau dann wahr,
wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die
Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A → B)
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A dann
B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist genau dann wahr,
wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die
Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A → B)
0 0
0 1
1 0
1 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A dann
B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist genau dann wahr,
wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die
Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A → B)
0 0 1
0 1
1 0
1 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A dann
B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist genau dann wahr,
wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die
Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A → B)
0 0 1
0 1 1
1 0
1 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A dann
B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist genau dann wahr,
wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die
Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A → B)
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A dann
B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist genau dann wahr,
wenn A falsch ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die
Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A → B)
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ↔ B) (sprich: A genau dann
wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ↔ B) ist wahr, wenn A
und B beide falsch oder beide wahr sind.
Beispiel:
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ↔ B) (sprich: A genau dann
wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ↔ B) ist wahr, wenn A
und B beide falsch oder beide wahr sind.
Beispiel:
A Wasser gefriert
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ↔ B) (sprich: A genau dann
wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ↔ B) ist wahr, wenn A
und B beide falsch oder beide wahr sind.
Beispiel:
A Wasser gefriert
B Es ist kälter als 0 ◦ C
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ↔ B) (sprich: A genau dann
wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ↔ B) ist wahr, wenn A
und B beide falsch oder beide wahr sind.
Beispiel:
A Wasser gefriert
B Es ist kälter als 0 ◦ C
(A ↔ B) Wasser gefriert genau dann wenn es kälter als 0 ◦ C ist.
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ↔ B) (sprich: A genau dann
wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ↔ B) ist wahr, wenn A
und B beide falsch oder beide wahr sind.
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ↔ B) (sprich: A genau dann
wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ↔ B) ist wahr, wenn A
und B beide falsch oder beide wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A ↔ B)
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ↔ B) (sprich: A genau dann
wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ↔ B) ist wahr, wenn A
und B beide falsch oder beide wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A ↔ B)
0 0
0 1
1 0
1 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ↔ B) (sprich: A genau dann
wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ↔ B) ist wahr, wenn A
und B beide falsch oder beide wahr sind.
Wahrheitstafel:
A B (A ↔ B)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ˙∨B) (sprich: Entweder A
oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ˙∨B) ist genau dann
wahr, wenn genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ˙∨B) (sprich: Entweder A
oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ˙∨B) ist genau dann
wahr, wenn genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
D Ich liege montags um 10 Uhr im Bett und schlafe.
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ˙∨B) (sprich: Entweder A
oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ˙∨B) ist genau dann
wahr, wenn genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
D Ich liege montags um 10 Uhr im Bett und schlafe.
L Ich besuche montags um 10 Uhr die Vorlesung “Lineare
Algebra”.
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ˙∨B) (sprich: Entweder A
oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ˙∨B) ist genau dann
wahr, wenn genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
D Ich liege montags um 10 Uhr im Bett und schlafe.
L Ich besuche montags um 10 Uhr die Vorlesung “Lineare
Algebra”.
(D ˙∨L) Entweder liege ich montags um 10 Uhr im Bett und
schlafe oder besuche die Vorlesung “Lineare Algebra”.
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Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ˙∨B) (sprich: Entweder A
oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ˙∨B) ist wahr, wenn
genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ˙∨B) (sprich: Entweder A
oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ˙∨B) ist wahr, wenn
genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
A B (A ˙∨B)
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ˙∨B) (sprich: Entweder A
oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ˙∨B) ist wahr, wenn
genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
A B (A ˙∨B)
0 0
0 1
1 0
1 1
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ˙∨B) (sprich: Entweder A
oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ˙∨B) ist wahr, wenn
genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
A B (A ˙∨B)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Noch mehr Definitionen
Tautologie
Definition (Tautologie)
Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegung
der Variablen wahr ist, heißt allgemeingültig (oder Tautologie).
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Noch mehr Definitionen
Tautologie
Definition (Tautologie)
Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegung
der Variablen wahr ist, heißt allgemeingültig (oder Tautologie).
Beispiel:
A ¬A (A ∨ ¬A)
0 1 1
1 0 1
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Logik > logische Aussagen > Noch mehr Definitionen
Kontradiktion
Definition (Kontradiktion)
Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegung
der Variablen 0 (falsch) ist, heißt unerfüllbar (oder Kontradiktion).
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Noch mehr Definitionen
Kontradiktion
Definition (Kontradiktion)
Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegung
der Variablen 0 (falsch) ist, heißt unerfüllbar (oder Kontradiktion).
Beispiel:
A ¬A (A ∧ ¬A)
0 1 0
1 0 0
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Noch mehr Definitionen
Erfüllbare Formeln
Definition (Erfüllbar)
Eine aussagenlogische Formel, heißt erfüllbar, wenn es eine Belegung
der Variablen gibt, bei der die Formel den Wahrheitswert 1 hat.
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Noch mehr Definitionen
Erfüllbare Formeln
Definition (Erfüllbar)
Eine aussagenlogische Formel, heißt erfüllbar, wenn es eine Belegung
der Variablen gibt, bei der die Formel den Wahrheitswert 1 hat.
Beispiel:
A B (A ∧ B)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Noch mehr Definitionen
Äquivalente Formeln
Definition
Seien α und β aussagenlogische Formeln.
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2012/13

Logik > logische Aussagen > Noch mehr Definitionen
Äquivalente Formeln
Definition
Seien α und β aussagenlogische Formeln.
Sei M die Menge der Variablen, die in α vorkommen, und N die
Menge der Variablen, die in β vorkommen.
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Logik > logische Aussagen > Noch mehr Definitionen
Äquivalente Formeln
Definition
Seien α und β aussagenlogische Formeln.
Sei M die Menge der Variablen, die in α vorkommen, und N die
Menge der Variablen, die in β vorkommen.
Die Formeln α und β heißen äquivalent, wenn für jede Belegung
der Variablen in M ∪ N die Wahrheitswerte von α und β
übereinstimmen.
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Logik > logische Aussagen > Noch mehr Definitionen
Äquivalente Formeln
Definition
Seien α und β aussagenlogische Formeln.
Sei M die Menge der Variablen, die in α vorkommen, und N die
Menge der Variablen, die in β vorkommen.
Die Formeln α und β heißen äquivalent, wenn für jede Belegung
der Variablen in M ∪ N die Wahrheitswerte von α und β
übereinstimmen.
Wir schreiben dann auch ”
α ≡ β“.
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Logik > logische Aussagen > Rechenregeln
Rechenregeln
Seien A, B und C aussagenlogische Formeln. Dann gilt:
1) ¬¬A ≡ A
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Logik > logische Aussagen > Rechenregeln
Rechenregeln
Seien A, B und C aussagenlogische Formeln. Dann gilt:
1) ¬¬A ≡ A
2) Kommutativgesetze:
(A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
(A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
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Logik > logische Aussagen > Rechenregeln
Rechenregeln
Seien A, B und C aussagenlogische Formeln. Dann gilt:
1) ¬¬A ≡ A
2) Kommutativgesetze:
3) Assoziativgesetze:
(A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
(A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C))
((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C))
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Logik > logische Aussagen > Rechenregeln
Rechenregeln
Seien A, B und C aussagenlogische Formeln. Dann gilt:
1) ¬¬A ≡ A
2) Kommutativgesetze:
3) Assoziativgesetze:
4) Distributivgesetze:
(A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
(A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
((A ∧ B) ∧ C) ≡ (A ∧ (B ∧ C))
((A ∨ B) ∨ C) ≡ (A ∨ (B ∨ C))
((A ∧ B) ∨ C) ≡ ((A ∨ C) ∧ (B ∨ C))
((A ∨ B) ∧ C) ≡ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C))
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Logik > logische Aussagen > Rechenregeln
Rechenregeln 2
5) De Morgan’sche Gesetze:
¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B)
¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B)
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Logik > logische Aussagen > Rechenregeln
Rechenregeln 2
5) De Morgan’sche Gesetze:
6)
¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B)
¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B)
(A ∧ 1) ≡ A (A ∧ 0) ≡ 0 (A ∧ A) ≡ A
(A ∨ 1) ≡ 1 (A ∨ 0) ≡ A (A ∨ A) ≡ A
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Logik > logische Aussagen > Rechenregeln
Rechenregeln 2
5) De Morgan’sche Gesetze:
6)
¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B)
¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B)
(A ∧ 1) ≡ A (A ∧ 0) ≡ 0 (A ∧ A) ≡ A
(A ∨ 1) ≡ 1 (A ∨ 0) ≡ A (A ∨ A) ≡ A
7) Absorptionsgesetze:
(A ∨ (A ∧ B)) ≡ A
(A ∧ (A ∨ B)) ≡ A
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Logik > logische Aussagen > Rechenregeln
noch Fragen???
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