Notizen

3 Endliche Automaten
Automaten und formale Sprachen
Notizen zu den Folien
Überführungsfunction eines DFA (Folie 92)
Wie sieht die Überführungfunktion aus?
δ : Z × Σ → Z
Das heißt: Ein Paar aus Zustand und Alphabetsymbol wird auf einen Zustand abgebildet. Also,
δ(z 1 , a) = z 2 heißt, dass ein mit a beschrifteter Pfeil von z 1 zu z 2 geht.
Beispiel: der Automat auf Folie 89 wird wie folgt ”
textuell“ dargestellt:
M = ({z 1 , z 2 }, {a, b}, δ, z 1 , {z 2 }), wobei:
δ(z 1 , a) = z 1 δ(z 2 , a) = z 2
δ(z 1 , b) = z 2 δ(z 2 , b) = z 1
Erweiterung von δ auf Wörter (Folie 93)
Die Funktion ˆδ ist die Erweiterung von δ von Symbolen auf Wörter. Beispiel (siehe Automat auf
Folie 89):
ˆδ(z 1 , ab) = ˆδ(δ(z 1 , a), b) = ˆδ(z 1 , b) = ˆδ(δ(z 1 , b), ɛ) = ˆδ(z 2 , ɛ) = z 2
Das bedeutet, dass das Einlesen des Wortes ab den Automaten vom Zustand z 1 in den Zustand
z 2 führt.
Beispiel-DFAs (Folie 95)
• Antwort der ersten Aufgabe:
L = {x ∈ Σ ∗ | x enthält genau 1 b}
• Antwort der zweiten Aufgabe:
M = (Z, Σ, δ, z 0 , E), mit Z = {1, 2, 3, 4}, Σ = {a, b}, z 0 = 1, E = {4}:
a
b
1 2 4
a
b
a b
3
a, b
Die verschiedene Zustände eines DFA haben alle eine Bedeutung. In diesem Fall:
1. Wenn der Automat in Zustand 1 ist, hat sie gerade angefangen und noch kein Symbol
eingelesen.
1

2. Wenn der Automat in Zustand 2 ist, war das erste eingelesene Symbol ein a, und war
auch das zuletzt eingelesene Symbol ein a.
3. Wenn der Automat in Zustand 3 ist, war das erste eingelesene Symbol ein a, und war
das zuletzt eingelesene Symbol ein b. (In diesem Zustand kann das Wort akzeptiert
werden.)
4. Wenn der Automat in Zustand 4 ist, war das erste eingelesene Symbol kein a. Das heißt,
dass das Wort nicht in der Sprache liegen kann. Deswegen kann aus diesem Zustand
kein Endzustand mehr erreicht werden.
DFA → Reguläre Grammatik (Folie 96)
Satz. Jede von einem endlichen Automaten akzeptierte Sprache ist regulär.
Beweis. Nach Definition, ist eine Sprache regulär, wenn es eine reguläre Grammatik gibt, die sie
erzeugt. Sei ein endlicher Automat M = (Z, Σ, δ, z 0 , E) gegeben. Wir müssen zeigen, dass es eine
reguläre Grammatik G gibt, mit L(G) = T (M).
Wir konstruieren die Grammatik G = (V, Σ, P, S), wobei V = Z, S = z 0 und P folgende Produktionen
enthält:
• Falls ɛ ∈ T (M), enthält P eine Produktion S → ɛ. (Es ist dann noch notwendig, die Grammatik
noch weiter umzuwandeln, damit die ɛ-Sonderregel nicht verletzt wird.)
• Für alle z 1 ∈ Z und a ∈ Σ:
– Falls δ(z 1 , a) = z 2 , dann gilt (z 1 → az 2 ) ∈ P .
– Falls zusätzlich gilt, dass z 2 ∈ E, dann gilt auch (z 1 → a) ∈ P .
Jetzt müssen wir noch beweisen, dass T (M) = L(G). Dafür gibt es zwei Richtungen.
• Angenommen, a 1 . . . a n ∈ T (M).
Dann gibt es Zustände q 0 , . . . , q n , so dass q 0 = z 0 , q n ∈ E und q i = δ(q i−1 , a i ), für i ∈
{1, . . . , n}.
Nach Konstruktion heißt das, dass (q i−1 → a i q i ) ∈ P , für i ∈ {1, . . . , n}. Weil außerdem
q n ∈ E, gilt auch (q n−1 → a n ) ∈ P .
Deswegen ist
z 0 ⇒ a 1 q 1 ⇒ a 1 a 2 q 2 ⇒ · · · ⇒ a 1 . . . a n−1 q n−1 ⇒ a 1 . . . a n
eine Ableitung von G, und es gilt a 1 . . . a n ∈ L(G).
• Angenommen, a 1 . . . a n ∈ L(G).
Nach Definition muss es eine Ableitung
z 0 ⇒ a 1 q 1 ⇒ a 1 a 2 q 2 ⇒ · · · ⇒ a 1 . . . a n−1 q n−1 ⇒ a 1 . . . a n
geben. Nach Konstruktion heißt das, dass (q i−1 → a i q i ) ∈ P , für i ∈ {1, . . . , n}.
Das heißt, dass (q i−1 → a i q i ) ∈ P , für i ∈ {1, . . . , n}. Nach Konstruktion gilt q i = δ(q i−1 , a i ).
Weil außerdem (q n−1 → a n ) ∈ P , gibt es einen q n ∈ E so dass q n = δ(q n−1 , a n ).
Daraus folgt, dass a 1 . . . a n ∈ T (M).
□
Bemerkung: Obiger Beweis ist konstruktiv. Das heißt, dass er ein Verfahren enthält, das wir
benützen können, um eine zu einem DFA äquivalente reguläre Grammatik zu erzeugen.
Beispiel zur Umwandlung
2

Wenn wir das Verfahren aus dem Beweis auf dem DFA der Folie 89 anwenden, ergibt sich folgende
reguläre Grammatik:
Zu Folie 100
Wie sieht die Überführungsfunktion aus?
z 1 → az 1 | bz 2 | b
z 2 → az 2 | bz 1 | a
δ : Z × Σ → P(Z)
Das heißt, jedem Paar aus Zustand und Alphabetsymbol wird eine Menge von Zuständen zugeordnet.
Beispiel: der Automat auf Folie 99 wird folgendermaßen ”
textuell“ dargestellt:
M = ({z 0 , z 1 , z 2 , z 3 }, {a, b}, δ, {z 0 , z 3 }, {z 3 }), wobei:
δ(z 0 , a) = {z 1 } δ(z 1 , a) = ∅ δ(z 2 , a) = {z 3 } δ(z 3 , a) = {z 0 }
δ(z 0 , b) = {z 0 , z 2 } δ(z 1 , b) = {z 3 } δ(z 2 , b) = ∅ δ(z 3 , b) = ∅
Zu Folie 101
Genauso wie bei DFAs, ist ˆδ die Erweiterung von δ von Alphabetsymbolen auf Wörter.
Sei Z ′ = {z 1 , . . . , z n }. Dann bedeutet
das gleiche wie:
Beispiel (siehe Automat auf Folie 99):
⋃
z∈Z ′ ˆδ(δ(z, a), x)
ˆδ(δ(z 1 , a), x) ∪ · · · ∪ ˆδ(δ(z n , a), x)
ˆδ({z 0 }, ba) =
ˆδ(δ(z 0 , b), a) =
ˆδ({z 0 , z 2 }, a) =
ˆδ(δ(z 0 , a), ɛ) ∪ ˆδ(δ(z 2 , a), ɛ) =
ˆδ({z 1 }, ɛ) ∪ ˆδ({z 3 }, ɛ) =
{z 1 } ∪ {z 3 } =
{z 1 , z 3 }
Das heißt, dass das Einlesen des Wortes ba den Automaten vom Zustand z 0 entweder in den
Zustand z 1 oder in den Zustand z 3 führt.
NFA-Beispiele (Zu Folie 103)
• Die vom NFA akzeptierten Sprache ist:
L ′ = {x | das 3-letzte Zeichen von x ist a}
• Folgender NFA akzeptiert die Sprache L = {x | x fängt mit a an und endet mit b}:
z
a
0 z
b
1 z 2
a, b
3

Potenzmengenkonstruktion (Folie 106)
Wir wenden die Potenzmengenkonstruktion an, um den folgenden NFA (über das Alphabet Σ =
{a, b}) in einen DFA umzuwandeln:
a
z 2
a a
z 1 a z 4
a b
z 3
b
Manchmal ist es hilfreich, eine Tabelle zu erstellen. Wir fangen an mit der Menge von Anfangszuständen
({z 1 , z 4 }), und gucken welche Mengen von Zuständen daraus nach dem Einlesen eines
Symbols erreicht werden. Die erreichten Zustände werden wieder in die Tabelle eingefügt:
a b
{z 1 , z 3 } {z 2 , z 3 } {z 3 }
{z 2 , z 3 }
{z 3 }
Für alle Mengen von Zuständen, die in die Tabelle aufgenommen werden, gucken wir welche
Mengen von Zuständen nach dem Einlesen einzelner Alphabetsymbole erreicht werden, und fügen
diese in die Tabelle ein (falls sie noch nicht vorhanden sind). Im Beispiel sieht die Tabelle am Ende
folgendermaßen aus:
a b
{z 1 , z 4 } {z 2 , z 3 } {z 3 }
→ {z 2 , z 3 } {z 2 , z 3 } {z 3 }
→ {z 3 } ∅ {z 3 }
∅ ∅ ∅
Auf diese Weise nehmen wir nur die erreichbare Zustände des DFA in die Tabelle auf. (Es sei
angemerkt, dass der vollständige Potenzmengenautomat 2 4 = 16 Zustände hat, von denen wir nur
4 angegeben haben.)
Die Zustände {z 2 , z 3 } und {z 3 } sind Endzustände des NFA, denn sie enthalten einen Endzustand
des NFA.
Der DFA, der dieser Tabelle enspricht, ist:
4

a
{z 1 , z 4 }
a
{z 2 , z 3 }
b
b
{z 3 }
a
∅
b
a, b
Hier sei angemerkt, dass Zustände des konstruierten DFAs Mengen von Zuständen des ursprünglichen
NFAs sind.
Hinweis: Obwohl die Tabelle hilfreich sein kann, ist es nicht notwendig sie anzugeben. Man kann
die Zustände auch sofort aufzeichnen anstatt sie in die Tabelle aufzunehmen. (Insbesondere darf
man das auch in der Prüfung bzw. Klausur machen.)
Mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion, wird der NFA von Seite 3 in den folgenden DFA umgewandelt
(nicht erreichbare Zustände, wie z.B. {z 2 , z 3 }, sind nicht angegeben).
b
a
{z 0 } {z 1 } {z 1 , z 2 }
a
b
a
b
∅
a, b
Reguläre Grammatik → NFA (Folie 110)
Gegeben Sei G = ({S, U}, {a, b}, P, S), wobei P wie folgt definiert ist:
S → aS | bU | a
U → aU | bS | b
Wir wandeln diese Grammatik in einen NFA M = (Z, {a, b}, δ, S, E) um. Wir haben:
Z = {S, U, X}
E = {X}
und δ wie folgt:
5

a
S
a
b
b
X
U
b
a
6