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Abb. 3 Überlebenswahrscheinlichkeiten von Fichtenbeständen bei hohem und mittlerem Ausfallrisiko. Survival probabilities of spruce stands considering middle and high risks of failure. bei Sturmereignissen gerechtfertigt und entspricht empirisch ermittelten Ergebnissen (DIETER, 1997 und 2001). Aus Gründen der Vereinfachung wurde weiter angenommen, dass Bestandesausfälle lediglich zu den Zeitpunkten im Fünfjahresrhytmus, für die genaue Abtriebswerte vorliegen, stattfinden und danach sofort eine neue Kulturbegründung erfolgt. 2.4 Betriebswirtschaftliche Kalkulation 2.4.1 Die Annuitätenmethode Annuitäten werden in forstökonomischen Studien eher selten verwendet. MÖHRING (1994) stellt jedoch eine Reihe von Vorteilen dieser Methode heraus. So sind Annuitäten als jährliche äquivalente Raten sehr anschaulich zu interpretieren und gegenüber den eher abstrakten Kapitalwerten informativer. Darüber hinaus berücksichtigen sie die unterschiedlich langen Laufzeiten der Investition, was bei Kalkulationen zur Umtriebszeit unerlässlich ist. Für jede betrachtete Umtriebszeit musste zunächst ein Kapitalwert berechnet werden. Dieser berechnet sich als Summe der mit einem Kalkulationszinssatz auf den Zeitpunkt der Investitionsauszahlung diskontierten Zahlungsströme. Allerdings lassen sich Investitionen mit verschieden langer Laufzeit nicht mit der Kapitalwertmethode vergleichen. Dies ist erst durch die Anwendung der Annuitätenmethode möglich, wird doch damit auch die erneute Investitionsmöglichkeit zum internen Zinssatz nach dem Ablauf einer kürzeren Investitionslaufzeit berücksichtigt (HEIDINGSFELDER und KNOKE, 2004). Aus diesen Gründen wurden hier die optimalen Umtriebszeiten mit Hilfe der Annuitätenmethode ermittelt. Dabei wird der Kapitalwert über die Investitionslaufzeit verrentet, wobei sowohl bei der Kapitalwertberechnung, als auch bei der Verrentung Kalkulationszinsfüße verwendet werden. Bei der Verrentung wird der Kapitalwert in äquivalente, für die Investitionslaufzeit gleich bleibende Rentenraten umgerechnet (KOBELT und SCHULTE, 1985). Diese Rentenraten kann man dabei als fiktive, gleich bleibende, jährliche Renten für die jeweilige Umtriebszeit betrachten. Die Berechnung der Annuitäten erfolgte mit folgender Formel: Formel 2 Dabei bezeichnet an die Annuität und K den Kapitalwert, T steht für die Gesamtlaufzeit der Investition, hier also der jeweiligen Umtriebszeit, q für (1 + i), wobei i den Zinssatz, dargestellt als Dezimalzahl bezeichnet. Nach der Annuitätenmethode ist eine Investition der kalkulationszinssatzbestimmenden Investitionsalternative überlegen, wenn die Annuität positiv ist. Vergleicht man mehrere Investitionen, bzw. in diesem Fall verschiedene Umtriebszeiten, ist diejenige mit der höchsten Annuität vorteilhaft (WÖHE, 2005). Die Optimierung der Umtriebszeit durch Maximierung der Annuität ohne Berücksichtigung deren Streuung unterstellt allerdings eine risikoneutrale Einstellung des Entscheidungsträgers. 2.4.2 Vorgehen bei dieser Untersuchung Bei dieser Untersuchung erfolgte die Annuitätenberechnung mit Zinssätzen von annähernd 0% (exakt wurde ein Zinssatz von 1*10 –8 % verwendet), 1%, 2%, 3% und 4%. Die Berechnung mit einem Zinssatz von 1*10 –8 %, im Folgenden als Variante mit einem Zinssatz von 0% bezeichnet, wurde einbezogen, um die Ergebnisse besser mit anderen Arbeiten, die den Waldreinertrag verwenden, vergleichen zu können. Für einen Zinssatz von 0% ist Formel 2 nicht definiert. Deshalb erfolgte hier die Kalkulation mit einem Zinssatz nahe an Null. Die Berechnung der Annuitäten erfolgte für Umtriebszeiten zwischen 25 und 140 Jahren, jeweils in Fünfjahresschritten. Dabei wurden zur Kalkulation der Annuität die auf den Zeitpunkt t = 0 diskontierten Auszahlungen für Kulturanlage und Pflege und die Einzahlungen aus Durchforstungen, der Endnutzung und diejenigen bei Bestandesausfällen verwendet. Nach dem etwaigen Ausfall eines Bestandes wurde der Abtriebswert dieses neu gepflanzten Bestandes zum eigentlichen Ablaufzeitpunkt der Umtriebszeit als theoretischer Endnutzungserlös in die Kalkulation einbezogen. Der Startpunkt der Simulation ist stets der Zeitpunkt der Anlage der ersten Fichtenkultur. Wie häufig der Bestand dazwischen ausfällt spielt keine Rolle für den Betrachtungszeitraum. Dieses Vorgehen hatte zur Folge, dass bei Erreichen der Umtriebszeit nicht alle Bestände das Umtriebsalter aufwiesen, da sie teilweise erst nach einer zwischenzeitlichen Kalamität begründet wurden. Um die Bandbreite der möglichen Ergebnisse bei Integration der Unsicherheiten hinsichtlich des Holzpreises und des Bestandesausfalls zu ermitteln, wurde die Kalkulation in 10.000- facher Wiederholung im Rahmen einer Monte-Carlo-Simulation durchgeführt (PFLAUMER, 1995). Diese Kalkulation erfolgte mit Hilfe des Microsoft Excel Add-Ins für Monte-Carlo-Simulationen von BARRETO und HOWLAND (2006). Aus diesen 10.000 möglichen Werten der Annuitäten wurde für jede Umtriebszeit der Mittelwert und als Streuungsmaß auch die Standardabweichung ermittelt. 124 Allg. Forst- u. J.-Ztg., 179. Jg., 7
2.5 Risikonutzenfunktion Besonders bei Investitionen im Wald sollte man aufgrund der schwankenden Holzpreise und der langen Zeiträume, in der Bestände vielen biotischen und abiotischen Gefahren ausgesetzt sind, Entscheidungen nicht allein nach den zu erwartenden mittleren Annuitäten treffen. Vielmehr sollte man die Gefahr der Schwankung der Annuitäten, hier dargestellt über die Standardabweichung, mit in die Entscheidung einbeziehen. Eine Verknüpfung der mittleren Annuitäten mit ihrer Streuung ist mit Hilfe von Risikonutzenfunktionen, beispielsweise über Berechnung des Sicherheitsäquivalents, möglich. Das Sicherheitsäquivalent entspricht dabei dem sicheren Betrag, den der Investor als gleichwertig mit dem unsicheren Mittelwert der Annuität betrachtet. Da die Mehrzahl der Menschen Risiko meidet, was man schon an der Vielzahl von abgeschlossenen Versicherungen erkennt, wird im Folgenden von Risikoaversion ausgegangen. Dies bewirkt, dass das Sicherheitsäquivalent einen geringeren Wert als der unsichere Mittelwert der Annuität (Erwartungswert) aufweist (BAMBERG und COENENBERG, 2006). Je unsicherer die Annuität, also je größer die Streuung ist, desto geringer ist das Sicherheitsäquivalent. Folglich wird ein risikoproportionaler Abschlag von den erwarteten, aber unsicheren Annuitäten abgezogen, um das Sicherheitsäquivalent abzuschätzen. Bei Risikoneutralität, also wenn es für den Investor egal ist, ob die Annuitäten sicher sind oder schwanken, entspricht das Sicherheitsäquivalent dem Erwartungswert (HEIDINGSFELDER und KNOKE, 2004). Die Berechnung des Sicherheitsäquivalents kann mit folgender Formel (SPREMANN, 1996; GERBER und PAFUMI, 1998) erfolgen: Formel 3 Dabei steht SÄQ für Sicherheitsäquivalent und E(an) für den Erwartungswert (Mittelwert) der Annuitäten. Hier wurde der Mittelwert der Annuität aus den 10.000 wiederholten Simulationen eingesetzt. Der Parameter α ist ein Maß für die Risikoaversion. Die Standardabweichung der Annuitäten wird mit s an bezeichnet. Der Term, der vom Erwartungswert abgezogen wird, stellt somit einen Risikoabschlag dar. Mit Hilfe des Parameters α kann man den Grad der Risikoaversion berücksichtigen. Dabei unterscheidet man normale und starke Risikoaversion. Je stärker die Risikoaversion ist, desto stärker wird die Streuung der Annuitäten gewichtet. Folglich liegt das Sicherheitsäquivalent umso weiter unter dem Erwartungswert der unsicheren Zahlung, je größer die Risikoaversion ist. Dabei ist α vom Anlagebetrag abhängig. Da sich der Anlagebetrag nicht mit der betrachteten Umtriebszeit ändern darf, wurde dieser als Rentenrate einer ewigen, jährlichen Rente bestimmt. Dabei wurden die Kulturkosten als Rentenbarwert betrachtet. Die Rentenrate ist dabei als jährlicher Kapitaldienst für die Kulturkosten interpretierbar. Auf diese Weise liegt sowohl der Erwartungswert als auch das Anlagekapital als pro Jahr angegebener Betrag vor. Bei normaler Risikoaversion geht man von α = 1/Anlagebetrag, bei starker Risikoaversion von α = 2/Anlagebetrag aus (SPREMANN, 1996; DIETER, 1997). Der Berechnung des Sicherheitsäquivalentes basiert dabei auf einer exponentiellen Nutzenfunktion. Diese lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken (HEIDINGSFELDER und KNOKE, 2004): U (Z) = 1 – e –α*Z Formel 4 Dabei bezeichnet U(Z) den Nutzen einer Zahlung Z und α ist der Krümmungsparameter der Nutzenfunktion. Mit e wird die Eulersche Zahl bezeichnet. 3. ERGEBNISSE 3.1 Auswirkungen der Ausfallsrisiken Die Integration von Überlebenswahrscheinlichkeiten, bzw. Ausfallwahrscheinlichkeiten, in die Kalkulation hat zur Folge, dass nach Ablauf der vollen Umtriebszeit nicht alle Bestände das gleiche Alter aufweisen. Dabei erhöht sich die Altersspreitung mit zunehmender Umtriebszeit. Die simulierten Altersverteilungen der Bestände für den geplanten Endnutzungszeitpunkt einer angestrebten Umtriebszeit von 140 Jahren ist in Abbildung 4 dargestellt. Es zeigt sich, dass wie erwartet, nur ein Teil der Bestände die ganze Umtriebszeit von 140 Jahren überlebt. Dieser Anteil beträgt bei mittlerem Risiko für den Bestandesausfall 42% und bei hohem Risiko nur 12%, was genau den unterstellten Überlebenswahrscheinlichkeiten entspricht (vgl. Abbildung 3). Betrachtet man die jüngeren, innerhalb der 140 Jahre ausgefallenen Bestände, steigt deren Anteil mit abnehmendem Alter, denn je später die ersten Bestände ausfallen, desto jünger sind die Folgebestände nach Ablauf der 140 Jahre. Dies entspricht den Erwartungen, da ältere Bestände mit höherer Wahrscheinlichkeit ausfallen als jüngere. Wie sich die Annuitäten mit der Umtriebszeit verändern und wie sich verschiedene Risiken des Bestandesausfalls auswirken, ist in Abbildung 5 für die Z-Baumdurchforstung und einen Zinssatz von 3% dargestellt. Abb. 4 Simulierte Altersverteilung nach 140 Jahren. Real age distribution of the stands after 140 years. Allg. Forst- u. J.-Ztg., 179. Jg., 7 125
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