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Definition: Ring Definition: kommutativer Ring Definition: Unterring ...

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http://matheplanet.com, Stefan K 1<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

1<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

2<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

<strong>Ring</strong><br />

<strong>Definition</strong>:<br />

<strong>kommutativer</strong> <strong>Ring</strong><br />

Algebra<br />

Algebra<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

3<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

4<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

<strong>Unterring</strong><br />

<strong>Unterring</strong>kriterium<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

5<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

6<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

<strong>Ring</strong>homomorphismus<br />

Kern/Bild eines<br />

<strong>Ring</strong>homomorphismus<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

7<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

8<br />

Charakterisierung<br />

injektiver <strong>Ring</strong>homomorphismus<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

R opp<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

9<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

10<br />

Faktorring<br />

kanonischer Epimorphismus<br />

Algebra<br />

Algebra


2 http://algebra1.de<br />

Ein <strong>Ring</strong> (R, +, ·) heißt kommutativ, wenn seine<br />

multiplikative Halbgruppe kommutativ ist, d.h.<br />

wenn gilt:<br />

x · y = y · x<br />

∀ x, y ∈ R<br />

Ein Tripel (R, +, ·) mit R ≠ ∅ und inneren Verknüpfungen<br />

+, · heißt (assoziativer) <strong>Ring</strong>, wenn gilt:<br />

• (R, +) ist eine abelsche Gruppe<br />

• (R, ·) ist eine Halbgruppe<br />

• für +, · und x, y, z ∈ R gelten die Distributivgesetze<br />

x · (y + z) = x · y + x · z<br />

(x + y) · z = x · z + y · z<br />

Eine nichtleere Teilmenge U eines <strong>Ring</strong>es<br />

(R, +, ·) ist <strong>Unterring</strong> von R<br />

⇔<br />

∀ x, y ∈ U gilt: x − y ∈ U und xy ∈ U.<br />

Eine nichtleere Teilmenge U eines <strong>Ring</strong>es<br />

(R, +, ·) heißt <strong>Unterring</strong> von R, wenn sich die<br />

Operationen +, · auf U einschränken lassen,<br />

so daß (U, +, ·) zu einem <strong>Ring</strong> mit den<br />

eingeschränkten Operationen wird.<br />

Sei ϕ : R → S ein <strong>Ring</strong>homomorphismus.<br />

• ker(ϕ) = {r ∈ R | ϕ(r) = 0} ist ein <strong>Unterring</strong><br />

von R,<br />

• ϕ(R) ist ein Untermodul von S.<br />

Seien (R, +, ·), (S, +, ·) <strong>Ring</strong>e.<br />

Eine Abbildung ϕ : R → S heißt ein<br />

<strong>Ring</strong>homomorphismus<br />

wenn für alle x, y ∈ R gilt:<br />

• ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y)<br />

• ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y)<br />

R opp ist ein <strong>Ring</strong> über der gleichen Menge wie<br />

R, mit der Verknüpfung<br />

a ◦ b := ba<br />

Sei ϕ ein <strong>Ring</strong>homomorphismus.<br />

ϕ ist injektiv ⇔ ker(ϕ) = {0}<br />

Der kanonischer Epimorphismus ist die Abb.<br />

π : R → R/I<br />

x ↦→ x + I<br />

Sei I ein Ideal in (R, +, ·). (R, +) ist kommutativ,<br />

I ist Normalteiler in (R, +), es existiert<br />

Faktorgruppe R/I.<br />

Definieren Produkt: (x + I)(y + I) := xy + I<br />

Wohldefiniertheit folgt aus Idealeigenschaft.<br />

(R/I, +, ·) ist ein <strong>Ring</strong>, der Faktorring.


http://matheplanet.com, Stefan K 3<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

11<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

12<br />

Homomorphiesatz für <strong>Ring</strong>e<br />

Isomorphiesatz für <strong>Ring</strong>e<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

13<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

14<br />

Isomorphiesatz für <strong>Ring</strong>e, Kürzen<br />

Einheitengruppe<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

15<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

16<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Schiefkörper<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

einfacher <strong>Ring</strong><br />

Algebra<br />

Algebra<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

17<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

18<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

lokaler <strong>Ring</strong><br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Integritätsring<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

19<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

20<br />

Z (p)<br />

Charakterisierung<br />

<strong>Ring</strong> ist lokal . . .<br />

Algebra<br />

Algebra


4 http://algebra1.de<br />

Isomorphiesatz:<br />

Für <strong>Unterring</strong> U und Ideal I eines <strong>Ring</strong>es R gilt<br />

U ∩ I ist Ideal von U,<br />

(U + I)/I ∼ = U/(U ∩ I)<br />

Sei ϕ : R → S ein <strong>Ring</strong>homomorphismus. Dann gilt:<br />

R/ker(ϕ) ∼ = ϕ(R)<br />

Haben Gruppenisomorphismus<br />

¡<br />

Φ x + ker(ϕ) := ϕ(x),<br />

Φ ist sogar <strong>Ring</strong>homomorphismus.<br />

a ∈ R heißt Einheit in R, wenn es x, y ∈ R gibt mit<br />

xa = 1 und ay = 1, also wenn es invertierbar ist.<br />

R ∗ = {a ∈ R | ∃ x, y ∈ R : xa = 1 ∧ ay = 1}<br />

ist die Einheitengruppe von R.<br />

Isomorphiesatz/Kürzen:<br />

Für Ideale I ⊂ J eines <strong>Ring</strong>es R gilt<br />

(R/I)/(J/I) ∼ = R/J<br />

R heißt einfach, wenn R ≠ {0} und die einzigen<br />

zweiseitigen Ideale nur {0} und R sind.<br />

R heißt Schiefkörper, wenn<br />

R ∗ = R \ {0}<br />

R heißt Integritätsring, wenn R<br />

– kommutativ ist<br />

– ein Einselement besitzt<br />

– nullteilerfrei ist:<br />

R sei kommutativ mit Eins. R heißt lokal, wenn<br />

es genau ein einziges maximales Ideal in R gibt.<br />

ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0<br />

Sei R ein <strong>Ring</strong> kommutativ mit Eins.<br />

Dann ist R lokal<br />

⇔<br />

R \ R ∗ ist ein Ideal<br />

Lokalisierung am Primideal (p):<br />

Z (p) =<br />

a<br />

b | a, b ∈ Z, p ∤ b <br />

Z (p) ist lokaler <strong>Ring</strong>, Z (p) ist Hauptidealring.<br />

(kommutativ mit 1)<br />

Einziges maximales Ideal: (p)


http://matheplanet.com, Stefan K 5<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

21<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

22<br />

Beispiel für einen faktoriellen <strong>Ring</strong>,<br />

der kein Hauptidealring ist<br />

Beispiel für einen Integritätsring,<br />

der nicht faktoriell ist<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

23<br />

Algebra<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

24<br />

Algebra<br />

Kürzungsregel<br />

<strong>Definition</strong>: Hauptidealring<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

25<br />

Algebra<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

26<br />

Algebra<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

faktorieller <strong>Ring</strong><br />

Charakterisierung<br />

faktorieller <strong>Ring</strong><br />

<strong>Ring</strong>e<br />

27<br />

Algebra<br />

<strong>Ring</strong>e<br />

28<br />

Algebra<br />

<strong>Definition</strong><br />

euklidischer <strong>Ring</strong><br />

Implikationskette <strong>Ring</strong>e<br />

Ideale<br />

1<br />

Algebra<br />

Ideale<br />

2<br />

Algebra<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Linksideal<br />

Ideale unter<br />

Homomorphismen<br />

Algebra<br />

Algebra


6 http://algebra1.de<br />

Z[ √ −5] ⊂ C<br />

Einheiten: ±1 = N(z) = a 2 + 5b 2 ⇒ z = ±1<br />

a 2 + 5b 2 ≠ 3 ⇒ z mit N(z) = 9 ist unzerlegbar<br />

N(3) = N(2 ± √ −5) = 3, 3 und 2 ± √ −5 sind<br />

unzerlegbar,<br />

9 = 3·3 = (2+ √ −5)(2− √ −5) sind zwei verschiedene<br />

Zerlegungen als Produkt unzerlegbarer Elemente<br />

Z ist faktoriell ⇒ Z[X] ist faktoriell<br />

aber:<br />

Z ist kein Körper ⇒ Z[X] ist kein Hauptidealring<br />

In Integritätsringen R gibt es keine Nullteiler,<br />

daher ist dort für Nichtnullteiler x:<br />

R heißt Hauptidealring, wenn<br />

• R ist Integritätsring<br />

• jedes Ideal in R ist Hauptideal<br />

ax = bx ⇒ ax − bx = 0 ⇒ (a − b)x = 0<br />

denn x ist kein Nullteiler.<br />

⇒ a − b = 0 ⇒ a = b,<br />

Sei R ein Integritätsring.<br />

R ist faktoriell<br />

⇔<br />

Jedes unzerlegbare Element ist prim und jedes<br />

a ∉ R ∗ ∪ {0} ist Produkt von unzerlegbaren<br />

Elementen<br />

⇔<br />

Jedes a ∉ R ∗ ∪ {0} ist endliches Produkt von<br />

Primelementen<br />

Ein <strong>Ring</strong> R heißt faktorieller <strong>Ring</strong>, wenn gilt:<br />

• R ist Integritätsring<br />

• jedes a ∉ R ∗ ∪ {0} läßt sich eindeutig als<br />

endliches Produkt von unzerlegbaren<br />

Elementen darstellen.<br />

R euklidisch ⇒ R ist Hauptidealring ⇒<br />

R ist faktoriell ⇒ R ist Integritätsbereich<br />

Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht!<br />

Ein Integritätsring R heißt euklidisch, wenn es<br />

eine Abbildung<br />

gibt mit der Eigenschaft:<br />

δ : R \ {0} → N ∪ {0}<br />

zu a, b ∈ R existieren q, r ∈ R mit<br />

a = qb + r und r = 0 oder δ(r) < δ(b)<br />

Seien ϕ : R → S ein <strong>Ring</strong>homomorphismus, I ein<br />

Ideal in R, J ein Ideal in S. Dann gilt:<br />

• ϕ −1 (J) ist ein Ideal in R<br />

• ist ϕ surjektiv, so ist ϕ(I) ein Ideal in S<br />

Eine Teilmenge I eines <strong>Ring</strong>es R heißt<br />

Linksideal, wenn<br />

• 0 ∈ I (äq. I ≠ ∅)<br />

• a − b ∈ I für alle a, b ∈ I<br />

• ra ∈ I für alle r ∈ R, a ∈ I<br />

erstere beide bedeuten: Untergruppe von (R, +)


http://matheplanet.com, Stefan K 7<br />

Ideale<br />

3<br />

Ideale<br />

4<br />

Durchschnitt von Idealen<br />

erzeugtes Ideal (A)<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Ideale<br />

5<br />

Ideale<br />

6<br />

(A) =?<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Hauptideal<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Ideale<br />

7<br />

Ideale<br />

8<br />

Produkt von Idealen<br />

Summe von Idealen<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Ideale<br />

9<br />

Ideale<br />

10<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Maximales Ideal<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Primideal<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Ideale<br />

11<br />

Ideale<br />

12<br />

Existenz<br />

maximaler Ideale<br />

R/I Körper ⇔ . . .<br />

Algebra<br />

Algebra


http://matheplanet.com, Stefan K 9<br />

Ideale<br />

13<br />

Ideale<br />

14<br />

R/I Integritätsring ⇔ . . .<br />

Wann sind maximale Ideale<br />

prim?<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Ideale<br />

15<br />

Ideale<br />

16<br />

Ideale in Z<br />

prime/maximale Ideale im<br />

Hauptidealring<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Ideale<br />

17<br />

Ideale<br />

18<br />

Satz: Ideale im<br />

Polynomring über Körper<br />

Lemma:<br />

Primideale in R[X]<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Teilbarkeit in IR<br />

1<br />

Teilbarkeit in IR<br />

2<br />

<strong>Definition</strong><br />

Teilbarkeit<br />

Eigenschaften<br />

Teilbarkeit<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Teilbarkeit in IR<br />

3<br />

Teilbarkeit in IR<br />

4<br />

<strong>Definition</strong>: assoziiert<br />

<strong>Definition</strong>: prim<br />

Algebra<br />

Algebra


10 http://algebra1.de<br />

Sei R ein <strong>Ring</strong> kommutativ mit Eins, I ein Ideal.<br />

Sei R ein <strong>Ring</strong> kommutativ mit Eins.<br />

Dann sind maximale Ideale prim in R.<br />

Ideal I ist Primideal<br />

⇔<br />

R \ I ist multiplikativ abgeschlossen<br />

⇔<br />

R/I ist ein Integritätsring<br />

Im Hauptidealring, sind Primelemente genau die<br />

unzerlegbaren Eemente, d.h.<br />

• p prim ⇔ p unzerlegbar<br />

• Ist a ≠ 0, dann ist (a) Primideal ⇔ (a) ist<br />

maximales Ideal<br />

• Ideale in Z sind genau die mZ<br />

• maximale Ideale in Z sind genau die pZ, p Primzahl<br />

• Primideale in Z sind genau die pZ, p Primzahl oder<br />

p = 0 (0) ist Primideal<br />

R sei <strong>kommutativer</strong> <strong>Ring</strong> mit Eins.<br />

Ist P Primideal von R<br />

⇒<br />

Der Polynomring über einem Körper ist ein<br />

Hauptidealring.<br />

Folgt, weil er euklidischer <strong>Ring</strong> ist.<br />

P [X] = { P a iX i | a i ∈ P } ist Primideal in R[X]<br />

Beweis: über universelle Eigenschaft.<br />

• 1 | a, a | a<br />

• a | 1 ⇔ a ∈ R ∗<br />

• a | b ⇒ ar | br ∀r ∈ R<br />

P n<br />

• a | b i, i = 1, . . . , n ⇒ a |<br />

i=1<br />

ribi ∀r1, . . . rm ∈ R<br />

• a | b ∧ b | c ⇒ a | c<br />

• a | b ⇔ (a) ⊃ (b)<br />

• (a) = (b) ⇔ ∃ u ∈ R ∗ : a = bu<br />

a | b in R, wenn es ein c ∈ R gibt mit b = ac<br />

Sei p ∉ R ∗ ∪ {0}. p heißt prim, wenn<br />

p | ab ⇒ p | a oder p | b<br />

a, b ∈ R heißen assoziiert, wenn es eine Einheit<br />

u ∈ R ∗ gibt mit a = bu.<br />

Schreibweise: a ∼ b<br />

ist Äquivalenzrelation


http://matheplanet.com, Stefan K 11<br />

Teilbarkeit in IR<br />

5<br />

Teilbarkeit in IR<br />

6<br />

<strong>Definition</strong>: unzerlegbar<br />

Charakterisierung<br />

prim, unzerlegbar<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Teilbarkeit in IR<br />

7<br />

Teilbarkeit in IR<br />

8<br />

gemeinsamer Teiler,<br />

ggT<br />

ggT im Hauptidealring<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Teilbarkeit in IR<br />

9<br />

Teilbarkeit in IR<br />

10<br />

Darstellung ggT im<br />

Hauptidealring<br />

Korollar im HIR,<br />

wenn ggT(a, b) = 1<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Teilbarkeit in IR<br />

11<br />

Mengen<br />

1<br />

Primfaktorzerlegung in<br />

Hauptidealringen<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Halbordnung<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Mengen<br />

2<br />

Mengen<br />

3<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

vollständig geordnet<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

obere Schranke<br />

Algebra<br />

Algebra


12 http://algebra1.de<br />

Sei p ∉ R ∗ ∪ {0}.<br />

• p prim ⇔ (p) Primideal<br />

• p unzerlegbar ⇔ (p) maximal unter allen<br />

Hauptidealen<br />

• p prim ⇒ p unzerlegbar<br />

Sei p ∉ R ∗ ∪ {0}. p heißt unzerlegbar, wenn<br />

p = ab ⇒ a ∈ R ∗ oder b ∈ R ∗<br />

Maximalideale sind prim.<br />

Sei R ein Hauptidealring.<br />

d ist ggT von a 1, . . . , a n<br />

⇔<br />

(d) = (a 1, . . . , a n)<br />

Sei R ein Integritätsring.<br />

d ∈ R heißt gemeinsamer Teiler von r 1, . . . , r n ∈<br />

R, wenn d | r 1, . . . , d | r n<br />

d ∈ R heißt größter gemeinsamer Teiler<br />

von r 1, . . . , r n ∈ R, wenn d ein gemeinsamer<br />

Teiler ist und jeder gemeinsame Teiler d ′ d teilt.<br />

ggT existieren nicht immer, d ′ ∼ d<br />

Sei R ein Hauptidealring.<br />

Sei R ein Hauptidealring, ggT(a, b) = 1.<br />

• a | bc ⇒ a | c<br />

• a | c ∧ b | c ⇒ ab | c<br />

Satz von Bezout:<br />

Zu a 1, . . . , a n ∈ R existiert ein ggT und er läßt<br />

sich darstellen als<br />

d = r 1a 1 + . . . + r na n<br />

mit r 1, . . . , r n ∈ R.<br />

Eine Relation ”<br />

≤“ auf X ≠ ∅ heißt Halbordnung,<br />

wenn gilt<br />

• x ≤ x ∀ x ∈ X<br />

• x ≤ y ∧ y ≤ x<br />

• x ≤ y ∧ y ≤ z<br />

⇒ x = y ∀ x, y ∈ X<br />

⇒ x ≤ z ∀ x, y, z ∈ X<br />

(ohne daß je zwei Elemente x, y vergleichbar sein<br />

müssen)<br />

Sei R ein Hauptidealring, a ∉ R ∗ ∪ {0}.<br />

Dann gibt es Primelemente p 1, . . . , p r mit<br />

a = p 1 · · · p r.<br />

Wenn a = q 1 · · · q t eine weitere Darstellung als<br />

Produkt von Primelementen ist, dann gilt r = t<br />

und es gibt eine Permutation σ der Indizes,<br />

so daß q i ∼ p σ(i) ∀ i.<br />

Sei B eine nichtleere Teilmenge einer halbgeordneten<br />

Menge X. q ∈ X heißt obere Schranke für B,<br />

wenn<br />

b ≤ q ∀ b ∈ B<br />

Eine nichtleere Teilmenge A einer halbgeordneten<br />

Menge heißt vollständig geordnet, wenn je<br />

zwei Elemente aus A vergleichbar sind.<br />

(q muß mit allen Elementen aus B vergleichbar sein.)


http://matheplanet.com, Stefan K 13<br />

Mengen<br />

4<br />

Mengen<br />

5<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

maximales Element<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

induktiv geordnet<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Mengen<br />

6<br />

Mengen<br />

7<br />

Beispiele induktiver Ordnung<br />

Lemma von Zorn,<br />

starke Version<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Mengen<br />

8<br />

Mengen<br />

9<br />

Lemma von Zorn,<br />

schwache Version<br />

Auswahlaxiom<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Quadratische Zahlkörper<br />

1<br />

Quadratische Zahlkörper<br />

2<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Quadratischer Zahlkörper<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Norm-Abbildung<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Quadratische Zahlkörper<br />

3<br />

Quadratische Zahlkörper<br />

4<br />

Eigenschaften<br />

der Norm-Abbildung N<br />

<strong>Definition</strong>: Z[ √ n]<br />

Algebra<br />

Algebra


14 http://algebra1.de<br />

Eine Menge X mit Halbordnung ”<br />

≤“ heißt<br />

induktiv geordnet, wenn jede vollständig<br />

geordnete Teilmenge eine<br />

obere Schranke in X besitzt.<br />

Sei B eine nichtleere Teilmenge einer halbgeordneten<br />

Menge X. m ∈ B heißt maximales Element von<br />

B, wenn es keine größeren Elemente in B gibt:<br />

b ∈ B ∧ m ≤ q ⇒ m = b<br />

(m braucht nicht mit allen Elementen aus B<br />

vergleichbar sein.)<br />

Sei X eine nichtleere induktiv geordnete Menge.<br />

Dann gibt es zu jedem Element a ∈ X ein maximales<br />

Element m ∈ X mit a ≤ m.<br />

Folgt aus schwacher Version mit<br />

X a := {x ∈ X | a ≤ x}<br />

• R mit ≤ oder ≥<br />

• Potenzmenge P(M) einer Menge M mit Inklusion<br />

⊂ oder ⊃<br />

Bei M vollständig geordnet sind S bzw. T<br />

obere Schranken<br />

• C mit lexikographischer Ordnung<br />

a + bi ≤ c + di ⇔ a < c oder a = c, b ≤ d<br />

• C mit Ordnung auf Geraden durch Nullpunkt<br />

Auswahlaxiom:<br />

Ist A eine Menge von nichtleeren Mengen, dann<br />

gibt es eine Funktion F mit <strong>Definition</strong>sbereich A,<br />

genannt Auswahlfunktion, so daß gilt:<br />

∀ X ∈ A : F (X) ∈ X<br />

Jede nichtleere induktiv geordnete Menge besitzt<br />

ein maximales Element.<br />

F wählt also aus jeder Menge X in A genau ein<br />

Element aus.<br />

<strong>Definition</strong> Normabbildung<br />

Sei n ∈ Z, n quadratfrei, n ≠ 0, 1. Betrachte<br />

N : Q( √ n) → Q<br />

x + y √ Q( √ n) := {x + y √ n | x, y ∈ Q}<br />

n ↦→ x 2 − ny 2 Q( √ n) ist ein Körper.<br />

(Inverses: Nenner rational machen)<br />

Z[ √ n] = {a + b √ n | a, b ∈ Z}<br />

ist Integritätsring mit Eins<br />

• N(x + y √ n) = 0 ⇔ x = y = 0<br />

• N(z 1z 2) = N(z 1)N(z 2) ∀ z 1, z 2 ∈ Q[ √ n]<br />

⇒ N ist injektiver Hom., da ker(N) = {0}<br />

• N(z) = zz<br />

• z −1 =<br />

Q[ √ n] ↩→ End Q Q[ √ n]<br />

z<br />

N(z)


http://matheplanet.com, Stefan K 15<br />

Quadratische Zahlkörper<br />

5<br />

Quadratische Zahlkörper<br />

6<br />

Einheiten in Z[ √ n]<br />

Wann ist Z[ √ n] euklidisch?<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Quadratische Zahlkörper<br />

7<br />

Quadratische Zahlkörper<br />

8<br />

Ist Z[i] euklidisch?<br />

Primelemente in Z[i]<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Quadratische Zahlkörper<br />

9<br />

Lokalisierung<br />

1<br />

Satz von Fermat<br />

Voraussetzungen<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Lokalisierung<br />

2<br />

Lokalisierung<br />

3<br />

Relation<br />

Addition<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Lokalisierung<br />

4<br />

Lokalisierung<br />

5<br />

Multiplikation<br />

α : R → RH −1<br />

(I)<br />

Algebra<br />

Algebra


16 http://algebra1.de<br />

Z[ √ n] ist euklidisch für<br />

n = −2, −1, 2, 3<br />

Setze dafür δ(z) := |N(z)| = |zz|<br />

Einheiten in Z[ √ n]:<br />

z ∈ Z[ √ n] ∗ ⇔ N(z) = ±1<br />

Es gibt 2 Arten von Primelementen in Z[i]:<br />

• ±p, ±ip p ∈ Z Primzahl, nicht Summe<br />

zweier Quadrate<br />

Der <strong>Ring</strong> der ganzen Gaußschen Zahlen Z[i] ist<br />

euklidisch.<br />

• a + bi, a, b ≠ 0, a 2 + b 2 ist prim in Z<br />

Voraussetzungen für Lokalisierung:<br />

• R ein <strong>kommutativer</strong> <strong>Ring</strong><br />

• H ⊂ R multiplikativ abgeschlossene Teilmenge,<br />

• H enthält keine Nullteiler von R<br />

Betrachte R × H = ¨(r, ©<br />

h) | r ∈ R, h ∈ H<br />

Satz von Fermat:<br />

Sei p ∈ Z Primzahl, p ≡ 1(4). Dann gibt es<br />

a, b ∈ Z mit p 2 = a 2 + b 2 .<br />

<strong>Definition</strong> der Addition:<br />

r 1 /h 1 + r 2 /h 2 = (r 1h 2 + r 2h 1) /(h 1h 2)<br />

<strong>Definition</strong> der Relation:<br />

(r 1, h 1) ∼ (r 2, h 2) ⇔ r 1h 2 = r 2h 1<br />

ist wohldefiniert, d.h. repräsentantenunabhängig<br />

(R × H/ ∼, +) ist abelsche Gruppe, neutrales Element<br />

0 /h<br />

inverses Element zu r /h ist (−r) /h<br />

ist Äquivalenzrelation (benutze Nullteilerfreiheit)<br />

Schreibweise: r /h für die Äquivalenzklasse, die (r, h)<br />

enthält<br />

Sei R kommutativ, H ⊂ R multiplikativ<br />

abgeschlossen ohne Nullteiler<br />

Die Abbildung<br />

α : R → RH −1<br />

x ↦→ xu /u<br />

ist von u unabhängig und ist ein injektiver<br />

<strong>Ring</strong>homomorphismus.<br />

(Kern ist {0} wegen Nullteilerfreiheit)<br />

<strong>Definition</strong> der Multiplikation:<br />

r 1 /h 1 · r 2 /h 2 = (r 1r 2) /(h 1h 2)<br />

ist wohldefiniert, d.h. repräsentantenunabhängig<br />

(R × H/ ∼, +, ·) ist abelsche Gruppe, neutrales<br />

Element h /h<br />

Distributiv, also ist R × H/ ∼ ein <strong>kommutativer</strong><br />

<strong>Ring</strong> mit Eins,<br />

Schreibweise: RH −1


http://matheplanet.com, Stefan K 17<br />

Lokalisierung<br />

6<br />

Lokalisierung<br />

7<br />

α : R → RH −1<br />

(II)<br />

α : R → RH −1<br />

(III)<br />

universelle Eigenschaft<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Lokalisierung<br />

8<br />

Lokalisierung<br />

9<br />

Sinn der Lokalisierung<br />

Nullteiler zugelassen<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Polynomringe<br />

1<br />

Polynomringe<br />

2<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

<strong>Ring</strong> der formalen Potenzreihen<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

<strong>Ring</strong> der Polynome<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Polynomringe<br />

3<br />

Polynomringe<br />

4<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Grad eines Polynoms<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Leitkoeffizient<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Polynomringe<br />

5<br />

Polynomringe<br />

6<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

normiertes Polynom<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

irreduzibles Polynom<br />

Algebra<br />

Algebra


http://matheplanet.com, Stefan K 19<br />

Polynomringe<br />

7<br />

Polynomringe<br />

8<br />

Gradsatz<br />

Satz<br />

Polynomring, Integritätsring<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Polynomringe<br />

9<br />

Polynomringe<br />

10<br />

Satz:<br />

Polynomring über Körper<br />

Satz: Ideale im<br />

Polynomring über Körper<br />

Polynomringe<br />

11<br />

Algebra<br />

Polynomringe<br />

12<br />

Algebra<br />

Wenn R Körper ist, was ist R[X]?<br />

Satz:<br />

Faktorzerlegung in K[X]<br />

Polynomringe<br />

13<br />

Algebra<br />

Polynomringe<br />

14<br />

Algebra<br />

Satz:<br />

Faktorring eines Polynomrings<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Einsetzhomomorphismus<br />

Polynomringe<br />

15<br />

Algebra<br />

Polynomringe<br />

16<br />

Algebra<br />

Anzahl der Nullstellen<br />

eines Polynoms<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Inhalt eines Polynoms<br />

Algebra<br />

Algebra


20 http://algebra1.de<br />

• R ist Integritätsring ⇔ R[X] ist Integritätsring<br />

Beweis: Leitkoeffizienten multiplizieren sich.<br />

• Wenn R Integritätsring ist, dann ist R[X] ∗ = R ∗<br />

Beweis: Gradsatz, Gradvergleich mit 1<br />

Seien f, g ∈ R[X] \ {0}.<br />

• fg = 0 oder deg(fg) ≤ deg(f) + deg(g)<br />

• Wenn R ein Integritätsring ist, dann ist<br />

deg(fg) = deg(f) + deg(g).<br />

Beweis: Leitkoeffizienten ansehen.<br />

Der Polynomring über einem Körper ist ein<br />

Hauptidealring.<br />

Der Polynomring über einem Körper ist ein<br />

euklidischer <strong>Ring</strong>.<br />

Folgt, weil er euklidischer <strong>Ring</strong> ist.<br />

Im kommutativen <strong>Ring</strong> mit Eins funktioniert<br />

Division mit Rest, mittels Gradfunktion.<br />

Ist K ein Körper, dann ist K[X] faktoriell.<br />

Jedes f ≠ 0 läßt sich bis auf Reihenfolge<br />

eindeutig als<br />

f = cp 1p 2 · · · p k<br />

schreiben, p i normiert, p i irreduzibel, c ∈ K.<br />

R ist Körper<br />

⇔<br />

R[X] ist euklidischer <strong>Ring</strong><br />

⇔<br />

R[X] ist Hauptidealring<br />

Sei R ⊂ S <strong>kommutativer</strong> <strong>Unterring</strong> von S mit Eins,<br />

1 R = 1 S.<br />

Φ α : R[X]<br />

f<br />

P aiX i<br />

→ S<br />

↦→ f(α)<br />

↦→ P a iα i<br />

ist der Einsetzhomomorphismus.<br />

Ist K ein Körper, und f ∈ K[X] irreduzibel,<br />

dann ist<br />

K[X]/(f)<br />

ein Körper.<br />

Beweis: unzerlegbar ⇒ (f) ist maximal ⇒<br />

K[X]/(f) ist Körper.<br />

Sei R ein faktorieller <strong>Ring</strong>, und f = P n<br />

i=0 aiXi ≠ 0.<br />

I(f) = ggT(a 0, . . . , a n) heißt der Inhalt von f.<br />

I(f) ist formal eine Menge, die man häufig mit einem<br />

Repräsentanten identifiziert.<br />

Sei R ein Integritätsring, und f ∈ R[X] ein<br />

Polynom vom Grad n.<br />

Dann hat f höchstens n verschiedene Nullstellen.<br />

Für jede Nullstelle α ∈ R ist X − α ein Teiler von<br />

f in R[X].


http://matheplanet.com, Stefan K 21<br />

Polynomringe<br />

17<br />

Polynomringe<br />

18<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

primitives Polynom<br />

Satz von Gauß<br />

(Inhalte)<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Polynomringe<br />

19<br />

Polynomringe<br />

20<br />

Satz:<br />

Produkt primitiver Polynome<br />

Universelle Eigenschaft<br />

des Polynomrings<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Polynomringe<br />

21<br />

Polynomringe<br />

22<br />

Lemma:<br />

Primideale in R[X]<br />

Satz von Gauß<br />

(R faktoriell)<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Polynomringe<br />

23<br />

Polynomringe<br />

24<br />

Satz von Gauß:<br />

Zerlegung eines Polynoms<br />

Wenn f in R[X] irreduzibel, . . .<br />

Polynomringe<br />

25<br />

Algebra<br />

Polynomringe<br />

26<br />

Algebra<br />

Wenn f in K[X] irreduzibel, . . .<br />

Satz von Gauß<br />

(R faktoriell, n Unbestimmte)<br />

Algebra<br />

Algebra


22 http://algebra1.de<br />

Sei R ein faktorieller <strong>Ring</strong>, und f, g ∈ R[X] \ {0}.<br />

Sei R ein faktorieller <strong>Ring</strong>, und f = P n<br />

i=0 aiXi ≠ 0.<br />

Dann ist<br />

I(fg) ∼ I(f)I(g)<br />

f heißt primitiv, wenn der Inhalt I(f) eine Einheit<br />

in R ist, also<br />

I(f) ∈ R ∗<br />

Seien R, S kommutative <strong>Ring</strong>e mit Eins. Sei<br />

ϕ : R → S ein Homomorphismus mit ϕ(1 R) = 1 S.<br />

Dann existiert genau ein <strong>Ring</strong>homomorphismus<br />

Φ : R[X] → S[X] mit<br />

Φ<br />

X<br />

aiX i = X ϕ(a i)X i<br />

Sei R ein faktorieller <strong>Ring</strong>.<br />

Das Produkt primitiver Polynome ist wieder<br />

primitiv.<br />

(folgt aus dem Produkt der Inhalte)<br />

R sei <strong>kommutativer</strong> <strong>Ring</strong> mit Eins.<br />

Ist R ein faktorieller <strong>Ring</strong><br />

⇒<br />

R[X] ist ein faktorieller <strong>Ring</strong><br />

Ist P Primideal von R<br />

⇒<br />

P [X] = { P a iX i | a i ∈ P } ist Primideal in R[X]<br />

Beweis: über universelle Eigenschaft.<br />

Sei R faktoriell, K der Quotientenkörper von R,<br />

f ∈ R[X] \ {0}.<br />

wenn f ∈ R[X] irreduzibel ⇒ f in K[X] irreduzibel<br />

Sei f = gh eine Zerlegung mit g, h ∈ K[X]. Dann<br />

existieren α, β ∈ K, c ∈ R mit<br />

(i) αg =: g 1, βh =: h 1,<br />

(ii) f = cg 1h 1,<br />

g 1, h 1 primitiv<br />

g 1, h 1 ∈ R[X],<br />

Ist R ein faktorieller <strong>Ring</strong><br />

⇒<br />

R[X 1, . . . , X n] ist ein faktorieller <strong>Ring</strong><br />

Wenn f ∈ R[X], f ∉ R ∗ ∪ {0} primitiv,<br />

in K[X] irreduzibel<br />

⇒<br />

f in R[X] prim, insbesondere irreduzibel


http://matheplanet.com, Stefan K 23<br />

Polynomringe<br />

27<br />

Polynomringe<br />

28<br />

Irreduzibilitätskriterium<br />

von Eisenstein<br />

Wann ist der<br />

Einsetzhomomorphismus<br />

ein Isomorphismus?<br />

Moduln<br />

1<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

2<br />

Algebra<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Modul<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

unitärer Modul<br />

Moduln<br />

3<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

4<br />

Algebra<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Untermodul<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

zyklischer Untermodul<br />

Moduln<br />

5<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

6<br />

Algebra<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Faktormodul<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Modulhomomorphismus<br />

Moduln<br />

7<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

8<br />

Algebra<br />

Kern/Bild eines<br />

Modulhomomorphismus<br />

Charakterisierung<br />

injektiver Modulhomomorphismus<br />

Algebra<br />

Algebra


24 http://algebra1.de<br />

Sei R ein Integritätsring.<br />

Der Einsetzhomomorphismus<br />

P n<br />

Sei R faktoriell und f =<br />

i=0<br />

∈ R[X] ein<br />

nicht konstantes primitives Polynom.<br />

Φ g : R[X]<br />

f<br />

→ R[X]<br />

↦→ f(g)<br />

Wenn es ein Primelement p ∈ R gibt mit<br />

p ∤ a n, p | a i(i < n), p 2 ∤ a 0,<br />

ist ein Isomorphismus ⇔ g = aX+b mit a ∈ R ∗ , b ∈<br />

R.<br />

dann ist f irreduzibel in R[X] und Q(R)[X].<br />

R sei <strong>Ring</strong>, M sei abelsche Gruppe. M heißt R-Modul,<br />

wenn es eine Abbildung<br />

Ein R-Modul M heißt unitär, wenn R ein Einselement<br />

besitzt und<br />

1 Rm = m ∀ m ∈ M.<br />

gibt mit:<br />

R × M → M<br />

r(m 1 + m 2) = rm 1 + rm 2<br />

(r 1 + r 2)m = r 1m + r 2m<br />

(r 1r 2)m = r 1(r 2m)<br />

∀ r, r 1, r 2 ∈ R, m, m 1, m 2 ∈ M.<br />

Ein R-Untermodul U von RM heißt zyklisch, wenn es ein<br />

Element a ∈ M gibt mit<br />

U = Ra<br />

U ist R-Untermodul von RM, wenn<br />

• U eine Untergruppe von M ist<br />

• ru ∈ U ∀ r ∈ R, u ∈ U.<br />

Seien M, N R-Moduln.<br />

Eine Abbildung ϕ : M → N heißt ein<br />

Modulhomomorphismus<br />

wenn:<br />

• ϕ ist Gruppenhomomorphismus,<br />

• ϕ(rm) = rϕ(m) ∀ r ∈ R, m ∈ M<br />

Sei U R-Untermodul von M. Dann ist M/U ein R-Modul<br />

mittels<br />

r(m + U) := rm + U<br />

M/U heißt Faktormodul.<br />

Sei ϕ ein Modulhomomorphismus.<br />

Sei ϕ ein Modulhomomorphismus.<br />

ϕ ist injektiv ⇔ ker(ϕ) = {0}<br />

• ker(ϕ) = {m ∈ M | ϕ(m) = 0} ist ein Untermodul<br />

von M,<br />

• ϕ(M) ist ein Untermodul von N.


http://matheplanet.com, Stefan K 25<br />

Moduln<br />

9<br />

Moduln<br />

10<br />

Homomorphiesatz für Moduln<br />

Isomorphiesatz für Moduln<br />

Moduln<br />

11<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

12<br />

Algebra<br />

Isomorphiesatz für Moduln<br />

(Kürzen)<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Annulator<br />

Moduln<br />

13<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

14<br />

Algebra<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Torsionselement<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

torsionsfrei<br />

Moduln<br />

15<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

16<br />

Algebra<br />

Satz: Torsionsuntermodul<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Darstellung<br />

Moduln<br />

17<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

18<br />

Algebra<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

unitäre Darstellung<br />

Modul definiert Darstellung<br />

Algebra<br />

Algebra


26 http://algebra1.de<br />

Isomorphiesatz:<br />

Für Untermoduln U, V eines R-Moduls M gilt<br />

(U + V )/V ∼ = U/(U ∩ V )<br />

Homorphiesatz:<br />

Sei ϕ : M → N ein Modulhomomorphismus. Es gilt<br />

ϕ(M) ∼ = M/ker(ϕ)<br />

Beweis: u + v ↦→ u<br />

m ∈ RM<br />

Ann(m) = {r ∈ R | rm = 0}<br />

Der Annulator ist Kern des Homomorphismus<br />

ϕ : RR → RM<br />

r ↦→ rm<br />

und damit ein Untermodul von RR (also Linksideal).<br />

Isomorphiesatz/Kürzen:<br />

Für Untermoduln U, V eines Moduls M mit U ⊂ V ⊂ M<br />

gilt<br />

Beweis: m + U ↦→ m + V<br />

(M/U)/(V/U) ∼ = M/V<br />

M heißt torsionsfrei, wenn es keine<br />

Torsionselemente gibt.<br />

m ∈ M heißt Torsionselement, wenn<br />

Ann R(m) ≠ {0},<br />

d.h. wenn es ein r ≠ 0 gibt mit rm = 0.<br />

Sei M abelsche Gruppe. Jeder Homomorphismus<br />

ϕ : R → End(M)<br />

heißt Darstellung von R.<br />

Sei R ein Integritätsring, M ein R-Modul.<br />

Dann ist Tor(M), die Menge aller Torsionselemente,<br />

ein R-Untermodul von M.<br />

Tor(M) = {m ∈ M | ∃ r ≠ 0 : rm = 0}<br />

M sei (unitärer) R-Modul. Dann definiert die Abbildung<br />

ϕ : R → End(M)<br />

ϕ(r)(m) := rm ∀ r ∈ R, m ∈ M<br />

eine (unitäre) Darstellung.<br />

Ein Homomorphismus<br />

ϕ : R → End(M)<br />

heißt unitäre Darstellung von R, wenn<br />

• R ein Einselement besitzt<br />

• ϕ(1 R) = Id M


http://matheplanet.com, Stefan K 27<br />

Moduln<br />

19<br />

Moduln<br />

20<br />

Darstellung definiert Modul<br />

Direktes Produkt von Moduln<br />

Moduln<br />

21<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

22<br />

Algebra<br />

Direkte Summe von Moduln<br />

Wann Übereinstimmung direkte<br />

Summe und direktes Produkt<br />

Moduln<br />

23<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

24<br />

Algebra<br />

Direktes Produkt als Modul<br />

Direkte Summe als Untermodul<br />

Moduln<br />

25<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

26<br />

Algebra<br />

Universelle Eigenschaft<br />

des direkten Produkts<br />

Universelle Eigenschaft<br />

des Coprodukts<br />

Moduln<br />

27<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

28<br />

Algebra<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

freie Familie (m i )<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

R-Basis<br />

Algebra<br />

Algebra


28 http://algebra1.de<br />

(M i) i∈I sei Familie von R-Moduln.<br />

Das direkte Produkt ist definiert als<br />

Y<br />

i∈I<br />

M i = {f : I → [ i∈I<br />

M i | f(i) ∈ M i ∀ i ∈ I}<br />

alternativ: Menge der I-Tupel f = (f i) i∈I bzw. im<br />

endlichen/abz. Fall f = (f 0, f 1, f 2, . . .)<br />

M sei abelsche Gruppe, ϕ : R → End(M) eine (unitäre)<br />

Darstellung. Dann definiert<br />

R × M → M<br />

(r, m) ↦→ ϕ(r)(m) ∀ r ∈ R, m ∈ M<br />

eine (unitäre) Modulstruktur.<br />

(M i) i∈I sei Familie von R-Moduln.<br />

Ist die Indexmenge I endlich, dann gilt<br />

a<br />

i∈I<br />

M i = M i∈I<br />

M i = Y i∈I<br />

M i<br />

(M i) i∈I sei Familie von R-Moduln.<br />

Die direkte Summe (Coprodukt) ist definiert als<br />

a<br />

i∈I<br />

M i = M i∈I<br />

M i = {f ∈ Y i∈I<br />

M i| f(i) = 0 für fast alle i}<br />

(M i) i∈I sei Familie von R-Moduln.<br />

Die direkte Summe (Coprodukt)<br />

a<br />

M i<br />

M M i =<br />

i∈I i∈I<br />

Q ist R-Untermodul des direkten Produkts<br />

i∈I Mi.<br />

(M i) i∈I sei Familie von R-Moduln.<br />

Das direkte Produkt<br />

Y<br />

M i<br />

i∈I<br />

ist ein R-Modul durch<br />

(punktweise)<br />

(f 1 + f 2)(i) = f 1(i) + f 2(i)<br />

(rf)(i) = rf(i)<br />

∀ r ∈ R<br />

A <br />

∃!ϕ `<br />

Mi ν <br />

j(m) =<br />

ϕ j<br />

ν j<br />

<br />

M j<br />

(<br />

i ↦→ 0<br />

j ↦→ m<br />

i ≠ j<br />

Zu jedem R-Modul A und R-Modulhomomorphismen ϕ j<br />

existiert genau ein R-Modulhomomorphismus ϕ mit<br />

A <br />

ϕ j<br />

∃!ϕ<br />

M j<br />

π j<br />

<br />

Q<br />

Mi<br />

π j(f) = f(j)<br />

Zu jedem R-Modul A und R-Modulhomomorphismen ϕ j<br />

existiert genau ein R-Modulhomomorphismus ϕ mit<br />

π j ◦ ϕ = ϕ j<br />

ϕ ◦ ν j = ϕ j<br />

M sei ein unitärer R-Modul.<br />

Eine Familie (m i) heißt R-Basis, wenn sie frei ist<br />

und jedes m ∈ M sich darstellen läßt als endliche<br />

R-Linearkombination aus (m i) :<br />

m = X endl.r im i r i ∈ R<br />

M sei ein unitärer R-Modul.<br />

Eine endliche Familie (m i) heißt frei, wenn gilt<br />

X<br />

rim i = 0 ⇒ r i = 0 ∀ i<br />

(auch R-linear unabhängig)<br />

Eine beliebige Familie heißt frei, wenn jede endliche<br />

Teilmenge von ihr frei ist.


http://matheplanet.com, Stefan K 29<br />

Moduln<br />

29<br />

Moduln<br />

30<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

freier R-Modul<br />

freier Modul über Integritätsring...<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

31<br />

Moduln<br />

32<br />

torsionsfreie Moduln ...<br />

M ist frei mit Basis S ⇔ . . .<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

33<br />

Moduln<br />

34<br />

Wenn M eine endliche<br />

Basis hat. . . ...<br />

Beispiel für Basen<br />

verschiedener Mächtigkeit<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

35<br />

Moduln<br />

36<br />

wann sind Basen gleichmächtig<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Rang eines Moduls<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Moduln<br />

37<br />

Moduln<br />

38<br />

Zerlegung in direkte Summe<br />

jeder unitäre Modul ist Bild<br />

Algebra<br />

Algebra


30 http://algebra1.de<br />

M sei ein unitärer R-Modul.<br />

Ein freier Modul über einem Integritätsring ist<br />

torsionsfrei.<br />

Wenn M eine R-Basis besitzt, dann heißt M ein<br />

freier R-Modul.<br />

(1) M ist frei mit Basis S<br />

⇔(2) jedes m ∈ M hat eindeutige Darstellung<br />

⇔(3)<br />

M ∼ =<br />

m = X endl.r is i r i ∈ R, s i ∈ S<br />

a<br />

s∈S<br />

Rs<br />

X<br />

rss ↦→ (r s) s∈S<br />

Rs ∼ = R s ↦→ 1 (Rs ∼ = R/Ann(s))<br />

Torsionsfreie Moduln sind nicht notwendig frei:<br />

Beispiel: Q ist torsionsfreier Z-Modul, doch je zwei<br />

Elemente aus Q sind Z-abhängig<br />

cb a b − ad c d = 0<br />

K Körper, V ∞-dimensionaler Vektorraum<br />

es existiert K-Isomorphismus f : V → V ⊕ V<br />

R := End K(V ):<br />

Hat M eine endliche Basis S, dann gibt es<br />

einen Isomorphismus<br />

R ⊕ R ∼ = R<br />

a<br />

M ∼ = Rs ∼ = R ⊕ R ⊕ . . . ⊕ R = R ♯S<br />

s∈S<br />

Basen: id V bzw. id V × {0}, {0} × id V<br />

R sei kommutativ mit Eins, M ein freier unitärer<br />

R-Modul.<br />

R sei kommutativ mit Eins, M ein freier unitärer<br />

R-Modul.<br />

Die Mächtigkeit einer beliebigen R-Basis von<br />

M heißt Rang von M.<br />

Dann haben alle Basen gleiche Länge.<br />

Jeder unitäre R-Modul ist homomorphes Bild eines<br />

freien R-Moduls.<br />

a<br />

F =<br />

m∈M<br />

R m<br />

ist R-Modul mit Basis der Mächtigkeit ♯M.<br />

f : F → M<br />

P (α m) m∈M ↦→ α mm ∈ M<br />

N sei Untermodul des R-Moduls M, R beliebig<br />

mit Eins, und M/N sei ein freier R-Modul.<br />

Dann existiert ein R-Untermodul N ′ von M mit<br />

M = N ⊕ N ′ .<br />

D.h. N + N ′ = M, N ∩ N ′ = {0}.


http://matheplanet.com, Stefan K 31<br />

Moduln<br />

39<br />

Moduln<br />

40<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Rechtsmodul<br />

<strong>Definition</strong>:<br />

Bimodul<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Tensorprodukt<br />

1<br />

Tensorprodukt<br />

2<br />

<strong>Definition</strong><br />

balancierte Abbildung<br />

<strong>Definition</strong> Tensorprodukt<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Tensorprodukt<br />

3<br />

Tensorprodukt<br />

4<br />

Idee des Tensorprodukts<br />

Universelle Eigenschaft<br />

des Tensorprodukts<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Tensorprodukt<br />

5<br />

Tensorprodukt<br />

6<br />

Rechenregeln Tensorprodukt<br />

Tensorprodukt mit 0<br />

Algebra<br />

Algebra<br />

Tensorprodukt<br />

7<br />

Tensorprodukt<br />

8<br />

Tensorprodukt mit<br />

negativem Vorzeichen<br />

Ganzzahlige Vielfache<br />

eines Tensorprodukts<br />

Algebra<br />

Algebra


32 http://algebra1.de<br />

R, S seien <strong>Ring</strong>e, M sei abelsche Gruppe. M heißt<br />

R-S-Bimodul, wenn<br />

• M linker R-Modul<br />

• M rechter S-Modul<br />

• Verträglichkeit:<br />

∀ r ∈ R, s ∈ S, m ∈ M.<br />

(rm)s = r(ms)<br />

R sei <strong>Ring</strong>, M sei abelsche Gruppe. M heißt<br />

R-Rechtsmodul, wenn es eine Abbildung<br />

gibt mit:<br />

M × R → M<br />

(m 1 + m 2)r = m 1r + m 2r<br />

m(r 1 + r 2) = mr 1 + mr 2<br />

m(r 1r 2) = (mr 1)r 2<br />

∀ r, r 1, r 2 ∈ R, m, m 1, m 2 ∈ M.<br />

Es sei R ein <strong>Ring</strong>, M ein R-Rechtsmodul und N ein<br />

R-Linksmodul. Dann ist die abelsche Gruppe M ⊗ R N<br />

definiert P als der Quotient der freien abelschen Gruppe<br />

F = { z m,n(m, n) | z m,n ∈ Z} in den Erzeugern m ⊗ n<br />

(als Symbole) für alle m ∈ M, n ∈ N nach der Untergruppe<br />

H, die von<br />

• (m 1 + m 2) ⊗ n − m 1 ⊗ n − m 2 ⊗ n<br />

• m ⊗ (n 1 + n 2) − m ⊗ n 1 − m ⊗ n 2<br />

• mr ⊗ n − m ⊗ rn<br />

erzeugt wird. T = F/H, t(m, n) = (m, n) + H.<br />

Sei M ∈ Mod R, N ∈ RMod, eine Abbildung<br />

f : M × N → P<br />

heißt balanciert, wenn<br />

• f(m 1 + m 2, n) = f(m 1, n) + f(m 2, n)<br />

• f(m, n 1 + n 2) = f(m, n 1) + f(m, n 2)<br />

• f(mr, n) = f(m, rn)<br />

∀ r ∈ R, m, m 1, m 2 ∈ M, n, n 1, n 2 ∈ N.<br />

M × N<br />

<br />

f<br />

t<br />

∃!f<br />

<br />

∗<br />

P<br />

M ⊗ R N<br />

Für beliebige abelsche Gruppe P und beliebige<br />

R-balancierte Abbildung f existiert genau ein<br />

Homomorphismus f ∗ mit f ∗ ◦ t = f.<br />

D.h. jede R-balancierte Abbildung auf M × N<br />

faktorisiert durch M ⊗ R N.<br />

• Das Tensorprodukt M ⊗ N ist universell für<br />

alle bilinearen Abbildungen auf M × N<br />

• Die Homomorphismen auf M ⊗ N klassifizieren<br />

die bilinearen Abbildungen auf M × N<br />

• bilineare Abbildungen auf M × N werden als<br />

Homomorphismen aufgefaßt<br />

m ⊗ 0 = 0 ⊗ 0 = 0 ⊗ n<br />

∀ m ∈ M, n ∈ N<br />

(m 1 + m 2) ⊗ n = m 1 ⊗ n + m 2 ⊗ n<br />

m ⊗ (n 1 + n 2) = m ⊗ n 1 + m ⊗ n 2<br />

mr ⊗ n = m ⊗ rn ∀ r ∈ R<br />

z(m ⊗ n) =<br />

(<br />

m ⊗ n + . . . + m ⊗ n (z ≥ 0)<br />

−(m ⊗ n + . . . + m ⊗ n) (z < 0)<br />

(−m) ⊗ n = −(m ⊗ n)<br />

∀ m ∈ M, n ∈ N<br />

z(m ⊗ n) = (zm) ⊗ n = m ⊗ (zn)<br />

∀ m ∈ M, n ∈ N, z ∈ Z


http://matheplanet.com, Stefan K 33<br />

Tensorprodukt<br />

9<br />

Tensorprodukt<br />

10<br />

Satz: Eindeutige Bestimmtheit<br />

des Tensorprodukts<br />

Wann ist M ⊗ R N ein linker Modul?<br />

Tensorprodukt<br />

11<br />

Algebra<br />

Tensorprodukt<br />

12<br />

Algebra<br />

Satz: R opp -Modul<br />

” Kommutativität“<br />

des Tensorprodukts<br />

Tensorprodukt<br />

13<br />

Algebra<br />

Tensorprodukt<br />

14<br />

Algebra<br />

” Assoziativität“<br />

des Tensorprodukts<br />

neutrales Element“<br />

”<br />

des Tensorprodukts<br />

Tensorprodukt<br />

15<br />

Algebra<br />

Tensorprodukt<br />

16<br />

Algebra<br />

” Distributivität“<br />

des Tensorprodukts<br />

Tensorprodukts mit<br />

freiem Modul<br />

Tensorprodukt<br />

17<br />

Algebra<br />

Tensorprodukt<br />

18<br />

Algebra<br />

Tensorprodukt mit<br />

Untermodul<br />

Beispiel:<br />

Z/2Z ⊗ Z Z/3Z<br />

Algebra<br />

Algebra


34 http://algebra1.de<br />

M ∈ SMod R, N ∈ RMod<br />

⇒<br />

M ⊗ R N ∈ SMod mit s(m ⊗ n) = (sm) ⊗ n<br />

Steht links ein Bimodul, dann ist das Tensorprodukt<br />

Linksmodul.<br />

Steht rechts ein Bimodul, dann ist das Tensorprodukt<br />

Rechtsmodul.<br />

Sind (M ⊗ R N, t) und (M ⊗ ′ R N, t ′ ) zwei<br />

Tensorprodukte, welche die universelle Eigenschaft<br />

erfüllen, dann existiert ein Gruppenisomorphismus<br />

Λ : M ⊗ R N → (M ⊗ ′ R N, t)<br />

Λ ◦ t = t ′<br />

Beweis: beide universelle Eigenschaften,<br />

Übereinstimmung auf Erzeugendensystem {t(m, n)}<br />

Seien M ∈ Mod R, N ∈ RMod, dann sind<br />

M ∈ R oppMod, N ∈ Mod R opp<br />

und es gibt einen Gruppenisomorphismus<br />

Sei M ∈ RMod. Dann ist M ∈ Mod R opp.<br />

Speziell: ist R kommutativ, dann ist<br />

PM ⊗ R N<br />

mi ⊗ n i<br />

→ N P ⊗ R opp M<br />

↦→ n i ⊗ m i<br />

R = R opp , RMod = Mod R<br />

und es ist M ⊗ R N ein R-Modul.<br />

Das Tensorprodukt ist bis auf Isomorphie kommutativ.<br />

Seien R ein <strong>Ring</strong> mit Eins und M ein unitärer<br />

R-Linksmodul. Dann ist<br />

mittels<br />

Analog<br />

R ⊗ R M ∼ = M<br />

r ⊗ n ↦→ rm<br />

M ⊗ R R ∼ = M<br />

Beim R-Tensorprodukt verhält sich R neutral.<br />

Seien L ∈ Mod R, M ∈ RMod S, N ∈ SMod. Dann ist<br />

L ⊗ R M ∈ Mod S, M ⊗ S N ∈ RMod<br />

und es gibt einen Gruppenisomorphismus<br />

(L ⊗ R M) ⊗ S N −→ ∼ L ⊗ R (M ⊗ S N)<br />

Das Tensorprodukt ist bis auf Isomorphie assoziativ.<br />

Sei N ∈ Mod R, frei mit Basis (u i) i∈I. Dann gilt<br />

M ⊗ R N ∼ = L i∈IM ⊗ R Ru i<br />

∼= L i∈IM<br />

Seien M ∈ Mod R, N i ∈ RMod, i ∈ I. Dann gilt<br />

M <br />

M ⊗ R N i ∼=<br />

M<br />

i∈I<br />

i∈I<br />

M ⊗ R N i<br />

Das R-Tensorprodukt ⊗ ist bezüglich der<br />

direkten Summe ⊕ distributiv.<br />

Analog die symmetrische Aussage.<br />

R = Z, M = Z/2Z, N = Z/3Z unitäre Z-Moduln.<br />

x ∈ M : 2x = 0<br />

y ∈ N : 3y = 0<br />

x ⊗ y = 3(x ⊗ y) − 2(x ⊗ y)<br />

= x ⊗ (3y) − (2x) ⊗ y<br />

= 0<br />

⇒ M ⊗ R N = {0}<br />

Sei M ∈ Mod R, M ′ ein R-Untermodul von M,<br />

N ∈ RMod und N sei frei. Dann ist die<br />

Abbildung<br />

injektiv.<br />

M ′ ⊗ R N<br />

m ⊗ n<br />

↩→ M ⊗ R N<br />

↦→ m ⊗ n


http://matheplanet.com, Stefan K 35<br />

Tensorprodukt<br />

19<br />

Tensorprodukt<br />

20<br />

Charakterisierung f ⊗ g<br />

(f ⊗ g) −1 Algebra<br />

Algebra<br />

Tensorprodukt<br />

21<br />

Tensorprodukt<br />

22<br />

Tensorprodukt mit<br />

isomorphem Modul<br />

Tensorprodukt auf<br />

exakte Sequenz<br />

Algebra<br />

Algebra


36 http://algebra1.de<br />

Sind f, g R-Modulisomorphismen, dann ist f ⊗ g<br />

ein Gruppenisomorphismus mit Inversem<br />

f −1 ⊗ g −1<br />

Seien M, M ′ ∈ Mod R, N, N ′ ∈ RMod, und f : M →<br />

M ′ , g : N → N ′ seien R-Modulhomomorphismen.<br />

Dann gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus<br />

mit<br />

f ⊗ g : M ⊗ R N → M ′ ⊗ R N ′<br />

X X<br />

f ⊗ g mi ⊗ n i = f(m i) ⊗ g(n i).<br />

Ist<br />

A<br />

−−→ f<br />

B −−→ g<br />

C −→ 0<br />

eine exakte Sequenz von R-Linksmoduln und ist<br />

D ein R-Rechtsmodul, dann ist<br />

D ⊗ R A id D⊗f<br />

−−−−→ D ⊗ R B id D⊗g<br />

−−−−→ D ⊗ R C −→ 0<br />

Ist f : M → M ′ ein R-Modulisomorphismus mit<br />

Inversem f −1 : M ′ → M, dann ist<br />

M ⊗ N ∼ = M ′ ⊗ N.<br />

eine exakte Sequenz von abelschen Gruppen.<br />

Analog die symmetrische Aussage.

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