Mathematische Texte - am Institut für Mathematik der Universität ...

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Mathematische Texte - am Institut für Mathematik der Universität ...

Kapitel 3: Mathematische Texte

Fundamentum Mathematikum

Dipl.-Math. Matthias Brandl

Institut für Mathematik

Matthias.Brandl@math.uni-augsburg.de

www.math.uni-augsburg.de/prof/dida/team/brandl

Institut für Mathematik der Universität Augsburg,

22.-26. September 2008

1 von 27 Dipl.-Math. Matthias Brandl Fundamentum Mathematikum


Kapitel 3: Mathematische Texte

Inhalt

1 Kapitel 3: Mathematische Texte

Verwendung der Symbolik

Die Bausteine

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

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Kapitel 3

Kapitel 3: Mathematische Texte

Verwendung der Symbolik

Die Bausteine

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Verwendung der Symbolik

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Der Heiratssatz I

Kapitel 3: Mathematische Texte

Verwendung der Symbolik

Die Bausteine

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

sehr formal:

Satz

Sind zwei Mengen A = {A 1 , . . . , A n} und B = {B 1 , . . . , B n} von je n Elementen

gegeben sowie eine Relation R ⊂ A × B, so ist es dann und nur dann möglich, eine

Permutation (j 1 , . . . , j n) der Zahlen 1, 2, . . . , n so anzugeben, dass

(A i , B j ) ∈ R für alle i = 1, 2, . . . , n

gilt, wenn für jede Teilmenge A ′ von A gilt, dass die Menge

B ′ = {B k ∈ B|∃A i ∈ A ′ : (A i , B k ) ∈ R}

gröÿere oder gleiche Mächtigkeit wie A' hat.

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Der Heiratssatz II

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Die Bausteine

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

üblich:

Denition

Sei M = (M 1 , . . . , M n) eine Familie von Mengen. Wir nennen ein n-Tupel

(m 1 , . . . , m n) ein Vertretersystem von M, falls m i ∈ M i ist und die Elemente

m 1 , . . . , m n verschieden sind.

Satz

Eine Familie M endlicher Mengen besitzt genau dann ein Vertretersystem, wenn die

Vereinigung von je k Mengen aus M mindestens k Elemente umfasst.

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Der Heiratssatz III

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Die Bausteine

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

anschaulich:

Wir betrachten eine Menge unverheirateter junger Frauen und Männer. Die Frage ist,

ob jede der jungen Damen sich einen der mit ihr befreundeten Männer zum Mann

wählen kann, so dass alle Frauen einen Mann haben und die Gesetze der Monogamie

(nur ein Mann pro Frau, nur eine Frau pro Mann) strikt eingehalten werden. Der

Heiratssatz gibt die Bedingung an, unter der dies möglich ist:

Heiratssatz

Eine solche Massenhochzeit ist genau dann möglich, wenn es für je k Frauen

mindestens k Männer gibt, von denen jeder mit mindestens einer der k Frauen

befreundet ist.

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Ratschlag

Kapitel 3: Mathematische Texte

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Die Bausteine

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Wenn sich eine anschauliche Version eines Satzes anbietet, sollte man sich diese

merken!

Zusätzlich sollte man aber die Fähigkeit entwickeln, jeden Sachverhalt immer

mindestens eine Stufe abstrakter (formaler, symbolischer) formulieren zu können.

Auf diese Weise kann man sich einerseits die Sätze gut merken und hat

andererseits keine Probleme mit der Abstraktion.

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Hinweis

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Die Bausteine

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Formalisierung der Mathematik vor allem Ende des 19. und in der ersten Hälfte

des 20. Jahrhunderts sehr stark ausgeprägt.

Honung 1: Beseitigung von Paradoxien in der Mengenlehre.

Honung 2: Vereinheitlichung der unterschiedlichen mathematischen Gebiete

durch zunehmende Abstraktion.

Spiegelt sich dementsprechend in den Lehrbüchern dieser Zeit wieder.

Ältere Lehrbücher, darunter auch Originaltexte, sind wesentlich anschaulicher

gehalten; Manko: evtl. noch nicht vereinheitlichte Nomenklatur.

Auch moderne Lehrbücher bemühen sich wieder vermehrt um Anschaulichkeit.

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Kapitel 3

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Die Bausteine

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Die Bausteine

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Axiom I

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Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Mathematische Wahrheiten haben grundsätzlich die Form

Wenn A, dann B.

In Symbolsprache der Logik für zwei Aussagen A und B:

A ⇒ B.

Grund: alle mathematischen Fakten werden aus gewissen anfänglichen Annahmen

hergeleitet, sog. Axiomen (lat. axioma: ein Prinzip)

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Axiom II

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Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Man kann Axiome auch Postulate nennen, weil sie a priori aus der oensichtlichen

Erfahrung heraus deniert werden.

Axiome werden nicht bewiesen. Vielmehr anerkannte Spielregeln, wie etwa auch

die Regeln beim Schach oder Monopoly.

Imperativ der oensichtlichen Erfahrbarkeit hat man allerdings im Laufe der

Geschichte fallengelassen.

Ersatz: abstrakte Forderung, dass ein Axiomensystem vollständig, unabhängig

und widerspruchsfrei sein soll.

Die abgeleiteten Sätze sind nur wahr in Bezug auf die Spielregeln.

Beispiele:

PEANO-Axiome für die natürlichen Zahlen.

Axiomensysteme für die Geometrie.

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Denition I

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Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Eine Denition ist eine Begrisklärung.

Bsp.: Die Elemente von Euklid beginnen nicht mit Vorwort oder Einleitung,

sondern mit einer Liste von 23 Denitionen.

Die erste lautet:

Was keine Teile hat, ist ein Punkt.

Tatsächlich schlechtes Beispiel, denn der Begri Teil wurde vorher nicht erklärt.

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Denition II

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Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Man kann nur aus Grundbegrien (z.B. aus den Axiomen) oder aus bereits

denierten Begrien neue Begrie denieren.

Denition zwar nur eine Abkürzung, denn jeder Begri kann durch seine

Denition ersetzt werden.

Aber Denitionen erleichtern auch sehr stark die Arbeit und die Strukturierung

eines mathematischen Textes, da alle wichtigen Objekte und Eigenschaften mit

einem Namen versehen werden.

Zeichen := oder :⇔. Doppelpunkt immer auf der dem zu denierenden Begri

zugewandten Seite.

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Lemma

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Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Lemma stammt aus dem Griechischen und bedeutet Stichwort oder

Hauptgedanke.

Am häugsten versteht man darunter aber einen Hilfssatz.

Liefert rein technische Vorbereitungen oder Teilergebnisse in Hinblick auf die

Hauptaussage in einem darauf folgenden Satz; in dessen Beweis wird das Resultat

des Hilfssatzes verwendet.

Damit wird der Beweis des Satzes entschlackt und die wichtigen Schritte und

Ideen kommen besser zur Geltung.

Erleichtert das Aufschreiben, das Lesen und das Verständnis des Satzes und

seines Beweises.

Fazit: ein Lemma oder Hilfssatz ist i.d.R. ein vorbereitender, eventuell schwer zu

beweisender Satz.

Der Plural von Lemma ist Lemmata.

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Satz

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Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Die Sätze sind das Kernstück der Mathematik.

In ihnen sammelt sich die Wahrheit. Das Buch der Mathematik setzt sich

sozusagen aus den Sätzen der Mathematik zusammen.

Erkenntnis, die als Aussage mit den sprachlichen Mitteln eines vorgegebenen

Logikkalküls formuliert wird.

Damit der Satz als wahr anerkannt wird, muss er bewiesen werden, d.h., aus den

Axiomen, Denitionen und bereits bekannten Sätzen mittels Schlussregeln des

Kalküls hergeleitet werden.

Gliederung meist in die im Imperativ formulierte Voraussetzung und die als

Aussagesatz formulierte Aussage: Eindruck einer Implikation.

In der Regel folgt direkt im Anschluss der Beweis.

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Satz-Beweis-Struktur

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Satz

Es sei . . . .

Dann . . . .

Beweis.

. . .

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Hauptsatz

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Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Ein Hauptsatz bezeichnet einen besonders wichtigen Satz.

Häug gipfelt in ihm ein ganzes Teilgebiet der Mathematik.

Deswegen gibt es auch relativ wenige Hauptsätze.

Bereits aus der Schule bekannt: Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung.

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Fundamentalsatz

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Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Ein Fundamentalsatz ist fundamental, nicht nur für ein Teilgebiet, sondern für die

ganze Mathematik.

Beispiel: Fundamentalsatz der Algebra (Grob: eine nicht-konstante Funktion

besitzt in der Grundmenge der komplexen Zahlen immer mindestens eine

Nullstelle.)

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Proposition

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Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Proposition ist das lateinische Wort für Satz.

Englisch: proposition heiÿt Aussage, Behauptung, Lehrsatz, Theorem.

Synonym für die Bezeichnung Satz.

Oftmals auch für einen Satz, der kein reiner Hilfssatz, aber auch kein bedeutender

Satz ist.

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Theorem

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Theoreme nehmen für sich nicht den Stellenwert eines Hauptsatzes in Anspruch.

Aber sie werden als wichtige Sätze angesehen.

Das Wort selbst stammt aus dem Griechischen (theorema).

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Korollar

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Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Korollar stammt von dem lateinischen Wort corollarium ab: das Kränzchen, das

der Gastgeber dem Gast 'einfach so' schenkt.

Eine Folgerung, die sich aus einem vorhergehenden Satz ohne groÿen Aufwand

ergibt.

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Bemerkung

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Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Vermeidung längerer Prosapassagen.

Strukturierung von zusätzlicher Informationen zu Sätze wie z.B.

ähnliche Resultate,

Quellenverweise,

Spezialfälle,

...

I.d.R. werden alle Sätze, Denitionen usw. eines mathematischen Textes

durchnummeriert; so kann auch an späterer Stelle gezielt auf eine Bemerkung

verwiesen werden.

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Kapitel 3

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Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen

Sätze

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Die zehn gröÿten mathematischen Sätze

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Die Bausteine

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Juli 1999 auf einer Mathematik-Konferenz: Paul und Jack Abad präsentieren eine

Liste 1 der 100 gröÿten Sätze der Mathematik.

Rangfolge basiert auf

dem Platz, den das Theorem in der mathematischen Literatur hat,

der Qualität des Beweises

und der Unvorhersehbarkeit des Resultats.

Wir begnügen uns hier mit den Top Ten.

1 siehe http://personal.stevens.edu/ nkahl/Top100Theorems.html

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Top Ten der gröÿten ...

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Die Bausteine

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Rang Bezeichnung Beweis von Zeitpunkt

1 Irrationalität von √ 2 Pythagoräer 500 BC

2 Fundamentalsatz der Algebra K. F. Gauss 1799

3 Abzählbarkeit von Q G. Cantor 1867

4 Satz des Pythagoras Pythagoräer 500 BC

5 Primzahlsatz J. Hadamard, 1896

Ch.-J. de la Vallee

Poussin (unabh.)

6 Gödelscher Unvollständigkeitssatz K. Gödel 1931

7 Quadratisches Reziprozitätsgesetz K. F. Gauss 1801

8 Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung P. Wantzel 1837

und Würfelverdopplung mit

Zirkel und Lineal

9 Flächeninhalt eines Kreises Archimedes 225 BC

10 Satz von Euler-Fermat L. Euler 1760

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Die zehn schönsten mathematischen Sätze

Verwendung der Symbolik

Die Bausteine

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Konkurrenz: die Liste der zehn schönsten Sätze der Mathematik.

Umfrage der Zeitschrift The Mathematical Intelligencer 1990.

Hierbei geht es weder um die Qualität der Beweise noch um die Anwendbarkeit

der Sätze, sondern allein um ihre Schönheit

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Top Ten der schönsten ...

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Die Bausteine

Die zehn gröÿten und die zehn schönsten mathematischen Sätze

Rang Bezeichnung Beweis von Zeitpunkt

1 Eulersche Identität e iπ − 1 = 0 L. Euler

2 Eulerscher Polyedersatz L. Euler 1758

3 Unendlichkeit der Primzahlen Euklid 300 BC

4 Anzahl der platonischen Körper Theaetetus 400 BC

1

5

1 2 + 1

2 2 + 1

3 2 + 1

4 2 + · · · = π2 L. Euler 1734

6

6 Brouwerscher Fixpunktsatz L. E. J. Brouwer 1910

7 Irrationalität von √ 2 Pythagoräer 500 BC

8 Transzendenz von π F. Lindemann 1882

9 Vierfarbensatz K. Appel, W. Haken 1976

10 Zwei-Quadrate-Satz L. Euler 1749

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