Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

20 2. DAS JONES-POLYNOM
Man beachte, dass sich die Diagramme für L A und L B eindeutig aus dem
Diagramm für L ergeben, unabhängig davon, wie man das Diagramm für L
dreht. Es befinden sich nämlich die Bögen in L A bzw. L B in den Regionen
A bzw. B in dem folgenden Diagramm:
B
A
A
B
Wenn man sich auf dem oberen Zweig bewegt, dann befindet sich die
Region A auf der linken Seite bevor man auf die Kreuzung trifft; danach
befindet sie sich auf der rechten Seite (umgekehrt für Region B). Dies ist
unabhängig von der Durchlaufrichtung (d. h. von der Orientierung).
Wir untersuchen nun, welche Abhängigkeiten zwischen a, b und c gelten
müssen, damit der Ausdruck 〈L〉 invariant ist unter allen Reidemeister-
Bewegungen Ω 1 , Ω 2 und Ω 3 . Wir beginnen mit Ω 2 . Benutzt man (2.1.1)
mehrfach und (2.1.2) einmal, so bekommt man
〈 〉 = a〈 〉 + b〈 〉
= a[a〈 〉 + b〈 〉] + b[a〈 〉 + b〈 〉]
= (a 2 + b 2 + abc)〈 〉 + ab〈 〉
Falls nun ab = 1, d. h. b = a −1 , und a 2 +b 2 +abc = 0, d. h. c = −a 2 −a −2 ,
so wäre 〈L〉 invariant unter der Bewegung Ω 2 . Wir setzen also b = a −1 und
c = −a 2 −a −2 . Damit ist also der Ausdruck 〈L〉 invariant unter der Bewegung
Ω 2 .
Die Relationen (2.1.1) und (2.1.2) werden zu
(2.1.4) 〈 〉 = a〈 〉 + a −1 〈 〉