Vorlesung Knoten Dirk Kussin - Institut für Mathematik - Universität ...

3.2. DIE SÄTZE VON ALEXANDER UND MARKOV 41
β
Abbildung 3.2. Abschluss eines Zopfes
Zuordnung b i ↦→ τ(i, i + 1) eindeutig beschrieben wird. (Man beachte, dass
jede Relationen, die für die b i gilt auch für die τ(i, i + 1) gilt. In der Tat
erfüllen letztere sogar zusätzlich die Relationen τ(i, i + 1) 2 = 1.)
Proposition 3.2.2. Sei b ∈ B n . Dann ist β(b) ein Knoten genau dann,
wenn σ(b) ∈ S n ein Zykel der Länge n ist.
Beweis. β(b) ist Knoten genau dann, wenn beim Durchlaufen jeder Endpunkt
erreicht wird, genau dann, wenn σ(b) ein Zykel der Länge n ist. □
Satz 3.2.3 (Alexander 1923). Sei L eine Verschlingung. Dann gibt es ein
n ∈ N und ein b ∈ B n , so dass L äquivalent ist zu β(b).
Sei ∐ n≥1 B n die disjunkte Vereinigung der B n . Dann besagt der Satz von
Alexander gerade, dass die kanonisch definierte Abbildung
surjektiv ist.
β : ∐ n≥1
B n −→ L
Beweis des Satzes. Die Idee des Beweises ist schnell erläutert. Sei L
ein orientiertes Verschlingungsdiagramm (polygonal), welches in der Ebene
E liegt. Sei p ∈ E ein Punkt, der nicht auf L liegt. Man sagt, L läuft um p,
falls jede Kante von p aus gesehen positiv orientiert ist (gegen den Uhrzeigersinn),
wie in Abbildung 3.3 angedeutet. Hat man eine solche Situation, so
“zerschneidet” man die Verschlingung längs einer Geraden in p beginnenden
Geraden und rollt ihn aus zu einen Zopf, dessen Abschluss gerade L ist (Abbildung
3.3). Ist dies nicht der Fall, so wird L äquivalent zu L ′ abgeändert, so
dass L ′ um p läuft (“Alexander-Trick”). Ist etwa [AB] eine negative Kante,
so ersetzt man diese wie in Abbildung 3.4 angedeutet durch die positiven
Kanten [AC] und [CB].
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