Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

Ellipsen bzw. Hyperbeln in der Ebene der Variablen (θ, p). Siehe dazu das
Demo-Programm.
Speziell für die beiden Fixpunkte (55) finden wir die Matrizen
( )
( )
K −K/2
−K K/2
Q −−
0 1 =
bzw. Q ++
0 1 =
. (63)
−K/2 1
K/2 1
Die Eigenwerte und (unnormierte) Eigenvektoren sind in beiden Fällen (beachte
aber, dass im ersten Fall R = K/4, im zweiten Fall R = −K/4 ist)
λ 1,2 = 1 2 + 2R ± 2√ 1 1 − 8R + 32R2 ,
(
)
4R
e 1,2 =
4R − 1 ± √ .
1 − 8R + 32R 2
(64)
Bei kleinen 0 < R ≪ 1 sind die Eigenwerte λ 1 ≈ 1+4R 2 und λ 2 ≈ 4R −4R 2 ,
mit zugehörigen (bis O(R) normierten) Eigenvektoren e t 1 = (4R, −1) bzw.
e t 2 = (1, R). Die erste Hauptrichtung verläuft also nahe der p-Achse und trägt
die kurze Halbachse der Ellipse, denn 1/ √ λ 1 ≈ 1, die zweite Hauptrichtung
verläuft nahe der θ-Achse und trägt die lange Halbachse, da 1/ √ λ 2 ≈ 1/ √ 4R.
Das Orthogonalsystem der Hauptachsen ist gegen das der (θ, p)-Koordinaten
in mathematisch positivem Sinn gedreht. Das Gegenstück hierzu sind die
Hyperbeln mit R < 0, aber |R| ≪. Deren Hauptachsen-Richtungen werden
durch dieselben Gleichungen gegeben, aber da R negativ ist, sind sie gegenüber
den (θ, p)-Achsen im mathematisch negativen Sinn gedreht.
Wenn R nun wächst, dann wird der elliptische Punkt bei R = 1 bzw. K = 4
invers hyperbolisch. Für die Eigenwerte λ 1,2 bedeutet dies λ 1 = 5 und λ 2 = 0.
Die Ellipse entartet also zu einem Strich, da die Hauptachse in Richtung e 2
unendlich viel länger ist als die in Richtung e 1 . Nach (64) hat aber e 2 dort
die Steigung 2.
Es gibt zwei Orbits der Periode 2. Der eine ergibt sich als Schnitt der Symmetrielinien
R 0 und R 2 und besteht aus den Punkten (θ, p) = (0, π) und
(π, π). Für ihn ist die Analyse ähnlich einfach. Sein Residuum ist R = K 2 /4,
er ist also im Bereich 0 < K < 2 elliptisch. Das hyperbolische Gegenstück
besteht aus den Schnittpunkten von R 1 und R −1 , und diese muss man aus
der transzendenten Gleichung K sin(θ − p) = 2θ − 3p bestimmen; deswegen
kann man die Monodromie-Matrix nicht mehr analytisch angeben.
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