Ordnung und Chaos: Theorie dynamischer Systeme - Institut für ...

stems dominiert.
Poincarés letztes Theorem von 1912 (bewiesen nach seinem Tod von Birkhoff
1913) garantiert unter recht allgemeinen Annahmen an die Abbbildung
die Existenz dieser beiden Orbits. Der Satz werde zunächst formuliert, einschließlich
einer Skizze des Beweises, und danach diskutiert.
Betrachtet wird ein Ring A = {x = (x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ |x| ≤ 2} und ein
Homeomorphismus F : A → A (das ist eine eineindeutige surjektive stetige
Abbildung, deren Inverses ebenfalls stetig ist), der die Ränder S 1 = {|x| = 1}
und S 2 = {|x| = 2} des Rings auf sich abbildet und orientierungstreu sei. Es
gelte Flächentreue oder die schwächere Schnittbedingung“, wonach das Bild
”
einer geschlossenen Linie mit topologischer Windungszahl 1 mit der Linie
selbst mindestens einen (und damit notwendig mindestens zwei) Schnittpunkte
hat. Außerdem wird noch angenommen, dass F auf dem Rand ∂A = S 1 ∪S 2
keine Fixpunkte habe und dass es S 1 nach links, S 2 nach rechts drehe.
Um präziser zu formulieren, was mit rechts“- bzw. links“-Drehung gemeint
” ”
ist, definieren wir einen Birkhoff-Twist wie folgt, in zwei Schritten. Seien
f i : R → R sog. Lifts der Abbildung F : S i → S i , d. h. mit p i : R → S i ,
t ↦→ r i (cos 2πt, sin 2πt), r 1 = 1 und r 2 = 2, gelte f i = p −1
i ◦ F ◦ p i . Beide
Abbildungen f i seien monoton steigend mit f i (t + 1) = f i (t) + 1, aber die
Linksdrehung von f 1 auf S 1 bedeutet f 1 (t) < t, die Rechtsdrehung von f 2 auf
S 2 entsprechend f 2 (t) > t. Diese Lifts der Abbildungen der Randkreise erweitern
wir nun zu einem Lift f der Abbildung des ganzen Kreisrings auf den
Streifen S = {(t, u) ∈ R 2 : 1 ≤ u ≤ 2}, wobei die Projektion des Streifens
auf den Ring gegeben werde durch p : S → A, (t, u) ↦→ u(cos 2πt, sin 2πt). Es
gelte also die Konjugation f = p −1 ◦ F ◦ p. Die Abbildung F : A → A heißt
dann ein Birkhoff-Twist des Rings, wenn ein Lift f : S → S, (t, u) ↦→ (t ′ , u ′ ),
existiert, so dass dessen Einschränkung auf den unteren Rand u = 1, nämlich
f 1 : R×{1} → R×{1}, nach links dreht und die Einschränkung auf den oberen
Rand u = 2, nämlich f 2 : R × {2} → R × {2}, nach rechts. Außerdem soll
der Twist τ := ∂t ′ /∂u nirgends verschwinden ( Twist-Bedingung“). Ein ungestörter“
Birkhoff-Twist dieser Art wäre z. B. f : (t, u) ↦→ ( t + τ(u − 3), u) .
” ”
2
Der Satz von Poincaré und Birkhoff lautet nun:
Ein Birkhoff-Twist hat mindestens zwei Fixpunkte.
Die Beweisidee ist einfach. Man betrachte einen Strahl ϕ = arg(y/x) = const,
entsprechend t = const auf dem Lift. Da seine Enden bei r = 1 und r = 2
in verschiedene Richtungen gedreht werden, die Abbildung aber stetig und
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