Gew ¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Gewöhnliche Differentialgleichungen 

und Dynamische Systeme 

Dynamische Systeme 

Vorlesung 

Reiner Lauterbach 

Universität Hamburg, SS 2009

Inhaltsverzeichnis 

Einleitung 4 

1 Dynamische Systeme – Grundlegendes 9 

1.1 Einführende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.1.1 Das Collatz-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

1.1.2 Wachstum und Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.1.3 Diskrete Dynamik mit kontinuierlichen Zustandsraum 14 

1.1.4 Das Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

1.1.5 Wortspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.2 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

1.2.1 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

1.2.2 Vollständige metrische Räume . . . . . . . . . . . . . 19 

1.2.3 Eingebettete Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . 23 

1.2.4 Halbgruppen von Selbstabbildungen . . . . . . . . . 27 

1.2.5 Diskrete Dynamik von Selbstabbildungen . . . . . . . 29 

1.3 Geometrische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

1.3.1 Spezielle Orbits und ihre Grenzmengen . . . . . . . . 29 

1.3.2 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

1.4 Diskrete versus kontinuierliche Dynamik . . . . . . . . . . . 35 

1.4.1 Zeit–1–Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

1.4.2 Poincaré–Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

1.4.3 Suspensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

1.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

2 Stabilität 41 

2.1 Lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

2.2 Lineare ebene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

2.2.1 |λ 1,2 | < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

3

4 INHALTSVERZEICHNIS 

2.2.2 Ein Eigenwert vom Betrag höchstens 1, mindestens 

ein Eigenwert von Betrag 1 . . . . . . . . . . . . . . . 45 

2.3 Stabilität von Ruhelagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

2.4 Lineare Differentialgleichungen und Stabilität . . . . . . . . 47 

2.4.1 Jordan Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

2.4.2 Die Matrixexponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . 50 

2.4.3 Ebene lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

2.5 Newtons Methode als dynamisches System . . . . . . . . . . 59 

3 Klassifikation dynamischer Systeme 61 

3.1 Konjugation und Orbit-Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . 61 

3.2 Hufeisen und Büroklammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

3.3 Symbolische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

4 Fraktale und Dimension 79 

4.1 Selbstähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 

4.2 Selbstähnlichkeitsdimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 

4.3 Hausdorff-Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 

4.4 Box-Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

Literaturverzeichnis 93 

Index 93

Einleitung 

In dieser Vorlesung wollen wir uns dem Studium gewöhnlicher Differentialgleichungen 

widmen, dabei werden wir dies aus der Perspektive der 

Theorie dynamischer Systeme tun. Dieser Zugang ist relativ neu, hat sich 

aber weitgehend durchgesetzt. Er ist dabei so erfolgreich, dass sich diese 

Perspektive auch fur das Studium vieler weiterer Gleichungstypen durchgesetzt 

hat. Dabei sind dynamische Systeme allgemein Systeme, die eine 

zeitliche Evolution beschreiben, wir werden gleich Beispiele betrachten. 

Anwendungen gibt es reichlich, dies sogar aus praktisch allen Wissenschaften. 

Methoden sind ebenfalls weitgefächert, wir können Methoden 

aus dem Bereich der Analysis verwenden, aber auch die lineare Algebra 

wird eine Rolle spielen. oft kann man sich mit numerischen Verfahren 

einen raschen Überblick über das Verhalten in einem dynamischen 

System verschaffen. Methoden der Zahlentheorie spielen in dem Gebiet 

ebenso eine Rolle wie Stochastik und Topologie. Keine Angst, wir wollen 

uns nur mit der Einführung in das Gebiet befassen, dazu gehört, dass wir 

uns grundlegende Fragestellungen ansehen, einige wichtige Begriffe und 

Methoden kennenlernen, aber auch beispielhaft sehen wir die Methoden 

aus anderen Bereichen das Studium dynamischer Syteme fördern können. 

Grundsätzlich stellt man in der Theorie dynamischer Systeme Fragen, 

die einen sehr langen Zeithorizont betreffen: gibt es ein Gleichgewicht, 

gibt es periodische Orbits, sind diese global asymptotisch stabil, können 

wir einen globalen Attraktor angeben, welche Dimension hat dieser, können 

wir zeitliche und räumliche Mittelwerte angeben, gibt es dazwischen Zusammenhänge. 

Im ersten Semester werden wir natürlich nur einige wenige 

dieser Punkte behandeln. Aufbauend auf diese Vorlesung wird es eine 

Fortsetzung (von Herrn Gunesch) geben, die weiterführende Aspekte behandelt. 

Literatur zu den in der Vorlesung behandelten Themen gibt es reich- 

5

6 INHALTSVERZEICHNIS 

haltig, hier ist eine unvollständige Auswahl, die Werke dieser Liste haben 

auch in der einen oder anderen Weise, die Auswahl und Behandlung der 

hier vorgestellten Themen beeinflusst. 

• Abraham & Robbin [2] geben eine moderne auch unendlich dimensionale 

Darstellung der Theorie. Für die im Werk behandelten Themen 

eine hervorragende Einführung, zum Selbststudium vielleicht 

etwas abstrakt mit wenig Beispielen. 

• Amann [3] gibt eine moderne, sehr vollständige Darstellung der Theorie 

gewöhnliche rDifferentialgleichungen. Wir können nur einen Bruchteil 

des Materials bearbeiten. Das Werk eigente sich auch gut für weierführende 

Studien. 

• Arnol ´d [4] gibt eine knappe Darstellung der wesentlichen Aspekte 

einer modernen Theorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen. 

• Denker [6] 

• Devaney [7] 

• Gunesch [9] 

• Gunesch [10] 

• Hale [11] ist der Klassiker der englich sprachigen Literatur. Jack Hale 

hat mit diesem und vielen anderen Werken, die Grundlagen für den 

von uns verfolgten Zugang gelegt. 

• Hartman [12] hat ein umfangreiches und heute klassiches Werk verfasst, 

viele Themen findet man nur hier. Als Werk zum Lernen weniger 

geeignet, sehr gutes und umfangreiches nachschlagewerk zu 

den behandelten Themen. Moderne Themen fehlen teilweise. 

• Hasselblatt & Katok [13] 

• Harro Heuser [14] hat hiermit auch einen deutschen Klassiker vorgelegt. 

Eine sehr umfangreiche Themenauswahl und viele Geschichten 

rund um das Thema Differentialgleichungen machen es zu einer 

Fundgrube, zum Lernen und als Begleitlektüre eher nicht geeignet. 

Es ist mehr ein Ergänzungsbuch, das aber auch Begeisterung für das 

fach verrät und wecken kann.

INHALTSVERZEICHNIS 7 

• Katok & Hasselblatt [15] 

• Lauterbach [17] wurde von mir Als Skript zur Vorlesung Gewöhnliche 

Differentialgleichungen verfasst, liegt auch der jetzigen Vorlesung 

teilweise zu Grunde. 

• Palis & de Melo [18] haben hiermit eine hervoragende Einführung 

in wichtige Aspekte dynamischer Systeme und ihrer Anwendungen 

auf gewöhnliche Differentialgleichungen geschrieben. Für die Themen 

der engen Themenauswahl ist es auch zum Selbststudium sehr 

gut geeignet, als einzige lektüre zum Thema ist es wohl etwas eng. 

• Knobloch & Kappel [16] war lange Zeit ein deutsches grundlegendes 

Werk, ist inzwischen etwas in die Jahre gekommen. 

• Wolfgang Walter [19] hat mit diesem Werk einen vielzitierten deutschen 

Klassiker verfasst. Viele Ideen aus der Funktionalanalysis und 

Anwendungen auf Randwertprobleme sind hier enthalten. der geometrische 

Zugang zu Anfangswertproblemen und dynamisches Verhalten 

kommt zu kurz. Als das Buch geschrieben wurde, war dieser 

Zugang auch noch nicht entwickelt. 

Für die historischen Anmerkungen wurden folgende Quellen genutzt: 

1. Die Internetseite von St. Andrews College: 

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/ history/Indexes/HistoryTopics.html 

2. Die Brockhaus Enzyklopädie [1] 

3. Lexikon bedeutender Mathematiker [8]

8 INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1 

Dynamische Systeme – 

Grundlegendes 

Wir wollen das Studium dynamischer Systeme durch eine kleine Zahl von 

Beispielen motivieren, Ziel soll sein, eine Fülle möglicher Anwendungen 

zu sehen. dabei werden wir genauso auf unbekanntes Terrain vorstoßen, 

wie auch erkennen, wie man mit einfachen Methoden Aussagen gewinnen 

kann, die wir später verfeinern werden. 

1.1 Einführende Beispiele 

In diesem kurzen Abschnitt wollen wir einige motivierende Beispiele betrachten, 

die vielleicht auf den ersten Blick auch etwas ungewöhnlich sind. 

Kurz gesagt, besteht ein dynamisches System aus einer einem Zustandsraum, 

an den wir bei der präzisen Definition gewisse Forderungen stellen, 

z.B. soll der Begriff, dass zwei Zustände nahe beieinander sind, sinnvoll 

sein und aus einer Vorschrift, wie aus einem Zustand sich zukünftige 

Zustände entwickeln. Wesentlich soll dabei sein, dass allein der Zustand 

(und vielleicht die Anfangszeit) die zukünftige Entwicklung determinieren. 

An dieser Stelle, wollen wir zumindest im Moment keine zufälligen 

Einflüsse zualssen, obwohl man an anderer Stelle auch lernen kann, wie 

man zufällige Einflüsse behandelt. Für manche Anwendungen in der Physik 

sind diese zufälligen Einflüsse sehr wichtig, sie führen trotzdem weit 

über den uns gesteckten Rahmen hinaus. 

9

10 KAPITEL 1. DYNAMISCHE SYSTEME – GRUNDLEGENDES 

1.1.1 Das Collatz-Problem 

Nach Lothar Collatz 1 ist das ist das folgende Problem benannt, obwohl 

man es auch unter anderen Bezeichnungen findet. Die Lösung ist offen, 

jede(r) der die Lösung findet, wird wohl sofort sehr bekannt werden. 

Der Zustandsraum ist die Menge der natürlichen ZahlenÆ, die Zeit 

wird hier auch als diskrete Zeit mit der Menge der natürlichen Zahlen 

modelliert. Ein Folge natürlicher Zahlen 

{a n } n∈Æ 

gibt dann die Evolution des Zustandes a 1 an. Jedes Bildungsgesetz für 

eine Folge würde nun ein diskretes dynamisches System definieren, für 

das Collatz Problem betrachten wir das Gesetz 

a n+1 = Ψ(a n ), 

wobei Ψ durch 

Ψ :Æ→Æ:n↦→ 

{ 

2n + 1 

if n is odd, 

n 

if n is even. 

2 

Wir betrachten einige spezielle Anfangswerte: beginnen wir mit 1, so erhalten 

wir die periodische Folge 

1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, . . . 

mit Periode 3, d.h. a n+3 = a n . Wenn wir mit einem beliebigen Wert aus 

der Folge starten, erhalten wir bis auf eine Verschiebung die gleiche Folge 

zurück: 

4, 2, 1, 4, 2, 1, · · · = sh − (1, 4, 2, 1, . . .). 

Dabei ist sh − der Verschiebeoperator (nach links) auf dem Raum c aller 

reeller Folgen, der sich in natürlicher Weise auch auf alle Unterräume von 

c überträgt (und natürlich auch auf dem Raum der beidseitigen Folgen definiert 

ist und Anlass zu interessanten dynamischen Verhalten ist). Starten 

wir mit einem anderen Wert, z.B. 7, so erhalten wir die Folge 

7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20,10,5, 16,8, 4, 2, 1, 4, 2, 1 

1 Lothar Collatz (6.7.1910-26.9.1990) war ein weltweit bekannter angewandter Mathematiker, 

der vor allem die Entwicklung der angewandten Mathematik in Hamburg sehr 

bestimmt hat. Er hat in vielen Bereichen der angewandten Mathematik gearbeitet.

1.1. EINFÜHRENDE BEISPIELE 11 

und so bis auf eine Verschiebung die ursprüngliche periodische Folge, also 

(sh − ) 16 (7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40,20, 10, 5,16, 8, 4,2, 1,4, 2,1, . ..) = (1, 4, 2, 1, . . .). 

Das Collatz-Problem besteht nun darin zu beweisen, dass es zu jedem 

Startwert n eine Verschiebung (sh − ) j gibt, so dass 

sh j (n, Ψ(n), Ψ 2 (n), . . .) = (1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, . . .). 

Man kann leicht ein Computer-Programm schreiben, dass die Korrektheit 

dieser Behauptung für n < 10 p nachprüft, aktuelle Werte von p findet man 

in der Literatur, weiteres zum Collatz-Problem findet man z.B. bei Wirsching 

[]. 

1.1.2 Wachstum und Zerfall 

Wir betrachten eine Population, der Zustand sei die momentane Anzahl 

der Individuen der Population. Wir nehmen an, dass die Population sich 

in einer festen Generationenfolge entwickelt, d.h. wir können die Beschreibung 

reduzieren auf die Anzahl der Individuen in der n-ten Generation. 

Die einfachste Annahme zur Beschreibung einer Population ist, dass 

Geburten und Todesfälle proportional zum gegenwärtigen Zustand sind. 

Dann gibt es eine Zahl b > 0, die sogenannte Geburtsrate und ein Zahl 

1 > d > 0, die Sterberate, so dass sich die Anzahl der Individuen a n+1 in 

der n+1-Generation, sich aus der der n-ten Generation a n errechnet durch 

a n+1 = (1 + b − d)a n . 

Nun ist es sehr einfach, das Verhalten zu diskutieren. Ist a 0 der Ausgangszustand, 

β = 1 + b − d, so ergibt sich 

a n = β n a 0 . 

Der Zustandsraum einer solchen BevölkerungÆ0. Dies ist vielleicht unnatürlich, 

weil die Angabe einer reellen Wachstumsrate β /∈Éaus dem 

Zustandsraum herausführt. Eine Möglichkeit diese Problematik zu umgehen 

besteht darin mit Populationsdichten zu arbeiten, diese sind in natürlicher 

Weise reelle Zahlen. 

Auch wenn es keine natürliche Zahl geben muss mit 

β n = 2


können wir doch feststellen, dass nach circa ln 2 Zeiteinheiten eine Verdoppelung 

der Population eingetreten ist. Entsprechendes findet man bei 

ln β 

radioaktiven Zerfall als Halbwertszeit. Hier gibt es allerdings keine strenge 

Generationenfolge“, so dass es günstiger ist mit einem zeitlich kontinuierlichen 

System zu 

” 

arbeiten. 

Der radioaktive Zerfall 

Beim radioaktiven Zerfall betrachtet man folgenden Vorgang. Man hat 

zum Zeitpunkt 0 eine gewisse Masse u 0 einer radioaktiven Substanz. Mit 

u(t) bezeichnen wir die zum Zeitpunkt t verbleibenden Masse der Substanz. 

Durch Beobachtungen erhält man, dass die Anzahl der Zerfälle proportional 

zur Menge der Substanz ist. Sei α diese Rate. Dann lautet die 

zugehörige Gleichung 

(VERÄNDERUNG=ZERFALLSRATE∗MENGE) 

Man kann eine Lösung sofort hinschreiben: 

u ′ (t) = −αu(t). (1.1) 

u(t) = ce −αt . (1.2) 

Nachdem zum Zeitpunkt t = 0 gelten muss, dass u(0) = u 0 erhält man 

c = u 0 . Aus dieser Beziehung leitet man leicht ab, wielange es dauert, bis 

sich die Menge der radioaktiven Substanz halbiert hat. Ist nämlich u(T) = 

1 

2 u 0, so rechnet man daraus T = ln(2)/α. Dieser Wert ist unabhängig von 

u 0 und daher gilt immer 

u(t + T) = u(t)/2. (1.3) 

T wird als Halbwertszeit bezeichnet. Sie charakterisiert, wie wir eben gesehen 

haben, den Zerfallsprozess. Wiederum haben wir es hier mit einem 

Anfangswertproblem zu tun. Allgemein führen Wachstums- oder 

Zerfallsprozesse, wobei die Veränderung proportional zur gegenwärtigen 

Größe ist, auf Differentialgleichungen von der Gestalt (1.1). 

Das Verhulstsche Modell zur Populationsdynamik 

Wir kehren zur Diskussion von Populationen zurück. Hat man keine strenge 

Generationenfolge, so ist es sinnvoller eine kontinuierliche Zeit zu verwenden, 

wir schreiben dies als Differentialgleichung. Es sei x(t) die Funktion, 

die die Anzahl der Individuen zum Zeitpunkt t ∈Êangibt, dann ist


die Veränderung proportional zur Anzahl. Sei b > 0 wieder die Geburtenrate, 

d > 0 die Rate der Sterbefälle. Dann ist 

dx 

dt 

= (b − d)x(t). 

Gibt man sich noch die Anzahl x 0 zu einem bestimmten Zeitpunkt t 0 vor, 

so schreiben wir mit β = b − d ein Anfangswertproblem 

dx 

= βx 

dt 

x(t 0 ) = x 0 . 

(1.4) 

Diese Schreibweise besagt, dass wir eine differenzierbare Funktion x : 

Ê→Êsuchen, deren Ableitung an der Stelle ein konstantes Vielfaches 

vom Wert x(t) ist, und die an der Stelle t 0 den Wert x 0 annimmt. 

Ob es eine solche Funktion gibt, ist a priori nicht klar. Für diesen einfachen 

Fall können wir das Existenzproblem durch Angabe einer Lösung 

klären: sei 

x(t) = x 0 e β(t−t 0) . 

Dann ist x(t 0 ) = x 0 und 

dx 

dt (t) = wx 0e w(t−t 0) = wx(t). 

Natürlich stellt sich auch die Frage nach der Eindeutigkeit dieser Lösung. 

Dieses Modell für Wachstum ist natürlich sehr einfach, es gibt nur drei 

Möglichkeiten exponentielles Wachstum (w > 0), zeitlich konstantes Verhalten 

w = 0 und exponentielles Aussterben (Radioaktivität) w < 0. 

Verhalten, wie z.B. Wachstum bis zu einer Sättigungsgrenze ist dabei 

nicht möglich. 

Ist β positiv, hat man ein Bevölkerungswachstum, ähnlich der Halbwertszeit 

gibt es nun eine Verdoppelungszeit T = ln(2)/β. Beobachtet man in 

der Realität ein Wachstum, das noch stärker ist (Verkürzung der Verdoppelungszeiten), 

dann ist (1.4) kein geeignetes Modell. Ein schwerwiegender 

Nachteil dieses Modells ist die Vorhersage grenzenlosen Wachstums. 

Dies kann wegen der Endlichkeit aller Dinge nicht vorliegen, so gab es 

schon lange Versuche die Gleichung (1.4) zu modifizieren. Ein solches Modell 

ist die Einführung eines Stressfaktors S, der proportional zur Anzahl


der Begegnungen von Individuen der Population ist. Diese ist proportional 

zu p 2 . Damit erhält man 

p ′ = βp − Sp 2 . (1.5) 

Die hier angegebene Gleichung wird oft als logistische Gleichung bezeichnet. 

Sie geht auf den belgischen Mathematiker VERHULST 2 zurück. 

1.1.3 Diskrete Dynamik mit kontinuierlichen Zustandsraum 

In diesem Unterabschnitt sei X = [0, 1] der Zustandsraum. Wir betrachten 

eine Vorschrift aus dem Zustand zum Zeitpunkt t ∈Æeinen Zustand zum 

Zeitpunkt t + 1 zu erhalten, indem wir eine Funktion f : X → X angeben, 

also 

x n+1 = f(x n ). 

Um den Anfangswert der Entwicklung anzugeben, schreiben wir noch 

x 0 ∈ X vor. 

1. f(x) = x + b mod 1 

In diesem Fall unterscheidet sich das Verhalten erheblich, je nachdem 

ob b ∈Éoder b ∈Ê\Éist. 

Satz 1.1.3.1 Ist b ∈É, so gilt für alle x 0 ∈ X, dass die Folge {x n } n∈Æmit 

x n+1 = f(x n ) periodisch ist. 

Ist b /∈É, so gibt es kein x 0 ∈ X, so dass die zugehörige Folge periodisch 

ist. Es gilt sogar, dass für jedes x ∈ X die zugehörige Folge {x n } n∈Ædicht 

in X ist, d.h. zu jedem y ∈ X und jedem Anfangswert x 0 gibt es eine 

Teilfolge 

{x nk } k∈Æ⊂ {x n } n∈Æ, 

so dass 

Beweis. siehe Übungen. 

lim 

k→∞ x n k 

= y. 

2 Pierre-Francois Verhulst (28.10.1804-15.2.1849) war Professor an der Freien Universität 

in Brüssel und später an der königlichen Militärschule. Seine Arbeiten zum Bevölkerungswachstum 

machten ihn zum Begründer der Bevölkerungsstatistik.


Abbildung 1.1: Am Pendel wirkende Kraft bei einer Auslenkung ϕ 

2. f(x) = 2x mod 1 

In diesem Fall ist 0 ein Fixpunkt, d.h. f n (0) = 0, die Anfangswerte 2 −n 

führen auf eine Folge, die nach einer geeigneten Verschiebung mit 

diesem Fixpunkt übereinstimmen. Rationale Anfangswerte führen 

auf periodisches Verhalten, irrationale Anfangswerte führen auf komplizierte 

Folgen. 

1.1.4 Das Pendel 

Hier hat man es mit folgender Aufgabenstellung zu tun: Ein Pendel der 

Länge l und Masse M sei an einem festen Punkt P aufgehängt und schwinge 

in einer Ebene um die untere Ruhelage. Wir wollen den zeitlichen Verlauf 

der Bewegung untersuchen. Zunächst vereinbaren wir eine Konvention: 

Da die unabhängige Variable die Zeit ist, werden wir sie, wie allgemein 

üblich, mit t ∈Êbezeichnen. Bei der zu beschreibenden Bewegung reicht 

es offensichtlich, die Winkelauslenkung ϕ zu jedem Zeitpunkt t anzugeben. 

Wir werden die Bewegung also durch eine (gesuchte) Funktion ϕ(t) 

beschreiben. Wie erhält man eine Gleichung für ϕ? Dazu betrachten wir 

Abbildung 1.1: Mit −g bezeichnen wir die Erdbeschleunigung, dann wirkt 

auf M die Kraft −Mg, wobei der radiale Anteil dafür sorgt, dass der Faden 

gespannt bleibt, während der tangentiale Anteil für die Winkelbeschleunigung 

lϕ ′′ (t) sorgt. Als tangentialen Kraftanteil erhält man −Mg sin ϕ(t).


Damit ergibt sich als Gleichung (aus dem Newtonschen Kraftgesetz 3 ) 

(KRAFT=MASSE∗BESCHLEUNIGUNG): 

Mlϕ ′′ (t) = −Mg sin ϕ(t) 

oder 

ϕ ′′ (t) = − g sin ϕ(t). (1.6) 

l 

1.1.5 Wortspiele 

Wir kommen nochmals auf dynamische Systeme mit diskreter Zeit in einem 

diskreten Zustandsraum zurück. In diesem kurzen Abschnitt wollen 

wir eine bestimmte Form sogenannter selbstreferentieller Sätze betrachten. 

Wir wollen zeigen, dass die Theorie dynamischer Systeme nichttriviale 

Aussagen zu diesem Themenkomplex machen kann. Um einen formalen 

Unterschied zu machen zwischen diesen Sätzen und den Aussagen 

über diese Sätze, formulieren wir diese in Englisch. Ein erstes Beispiel ist 

der Satz 

In this sentence, the number of occurrences of 0 is 1, of 1 is 11, 

of 2 is 2, of 3 is 1, of 4 is 1, of 5 is 1, of 6 is 1, of 7 is 1, of 8 is 1, 

and of 9 is 1. 

Dieser Satz ist offensichtlich wahr, gibt es noch weitere solcher Sätze? Charakteristisch 

für diesen Satz ist offensichtlich, dass jeder natürlichen Zahl 

0 ≤ z ≤ 9 

eine Zahl zugeordnet, die die Anzahl des Auftretens dieser Ziffer angibt. 

Dies bedeutet, dass der Satz durch einen Punkt im RaumÆ10 vollständig 

beschrieben ist. Wir wollen nun eine Abbildung auf der Menge solcher 

Sätze definieren und betrachten dazu einen beliebigen Satz, z.B. den Satz 

3 Isaac Newton (4.1.1643-31.3.1727) ist der berühmteste britische Mathematiker, Physiker 

und Astronom. Es ist einer der wenigen Wissenschaftler dem die Ehre zu Teil wurde 

in der Westminster Abbey begraben zu werden. Er schuf die Grundlagen unseres 

Verständnisses der Gravitation und der klassischen Mechanik. Er entdeckte die axiomatischen 

Grundlagen der rationalen Mechanik. Innerhalb der Mathematik war er einer der 

Wegbereiter der Analysis und damit der Theorie der Differentialgleichungen.


In this sentence, the number of occurrences of 0 is 0, of 1 is 0, of 

2 is 0, of 3 is 0, of 4 is 0, of 5 is 0, of 6 is 0, of 7 is 0, of 8 is 0, and 

of 9 is 0. 

Nun zählen wir in diesem offensichtlich unwahren Satz das Auftreten jeder 

Ziffer und schreiben dies in den nächsten Satz, damit erhalten wir 




Eine erneute Anwendung dieses Verfahrens liefert 




Nun auch dieser Satz ist unwahr, wir wenden unser Verfahren nochmals 

an und erhalten 




Dies ist unser (wahrer) Satz von oben. Dieser reproduziert sich unter der 

angegebenen Iteration. Wir halten eine nahezu triviale Beobachtung fest: 

Lemma 1.1.5.1 Ein Satz der angegebenen Form bleibt unter der angegebenen 

Abbildung genau dann erhalten, wenn er wahr ist. 

Damit ist das Auffinden weiterer (oder aller) solchen wahren Sätze darauf 

zurückgeführt, Fixpunkte unserer Abbildung zu finden. In mathematischer 

Sprache hat die Abbildung die Form 

Ψ :Æ10 →Æ10 : (z 0 , . . .,z 9 ) T ↦→ (1 + w(0), . . ., 1 + w(9)) (1.7) 

wobei w(j) die Anzahl des Auftretens der Ziffer j in den Zahlen z 0 , . . .,z 9 

angibt. Wir werden im weiteren Verlauf des Semesters alle solchen Sätze 

angeben und zeigen, dass dies tatsächlich eine vollständige Liste ist.


1.2 Grundlegende Begriffe 

1.2.1 Metrische Räume 

Definition 1.2.1.1 Es sei X eine Menge, d : X × X →Êeine Abbildung mit 

folgenden Eigenschaften 

(M1) Es gilt d(x, y) = 0 genau dann wenn x = y. 

(M2) Für alle Paare (x, y) ∈ X × X gilt d(x, y) = d(y, x). 

(M3) Für alle Tripel (x, y, z) ∈ X × X × X gilt 

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). 

Eine solche Abbildung heißt Metrik, das Paar (X, d) bezeichnen wir als metrischen 

Raum. 

Aufgabe 1.2.1.2 Zeigen Sie: ist (X, d) ein metrischer Raum, sind x, y ∈ X, so 

gilt d(x, y) ≥ 0. 

Definition 1.2.1.3 1. Es sei (X, d) ein metrischer 

{ 

Raum , U ⊂ X heißt 

} 

offen, 

wenn es zu jedem x ∈ U ein ε > 0 mit y ∈ X ∣ d(x, y) < ε = 

B ε (x) ⊂ U. B ε (x) heißt metrische Kugel um x vom Radius ε. Dabei ist 

im allgemeinen klar auf welche Metrik wir uns beziehen. Sollte dies nicht 

klar sein, so schreiben wir Bε d(x). 

2. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt abgeschlossen, wenn X \ A offen ist. 

Lemma 1.2.1.4 1. Beliebige Vereinigungen offener Mengen in X sind offen, 

d.h. ist {U α } α∈eine über der Mengeparametrisierte Familie offener 

Mengen, so ist 

⋃ 

α offen in X. 

α∈U 

2. Auf gleiche Weise folgt, dass beliebige Durchschnitte abgeschlossener Mengen 

abgeschlossen sind. 

Definition 1.2.1.5 Seien (X, d), (Y, d ′ ) metrische Räume und ist f : X → Y 

eine Abbildung, so heißt f stetig, wenn Urbilder offener Mengen in Y offen in 

X sind, d.h. für alle offenen Mengen V ⊂ Y ist f −1 (V ) eine offene Menge in 

(X, d).

1.2. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE 19 

Satz 1.2.1.6 Folgende Bedingungen sind äquivalent zur Stetigkeit von f : X → 

Y. 

1. Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. 

2. Ist A ⊂ X eine Teilmenge, so ist f(A) ⊂ f(A). 

3. Ist x 0 ∈ X und {x n } n∈Æeine Folge in X mit 

lim 

n→∞ x n = x 0 

so gilt {f(x n )} n∈Æist eine konvergente Folge und 

lim f(x n) = f(x 0 ). 

n→∞ 

Beweis. Übungsaufgabe. 

Definition 1.2.1.7 Eine stetige Abbildung f : X → Y heißt Homöomorphismus, 

falls f injektiv und offen ist, dabei heißt f offen, wenn Bilder offener Mengen 

offen sind. 

1.2.2 Vollständige metrische Räume 

Definition 1.2.2.1 Es sei (X, d) ein metrischer Raum. 

(a) Eine Folge {x n } n∈Æ⊂X nennt man Cauchyfolge 4 , wenn zu jedem ε > 0 

eine natürliche Zahl N ∈Æexistiert mit 

n > N, m > N ⇒ d(x n , x m ) < ε. 

4 Augustin-Louis Cauchy (21.8.1789-22.5.1857) war Sohn eines hohen Beamten und genoss 

demzufolge eine gute Privatausbildung. Nach einem ingenieurwissenschaftlichen 

Studium eignete er sich nebenbei Werke von Lagrange an. Im Jahr 1811 löste er ein Problem, 

das Lagrange formuliert hatte. Er arbeitete über Integrale, Strömungsmechanik 

und Elastizitätstheorie. Speziell die Arbeiten zum letztgenannten Bereich machten ihn 

zu einem der bekanntesten Mathematiker seiner Zeit. Im weiteren arbeitete er auf vielen 

Gebieten, sein Hauptarbeitsgebiet wurde die Analysis mit der Theorie von Differentialgleichungen. 

Nach Gauß begann er mit komplexen Zahlen und der zugehörigen Analysis 

zu arbeiten. Cauchy war sehr produktiv und dies sehen wir noch heute an vielen Konzepten, 

die seinen Namen tragen.


(b) Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, wenn zu jeder Cauchyfolge 

{x n } n∈Æin X ein Element x ∈ X existiert, so dass gilt 

x = lim 

n→∞ 

x n . 

Dies bedeutet natürlich: Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈Æ, so dass gilt 

n > N ⇒ d(x n , x) < ε. 

Eine reiche Klasse von metrischen Räumen sind normierte Vektorräume. 

Wir werfen einen Blick darauf. 

Definition 1.2.2.2 Sei X ein reeller Vektorraum. 

(a) Man nennt (X, ‖.‖) einen normierten Raum, falls ‖.‖ X eine Abbildung 

‖.‖ X : X →Êist, so dass 

gilt. 

1. ‖x‖ X ≥ 0 ∀x ∈ X; 

2. ‖x‖ X = 0 ⇐⇒ x = 0; 

3. ‖x + y‖ X ≤ ‖x‖ X + ‖y‖ X ∀(x, y) ∈ X × X; 

4. ‖αx‖ X = |α|‖x‖ X ∀α ∈Ê, ∀x ∈ X 

Ohne Beweis geben wir das folgende (triviale) Lemma an. 

Lemma 1.2.2.3 Mit 

d(x, y) = ‖x − y‖ X (1.8) 

wird ein normierter linearer Raum (X, ‖.‖ X ) zum metrischen Raum (X, d). 

Definition 1.2.2.4 Ist ein normierter, linearer Raum (X, ‖.‖ X ) bezüglich der 

Metrik aus (1.8) vollständig, so bezeichnet man ihn als Banachraum, nach STE- 

FAN BANACH 5 . 

5 Stefan Banach (30.3.1892-31.8.1945), polnischer Mathematiker, war der Begründer 

der Theorie linearer, normierter Räume und ihren linearen Abbildungen. Seine Arbeiten 

sind die Grundlage der modernen Funktionalanalysis. Er und seine Schüler zeigten 

viele Anwendungen der Funktionalanalysis auf.


In dieser Vorlesung werden wir vor allem den folgenden Banachraum 

benötigen. 

Lemma 1.2.2.5 

1. Es sei I ⊂Êein kompaktes Intervall. Wir betrachten 

{ 

} 

C(I;Ên ) = γ : I →Ên 

∣ γ ist stetig . 

Dies wird mit der Norm 

ein Banachraum. 

‖γ‖ C(I;Ên ) = sup ‖γ(t)‖Ên 

t∈I 

2. Ist U ⊂Ên eine offene Teilmenge, so ist 

{ 

} 

C(I; U) = γ : I → U ∣ γ ist stetig 

ein vollständiger metrischer Raum bezüglich der Metrik 

Beweis. Übungen! 

d C(I;U) (γ 1 , γ 2 ) = sup ‖γ 1 (t) − γ 2 (t)‖Ên 

t∈I 

Definition 1.2.2.6 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Abbildung T : X → X 

heißt Kontraktion, falls für alle (x, y) in X × X gilt: 

d(Tx, Ty) < d(x, y). (1.9) 

T nennt man stark kontrahierend, wenn es ein λ ∈ (0, 1) gibt, so dass für alle 

(x, y) ∈ X × X gilt 

d(Tx, Ty) ≤ λd(x, y). (1.10) 

Satz 1.2.2.7 (Banach) Es sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum. Jede stark 

kontrahierende Abbildung T : X → X hat einen eindeutig bestimmten Fixpunkt 

x ∈ X. 

Beweis. Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Angenommen x 1 , x 2 sind 

Fixpunkte. Dann ist 

d(x 1 , x 2 ) = d(Tx 1 , Tx 2 ) < λd(x 1 , x 2 ).


Also ist d(x 1 , x 2 ) = 0 und wegen folgt x 1 = x 2 . 

Wir kommen zur Existenz. Sei x 0 ∈ X beliebig. Wir konstruieren die Folge 

{x n } n∈Æ⊂ X durch x n = Tx n−1 und behaupten, dass dies eine Cauchyfolge 

ist. Dazu sei ε > 0 gegeben. Für m, n ∈Æ, m > n ≥ 1 ergibt sich mit 

(M.3) 

d(x m , x n ) ≤ d(x m , x m−1 ) + · · · + d(x n+1 , x n ) = 

Für ein j im angegebenen Bereich schließt man 

Also hat man 

m−1 

∑ 

j=n 

d(x j+1 , x j ) = d(T j x 1 , T j x 0 ) ≤ λ j d(x 1 , x 0 ). 

d(x j+1 , x j ) 

d(x m , x n ) ≤ 

m∑ 

λ j d(x 1 , x 0 ) ≤ 

j=n 

∞∑ 

λ j d(x 1 , x 0 ) < ε 

j=n 

solange nur n genügend groß ist. Mit der Vollständigkeit von (X, d) ergibt 

sich die Konvergenz der Folge {x n } n∈Æ. Mit x bezeichnen wir den Grenzwert. 

Der letzte Schritt besteht darin die Fixpunkteigenschaft des Grenzwertes 

nachzuweisen. Dazu sei ε > 0 gegeben und N ∈Æ, so dass n > N 

impliziert 

Dann ist für n > N 

d(x n , x) < ε 2 . 

d(Tx, x) ≤ d(Tx, x n ) + d(x n , x) 

= d(Tx, Tx n−1 ) + d(x n , x) 

≤ λd(x, x n−1 ) + d(x n , x) 

≤ 2d(x n , x) 

< ε. 

Da ε > 0 beliebig ist, ist 

und damit 

d(Tx, x) = 0 

Tx = x.


Bemerkung 1.2.2.8 Ein alternativer Beweis für die Fixpunkteigenschaft besteht 

in der Beobachtung, dass T stetig ist (warum?) und dem Diagramm 

x n+1 = Tx n → Tx 

↓ 

x 

Satz 1.2.2.9 (Stetige Abhängigkeit) Sei ( X , d) ein vollständiger metrischer 

Raum, (Y, d ′ ) ein metrischer Raum. Ferner sei für jedes y ∈ Y eine starke 

Kontraktion T y : X → X mit Kontraktionskonstante λ y gegeben. Es sei s = 

sup y∈Y λ y < 1. Für jedes x ∈ X sei die Abbildung 

stetig. Dann ist auch die Abbildung 

F x : Y → X : y ↦→ T y x 

stetig, wobei x y durch T y x y = x y definiert ist. 

G : Y → X : y ↦→ x y , (1.11) 

Beweis. Fixiere y 0 ∈ Y. Wir zeigen die Stetigkeit in y 0 . Sei x 0 der zugehörige 

Fixpunkt von T y0 . Dann gilt für den Fixpunkt x y von T y , 

d(x y , x 0 ) = d(T y x y , T y0 x 0 ) 

≤ d(T y x y , T y x 0 ) + d(T y x 0 , T y0 x 0 ) 

≤ λ y d(x y , x 0 ) + d(T y x 0 , T y0 x 0 ). 

(1.12) 

Es folgt 

(1 − s)d(x y , x 0 ) ≤ (1 − λ y )d(x y , x 0 ) ≤ d(T y x 0 , T y0 x 0 ). 

Wegen s < 1 darf man durch (1 − s) teilen und die Behauptung folgt aus 

der Stetigkeit von F x0 . 

1.2.3 Eingebettete Mannigfaltigkeiten 

Mannigfaltigkeiten treten in natürlicher Weise im Kontext von gewöhnlichen 

Differentialgleichungen auf. Kurz (und vielleicht etwas vereinfacht) 

gesagt, besteht die Aufgabenstellung in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen 

darin zu einem (hinreichend glatten) Feld von Geschwindigkeitsvektoren 

eine Bewegung zu finden, so dass an jeder Stelle


der Bewegung der Tangentialvektor an die Bewegung dem dort vorgegebenen 

Geschwindigkeitsvektor entspricht. Schon die Bewegung eines Zuges 

macht deutlich, dass der Geschwindigkeitsvektor des Zuges nicht innerhalb 

des Bewegungsraumes liegen muss, sondern, dass eine geeignete 

Beschreibung des Problemes die Menge der möglichen Geschwindigkeitsvektoren 

deutlich von der Menge der Orte der Bewegung unterscheidet. 

Noch deutlicher wird dies bei einem sphärischen Pendel, als einem an 

einem gespannten Faden hängenden Gewicht, welches an einem Punkt 

aufgehängt ist und sich nun auf einer 2-dimensionalen Kugeloberfläche 

bewegen kann. Was sind in diesem Fall die möglichen Geschwindigkeitsvektoren? 

Die geeignete Konstruktion, die mathematisch präzise diese Situation beschreibt 

ist die eines Tangentialbündels an einer Mannigfaltigkeit. Da die 

ganz allgemeine Konstruktion auf gewisse begriffliche Schwierigkeiten 

führt, die ein wenig von der uns angestrebten Theorie wegführt, wollen 

wir uns auf eine scheinbar speziellere Situation beschränken, die aber aufgrund 

des Einbettungssatzes von Whitney, siehe z.B. Bröcker & Jänich [5] 

für eine Formulierung und einen Beweis, sogar der allgemeinsten Situation 

entspricht, aber technisch etwas einfacher ist. Wir erinnern zunächst an 

die Beschreibung eines k-dimensionalen linearen Unterraumes U desÊn . 

Wir können einen solchen Raum auf zwei Weisen 

∈Ê 

beschreiben: 

1. Wir geben k linear unabhängige Vektoren u 1 , . . .,u k an, die den Raum 

aufspannen, damit können wir jeden Punkt u ∈ U als Linearkombination 

k∑ 

u = α k u k , α k 

i=1 

schreiben. 

2. Wir geben n − k linear unabhängige Vektoren u ′ 1 , . . .,u′ n−k ∈Ên an, 

so dass für alle u ∈ U gilt 

〈u, u ′ j〉 = 0, j = 1, . . .,n − k. 

Dann haben wir die Punkte in U als Lösungen eines Systems von n−k 

Gleichungen realisiert. 

Wir wollen uns die letztgemachte Beobachtung zu eigen machen.

1.2. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE 

→Ê 

25 

Definition 1.2.3.1 1. Eine Teilmenge M ⊂Ên heißt eingebettete Untermannigfaltigkeit 

wenn es zu jedem x ∈ M eine offene Umgebung B δ (x) ⊂ 

Ên und n − k stetig differenzierbare Funktionen 

Fi x : B δ (x) 

gibt, so dass 

{ 

} 

(a) M ∩ B δ (x) = y ∈ B δ (x) ∣ Fj x(y) = 0, j = 1, . . .,n − k 

(b) {∇F x j (x)} j=1,...,n−k ist linear unabhängig. 

2. Ist M eine eingebettete Untermannigfaltigkeit, x ∈ M und sind F x j Funktionen, 

wie gerade benannt, so ist 

T x M = span[∇F x 1 (x), . . . ∇F x n−k (x)]⊥ 

der Tangentialraum an M im Punkt x. 

3. Wir betrachten die disjunkte Vereinigung der Tangentialräume 

TM = ˙⋃x∈M T xM 

und bezeichnen dies als Tangentialbündel. 

Wir können hier schon einen Nachteil unserer Konstruktion erkennen. 

TM ist keine in denÊn eingebettete Untermannigfaltigkeit. Der schon zitierte 

Satz von Whitney garantiert eine Einbettung dieses Tangentialbündels 

in denÊ4n+1 . Dies erscheint hochgradig unnatürlich. Arbeitet man mit 

dem abstrakten Begriff einer Mannigfaltigkeit kann man direkt zeigen, 

dass TM wieder eine Mannigfaltigkeit ist. Die allgemeine Konstruktion 

findet man bei [5], oder auch in dem sehr schönen Buch von Warner [20]. 

Eingebettete Untermannigfaltigkeiten M erben in natürlicher Weise eine 

Metrik vom umgebenden RaumÊn , indem man einfach die Metrik d 

des RaumesÊn auf M einschränkt. Damit sind dann für eingebettete Untermannigfaltigkeiten 

M ⊂Êm und N ⊂Ên auch stetige Abbildungen 

von M nach N erklärt. Wir wollen noch den Begriff der Differenzierbarkeit 

von Abbildungen zwischen solchen eingebetteten Untermannigfaltigkeiten 

einführen und zeigen, dass die Ableitung eine lineare Abbildung 

zwischen entsprechenden Tangentialräumen ist. 

Dazu betrachten wir Kurven, als Abbildungen γ : I → M eines reellen 

Intervalles I ⊂Ê.


Definition 1.2.3.2 Die Kurve γ : I → M heißt im Punkt t 0 ∈ I differenzierbar, 

wenn γ : I →Ên als Funktion in denÊn im Punkt t 0 differenzierbar 

ist. 

Lemma 1.2.3.3 Ist γ : I → M im Punkt t 0 ∈ I differenzierbar, so ist γ ′ (t 0 ) ∈ 

T γ(t0 )M. 

Beweis. γ(t) ∈ M impliziert, wegen x 0 = γ(t 0 ), dass es ein δ 1 > 0 gibt, so 

dass |t − t 0 | < δ 1 , dass γ(t) ∈ B δ (x) und F x j (γ(t)) = 0 für j = 1, . . .,n − k. 

Insbesondere impliziert dies 

Damit ist γ ′ (t 0 ) ∈ T x0 M. 

〈∇F x j (x 0), γ ′ (t 0 )〉 = 0. 

Definition 1.2.3.4 Es seien M ⊂Êm und N ⊂Ên eingebettete Untermannigfaltigkeiten, 

f : M → N sei stetig. Dann heißt f : M → N im Punkt x 0 ∈ M 

differenzierbar, wenn für jede Kurve γ : I → M, die im Punkt t 0 mit γ(t 0 ) = x 0 

differenzierbar ist, die Abbildung f ◦ γ : I → N im Punkt t 0 differenzierbar ist. 

Lemma 1.2.3.5 Sind M ⊂Êm , N ⊂Ên eingebettete Untermannigfaltigkeiten 

und ist f : M → N im Punkt x 0 ∈ M differenzierbar, N ∋ y 0 = f(x 0 ), so wird 

durch 

Df(x 0 ) : T x0 M → T y0 N : γ ′ (t 0 ) ↦→ (f ◦ γ) ′ (t 0 ) 

eine lineare Abbildung definiert. 

Beweis. Ist 

und 

so gilt für t nahe t 0 und l = 1, 2 

und entsprechend 

γ 1 (t 0 ) = γ 2 (t 0 ) 

γ ′ 1 (t 0) = γ ′ 2 (t 0) 

γ l (t) = γ l (t 0 ) + (t − t 0 )γ ′ l (t 0) + o(|t − t 0 |) 

f ◦ γ l (t) = f(x 0 ) + (t − t 0 )(f ◦ γ l ) ′ (t 0 ) + o(|t − t 0 |)


Gleichsetzen dieser Terme und Koeffizientenvergleich führt auf 

Df(x 0 )γ ′ (t 0 ) = (f ◦ γ) ′ (t 0 ). 

Natürlich muss gezeigt werden, dass diese Definition unabhängig von der 

gewählten Kurve ist, also sind γ 1 , γ 2 zwei Kurven mit 

γ 1 (t 0 ) = γ 2 (t 0 ) und γ ′ 1(t 0 ) = γ ′ 2(t 0 ). 

Eindeutigkeit der Entwicklung ergibt, dass 

Df(x 0 )γ ′ 1(t 0 ) = Df(x 0 )γ ′ 2(t 0 ). 

Damit ist die Abbildung Df(x 0 ) wohldefiniert, wir müssen noch zeigen, 

dass diese linear ist. Dies ist leicht zu zeigen. 

Definition 1.2.3.6 1. Es sei U ⊂ÊN offen. Eine Abbildung V : U →ÊN 

heißt Vektorfeld auf U. 

2. Es sei M ⊂ÊN eine eingebettete Untermannigfaltigkeit, TM das Tangentialbündel 

auf M. Eine Abbildung V : M → TM heißt Vektorfeld auf M, 

falls für alle x ∈ M gilt 

V (x) ∈ T x M. 

Ist V als Abbildung in denÊN stetig differenzierbar, so sprechen wir von 

einem C 1 -Vektorfeld. 

Hängt V zusätzlich von der Zeit ab, also I ⊂Êein Intervall und 

V : U × I →ÊN oder V : M × I → TM 

eine Abbildung mit V (x, t) ∈ T x M Fall der eingebetteten Untermannigfaltigkeit, 

so sprechen wir von einem zeitabhängigen Vektorfeld. 

1.2.4 Halbgruppen von Selbstabbildungen 

Wir beginnen mit dem Begriff der ZeitmengeÌ. Dazu dient folgende Definition. 

Dazu seien zunächst die folgende Schreibweisen vereinbart.Æ 

bezeichne die Menge der natürlichen 

} 

Zahlen, alsoÆ={1, 2, 3, . . . },Æ0 = 

∣∣ 

= 

{r ∈Ê∣ Æ∪{0},Ê+ r ≥ 0 .


Definition 1.2.4.1 Es seiÌeine der Mengen,Æ0,Ê,Ê+. Dann bezeichen wir 

diese als Zeitmenge. Eine unbestimmte Zeitmenge wird i.A. mitÌbezeichnet 

werden. 

Beachte, dass Zeitmengen als algebraische Struktur Halbgruppen sind. Dabei 

heißt eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung Halbgruppe, wenn 

es ein (eindeutiges) neutrales Element gibt Die hier als Zeitmengen eingeführten 

Halbgruppen tragen in natürlicher Weise auch die Struktur eines 

metrischen Raumes. 

Definition 1.2.4.2 Es seiÌeine Zeitmenge, (X, d) ein metrischer Raum. Dann 

heißt eine stetige Abbildung 

ein Fluss, falls für alle x ∈ X 

Sei 

1. gilt ϕ(0, x) = x. 

2. und alle s, t ∈ T gilt 

ϕ :Ì×X → X 

ϕ(s + t, x) = ϕ(s, ϕ(t, x)). 

IstÌ=oderÌ=Æ0, so sprechen wir von einem diskreten Fluss, 

anderweitig von einem (kontinuierlichen) Fluss. 

C(X;X) = 

{ 

} 

Ψ : X → X ∣ Ψ ist stetig 

die Menge der stetigen Abbildungen auf X. Dann kann man einen Fluss 

für festes t ∈Ìals Element von C(X;X) auffassen und damit induziert 

ein Fluss einen stetigen Halbgruppenhomomorphismus 

Φ :Ì→C(X;X) 

mit 

Φ(0) = 1l X 

∈Ì 


Φ(t + s) = Φ(t) ◦ Φ(s). 

Man beachte, istÌeine Gruppe, so ist Φ ein Gruppenhomomorphismus, 

und für jedes t ∈ T ist Φ(t) ein Homöomorphismus. 

Aufgabe 1.2.4.3 Zeigen Sie, dass im FallÌist Gruppe, tatsächlich für t 

die Abbildung Φ(t) ein Homöomorphismus ist.

1.3. GEOMETRISCHE BEGRIFFE 29 

1.2.5 Diskrete Dynamik von Selbstabbildungen 

Wir wollen hier die allgemeine Situation diskreter dynamischer Systeme 

beschreiben. Das Wort diskret bezieht sich hier auf die Zeit, d.h. als Zeitmengen 

kommen also nurÆoderin Frage. Der Zustandsraum X sei 

jeweils eine metrischer Raum. Dazu sei f : X → X eine (stetige) Abbildung. 

Dann betrachten wir für x ∈ X und n ∈Æ0 

Φ(n, x) = f n (x). 

Diese Abbildung hat offensichtlich die Eigenschaften eines Flusses. Deshalb 

können wir folgende Definition vereinbaren. 

Definition 1.2.5.1 Es sei (X, d) ein metrischer Raum, f : X → X stetig, dann 

nennen wir das Paar (X, f) ein diskretes dynamisches System mit Zeitmenge 

Ì=Æ0. Ist f zusätzlich bijektiv, d.h. f −1 existiert, so ist die ZeitmengeÌ=. 

1.3 Geometrische Begriffe 

1.3.1 Spezielle Orbits und ihre Grenzmengen 

Im folgenden sei (X, d) ein metrischer Raum,Ìeine Zeitmenge, ϕ : X × 

Ì→X ein Fluss. Wir wollen nun einige Begriffe einführen, die uns in 

die Lage versetzen über das Langzeitverhalten einzelner Trajektorien, wie 

auch des gesamten Systems zu sprechen. 

Definition 1.3.1.1 Es sei X ein metrischer Raum,Ìeine Zeitmenge, 

ϕ :Ì×X → X 

ein Fluss. Ist x 0 ∈ X so nennen wir die Menge 

{ 

O(x 0 ) = ϕ(t, x) ∣ t ∈Ì} 

den Orbit des Punktes x 0 . Entsprechend definieren wir auch die positiven und 

negativen Semiorbits von x 0 durch 

{ 

} 

O + (x 0 ) = ϕ(t, x) ∣ t ∈Ì, t ≥ 0 

bzw. 

O − (x 0 ) = 

{ 

} 

ϕ(t, x) ∣ t ∈Ì, t ≤ 0 .


Definition 1.3.1.2 Besteht ein Orbit eines Punktes x 0 nur aus dem Punkt selbst, 

so nennen wir diesen ein Gleichgewicht oder auch eine Ruhelage. 

Bemerkung 1.3.1.3 In diskreten dynamischen Systemen kann ein Orbit der keine 

Ruhelage ist, eine Ruhelage enthalten. Betrachte 

f : [−1, 1] → [−1, 1] : x ↦→ 1 − 2x 2 . 

Dann ist f(−1) = −1, insbesondere ist −1 eine Ruhelage, f(1) = −1 und damit 

ist 1 keine Ruhelage O(1) enthält aber O(−1). 

Definition 1.3.1.4 Wir nennen einen Punkt x 0 ∈ X einen periodischen Punkt, 

wenn es ein t ∈Ì, t ≠ 0 gibt, mit 

ϕ(t, x 0 ) = x 0 . 

Ist x 0 keine Ruhelage, so sprechen wir von einem echten periodischen Punkt. In 

diesem Fall heißt 

} 

∣∣ 

min 

{0 < t ∈Ì∣ ϕ(t, x0 ) = x 0 

die minimale Periode von x 0 . Jedes t > 0, t ∈Ìmit ϕ(t, x 0 ) = x 0 wird als 

Periode bezeichnet. Die Menge 

{ 

ϕ(t, x 0 ) ∣ t ∈Ì} 

wird als periodischer Orbit bezeichnet. 

Lemma 1.3.1.5 Es sei x 0 ∈ X mit O(x 0 

∈Ê 

) enthält einen periodischen Punkt x 1 . 

Für ein dynamisches System mitÌist Gruppe folgt dann, dass x 0 selbst schon 

periodischer Punkt ist. 

Beweis. Ist x 1 eine Ruhelage, so ist für alle t 

ϕ(t, x 1 ) = x 1 . 

Da es ein t 0 

∈Ê 

gibt, mit 

ϕ(t 0 , x 0 ) = x 1 

ist x 0 = ϕ(−t 0 , x 1 ) = x 1 . Ist x 1 keine Ruhelage, so ist ϕ(t 1 , x 1 ) = x 1 und 

damit ist für alle s 

ϕ(t, ϕ(s, x 1 )) = ϕ(t + s, x 1 ) = ϕ(s, ϕ(t, x 1 )) = ϕ(s, x 1 ) 

und jeder Punkt im Orbit von x 1 ist periodisch, insbesondere auch x 0 .


Bemerkung 1.3.1.6 Eine entsprechende Aussage für dynamische Systeme 

deren Zeitmenge keine Gruppe ist, ist nicht wahr. Es kann dort Punkte 

geben, die selbst nicht periodisch sind, deren positiver Halborbit aber periodische 

Punkte enthält. Einen solchen Punkt nennen wir schließlich periodisch 

(vgl. engl. eventually periodic). 

Gleichgewichtspunkte und periodische Orbits sind Beispiele invarianter 

Mengen, d.h. solcher Mengen, die unter der Dynamik in sich abgebildet 

werden. Wir wollen den Begriff zunächst abstrakt einführen und dann 

weitere Beispiele angeben. 

Definition 1.3.1.7 Es sei X, d) ein metrischer Raum,Ìeine und 

ϕ :Ì×X → X ein Fluss. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt invariant, falls zu jedem 

x 0 ∈ A auch O(x 0 ) ⊂ A. Ist mit x 0 auch der positive (negative) Semiorbit in A, 

so sagen wir, A ist positiv (negativ) invariant. 

Definition 1.3.1.8 Gegeben sei ein metrischer Raum (X, d), eine ZeitmengeÌ 

und ein Fluss ϕ :Ì×X → X. Sei x 0 ∈ X. Wir definieren den Begriff der 

Grenzmenge durch 

ω(x 0 ) = 

0≤t∈ÌO ⋂ 

+ (ϕ(t, x 0 )), 


α(x 0 ) = ⋂ 

0≥t∈ÌO − (ϕ(t, x 0 )). 

Wir nennen ersteres die ω-Grenzmenge von x 0 und letzteres die α-Grenzmenge 

von x 0 . 

Der folgende Satz fasst wesentliche Eigenschaften der jeweiligen Grenzmengen 

zusammen. 

Satz 1.3.1.9 1. Ist der entsprechende Semiorbit nichtleer ∗ und beschränkt ∗∗ , 

so ist die entsprechende Grenzmenge nichtleer. 

2. Die ω–Grenzmenge besteht aus der Menge der Punkte 

{ 

} 

x ∈ X ∣ es gibt eine Folge {t n } n∈Æ⊂Ìmit lim t n = ∞ und x = lim ϕ(t n , x 0 ) . 

n→∞ n→∞ 

Entsprechendes gilt für die α–Grenzmenge.


3. Die ω–Grenzmenge ist positiv invariant. 

4. IstÌeine Gruppe, so sind ω–, bzw. α–Grenzmengen invariant. 

∗ Der positive Halborbit ist für jedes x 0 definiert, der negative besteht für 

die Zeitmengen+,Ê+ nur aus einem Element. Die Voraussetzung nichtleer 

soll im Fall des positiven Semiorbits bedeutungslos sein, im anderen 

Fall besagen, dass die Zeitmenge negative Elemente besitzt. 

∗∗ Beschränktheit ist in allgemeinen metrischen Räumen nicht definiert, 

wir meinen, dass der Abschluss kompakt ist. Für Teilmengen vonÊn folgt 

aus der Beschränktheit die Kompaktheit des Abschlusses. Beweis. Wir 

führen alle Beweise für die ω–Grenzmenge, für die α–Grenzmenge werden 

sie ganz analog erbracht. 

1. Vorbemerkung: Ist 

x ∈ 

0≤t∈ÌO ⋂ 

+ (ϕ(t, x 0 )) 

so gibt es zu jedem 0 < t 0 ∈Ìund jedem ε > 0 ein t > t 0 und ein 

x n ∈ O + (ϕ(t, x 0 )) mit d(x n , x) < ε. 

Wähle ε > 0 und setze 

ε n = 2 −n ε 

und wähle induktiv t n+1 > t n + 1 mit 

d(ϕ(x 0 , t n ), x) < ε n . 

Dann konvergiert die Zeitfolge t n gegen unendlich, x n = ϕ(t n , x 0 ) → 

x. Die Umkehrung ist ebenso einfach. Ist x ein Grenzwert wie beschrieben, 

so müssen wir zeigen, zu jedem t > 0 ist 

x ∈ O + (ϕ(t, x 0 )). 

Da t n → ∞ gibt es ein N ∈Æmit t n > t für alle n > N. Offensichtlich 

ist x dann in O + (ϕ(t, x 0 )). 

2. Ist x ∈ ω(x 0 ) und t > 0. Dann ist x = lim n→∞ ϕ(t n , x 0 ) mit einer 

unbeschränkten Zeitfolge {t n } n∈Æ. Dann ist 

ϕ(t, x) = ϕ(t, lim 

n→∞ 

x n ) = lim 

n→∞ 

ϕ(t, x n ) = lim 

n→∞ 

ϕ(t, ϕ(t n , x 0 )) = lim 

n→∞ 

ϕ(t+t n , x 0 ).


3. IstÌeine Gruppe, so kann das eben verwendete Argument ebenso 

für negative Zeiten angewendet werden. 

Beispiel 1.3.1.10 1. Wir betrachten das dynamische System f : S 1 →Ë1 : 

φ ↦→ φ + β. Ist β ∈ πÉ, so ist, wie wir wissen jeder Orbit periodisch 

und die Grenzmenge sind für den Anfangswert φ 0 mit periodischen Orbit 

O = {φ 0 , φ 1 , . . .,φ k } 

α(φ 0 ) = ω(φ 0 ) = O. 

Ist β ∈ (Ê\É)π, so ist jeder Orbit O(φ 0 ) dicht und es gilt 

α(φ 0 ) = ω(φ 0 ) = S 1 . 

2. Ein etwas allgemeineres Verhalten zeigt die folgende Abbildung 1.2. f bildet 

jeweils die roten Punkte auf den nächsten im mathematisch positiven Sinne 

ab, entsprechend die blauen Punkte. Dazwischen werden die Segmente 

S 1 → S 2 → S 3 → S 1 abgebildet. Die nicht bezeichneten Segemente werden 

genauso behandelt. Gleichzeitig soll f die Punkte die Punkte in Richtung 

der roten Punte verschieben. Dann gilt für jeden roten Punkt x r,i 

ω(x r,i ) = α(x r,i ) = O(x r,i ) 

und entsprechend für jeden blauen Punkt 

Für jeden anderen Punkt x ist 

ω(x b,i ) = α(x b,i ) = O(x b,i ). 

ω(x) = O(x r,i ) und α(x) = O(x b,i ). 

Definition 1.3.1.11 Es sei (X, d) ein metrischer Raum,Ìeine Zeitmenge und 

ϕ :Ì×X → X ein Fluss. Ein Punkt x 0 ∈ X heißt nichtwandernd, wenn es 

zu jeder Umgebung U ein 0 < t ∈Ìgibt mit 

ϕ(t, U) ∩ U ≠ ∅. 

Die Menge der nichtwandernden Punkte wird mit 

{ 

} 

Ω(ϕ) = x ∈ X ∣ x ist nichtwandernd 

bezeichnet.


S 

3 

S 1 

S 

2 

Abbildung 1.2: Eine Abbildung auf S 1 . 

Satz 1.3.1.12 Die Menge der nichtwandernden Punkte ist positiv invariant. Ist 

Ìeine Gruppe, so ist Ω(ϕ) invariant. 

Beweis. Übungsaufgabe. 

Lemma 1.3.1.13 Ist (X, d) ein metrischer Raum,Ìeine Zeitmenge und 

ϕ :Ì×X → X 

ein Fluss. Ist M ⊂ X eine (positiv) invariante Teilmenge, so gilt dies auch für 

den Abschluss M. 

Beweis. Folgt sofort aus den Beweisen der vorangehenden Lemmata. 

1.3.2 Stabilität 


ϕ :Ì×X → X 

ein Fluss. Eine kompakte, invariante Menge K heißt attraktiv, falls es eine offene 

Umgebung U von K gibt, so dass für alle x ∈ U gilt 

ω(x) ⊂ K. 

Sie heißt global attraktiv, wenn dies für alle x ∈ X gilt.

1.4. DISKRETE VERSUS KONTINUIERLICHE DYNAMIK 35 


ϕ :Ì×X → X 

ein Fluss. Eine kompakte, invariante Menge K heißt stabil, falls zu jeder offenen 

Umgebung U von K eine Umgebung V von K gibt, so dass für alle x ∈ V gilt 

O + (x) ⊂ U. 

Definition 1.3.2.3 Eine kompakte, invariante Menge K wird als Attraktor bezeichnet, 

wenn K attraktiv und stabil ist. K wird als globaler Attraktor bezeichnet, 

wenn K ein global attraktiver Attraktor ist. 

Eine wesentliche Aufgabe in der Theorie dynamischer Systeme ist es (globale) 

Attraktoren zu finden und die Dynamik auf diesen Attraktoren zu 

beschreiben. Die eben definierten Begriffe spielen natürlich für die speziellen 

invarianten Mengen wie Ruhelagen und periodische Orbits eine 

besondere Rolle. 

Bemerkung 1.3.2.4 Attraktivität einer invarianten Menge impliziert nicht ihre 

Stabilität, wir werden dafür noch ein Beispiel in den Übungen sehen. 

Beispiel 1.3.2.5 In unserem Beispiel 1.3.1.10, vgl. Abbildung 1.2 ist die Menge 

der roten Punkte ein Attraktor, allerdings kein globaler Attraktor, da die blauen 

Punkte eine invariante Menge bildet. 

1.4 Diskrete versus kontinuierliche Dynamik 

1.4.1 Zeit–1–Abbildungen 

Die einfachste Möglichkeit aus einem kontinuierlichen Fluss ein diskretes 

dynamisches System zu gewinnen, ist die sogenannte Zeit–1–Abbildung. 

Sei (X,d) ein metrischer Raum,Ì=Êund 

ϕ :Ì×X → X 

ein Fluss. Wir definieren die Abbildung 

F : X → X : x ↦→ ϕ(1, x). 

Offensichtlich ist F ein Homöomorphismus von X → X. Gleichgewichte 

für ϕ sind auch solche für F , für periodische Punkte ist dies nicht immer 

wahr. Man überzeuge sich von der Richtigkeit dieser Beobachtung.


1.4.2 Poincaré–Abbildungen 

Sei ϕ :Ì×M → M ein differenzierbarer Fluss auf einer Mannigfaltigkeit 

M (insbesondere M =Ên oder M = T n ). Das zugehörige Vektorfeld, man 

überlege sich, dass es so ein Objekt immer gibt, sei V , also 

V (x) = d dt | t=0ϕ(t, x). 

Eine Hyperfläche S ist eine Untermannigfaltigkeit von M (also Teilmenge 

und Mannigfaltigkeit) mit dim S = dim M − 1. 

Wenn M =Ên , so ist jeder (n − 1)-dimensionale Unterraum eine Hyperfläche. 

Definition 1.4.2.1 Eine Hyperfläche S heißt (globaler) (transversaler) Schnitt 

des Flusses ϕ, wenn gilt: 

• Das zu ϕ gehörende Vektorfeld V ist nirgends tangential an S. 

• Jeder Orbit von ϕ schneidet S unendlich oft für t → ∞ und t → −∞. 

Wir kommen jetzt zur ersten Definition der Poincaré-Abbildung: 

Definition 1.4.2.2 Sei S ein globaler Schnitt von ϕ. Die Wiederkehrzeit τ : 

S →Êist definiert durch 

τ(x) = min{ϕ(t, x) ∈ S}. 

t>0 

Es gilt immer τ(x) > 0, da wir vorausgesetzt haben, dass V nicht tangential 

an S ist. 

Beispiel 1.4.2.3 Wir betrachten den Torus T 2 . Diesen erhalten wir algebraisch 

als QutientÊ2 /2 , geometrisch durch Verkleben der Kanten eines Quadrates. Ist 

v ∈Ê2 , so können wir aufÊ2 den Fluss ϕ(t, x) = x + tv betrachten. Ein Gerade 

orthogonal zu v projiziert nun einem Kreis S auf T 2 , der ein globaler tranversaler 

Schnitt zur Projektion von ϕ ist. 

Wir können uns die Frage stellen ob wir auf dem globalen Schnitt eine andere 

Abbildung, z.B. die aus Abbildung 1.2 vorgeben können und dazu einen geeigneten 

Fluss konstuieren können (mit einer ” 

roten“ und einer ” 

blauen“ periodischen 

Lösung, die vorwärts gegen die rote und rückwärts gegen die blaue Lösung konvergiert. 

Dies werden wir im folgenden Abschniit behandeln.

1.4. DISKRETE VERSUS KONTINUIERLICHE DYNAMIK 37 

Definition 1.4.2.4 Sei S ein globaler Schnitt von ϕ. Dann ist die Poincaré- 

Abbildung 

P : S → S 

definiert durch 

P(x) = ϕ(τ(x), x). 

Das heißt: Der Punkt x wird auf den Punkt abgebildet, der auf dem Orbit 

von x liegt und der erste ist, an dem der Orbit von x wieder durch S läuft. 

Beispiel 1.4.2.5 Für die Differentialgleichung 

(in Polarkoordinaten) ist 

ṙ = r(1 − r), 

˙θ = 1 

S = {(x, 0) : x > 0} 

ein globaler Schnitt. Die Wiederkehrzeit ist 

τ = 2π 

für alle Punkte in S. Da die Differentialgleichung gelöst wird durch 

r(t) = 

1 

1 + (1/r 0 − 1)e −t, θ(t) = t + θ 0, 

ist die Poincaré-Abbildung gegeben durch 

( 

) 

1 

P(x, 0) = 

1 + (1/r 0 − 1)e −2π,0 . 

1.4.3 Suspensionen 

Wir beobachten, dass nicht jeder (orientierungserhaltende) Diffeomorphismus 

als Zeit t 0 -Abbildung eines Flusses auftreten kann. Angenommen x 0 , 

. . . , f k (x 0 ) sei ein periodischer Orbit von f mit minimaler Periode k, der 

isoliert liegt, d.h. für den es eine Umgebung U gibt, die keinen Orbit der 

Länge k enthält, so ist dies nicht die Zeit t 0 -Abbildung eines Flusses. Angenommen, 

dies wäre so, dann gilt 

f k ϕ(t, x 0 ) = ϕ(t + k, x 0 ) = ϕ(t, f k x 0 ) = ϕ(t, x 0 ). 

Also ist der gesamte Zeitorbit ϕ(t, x 0 ) von x 0 periodisch mit (minimaler) 

Periode k für f und dies widerspricht der Isoliertheit.


Definition 1.4.3.1 Sei M eine Mannigfaltigkeit und f : M → M ein Diffeomorphismus. 

Sei X = (M × [0, 1])/ ∼, wobei die Äquivalenzrelation ∼ definiert 

wird durch 

(x, 1) ∼ (f(x), 0). 

Dann ist der Suspensionsfluss von f auf X definiert durch 

ψ t ([(x, θ)]) := [(f ⌊t+θ⌋ (x), t + θ − ⌊t + θ⌋)]. 

Hierbei bedeutet ⌊r⌋ = max{s ∈:s≤r}. 

Wir können den Suspensionsfluss statt für Diffeomorphismen einer Mannigfaltigkeit 

M auch für Diffeomorphismen einer offenen Menge U imÊn 

definieren. Allerdings ist auch in diesem Fall die Menge X, auf der der 

Suspensionsfluss definiert ist, keine Teilmenge desÊn × [0, 1] sondern eine 

abstrakte Mannigfaltigkeit. 

Beispiel 1.4.3.2 Wenn f : S 1 → S 1 eine Rotation ist, so ist X ein Torus. 

Beispiel 1.4.3.3 Wenn f : S 1 → S 1 eine Spiegelung ist, so ist X eine Klein- 

Flasche, eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit (eine Fläche, deren ” 

Innenseite“ 

gleichzeitig die ” 

Außenseite“ ist). 

Beispiel 1.4.3.4 Wenn f : (0, 1) → (0, 1) eine Spiegelung ist, so ist X ein 

Möbiusband. 

Beispiel 1.4.3.5 In unserem Beispiel mit den roten und blauen Ruhelagen auf 

der S 1 erhalten wir als Suspensionsfluss auf T 2 mit zwei periodischen Orbits und 

einem heteroklinen Orbit, der die beiden verbindet. 

1.5 Aufgaben 

Aufgabe 1.5.0.6 Man überlege sich, ob ein Zerfallsgesetz u(t), welches der 

Beziehung (1.3) genügt, auch eine Gleichung der Form (1.1) erfüllt. 

Aufgabe 1.5.0.7 (a) Man begründe, dass jede Lösung der Gleichung 

du 

dx = u

1.5. AUFGABEN 39 

die Form Ce x mit einer reellen Konstante C hat. 

(b) Man gebe ein entsprechendes Argument für die Gleichung 

ϕ ′′ (t) = − g l ϕ(t) 

und die Lösungen A sin( √ ωt) + B cos( √ ωt) mit 

an. 

ω = g l 

Aufgabe 1.5.0.8 Man zeige, dass für das dynamische System auf [0, 1], das durch 

f(x) = 2x mod 1 gegeben ist, rationale Anfangswerte zu periodischen Orbits 

führen. 

Aufgabe 1.5.0.9 Man zeige, dass für das dynamische System auf [0, 1], das durch 

f(x) = x+b mod 1, gegeben ist, bei irrationalem b jeder Orbit dicht in [0, 1] liegt. 

Aufgabe 1.5.0.10 Man löse die Gleichungen 

(a) u ′ = u 2 + 1 

(b) 

u ′ = − x2 

u 3 

(c) u ′ = e u sin(x) 

mit der Methode der Trennung der Veränderlichen und diskutiere das Verhalten 

der Lösungen mit u(0) = p 0 , p 0 ∈Ê. Darunter verstehen wir die 

Beantwortung der folgenden Fragen. 

• Für welche t ∈Êexistiert die Lösung? 

• Wie verhält sich die Lösung für t → t + , t → t − , wenn (t − , t + ) das 

(maximale) Intervall bezeichnet, auf dem die Lösung u(t) existiert? 

Aufgabe 1.5.0.11 Man verifiziere die Aussagen über die logistische Gleichung: 

(a) Für p 0 ∈ (0, K) existiert die Lösung für alle Zeiten und strebt für t → ∞ 

gegen K, für t → −∞ gegen Null. 

(b) Für p 0 > K existiert die Lösung nicht für alle reellen Zeiten. Man diskutiere 

das Verhalten. 

(c) Man untersuche das Verhalten der Lösungen für p 0 < 0!


Aufgabe 1.5.0.12 Man diskutiere das System 

w ′′ 

v ′′ 

= −Kw 

= −Kv 

für K < 0. 

Aufgabe 1.5.0.13 1. Beweisen Sie Satz 1.1.3.1 

2. 

Aufgabe 1.5.0.14 Man zeige, dass die Menge C([0, 1];Ên ) der stetigen Funktionen 

auf dem Intervall [0, 1] mit Werten imÊn , versehen mit der Norm 

ein Banachraum ist. 

‖u‖ = sup ‖u(x)‖Ên, 

x∈[0,1] 

Aufgabe 1.5.0.15 Wir betrachten die Abbildung 

T : C([0, 1];Ên ) → C([0, 1];Ên ) : u ↦→ 

∫ 1 

0 

f(., y)u(y) dy, (1.13) 

wobei f eine auf [0, 1] × [0, 1] stetige, reellwertige Funktion ist. Man zeige, 

T ist stetig und linear. Ist T eine Kontraktion? 

Aufgabe 1.5.0.16 Man beweise das Lemma 1.2.2.3. 

Aufgabe 1.5.0.17 Man veranschauliche sich das Tangentialbündel an die 

Einheitssphäre imÊ2 . Wie sehen typische Vektorfelder aus? Wie hat man 

sich das entsprechende auf dem Torus T 2 vorzustellen. 

Aufgabe 1.5.0.18 Für die Folge {x n } n∈Æaus dem Beweis zum Banachschen 

Fixpunktsatz beweise man die Fehlerabschätzung 

d(x n+1 , x) ≤ 

λn 

1 − λ d(x 1, x 0 ). 

Aufgabe 1.5.0.19 Man beweise Satz 1.3.1.12.

Kapitel 2 

Stabilität 

In diesem Kapitel beschränken wir uns auf diskrete dynamische Systeme 

und wir wollen Aussagen über Stabilität von gewissen invarianten Mengen 

machen, indem wir linearisieren, d.h. eine im Allgemeinen nichtlineare 

Abbildung durtch die Linearisierung approximieren. Dazu muss der 

Zustandsraum das Konzept der Linearisierung zulassen. Wir betrachten 

daher als Zustandsraum eine offene Menge imÊn oder eine Mannigfaltigkeit. 

Grundlegend ist dabei ein kurzer Blick auf lineare Systeme imÊn . 

2.1 Lineare Systeme 

Im folgenden sei X =Ên der Zustandsraum, A sei eine lineare Abbildung 

A : X → X,Ì=oderÌ=Æ. Wir betrachten das dynamische System 

(X, A). Ist A injektiv, wählen wirÌ=, im anderen Fall istÌ=Æ. Mit 

σ(A) bezeichnen wir das Spektrum von A. Ist λ ∈ σ(A) so sei E(λ) der 

verallgemeinerte Eigenraum von A zum Eigenwert λ, d.h. 

Entsprechend sei 

E(λ) = 

{ 

x ∈ X 

} 

∣ ∃ r∈Æ(A − λ1l) r x = 0 . 

K(λ) = ker(A − λ1l) 

der Eigenraum zum Eigenwert λ. Wir notieren das triviale Lemma: 

Lemma 2.1.0.20 (Invarianz der Eigenräume) Die Räume E(λ), K(λ) sind 

innvariante Mengen für (X, A). 

41

42 KAPITEL 2. STABILITÄT 

Beweis. Für x ∈ E(λ) gilt mit r, so dass (A − λ1l) r x = 0 

(A −λ1l) r Ax = (A −λ1l) r (A −λ1l+λ1l)x = (A −λ1l) r+1 x+λ(A −λ1l) r x = 0. 

Lemma 2.1.0.21 (Asymptotik in den Eigenräumen) 1. Ist |λ| < 1 und 

x ∈ E(λ), so gilt 

lim 

k→∞ Ak x = 0. 

2. Ist |λ| > 1, so ist für 0 ≠ x ∈ E(λ) die Folge {A r } r∈Æx unbeschränkt. Die 

Folge wächst wie |λ| r . 

3. Ist λ| = 1, so gilt 0 ≠ x ∈ K(λ), dass 

{A r x} r∈Æ 

eine beschränkte, von Null wegbeschränkte Folge ist mit 

‖A r x‖ = ‖x‖ 

für alle r ∈Æund eine geeignete Norm auf V . 

4. Ist |λ| = 1 und x ∈ E(λ) \ K(λ) so ist {A r x} r∈Æunbeschränkt, die Folge 

wächst polynomial in r. 

Beweis. 

1. Ist x ∈ K(λ) so ist A k x = λ k x → 0 für k → ∞. Im allgemeinen Fall 

schreiben wir die Einschränkung auf E(λ) in der Form A = D + N, 

wobei D = λ1l und N nilpotent ist, d.h. es existiert ein m ∈Æmit 

N m = 0. Dann ist 

A r = (D + N) r = 

Dann sieht man leicht, dass 

m−1 

∑ 

j=1 

lim 

r→∞ Ar x = 0. 

( r 

j) 

D r−j N j .

2.2. LINEARE EBENE SYSTEME 43 

2. Der Beweis für den Fall |λ| > 1 folgt dem vorigen und braucht keine 

neuen Argumente. 

3. Ist |λ| = 1, und Vder komplexifixierte Raum, so ist für x ∈ K(Λ) 

A r x = λ r x 

und damit ist 

‖A r x‖ = ‖λ r x‖ = |λ| r ‖x‖ = ‖x‖. 

2.2 Lineare ebene Systeme 

Ein ebenes lineares diskretes System hat die Form 

x n+1 = Bx 

wobei x i ∈Ê2 und B ∈ L(Ê2 ,Ê2 ) ist. Wir unterscheiden mehrere Fälle: B 

hat Eigenwerte λ 1 , λ 2 mit 

1. |λ 1,2 | < 1 

2. |λ 1 | < 1, |λ 2 | = 1 

3. |λ 1 | < 1, |λ 2 | > 1 

4. |λ 1,2 | = 1 

5. |λ 1 | = 1, |λ 2 | > 1 

6. |λ 1,2 | > 1 

In den Fällen mit mindestens einem Eigenwert vom Betrag < 1 ist die Matrix 

eventuell nicht invertierbar und wir müssen die Fälle in denen mindestens 

ein Eigenwert 0 auftritt, getrennt betrachten.


2.2.1 |λ 1,2 | < 1 

Doppelter Eigenwert 0 

Ist B = 0, so ist die Dynamik trivial: in einem Iterationsschritt landen wir 

in 0 und bleiben dort. 

Ist B ≠ 1, so hat die Jordan-Form von B die Gestalt 

B = 

( 

0 1 

0 0 

) 

Ein Punkt der Form 

x = 

( 

x1 

x 2 

) 

wird auf 

( 

x2 

0 

) 

abgebildet und im nächsten Schritt auf die 0. Auch eine recht einfache 

Dynamik. 

Ein Eigenwert 0 

Nun kann B diagonalisiert werden, wir reduzieren in einem Schritt die 

Dynamik in eine eindimensionale Situation. Dort konvergiert die Folge 

gegen 0. 

0 < |λ 1 | < |λ 2 | < 1 

Hier könnten wir die Fälle ob die Eigenwerte gleiches oder ungleiches Vorzeichen 

haben unterscheiden. 

Im beiden Fällen gibt es die eindimensionalen Eigenräume E(λ i ) die invariant 

unter der Dynamik sind. In beiden Unterräumen konvergieren die 

Folgen gegen 0 mit Raten |λ i | n .

2.3. STABILITÄT VON RUHELAGEN 45 

2.2.2 Ein Eigenwert vom Betrag höchstens 1, mindestens 

ein Eigenwert von Betrag 1 

Ein Eigenwert 0, ein Eigenwert vom Betrag 1 

In diesem Fall sind beide Eigenwerte einfach, und es gibt die zwei Möglichkeiten 

für die Jordanform 

( ) ( ) 

0 0 0 0 

oder 

0 1 0 −1 

In einem Schritt erreicht man den Eigenraum zum Eigenwert vom Betrag 

1, in einem Fall ist dieser gefüllt mit Ruhelagen, im anderen mit periodischen 

Orbits der Länge 2. 

Ein Eigenwert 0 < |λ| < 1, ein Eigenwert vom Betrag 1 

Der Eigenwert vom Betrag 1 ist entweder 1 oder −1. Hier hat man Konvergenz 

gegen eine Familie von Ruhelagen, oder gegen eine Familie periodischer 

Orbits der Länge 2. 

Zwei Eigenwerte vom Betrag 1 

Hier sind die einfachen Fälle aus Kombination von zwei reellen Eigenwerten 

±1 denkbar, bei geichen Eigewerten geometrisch doppelt, oder geometrisch 

einfach. Allerdings gibt es auch den Fall von einem Paar konjugiert 

komplexer Eigenwerte, entweder Einheitswurzeln λ p = 1, p ∈oder keine 

Einheitswurzeln. Die ersten Fälle mit Eigenwerten λ 1,2 = ±1 λ 1 λ 2 = −1 

führen auf periodische Orbits der Länge 2, zwei gleiche Eigenwerte mit 

geometrisch doppelten Eigenwerten führen ebenfalls auf Ruhelagen oder 

periodische Orbits, sind aber keine stabilen Situationen. Im Fall von geometrisch 

einfachen, algebraisch doppelten Eigenwerten ±1 hat man polynomiale 

Divergenz. 

2.3 Stabilität von Ruhelagen 

Wir betrachten nun die Situation einer nichtlinearen Abbildung f : U → 

U, wobei U ⊂Ên offen ist. Die Situation einer offenen Teilmenge einer


Mannigfaltigkeit M wird ganz entsprechend behandelt. Wir nehmen an, 

x 0 ∈ U sei eine Ruhelage von f, also f(x 0 ) = x 0 . Wir nehmen an, f sei 

stetig differenzierbar und A = D x f(x 0 ). OBdA dürfen wir annehmen, dass 

x 0 = 0 ist, indem wir 

f 1 (x) = f(x + x 0 ) − x 0 

setzen, dann ist 

f 1 (0) = f(x 0 ) − x 0 = 0 

und D x f 1 (0) = D x f(x 0 ). Es sei g = f − A und damit gilt 

Dg(x 0 ) = 0 

und zu jedem ε > 0 und zu jeder Norm auf L(Ên ;Ên ) gibt es eine Umgebung 

V von 0 mit 

‖Dg(y)‖ L(Ên ) < ε 

für y ∈ V . 

Definition 2.3.0.1 (Stabilität von Ruhelagen) 1. Eine Ruhelage heißt stabil, 

wenn sie als kompakte invariante Menge stabil ist. 

2. Sie wird als asymptotisch stabil bezeichnet, wenn sie als invariante Menge 

ein Attraktor ist. 

3. Ist die Ruhelage nicht stabil, so bezeichnen wir sie als instabil. 

Satz 2.3.0.2 (Stabilität von Ruhelagen) Es sei 0 ∈ U ⊂Ên } 

offen, f ∈ C 1 (U; U) 

∣∣ 

mit A = D x f(0). Dann gilt: Ist σ(A) ⊂ 

{z ∈∣ |z| < 1 , dann ist 0 asymptotisch 

stabil. 

Beweis. Der Spektralradius ρ(A) < s < 1. Daher gibt es eine Norm, mit 

zugehöriger Operatornorm, so dass 

‖A‖ L(Ên ,Ên ) < s. 

Ist ε < 1 − s, so ist auf V , ‖Df‖ < k < 1. Dann ist für x ∈ B δ (0) ⊂ V 

‖f(x) − f(0)‖ ≤ ‖Df(ξ)‖ L(Ên ;Ên )‖x‖ ≤ k‖x‖ < δ. 

Somit ist 0 stabil, und das gleiche Argument zeigt, dass 0 attraktiv ist.

2.4. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN UND STABILITÄT 47 

Satz 2.3.0.3 (Störungssatz) Ist f :Ên →Ên stetig differenzierbar auf einer 

Umgebung W eines Fixpunktes x 0 und ist ‖Df(x 0 )‖ < 1, so gibt es eine abgeschlossene 

Umgebung U von x 0 , so dass f(U) ⊂ U und f ist Kontraktion auf U. 

Ferner ist jede hinreichend nahe an f in gelegene Abbildung g : U → U (f, g nahe 

in C 1 (U; U)), dass g auf U eine Kontraktion ist (und damit einen asymptotisch 

stabilen Fixpunkt besitzt). 

Wir erhalten dafür einen zweiten Stabilitätsbegriff: (U, f) ist als System stabil 

(gegen Störungen). Dieser Begriff spielt in der Theorie dynamischer 

Systeme eine sehr große Rolle. 

2.4 Lineare Differentialgleichungen und Stabilität 

2.4.1 Jordan Form 

In diesem kurzen Abschnitt wiederholen wir einige Begriffe der linearen 

Algebra. Sei A :Ên →Ên eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix 

A (diese wird durch die Wahl einer Basis bestimmt). Wir gehen immer von 

der kanonischen Basis aus und identifizieren auf diese Weise die lineare 

Abbildung mit der Matrix. Eine Zahl λ ∈heißt Eigenwert von A, wenn 

es einen Vektor u c ∈n gibt mit 

Au c = λu c . 

Dieser Vektor u c wird Eigenvektor genannt. Natürlich müssen wir auch bei 

reellen Matrizen komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren zulassen. Deshalb 

arbeiten wir zunächst im komplexifizierten Raumn . Die Eigenwerte 

sind Lösungen der charakteristischen Gleichung 

det(A − λ1l) = 0. (2.1) 

Wegen des Fundamentalsatzes der Algebra gibt es (mit Vielfachheiten gerechnet) 

genau n Wurzeln dieser Gleichung. Jede Wurzel von (2.1) ist auch 

Eigenwert, jedoch gibt es im allgemeinen weniger als n Eigenvektoren. Sei 

λ ein Eigenwert, so ist 

K λ = ker(A − λ1l)


ein A-invarianter Unterraum, der Eigenraum von A zum Eigenwert λ. Sei 

m die Dimension von K λ . K λ ist enthalten im verallgemeinerten Eigenraum, 

der gegeben ist durch 

E λ = {u ∈n | ∃k ∈Æmit (A − λ1l) k u = 0}. 

Der verallgemeinerte Eigenraum E λ zum Eigenwert λ ist invariant unter 

der Abbildung A. Eine weitere Zerlegung in invariante Unterräume ist 

möglich. Dazu betrachtet man den minimalen Wert k 0 , so dass ker(A − 

λ1l) k 0 

= E λ ist. So eine Zahl existiert immer. In E λ existiert eine Basis B, 

welches die Vereinigung von m Mengen H 1 , . . .,H m ist, wobei jedes H k die 

Form 

H k = {u k,1 , . . .,u k,rk } (2.2) 

hat mit 

(A − λ1l)u k,i+1 = u k,i , i = 1, . . .,r k , (A − λ1l)u k,1 = 0. 

Die Einschränkung von A auf E λ hat in der Basis B dann die Gestalt 

⎛ 

⎞ 

B 1 0 . . . . . . 0 

0 B 2 0 . . . 0 

. 

⎜ 

. .. . .. . .. . 

, (2.3) 

⎟ 

⎝ 0 . . . 0 0 ⎠ 

0 . . . . . . 0 B m 

wobei jeder dieser r k × r k Blöcke B k die einfache Form 

⎛ 

⎞ 

λ 1 0 . . . . . . 0 

0 λ 1 0 

.. . 0 

. 

.. . 

.. . 

.. . 

.. . . 

B k = 

. 

.. . 

.. . 

.. . 0 

⎜ 

⎝ . 

.. 

⎟ 

. λ 1 ⎠ 

0 . . . . . . . . . 0 λ 

(2.4) 

hat. Damit haben wir die komplexe Jordansche 1 Normalform einer Matrix 

erhalten. In der reellen Jordanschen Normalform hat man auch eine Dar- 

1 Camille Marie Ennemond Jordan (5.1.1838-21.1.1922) wurde zunächst zum Bergbauingenieur 

ausgebildet. Im Jahre 1916 wurde er Präsident der französischen Akademie der 

Wissenschaften. Sein Werk umfasst neben der Normalform Beiträge zur Algebra (u.a. zur 

Galois-Theorie), zur Analysis, zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und zur Topologie der 

Ebene (Kurvensatz).


stellung in Blöcken wie in (2.3), jedoch sehen die Blöcke i.a. anders aus. Ist 

λ reell so bleibt die Form (2.4) erhalten. Für komplexe Eigenwerte λ = e iα , 

ergibt sich statt (2.4) die Form 

⎛ 

B k = 

⎜ 

⎝ 

cosα − sin α 1 0 . . . . . . . . . 0 

sin α cosα 0 1 0 . . . . . . 0 

0 0 cosα − sin α 1 0 . . . 0 

0 0 sin α cosα 0 1 . . . 0 

. . 

. .. . .. . .. . .. . .. . 

. 

. .. . .. . .. 1 0 

. 

. .. . .. 0 1 

0 . . . . . . . . . . . . 0 cosα − sin α 

0 . . . . . . . . . . . . 0 sin α cosα 

⎞ 

. (2.5) 

⎟ 

⎠ 

Eine einfache Begründung für diese Form ergibt sich aus der komplexen 

Jordanschen Normalform und der folgenden Überlegung. Ist λ ∈ein 

komplexer Eigenwert einer reellen Matrix so ist ¯λ ebenso ein Eigenwert 

und es gibt zu dem zur Menge aus Gleichung 2.2 H k = {u k,1 , . . .,u k,rk } 

eine Menge H ∗ k = {u k,1, . . .,u k,rk } konjugiert komplexer Vektoren die eine 

entsprechende Basis zum Eigenwert ¯λ bilden. Wir definieren nun ein Paar 

reeller Vektoren 

v k,j 

Nun sehen wir leicht 

= 1 2 (u k,j + u k,j ), j = 1, . . ., r k 

w k,j = 1 

2i (u k,j − u k,j ), j = 1, . . ., r k . 

Av k,j = 1 2 (Au k,j + Au k,j ) 

( ) ( ) 

cos(α) − sin(α) vk,j 

= v k,j−1 + 

. 

sin(α) cos(α) w k,j 

Für Aw k,j ergibt eine ähnliche Rechnung ein ganz ähnliches Ergebnis. Für 

die Basis, die immer aus Paaren 

HÊk = {v k,1 , w k,1 , . . .,v k,rk , w k,rk } 

besteht ergibt sich dann die obige Abbildungsmatrix. 

Wie sieht der Block für λ = |λ|e iα aus?


2.4.2 Die Matrixexponentialfunktion 

Definition 2.4.2.1 Sei A ∈ L(Ên ,Ên ). Wir setzen ‖A‖ = sup { |Au| ∣ ∣ u ∈ 

Ên , |u| = 1 } . 

Lemma 2.4.2.2 ‖ · ‖ ist eine Norm auf dem linearen Raum der linearen Abbildungen 

vonÊn in sich. Außerdem gilt ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖. 

Beweis. Einfaches Nachrechnen! 

Definition 2.4.2.3 Sei A eine n ×n-Matrix. Die Funktion E :Ê→L(Ên,Ên ) 

sei definiert durch 

∞∑ t k 

E(A, t) = 

k! Ak . (2.6) 

Wir nennen E(A, t) die Matrixexponentialfunktion und schreiben dafür auch 

k=0 

E(A, t) = e At . 

Lemma 2.4.2.4 Die Funktion E(A, t) ist für jedes A ∈ L(Ên ,Ên ) und jede 

reelle Zahl t ∈Êdefiniert. 

Beweis. Übungsaufgabe! 

Satz 2.4.2.5 Die Matrixexponentialfunktion E(A, t) löst das Anfangswertproblem 

(??) 

Ċ = AC, C(0) = 1l 

aus Hilfssatz ??. 

Beweis. Zunächst betrachten wir eine Teilsumme der Reihe E(A, t) 

m∑ t k 

E m (A, t) = 

k! Ak . 

k=0 

Die Ableitung von E m (A, t) ist natürlich 

m∑ t k−1 

Ė m (A, t) = 

(k − 1)! Ak = AE m−1 (A, t). 

k=1 

Wegen der gleichmäßigen Konvergenz der rechten Seite (auf kompakten 

Teilmengen vonÊ) ist E(A, t) differenzierbar und Ė(A, t) = AE(A, t). 

Natürlich ist auch E(A, 0) = 1l. 

Die Lösung des Anfangswertproblems ˙u = Au, u(0) = u 0 erhält man 

also durch u(t, u 0 ) = E(A, t)u 0 .

∈Ê 


Hilfssatz 2.4.2.6 Kommutieren die beiden Matrizen A, B miteinander, d.h. 

ist AB = BA, folgt für alle t 

BE(A, t) = E(A, t)B, 

und es gilt 

E(A + B, t) = E(A, t)E(B, t) = E(B, t)E(A, t) ∀t ∈Ê. 

Beweis. Die erste Eigenschaft ist eine unmittelbare Konsequenz der Definition, 

die zweite erhält man aus dem Eindeutigkeitssatz für die Lösung 

von Anfangswertproblemen, indem man nachprüft, dass E(A + B, t) und 

E(A, t)E(B, t) das gleiche Anfangswertproblem lösen. 

A kann durch eine Ähnlichkeitstransformation in die Jordansche Normalform 

gebracht werden. Sei J die Jordansche Normalform von A und 

C die Transformationsmatrix, also J = CAC −1 . Die allgemeine Form des 

Verhaltens der Lösungen unter Koordinatentransformation ist in Aufgabe 

20, Blatt 5 angegeben. Für den Spezialfall können wir die Lösung des Ausgangsproblems 

gewinnen, indem wir A in die Jordansche Normalform 

überführen, für diese dann die Gleichung lösen und zurücktransformieren. 

Wir erhalten 

u(t, u 0 ) = E(A, t)u 0 = C −1 v(t, Cu 0 ) = C −1 E(J, t)Cu 0 . 

Aus der Eindeutigkeit der Lösung folgt noch 

E(A, t) = C −1 E(CAC −1 , t)C. 

Natürlich kann man diese Formel auch unmittelbar aus der Definition von 

E(A, t) schließen. Zur allgemeinen Lösung linearer Anfangswertprobleme 

müssen wir noch E(J, t) ausrechnen. Wir gehen von der Gestalt (2.3) aus. 

Natürlich gilt für eine Matrix J in Blockdiagonalgestalt 

J = diag(B 1 , . . .,B m )), 

dass die Matrixexponentialfunktion auch Blockdiagonalgestalt annimmt, 

also 

E(J, t) = diag(E(B 1 , t), . . .,E(B m , t)). 

Ist B ein Block der Länge 1, also B = (λ), so ist natürlich E(B, t) = e λt . Ist B 

ein Block der Länge r > 1 und der zugehörige Eigenwert λ reell, so ergibt 

sich die Exponentialreihe aus folgenden Betrachtungen.


Definition 2.4.2.7 Eine Matrix N heißt nilpotent, wenn es ein r ∈Ægibt mit 

N r = 0. 

Lemma 2.4.2.8 Ein Block der Gestalt (2.4) ist die Summe einer Diagonalmatrix 

D und einer nilpotenten Matrix N. 

Beweis. Natürlich ist D = diag(λ, . . .,λ). Übrig bleibt die r × r Matrix 

⎛ 

⎞ 

0 1 0 . . . . . . 0 

. 

0 0 1 0 .. 0 

. . .. . .. . .. . .. . 

N = 

. . .. . .. . . (2.7) 

.. 0 

⎜ 

⎝ 

. ⎟ 

. 

.. 0 1 ⎠ 

0 . . . . . . . . . 0 0 

Eine einfache Rechnung zeigt, dass N r = 0 ist. Damit ist N nilpotent. 

Bemerkung 2.4.2.9 Genauer gilt, dass jede Matrix A Summe einer diagonalisierbaren 

und einer nilpotenten Matrix ist. Unser Beweis zeigt dies zumindest 

für reelle Matrizen mit ausschließlich reellen Eigenwerten. 

Lemma 2.4.2.10 Die Matrixexponentialfunktion E(B, t) eines Jordan-Blocks der 

Länge r zum Eigenwert λ hat die Gestalt 

⎛ 

⎞ 

1 t t 2 /2 t 3 t 

/6 . . . r−1 

(r−1)! 

. 0 1 t .. . .. . 

. 

E(B, t) = e λt . .. . .. . .. . .. t 3 /6 

(2.8) 

. . .. . .. . .. t 2 /2 

⎜ 

⎝ 

. ⎟ 

. 

.. 1 t ⎠ 

0 . . . . . . . . . 0 1 

Beweis. Es gilt DN = ND und daher mit dem Hilfssatz 2.4.2.6 

E(B, t) = E(D + N, t) = E(D, t)E(N, t). 

Nun ergibt E(D, t) = e λt 1l und da N nilpotent ist, hat man 

E(N, t) = 1l + tN + t2 2 N2 + · · · + 

tr−1 

(r − 1)! Nr−1 .


Für einen nichtreellen Eigenwert stellt man die gleiche Betrachtung im 

Komplexen an und schneidet den Lösungsraum mit demÊn . Wir wollen 

die entsprechende Formel im Moment nicht angeben. 

Satz 2.4.2.11 (Algebraische Struktur des Lösungsraumes I) Sei A ∈ L(Ên ,Ên ).Wir 

setzen U = {u ∈ C 1 (Ê,Ên ) | ˙u = Au}. U ist ein linearer Raum. Die Dimension 

von U ist n. 

Beweis. Offensichtlich ist die Summe zweier Lösungen wieder eine Lösung. 

Gleiches gilt für das Produkt ξu mit ξ ∈Êund u ∈ U. Also bleibt zu zeigen, 

dass dim U = n ist. Sei A : U →Ên die Abbildung Au = u(0). Offensichtlich 

ist A linear und wegen der eindeutigen Lösbarkeit von Anfangswertproblemen 

injektiv. Wegen des globalen Existenzsatzes ist A surjektiv. 

Also gilt U ≃Ên . 

Als nächsten Schritt betrachten wir die inhomogene lineare Gleichung, 

gegeben durch 

˙u = Au + f(t), (2.9) 

wobei f :Ê→Ên eine stetige Abbildung ist. Wir wissen, aufgrund 

des Existenzsatzes, dass diese Gleichung bei Vorgabe eines Anfangswertes 

lösbar ist. Die algebraische Struktur ist natürlich etwas anders als vorher. 

Wie in der linearen Algebra besteht die allgemeine Lösung aus einer speziellen 

Lösung plus einem beliebigen Element aus U. 

Satz 2.4.2.12 (Algebraische Struktur des Lösungsraumes II) Sei 

U f = {u ∈ C 1 (Ê,Ên ) | ˙u = Au + f(t)}. 

U f ist ein n-dimensionaler affiner Unterraum von C 1 (Ê,Ên ). Es existiert also 

ein u 0 ∈ C 1 (Ê,Ên ) mit der Eigenschaft, dass 

U f = {u 0 + u | u ∈ U}. 

Beweis. Wie schon bemerkt, hat die Gleichung (2.9) immer eine Lösung. 

Sei u 0 eine solche Lösung. Dann ist natürlich für u ∈ U auch u 0 + u eine 

Lösung. Wir müssen noch zeigen, dass jede Lösung diese Form hat. Sei u 1 

eine weitere Lösung der Gleichung (2.9). Dann ist u 0 − u 1 eine Lösung der 

homogenen linearen Gleichung (einfaches Nachprüfen zeigt dies). Damit 

ist u 0 − u 1 ∈ U. 

Wir wollen uns noch kurz Gedanken machen, wie man eine spezielle 

Lösung u 0 findet.


Lemma 2.4.2.13 (Formel der Variation der Konstanten) Sei A ∈ L(Ên ,Ên ), 

f :Ê→Ên stetig. Sei u 0 ∈Ên . Dann ist eine spezielle Lösung der Gleichung 

˙u = Au + f(t) gegeben durch 

u 0 (t) = e At u 0 + 

Beweis. Differenzieren ergibt 

also 

∫ t 

0 

e A(t−s) f(s)ds. (2.10) 

∫ 

d 

t 

dt u0 (t) = Ae At u 0 + [e A(t−s) d 

f(s)] |s=t + 

0 dt eA(t−s) f(s)ds, 

d 

dt u0 (t) = Ae At u 0 + f(t) + A 

∫ t 

0 

e A(t−s) f(s)ds = Au + f(t). 

2.4.3 Ebene lineare Systeme 

In diesem Abschnitt wollen wir ebene, lineare und autonome Systeme charakterisieren. 

Wir betrachten also eine Gleichung der Form 

˙u = Au, (2.11) 

wobei A ∈ L(Ê2 ,Ê2 ) eine lineare Abbildung ist. Seien λ 1 , λ 2 die Eigenwerte 

von A. Wir unterscheiden: 

1. λ 1 > λ 2 > 0; 

2. λ 1 = λ 2 > 0; 

3. λ 1 = λ 2 , Reλ 1 > 0; 

4. λ 1 > λ 2 = 0; 

5. λ 1 = λ 2 = 0; 

6. Reλ 1 = Reλ 2 = 0, λ i ≠ 0; 

7. λ 1 > 0 > λ 2 ;


5 

4 

3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

−3 

−4 

−5 

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 

Abbildung 2.1: Die Trajektorien von E(J, t). 

8. λ 1 = λ 2 < 0; 

9. λ 1 < λ 2 < 0; 

10. λ 1 = λ 2 , Reλ 1 < 0; 

11. λ 1 < λ 2 = 0. 

1. Fall: Dabei hat die Jordan Normalform die Gestalt 

( ) 

λ1 0 

J = 

0 λ 2 

(2.12) 

Seien e 1 , e 2 die Eigenvektoren zu λ 1,2 . Dann konvergieren alle Lösungen 

für t → −∞ gegen Null, für t → ∞ verlassen alle Lösungen (außer einer!) 

jedes Kompaktum. Sie schmiegen sich (für t → −∞) an die e 2 -Achse an. 

2. Fall: Wir unterscheiden zwei mögliche Formen des Jordan Blocks (Eigenwerte 

sind geometrisch einfach oder nicht). Zunächst der Fall der geometrisch 

einfachen Eigenwerte. Hier hat der entsprechende Jordanblock 

die Form 

( ) 

λ1 0 

J = . (2.13) 

0 λ 1 

Alle Lösungen haben dieselben Konvergenzeigenschaften wie zuvor. Nur 

ist die Bewegung längs gerader Linien. 

Ist der Eigenwert nicht geometrisch einfach, so hat der Jordanblock die 

Gestalt 

( ) 

λ1 1 

J = . (2.14) 

0 λ 1


5 

4 

3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

−3 

−4 

−5 

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 

Abbildung 2.2: Die Trajektorien von E(A, t) mit schiefliegenden Eigenräumen. 

15 

10 

5 

0 

−5 

−10 

−15 

−15 −10 −5 0 5 10 15 

Abbildung 2.3: Die Trajektorien von E(J, t) mit halbeinfachen Eigenwerten.


15 

10 

5 

0 

−5 

−10 

−15 

−15 −10 −5 0 5 10 15 

Abbildung 2.4: Die Trajektorien von E(J, t) mit geometrisch einfachem, 

algebraisch doppelten Eigenwert. 

Auch hier hat man die Konvergenzeigenschaften wie im ersten Fall, jedoch 

schaut das Bild wiederum anders aus. 

3. Fall: Wieder ergibt sich die gleiche Konvergenz, jedoch erhält man 

einen Strudel. Sei λ 1 = |λ|e iθ . Dann ist λ 2 = |λ|e −iθ und die reelle Normalform 

hat die Form 

( cos θ − sin θ 

J = |λ| 

sin θ cos θ 

4. Fall: Für die Jordan Form ergibt sich 

J = 

( 

λ1 0 

0 0 

) 

. (2.15) 

) 

. (2.16) 

Längs der e 2 -Achse hat man konstante Lösungen (Ruhelagen). Alle anderen 

Lösungen konvergieren für t → −∞ gegen 0 und verlassen in positiver 

Zeitrichtung jedes Kompaktum. 

5. Fall: In diesem Fall hat die Jordan Form das Aussehen 

J = 

( 

0 0 

0 0 

) 

(2.17) 

oder 

J = 

( 

0 1 

0 0 

) 

. (2.18)


Der erste dieser beiden Fälle liefert ausschließlich konstante Lösungen. Im 

zweiten hat man eine Bewegung auf Parallelen zur e 1 -Achse gegen unendlich. 

6. Fall: Unsere Abbildung erhält die Gestalt 

( 

cos θ − sin θ 

J = 

sin θ cosθ 

) 

. (2.19) 

Wir erhalten Lösungen, die sich auf Kreislinien um den Ursprung bewegen. 

7. Fall: Ein qualitativ neues Bild ergibt sich hier. Auf der einen Achse bewegt 

man sich für t → ∞ gegen unendlich und für t → −∞ gegen Null, 

auf der anderen Achse hat man das gegenteilige Verhalten. Dazwischen 

sind Lösungen, die für beide Zeitrichtungen jedes Kompaktum verlassen 

und sich für t → ±∞ an die jeweilige Eigenwertachse anschmiegen. (Dies 

ist die Motivation für den Begriff hyperbolisch, den wir noch einführen werden.) 

In den anderen Fällen ergeben sich ganz ähnliche Bilder wie bisher, nur 

die Zeitrichtungen sind anders. Wir geben nur die Normalformen und die 

Bilder, keine weiteren Kommentare. 

( ) 

λ1 0 

J = 

(2.20) 

0 λ 2 

8. Fall: 

J = 

( ) 

λ1 0 

0 λ 1 

(2.21) 

oder 

J = 

( ) 

λ1 1 

0 λ 1 

(2.22) 

9. Fall: 

J = 

( ) 

λ1 0 

0 λ 2 

(2.23) 

10. Fall: 

( 

cos θ − sin θ 

J = 

sin θ cos θ 

) 

(2.24)

2.5. NEWTONS METHODE ALS DYNAMISCHES SYSTEM 59 

11. Fall: 

J = 

( 

λ1 0 

0 0 

) 

(2.25) 

2.5 Newtons Methode als dynamisches System 

Numerische methoden zur Lösung eines (nichtlinearen) Gleichungssystems 

f(z) = 0. 

Iterationsvorschrift 

Fixpunkte diser Gleichung lösen 

und damit 

x 1 = x 0 − Df(x 0 ) −1 f(x 0 ). 

x 0 = x 0 − Df(x 0 ) −1 f(x 0 ) 

f(x 0 ) = 0. 

Ein Fixpunkt einer Iteration F heißt superattraktiv, falls DF(x 0 ) = 0. Als 

Abbildung F erhalten wir 

Nun ergibt sich 

F(x) = x − Df(x) −1 f(x). 

DF(x 0 ) = 1l − (Df(x 0 ) −1 ) 2 (Df(x 0 ) 2 − D 2 f(x 0 )f(x 0 )) = 0. 

Also ist der Fixpunkt super-attraktiv und die Konvergenz gegen den Fixpunkt 

ist quadratisch. 

Allerdings ist das globale Verhalten sehr viel komplizierter: sucht man 

nach den komplexen Nullstellen von einfachen Gleichungen wie z 3 = 1, 

so sieht man, dass die Einzugsgebiete der einzelnen Lösungen, d.h. die 

Gebiete ω(z) = z i auf komplizierte Weise ineinander verwoben sind.

60 KAPITEL 2. STABILITÄT

Kapitel 3 

Klassifikation dynamischer 

Systeme 

3.1 Konjugation und Orbit-Äquivalenz 

Im Folgenden wollen wir die Analyse von dynamischen Systemen erleichtern, 

indem wir gleich ganze Klassen von ,,gleichen”, ,,äquivalenten” usw. 

Systemen untersuchen. Doch was sind geeignete Konzepte von ,,Gleichheit”, 

,,Äquivalenz” usw.? 

Für Abbildungen hat sich folgendes Konzept als brauchbar herausgestellt: 

Definition 3.1.0.1 Zwei C k -Diffeomorphismen f : X → X, g : Y → Y , 1 ≤ 

k ≤ ∞, heißen topologisch konjugiert (oder C 0 -konjugiert), wenn es einen 

Homöomorphismus h : X → Y gibt mit 

f = h −1 ◦ g ◦ h. 

Allgemeiner heißen zwei C k -Diffeomorphismen f : X → X, g : Y → Y , 1 ≤ 

k ≤ ∞, C j -konjugiert mit 1 ≤ j ≤ ∞, wenn es einen C j -Diffeomorphismus 

h : X → Y gibt mit f = h −1 ◦ g ◦ h. 

Beispiel 3.1.0.2 Die Abbildungen f, g :Ê→Ê, f(x) = 2x, g(x) = 8x, sind 

topologisch konjugiert mittels h(x) = x 3 , was ein Homöomorphismus ist. h ist 

kein Diffeomorphismus, und es gibt auch keinen solchen, wie wir in Kürze sehen. 

Wenn f, g C j -konjugiert sind, so muss h nicht eindeutig bestimmt sein. 

61

62 KAPITEL 3. KLASSIFIKATION DYNAMISCHER SYSTEME 

Beispiel 3.1.0.3 Wenn f = g : X → X, dann ist jeder Homöomorphismus 

h : X → X eine Konjugation. 

Diese Definition von Konjugation ist zwar leicht auf Flüsse zu übertragen, 

aber es wird sich gleich herausstellen, dass da ein anderes Konzept brauchbarer 

ist. Zunächst die analoge Definition: 

Definition 3.1.0.4 Zwei C k -Flüsse ϕ, ψ auf X, Y mit 1 ≤ k ≤ ∞ heißen 

topologisch konjugiert (C 0 -konjugiert), wenn es einen Homöomorphismus 

h : X → Y gibt, so dass für alle t ∈Êgilt: 

ϕ t = h −1 ◦ ψ t ◦ h. 

Allgemeiner heißen zwei C k -Diffeomorphismen f : X → X, g : Y → Y , k ≥ 1, 

C j -konjugiert mit 0 ≤ j ≤ ∞, wenn es einen C j -Diffeomorphismus h : X → Y 

gibt mit ϕ t = h −1 ◦ ψ t ◦ h. 

Hier taucht nun folgendes Problem auf: Sei beispielsweise ϕ der Fluss zu 

dem System 

ṙ = r, ˙θ = 1 

(in Polarkoordinaten) und ψ der Fluss zu 

ṙ = 2r, ˙θ = 2. 

Diese beiden Systeme haben dasselbe Phasenportrait, d.h. für jeden Punkt 

x ∈Ê2 durchläuft der Orbit von ϕ genau dieselben Punkte wie der Orbit 

von ψ durch x. Der einzige Unterschied ist, dass die Geschwindigkeit verschieden 

ist. Wir brauchen daher ein Konzept von Äquivalenz, das nicht 

so sensibel bezüglich des Zeitparameters ist. Folgendes ist brauchbar: 

Definition 3.1.0.5 Die C k -Flüsse ϕ, ψ auf X, Y mit 1 ≤ k ≤ ∞ heißen Orbitäquivalent 

(C 0 -Orbit-äquivalent), wenn es Homöomorphismen h : X → Y 

und σ :Ê→Êgibt, so dass σ orientierungserhaltend (d.h. monoton wachsend) 

ist und für alle t ∈Êgilt: 

ϕ t = h −1 ◦ ψ σ(t) ◦ h. 

Es gibt auch die Definition von C j -Orbit-Äquivalenz mit 0 ≤ j ≤ ∞; 

dabei wird gefordert, dass in der obigen Definition h ein C j -Diffeomorphismus 

ist. Allerdings wird für σ nach wie vor nur Homöomorphie gefordert.

3.1. KONJUGATION UND ORBIT-ÄQUIVALENZ 63 

Wenn also zwei Flüsse Orbit-äquivalent sind, dann können die Orbits zusammengestaucht 

werden. 

Unmittelbare Folgerungen der Definition sind: 

Lemma 3.1.0.6 

• Wenn f zu g C j -konjugiert ist (0 ≤ j ≤ ∞) und f einen Fixpunkt hat, 

dann auch g. 

• Wenn f zu g C j -konjugiert ist (0 ≤ j ≤ ∞), gibt es für jedes periodisches 

Orbit von f ein periodisches Orbit von g, und zwar mit derselben Periode. 

• Eine Identitätsabbildung 1l X ist zu keiner anderen Abbildung außer anderen 

Identitätsabbildungen 1l Y konjugiert. 

Beweis. Alle Punkte sind direkt einsehbar. 

Fast alles in diesem Lemma gilt auch für Konjugation von Flüssen und 

für Orbit-Äquivalenz von Flüssen; allerdings kann sich die Periode eines 

periodischen Orbits bei Orbit-Äquivalenz ändern: 

Lemma 3.1.0.7 

• Wenn ϕ zu ψ C j -konjugiert ist (0 ≤ j ≤ ∞), gibt es für jeden periodischen 

Orbit von ϕ einen periodischen Orbit von ψ, und zwar mit derselben 

Periode. 

• Wenn ϕ zu ψ Orbit-äquivalent ist, gibt es für jeden periodischen Orbit 

von ϕ einen periodischen Orbit von ψ, aber nicht notwendigerweise mit 

derselben Periode. 

Beweis. Auch dieses Lemma ist direkt einsehbar. 

In fast allen Fällen kann man nur C 0 -Konjugation erwarten, auch bei 

glatten Abbildungen oder Flüssen. Eine Ausnahme macht folgender Satz: 

Satz 3.1.0.8 ( ” 

flow-box“) Wenn ϕ ein C 1 -Fluss auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit 

ist und das zugehörige Vektorfeld 

f(x) = d dt | t=0ϕ(x)


an der Stelle x 0 nicht verschwindet, dann gibt es eine offene Umgebung U von x 0 , 

so dass ϕ| U (die Einschränkung von ϕ auf U) C 1 -konjugiert ist zum konstanten 

Fluss auf einer offenen Teilmenge desÊn , definiert durch 

ψ t (y) = y + te 1 

(mit e 1 = der erste Einheitsvektor inÊn ). 

Beweis. Folgt aus einer Konstruktion mittels eines (lokalen) Schnittes. Einen 

vollständigen Beweis findet man in jedem Lehrbuch über Gewöhnliche 

Differentialgleichungen. 

3.2 Hufeisen und Büroklammer 

Im Folgenden wollen wir ein Beispiel für eine ” 

chaotische“ Abbildung 

betrachten, ein sogenanntes Hufeisen. Das erste Beispiel eines solchen 

stammt von Smale; hier studieren wir eine abgewandelte Version, die angenehmer 

ist. 

Definition 3.2.0.9 Die die G-förmige Hufeisen-Büroklammer ist auf U = 

[0, 1] × [0, 1] definiert durch 

⎧( ) 

⎪⎨ 3x, 

y 

für x ≤ 1/3 

( 

G : U →Ê2 3 

) 

, G(x, y) = 3x − 2, 

y+2 

für x ≥ 2/3 

3 ⎪⎩ 

glatt fortgesetzt für x ∈ [1/3, 2/3] 

Diese Abbildung ist noch keine Abbildung eines Raums auf sich selbst. 

Um eine geeignete Menge als Definitionsbereich zu finden, betrachten wir: 

Definition 3.2.0.10 Sei f : X → X eine Abbildung. Eine Menge A ⊂ X heißt 

positiv invariant unter f, wenn f(A) ⊂ A. Für eine invertierbare Abbildung 

f heißt A negativ invariant, wenn f −1 (A) ⊂ A. Wenn A positiv und negativ 

invariant ist, heißt A bi-invariant oder einfach invariant. Eine Abbildung H : 

X → Y heißt invariant unter f, wenn H ◦ f = H. 

Vorsicht: Manche Bücher benutzen das Wort ” 

invariant“ als Synonym für 

,,positiv invariant” und nicht für ” 

bi-invariant“.

3.2. HUFEISEN UND BÜROKLAMMER 65 

Nun suchen wir eine möglichst große Menge imÊ2 , die unter G invariant 

ist. Beachte: Für eine allgemeine Abbildung von U ⊂Ê2 nachÊ2 gibt es 

zwar nicht unbedingt eine maximale invariante Menge. Hierfür bietet sich die 

Menge 

Λ = ⋂ i∈G i (U) 

an. Sie ist per Definition invariant, und sie ist Teilmenge von U, da U = 

G 0 (U). 

Definition 3.2.0.11 Die Standard-Cantormenge ist definiert als 

{ 

∑ ∞ 

C = 

n=0 

a n 3 −n : (a n ) n∈Æ0 erfüllt a n ∈ {0, 2} ∀n ∈Æ0 

Lemma 3.2.0.12 Es gilt: 

a) C ist überabzählbar. 

b) C ist homöomorph zum Cantor-Staub C × C. (Zwei Mengen heißen 

homöomorph, wenn es eine stetige Bijektion zwischen ihnen mit stetiger Umkehrabbildung 

gibt.) 

Beweis. a) Es gibt überabzählbar viele unendliche Folgen in {0, 2}. Wenn 

dann ist 

∑ 

(a n ) n∈Æ≠(b n ) n∈Æ, 

n∈Æa n 3 −n ≠ ∑ n∈Æb n 3 −n , 

denn wenn k die erste Stelle ist, an der sich a und b unterscheiden, dann 

ist 

| ∑ n∈Æa n 3 −n − ∑ n∈Æb n 3 −n | ≥ 3 −k − ∑ n>k 

2 · 3 −n > 0. 

} 

. 

b) 

f( ∑ n∈Æa n 3 −n ) = ( ∑ n∈Æa 2n 3 −n , ∑ n∈Æa 2n+1 3 −n ) 

ist bijektiv, da 

f −1 (( ∑ n∈Æa n 3 −n , ∑ n∈Æb n 3 −n ) = ∑ n∈Æc n 3 −n


mit 

c n = 

{ 

a n/2 für n gerade 

b (n−1)/2 für n ungerade. 

f ist stetig: Für ε > 0 sei k so groß, dass 3 −k < 2ε und wähle 0 < δ < 

3 −2k − ∑ n>2k 2 · 3−n > 0. Dann gilt für x = ∑ n∈Æa n 3 −n , y = ∑ n∈Æb n 3 −n 

mit |x − y| < δ, dass die ersten 2k Stellen von x und y übereinstimmen. 

Somit ist 

|f(x) − f(y)| ≤ | ∑ n∈Æ(a 2n − b 2n )3 −2n | + | ∑ n∈Æ(a 2n+1 − b 2n+1 )3 −(2n+1) | 

= | ∑ n>k 

(a 2n − b 2n )3 −2n | + | ∑ n>k(a 2n+1 − b 2n+1 )3 −(2n+1) | < ε. 

f −1 ist stetig: Für ε > 0 sei k so groß, dass 3 −k < ε und wähle 0 < δ < 

3 −k − ∑ n>k 2 · 3−n > 0. Dann gilt für x = ( ∑ n∈Æa n 3 −n , ∑ n∈Æb n 3 −n ), y = 

( ∑ n∈Æa ′ n 3−n , ∑ n∈Æb ′ n 3−n ) mit |x − y| < δ in der Summennorm, dass die 

ersten k Stellen von x und y in beiden Koordinaten übereinstimmen. Somit 

ist 

|f −1 (x) − f −1 (y)| ≤ ∑ n∈Æ|c n − c ′ n |3−n < ∑ n>k 

|c n − c ′ n |3−n < ε. 

mit 

{ 

a n/2 für n gerade 

c n = 

b (n−1)/2 für n ungerade, 

{ 

c ′ a ′ n/2 

für n gerade 

n = 

für n ungerade. 

b ′ (n−1)/2 

Lemma 3.2.0.13 Die Menge Λ = ⋂ i∈G i (U) ist der Standard-Cantor-Staub 

C × C, wobei C die Standard-Cantormenge ist. 

Beweis. U ∩ G(U) ist das Einheitsquadrat mit dem horizontalen ” 

Drittel“- 

Rechteck entfernt, also die zwei horizontalen Rechtecke [0, 1] × [ 0, 1 3] 


[0, 1] × [ 2 

3 , 1] . Da G aus zwei linearen Abbildungen besteht, wird bei der

3.2. HUFEISEN UND BÜROKLAMMER 67 

nächsten Anwendung von G aus jedem dieser Rechtecke wieder ein horizontales 

Drittel entfernt usw. Somit ist 

⋂ 

i∈ÆG i (U) = [0, 1] × C. 

Für die Umkehrabbildung G −1 gilt, dass U ∩G −1 (U) aus den zwei vertikalen 

Rechtecken [ [ 

0, 3] 1 ×[0, 1] und 2 , 1] ×[0, 1] besteht. Bei jeder weiteren 

3 

Anwendung von G wird aus jedem Rechteck wieder ein vertikales Drittel 

entfernt, und somit ist 

⋂ 

G −i (U) = C × [0, 1]. 

i∈Æ0 

Damit ist natürlich 

Λ = ⋂ i∈Z 

G i (U) = C × C. 

Diese Abbildung ist, wie wir sehen werden, ein Prototyp einer ,,chaotischen” 

Abbildung in folgendem Sinn: 

Definition 3.2.0.14 Eine Abbildung f : X → X, wobei X ein topologischer 

Raum ist, heißt topologisch transitiv, wenn es einen dichten Orbit gibt. 

Satz 3.2.0.15 Es sei X ein vollständiger metrischer Raum, der zusätzlich 

• separabel (d.h. er hat eine abzählbare dichte Teilmenge) sei und 

• keine isolierten Punkte besitze. 

Es sei f : X → X stetig, dann sind die vier folgenden Bedingungen äquivalent: 

1. f ist topologisch transitiv. 

2. f besitzt einen dichten Halborbit. 

3. Für nichtleere offene Mengen U, V ⊂ X gibt es ein N ∈mit f N (U) ∩ 

V ≠ ∅. 

4. Für nichtleere offene Mengen U, V ⊂ X gibt es ein N ∈Æmit f N (U) ∩ 

V ≠ ∅.


Beweis. Die Implikationen (4) impliziert (3), bzw. (2) impliziert (1) sind 

klar. Wir beweisen nun (1) ⇒ (3). Sei {f n (x) : n ∈} dicht und U, V offen 

und nichtleer. Dann existieren n, m ∈mit f n (x) ∈ U, f m (x) ∈ V 

unddann ist f m−n (U) ∩ V ≠ ∅. (Beachte, hier wird nur die Stetigkeit von f 

verwendet, die weiteren Voraussetzungen werden nicht verwendet.) 

(1) ⇒ (4). Wir müssen zeigen, dass wir den Beweis so führen können, dass 

m > n. Ist also V offen, der Orbit dicht und besitzt X keine isolierten Punkte, 

dann gibt es in V Punkte, die nicht im Orbit liegen. (Orbit ist abzählbar, 

eine abgeschlossene Umgebung eines jeden Punktes ist ein vollständiger 

metrischer Raum und als solcher nicht die Vereinigung nirgends dichter 

Mengen (Satz von Baire) und jeder Punkt ist nirgends dicht.) Sei y ∈ V 

und nicht im Orbit von f. Also gibt es eine Folge m k → ∞ mit k → ∞ mit 

f m k (x) → y. Diese Folgenglieder sind ab eines bestimmten 

∈É 

Index alle in V 

und demzufolge, kann m > n gewählt werden. 

Nun beweisen wir (4) ⇒ (2) und (3) ⇒ (1). Sei also X separabel und eine 

der Bedingungen (3) oder (4) erfüllt. Sei S eine abzählbar dichte Teilmenge 

in X und es sei für j ∈ÆU j eine Abzählung der abzählbar vielen metrischen 

Kugeln 

B q (x) mit x ∈ Sund 0 < q 

um Punkte x ∈ S mit Radien 0 < q ∈É. Wenn wir zeigen, dass es einen 

Orbit/Halborbit gibt, der jede dieser Mengen U j trifft, so sind wir fertig. 

Wir beginnen mit einem N 1 ∈oder N 1 ∈Æ, so dass f(U 1 ) ∩ U 2 ≠ ∅. 

Sei nun V 1 eine metrische Kugel vom Radius kleiner 1 in U 2 1 mit V 1 ⊂ 

U 1 ∩f −N 1 

(U 2 ). Wähle V 2 eine metrische Kugel vom Radius höchstens 1 mit 4 

V 2 ⊂ V 1 ∩ f −N 2 

(U 3 ). Setze die Wahl induktiv fort: V n+1 ist metrische Kugel 

1 

vom Radius höchstens mit V 

2 n+1 n+1 ⊂ V n ∩ f −N n+1 

(U n+2 ). Nun bilden die 

Mittelpunkte der Kugeln von {V n } n∈Æeine Cauchyfolge. Sei x ∈ ⋂ n∈ÆV n . 

Dann ist f N n−1 

(x) ∈ U n für alle N n oder für alle n. 

Aufgabe 3.2.0.16 Man ergänze den letzten Schritt im Falle einer Abbildung f, 

die nicht invertierbar ist. 

Definition 3.2.0.17 Eine Abbildung f : X → X, wobei X ein topologischer 

Raum ist, heißt topologisch mischend, wenn es für alle nichtleeren offenen 

Mengen U, V ⊂ X ein N ∈Ægibt, so dass für alle n > N gilt: U ∩ f n (V ) 

ist nicht leer. 

Diese beiden Begriffe sind eng miteinander verbunden. Wir haben den 

folgenden Satz.

3.3. SYMBOLISCHE DYNAMIK 69 

Satz 3.2.0.18 Jede topologisch mischende Abbildung ist topologisch transitiv. 

Beweis. Folgt aus Satz 3.2.0.15. 

Definition 3.2.0.19 Eine Abbildung f : X → X heißt chaotisch, wenn die 

Menge der periodischen Punkte dicht ist und die Abbildung topologisch transitiv 

ist. 

Diese Definition von Chaotizität stammt von Devaney 1 ; es gibt noch andere. 

Anstatt diese Eigenschaften für unsere Hufeisen-Büroklammer direkt 

zu zeigen, studieren wir zuerst ein gänzlich anders aussehendes System, 

sogenannte symbolische Dynamik. Dann werden wir sehen, dass diese augenscheinlich 

sehr verschiedenen Systeme vergleichbare Dynamik haben. 

3.3 Symbolische Dynamik 

Zunächst definieren wir die Symbolräume: 

Definition 3.3.0.20 [Symbolraum] Die Menge 

Ω = {(ω i ) i∈: ω i ∈ {0, 1} für alle i ∈} 

heißt Menge der zweiseitigen Sequenzen (oder zweiseitiger Symbolraum) 


Ω R = {(ω i ) i∈Æ0 : ω i ∈ {0, 1} für alle i ∈Æ0} 

heißt Menge der einseitigen Sequenzen (oder einseitiger Symbolraum). 

Darauf gibt es ein natürliches dynamisches System, welches alle Folgenglieder 

nach links schiebt: 

Definition 3.3.0.21 [Shift-Operator] Der Shift-Operator auf Ω (bzw. Ω R ) ist 

definiert durch 

σ(ω) i = ω i+1 . 

σ wird auch als topologischer Bernoulli-Shift bezeichnet. 

1 statt einer historischen Bemerkung ein Link: 

http://math.bu.edu/people/bob/


Auf der Menge der zweiseitige Sequenzen ist das eine Bijektion; auf der 

Menge der einseitigen Sequenzen dagegen nicht, denn dort wird der Wert 

von ω an der linkesten (0-ten) Koordinaten ” 

vergessen“ und mit ω 1 überschrieben. 

Die Symbolräume sind metrische Räume: 

Definition 3.3.0.22 [Metrik auf Symbolräumen] Auf Ω ist für jedes λ > 1 eine 

Metrik wie folgt definiert: 

d λ (α, ω) = ∑ i∈λ −|i| ∆(α i , ω i ) 

mit ∆(a, b) = 0 für a = b und ∆(a, b) = 1 sonst, bzw. allgemeiner 

d λ (α, ω) = ∑ i∈λ −|i| |α i − ω i |. 

Natürlich kann man auch Symbolräume mit mehr als zwei Symbolen definieren. 

Dies findet man z.B. in [15]. Eine alternative Weise eine Topologie 

zu erklären ist, dass man Ω mit der Menge {0, 1}identifiziert. Versieht 

man nun die Menge {0, 1} mit der diskreten Topologie, so erhält man auf 

Ω die Produkttopologie, erinnert man sich noch daran, dass man {0, 1} 

auch mit einer Gruppenstruktur versehen kann, so wird Ω zu einer kompakten 

topologischen Gruppe. Wir betrachten eine weitere Konstruktion. 

Wähle ein k ∈Æund zu dazu ganzzahlige Werte 

und α k ∈ {0, 1}. 

n 1 < n 2 < · · · < n k 

Definition 3.3.0.23 Ein Zylinder in Ω ist eine Menge der Form 

{ 

} 

C n 1,...,n k 

α 1 ,...,α k 

= ω ∈ Ω ∣ ω ni = α i für k = 1 . . .n . 

Die Zahl k heißt Rang des Zylinders. 

Eine dritte Art und Weise eine Topologie zu erklären besteht nun darin, 

dass wir jeden Zylinder als offene Menge betrachten und dies als Basis 

einer Topologie. Man beachte, dass die Punkte in einem Zylinder an endlich 

vielen Stellen einen vorgegebenen Wert haben, d.h. an endlich vielen 

Stellen sind die Werte vorgegeben.


Aufgabe 3.3.0.24 1. Man zeige Komplemente von Zylindern sind endliche 

Vereinigungen von Zylindern (also nach der dritten Definition auch offen). 

2. Die drei Methoden eine Topologie zu erklären führen auf die gleiche Topologie, 

insbesondere erzeugen für λ 1 ≠ λ 2 die Metriken d λ1 , d λ2 die gleichen 

Topologien. 

Bemerkung 3.3.0.25 Die gleichen Konstruktionen kann man auch mit einseitigen 

Symbolräumen machen. 

Satz 3.3.0.26 Periodische Punkte für σ sind in Ω, bzw. in Ω R dicht. In beiden 

Räumen ist σ topologisch mischend. 

Beweis. Die periodischen Punkte für σ sind gerade die Fixpunkte einer 

geeigneten Potenz von σ. Ist σ r ω = ω, so gilt für alle Indizes 

ω n = ω n+r . 

Für die Dichtheit der periodischen Punkte reicht es daher, in jedem Zylinder 

die Existenz eines periodischen Punktes nachzuweisen. In jedem 

Zylinder C gibt es einen Zylinder der Form 

wobei α für das 2m + 1-Tupel 

C m α = C−m,...,m α −m ,...,α m 

, 

α = (α −m , . . .,α m ) 

steht. Aber in diesem Zylinder findet man den 2m + 2 periodischen Punkt 

ω, der sich durch Wiederholen der Folge α ergibt, also 

ω n = α k , −m ≤ k ≤ m und n − k = 0 mod2m + 1. 

Man beachte, dass es 2 2m+1 solcher endlichen Folgen α gibt. Um die Eigenschaft 

des topologischen Mischens nachzuweisen, muss man die entsprechende 

Eigenschaft für Zylinder nachweisen. Gegeben seien also zwei 

Zylinder C m 1,...m k 

α 1 ,...,α k 

und C n 1,...,n r 

β 1 ,...,β r 

. Wähle zunächst 

ω ∈ C m 1,...m k 

α 1 ,...,α k 

und betrachte n > max{m k + |n r | + |n 1 |}. Setze für j = 1, . . .r 

dann ist ω ∈ C m 1,...m k 

α 1 ,...,α k 

ω(n + n j ) = β j . 

und σ n ω ∈ C n 1,...,n r 

β 1 ,...,β r 

. Dies war zu beweisen.


Lemma 3.3.0.27 Der Cantor-Staub C ×C ist homöomorph zu Ω, die Abbildung 

G : C × C → C × C ist konjugiert zum Shift σ : Ω → Ω. Insbesondere ist G 

topologisch mischend, die periodischen Punkte liegen dicht und G ist chaotisch. 

Beweis. Wir betrachten die Abbildung h : Ω → Λ die Konjugation zwischen 

G und dem Shift auf Ω, definiert durch 

ω ↦→ h(ω) = ⋂ n∈G −n (V ωn ), 

wobei V 0 = [ 0, 1 3] 

× [0, 1] und V1 = [ 2 

3 , 1] × [0, 1]. Zu zeigen ist: 

1. h ist eine Bijektion 

2. h und h −1 sind beide stetig und 

3. h konjugiert σ und G. 

Wir betrachten die folgenden Bilder

3.3. SYMBOLISCHE DYNAMIK 73

74 KAPITEL 3. KLASSIFIKATION DYNAMISCHER SYSTEME


Wir sehen daran, dass endlich viele Schnitte von Mengen der Form G −n (V ωn ) 

gerade Schnitte von entsprechenden Rechtecken mit C ×C sind. Diese bilden 

eine Basis für die Topologie auf C × C. Betrachten wir also 

∩ r j=1 G−n j 

(V ωnj ) 

so ist dies gerade das Bild des Zylinders 

C n 1,...,n r 

ω n1 ,...ω nr 

. 

Durch Bilden des Schnitts über eine Folge von geschachtelten Rechtecken 

der Form 

∩ m j=−m G−j (V ωj ) 

erhält man genau einen Punkt on C × C, ebensoliefern die Schnitte der 

entsprechenden Zylinder 

C −m,...,m 

ω −m ,...,ω m 

genau einen Punkt in Ω. Diese werden aufeinander abgebildet und aufgrund 

der Konstruktion ist h Bijektion und in beiden Richtungen stetig.


Die Konjugationseigenschaft ist leicht zu sehen: 

( ) ⋂ 

G 

n∈G −n (V ωn ) = 

n∈G ⋂ −n+1 (V ωn ) 

= 

n∈G ⋂ −n (V ωn−1 ) 

= h(σω). 

Lemma 3.3.0.28 Isometrien sind nicht topologisch mischend. 

Beweis. Ist f : X → X eine Isometrie, seien x, y, z verschiedene Punkte in 

X und 

δ = 1 min{d(x, y), d(y, z), d(x, z)}. 

4 

Seien 

U = B δ (x), V 1 = B δ (y), V 2 = B δ (z). 

Sei W ⊂ X eine beliebige nichtleere Teilmenge und 

{ 

} 

D(W) = sup d(w 1 , w 2 ) ∣ w 1,2 ∈ W 

der Durchmesser von W . Da f eine Isometrie ist, ist 

Nun ist D(U) = 2δ und damit gilt 

Angenommen für ein n ∈ N gilt 

Seien u i ∈ U mit 

Dann ist 

D(W) = D(f(W)). 

D(f n (U)) = 2δ. 

f n (U) ∩ V 1 ≠ ∅, f n (U) ∩ V 2 ≠ ∅. 

f n (u i ) ∈ V i . 

2δ > d(u 1 , u 2 ) = d(f n (u 1 ), f n (u 2 )) > d(y, z)−(d(y, f n (u 1 ))−d(z, f n (u 2 ))) > 4δ−δ−δ. 

Damit kann es kein N ∈Ægeben, so dass für n > N und i = 1, 2 gilt 

Dies ist gerade die Behauptung. 

f n (U) ∩ V i ≠ ∅.


Definition 3.3.0.29 Es sei X ein metrischer Raum, f : X → X stetig. Die 

Abbildung f heißt expandierend, falls ein λ 0 > 1 und ein ε > 0 existiert, so 

dass 

(x ≠ y ∧ d(x, y) < ε) ⇒ d(f(x), f(y)) > λ 0 d(x, y). 

Beispiel 3.3.0.30 Die Abbildungen E m : S 1 → S 1 : z ↦→ z m sind für m > 1 

expandierend. 

Lemma 3.3.0.31 Es sei X eine differenzierbare kompakte Mannigfaltigkeit mit 

Metrik d. Wir fordern von dieser Metrik, dass es zu jedem x ∈ X ein ε > 0 gibt, 

so dass für y ∈ B ε (x) gilt 

d(x, y) = 

∫ b 

inf ‖˙γ(s)‖ds. 

γ∈C 1 (I,X) 

a 

Eine stetig differenzierbare Abbildung f : X → X ist expandierend, falls es ein 

λ > 1 gibt, so dass für alle x ∈ X und alle v ∈ T x X gilt 

‖Df(x)v‖ ≥ λ‖v‖. (3.1) 

Beweis. Die Menge der ε-Kugeln, die im Lemma angegeben sind, bilden 

eine offene Überdeckung von X, aufgrund der Kompaktheit von X reichen 

endlich viele X zu überdecken, dann gibt es ein ε 0 > 0 (Lebesguezahl), 

so dass zu jedem x ∈ X die Kugel B ε0 (x) in einer der überdeckenden 

Mengen liegt. 

Unter den Voraussetzungen an f ist die Linearisierung in jedem Punkt 

surjektiv, d.h. der Satz über implizite Funktionen garantiert, dass das Bild 

einer ε-Kugel um x eine δ(x)-Kugel um f(x) enthält. Sei δ 0 = inf{δ(x), x ∈ 

X} > 0. Dann betrachten wir für x, y ∈ X mit d(f(x), f(y)) < δ 0 C 1 - 

Kurven, die in B δ0 (f(x)) verlaufen f(x) und f(y) verbinden. Sei L(γ) die 

Länge von γ. Ferner sei ˜γ die eindeutige Kurve, die x mit y verbindet und 

γ = f ◦ ˜γ. 

Dann ist 

L(γ) = 

∫ b 

‖˙γ(t)‖ dt = 

∫ b 

∫ b 

‖f ′ (γ(t)) ˜(t)γ‖ ˙ dt > µ 

‖ ˙ ˜(t)γ dt = µL(˜γ). 

Dann ist 

a 

d(f(x), f(y)) = inf 

γ 

a 

L(γ) > µ inf 

γ 

a 

L(˜γ) ≥ µd(x, y).


Korollar 3.3.0.32 Ist X = S 1 , so reicht anstatt 3.1 die schwächere Bedingung 

∀x ∈ S 1 : |f ′ (x)| > 1 

um sicherzustellen, dass f expandierend ist. 

Beweis. Statt des Argumentes mit der Bogenlänge kann im Eindimensionalen 

mit dem Mittelwertsatz gearbeitet werden, der eine Gleichheit 

d(f(x), f(y)) = f ′ (ξ)d(x, y) 

mit ξ ∈ (x, y) garantiert. Übergang zum Minimum ergibt die behauptete 

Ungleichung. 

Lemma 3.3.0.33 Expandierende Abbildungen auf S 1 sind topologisch mischend. 

Beweis. Betrachte die Projektion π :Ê→S 1 : x ↦→ [x], die jedem Punkt 

die Äquivalenzklasse inÊ/zuordnet. Ein Lift von f : S 1 → S 1 ist eine 

Abbildung F :Ê→Ê, so dass 

f ◦ π = π ◦ F 

ist. Ein Lift ist eindeutig bist auf eine additive ganzzahlige Konstante (Beweis 

der Existenz in den Übungen.) Wir betrachten nun eine offene Menge 

U in S 1 . π −1 (U) enthält ein Intervall I positiver Länge. Dann gibt es ein 

F n (I) ein Intervall ist, dessen Länge größer als 1 ist. Dann ist π(F n (I)) = 

S 1 und π(F n (U)) ⊃ π(F n (I)) = S 1 = f n (π(I)). Insbesondere schneidet 

f n (U) jede offene Menge V nichtleer.

Kapitel 4 

Fraktale und Dimension 

4.1 Selbstähnlichkeit 

Was sind Fraktale? Das Wort ” 

fraktal“ kommt von ” 

zerbrochen“ und steht 

für die nicht-ganzzahlige Dimension. Wir betrachten also Objekte deren 

Dimension keine ganze Zahl ist. Einige solche Objekte sind seit einigen 

Jahren gut bekannt. Oft werden diese als selbstähnlich bezeichnet. Um diesem 

Begriff näher zu kommen betrachten wir wieder die Cantormenge C 

und eine Abbildung 

f : C → C : x ↦→ x 3 . 

Dieses Abbildung bildet die Cantormenge auf den Schnitt der Cantormenge 

mit dem Intervall [0, 1 (x+2) 

] ab, genauso kann man die Abbildung x ↦→ 

3 3 

betrachten, die C auf den rechten Teil von C abbildet. Jeder Schnitt der 

Cantormenge mit einem Intervall der Länge 3 −n , das bei der Konstruktion 

von C auftritt, ist Bild der Cantormenge unter einer (affin linearen) Kontraktion. 

Das heißt jeder solcher Teil ist der Menge C ähnlich, dies motiviert 

uns C, als selbstähnlich zu bezeichnen. Für die formale Definition des 

Begriffes benötigen wir den nachfolgenden Satz, der eine Verallgemeinerung 

des Banachschen Fixpunktsatzes ist und auf Hutchinson zurückgeht. 

Satz 4.1.0.34 Es sei X ein vollständiger metrischer Raum, T i : X → X sei für 

i = 1, . . ., m jeweils eine Kontraktion. Dann gibt es genau eine kompakte Menge 

K ⊂ X mit 

n⋃ 

K = T i (K). (4.1) 

i=1 

79

80 KAPITEL 4. FRAKTALE UND DIMENSION 

Für den Beweis benötigen wir einige Hilfsmittel, die wir in Form mehrerer 

Lemmata formulieren. 

Definition 4.1.0.35 Eine Teilmenge K eines metrischen Raumes X heißt total 

beschränkt, falls es zu jedem ε > 0 eine endliche Teilmenge N ⊂ K gibt mit 

K ⊂ ⋃ 

B ε (x). 

x∈N 

Lemma 4.1.0.36 In einem metrischen Raum X sind für eine Teilmenge K ⊂ X 

die folgenden Aussagen äquivalent: 

1. K ist (überdeckungs) kompakt. 

2. K ist folgenkompakt, d.h. jede Folge in K enthält eine konvergente Teilfolge. 

3. K ist total beschränkt und vollständig. 

Beweis. (1) impliziert (2): Sei K kompakt, {x n } n∈Æeine Folge in K, die 

keine konvergente Teilfolge besitze. Dann gibt es auch keinen Häufungspunkt 

der Folge, d.h. für jedes x ∈ K gilt, dass es ein ε(x) > 0 gibt 

mit B ε(x) (x) enthält nur endlich viele Folgenglieder. Nun bildet die Menge 

{B ε(x) (x)} x∈K eine endliche Überdeckung, also gibt es eine endliche 

Teilüberdeckung 

m⋃ 

K ⊂ B ε(xi )(x i ). 

i=1 

Jede dieser endlich vielen Kugeln enthält nur endlich viele Folgenglieder, 

also ist die Folge endlich. 

(2) impliziert (3): Wir wollen nun zeigen, dass zu jedem ε > 0 endlich viele 

Elemente x i ∈ K, i = 1, . . .,m existieren mit 

K ⊂ 

m⋃ 

B ε (x i ). 

i=1 

Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann gibt es ein ε > 0, so dass für je 

endlich viele Punkte x i ∈ K, i = 1, . . .,m immer gilt 

K ≠ 

m⋃ 

B ε (x i ). 

i=1

4.1. SELBSTÄHNLICHKEIT 81 

Sei ein solches ε > 0 gegeben. Dann ist zu beliebig gewählten x 1 ∈ K die 

Menge B ε (x 1 ) ≠ K, also gibt es ein 

K ∋ x 2 /∈ B ε (x 1 ). 

Angenommen x 1 , . . ., x k seien konstruiert mit 

K ∋ x j+1 /∈ 

j⋃ 

B ε (x i ), j = 1, . . .,k − 1. 

i=1 

Dann ist aufgrund der Voraussetzung 

und wir finden ein 

K ≠ 

k⋃ 

B ε (x i ) 

i=1 

K ∋ x k+1 /∈ 

k⋃ 

B ε (x i ). 

Damit konstruieren wir induktiv eine Folge {x k } k∈Æ, so dass jedes Folgenglied 

zu allen vorherigen einen Abstand mindestens ε hat. Also hat diese 

Folge keine konvergente Teilfolge, im Widerspruch zur Annahme. Damit 

ist diese Implikation gezeigt. 

(3) impliziert (1): Wir nehmen an, K sei total beschränkt, aber nicht kompakt. 

Dann gibt es eine Überdeckung U, so dass 

i=1 

K ⊂ ⋃ U∈U 

U, 

aber je endlich viele dieser Mengen U überdecken K nicht. Wir nehmen an, 

dass X total beschränkt sei, also gibt es zu ε 1 = 1 eine endliche Teilmenge 

x 1 1, . . .,x 1 r 1 

mit 

K ⊂ 

r 1 

⋃ 

i=1 

B 1 (x). 

Nun überdeckt U jede der Mengen B 1 (x i ), i = 1, . . .r mindestens eine dieser 

Mengen besitzt keine endliche Teilüberdeckung, dies sei oBdA B 1 (x 1 ). 

Setze ε 2 = 1 2 . Dann gibt es x2 1, . . .,x 2 r 2 

∈ K mit 

K ⊂ 

r 2 

⋃ 

i=1 

B ε2 (x 2 i ).


Insbesondere ist 

B 1 (x 1 ) ⊂ 

r 2 

⋃ 

i=1 

(B 1 (x 1 ) ∩ B ε2 (x 2 i)). 

Eine dieser endlich vielen Mengen ist nicht endlich überdeckbar, oBdA ist 

dies 

(B 1 (x 1 ) ∩ B ε2 (x 2 1 )). 

Wähle ε 3 = 1 4 und wiederhole den Vorgang. Induktiv sei ε n = 2 1−n für 

n ≥ 1 definiert und Mengen 

B 1 (x 1 1 ) ∩ · · · ∩ B ε n 

(x n 1 ) 

gefunden, die nicht endlich überdeckbar sind (bzgl. U). Betrachte die Folge 

{x n 1 } n∈Æ. 

Diese ist eine Cauchyfolge in K. Der Grenzwert (der aufgrund der Vollständigkeitsannahme 

für K) in K existiert, sei x 0 . Dann gibt es ein U ∈ U mit 

x 0 ∈ U. Da U offen ist, gibt es ein δ > 0 mit B δ (x 0 ) ⊂ U. Insbesondere gibt 

es n 0 ∈ N mit n > n 0 impliziert x n ∈ B δ (x 0 ). Sei n 1 > n 0 , so dass 

2 

ε n < δ 2 . 

Dann ist für n > n 1 

B εn (x n ) ⊂ B δ(x n ) ⊂ B δ (x 0 ) ⊂ U. 

2 

Dies ist ein Widerspruch, dies beweist die Behauptung. 

Beweis von Satz 4.1.0.34. Wir betrachten die Halbgruppe von Abbildungen 

G, die von den Kontraktionen T 1 , . . .,T m erzeugt wird. Wir wollen 

im ersten Schritt zeigen, dass ein Orbit eines Punktes x ∈ X unter dieser 

Halbgruppe, d.h. eine Menge der Form 

{ 

gx 

∣ g ∈ G 

total beschränkt ist. Dazu zeigen wir, dass ein solcher Orbit in einer metrischen 

Kugel enthalten ist. Dazu sei x ∈ X gegeben. Sei 

{ 

} 

r = max d(x, T j x) ∣ j = 1, . . ., m 

}



∣ } ∣∣ 

λ = max 

{λ j j = 1, . . ., m . 

Es gilt λ < 1. Jedes g ∈ G ist von der Form 

g = T ig(j) ◦ T ig(j−1) ◦ · · · ◦ T ig(1), i g (j) ∈ {1, . . ., m}. 

Dann ist mit der Bezeichnung 

j∏ 

T ig(s)x = T ig(j) ◦ · · · ◦ T ig(k)x 

s=k 

d(gx, x) ≤ 

≤ 

≤ 

≤ 

j−1 

∑ j∏ 

d( 

k=1 

s=k 

T ig(s)x, 

j∏ 

s=k+1 

j−1 

∑ 

λ j−k−1 d(T ig(k)x, x) 

k=1 

j−2 

∑ 

λ k 

r 

k=1 

r 

1 − λ . 

T ig(s)x) 

Wir ordnen nun Worten w in m Zeichen α 1 , . . .,α m Operatoren T w zu, indem 

wir zunächst Worten aus einem Zeichen α i den Operator T i zuordnen 

und bei Worten w der Länge |w| = j, w = (w 1 , . . .,w n ) 

T w = T w1 ◦ · · · ◦ T wj 

schreiben. Sei nun ε > 0 gegeben. Wir definieren j 0 durch die Relation 

λ j 0 

r 

1 − λ < ε. 

Dann ist für x, y ∈ X mit d(x, y) < r 

1−λ und für jedes Wort w der Länge j 0, 

d(T w x, T w y) < ε. 

Wir betrachten nun alle Worte W j0 = {w | |w| ≤ j 0 } der Länge höchstens 

j 0 . Setze 

{ 

} 

N = T w x ∣ w ∈ W j0 .


Dann gilt für jedes Wort in m Zeichen, dass 

w = w 1 +w 2 , w 1 ∈ W j0 , + steht hier für das Aneinanderhängen von Worten 

wobei |w 1 | ≤ j 0 und |w 2 | = 0 falls |w 1 | < j 0 . Dann ist 

Tw = T w 1 ◦ T w 2 

mit |w 1 | ≤ j 0 und T w 2 = 1l, falls |w 1 | < j 0 . Ist nun |w| < j 0 , so ist T w x ∈ N 

und insbesondere in ⋃ 

B ε (ξ). 

Ist |w 1 | = j 0 , so ist 


ξ∈N 

d(T w 2x, x) ≤ 

r 

1 − λ 

d(T w x, T w 1x) = d(T w 1 ◦ T w 2x, T w 1x) ≤ λ j 0 

d(T w 2x, x) ≤ λ j r 

0 

1 − λ = ε. 

Insbesondere ist 

T w x ∈ ⋃ 

B ε (ξ). 

ξ∈N 

Also ist Gx total beschränkt. Dann ist Gx kompakt und invariant unter allen 

T j , j = 1, . . .,m. Also ist die Menge der kompakten invarianten Mengen 

nicht leer. Ist nun K eine durch Inklusion vollständig geordnete Kette 

solcher kompakten invarianten Teilmengen, so besitzt dies ein minimales 

Element (den Durchschnitt, der nichtleer kompakt und invariant ist. Damit 

sind die Voraussetzungen des Zornschen Lemmas erfüllt und es gibt 

eine untere Schranke, d.h. eine kompakte nichtleere und invariante Menge, 

die minimal bezüglich Inklusion und der Eigenschaften kompakt und 

invariant zu sein, ist. Sei K diese Menge. Dann ist offensichtlich T i (K) ⊂ K 

und demzufolge 

m⋃ 

T i (K) ⊂ K. 

Setze nun 

i=1 

K ′ = 

m⋃ 

T i (K). 

i=1


Dann ist K ′ kompakt und 

T i (K ′ ) ⊂ T i (K) ⊂ K ′ . 

Also ist K ′ invariant und wegen der Minimalität von K gilt K ′ = K, also 

genügt K der Gleichung (4.1) 

Die Eindeutigkeit sieht man leicht. Ist K kompakt und invariant und 

T i x 0 = x 0 , so ist für x ∈ K die Folge {T j 

i x} j∈Ækonvergent und aufgrund 

der Invarianz von K ist jedes Folgenglied in K. K ist kompakt, also ist 

K ∋ lim T j 

i x = x j→∞ 

0. 

Insbesondere besitzen je zwei nichtleere invariante und kompakte Mengen 

nichtleeren Durchschnitt. Dann nehmen wir an K, K ′ sind kompakt, 

invariant, erfüllen die Gleichung (4.1) und K ist minimales Elemente bezüglich 

der Halbordnung durch Inklusion. Dann ist 

K ∩ K ′ ≠ ∅, kompakt, invariant 

und genügt der Gleichung (4.1). Ist nun K ′ ≠ K so erhalten wir aus K ∩ 

K ′ ⊂ K und der Minimalität von K, dass K ∩ K ′ = K und damit folgt die 

Eindeutigkeit. 

Definition 4.1.0.37 Eine kompakte Menge K ∈Ên heißt selbstähnlich, wenn 

es eine endliche Anzahl von Kontraktionen T i , i = 1, . . .,m gibt mit 

K = 

m⋃ 

T i (K), 

i=1 

und zusätzlich gilt, dass das Maß von T i (K) ∩ T j (K) für i ≠ j gleich Null ist. 

Bemerkung 4.1.0.38 Ersetzt man in der letzten Bedingung das Maß durch andere 

Konstruktionen, so kann man allgemeinere Begriffe von Selbstähnlichkeit 

erhalten. 

Beispiel 4.1.0.39 Mit X = [0, 1] und T x = 1x, T 3 2x = 1x + 2 3 3 

gesehen, die Cantormenge C als selbstähnliche Menge. 

erhält man, wie 

Weitere Beispiele sind folgende selbstähnliche Objekte:


• Der Cantor-Staub, 

• das Sierpinski-Dreieck, 

• der Sierpinski-Teppich, 

• der Menger-Schwamm, 

• die von Koch-Kurve. 

Dabei werden diese Objekte durch folgende Konstruktionen erhalten (C 

und C × C kennen wir ja bereits): 

1. Sierpinski-Dreieck: wir betrachten ein gleichseitiges Dreieck D 0 0 und 

verbinden die Kantenmittelpunkte wieder zu einem Dreieck U 0 und 

betrachten 

D 1 = D 0 \ U 0 . 

D 1 besteht aus drei gleichseitigen Dreiecken D1, j j = 1, 2, 3. Nun wiederholen 

wir den Schritt, den wir auf D 0 angewendet haben für jedes 

der Dreiecke D j 1 und damit neun Dreiecke Dj 2 , j = 1, . . .9. Durch Iteration 

erhalten wir eine selbstähnliche Menge imÊ2 . 

2. Sierpinski-Teppich: Wir betrachten ein Quadrat Q 0 und teilen die 

kanten jeweils in drei gleiche Teile. Dadurch zerlegen wir das Quadrat 

in 9 Quadrate, das mittlere bezeichnen wir mit U 0 . Sei 

Q 1 = Q 0 \ U 0 . 

Damit bleiben 8 Quadrate Q j 1, j = 1, . . .,8 übrig, auf jedes dieser 

Quadrate wenden wir wieder den ersten Schritt an und erhalten 

Q 2 = ⋃ Q j 2 , j = 1, . . .64. 

Wie zuvor ist offensichtlich, dass wir ein selbstähnliches Gebilde erhalten. 

3. Der Menger Schwamm ergibt sich als dreidimensionales Analogon 

des Sierpinski-Teppichs: wir betrachten den Kubus [0, 1] 3 in jeder Koordinatenebene 

konstruieren wir den Sierpinski-Teppich im Quadrat 

[0, 1] 2 . Für jede zu entnehmende Menge U betrachten wir U × [0, 1]

4.2. SELBSTÄHNLICHKEITSDIMENSION 87 

bzw. [0, 1] × U und die dritte (weniger bequem zu formulierende 

Menge. Wir entnehmen aus [0, 1] 3 all diese mengen, das verbleibende 

Objekt nennen wir Menger-Schwamm, wiederum durch die Konstruktion 

erhalten wir sofort die selbstähnlichkeit. 

4. In diesem Fall beginnen wir wieder mit einem Intervall [0, 1] × {0} ⊂ 

Ê2 und ersetzen nun das mittlere Drittel der Strecke durch ein nach 

oben gerichtetes gleichseitiges Dreieck (ohne Bodenlinie). Durch Iteration 

erhalten wir die von-Koch Kurve. 

5. Die von-Kochsche Schneeflocke wird durch den eben beschriebenen 

Prozess mit einem gleichseitigen Dreieck am Anfang definiert 

Für diese Mengen wollen wir einen Begriff der Dimension definieren. Bisher 

hat sich kein eindeutigen Dimensionsbegriff für solche Konstruktionen 

durchgesetzt. Es gibt unter Anderem folgende Definitionen von fraktaler 

Dimension, die leider nicht äquivalent sind: 

1. Selbstähnlichkeitsdimension, 

2. Hausdorff-Dimension, 

3. Box-Dimension. 

Gemeinsame Eigenschaft all dieser Dimensionsbegriffe ist: Der n-dimensionale 

Einheitswürfel hat Dimension n. Allgemeiner soll gelten: Wenn wir die 

Menge A in jeder Koordinatenrichtung in 10 Scheiben schneiden und dann 

10 d Stücke herauskommen, soll die Dimension gleich d sein. Ebenso mit 

der Zahl 10 ersetzt durch eine beliebige Zahl. 

Für selbstähnliche Mengen, also solche, die aus verkleinerten Kopien 

von sich selbst zusammengesetzt sind, bietet sich die Definition aus dem 

nachfolgenden Abschnitt an. 

4.2 Selbstähnlichkeitsdimension 

Definition 4.2.0.40 Wenn eine Menge A ⊂Ên aus k Kopien von Bildern von 

sich selbst zusammengesetzt ist, die alle mit dem Faktor s ∈ (0, 1) skaliert sind, 

so ist die Selbstähnlichkeitsdimension von A gleich 

dim 

S 

(A) = − log k 

log s .


Das ist dadurch motiviert, dass wir erwarten, dass die Dimension d die 

Gleichung 

( ) d 1 

= k 

s 

erfüllt. Auflösen nach d ergibt gerade die Formel in der Definition. 

Beispiel 4.2.0.41 1. Die Standard-Cantormenge C besteht aus k = 2 Kopien, 

die mit s = 1/3 skaliert sind. Somit ist 

dim 

S 

(C) = log 2 

log 3 . 

2. Das Sierpinski-Dreieck D besteht aus k = 3 Kopien, skaliert mit s = 1/2. 

Somit ist 

dim 

S 

(D) = log 3 

log 2 . 

3. Für den Sierpinski-Teppich T ist k = 8 und s = 1/3, somit 

dim 

S 

(T) = log 8 

log 3 . 

Aufgabe 4.2.0.42 Was ist die Selbstähnlichkeitsdimension des Menger-Schwamms? 

Wenn wir dem n-fachen Cantor-Staub C × · · · × C ⊂Ên betrachten (das 

n-fache Produkt der Standard-Cantormenge C), wie ist dann die Selbstähnlichkeitsdimension? 

Was ist die Selbstähnlichkeitsdimension der Cantormenge C(λ), die entsteht, 

wenn aus [0, 1] das offene mittlere Intervall der Länge λ ∈ (0, 1) entfernt wird, 

aus jedem verbleibenden Intervall der Länge x wieder das offene mittlere Intervall 

der Länge λx ∈ (0, 1) entfernt wird usw.? 

Natürlich sind solchermaßen selbstähnliche Mengen sehr speziell. Man 

kann die Definition noch etwas erweitern, um zuzulassen, dass der Skalierungsfaktor 

s bei jeder Kopie anders ist. Wir wollen uns aber gleich die allgemeinste 

Definition von Dimension ansehen, nämlich die der Hausdorff- 

Dimension.

4.3. HAUSDORFF-DIMENSION 89 

4.3 Hausdorff-Dimension 

Definition 4.3.0.43 Für eine Menge A inÊn und d ∈Êund ε > 0 ist 

h d ε (A) = inf{ ∑ i∈Ædiam(U i ) d | (U i ) i∈ÆÜberdeckung von A, 

diam(U i ) < ε ∀i ∈Æ}. 

Das d-dimensionale Hausdorff-Maß ist 

h d (A) = lim 

ε→0 

h d ε (A). 

Letzterer Limes ist wohldefiniert, da h d ε monoton in ε ist. Alle Überdeckungen, 

die für ein ε > 0 zugelassen sind, sind auch für alle größeren 

ε ′ > ε > 0 zugelassen. Daher wird in diesem Fall das Infimum für ε < ε ′ 

über weniger Überdeckungen gebildet und daher ist das Infimum für den 

kleineren Wert größer und man hat in diesem Fall 

h d ε (A) ≥ hd ε ′(A). 

Also existiert der Grenzwert in diesem Fall inÊ∪{∞}. Man kann nun 

folgenden Satz zeigen. 

Satz 4.3.0.44 Für jedes A gibt es ein d ∈ [0, ∞] mit 

Definition 4.3.0.45 Die Zahl 

h s (A) = ∞ 

für s < d 

h s (A) = 0 für s > d. 

dim 

H 

(A) = inf{s > 0 : h s (A) = 0} 

= sup{s ≥ 0 : h s (A) = ∞} 

heißt die Hausdorff-Dimension von A. 

Bemerkung 4.3.0.46 Es folgt, dass für jedes nichtleere A die Hausdorff-Dimension 

gleich der Zahl d in dem vorigen Satz ist. Für die leere Menge kann man wahlweise 

0 oder −∞ als Dimension festsetzen. Letzteres ist praktisch, da dann Formeln 

wie dim H (A × B) ≥ dim H (A) + dim H (B) stimmen. In der Literatur wird aber 

trotzdem oft 0 benutzt.


Bemerkung 4.3.0.47 Für s = dim H (A) muss h s (A) keineswegs eine Zahl in 

(0, ∞) sein; auch 0 und ∞ sind möglich. 

Aufgabe 4.3.0.48 Finden Sie solche Mengen A. 

Der Vorteil der Hausdorff-Dimension ist, dass beliebigen Mengen eine 

Dimension zugeordnet werden kann. Das Problem mit der Hausdorff- 

Dimension ist, dass ihre Berechnung sehr schwer ist, sogar für ganz einfach 

Mengen wie [0, 1] n oder die Standard-Cantormenge. Daher befassen 

wir uns jetzt noch mit einer weiteren Dimensionsdefinition, die immer 

noch reichlich allgemein ist, aber mit wesentlich weniger Aufwand berechenbar 

ist, sogar automatisiert per Computer. 

4.4 Box-Dimension 

Es gibt verschiedene Berechnungsvorschriften für die Box-Dimension, die 

alle dasselbe Ergebnis liefern und daher alle als Definition taugen. 

Zunächst eine Definition, die herauskommt, wenn wir in der Definition 

der Hausdorff-Dimension den Term diam(U i ) ersetzen durch die obere 

Schranke für diese Durchmesser, also eine Zahl, die nicht von i abhängt: 

Definition 4.4.0.49 Sei A eine kompakte Menge inÊn . 

Sei N(δ) die kleinste Zahl, so dass A mit N(δ) offenen Mengen von Durchmesser 

δ überdeckt werden kann. 

Definiere die untere Box-Dimension als 

dim B (A) := lim δ→0 

log N(δ) 

− log δ 

und die obere Box-Dimension als 

dim B (A) := lim δ→0 

log N(δ) 

− log δ 

= lim inf 

δ→0 

= lim inf 

δ→0 

log N(δ) 

− log δ 

log N(δ) 

− log δ . 

Wenn diese Zahlen übereinstimmen, heißt die Zahl die Box-Dimension von A : 

dim 

B 

(A) := lim 

δ→0 

log N(δ) 

− log δ .

4.4. BOX-DIMENSION 91 

Diese Definition ist schon leichter zu benutzen, erfordert aber immer noch 

etwas Gehirneinsatz bei der Berechnung von N(δ). Daher hier eine weitere 

(äquivalente Definition), die so einfach ist, dass ein Computer sie benutzen 

kann: 

Definition 4.4.0.50 Die δ-Parkettierung desÊn ist die Menge 

P(δ) := {[k 1 δ, (k 1 + 1)δ] × · · · × [k n δ, (k n + 1)δ]}, 

die aus kompakten Würfel der Kantenlänge δ besteht, welche Eckpunkte auf dem 

Gitter δn haben. 

Für eine Menge A sei N 2 (δ) die Zahl der Würfel in P(δ), die A schneiden. 

Dann können die untere Box-Dimension, die obere Box-Dimension und bei 

Gleichheit die Box-Dimension so definiert werden wie oben mit N ersetzt durch 

N 2 . 

Definition 4.4.0.51 Sei N 3 (δ) die minimale Zahl von Würfeln (der Dimension 

n), welche A ⊂Ên überdecken, nicht notwendigerweise Elemente der Parkettierung 

P(δ). 



N 3 . 

Definition 4.4.0.52 Sei N 4 (δ) die kleinste Zahl, so dass A mit N(δ) offenen 

Bällen von Durchmesser δ überdeckt werden kann. 

D.h. N 4 (δ) ist so definiert wie N(δ), außer dass statt beliebigen offenen Mengen 

nun Bälle genommen werden. 



N 3 . 

Satz 4.4.0.53 Die Box-Dimension, untere und obere Box-Dimension sind unabhängig 

davon, ob in der Definition N, N 2 , N 3 oder N 4 steht. 

Beweis. Jede Menge von Durchmesser δ ist enthalten in einem Cluster aus 

3 × · · · × 3 Elementen der Parkettierung P(δ), also ist N 3 ≤ N 2 ≤ 3 n N. 

Ein n-Würfel der Kantenlänge 1 kann mit K(n) Bällen von Durchmesser 

1 überdeckt werden, wobei die Konstante K(n) nur von n abhängt. 

Also ist N ≤ K(n)N 3 ≤ K(n)N 2 .


Offensichtlich ist auch N ≤ N 3 , da jeder Ball von Durchmesser δ in 

einen n-Würfel von Durchmesser δ passt. 

Weiterhin ist N = N 4 , da jeder offene Ball von Durchmesser δ eine offene 

Menge von Durchmesser δ ist und jede offene Menge von Durchmesser 

δ in einen Ball von Durchmesser δ hineinpasst. 

Somit ändert sich N bei Übergang zu N 2 , N 3 oder N 4 höchstens um 

eine (von δ unabhängige) multiplikative Konstante und log N höchstens 

um eine additive. Also hat 

log N(δ) 

− log δ 

nach diesem Übergang denselben oberen und unteren Grenzwert. 

Es gibt noch weitere mögliche Modifikationen: Die Bälle oder Würfel 

können offen oder abgeschlossen gewählt werden usw. Wir haben bislang 

genug Definitionen. 

Bemerkung 4.4.0.54 Definition (N 2 ) ist für maschinelle Auswertung geeignet: 

Ein Computer kann für endlich viele Werte von δ (z.B. für einen einzigen Wert 

δ 0 ) N 2 (δ) bestimmen und somit 

als Näherung der Dimension. 

log N(δ 0 ) 

− log δ 0

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Gew ¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

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