III. Wärmelehre Thermodynamik oder Statistische Mechanik

IV. Wärmelehre 

III. Wärmelehre 

Thermodynamik oder 

Statistische Mechanik 

H. Zabel 26. Lektion: Temperatur 1

Statistische Mechanik 

Gasatome in einem Gefäß 

Jedes Teilchen hat einen Ort und eine 

Geschwindigkeit, aus der die Trajektorie genau 

bestimmt und die zukünftige Bahn berechnet 

werden kann. 

Allerdings sind einem Gasvolumen ca. 10 20 

Teilchen. Um deren Bahnen genau berechnen zu 

können, brauchten wir alle Computer dieser Welt. 

Sinnvoller ist eine statistische Aussage über die 

(Quanten-) Mechanik der Teilchen, die sich in 

makroskopischen Größen ausdruckt: 

Druck, Volumen, Dichte, Temperatur, 

Wärmeinhalt, Entropie, etc. 


26. Lektion: 

Temperatur, Thermische Ausdehnung 


Lernziel 

Alle Körper haben eine Temperatur. 

Die thermische Ausdehnung ist durch die 

anharmonische Wechselwirkung von Atomen 

in der kondensierten Materie begründet. 


Begriffe: 

• Temperatur 

• Temperaturskalen 

• Thermisches Gleichgewicht 

• Temperaturausgleich 

• Thermische Ausdehnung 

• Temperaturmessung 


I. Temperatur 


Alle Substanzen haben eine 

Temperatur 

Gas: 

Temperatur entspricht der 

Translationsbewegung der 

Gasmoleküle: 

T ∝ E kin 

Festkörper: 

Temperatur folgt aus der lokalen 

Schwingung der Atome um ihre 

Gleichgewichtslage: 

T ∝ E kin 

+ E pot 


Kelvin und Celsius Temperatur-Skala 


Wichtige Fixpunkte der 

Temperaturskala 


Logarithmische Temperaturskala: 

T=10 n K 


Thermisches Gleichgewicht 

T A 

Zwei gleiche Körper mit 

verschiedenen 

Temperaturen tauschen 

nach Kontakt Energie aus 

(auch im Vakuum) 

T A 

T B 

T B 

Relaxationszeit 

Im thermischen Gleichwicht 

ist die Temperatur 

identisch: T A =T B 

T A = T B 


Relaxationszeit für 

Temperaturausgleich 

Temperaturen gleichen sich 

nach einem exponentiellen 

Zeitgesetz aus. Die 

charakteristische Zeit für den 

Temperaturausgleich ist die 

Relaxationszeit τ. 

T A 

Gleichgewichtstemperatur: 

T* 

T 

= 

T A 

+ T 

2 

* 

B 

T B 

τ 

Zeit 

H. Zabel 26. Lektion: Temperatur 12 

Zeitlicher Verlauf 

Temperaturausgleich

Relaxationszeit für 

Temperaturausgleich 

Bei verschiedenen Körpern (bezüglich Masse oder Chemie), 

folgt die Gleichgewichtstemperatur nicht einfach aus dem 

arithmetischen Mittel sondern muss unter Berücksichtigung 

von Masse und spezifischer Wärme berechnet werden 

(s. dazu Lektion 27): 

T A 

T* 

T B 

Zeit 


Zeitlicher Verlauf Temperaturausgleich

Fazit aus Temperaturausgleich 

• Wärmeenergie von einem Körper auf einen anderen übertragen, 

ohne dass dabei Masse transportiert würde; 

• Der Temperaturausgleich findet immer so statt, dass der heissere 

Körper kälter wird und der kältere wärmer. Es wird nie passieren, 

dass durch Wärmekontakt der heißere Körper noch heißer wird und 

dabei der kältere Körper noch kälter; 

• Thermodynamische Prozesse haben eindeutige 

Richtungsabhängigkeit (s. dazu Lektion über 2. Hauptsatz der 

Thermodynamik und Entropie) 


Thermische Expansion 

II. Thermische Expansion 


Thermische Expansion 

Volumenausdehnung: 

L(T+∆T) 

L(T) 

T+∆T 

T 

Längenänderung durch Temperaturänderung: 

L 

Relative Längenänderung: 

oder: 

L 

( T + ∆T) − L( T ) = ∆L ∝ L( T )∆T 

∆L 

L 

= 

α 

T 

∆T 

( T + ∆T ) − L( T ) = ∆L = α L( T )∆T 

T 


Körper dehnen sich aus

Thermischer Expansionskoeffizient 

Linearer-Expansionskoeffizient: 

α 

T 

= 

1 

L 

dL 

dT 

Einheit: 

[ ] 

−1 

= K 

α T 

Relative Volumenänderung = 3×relative Längenänderung: 

∆V 

V 

= 

∆L 

L 

x 

x 

+ 

∆L 

L 

y 

y 

+ 

∆L 

L 

z 

z 

= 

3 

∆L 

L 

Volumen-Expansionskoeffizient: 

β T = 3α T 


Linearer Expansionskoeffizient

Thermische 

Expansionskoeffizienten 

α Τ /Κ −1 β T /K -1 

Ideales Gas (273K) 3.66×10 -3 

Luft 3.67×10 -3 

Wasser 0.2×10 -3 

Eis 5.1×10 -5 0.15×10 -3 

Alkohol 1.1×10 -3 

Quecksilber 18×10 -5 

Glas ~2.5×10 -5 7.5×10 -5 

Stahl 3.6×10 -5 10.8×10 -5 

Aluminium 2.4×10 -5 7.2×10 -5 


Einige Expansionskoeffiz.

Thermische Expansionskoeffizienten 

der Elemente 


Thermische Expansionskoeffizienten 

der Elemente 


Expansionskoeffizient als 

Funktion der Temperatur 

Al 

∆L/L = α T ∆T 

Linearer 

Bereich 


Mikroskopische Ursache für die 

thermische Expansion 

In Kristallen sind Atome auf ihren Plätzen durch 

harmonische Potenziale (Wechselwirkung mit 

den Nachbarn) gebunden. 

U ( x ) 

U ( x ) 

U ( x ) 

a 

a 

In diesen harmonischen Potenzialen haben die 

Atome kinetische und potenzielle Energie, analog 

zum Fadenpendel. 

a 


Tiefe 

Temperaturen 

Atome im harmonischen 

Potenzial 

U ( x ) 

U ( x ) 

U ( x ) 

a 

a 

Höhere 

Temperaturen 

U ( x ) 

U ( x ) 

U ( x ) 

a 

a 

Bei höheren Temperaturen nimmt die Amplitude der Schwingung zu 

und damit auch die Gesamtenergie des harmonischen Oszillators: 

( T ) 1 k x( T ) 2 0 

E tot 

= 


2

Atome im unharmonischen 

Potenzial 

Sofern die Atome in einem harmonischen Potenzial schwingen, gibt es 

keinen Grund für die Abstandsänderung (Gitterparameteränderung) mit 

zunehmender Temperatur: 

U ( x ) 

U ( x ) 

U ( x ) 

a 

a 

Bei höheren Temperaturen ( = Amplituden) weicht das Potenzial von 

seiner harmonischen Form ab: unharmonisches Potenzial. Die Atome 

kommen sich zu Nahe und stossen sich ab. 


Heuristische Erklärung für die 

thermische Expansion 

Die Atome wollen trotz erhöhter Amplitude in etwa dem gleichen 

Abstand bei maximaler Annäherung bleiben. Dies können sie nur durch 

Vergrößerung ihres mittleren Abstands erreichen: 

Amplitude im unharmonischen 

Potenzial 

vor Relaxation 

Gleiche Amplitude, aber im 

harmonischen Potenzial 

vor Relaxation 

a 

Gleiche Amplitude im unharmonischen 

Potenzial 

nach Relaxation 

a+∆a 


Lenard-Jones Potenzial 

E LJ 

12 

⎛ a ⎞ 

~ ⎜ ⎟ 

⎝ r ⎠ 

6 

⎛ b ⎞ 

E attraktiv 

~ − ⎟ r ⎠ 

E repulsiv 

⎜ 

⎝ 

Ein häufig verwendetes Potenzial 

zur Beschreibung der 

Wechselwirkung zwischen Atomen 

ist das sogenannte Lenard-Jones 

(LJ) Potenzial: 

E LJ 

= 

E 

0 

⎡⎛ 

⎢⎜ 

⎢⎣ 

⎝ 

a 

r 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

12 

⎛ 

− ⎜ 

⎝ 

b 

r 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

6 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 


Vergleich von LJ-Potenzial und 

harmonischem Potenzial 

Das harmonische Potenzial 

stimmt nur bei kleinen 

Amplituden mit dem LJ-Potenzial 

näherungsweise überein. 

http://htc.physik.huberlin.de/~mitdank/dist/scriptenm/ljp.htm 


Zugschienen 

Transsibierische Eisenbahn 

Halliday, Resnick and Walker, 

Fundamentals of Physics, 6th ed., 

Enhanced Problems Version, 

Figure 19-9 (Wiley, 2003) 


Thermische Expansion von Ceran 

Ceran besteht aus einer Mischung von amorpher und kristalliner 

Keramik. Die amorphe Komponente hat einen positiven, die kristalline 

Komponente einen negativen Expansionskoeffizienten. Die beiden 

Komponenten kompensieren sich und ergeben ein Material mit nahezu 

Null Ausdehnung. 


Teleskop-Linse aus Zerodur Glas 

Schott, Mainz 

Das zwei Komponenten Glass Zerodur ist bei hohen Temperaturen in 

einem glasartigen Zustand und wird dann sehr langsam abgekühlt um eine 

spannungsfreie Optik zu garantieren. 


Quiz: ?? 

Um wieviel Meter wird der Eiffelturm 

im Sommer länger im Vergleich 

zum Winter? 

A. 1.2 m 

B. 0.36 m 

C. 0.01 m 

D. 0.1 m 

Anwort: 

∆L = α L T 

∆T 

= 

= 36x10 

-2 

m 

= 

−5 

1 

4× 

10 300m 30K 

K 

0.36 m = 36 cm 


Besonderheiten von thermischen 

Expansionskoeffizienten 

FeNi - Invarlegierungen 

Negativer 

Temperaturkoeffizient 

d.h. Wasser dehnt sich beim 

Gefrieren aus. 

Verwendung von Invar-Legierungen 

als Farbmasken in Fernsehern 


Thermische Expansion von 

Festkörpern und Flüssigkeiten 

Festkörper: 

Thermische Expansion von 

Festkörpern kann nur in allen 

drei Dimensionen erfolgen 

Flüssigkeiten: 

Bei thermischer Expansion von 

Flüssigkeiten kann die 

Flüssigkeit in einer Richtung 

ausweichen: 

∆V 

V 


Expansion- Flüssigkeiten-Festkörpern

Was passiert beim Schmelzen? 

Bei einer thermischen Ausdehnung: 

∆L/L = α T ∆T = 0.1 oder 10% 

Werden die atomaren Bindungen so schwach, dass die kristalline 

Ordnung zerstört wird. 

Molekulardynamische Berechnungen simulieren den Schmelzvorgang: 

http://abulafia.mt.ic.ac.uk/oldweb/Bulatov/gallery/crystal/ 


Quiz: ?? 

Beim Gefrieren von Wasser platzt eine Flasche. Welche 

zwei physikalischen Gesetze können wir daraus lernen? 

1. Wasser/Eis dehnt sich beim 

Gefrieren aus, im Gegensatz zu 

fast allen anderen festen 

Körpern. 

2. Im festen Zustand ist die 

Ausdehnung in allen Richtungen 

gleich groß und kann nicht in 

einer Richtung ausweichen wie 

bei einer Flüssigkeit. 


Wasser frieren platzt Flasche

Temperaturmessungen 

III. Temperaturmessungen 


Thermometertypen 

Flüssigkeitsthermometer 

Einschnürung damit 

Flüssigkeitssäule auch nach 

Entfernen nicht zurück fließen 

kann 

Thermoelement 

37,5°C 

Vorratsbehälter für die sich 

ausdehnende Flüssigkeit 

Thermoelement besteht aus dem 

Kontakt von zwei verschiedenen 

Metallen. Der Kontakt erzeugt 

eine Spannungsdifferenz, die 

prop. zur Temperatur ist. 


Thermometertypen 

Bimetallstreifen 

Bimetallstreifen besteht aus zwei 

Metallen mit unterschiedlichen 

thermischen 

Expansionskoeffizienten: 

Infrarot-Thermometer 

Ni 

FeNi 

Das Infrarot-Thermometer detektiert 

über eine Photozelle die 

elektromagnetische Infrarotstrahlung 

eines Körpers und ermittelt daraus 

seine Temperatur. 


Temperaturmessung 

Temperatur-Messung macht nur 

dann Sinn, nachdem Körper und 

Thermometer die gleiche 

Temperatur angenommen 

haben, d.h. im thermischen 

Gleichgewicht sind. 


Temperaturmessung

Zusammenfassung 

Zusammenfassung 

• Alle Substanzen haben eine Temperatur bestimmt durch 

ihre kinetische Energie (und potentiellen Energie bei 

Festkörpern) 

• Kelvin und Celsius sind die üblichen Temperaturskalen, die 

sich nur im gewählten Nullpunkt unterscheiden 

• Thermisches Gleichgewicht ist dann eingestellt, wenn alle 

Körper im Kontakt die gleiche Temperatur haben 

• Alle Substanzen erfahren eine thermische Expansion 

• Für Temperaturmessung eignet sich die thermische 

Expansion, elektrischer Widerstand, Druck von Gasen und 

Kontaktspannung von Thermoelementen

III. Wärmelehre Thermodynamik oder Statistische Mechanik

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