Geometrische Gruppentheorie – Übungsblatt 10 n → k, (x1,..., xn ...

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Geometrische Gruppentheorie – Übungsblatt 10 n → k, (x1,..., xn ...

Karlsruher Institut für Technologie 21. 12. 2011

Institut für Algebra und Geometrie

HDoz. Dr. Oliver Baues

Dr. Florian Nisbach

Geometrische Gruppentheorie Übungsblatt 10

Aufgabe 1

(4 Punkte)

Es sei k ein Körper. Eine quadratische Form auf k n ist eine Abbildung

q : k n k, (x 1 , . . . , x n ) ↦ f (x 1 , . . . , x n ),

wobei f ∈ k[X 1 , . . . , X n ] ein homogenes Polynom von Grad 2 ist.

a) Es gelte ab jetzt 2 ∈ k × . Weiter sei q eine quadratische Form auf k n . Zeige: Dann existiert

genau eine symmetrische Matrix M q ∈ k n×n mit:

∀v ∈ k n : q(v) = v t M q v.

Dabei heißt q nicht ausgeartet, wenn M q ∈ GL n (k) gilt.

b) Sei nun q eine nicht ausgeartete Form. Zeige, dass dann

O(q) := {A ∈ k n×n | A t M q A = M q } und SO(q) := {A ∈ O(q) | det(A) = 1}

Gruppen sind und gilt:

O(q) = {A ∈ GL n (k) | ∀v ∈ k n : q(Av) = q(v)}.

c) Ab jetzt sei k = R. Für p, q ∈ N mit p + q = n definiere

M p,q := diag(1, . . . , 1, −1, . . . , −1)

} {{ } } {{ }

p

q

und SO(p, q) := SO(M p,q ). Zeige, dass zu jeder nicht ausgearteten quadratischen Form q

auf R n natürliche Zahlen p, q existieren, dass SO(q) ∼ = SO(p, q).

d) Zeige, dass SO(p, q) für 1 ≤ p ≤ n − 1 eine nicht kompakte Lie-Gruppe ist.

e) Zeige, dass SO(2, 1) auf

H 2 := {(x, y, z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 − z 2 = −1, z ≥ 0}

transitiv operiert und bestimme den Stabilisator des Punktes (0, 0, 1).

Aufgabe 2

(4 Punkte)

Sei G ⊆ GL n (C) eine Gruppe, S, T ∈ G mit K := STS −1 T −1 , sodass p := ord(K) eine Primzahl

ist. Ferner kommutiere K mit S und T. Zeige, dass dann p ≤ n gilt.


Aufgabe 3

(4 Punkte)

Wie auf dem letzten Übungsblatt bezeichne H 3 (R) die Heisenberggruppe. Wir definieren

⎧⎛

⎞ ⎫

⎨ 1 0 m ⎬

D := ⎝0 1 0 ⎠ | m ∈ Z


⎭ .

0 0 1

a) Zeige, dass D ⊆ H 3 (R) ein Normalteiler und H 3 (R)/D eine Lie-Gruppe ist.

b) Zeige: H 3 (R)/D ist keine lineare Gruppe, d.h. es existiert für kein n ∈ N ein injektiver

Gruppenhomomorphismus Φ : H 3 (R)/D GL n (C).

Hinweis: Benutze für Teil b) die zweite Aufgabe und die Matrizen

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 0 1 0 0

⎝0 1 0⎠ ⎜ 1

und ⎝0 1


p ⎠ ,

0 0 1 0 0 1

um zu einem Widerspruch zu gelangen.

Aufgabe 4

(viele Punkte)

Sei A ein euklidisches oder hyperbolisches Dreieck mit Winkeln α, β, γ, dessen Seiten wir

mit s 1 , s 2 , s 3 bezeichnen. Sei ∆(A) ⊆ Isom(R 2 ) bzw. ∆(A) ⊆ Isom(H) die Gruppe, die von

den Spiegelungen an den Geodätischen, auf denen s 1 , s 2 und s 3 liegen, erzeugt wird die

sogenannte Dreiecksgruppe zu A.

a) Finde eine Bedingung in Abhängigkeit von α, β, γ dafür, dass ∆(A)diskret ist.

b) Ab jetzt sei A ein hyperbolisches Dreieck. Sein Flächeninhalt ist dann durch

µ(A) = π − α − β − γ

gegeben. 1 Sei B ein weiteres hyperbolisches Dreieck mit den gleichen Winkeln. Zeige,

dass dann ∆(A) zu ∆(B) in Isom(H) konjugiert ist.

c) Finde ein hyperbolisches Dreieck A, sodass ∆(A) diskret ist und der Flächeninhalt µ(A)

so klein 2 wie möglich unter den Dreiecken mit dieser Eigenschaft ist. Was hat die Antwort

auf diese Frage mit der Antwort auf alle Fragen gemein?

Abgabe bis spätestens Mittwoch, 11. 1. 2012, um 13:00 Uhr in den dafür vorgesehenen Kasten

im Gebäudeteil 1C des Allianzgebäudes (1. Stock, Eingang Kaiserstr. 93) oder vor Beginn der

Übung direkt beim Übungsleiter Deines Vertrauens.

1 Im Falle nach-weihnachtlicher Langeweile beweise diese Formel, oder freue Dich einfach an ihr.

2 Felix Klein, dt. Mathematiker, 18491925

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