Formelsammlung Grundlagen Elektrotechnik Stand: 4. März 2009 ...

Formelsammlung 

Grundlagen Elektrotechnik 

Thema Bereiche Seite 

Ladung Berechnung 1-2 

Spannung allgemeine Definition 1-2 

Berechnung 1-2 

Definition über Potential 1-2 

Stromstärke Berechnung über Ladung 1-2 

Stromdichte Berechnung 1-3 

Widerstand Berechnung allgemein 1-3 

Berechnung über spezifischen Widerstand 1-3 

Berechnung über spezifische Leitfähigkeit 1-3 

Leitwert Berechnung 1-3 

Differenzieller Widerstand Berechnung 1-3 

Widerstand und Temperatur Berechnung 1-4 

Stern-Dreieck Umrechnung Stern → Dreieck 1-4 

Umrechnung Dreieck → Stern 1-4 

Grundschaltung Reihenschaltung von Widerständen 1-5 

Parallelschaltung von Widerständen 1-5 

Elektrische Energie (Arbeit) Berechnung 1-6 

Einheitenumrechnung J → kWh , kWh → J 1-6 

Leistung Berechnung 1-6 

Wirkungsgrad Berechnung 1-6 

Spannungsteiler unbelastet 1-7 

belastet 1-7 

Spannungs- und Strompfeilsysteme Verbraucher-Zählpfeil-System (VZS) 1-8 

Erzeuger-Zählpfeil-System (EZS) 1-8 

Aktive Zweipole Definition 1-8 

Ideale Quellen Ideale Spannungsquelle 1-9 

Ideale Stromquelle 1-9 

Leistungsanpassung an Quellen 1-9 

Reale Quellen Reale Spannungsquelle 1-10 

Reale Stromquelle 1-10 

Umrechnung Strom- in Spannungsquelle 1-11 

Umrechnung Spannungs- in Stromquelle 1-11 

Kirchhoffsche Gesetze Knotensatz (1.Kirchhoffsches Gesetz) 1-12 

Maschensatz (2.Kirchhoffsches Gesetz) 1-12 

Berechnungen mit Knoten- und Maschensatz 1-13 

Ersatzspannungsquelle Prinzip 1-14 

Berechnung 1-14 

Stand: 4. März 2009 Seite 1-1



Ladung: 

Q = n • e 

Q 

n = 

e 

Q = Ladung in As 

n = Anzahl der Ladungsträger 

e = Elementarladung 

Spannung: 

allgemein: 

U 

W 

U = 

Q 

W 

Q = W = Q • U 

U 

U = Spannung in V 

W = Arbeit in J ( = Ws = VAs ) 


über Potential: 

A 

φ A 

U AB 

B 

φ B 

C 

C = Bezugspotential (Bezugspunkt) 

U 

AB 

= ϕ −ϕ 

A 

B 

U AB = Spannung = Potentialdifferenz zwischen Punkt A und B in V 

φ A = Potential des Punktes A bezüglich des Bezugspunktes in V 

φ B = Potential des Punktes A bezüglich des Bezugspunktes in V 

Stromstärke: 

Q 

I = 

t 

Q 

t = Q = I • t 

I 

I = Stromstärke in A 


t = Zeit in s 




Stromdichte: 

S = 

I 

A 

I 

A = I = S • A 

S 

A 

S = Stromdichte in 

2 

mm 


A = Querschnitt in mm 2 

Widerstand: 

U 

R = 

I 

U 

I = U = R • I 

R 

R = Widerstand in Ω 



l • ρ 

R = 

A 

l • ρ 

A = 

R 

l = 

A• 

R 

ρ 

ρ = 

A • R 

l 

1 

ρ = 

χ 

l 

l 

R = A = l = R • χ • A 

χ • A 

χ • R 

χ = 

l 

A • 

R 

1 

χ = 

ρ 

l = Länge in m 

A = Querschnitt in mm 2 

Ω • mm 2 

ρ = spezifischer Widerstand in 

m 

m 

χ = spezifischer Leitfähigkeit in 

2 

Ω • mm 

(Rho) 

(Kappa) 

Leitwert: 

G = 

1 

R 

R = 

1 

G 

G = Leitwert in S (Siemens) 


Differenzieller Widerstand: 

∆U 

r = 

∆I 

∆U 

∆ I = 

∆ U = ∆I 

• r 

r 

r = Differenzieller Widerstand in Ω 

∆U = Spannungsänderung in V 

∆ I = Stromstärkeänderung in A 




Widerstand und Temperatur: 

R = α • R • ∆ϑ 

∆ 

20 

R 20 

∆R 

= 

α • ∆ϑ 

∆R 

∆ϑ 

= 

α • 

R 20 

α = 

R 20 

∆R 

• ∆ϑ 

R 

ϑ 

= R + ∆R 

= • ( 1+ 

α • ∆ϑ) 

20 

R 20 

R 

τ + ϑ 

1 

= 20 

E 

ϑ 

= R A 

• τ − ° C 

τ + ϑA 

α 

∆ = ϑE − 20°C 

ϑ ∆ ϑ = ϑ E 

−ϑA 

∆R = Widerstandsänderung in Ω bei 

∆ ϑ = Temperaturänderung in K 

α = Temperaturkoeffizient in K 

1 =K 

-1 

τ = Temperaturkennwert in K 

R 20 = Widerstand in Ω bei 20 °C 

R A = Anfangswiderstand in Ω bei ϑ 

A 

R ϑ = (End-)Widerstand in Ω bei ϑ 

E 

∆ ϑ 

Stern-Dreieck-Stern-Umrechnung: 

Dreieck in Stern: 

R • R 

R 

1 3 

R a 

= 

R1 

+ R2 

+ 

3 

R • R 

R 

1 2 

R b 

= 

R1 

+ R2 

+ 

3 

R 

• R 

R 

2 3 

R c 

= 

R1 

+ R2 

+ 

3 

Stern in Dreieck: 

R = R 

1 

a 

+ R 

b 

Ra 

• Rb 

+ 

R 

c 

R 

2 

= R 

b 

+ R 

c 

Rb 

• Rc 

+ 

R 

a 

R 

3 

= R 

a 

+ R 

c 

Ra 

• Rc 

+ 

R 

b 

R 1 , R 2 , R 3 = Dreieck-Widerstände 

R a , R b , R c = Stern-Widerstände 




Reihenschaltung von Widerständen: 

I = I 1 

= I 2 

R g 

= R 1 

+ R 2 

U = U 1 

+ U 2 

I = Gesamtstromstärke in A 

U = Gesamtspannung in V 

R g = Gesamtwiderstand in Ω 

Parallelschaltung von Widerständen: 

U = U = 

1 

= U 

2 

U 

3 

I = I + 

1 

+ I 

2 

I3 

1 1 1 1 1 

= + + G 

R g 

R R R R = 

1 

2 

3 

G g 

= G + 

1 

+ G2 

G3 

I = Gesamtstromstärke in A 

U = Gesamtspannung in V 

R g = Gesamtwiderstand in Ω 

G g = Gesamtleitwert in S 

Bei Parallelschaltung von 2 Widerständen gilt: 

R • R2 

R 

1 

R g 

= 

R1 

+ 

2 

R 

1 

= 

R • R 

R 

2 

2 

g 

− R 

g 

R 

2 

= 

R • R 

1 

g 

R − R 

1 

g 

I 

I 

1 

2 

= 

R 

R 

2 

1 

R 

2 

= 

R1 

• I1 

I 

2 

R 

1 

= 

R2 

• I 

2 

I 

1 

I 

1 

= 

R2 

• I 

2 

R 

1 

I 

2 

= 

R1 

• I1 

R 

2 

I 

I 

1 

= 

R2 

R + R 

1 

2 

R 

2 

R • I 

• I 

1 1 

2 

= R1 = − R2 

( I − I1) 

I1 

R 

I 

1 

= 

R2 

• I 

R + R 

1 

2 

I = 

( R + R ) 

1 

R 

2 

2 

• I 

1 

I 

I 

2 

R 

R 

• I 

1 

2 

= R2 = − R1 

R1 

+ R2 

I 

2 

R 

1 

= 

R 

2 

• I 

( I − I ) 

2 

2 

I = 

( R + R ) 

1 

R 

2 

1 

• I 

2 

I 

2 

R1 

• I 

= 

R + R 

1 

2 




Elektrische Energie / Elektrische Arbeit: 

W = U • I • t 

W = U • Q 

W = Arbeit in J =VAs = Ws = Nm 



t = Zeit in s 


1 kWh = 1 • 10 3 Wh = 3,6 • 10 3 kWs = 3,6 • 10 6 Ws = 3,6 • 10 6 J 

1 J = 1 Ws = 1 • 10 -3 kWs = 

1 • 10 -3 Wh = 

3,6 

1 • 10 -6 kWh = 0,278 • 10 -6 kWh 

3,6 

Leistung: 

W 

U • I • t 

P = P = = U • I 

t 

t 

2 

U 

P = P = I 

2 • R 

R 

Nm J 

P = Leistung in W = VA = = 

s s 

W = Arbeit in VAs = Ws = J = Nm 



t = Zeit in s 


Wirkungsgrad: 

η = 

P 

P 

ab 

zu 

W 

W 

ab 

η = immer < 1 !!! 

zu 

η 

g 

= η 1 

• η 2 

η = Wirkungsgrad 

P ab = abgegebene Leistung in W 

P zu = zugeführte Leistung in W 

W ab = abgegebene Energie/Arbeit in J 

W zu = zugeführte Energie/Arbeit in J 

η 

g 

= Gesamtwirkungsgrad 




Spannungsteiler: 

unbelastet: 

U 

U 

2 

= 

R2 

R + R 

1 

2 

U 

2 

= 

R2 

• U 

R + R 

1 

2 

U 

= 

( R + R ) 

1 

R 

2 

2 

• U 

2 

R 

R • U 

2 

1 

= − R2 

U 

2 

R 

2 

R1 

• U 

2 

= 

( U −U 

2 

) 

U 

1 

R1 

R 

= 

2 

U 

2 

= 

U 

2 

R2 

R1 

• U 

1 

U 

1 

= 

R1 

• U 

2 

R 

2 

R 

1 

= 

R2 

• U1 

U 

2 

R 

2 

= 

R1 

• U 

2 

U 

1 

belastet: 

R • R3 

R 

2 

R X 

= 

R2 

+ 

3 

R 

3 

= 

R 

R 

2 

2 

• RX 

− R 

X 

R 

2 

= 

R3 

• RX 

R − R 

3 

X 

R X = Ersatzwiderstand für R2 || R3 (R L ) 

U 

U 

2 

= 

RX 

R + R 

1 

X 

U 

2 

= 

RX 

• U 

R + R 

1 

X 

( R + R ) 

1 X 

• 

2 

U 

= 

R 

X 

U 

R 

1 

= 

RX 

• U 

− R 

U 

2 

X 

R X 

R1 

• U 

2 

= 

( U −U 

2 

) 

U 1 

R1 

= 

U 

2 

R X 

U 

2 

= 

RX • U 

R 

1 

1 

R • U 

1 2 

U1 

= 

R X 

R 

1 

= 

RX • U 

U 

2 

1 

R X 

R1 

• U 

2 

= 

U 

1 




Spannungs- und Strom-Pfeilsysteme: 

VZS (Verbraucher-Zählpfeil-System): 

P = U • I > 0 (Verbraucher, positive Leistung) 

P = U • I < 0 (Erzeuger, negative Leistung) 

EZS (Erzeuger-Zählpfeil-System): 

P = U • I > 0 (Erzeuger, positive Leistung) 

P = U • I > 0 (Verbraucher, negative Leistung) 

Aktive Zweipole: (VZS) 

Leerlauf: U = U 0 ; I = 0 

Kurzschluß: U = 0 ; I = -I K 

U = Klemmenspannung 

U 0 = Leerlaufspannung 

I k = Kurzschlußstrom 

Die Bezugspfeile für Strom I und Spannung U werden so gewählt, 

daß U 0 und I k positiv sind !! 




Ideale Quellen: 

Ideale Spannungsquelle: 

U k = U k = U 0 = U q 

U k = Klemmenspannung 


U q = Quellenspannung 

Ideale Stromquelle: 

I k = I q = -I 

I k = Klemmenstrom 

I q = Quellenstrom 

Die Richtungen für die Pfeile von U q bzw. I q werden so gewählt, 

daß U q = U k bzw. I q = I k ist. 

Leistungsanpassung an Quellen: 

P max bei R 1 = R i 

weil U Ri = U R1 

(Spannungsteiler) 




Reale Quellen: 

Reale Spannungsquelle: 

Leerlauf: I = 0 ( R → ∞ Ω) 

U k = U 0 = U q 

Kurzschluß: U k = 0 ( R → 0 Ω) 

I = - I k = -I q 

U 

U 

q 0 

I 

k 

= = 

Ri 

Ri 

= 

U 

I 

0 

Ri 

k 

U 

k 

= U 

q 

−U 

Ri ⇒ U = k 

U 

q 

− ( Ri 

• I ) ⇒ ⎛U 

⎟ ⎞ 

0 

U = − 

⎜ 

k 

U 

q 

• I 

⎝ Ik 

⎠ 

U k immer 




U Ri = Spannung am Innenwiderstand 

R i = Innenwiderstand 

Reale Stromquelle: 

Kurzschluß: U k = 0 ( R → 0 Ω) 

I = - I q = - I k 

Leerlauf: I = 0 ( R → ∞ Ω) 

U k = U 0 

I 

U = 

I 

G 

q 

k 

= 1 k 

i 

= 

Gi 

Gi 

U 

0 

I 

I 

= I 1 

− I q ⇒ I ( Gi 

• U 

k 

) − Iq 

⎛ I ⎞ 

k 

= ⇒ I = 

⎜ • U 

k 

− Iq 

U 

⎟ 

⎝ 0 ⎠ 

U = U k = U Gi = Klemmenspannung 



I 1 = Strom durch Innenleitwert 

G i = Innenleitwert 




Umrechnung Strom- in Spannungsquelle: 

⇒ 

Bei Leerlauf ⇒ 

I 

q 

0 ⇒ U 

0 

= U 

q ; 

Gi 

U = 

R 

i 

1 

= 

G 

i 






!!!! Pfeilrichtung von I q und U q sind entgegengesetzt !!!!! 

Umrechnung Spannungsquelle in Stromquelle: 

⇒ 

Bei Kurzschluß ⇒ 

U 

q 

I 

k 

= ⇒ I = −I q 

= −I 

k ; 

R 

i 

G 

i 

= 

1 

R 

i 






!!!! Pfeilrichtung von U q und I q sind entgegengesetzt !!!!! 




Knotensatz ( 1. Kirchhoffsches Gesetz ): 

„ Die Summe aller Ströme 

in einem Knoten ist Null „ 

I − I 

1 

− I 

2 

+ I3 

= 

0 

Abfließende Ströme ( I 1 ) werden z. B. negative gezählt, zufließende Ströme ( z.B. I 3 ) 

werden positiv gezählt oder umgekehrt. 

Maschensatz ( 2. Kirchhoffsches Gesetz ) : 

„ Die Summe aller Spannungen 

in einer Masche ist Null „ 

Jede Masche hat einen Umlaufsinn !! 

Stimmt die Richtung des Spannungspfeiles nicht mit dem Umlaufsinn der Masche überein, 

so ist diese Spannung mit negativem Vorzeichen in die Maschengleichung einzusetzten. 

Stimmt die Richtung des Spannungspfeiles mit dem Umlaufsinn der Masche überein, so 

ist diese Spannung mit positivem Vorzeichen in die Maschengleichung einzusetzten. 

Masche 1: U2 – U4 + U5 - U1 = 0 

Masche 2: U3 – U4 + U6 – U7 = 0 




Berechnungen an einem Netzwerk mit Maschen- und Knotensatz: 

Enthält ein Netzwerk m Zweigströme, so sind zu deren Berechnung m unabhängige 

Gleichungssysteme nötig. 

n Knotenpunkte liefern (n-1) unabhängige Knotengleichungen 

Knoten A: I 1 + I 3 – I 2 = 0 ⇒ I 2 = I 1 + I 3 

Knoten B: I 2 – I 1 – I 3 = 0 ⇒ I 2 = I 1 + I 3 

Daraus folgt, daß noch m – (n-1) unabhängige Maschengleichungen benötigt 

werden. 

Masche 1: Uq2 + U2 + U1 – Uq1 = 0 

Masche 2: Uq3 – U3 – U2 – Uq2 = 0 

!!! Gleichungen sind voneinander unabhängig, wenn jede Gleichung mindestens !!! 

!!! ein Glied enthält, das in den übrigen Gleichungen nicht vorhanden ist !!! 




Prinzip der Ersatzspannungsquelle: 

1. Bestimmung von Uqe ( Ersatzquellenspannung ) : 

Im Leerlauf ( ohne R3 ) ⇒ U qe = U (in Zeichnung: unbelasteter Spannungsteiler) 

2. Bestimmen von Rie ( Ersatzinnenwiderstand ) : 

- Alle Spannungsquellen werden kurzgeschlossen („überbrückt“) 

- Alle Stromquellen werden unterbrochen 

Anschließend wird der Widerstand des Zweipols bestimmt.

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