14.4.09 Birgit Richter 1. K0 von Dedekindringen Im Folgenden sei R ...

14.4.09 Birgit Richter
1. K 0 von Dedekindringen
Im Folgenden sei R ein Integritätsbereich.
Da R insbesondere kommutativ ist, spaltet Z von K 0 (R): Für beliebige Ringe haben wir die Abbildung
K 0 (χ): Z = K 0 (Z) → K 0 (R).
Ist R kommutativ, so können wir ein Primideal p ⊂ R wählen und für einen endlich erzeugten projektiven
R-Modul P die Abbildung Proj(R) → Z, (P ) ↦→ rang(P p ) betrachten. Diese spaltet K 0 (χ). Wir haben also
K 0 (R) ∼ = Z ⊕ ˜K 0 (R). Dedekindringe geben Beispiele für nicht-triviale ˜K 0 (R).
1.1. Dedekindringe und gebrochene Ideale.
Definition 1.1. Der Integritätsbereich R heißt Dedekindring, falls
(1) R nothersch ist,
(2) R ganz abgeschlossen in K = Quot(R) ist und
(3) jedes 0 ≠ p ∈ Spec(R) maximal ist.
Definition 1.2. Für einen Integritätsbereich R mit K = Quot(R) heißt ein R-Untermodul von K, 0 ≠ M ⊂
K, ein gebrochenes Ideal, falls es ein 0 ≠ a ∈ R gibt mit der Eigenschaft, dass aM ⊂ R.
• Gewöhnliche Ideale I in R sind natürlich auch gebrochene Ideale. Zur Verdeutlichung nennt man sie
in diesem Zusammenhang ganze Ideale.
• Für ein x ∈ K × heißt (x) = xR ein gebrochenes Hauptideal.
• Jeder endlich-erzeugte R-Modul M ⊂ K ist ein gebrochenes Ideal: Ist M erzeugt von m 1 , . . . , m n
über R mit m i ∈ K, so gibt es ein 0 ≠ a ∈ R (Hauptnennerargument) mit am i ∈ R für alle 1 ≤ i ≤ n.
Damit ist dann auch aM ⊂ R.
• Ist R noethersch, so ist jedes gebrochene Ideal endlich erzeugt: Da aM ⊂ R ein gewöhnliches Ideal
ist (für geeignetes 0 ≠ a), ist dieses endlich erzeugt und dann auch M.
Definition 1.3. Ein gebrochenes Ideal M heißt invertierbar, falls es ein gebrochenens Ideal N gibt mit
M · N = R.
Dieses N ist dann notwendigerweise gleich {x ∈ K|xM ⊂ R} =: Y M .
Satz 1.4. Ist R ein Dedekindring, so ist jedes Ideal 0 ≠ I von der Form I = p 1 · . . . · p r mit eindeutig
bestimmten p i ∈ Spec(R).
Korollar 1.5. Für jedes Primideal 0 ≠ p in einem Dedekindring ist p·Y p = R. Damit ist jedes nicht-triviale
Ideal invertierbar.
Korollar 1.6. Ist R ein Dedekindring und sind 0 ≠ I, J ganze Ideale in R, so ist I ⊂ J genau dann, wenn
es ein ganzes Ideal L in R gibt, mit I = J · L.
1.2. Definition der Idealklassengruppe.
Korollar 1.7. Für einen Dedekindring R bilden die gebrochenen Ideale eine abelsche Gruppe, genannt J R
(manchmal auch Idealgruppe).
Definition 1.8. Die Faktorgruppe von J R bezüglich der Untergruppe der gebrochenen Hauptideale, P R , heißt
Idealklassengruppe von R, Cl R .
Es gibt eine surjektive Abbildung π : K × → P R , die a/b auf das von a/b erzeugte gebrochene Hauptideal
schickt. Dieses Ideal ist trivial, falls (a/b) = R, und dies ist genau dann der Fall, wenn a/b = a mit a ∈ R × :
0 R × K ×
J R
Cl R
0
P R
0
1

2. Idealklassengruppen und K 0
In diesem Abschnitt ist R durchgängig ein Dedekindring. Wir wollen den nicht-offensichtlichen Teil von
K 0 (R), ˜K0 (R), identifizieren. Dafür müssen wir die Elemente von Proj(R) verstehen:
Satz 2.1. Jeder endlich erzeugte projektive R-Modul ist isomorph zu einer direkten Summe von ganzen
Idealen. Insbesondere erzeugen die Isomorphieklassen von Idealen K 0 (R).
Lemma 2.2. Ist M ein gebrochenes Ideal und I ein ganzes Ideal, so gibt es ein a ∈ M mit M −1 a + I = R.
Lemma 2.3. Jedes gebrochene Ideal kann von zwei Elementen erzeugt werden.
Lemma 2.4. Sind M 1 , M 2 gebrochene Ideale, so ist M 1 ⊕ M 2 isomorph zu R ⊕ M 1 · M 2 .
Satz 2.5. Für einen Dedekindring gilt
K 0 (R) ∼ = Z ⊕ Cl R .
Ein endlich erzeugter projektiver R-Modul P ist isomorph zu einer direkten Summe R k−1 ⊕ I P (hierbei ist
k der Rang von P ) und der Isomorphismus ist induziert durch die Abbildung
[P ] ↦→ (k, I P mod P R ).
Der Satz benutzt hierbei eine alternative Charakterisierung der Idealklassengruppe. Es sei G R die Menge
der ganzen Ideale 0 ≠ I ⊂ R.
Lemma 2.6. Zwei Ideale I, J ∈ G R heißen äquivalent (I ∼ J), falls es 0 ≠ x, y ∈ R gibt mit xI = yJ.
Dann gilt, dass Cl R
∼ = GR / ∼ und zwei nicht-triviale ganze Ideale in R sind genau dann äquivalent, wenn
sie als R-Moduln isomorph sind.
Beispiele.
• Die Idealklassengruppe ist trivial für Hauptidealringe. (Folgt leicht mit der Beschreibung als G R / ∼).
• Eine wichtige Beispielklasse für Dedekindringe sind ganze Abschlüsse in Zahlkörpern: Es sei L eine
endliche Körpererweiterung von Q und O L sei der ganze Abschluss von Z in L. Dann ist O L ein
Dedekindring. Ein wichtiger Satz der Zahlentheorie besagt, dass Cl OL endlich ist.
• Ein handliches Beispiel ist Z[ √ −5] ⊂ Q( √ −5).
Cl Z[
√ −5]
∼ = Z/2Z
mit Erzeuger I = (3, 2 + √ −5).
Es ist leicht zu sehen, dass I kein Hauptideal ist, also nicht-trivial ist: Falls (3, 2 + √ −5) =
(a + b √ −5), so wäre 3 schreibbar als Produkt 3 = (a + b √ −5)(c + d √ −5). Multiplikation mit den
Konjugierten gibt dann (a 2 +5b 2 )(c 2 +5d 2 ) = 9. Wäre die Zerlegung nicht-trivial, müßte 3 = a 2 +5b 2
gelten mit ganzen Zahlen a, b und das geht nicht.
Das Ideal I ist ein Primideal und somit maximal: In Z[ √ −5]/I ist 1 gleich √ −5 und die Restklassen
der skalaren Anteile laufen wegen 3 ∈ I nur über die Klassen in F 3 und daher ist dies der
Restklassenkörper.
Wir wissen, dass I nicht-trivial ist. Die Ordnung von I ist genau zwei, weil
(3, 2 + √ −5) 2 = (2 + √ −5)
ist, also ein Hauptideal, und damit trivial:
Es ist leicht zu sehen, dass 2 + √ −5 enthalten ist in (3, 2 + √ −5) 2 , weil
3 2 − 3(2 + √ −5) + (2 + √ −5) 2 = 9 − 6 − 3 √ −5 − 1 + 4 √ −5 = 2 + √ −5.
Umgekehrt ist 9 = (2 + √ −5)(2 − √ −5) und die Elemente (2 + √ −5) 2 und 3(2 + √ −5) sind offensichtlich
in (2 + √ −5).
Wir zeigen hier nicht, dass es keine anderen Erzeuger für die Idealklassengruppe gibt.
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