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G-CSC Goethe-Center for Scientific Computing der Universität Frankfurt 1. Übung zur Vorlesung Modellierung und Simulation 3 (WS 2012/13) Prof. Dr. G. Wittum Susanne Höllbacher, Martin Stepniewski, Christian Poliwoda Abgabe: Dienstag, 06.11.2012, 08:00 Uhr Mathematische Grundlagen Definition 1. Mit f, g : R 3 → R F, G: R 3 → R 3 seien jeweils zwei differenzierbare Skalarfelder bzw. Vektorfelder gegeben. Wir bezeichnen die Menge der Skalarfelder mit S und die Menge der Vektorfelder mit V. Dann gelten die folgenden Definitionen für die Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation: ⎛ ⎜ ∇: S → V, ∇f := ⎝ ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎠ f = ⎝ ⎛ ⎜ div: V → S, div F := 〈∇, F〉 = 〈 ⎝ ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ⎞ ⎟ ⎠ ∈ R 3 (1) ⎞ ⎛ ⎞ F x ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ , ⎝F y ⎠〉 F z = ( ∂ ∂x F x + ∂ ∂y F y + ∂ ∂z F z) ∈ R (2) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ∂ ∂F ∂x F z x ∂y ⎜ ∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎞ ∂Fy ∂z ∂F rot: V → V, rot F := ∇ × F = ⎝ ⎠ × ⎝F y ⎠ = ⎝ x ∂z − ⎟ ∂Fz ∂x ⎠ ∈ R 3 (3) F z ∂y ∂ ∂z ∂F y ∂x − ∂Fx ∂y Aufgrund der Konventionen in den Lehrbüchern wird im Folgenden statt 〈∇, F〉 die Schreibweise ∇ · F für das Skalarprodukt verwendet. Demnach gilt: ⃗x · ⃗y := 〈⃗x, ⃗y〉 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 , für ⃗x, ⃗y ∈ R 3 Definition 2. Ein Vektorfeld F := ∇f, welches als Gradient eines differenzierbaren Skalarfeldes f ausgedrückt werden kann, wird als Gradientenfeld oder Potentialfeld bezeichnet. Ein Vektorfeld F := rot G, welches als Rotation eines anderen differenzierbaren Vektorfeldes G ausgedrückt werden kann, wird als Wirbelfeld bezeichnet. 1

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