12 Lösung Unbestimmte Integrale 1 12 Üben Unbestimmte Integrale 1

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12 Lösung Unbestimmte Integrale 1 12 Üben Unbestimmte Integrale 1

Klasse

12

Art

Lösung

Schwierigkeit

X

math. Thema

Unbestimmte Integrale

Nr.

1

C

0 dx

f)

C

x

dx

e)

C

cosx

sinx

sinx)dx

(cosx

d)

C

x

x

x

1)dx

2x

(3x

c)

C

x

x

3

1

1)dx

(x

b)

C

x

2

1

x dx

a)

2

3

2

3

2

2

=

+

=

+

+

=

!

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

=

"

"

"

"

"

"

Klasse

12

Art

Üben

Schwierigkeit

X

math. Thema

Unbestimmte Integrale

Nr.

1

Berechne:

0 dx

f)

dx

e)

sinx)dx

(cosx

d)

1)dx

2x

(3x

c)

1)dx

(x

b)

x dx

a)

2

2

!

!

!

!

!

!

"

+

+

+


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X

Unbestimmte Integrale

2

Bestimme diejenige Stammfunktion von f, deren Graph durch P verläuft!

a)

f : x

!

1

2

x;

P( " 2/4)

b)

f : x

! x

2

" 2x " 1

P(3/ " 2)

c)

f : x

! cosx + 1

P( ! / ! )

d)

f : x

! 0

P(2000/2000)

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X

Unbestimmte Integrale

2

1 2

a) Eine beliebige Stammfunktion von f ist FC (x) = x + C .

4

Aus F(-2) = 4 ergibt sich C = 3.

1

Also ist F(x) = x

2 + 3 die gesuchte Stammfunktion.

4

b)

F(x) =

1

3

x

3

! x

2

! x + 1

c)

F(x) = sinx + x

d)

F(x) = 2000


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X X

Unbestimmte Integrale

3

Berechne:

a)

b)

"

"

x dx

sgn x dx;

x ! 0

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X X

Unbestimmte Integrale

3

a)

-

+ 1 2 (

x dx = sgn x , ) x & + C

* 2 '

b)

- sgn x dx =

$ x + C; x > 0

#

"%

x + D; x < 0

C,D!

IR


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X X

Unbestimmte Integrale

4

Berechne

! f(x) dx der Funktion

# x

f : x ! " 2

! x

für x $ 0

für x > 0

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X X

Unbestimmte Integrale

4

$ 1

! x

2

& f(x)dx = #

! 1

! x

" 3

2

3

+ C

+ C

für

für

x % 0

x > 0


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X X X

Unbestimmte Integrale

5

Anschauliche Analysis 2, Ehrenwirth, S. 15 / 7j, k

Gegeben sind die Funktionenscharen f s (x) und f k (x). Bestimme die Scharen

der zugehörigen Stammfunktionen!

f (x) =

s

1

6s

x

3

! x

2

+

3

2

sx

f (x) =

k

1

2

x

2

2

[ x ! 2kx + k ! 4]

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X X X

Unbestimmte Integrale

5

F (x) =

s

1

24s

x

4

!

1

3

x

3

+

3

4

sx

2

+ C

F (x) =

k

1

8

x

4

!

k

3

x

3

2

k

+

4

x

2

! x

2

+ C


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X X X

Unbestimmte Integrale

6

Berechne:

a)

!

(ax + a)dx

b)

!

(ax + a)da

c)

!

(ax + a)dt

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X X X

Unbestimmte Integrale

6

a)

"

(ax + a)dx =

a

2

x

2

+ ax + C

b)

"

(ax + a)da =

x

a

2

2

+

1

a

2

2

+ C

c)

"

(ax + a)dt = (ax + a) ! t + C

Hinweis: Die Variable hinter dem „d“ ist die Integrationsvariable!


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X X

Unbestimmte Integrale

7

2

3x

Gib eine Stammfunktion zur Funktion f :x ! an!

3 2

( x + 2)

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X X

Unbestimmte Integrale

7

Der Nenner des Funktionsterms ist ein Quadrat, der Zähler ist die Ableitung vom Inneren des

Nenners. Also kann man folgende Regel anwenden:

g !(x)

1

Hat f die Form f(x)= , dann ist F(x)=

2

! + C Stammfunktion von f.

g (x)

g(x)

1

Also ist F(x) = ! + 23 eine Stammfunktion von f.

3

x + 2

(Zur Probe kann man F ableiten.)


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X X X

Unbestimmte Integrale

8

Gib eine Stammfunktion zur Funktion

x

: x ! an!

4

4x

+ 8x

+ 4

f

2

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X X X

Unbestimmte Integrale

8

Erst eine Binomische Formel anwenden, um den Nenner des Funktionsterms in ein Quadrat zu

verwandeln. Die Ableitung vom Inneren des Nenners ist 4x. Wenn man mit 4 erweitert, kann

man folgende Regel anwenden:

g !(x)

1

Hat f die Form f(x)= , dann ist F(x)=

2

+ C

g (x)

g(x)

! Stammfunktion von f. 1)

f(x) x 1 4x

1 ' 1 $ 1

= = ( . Also ist F(x) = (

2 2

2 2

%!

2

" = ! eine

(2x + 2) 4 (2x + 2)

4 & 2x + 2 # 8(x

2 +

Stammfunktion von f.

(Zur Probe kann man F ableiten.)


Klasse

12

Art

Lösung

Schwierigkeit

X

math. Thema

Das bestimmte Integral

Nr.

9

4

0

4

2

1

2

3

2

x

2

1

3x

x)dx

(3

d)

2

0

4

2

1

2

2

2

x

2

1

2x

x)dx

(2

c)

4

0

0

2

1

2

4

2

1

x

2

x

2

1

1)dx

(x

b)

2

0

2

1

4

2

1

2

x

2

1

x dx

a)

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

=

!

"

!

"

=

#

$

%

&

'

(

!

=

) !

=

!

"

!

"

=

#

$

%

&

'

(

!

=

) !

=

*

+

,

-

.

/

+

"

!

+

"

=

#

$

%

&

'

(

+

=

) +

=

"

!

"

=

#

$

%

&

'

(

=

)

Klasse

12

Art

Üben

Schwierigkeit

X

math. Thema

Das bestimmte Integral

Nr.

9

Berechne und deute geometrisch:

x)dx

(3

d)

x)dx

(2

c)

1)dx

(x

b)

x dx

a)

2

0

2

0

2

0

2

0

! "

! "

! +

!


Klasse

12

Art

Lösung

Schwierigkeit

X

math. Thema

Das bestimmte Integral

Nr.

10

! =

"

#

"

"

#

=

$

%

&

'

(

)

=

! =

#

"

#

=

$

%

&

'

(

)

=

! =

*

+

,

-

.

/

#

"

"

"

=

$

%

&

'

(

) "

=

"

! =

#

"

#

=

$

%

&

'

(

)

=

! =

"

#

=

$

%

&

'

(

)

=

"

"

"

"

"

"

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

0

2

0

2

3

1

3

1

2

0

2

0

3

7

8)

(

3

1

1)

(

3

1

3

x

3

1

dx

x

e)

3

7

1

3

1

8

3

1

3

x

3

1

dx

x

d)

2

4

2

1

0

2

x

2

1

x)dx

(

c)

4

1

2

1

9

2

1

2

x

2

1

x dx

b)

2

0

4

2

1

2

x

2

1

x dx

a)

Klasse

12

Art

Üben

Schwierigkeit

X

math. Thema

Das bestimmte Integral

Nr.

10

Berechne!

!

!

! "

!

!

"

"

"

1

2

2

2

1

2

0

2

3

1

2

0

dx

x

e)

dx

x

d)

x)dx

(

c)

x dx

b)

x dx

a)


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X

Das bestimmte Integral

11

Berechne!

f)

2

! x

-2

2

dx

g)

2

! sin x dx

0

h)

2

! cos x dx

0

i)

2000

! dx

732

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X

Das bestimmte Integral

11

f)

2

2

2 ) 1 3 & 1 1

" x dx = ' x = # 8 ! # (!

8) =

-2 3 $

( % 3 3

! 2

16

3

g)

2

" sin x dx =

0

[!

cos x]

2

0

= ! cos ! (!

cos 0) = 0 + 1 = 1

2

h)

2

" cos x dx =

0

[ sin x]

2

0

= sin ! sin0 = 1!

0 = 1

2

i)

2000

" dx =

732

2000

[ x] = 2000 ! 732 = 1268

732


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X

Das bestimmte Integral

12

Berechne die Fläche, die von der Parabel mit der Gleichung y = 1 – x 2

begrenzt wird!

und der x-Achse

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X

Das bestimmte Integral

12

A 1 2

= ! " x )dx =

1(1

"

4

3


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X X

Das bestimmte Integral

13

Zeige, dass für eine Funktion f gilt:

b

! f(x)dx = "! f(x) dx

a

a

b

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X X

Das bestimmte Integral

13

b

a

[ F(a) " F(b) ] = f(x) dx

! f(x)dx = F(b) " F(a) = "

"! , falls F Stammfunktion fon f ist.

a

b

Hinweis: Verwende die Definition des bestimmten Integrals!


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X X X

Das bestimmte Integral

14

Anschauliche Analysis 2, Ehrenwirth, S. 37 / 30 a

Zeige durch Integration von geeigneten Funktionen, dass die Formel für den Flächeninhalt von

1

Dreiecken A = ! g ! h mit den Ergebnissen unserer Integration übereinstimmen!

2

Hinweis: Wähle zwei Geraden g 1 und g 2 . Nenne die Koordinaten des Schnittpunktes (s / h).

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X X X

Das bestimmte Integral

14

Gleichung von g 1 :

h hg

y = ! " x +

g ! s g ! s

Gleichung von g 2 :

h

y = ! x

s

Berechnung der Fläche des Dreiecks:

s

A = " g2(x)dx

+ " g1(x)dx

= ... =

0

2

hs

=

2s

g

s

2

2

hg hg

! + +

2(g ! s) g ! s

hs

2

2(g ! s)

!

hgs

g ! s

= ... =

gh

2


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X X

Integralfunktion

15

Anschauliche Analysis 2, Ehrenwirth, S. 37 / 27

Gib eine Integralfunktion zur Integrandenfunktion

a) an der Stelle 1 den Funktionswert 0 hat,

b) an der Stelle a den Funktionswert b hat!

f : x

2

! x ;D = R an, die

f

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X X

Integralfunktion

15

F(x) =

x

x

2 ' 1 3 $ 1 3 1 3

( t dt = % t = x ! c

c 3 "

- gesucht ist nun die untere Grenze c.

& # c

3 3

1 1 3

a) Aus F(1) = 0 folgt " c = 0 ! c = 1

3 3

1 1

Also ist F(x) = x

3

! die gesuchte Integralfuntion.

3 3

b) Aus F(a) = b folgt: 1 3 1 3

3

a ! c = b " c = a

3

! 3b

3 3

1 3 1 3

Also ist F(x) = x ! a + b die gesuchte Integralfunktion.

3 3

(Zur Probe kann man F ableiten und den gewünschten Punkt einsetzen.)


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X

Integralfunktion

16

Erläutere, dass jede Integralfunktion eine Nullstelle hat!

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X

Integralfunktion

16

x

Eine beliebige Integralfunktion F(x) = ! f(t) dt hat stets an ihrer unteren Grenze a eine

a

Nullstelle, da F(a) = ! f(t)dt = F(a) - F(a) = 0 .

a

a


Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Üben

X X

Integralfunktion

17

Einer der Sätze ist wahr – einer ist falsch. Begründe:

a) Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion.

b) Jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion.

Gib für den falschen Satz ein Gegenbeispiel an!

Klasse

Art

Schwierigkeit

math. Thema

Nr.

12

Lösung

X X

Integralfunktion

17

a) ist wahr, denn die Ableitung einer Integralfuntkion ist stets die Integrandenfunktion:

x

F(x) = ! f(t) dt = F(x) " F(a) , damit ist F !(x)

= f(x) .

a

b) Ist falsch, denn nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion, da eine Integralfunktion

stets eine Nullstelle hat, eine Stammfunktion aber nicht.

Beispiel: F(x) = x 4 + 1 ist zwar eine Stammfuntkion von f(x)=4x 3 , aber keine Integralfunktion,

da F keine Nullstelle hat.

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