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6.1 Präsentationen von Gruppen

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244 6.1 Präsentationen von Gruppen Es geht jetzt um die Beschreibung von Gruppen durch Erzeugende und Relationen, also z. B. um die genaue Beschreibung dessen, was Zeilen wie die folgende bedeuten: G := 〈x, y | x 2 = y 2 = (xy) 3 = 1〉. Aus dieser Zeile erhält man durch naives Rechnen die folgende Multiplikationstafel: 1 x y xy yx xyx 1 1 x y xy yx xyx x x 1 xy y xyx yx y y yx 1 xyx x xy xy xy xyx x yx 1 y yx yx y xyx 1 xy x xyx xyx xy yx x y 1 eine zu S 3 isomorphe Gruppe. Diese ist aber, im Gegensatz zu der Definition der S 3 als Menge von Bijektionen auf der Menge {0, 1, 2}, eine sogenannte abstrakte Gruppe, die gegeben ist durch die Erzeugenden x und y und durch die drei Gleichungen, die em definierenden Relationen x 2 = 1, y 2 = 1 sowie (xy) 3 = 1. Ein Isomorphismus zwischen beiden Gruppen ist offenbar die Fortsetzung von x ↦→ (01), y ↦→ (12). Es stellt sich also die Frage, ob man jede Gruppe so beschreiben, und wie man mit abstrakten Gruppen rechnen kann. 6.1.1 Definition (freie Gruppen) Ist M eine Menge, ϕ: M → G eine Abbildung von M in eine Gruppe G, dann heißt G eine von M frei erzeugte Gruppe, wenn ϕ: M → G universell ist bzgl. der Klasse F der Abbildungen von M in Gruppen und der Klasse L der Homomorphismen zwischen Gruppen. • 6.1.2 Satz Zu jeder Menge M existieren von ihr frei erzeugte Gruppen, je zwei von ihnen sind isomorph. Beweis: Wir konstruieren eine Gruppe F (M), die die gewünschten Eigenschaften hat. • Zu M nehmen wir eine bijektive, aber zu M disjunkte Menge M −1 hinzu, einem m ∈ M entspreche dabei das Element m −1 ∈ M −1 . Diese beiden Mengen fassen wir zum Alphabet A := M ∪ M −1 zusammen und bilden die Halbgruppe A ∗ aus den endlichen Wörtern w über A, einschließlich des leeren Worts ɛ, mit dem Anfügen (“Concatenation”) als Verknüpfung: ww ′ = (a i0 · · · a ik−1 )(a j0 · · · a jl−1 ) := a i0 · · · a ik−1 a j0 · · · a jl−1 . Das leere Wort ist hier offenbar das neutrale Element, die Halbgruppe A ∗ ist also ein Monoid.

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