Mathematik – Geometrie

Inhalt:
Mathematik – Geometrie
6.2003
© 2003 by Reto Da Forno
Abbildung / Abbildungsvorschriften
- Ähnlichkeitsabbildungen Seite 1
- Zentrische Streckung Seite 1
- Die Strahlensätze Seite 1
- Kongruenzabbildungen Seite 2
- Kongruenzsätze Seite 2
Übersicht: Geometrische Figuren Seite 2
Gegenseitige Lage von Figuren
- Gerade - Ebene Seite 4
- Gerade - Gerade Seite 4
- Ebene - Ebene Seite 4
- Kreis - Gerade Seite 4
- Gemeinsame Tangenten Seite 5
Sätze – allgemeine Definitionen
- Thales Seite 5
- Zentriwinkel Seite 5
- Pheripheriewinkel Seite 5
- Fasskreisproblem Seite 5
- Pythagoras Seite 5
- Euklid Seite 5
- Höhensatz Seite 6
Bezeichnungen, Abkürzungen Seite 7
1. Ähnlichkeitsabbildungen
(= Abbildung, die aus einer oder mehreren zentrischen Streckungen oder Kongruenzabbildungen
zusammengesetzt ist)
Satz: Ähnliche Figuren stimmen in den Winkelgrössen und Verhältnissen entsprechender Seitenlängen
überein. Ähnliche Geraden sind parallel.
a) Die zentrische Streckung:
... ist eine geometrische Abbildung mit Abbildungsvorschrift
(S ist das Streckzentrum und k der Streckfaktor)
bei Strecken: Originalstrecke * Streckfaktor = Bildstrecke (SA * k = SA‘)
bei Flächen: Originalfläche * k 2 = Bildfläche (A * k 2 = A‘)
b) Die Strahlensätze (zur zentrischen Streckung):
a:b (Strecke a zu Strecke b) = Längenverhältnis
Es geht um die Beziehungen zwischen Länge einer Strecke und ihres Bildes.
Gegeben sind zwei halbgeraden (Strahlen) mit gemeinsamem Punkt S, die durch ein Parallelenpaar
g//h geschnitten werden.
1. Strahlensatz:
Abschnitte auf der einen Halbgeraden verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf der
Anderen. (SC : CC‘ wie SB : BB‘ oder in Skizze 2 SA:SA‘ = SB:SB‘ = AB:A’B‘)
2. Strahlensatz:
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SC‘ = k * SC
B’C‘ = k * BC
Skizzen zu den Strahensätzen:
C‘
C C*
S B B‘
Zentrische Streckungen sind Längenverhältnistreue Abbildungen
2. Kongruenzabbildungen
(= Abbildungsvorschrift, bei der die Bildfigur und die Originalfigur deckungsgleich sind)
a) Abbildungsvorschriften:
- Achsenspiegelung
- Verschiebung (Translation, parallele Verschiebung): Strecke bleibt gleichlang und behält die
Richtung (Darstellung: mit Verschiebungsvektor v )
- Drehung (Rotation): MP = MP‘ (M=Mittelpunkt / Drehzentrum, α =Drehwinkel)
wenn α > 0, dann im Gegenuhrzeigersinn drehen
- Punktspiegelung: MP = MP‘ und M, P, P‘ liegen auf einer Geraden
b) Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
1. Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der Länge zweier Seiten und in dem von ihnen
eingeschlossenen Winkel überein, sind sie ähnlich. (sws – Seite Winkel Seite)
2. Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der drei Seitenlängen überein, dann sind sie zueinander
ähnlich. (SSS)
3. Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis zweier Seitenlängen und in dem der grösseren Seite
gegenüberliegenden Winkel überein, dann sind sie ähnlich.
Die Ähnlichkeitssätze sind die Verallgemeinerung der Kongruenzsätze.
Figur Name Eigenschaften Formeln
Gerade
Durch 2 Punkte eindeutig festgelegt
Ebene
- Unbegrenzte ebene Fläche
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- Durch 3 Punkte oder zwei sich
kreuzende Geraden festgelegt
Dreieck Innenwinkelsumme beträgt 180° A = g * h / 2
Dreieck (gleichschenkliges) Basis (längste Seite) mit den zwei gleich A = g * h / 2
grossen Basiswinkeln
Dreieck (gleichseitiges) Alle Seiten gleich gross, jeder Winkel 60° A = [s 2 * √(3) ] / 4
h = [s * √(3) ] / 2
u = 3a
s = √ [4*A/√(3)] = √ ((4/3)*h 2 )
Rechteck Vier 90° Winkel d = √( a 2 + b 2 )
u = 2a + 2b
A = a*b
Parallelogramm
Gegenüberliegende Winkel sind je gleich A = g * h
gross und zusammen 180°
Quadrat Vier 90° Winkel, alle Seiten gleich lang A = s 2
Raute / Rhombus
Deltoid
Rhomboid
- alle Seiten sind gleichlang
- Je zwei gegenüberliegende Winkel sind
gleich
Vierecke, deren Diagonalen aufeinander
normal stehen
Je zwei gegenüberliegende Winkel sind
gleich
u = 4s
d = s √ (2)
A = g * h
A = g * h
Fünfeck (Pentagon) Winkelsumme beträgt 540°
Sechseck Winkelsumme beträgt 720°
Polygon (regelmässiges Vieleck) A = (S* Anz. Seiten)* [ √(s 2 -
(s/2) 2 ) /2]
Tangentenviereck
Viereck mit einem Innkreis
Sehnenviereck
Viereck mit einem Umkreis, Summe
zweier gegenüberliegender Winkel = 180°
Trapez Grundseite // Deckseite A = (g+d)*h / 2
A = m * h
Kreis A = π r 2
u = 2 π r
Innkreis (siehe Skizze) Konstruktion: Schnittpunkt der
Winkelhalbierenden
Ankreis (siehe Skizze) Konstruktion: Schnittpunkt der
Winkelhalbierenden der Nebenwinkel
Umkreis (siehe Skizze) Konstruktion: Schnittpunkt der
Mittelsenkrechten
Bogenlänge
b x = π r / 180 * x
Kreissektorfläche
S x = π r 2 / 360 * x
Würfel Alle Winkel 90°, alle Seitenkanten gleich d = s * √(3)
V = s 3
Quader Alle Winkel 90° d = √( a 2 + b 2 + c 2 )
V = a * b * c
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Zylinder
Pyramide
Kegel
- Mantel: n-Dreiecke
- n-Eck als Grundfläche
- Spitze S liegt ausserhalb des n-Ecks
- Abstand von S zur Grundfläche = Höhe
h
Kreis als Grundfläche, sonst wie
Pyramide
V = π r 2 * h
O = 2 π r 2 + 2r π * h
V = ( 1 / 3 ) G * h
O = G + M
V = ( 1 / 3 ) π r 2 * h
Kugel V = ( 4 / 3 ) π r 3
Prisma (das Gesägte) - kongruente n-eckige Grund- /
Deckflächen
- Grundseite und Deckseite sind parallel
- wenn Seitenkanten senkrecht auf der
Grundfläche stehen, ist das Prisma
gerade, alle anderen heissen schief
- Abstand zwischen beiden Ebenen nennt
man Höhe des Prismas
Skizze (Ankreis, Umkreis, Innkreis):
O = 4π r 2
r = 3 √ [ ( 3 / 4π )* V] = √( O / 4π )
V = G * h
S = M + (2 * G)
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C
Ankreis
A
Innkrei
s
Umkreis
B
1. Gerade - Ebene
a) g // E keine gemeinsamen Punkte
b) P = g ∩ E genau einen gemeinsamen (Durchstoss-) Punkt
c) g ⊂ E Teilmenge, g liegt in E, alle Punkte gemeinsam
2. Gerade - Gerade
a) g // h liegen in derselben Ebene, keinen gemeinsamen Punkt
b) g windschief h liegen in verschiedenen Ebenen, keinen gemeinsamen Punkt
c) g = h liegen in gleichen Ebene, alle Punkte gemeinsam
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d) S = g ∩ h liegen in gleichen Ebene, einen gemeinsamen (Schnitt-) Punkt
3. Ebene - Ebene
a) E 1 // E 2 alle Geraden g ∈ E 1 und h ∈ E 2 sind windschief
b) E 1 ∩ E 2 in Schnittgeraden s, jede Gerade g aus E 1 oder E 2 ist entweder // zu s oder
schneidet s
4. Kreis - Gerade
a) g liegt ausserhalb
b) g berührt den Kreis an genau einem (Berührungs-) Punkt B (g heisst Tangente)
c) g schneidet k an zwei Punkten C, D (g heisst Sekante)
d) g zerlegt den Kreis in zwei Halbkreise; g durchstösst M (g von A bis B heisst Durchmesser)
5. Gemeinsame Tangenten von zwei Kreisen
a) 4 gemeinsame Tangenten, wenn...
... M 1 M 2 > r 1 +r 2
b) 3 Tangenten, wenn...
... M 1 M 2 = r 1 r 2
c) 2 Tangenten, wenn...
...r 1 – r 2 < M 1 M 2 < r 1 + r 2
d) 1 Tangente, wenn... e) 0 Tangenten, wenn ...
... M 1 M 2 = r 2 – r 1 ... M 1 M 2 < r 2 – r 1
1. Satz von Thales
Jeder Winkel ACB, dessen Scheitelpunkt C auf der Halbkreislinie mit Durchmesser AB liegt, ist ein
rechter Winkel.
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2. Der Zentriwinkelsatz
Zentriwinkel δ ist doppelt so gross wie ein Pheripheriewinkel ε über dem selben Kreisbogen.
ε
A
δ
B
3. Der Pheripheriewinkelsatz
Alle Pheripheriewinkel ε über demselben Bogen sind gleich gross.
4. Das Fasskreisproblem
Gesucht sind alle Winkel ε über AB, welche 70° gross sind.
LB: AB , 20° (90° - ε) von A aus abtragen, Winkel 20° geschnitten mit m AB = M des Kreises
5. Der Satz von Euklid (= Kathetensatz)
Alle Parallelogramme zwischen den parallelen Geraden p // q haben denselben Flächeninhalt.
6. Der Satz von Pythagoras
Quadratfläche über Hypothenuse = Summe der Flächen über den Katheten: a 2 + b 2 = c 2
a 2
C
b 2
A
p
q
B
cp
cq
c
c
p
q
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7. Der Höhensatz
H c 2 + p2 = a 2 a 2
C
h c
2
A
q
p 2
B
q
q
! "#
Achtung! Die folgenden Bezeichnungen sind nicht zwingend.
d = Durchmesser / Körperdiagonale A = Flächeninhalt
g = Gerade g B = Berührungspunkt
h = Höhe, Hypotenuse D = Deckfläche, Durchstosspunkt
k = Kreislinie, Kathete E = Ebene
m = Mittellinie
F = Fusspunkt
r = Radius G = Grundfläche
s = Seite, Sekante, Schwerlinie, Schnittgerade, Sehne M = Mittelpunkt
t = Tangente P = Punkt P
v = Vektor O oder S = Oberfläche (-ninhalt)
α = Winkel Alpha u = Umfang
m AB = Mittelsenkrechte der Strecke AB
V = Volumen
g = Grundseite
d = Deckseite
zur Schreibweise in diesem Skript:
h = [s * √(3) ] / 2 würde richtig so aussehen:
A =
s * √(3)
2
Autor dieses Skripts: reto_d@gmx.ch
Alle Rechte vorbehalten.
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