Dynamik I - Freie Universität Berlin

Meteorologie der Mittleren Atmosphäre, WS 2007/08, Vorlesung 6 - 1- 

Vorlesung 6 

Dynamik I 

• Hydro-thermodynamisches Grundgleichungssystem 

• Umformungen für Anwendungen in der Meteorologie 

• ‚Primitive‘ Gleichungen 

• Vereinfachungen der ‚primitiven Gleichungen‘ 

• 2-dimensionale Dynamik der Mittleren Atmosphäre 

• Wellen in der Mittleren Atmosphäre 

PD Dr. Ulrike Langematz, Institut für Meteorologie, Freie Universität Berlin


Das hydro-thermodynamische Grundgleichungssystem 

Das dynamische und thermische Verhalten der Erdatmosphäre als komprimierbares 

Medium auf einer rotierenden Kugel wird beschrieben mit den Grundgleichungen der 

Hydro- und Thermodynamik: 

r 

dv 

dt 

1 r r 

= − ∇p 

− 2Ω× 

v 

ρ 

dT dp 

c p − 1 = Q 

dt ρ dt 

dρ 

r 

+ ρ∇ ⋅ v = 0 

dt 

r r 

+ g + 

F R 

Navier-Stokes‘sche Bewegungsgleichung 

1. Hauptsatz der Thermodynamik 

Kontinuitätsgleichung 

mit: 

v r t 

ρ 

p 

Ω r g r R 

F r 

c p 

T 

Q 

Geschwindigkeitsvektor 

Zeit 

Luftdichte 

Luftdruck 

Vektor der Rotationsgeschwindigkeit der Erde 

Schwerkraft 

Reibungskraft 

spezifische Wärme von Luft bei p=const. 

Temperatur 

diabatische Nettoerwärmungsrate pro Einheitsmasse 



Umformungen für Anwendungen in der Meteorologie 

a) Darstellung der Navier-Stokes‘schen Bewegungsgleichung in Form von drei Skalargleichungen 

für die Windkomponenten 

u: Zonalwind (in Ost-West-Richtung, breitenkreisparallel) 

v: Meridionalwind (in Nord-Südrichtung, längenkreisparallel) 

w: Vertikalwind 

b) Einführung von Polarkoordinaten 

λ: geogr. Länge, nach Osten zunehmend 

φ: geogr. Breite, nach Norden zunehmend 

z: geometrische Höhe über der Erdoberfläche 

r = a + z 

a: Erdradius, r: Abstand eines Punktes vom Erdmittelpunkt 

u 

= 

dλ 

r cosϕ 

dt 

dϕ 

v = r 

dt 

dz 

w = 

dt 

v = 

dy 

dt 

PD Dr. Ulrike Langematz, Institut für Meteorologie, Freie Universität Berlin 

da 

da 

u = 

dx 

dt 

= 

= 

d 

dt 

d 

dt 

dλ 

(r cosϕ λ) 

= r cosϕ 

dt 

dϕ 

( ϕr) 

= r 

dt 

mit φ=y/r 

mit λ=x/(r cosφ) 

NP 

r 

φ) 

y


c) Ersetzen der individuellen Zeitableitung (material derivative) in einem Euler‘schen 

Bezugsrahmen (d.h. in einem Bezugsrahmen, in dem die Eigenschaften eines Fluids an 

festen Koordinatenpunkten berechnet wird 

z.B. für die Temperatur: 

dT 

dt 

= 

∂T 

∂t 

+ 

r 

v ⋅ ∇T 

= 

∂T 

∂t 

∂T 

+ u 

∂x 

+ 

v 

∂T 

∂y 

+ 

w 

∂T 

∂z 

= 

∂T 

∂t 

+ 

u 

r cos 

ϕ 

∂T 

∂λ 

+ 

v 

r 

∂T 

∂ϕ 

+ 

w 

∂T 

∂z 

lokale zeitliche 

Änderung 

Änderung durch Advektion 

durch das Windfeld 

d) Einführung der approximierten Höhe als Vertikalkoordinate (Löung der Gleichungen in 

Drucksystem; log-pressure-System) 

z 

= 

⎛ 

− H ln 

⎜ 

⎝ 

p 

p s 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

mit H=7000 m : Skalenhöhe für eine mittlere Temperatur 

T=240 K 

p 

= 

p s e 

−z /H 



e) Einführung von drei Approximationen für großräumige Bewegungen (→ Primitive 

Gleichungen) 

1) Hydrostatische Approximation 

Approximation der Vertikalkomponente der Bewegungsgleichung für den 

großräumigen Scale (nach einer Scale-Analyse) 

dw/dt = 0 → 

1 ∂p 

g = − 

ρ ∂z 

Die individuelle Vertikalbeschleunigung ist vernachlässigbar. In der 

Vertikalen herrscht ein Gleichgewicht zwischen Druck- und Schwerkraft. 

Zusätzlich: Approximation der Schwerkraft r r durch ihre Vertikalkomponente und 

Einführung der Normalschwere: g = g k mit g 0 =9.80665 ms -2 

Zusätzlich: Einführung des Geopotentials 

PD Dr. Ulrike Langematz, Institut für Meteorologie, Freie Universität Berlin 

0 

Φ(z) 

= 

z 

∫ 

0 

gdz 

→ 

d Φ = 

2) Approximation des Abstandes eines Punktes in der Atmosphäre vom Erdmittelpunkt 

r= a+z durch den Erdradius a: 

r ≈ a 

gdz


3) Vernachlässigung des Anteils der Corioliskraft, der durch die Horizontalkomponente 

des Erdrotationsvektors verursacht wird 

r r r 

r r r 

C = − 2Ω × v 

r r r 

Ω r Ω = Ωy 

+ Ωz 

r r 

r r 

= Ωy 

j + Ωz 

k 

C = − 2( 

Ωy 

j × v + Ωzk 

× v) 

Ω r 

r r r r 

Ω r 

Annahme: Ωy 

j × v


‚Primitive Gleichungen‘ für die Beschreibung globaler 

atmosphärischer Vorgänge auf einer Kugel 

von ‚primitive equations‘, im Sinne von ursprünglich 

du uv 

1 

− tan ϕ − 2Ω 

sinϕ 

v + 

dt a 

a cosϕ 

∂Φ 

∂λ 

= 

F 

λ 

2 

dv u 

1 

− tan ϕ + 2Ω 

sinϕ 

u + 

dt a 

a 

∂Φ 

∂ϕ 

= 

F 

ϕ 

∂Φ 

∂z 

= 

RdT 

H 

dT 

dt 

+ 

w 

κT 

H 

= 

Q 

c p,d 

mit κ = R l 

/c p 

= (c p 

-c v 

)/c p 

1 ∂u 

1 ∂(v cosϕ) 

1 ∂ρ0w 

+ 

+ 

acosϕ 

∂λ acosϕ 

∂ϕ ρ ∂z 

0 

= 

0 

mit ρ 0 

: Dichte im log-pressure System 

Unter Vorgabe geeigneter Anfangs- und Randbedingungen (Erdboden, Atmosphärenobergrenze) 

ermöglichen die ‚primitiven Gleichungen‘ die Bestimmung der räumlichen und zeitlichen 

Entwicklung atmosphärischer Prozesse. 



Vereinfachungen der ‚primitiven Gleichungen‘ für bestimmte 

Anwendungen 

a) Geometrische Vereinfachungen 

1) Vernachlässigung sphärischer Geometrie 

Voraussetzungen: 

- geometrischer Effekt der Erdkrümmung ist vernachlässigbar gegenüber dem 

dynamischen Effekt der Corioliskraft (in MA: relativ langsame Zirkulation in den 

Extratropen) 

- in Gebiet mit geringer Breitenerstreckung 

→ β-Ebenen Approximation 

a) Ersetzen der Polarkoordinaten (λ, φ) durch (x,y) 

b) lineare Approximation der Breitenabhängigkeit des Coriolisparameters 

f (φ ) = 2 Ω sin φ 

f (y) = f 0 + βy mit f 0 = 2 Ω sin φ 0 und oft φ 0 = 45° 

β = df/(a dφ) = 1/a 2 Ω cos φ 0 



b) Dynamische Vereinfachungen 

1) Geostrophische Approximation 

Die Scale-Analyse der ‚primitiven Gleichungen‘ ergibt für typische Windgeschwindigkeiten 

und räumliche Größenordnungen in der MA: 

Es existiert ein Kräftegleichgewicht zwischen Druckkraft und Corioliskraft: 

Geostrophisches Gleichungssystem: 

u g 

∂Φ 

= − 

1 v 

f ∂y 

= 1 ∂Φ 

g 

f ∂x 

In der Stratosphäre ist das geostrophische Gleichgewicht angenähert erfüllt. 

Stratosphärische Winde wehen parallel zu den Höhenlinien des Geopotentialfeldes. 

Thermischer Wind: 

∂ 

u g 

∂z 

= − 

R 

Hf 

∂T 

∂v g R ∂T 

= 

0 ∂y 

∂z 

Hf0 

∂x 

R: Gaskonstante für Luft 

H: Skalenhöhe 

Die stratosphärischen Windsysteme lassen sich anhand der meridionalen Temperaturgradienten 

erklären und sind ein Ausdruck des geostrophischen Gleichgewichtes. 


Meteorologie der Mittleren Atmosphäre, WS 2007/08, Vorlesung 6 - 10 - 

Kopplung von Temperatur und Wind bei geostrophischem Gleichgewicht 

u g 

∂ 

∂z 

= − 

R 

Hf 

0 

∂T 

∂y 

u g nimmt mit der Höhe zu, wenn die Temperatur vom Äquator zum Pol abnimmt. 

u g nimmt mit der Höhe ab, wenn die Temperatur vom Äquator zum Pol zunimmt. 



2) Quasigeostrophische Approximation 

Prinzip: Ageostrophische Windkomponenten werden zugelassen. 

u = u g + u a mit u a


2-dimensionale Dynamik der Mittleren Atmosphäre 

Viele Phänomene in der MA lassen sich erklären als Ergebnis von Wechselwirkungen 

zwischen zonal gemitteltem Zustand und Störungen vom zonalen Mittel. 

→ 2-d Dynamik in der Breiten-Höhen-Ebene: 

φ 

Definition: (am Beispiel des Zonalwindes u) 

z 

Zonales Mittel: 

Abweichungen vom 

zonalen Mittel: 

1 

u ( ϕ,z,t) 

= 

2π 

2π 

∫ 

0 

u ( λ, 

ϕ,z,t) 

dλ 

u'( 

λ, 

ϕ,z,t) 

= u( λ, 

ϕ,z,t) 

− u ( ϕ,z,t) 

λ: geogr. Länge 

φ: geogr. Breite 

z: Höhe 

t: Zeit 

Die Abweichungen vom zonalen Mittel werden üblicherweise mithilfe der Fourier-Analyse 

in Anteile sich überlagernder zonaler Wellen mit unterschiedlicher Wellenzahl zerlegt. 

Nomenklatur: Zonal gemittelter Zustand von ū: „zonaler Grundzustand“ 

Störungen: „Wellen“, „waves“, „eddies“ (nicht im Sinne von Wirbel) 

Die Dyamik der MA kann häufig durch zonale Mittel approximiert werden (2d-Approximation) 

→ Entwicklung 2-d Konzepten („Welle-Grundstrom-Wechselwirkungen“, „Welle-Welle- 

Wechselwirkungen“) 



Beispiele 

Arktisches Hoch im Sommer Stratosphärenerwärmung im Januar 2006 

2d-Approximation gut erfüllt 

2d-Approximation nicht erfüllt 

u( 

λ , ϕ,z,t) 

≈ u ( ϕ,z,t) 

u( 

λ, 

ϕ,z,t) 

= u ( ϕ,z,t) 

+ u'( λ, 

ϕ,z,t 

) 



Beobachtete Wellentypen 

Merkmale von atmosphärischen Wellen 

• Rückstellkräfte: 

• vertikal: Schichtung, Auftriebskräfte, Schwerkraft → (z.B. interne Schwerewellen) 

• horizontal: Corioliseffekt durch Erdrotation (β-Effekt) → (planetarische, Rossby-Wellen) 

• beides: → Inertio-Schwerewellen (Trägheitsschwerewellen) 

• erzwungene Wellen: z.B. Gezeiten, geogr. fixierte planetarische Wellen 

freie Wellen: globale Normalmoden, (z.B. 5-Tage-Wellen) 

• stehende (stationary, standing) Wellen: Phasengeschwindigkeit c = 0 (rel. zur Erdoberfläche) 

wandernde (traveling) Wellen: c ≠ 0 

• steady Wellen: Amplitude = const. 

transiente Wellen: zeitlich variable Amplitude 

• andere Definitionen: 

stationäre Wellen: standing + steady (c = 0, Ampl. = const.) 

transiente Wellen: zeitlich veränderlich (c ≠ 0, Ampl. ≠ const.) 



Stationäre planetarische Wellen I 

• (Quasi-)stationäre planetarische Wellen sind Rossbywellen, die sich im 

klimatologischen Mittel einer meteorologischen Variablen zeigen. 

• Die stationären planetarischen Wellen entstehen in der Troposphäre durch 

• orographisches Forcing (Gebirge) → stationär 

• thermisches Forcing (Land-See-Kontrast) → klimatolog. stationär 

• Planetarische Wellen breiten sich vertikal in die MA aus, wenn 

Kriterium nach Charney und Drazin 

0 

g u crit 

ū g : geostroph. Zonalwind 

c: Phasengeschwindigkeit der Welle 

ū crit : kritische Geschwindigkeit für Wellenausbreitung 

d.h. quasistationäre planetarische Wellen (mit c=0): 

• nur bei Westwind in der MA → nur im Winter 

• nur wenn der zonale Grundstrom ū g 



• nur kleine Wellenzahlen, da f( u crit 

) → in der Stratosphäre vor allem 

Wellenzahlen 1 bis 3 (z.B. ū crit 

(WN1) =100 ms -1 ) 



Stationäre planetarische Wellen II 

Amplitude und Phase der geopotentiellen Höhe [dam], Januar, Quelle: CIRA 

Welle 1 Welle 2 

Amplitude Phase 

96 

32 

• größere Amplituden im Nordwinter als im Südwinter 

• keine planetarischen Wellen in der MA im Sommer 

• Neigung der Phase der Wellen mit der Höhe nach Westen 



Freie Rossby-Wellen I 

5-Tage-Welle 

•WN 1 

• zonale sin-Welle 

• westwärts wandernd 

• Periode: 5 Tage 

• äquatorsymmetrisch 

• Boden: ∆p=0.5 hPa 

40 km: ∆T=0.5 K 

Wellenzahl 1 Fourier-Komponente 

der Anomalie der geopotentiellen 

Höhe in 1 hPa 

Hirota und Hirooka, 1984 



Freie Rossby-Wellen II 

Amplitude der geopotentiellen Höhe der westwärts wandernden 

Welle der Wellenzahl 1 in 1 hPa 

16-Tage-Welle 

Hirooka und Hirota, 1985 



Freie Rossbywellen II 

4-Tage-Welle in der Südhemisphäre 

Temperatur in 42 km Höhe 

(isoliertes Wärmegebiet, keine Sinuswelle) 



Schwerewellen 

Interne Schwerewellen 

Abb.: Hochfrequenz-Radarmessungen 

in 78 bis 94 km Höhe 

vom 11-14 Mai 1981 

Horizontale Wellenlängen 10- 300km 

Rückstellkraft: Auftrieb 

Periode: Minuten bis 1 Stunde 

Hor. Phasengeschwindigkeit bis 80 ms -1 

Trägheitsschwerewellen 

Perioden > 8 Std. 

Vincent und Reid, 1983 

Horizontale Wellenlängen: bis 10.000 km 

Rückstellkraft: Auftrieb und Corioliskraft 

8 min > Perioden 

< 8 Std. 



Schema einer sich vertikal ausbreitenden Schwerewelle 

Schwerewellen werden in der Troposphäre angeregt durch: 

• Gebirge 

• Konvektion 

• Windscherungen 

Schwerewellen sind wichtig für die Enstehung der tropischen QBO. 



Ausbreitungsbedingungen für Schwerewellen 

in Abhängigkeit von der zonalen Grundströmung 

nur westwärts wandernde SW in MA 

→ westwärts gerichtete Kraft wirkt auf 

Grundstrom 

→ Abschwächung der Westwinde im 

Winter 

nur ostwärts wandernde SW in MA 

→ ostwärts gerichtete Kraft wirkt auf 

Grundstrom 

→ Abschwächung der Ostwinde im 

Sommer 

Lindzen, 1981 



Globale Oszillationen 

Messbar in Wind-, Temperatur-, Druck-, 

Dichte- und Geopotentialdaten 

Gezeiten I 

Halbtägige Gezeiten 

Quellen: 

a) Lunare Gezeiten: 

- Schwerkraft des Mondes 

Periode: 24.8h und 12.4h (ganz- und 

halbtätige Gezeiten) 

Bodendruck (hPa) in Batavia (heute Jakarta, Indonesien) 

während 5 Tagen im Januar 1925 

b) Solare Gezeiten: 

- Thermische Anregung (Wechsel zwischen solarer 

Heizung am Tage durch Absorption (O 3 

in der 

Stratosphäre, H 2 

O in der Troposphäre) und Abkühlung 

in der Nacht 

- Freisetzung latenter Wärme durch Konvektion 

- Schwerkraft der Sonne 

Periode: 24h und 12h (ganz- und halbtätige Gezeiten) 



Gezeiten II 

Migrating Tides: 

wandern westwärts mit dem 

Sonnenstand (sonnensynchron), 

verursacht durch periodische 

Strahlungsabsorption) 

Non-migrating Tides: 

Gezeiten mit täglichen oder 

halbtägigen Perioden, aber nicht 

sonnensynchron 

Zonale Winde (ms -1 ) aus Radarmessungen über 

Adelaide (Australien) in der oberen Mesosphäre vom 8.- 

9. August 1994 (RA Vincent)

Dynamik I - Freie Universität Berlin

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