Formelsammlung - Heide-im-netz.de

1. Komplexe Zahlen
___________________________________________________________________________
Formeln:
z = a + i ⋅b
z = ρ ⋅( cosϕ
+ i ⋅sinϕ
)
⎛ ϕ ϕ ⎞
z = a² + b²
z = ρ ⋅⎜cos
+ i ⋅sin
⎟
⎝ 2 2 ⎠
i = −1
Umrechnung: ρ =
i ² = −1
1
= −i
i
2
z = a +
⎧ ⎛ b ⎞
⎪ arctan⎜
⎟,
a > 0
⎪ ⎝ a ⎠
⎛ b ⎞
ϕ = ⎨arctan⎜
⎟ + 180°
, a < 0
⎪ ⎝ a ⎠
⎪ 90°
, a = 0, b > 0
⎪
⎩ − 90°
, a = 0, b < 0
Rechenregeln:
z + z = (a 1
+ a 2
) + i (b 1
+ b 2
)
z * z = (a 1
+ i b 1
) * (a 2
+ i b 2
) = (a 1
a 2
- b 1
b 2
) + i (a 1
b 2
- a 2
b
1
)
z1 ( a1
+ ib1
)*( a2
− ib2
) a1a2
+ b1b
2
a2b1
− a1b2
=
= + i *
2 2
2 2
z2
( a2
+ ib2
)*( a2
− ib2
) a2
+ b2
a2
+ b2
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2.Schwingungen
___________________________________________________________________________
y = V ⋅ cos( α ) −U
⋅ sin( α)
y = A ⋅cos( α + ϕ 0)
0 ⎧ U
⎪ arctan , V > 0
V
⎪
U
A 0 = U ² + V ² und: ϕ 0 = ⎨arctan
+ 180°
, V < 0
⎪
V
⎪
+ 90°
, V = 0, U > 0
⎪⎩
− 90°
, V = 0, U < 0
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b
2
1

3.Fehlerfortpflanzung
___________________________________________________________________________
∆x
ε
x
= ...gilt als Absoluter Fehler.
x
Regeln:
x y
ε
x+
y
= * ε
x
+ * ε
y
x + y x + y
x y
ε
x−
y
= * ε
x
+ * ε
y
x − y x − y
ε = ε + ε
x*
y
x
y
ε = ε + ε
x
y
x
y
___________________________________________________________________________
2

4. Matrizen, Determinanten
___________________________________________________________________________
Matrizen:
Bestimmung der Eigenvektoren:
⎛1
0 0⎞
⎜ ⎟
( A − λ iE) ⋅ xi
= 0
mit: E = ⎜0
1 0⎟
der Einheitsmatrix (hier als 3x3-Matrix)
⎜ ⎟
⎝0
0 1⎠
___________________________________________________________________________
Bestimmung der Eigenwerte: Eigenwerte ( λ i ) sind die Lösungen der charakteristischen
Gleichung: det ( A − λ ⋅ E) = 0
___________________________________________________________________________
Multiplikation von Matrizen (Falksches Schema):
...es müssen immer so viele Spalten wie Zeilen vorhanden sein!!!
⎡x1⎤
⎢ ⎥
⎢
x2
⎥
⎢ 3
⎣x
⎥⎦
⎡ y1
y 2 y3⎤
⎡ y1⋅
x1
+ y 2 ⋅ x2
+ y3
⋅ x3⎤
⎢ ⎥
4 5 6
⎢
y y y
⎢
⎥
⎥ ⎢
y 4 ⋅ x1
+ y5
⋅ x2
+ y 6 ⋅ x3
⎥
Man berechnet immer Zeile mal Spalte!
⎢ 7 8 9
⎣y
y y ⎥⎦
⎢ 7
⎣ y ⋅ x1
+ y8
⋅ x2
+ y 9 ⋅ x3⎥⎦
___________________________________________________________________________
Determinanten:
Ermittlung der „Zahl“
der Determinante:
D = x x5x9
+ x2x6x7
+ x3x x
1 4x8
- x3x5x7
- x1x6x8
- x2x4
9
___________________________________________________________________________
3

Inverse Matrix, symmetrische Matrix:
Inverse:
A -1
=
⎛ A11
1 ⎜
⋅⎜
A12
det A ⎜
n
⎝ A1
A
A
A
21
22
2n
An1⎞
⎟
An
2⎟
A ⎟
nn
⎠
Symmetrische: A T = A oder a = a ik ki für alle i,k
___________________________________________________________________________
4

5. Vektoralgebra
Mittelpunkt auf s:
r r r
= ( 1 − u) ⋅ p + u ⋅ q 0 ≤ u ≤ 1
r 1 r r
m = ⋅ p + q 2
( )
___________________________________________________________________________
Berechnung des Normalenvektors:
n = a x b
Kreuzprodukt!
...n steht senkrecht auf a und b !
(...der Betrag des Vektorprodukts n = a x b ist gleich dem Flächeninhalt, der von den
Vektoren aufgespannten Ebene!)
___________________________________________________________________________
Bildung des Kreuzproduktes:
ax bx ay bz - az by yz - zy
a x b = ay x by = az bx - ax bz Kurzfassung: zx - xz
az bz ax by - ay bx xy – yx
Regeln:
r r
1) x × x = 0 r r r r r r r r r r r r r r r r
2) ( c ⋅ x) × y = c ⋅( x × y)
3) x × y = −y
× x 4) ( x × y) × z = x × z + y × z
r r r r r r r r
5) x× ( y × z ) = ( x,
z ) ⋅ y − ( x,
y) ⋅ z
___________________________________________________________________________
Bildung des Skalarproduktes
(Bildung des Betrages eines Vektors):
r r
r r r
( a , b ) = x1y1
+ x2
y 2 + ... + xnyn
x = x,
x
Regeln zum Skalarprodukt:
r r r r
r r r r
r r r r r r r
1) ( x, y) = ( y,
x)
2) ( c ⋅ x, y) = c ⋅( y,
x)
3) ( x + y, z ) = ( x,
z ) + ( y,
z )
r r r
4) x = ( x,
x)
___________________________________________________________________________
Der Winkel zwischen zwei Vektoren (z.B. bei Dreiecksberechnungen) a r b
r
; :
5

( b , c)
⎛ ⎞
⎜ ⎟
α = arccos
⎜ r r
⎟
b ⋅ c
⎝ ⎠
___________________________________________________________________________
allgemeine Form der Ebenendarstellung:
r r r r
ε → =
0 + u ⋅ a + v ⋅b
u,
v ∈ R
___________________________________________________________________________
Algebraische Form der Ebene:
Ax + By + Cz = D
mit
⎛ A⎞
⎜ ⎟
n r = ⎜ B⎟
und
⎜ ⎟
⎝C
⎠
⎛ x0
⎞
⎜ ⎟
r 0 = ⎜ y 0⎟
⎜ ⎟
0
⎝ z ⎠
___________________________________________________________________________
Umrechnung in die verschiedenen Formen:
⎛ D ⎞
⎜ ⎟
⎛ 0 ⎞
⎛ ⎞
⎜ A ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟
D
Bezugspunkt: r 0 = ⎜ 0 ⎟ oder: r 0 = ⎜ ⎟ oder: r
⎜ ⎟
0 = 0
⎜ ⎟
⎜ B ⎟
⎜
D
⎟
0
⎝ 0 ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ C ⎠
⎛ A⎞
⎜ ⎟
Normalenvektor: n r = ⎜ B⎟
⎜ ⎟
⎝C
⎠
___________________________________________________________________________
Orthogonalität zweier Vektoren:
...zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn das Skalarprodukt der Vektoren
0 ergibt. Ist das der Fall, so stehen diese Vektoren senkrecht aufeinander!
r
( a, b
r
) = 0
Skalarprodukt!
___________________________________________________________________________
Schrägprojektion auf eine Ebene:
Der Schnittpunkt r 2 aus g und ε ergibt sich unter der Projektionsrichtung p r zu:
r r r
= 1 + u ⋅ p wegen r r r r
∈ ε ( n, 1 −
0)
2 2 : u = − r r
( n,
p)
___________________________________________________________________________
6

Schnitt zweier Ebenen:
r r r
Richtungsvektor der Schnittgeraden: a = n1×
n 2
r r r
( n
) r
2,
1 − 2
Bezugspunkt der Schnittgeraden: r = r − r r ⋅ b
0 1
n 2,
b
mit r r
b n a r
= 1 ×
___________________________________________________________________________
Projektion eines Vektors auf einen anderen, vom Nullvektor unterschiedlichen Vektor:
(Komponente von b r in Richtung a r )
r
r
b a
=
r r
( a,
b ) r
⋅ a
r
a ²
r
a b
r
mit ( , ) ≠ 0
___________________________________________________________________________
Orthogonalprojektion auf eine Gerade
(Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden):
r r r
r r ( a, 0 −
1)
r
2 =
0 − r r ⋅a
mit projiziertem Punkt r 2 , zu projizierendem Punkt r 1 und
( a,
a)
Geradenbezugspunkt r 0
r r r
r r ( 1 −
0)
× a
Der Punktabstand zur Geraden: d =
2 −
1 = r
a
___________________________________________________________________________
Schnittwinkel zweier Ebenen
(Handflächenregel !!!):
Winkel zwischen den Normalenvektoren
⎛ ⎞
⎜
n1,
n2
α = arccos ⎟
1
⎝ n ⋅ n2
⎠
___________________________________________________________________________
Höhen im Dreieck:
r r r
(Eckpunkte durch a, b,
c beschrieben!)
r r r
r ( c,
a)
h c
( a a) c r
a = − r r ⋅
,
die anderen Höhen ( h
r b, h r
c)
lassen sich durch „alphabetisches Weiterrücken“ der Buchstaben
r r r r r r
leicht ermitteln: h a → h b, c → a,
a → b,
usw.
___________________________________________________________________________
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene:
Siehe „Schrägprojektion auf eine Ebene“!
___________________________________________________________________________
Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene:
r r r
n, ( 1 −
0)
d = r mit r 1 = Bezugspunkt der Geraden, r 0 = Bezugspunkt der Ebene und
n
n r = Normalenvektor der Ebene.
___________________________________________________________________________
7

Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene:
r r r
( n, 1 −
0)
d = r mit r 0 = Ebenenbezugspunkt und r 1 = Punkt
n
___________________________________________________________________________
Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden:
r r
[ , r r
a , a 2 ( 2 −
1)
]
d =
1 r r
a1×
a 2
___________________________________________________________________________
Abstand zwischen zwei Punkten:
r r
d = b − a
___________________________________________________________________________
8

6. Additionstheoreme
___________________________________________________________________________
Formeln:
sinα
sin β sin χ
Cosinussatz: a ² = b²
+ c²
− 2bc
⋅cosα
Sinussatz: = =
a b c
Winkelsummensatz: α + β + χ = 180°
sin x
cos x
tan x
cot x
tan x
1
sin x
-- ± 1− cos ² x ±
±
1+
tan ² x 1+
cot ²x
1
cot x
cos x ± 1− sin ² x -- ±
±
1+
tan ²x 1+
cot ² x
sin x
tan x ±
1− cos ² x
1
± --
1−
sin ² x cos x
cot x
1− sin ² x cos x
1
cot x ±
±
--
sin x
1−
cos ² x tan x
Additionstheoreme:
sin( x
cos( x
± x2)
= sin x
sin
1 1⋅cos
x2
± cos x1⋅
± x2)
= cos x
sin
1 1⋅cos
x2
m sin x1⋅
sin²x+cos²x=1
x
2
x
2
tan x1
± tan x2
tan( x1
± x2)
=
1m
tan x1⋅
tan x2
cot x1⋅cot
x2
m1
cot( x1
± x2)
=
cot x2
± cot x1
Umrechnungen von Potenzen:
1 1
1 1
sin ² ( α ) = − ⋅cos( 2α )
cos ² ( α ) = + ⋅cos( 2α )
2 2
2 2
3 1
3 1
sin ³ ( α ) = ⋅sin( α ) − ⋅sin( 3α
)
cos ³ ( α ) = ⋅cos( α ) + ⋅cos( 3α
)
4 4
4 4
3 4 1
3 4 1
sin 4 ( α ) = − ⋅ cos( 2α
) + ⋅ cos( 4α
) cos 4 ( α ) = + ⋅cos( 2α
) + ⋅cos( 4α
)
8 8 8
8 8 8
___________________________________________________________________________
9

7. Funktionsgleichungen
___________________________________________________________________________
Parabelfunktionen:
Horner-Schema:
...gilt nur für die Form
p: y = a 2
(x - x 0
) 2 + a 1
(x - x 0
) + a 0 , um
t = x 1
- x 0
2 3 4
t = 2 + + +
0 4 14
______________
2 * t 7 * t 18 ⇒ b 0 = 18
t = 2 + +
0 4
_______
2 11 ⇒ b 1
= 11
⇒ b 2
= 2
p: y = b 2
(x - x 1
) 2 + b 1
(x - x 1
) + b 0 zu lösen !!!
Scheitelpunkt einer Parabel:
( ; y
a1
2
S s)
mit:
xs xs = − und: y = a 2 ⋅ xs
+ a1⋅
xs
a0
2a
+
s 2
10