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Sedimenttransport und Morphodynamik - Tideelbe

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1<br />

Fakultät für Bauingenieur- <strong>und</strong> Vermessungswesen<br />

<strong>Sedimenttransport</strong> <strong>und</strong> <strong>Morphodynamik</strong><br />

Prof. Dr.-Ing. habil. Dipl.-Phys. Andreas Malcherek<br />

Institut für Wasserwesen<br />

Werner-Heisenberg-Weg 39<br />

85577 Neubiberg<br />

Tel.: 089 / 6004 3876<br />

email: andreas.malcherek@unibw-muenchen.de


Inhaltsverzeichnis<br />

1 Das Sedimentinventar 3<br />

1.1 Partikeldynamik in Fluiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />

1.1.1 Die Basset-Boussinesq-Oseen-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />

1.1.2 Die Stokessche Sinkgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />

1.1.3 Die Sinkgeschwindigkeit nach dem Oseenschen Widerstandsgesetz . 7<br />

1.1.4 Die Sinkgeschwindigkeit nach Dietrich . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />

1.2 Bestimmung <strong>und</strong> Klassifizierung des Korndurchmessers . . . . . . . . . . . 9<br />

1.3 Die Korndichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />

1.4 Die Fraktionierung des Sedimentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />

1.4.1 Die Summenkurve der Sedimentverteilung . . . . . . . . . . . . . . 13<br />

1.4.2 Statistische Kenngrößen der Korngrößenverteilung . . . . . . . . . . 15<br />

1.4.3 Die Lognormale Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />

1.4.4 Bodenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />

1.5 Morphologische Datensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />

1.6 Sedimentprobendatenbanken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />

1.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />

2 Der Beginn der Sedimentbewegung 23<br />

2.1 Die Coulombsche Beziehung der inneren Reibung . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />

2.2 Das Momentengleichgewicht eines Korns am Boden . . . . . . . . . . . . . 24<br />

2.3 Die Shieldskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />

2.4 Bewegungsbeginn <strong>und</strong> Regimetheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />

2.5 Der Beginn der Sedimentbewegung an geneigten Sohlen . . . . . . . . . . . 30<br />

2.6 Stabilitätsanalysen <strong>und</strong> Sohlsicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />

2.7 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />

3 Der Transport gleichförmigen Geschiebes 37<br />

3.1 Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />

3.1.1 Die experimentelle Untersuchung des Geschiebetransports . . . . . . 39<br />

3.1.2 Das Modell von DuBoys (1879) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />

3.1.3 Die Transportformel von Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller (1948) . . . . . . . 41<br />

3.1.4 Die Wirkung der turbulenten Fluktuationen: Einstein (1950) . . . . . 43<br />

3.1.5 Das energetische Konzept von Bagnold (1966) . . . . . . . . . . . . 47<br />

3


4 INHALTSVERZEICHNIS<br />

3.1.6 Berechnung nach Engel<strong>und</strong>-Hansen (1967) . . . . . . . . . . . . . . 49<br />

3.1.7 Der Transport einer Kornschicht: Engel<strong>und</strong>-Fredsøe (1976) . . . . . . 51<br />

3.1.8 Die Empirie der Sprünge: Van Rijn (1984) . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />

3.2 Gesamtfracht im Flussquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />

3.3 Zusammenfassung <strong>und</strong> Wertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />

3.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />

4 Die Feststoffbilanz im Flusslängsprofil 57<br />

4.1 Die Bilanzierung der Transportkapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />

4.2 Abrasion <strong>und</strong> das Längsprofil eines Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60<br />

4.3 Die <strong>Sedimenttransport</strong>rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />

4.4 Morphodynamische Reaktionen anthropogener Fließgewässeränderungen . . 66<br />

4.5 Kolke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />

4.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />

4.7 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />

5 Die Sicherung der Sohle 73<br />

5.1 Ursachen der Tiefenerosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74<br />

5.2 Sohlenbauwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />

5.2.1 Abstürze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />

5.2.2 Rampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />

5.2.3 Schwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />

5.3 Schüttsteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />

5.3.1 Theoretische Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />

5.3.2 Die Formel von Isbash (1936) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />

5.3.3 Der Ansatz von Whittacker <strong>und</strong> Jäggi (1986) . . . . . . . . . . . . . 84<br />

5.3.4 Step-Pool-Systeme: Palt (2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />

5.3.5 Aufgelöste Rampen: Vogel (2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />

5.4 Bemessungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />

5.5 Profilaufweitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />

5.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />

5.7 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />

6 Granulare Zweiphasensysteme 89<br />

6.1 Die mikroskopische Betrachtungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />

6.2 Die makroskopische Betrachtungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />

6.3 Die Massenerhaltung im Zweiphasensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />

6.4 Die Impulserhaltung im Zweiphasensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />

6.5 Beschreibung <strong>und</strong> Klassifikation der Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />

6.6 Die Abschätzung des Porenwassergehalts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />

6.7 Die Bodenevolutionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


INHALTSVERZEICHNIS 5<br />

7 Fraktionierter Transport <strong>und</strong> Sedimentsortierung 105<br />

7.1 Die vertikale Schichtung des Sedimentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />

7.2 Der Bewegungsbeginn bei einer Mischsohle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />

7.2.1 Das Konzept des selektiven Bewegungsbeginns nach Egiazaroff . . . 107<br />

7.2.2 Das Konzept des gleichmäßigen Bewegungsbeginns . . . . . . . . . 109<br />

7.2.3 Die Stabilität der Deckschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />

7.3 Fraktionierte <strong>Sedimenttransport</strong>kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />

7.3.1 Die Äquifraktionierung der Gesamttransportkapazität . . . . . . . . . 110<br />

7.3.2 Die Transportformel von Ashida <strong>und</strong> Michiue (1971) . . . . . . . . . 110<br />

7.3.3 Die Transportformel von Hunziker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />

7.4 Das Konzept der aktiven Schicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />

7.4.1 Die Dynamik der Einzelfraktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />

7.4.2 Die Kornzusammensetzung in der aktiven Schicht . . . . . . . . . . 115<br />

7.4.3 Die Dicke der aktiven Schicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116<br />

7.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123<br />

8 Die Erosion kohäsiver Sedimente 125<br />

8.1 Die kritische Erosionsschubspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br />

8.2 Die elektrochemischen Wechselwirkungen zwischen kohäsiven Partikeln . . . 126<br />

8.2.1 Die Van-der-Waals-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br />

8.2.2 Die elektrostatische Doppelschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br />

8.2.3 Die repulsive Born-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128<br />

8.2.4 Die Gesamtwechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128<br />

8.2.5 Der Einfluss des pH-Wertes auf das Erosionsverhalten . . . . . . . . 129<br />

8.2.6 Der Partikelabstand als Funktion des Porenwassergehalts . . . . . . . 129<br />

8.2.7 Die Aggregathypothese von Krone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131<br />

8.3 Der Erosionsfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132<br />

8.3.1 Experimentelle Untersuchungen in Längs- <strong>und</strong> Kreisgerinne . . . . . 132<br />

8.3.2 Die Abhängigkeit von der Sohlschubspannung . . . . . . . . . . . . 133<br />

8.4 Der Einfluss des Porenwassers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135<br />

8.4.1 Experimentelle Untersuchungsverfahren zum Porenwassergehalt . . . 135<br />

8.4.2 Porenwassergehalt <strong>und</strong> Erosionsschubspannung . . . . . . . . . . . . 136<br />

8.4.3 Porenwassergehalt <strong>und</strong> Erosionsfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />

8.4.4 Ein Erosionsmodell für Sohlschubspannung <strong>und</strong> Porenwassergehalt . 142<br />

8.5 Biologische Einflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143<br />

8.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br />

8.7 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br />

9 Der Transport von Schwebstoffen 147<br />

9.1 <strong>Sedimenttransport</strong> in Suspension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147<br />

9.1.1 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148<br />

9.1.2 Suspensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148<br />

9.1.3 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149


6 INHALTSVERZEICHNIS<br />

9.1.4 Die Schwebstofftransportgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150<br />

9.1.5 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151<br />

9.1.6 Das Konzentrationsprofil des Schwebens . . . . . . . . . . . . . . . 152<br />

9.1.7 Eine analytische Lösung der Schwebstofftransportgleichung . . . . . 153<br />

9.2 Turbulenter Schwebstofftransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157<br />

9.2.1 Das Rouseprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159<br />

9.2.2 Kombination von molekularer <strong>und</strong> turbulenter Diffusivität . . . . . . 160<br />

9.2.3 Die Referenzkonzentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161<br />

9.2.4 Wasserbauliche Anwendung: Sandfänge . . . . . . . . . . . . . . . . 163<br />

9.3 Fraktionierter Schwebstofftransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167<br />

9.3.1 Konzentrationsabhängige Sinkgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . 168<br />

9.3.2 Sinkgeschwindigkeit mit Flockendynamik . . . . . . . . . . . . . . . 168<br />

9.3.3 Behindertes Absinken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169<br />

9.4 Tiefengemittelter Schwebstofftransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170<br />

9.4.1 Das Konzept von Krone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172<br />

9.4.2 Die Gleichgewichtskonzentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173<br />

9.5 Sedimentation in Tidehäfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174<br />

9.6 Numerische Modellierung des suspensiven <strong>Sedimenttransport</strong>s . . . . . . . . 175<br />

9.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176<br />

9.8 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177


Einführung<br />

Der Kreislauf der Gesteine<br />

Um den <strong>Sedimenttransport</strong> in seinem geologischen Gesamtzusammenhang zu verstehen, sei<br />

an dieser Stelle ein kurzer Abriß der Geologie gewagt.<br />

Sedimente <strong>und</strong> Gesteine sind aus Mineralien zusammengesetzt. Unter einem Mineral versteht<br />

man einen homogenen, natürlich vorkommenden, kristallinen <strong>und</strong> anorganischen Festkörper.<br />

Mineralien werden nach ihrer chemischen Zusammensetzung klassifiziert. Silikate sind aus<br />

tetraederförmigen (SiO 4 ) 4− -Ionen zusammengesetzt. In vielen Silikaten ist das Siliziumatom<br />

dabei durch ein gleichwertiges Aluminiumatom ersetzt, man spricht dabei von Diadochie. Je<br />

nach der Anordnung der Tetraeder in Gruppen, Ringen, Ketten, Bändern oder Schichten kann<br />

man wieder sieben Gruppen von Silikaten unterscheiden. Quarz <strong>und</strong> Feldspat sind wichtige<br />

Silikate, letzterer ist das am häufigsten vorkommende Mineral in der Erdkruste. Karbonate<br />

bestehen aus in einem ebenen Dreieck angeordneten (CO 3 ) 2− -Ionen, ferner unterscheidet man<br />

nach den sie bildenden Ionen Oxide, Sulfide, Sulfate, Halogenide <strong>und</strong> Phospate. Auch reine<br />

Elemente wie z.B. Kupfer bilden Mineralien.<br />

Die einzelnen Mineralien bauen Gesteine auf, die man wieder je nach ihrer Entstehung in drei<br />

Gruppen unterteilt: Magmatite sind vulkanischen Ursprungs <strong>und</strong> entstehen aus der Kristallisation<br />

einer Schmelze. Magnatite stehen somit am Anfang des Kreislaufes der Gesteine. Die<br />

am häufigsten vorkommenden Magmatite sind Granit <strong>und</strong> Basalt, die beide im wesentlichen<br />

aus Feldspaten aufgebaut sind.<br />

Sedimentgesteine entstehen aus Verwitterung <strong>und</strong> Erosion anderer Gesteinsarten. So wird der<br />

daraus resultierende Abtrag der Alpen mit 0.1 bis 0.6 mm/Jahr abgeschätzt [68].<br />

Da diese Prozesse an der Erdoberfläche stattfinden, wird diese über ihren Großteil mit einer<br />

dünnen Schicht von Sedimentgesteinen überdeckt. Metamorphe Gesteine bilden sich durch<br />

chemische Prozesse oder Gefügeänderung aller drei Gesteinsarten.<br />

Bei der Verwitterung der Gesteine unterscheidet man die chemische <strong>und</strong> die physikalische<br />

Verwitterung. Bei der chemischen Verwitterung der Gesteine ändert sich die chemische Zusammensetzung<br />

derselben. Die wichtigste Umsetzung ist dabei die des Feldspates in Kaolinit<br />

durch Kohlensäure. Die chemische Gleichung lautet:<br />

Feldspat + H 2 CO 3 = Na + + HCO − 3 + SiO 2 + Kaolinit<br />

Die für diese Reaktion erforderliche Kohlensäure entsteht bei der Auswaschung von Kohlendioxid<br />

durch den (sauren) Regen bzw. bei der Zersetzung von Pflanzenresten durch Bakterien<br />

in wässeriger Umgebung. Bei der physikalischen Verwitterung werden die Gesteine durch<br />

1


2 Einführung<br />

- H = JA <br />

H EI J= EI = JE <br />

8 A H M EJJA H K C<br />

- H I E <br />

6 H = I F H J<br />

5 ? D A = K BI JEA C 0 A > K C 5 A @ E A J= JE <br />

) = JA N EI , E= C A A I A<br />

5 A K C<br />

A J= H F D I A<br />

. = JK C<br />

Abbildung 1: Schematische Darstellung des Kreislaufes der Gesteine. Waagerecht schraffiert<br />

sind die endogenen, senkrecht schraffiert die exogenen Prozesse.<br />

äußere Kräfte gespalten, wobei sie ihre chemische Zusammensetzung nicht ändern. Bei der<br />

chemischen Verwitterung der Gesteine ändert sich die chemische Zusammensetzung derselben.<br />

Beide Verwitterungsarten arbeiten Hand in Hand, so ist die chemische Verwitterung umso<br />

effektiver, desto kleiner die Steine sind, bei größeren Steinen wird nur die Oberfläche angegriffen.<br />

Sedimente werden durch Massenbewegungen (Hangrutschungen <strong>und</strong> -gleitungen), Oberflächengewässer<br />

(fluviatiler <strong>und</strong> mariner Transport), Winde (äolischer Transport) <strong>und</strong> Gletscher<br />

(glazialer Transport) transportiert. Am Endpunkt dieses Transports kommt es zu einer<br />

längerfristigen Sedimentation, wobei die obere Schicht des Lockermaterials mit biologischen<br />

Stoffen angereichert werden kann <strong>und</strong> sich Böden bilden können. Löß sei als Beispiel für ein<br />

durch äolischen Transport abgelagertes Sediment genannt, er ist wegen der geringen Transportfähigkeit<br />

des Windes extrem feinkörnig (0.01 - 0.05 mm). Bei fortwährender Anreicherung<br />

wird zunächst das Wasser aus dem Lockermaterial gepreßt, später entstehen Bindungen<br />

zwischen den einzelnen Sedimentpartikeln, wodurch sich Sedimentgesteine bilden.<br />

Das an der Küste befindliche Sedimentpartikel hat also einen weiten geologischen Weg hinter<br />

sich, der in Abbildung 1 zusammenfassend schematisiert ist. Irgendwann wird es dem Erdinneren<br />

durch Vulkanismus entwichen sein, in Abhängigkeit von den äußeren Bedingungen<br />

sich in anderes Gestein verwandelt haben, dann von dem umgebenden Material durch Verwitterung<br />

abgelöst, über die Flüsse an die Küste transportiert um in seinem weiteren Leben<br />

vielleicht zu Sedimentgestein komprimiert zu werden.


Kapitel 1<br />

Das Sedimentinventar<br />

Die ehernen Gesetze der Dynamik kann man als Berechnungsvorschriften deuten, die ausgehend<br />

von einem Anfangszustand eines Systems dessen Folgeverhalten bestimmen. So werden<br />

auch die noch zu entwickelnden morphodynamischen Gesetzmäßigkeiten erst dann anwendbar,<br />

wenn wir einen Anfandszustand, d.h. die Morphologie des Bodens in einem Untersuchungsgebiet<br />

vollständig erfaßt haben.<br />

Dies ist allerdings weniger einfach als man zunächst denkt, denn das, was wir gemeinhin als<br />

Sediment bezeichnen, ist eine Mischung aus Körnern unterschiedlicher Größe, Form <strong>und</strong> Beschaffenheit.<br />

So kann man die Sedimente nach ihrem Ursprung in zwei Klassen einteilen: Die<br />

Sedimente geologischen Ursprungs entstehen durch Klastifizierung (Zerbrechen) <strong>und</strong> Verwitterung<br />

der Gesteine, sie sind aus Mineralien aufgebaut, während die Sedimente biologischen<br />

Ursprungs (abgestorbene Muscheln <strong>und</strong> Schalentiere) im wesentlichen aus verschiedensten<br />

organischen Verbindungen bestehen.<br />

Eine andere naheliegende Klassifizierung der Sedimente kann über die Korngröße geschehen.<br />

Problematisch ist hier, daß der Begriff bei den sehr unterschiedlichen Formen der Körner<br />

schwer zu bestimmen ist. So ist der Durchmesser als Maß der Korngröße nur bei sphärischen<br />

Partikeln eindeutig. Nimmt man das Volumen als Maß der Größe, dann werden zigarrenförmige<br />

Partikel nach der Klassifizierung diesselben Eigenschaften wie diskussförmige bekommen.<br />

Sowohl die Korngröße als auch die -dichte sind kontinuierlich verteilte Größen. Um eine Klassifizierung<br />

aufzubauen, muß der Wertebereich diskretisiert werden, d.h. gewisse Spannen bzw.<br />

Intervalle von Werten werden zu einzelnen Klassen verschmolzen. Dies kann in äquidistanten<br />

oder nichtäquidistanten Intervallen <strong>und</strong> unterschiedlichsten Intervalllängen geschehen.<br />

Wir haben also die verschiedensten Möglichkeiten, das Sedimentmaterial zu klassifizieren.<br />

Um uns für eine zu entscheiden, wollen wir zunächst untersuchen, welche Eigenschaften des<br />

Sedimentpartikels seine Transportierbarkeit bestimmen. Dazu soll nun die Partikeldynamik in<br />

Fluiden analysiert werden, um dann die entscheidenden Größen in ihrer statistischen Verteilung<br />

zu erfassen.<br />

3


4 KAPITEL 1. DAS SEDIMENTINVENTAR<br />

1.1 Partikeldynamik in Fluiden<br />

Der Transport von Sedimenten setzt sich phänomenologisch aus der Bewegung von einzelnen<br />

Partikeln zusammen, daher soll in diesem Abschnitt deren Dynamik in Fluiden untersucht<br />

werden.<br />

1.1.1 Die Basset-Boussinesq-Oseen-Gleichung<br />

Die Bewegungsgleichung eines sphärischen Sedimentpartikels mit dem Durchmesser d <strong>und</strong><br />

der Dichte ϱ S unter dem Einfluß von Schwerkraft <strong>und</strong> Auftriebskraft ist gegeben durch<br />

1<br />

6 πd3 ϱ S<br />

d⃗u p<br />

dt = −1 6 πd3 (ϱ S − ϱ)⃗g<br />

wobei ϱ die Fluiddichte, ⃗u p die Partikelgeschwindigkeit <strong>und</strong> ⃗g =(0, 0,g) t die zu einem Vektor<br />

erweiterte Gravitationsbeschleunigung bezeichnet. Da die rechte Seite konstant ist, wird das<br />

Partikel laut dieser Gleichung im Fluid gleichmäßig beschleunigt. Unter Einbeziehung des<br />

Strömungswiderstandes des Partikels im Fluid ergibt sich für die Bewegungsgleichung<br />

1<br />

6 πd3 ϱ S<br />

d⃗u p<br />

dt = −1 6 πd3 (ϱ S − ϱ)⃗g − 1 8 C Dπd 2 ϱ( ⃗u p − ⃗u f ) 2<br />

wobei C D der Widerstandsbeiwert des Partikels ist.<br />

Boussinesq hat diese Gleichung für den Fall erweitert, daß zusätzlich zur Partikelbewegung eine<br />

Beschleunigung des Fluides d⃗u f<br />

stattfindet. So ergibt sich durch das hierdurch entstehende<br />

dt<br />

Druckgefälle ϱ d⃗u f<br />

= − ∂p eine zusätzliche Auftriebskraft F dt ∂z A = 1 6 πd3 ϱ d⃗u f<br />

, die eine Beschleunigung<br />

des Partikels in entgegengesetzter Richtung zur Fluidbeschleunigung hervorruft. Damit<br />

dt<br />

wird die Bewegungsgleichung des Partikels im beschleunigten Fluid zu<br />

1<br />

6 πd3 ϱ S<br />

d⃗u p<br />

dt = 1 6 πd3 ϱ d⃗u f<br />

dt − 1 6 πd3 (ϱ S − ϱ)⃗g − 1 8 C Dπd 2 ϱ( ⃗u p − ⃗u f ) 2<br />

Bei der Untersuchung der Bewegung von Luftschiffen in Strömungskanälen (Luftschiffe ohne<br />

Eigenantrieb kann man selbstverständlich als etwas groß geratene Partikel in dem Fluid Luft<br />

betrachten) in den zwanziger Jahren dieses Jahrh<strong>und</strong>erts stellte man fest, daß obige Bewegungsgleichung<br />

die Beschleunigung des Partikels als zu hoch wiedergibt. Eingehende Analysen<br />

des Problems (nicht ohne militärische Hintergedanken) zeigten, daß an dem Partikel<br />

zusätzliche Fluidmasse geb<strong>und</strong>en ist <strong>und</strong> sich -auch in reibungslosem Fluid- mit dem Partikel<br />

mitbewegt <strong>und</strong> somit die Partikelmasse virtuell erhöht. Da diese zusätzliche Masse als träge<br />

Masse nur auf die relative Beschleunigung ( d⃗up − d⃗u f<br />

) des Partikels bezogen auf das Fluid<br />

dt dt<br />

wirkt, sowie die mitbewegte Masse proportional dem Partikelvolumen <strong>und</strong> der Fluiddichte ist,<br />

wird die Bewegungsgleichung in folgender Form korrigiert [45]:<br />

1 d⃗u p<br />

6 πd3 ϱ S<br />

dt = 1 ( ( d⃗uf<br />

6 πd3 ϱ<br />

dt − k d⃗up<br />

m<br />

dt − d⃗u ))<br />

f<br />

− 1 dt 6 πd3 (ϱ S − ϱ)⃗g − 1 8 C Dπd 2 ϱ( ⃗u p − ⃗u f ) 2


1.1. PARTIKELDYNAMIK IN FLUIDEN 5<br />

wobei k m der virtuelle Massenkoeffizient genannt wird. Für ein sphärisches Partikel kann unter<br />

gewissen Annahmen gezeigt werden, daß k m = 1 2 .<br />

In der obigen Bewegungsgleichung des Partikels ist noch nicht der Einfluß der Beschleunigung<br />

auf den turbulent-viskosen Strömungswiderstand auf das Partikel berücksichtigt worden.<br />

Boussinesq [11], [10] leitete hierfür folgende Form her<br />

F B = 3 2 ϱ√ πνd 2 ∫ t<br />

t 0<br />

d⃗u p<br />

dt (t′ ) − d⃗u f<br />

dt (t′ )<br />

√ dt ′<br />

t′ − t 0<br />

der auch Basset-Widerstand genannt wird. Insgesamt ergibt sich somit folgende Bewegungsgleichung<br />

für das Partikel im Fluid<br />

1 d⃗u p<br />

6 πd3 ϱ S<br />

dt<br />

= 1 ( ( d⃗uf<br />

6 πd3 ϱ<br />

dt − k d⃗up<br />

m<br />

dt − d⃗u ))<br />

f<br />

− 1 dt 6 πd3 (ϱ S − ϱ)⃗g<br />

−<br />

1 8 C Dπd 2 ϱ( ⃗u p − ⃗u f ) 2 − 3 ∫ t<br />

d⃗u p<br />

2 ϱ√ πνd 2 dt (t′ ) − d⃗u f<br />

dt (t′ )<br />

√ dt ′<br />

t′ − t 0<br />

die auch Basset-Boussinesq-Oseen-Gleichung [25] oder kurz BBO-Gleichung genannt wird.<br />

t 0<br />

1.1.2 Die Stokessche Sinkgeschwindigkeit<br />

Im stationären Fall, d.h. d⃗up<br />

dt<br />

= d⃗u f<br />

dt<br />

=0reduziert sich die vertikale BBO-Gleichung auf<br />

− 1 6 πd3 (ϱ S − ϱ)g = 1 8 C Dπd 2 ϱ(w p − w f ) 2<br />

<strong>und</strong> somit unter Einführung der Sinkgeschwindigkeit w s<br />

√<br />

4 d ϱ S − ϱ<br />

w S := −(w p − w f )=<br />

g (1.1)<br />

3 C D ϱ<br />

Die Sinkgeschwindigkeit ist also positiv, wenn ein Partikel sinkt, obwohl es sich dann in negativer<br />

Vertikalrichtung bewegt. Es verbleibt das Problem, den Widerstandsbeiwert C D zu bestimmen<br />

was mit Hilfe der letzten Beziehung experimentell sicherlich nicht sonderlich schwierig<br />

ist. Dieser hängt nach Stokes davon ab, ob das fallende Partikel sich laminar durch das es<br />

umgebende Fluid bewegt, oder ob sich hierdurch Turbulenzen ausbilden. Dabei treten Turbulenzen<br />

umso eher auf, desto größer die Sinkgeschwindigkeit <strong>und</strong> der Durchmesser des Partikels<br />

<strong>und</strong> desto kleiner die Zähigkeit des umgebenden Fluides ist. Diese physikalischen Größen<br />

werden in der Kornreynoldszahl<br />

Re p = w Sd<br />

(1.2)<br />

ν<br />

gebündelt. Stokes hat den Strömungswiderstand gegen eine Kugel für den Fall bestimmt, daß<br />

die advektiven Terme gegenüber den viskosen Termen in der Navier-Stokes-Gleichung vernachlässigt<br />

werden können, er erhielt für den Widerstandsbeiwert


6 KAPITEL 1. DAS SEDIMENTINVENTAR<br />

C D = 24<br />

Re p<br />

= 24ν<br />

w S d<br />

für Re p < 0.5<br />

<strong>und</strong> somit die nach ihm benannte Widerstandsformel:<br />

F R = −3πνϱ ( ⃗u p − ⃗u f ) d (1.3)<br />

Ihre Besonderheit ist der nur lineare Anstieg des Strömungswiderstandes mit der Partikelgeschwindigkeit,<br />

der gr<strong>und</strong>sätzlich nur für kleine Geschwindigkeiten richtig ist. Daß dies bei<br />

größeren Geschwindigkeiten nicht gilt, merken wir beim Autofahren, der Benzinverbrauch<br />

steigt nicht linear sondern überproportional mit der gefahrenen Geschwindigkeit.<br />

Ersetzt man die durch den C D -Wert ausgedrückte Reibungskraft durch die Stokessche Reibungsformel,<br />

so erhält man die Stokessche Sinkgeschwindigkeit w S einer laminar umströmten<br />

Kugel:<br />

w S =<br />

g<br />

18ν<br />

ϱ S − ϱ<br />

d 2 . (1.4)<br />

ϱ<br />

Die Dynamik eines sphärischen Partikels in einem Fluid wird also im wesentlichen durch<br />

seinen Durchmesser <strong>und</strong> seine Dichte bestimmt. Ideal wäre es daher, gegebene Sedimente<br />

nach diesen beiden Parametern zu klassifizieren, d.h. zweiparametrische Verteilungen zu verwenden.<br />

Muß man sich für einen der beiden Parameter entscheiden, wird es vom Standpunkt<br />

der Sinkgeschwindigkeit aus schwierig. Ein erster Blick auf die Stokessche Formel sagt, daß<br />

eine Klassifizierung nach dem Durchmesser wichtiger ist, da dieser quadratisch in die Sinkgeschwindigkeit<br />

eingeht. Partikel des doppelten Durchmessers haben also die vierfache Sinkgeschwindigkeit.<br />

Vergleichen wir allerdings die Sinkgeschwindigkeit von zwei Partikeln mit<br />

den Dichten 1300 kg/m 3 <strong>und</strong> 2600 kg/m 3 , dann haben letztere gegenüber ersteren eine mehr<br />

als fünffache Sinkgeschwindigkeit. Dies liegt daran, daß die Dichte in dieser <strong>und</strong> vielen anderen<br />

Gesetzmäßigkeiten des <strong>Sedimenttransport</strong>s als reduzierte Dichte ϱ S−ϱ<br />

erscheint. Dieser<br />

ϱ<br />

Faktor reagiert besonders empfindlich, wenn die Sedimentdichte in der Nähe der Fluiddichte<br />

liegt. Vom dynamischen Standpunkt aus gesehen, sollten die Sedimente also zweiparametrisch<br />

klassifiziert werden.<br />

Leider ist die Stokessche Formel nur sehr eingeschränkt einsetzbar. Substituiert man die Sinkgeschwindigkeitsformel<br />

in das Partikelreynoldszahlkriterium für die laminare Bewegung, dann<br />

bekommt man ein Kriterium, welches die Gültigkeit der Stokesformel auf den Korndurchmesser<br />

( ) 9ν<br />

2<br />

1/3<br />

ϱ<br />

d<<br />

g ϱ S − ϱ<br />

einschränkt. Bei einer Korndichte von ϱ S = 2650 kg/m 3 entspricht diese einem Durchmesser<br />

von 0.08 mm, womit wir uns für alle Sandkörner eine andere Sinkgeschwindigkeitsformel<br />

suchen müssen.


1.1. PARTIKELDYNAMIK IN FLUIDEN 7<br />

1.1.3 Die Sinkgeschwindigkeit nach dem Oseenschen Widerstandsgesetz<br />

Eine Verbesserung der Stokesschen Widerstandsgesetz für die Kugel hat Ossen gef<strong>und</strong>en:<br />

c D = 24 (<br />

1+ 3 )<br />

Re p 16 Re p für 1


8 KAPITEL 1. DAS SEDIMENTINVENTAR<br />

100<br />

Sinkgeschwindigkeit [m/s]<br />

10<br />

1<br />

0,1<br />

0,01<br />

0,001<br />

Stokes<br />

Dietrich<br />

Oseen<br />

0,0001<br />

0,00001<br />

0,00001 0,0001 0,001 0,01<br />

Korndurchmesser [m]<br />

Abbildung 1.1: Die Sinkgeschwindigkeit nach Stokes, Oseen <strong>und</strong> Dietrich (Corey Shape Faktor<br />

1.0, Powers R<strong>und</strong>heitsbeiwert 6).<br />

( ) 1/3<br />

(ϱS − ϱ) g<br />

D ∗ =<br />

d (1.5)<br />

ϱ ν 2<br />

verwendet, die linear zum Korndurchmesser ist. Damit hat der Parameter R 1 die Darstellung:<br />

R 1 = −3.76715+5.78832 log D ∗ −0.88335(log D ∗ ) 2 −0.15525(log D ∗ ) 3 +0.04536(log D ∗ ) 4<br />

Der Parameter R 2 berücksichtigt die Tatsache, daß kaum ein Partikel durch einen Durchmesser<br />

bestimmt ist. Letzteres gilt nur für isometrische Körper. Definitiv hat aber jedes Partikel eine<br />

Achse, auf der der Durchmesser maximal wird. Senkrecht hierzu läßt sich eine Achse so finden,<br />

daß dort der Durchmesser minimal wird. Und wieder senkrecht zu diesen beiden Achsen<br />

kann man einen mittleren Durchmesser annehmen. Der Corey-Formfaktor<br />

CSF = √ c<br />

ab<br />

vergleicht die Länge der längsten <strong>und</strong> der kürzesten Achsen a <strong>und</strong> b mit der mittellangen Achse<br />

c. Bei einem diskussförmigen flachen Partikel ist die mittlere Achse etwa so groß wie die<br />

lange Achse, somit ist der Formfaktor wesentlich kleiner als eins. Bei einem zigarrenförmigen<br />

Partikel ist die mittlere mit der kürzesten Achse vergleichbar <strong>und</strong> der Formfaktor ist größer als<br />

eins.<br />

Bei ihrem Transport werden die anfänglich sehr kantigen Sedimentpartikel durch fortwährende<br />

Stöße ger<strong>und</strong>et, diesen Prozeß bezeichnet man manchmal als Abrasion. Die meisten Sedimente<br />

haben einen Formfaktor von etwa 0.7, sind also eher diskussförmig.


1.2. BESTIMMUNG UND KLASSIFIZIERUNG DES KORNDURCHMESSERS 9<br />

Die Abhängigkeit der Sinkgeschwindigkeit von Formfaktor ist:<br />

R 2 =1− 1 − CSF<br />

0.85<br />

Es wurde schon erwähnt, daß der Corey-Formfaktor für die Kugel <strong>und</strong> für reguläre Polyeder<br />

eins ist. Von letzteren gibt es genau fünf, der Tetraeder, der Würfel, der Oktaeder, der Ikosaeder<br />

<strong>und</strong> der Dodekaeder. Diese unterscheiden sich äußerlich in so etwas wie ihrer Kantigkeit, die<br />

sicherlich auch einen Einfluß auf die Sinkgeschwindigkeit hat. Der Parameter R 3 soll nun die<br />

Kantigkeit eines Körpers berücksichtigen, d.h. z.B. im Fall von CSF =1die Abweichungen<br />

von der Kugelgestalt.<br />

[ ( )] CSF<br />

1+(3.5−P )/2.5<br />

R 3 = 0.65 −<br />

2.83 tanh(3 log D ∗ − 4.6)<br />

Dabei ist P Powers R<strong>und</strong>heitsbeiwert, er ist für die Sphäre 6, sehr kantiges Material hat Werte<br />

zwischen 2 <strong>und</strong> 3. Bei ihrem Transport werden die anfänglich sehr kantigen Sedimentpartikel<br />

durch fortwährende Stöße ger<strong>und</strong>et, dieser als Abrasion bezeichnete Prozeß erhöht also den<br />

R<strong>und</strong>heitsbeiwert.<br />

Will man Sedimente nach der Dietrichschen Sinkgeschwindigkeit klassifizieren, benötigt man<br />

eine vierparametrige Verteilung, neben der Dichte <strong>und</strong> dem Durchmesser sind Formfaktor <strong>und</strong><br />

Glattheitsbeiwert zu bestimmen <strong>und</strong> zu klassifizieren.<br />

1.2 Bestimmung <strong>und</strong> Klassifizierung des Korndurchmessers<br />

Ist die Definition des Durchmessers einer Kugel noch eindeutig, gilt dies für alle anderen<br />

beliebig geformten Polyeder nicht mehr. So haben sich hier pragmatische Definitionen durchgesetzt,<br />

die in irgendeiner Form mit einem empirischen Analyseverfahren kongruieren:<br />

• Der Siebdurchmesser ist die Maschenweite eines quadratischen Siebes, durch den die<br />

Körner gerade noch gelangen können. In der Siebanalyse bedient man sich hier einer<br />

Reihen von immer feiner werdenden Sieben.<br />

• Der nominale Durchmesser ist der eines sphärischen Partikels, welches dasselbe Volumen<br />

besitzt.<br />

• Der äquivalente Sinkgeschwindigkeitsdurchmesser ist der Durchmesser eines sphärischen<br />

Partikels, welches dieselbe Sinkgeschwindigkeit bei einer angenommenen Dichte<br />

von ϱ S = 2650 kg/m 3 hat. Dieser Durchmesser wird in Sedimentationssäulen durch die<br />

Messung der Sinkgeschwindigkeit bestimmt <strong>und</strong> dann nach der Stokesschen Formel umgerechnet.<br />

Zur Klassifizierung der Korngröën bedient man sich dabei entweder der durch die DIN 4022<br />

(siehe Tabelle 1.1) oder der Udden-Wentworth-Skala [70] der American Geophysical Union,<br />

die in Tabelle 1.2 dargestellt ist. Hier ist das gr<strong>und</strong>legende Klassifizierungskriterium der duale<br />

Logarithmus des Durchmessers in Millimeter. Einfacher ausgedrückt heißt dies, daß jede Verdopplung<br />

des Durchmessers eine neue Klasse bildet. Diese Klassifizierung ist feiner gestuft<br />

als die deutsche Norm.


10 KAPITEL 1. DAS SEDIMENTINVENTAR<br />

Abbildung 1.2: Sedimentlabor des Instituts für Wasserwesen der Universität der B<strong>und</strong>eswehr<br />

München.<br />

Benennung Kurzzeichen Korngrößenbereich [mm]<br />

Blöcke Y über 200<br />

Steine X über 63 bis 200<br />

Kieskorn G über 2 bis 63<br />

Grobkies gG über 20 bis 63<br />

Mittelkies mG über 6.3 bis 20<br />

Feinkies fG über 2 bis 6.3<br />

Sandkorn S über 0.06 bis 2<br />

Grobsand gS über 0.6 bis 2.0<br />

Mittelsand mS über 0.2 bis 0.6<br />

Feinsand fS über 0.06 bis 0.2<br />

Schluffkorn U über 0.002 bis 0.06<br />

Grobschluff gU über 0.02 bis 0.06<br />

Mittelschluff mU über 0.006 bis 0.02<br />

Feinschluff fU über 0.002 bis 0.006<br />

Tonkorn (Feinstes) T unter 0,002<br />

Tabelle 1.1: Korngrößenbenennung nach DIN 4022.


1.2. BESTIMMUNG UND KLASSIFIZIERUNG DES KORNDURCHMESSERS 11<br />

−log 2 [mm] d[mm] w s [mm/s] D ∗ [1]<br />

Kolloide < 12 < 0.0002 < 5.2 · 10 −5 < 0.006<br />

Sehr feiner Ton > 12 2...5 · 10 −4 1.3 · 10 −4 0.006...0.013<br />

Feiner Ton > 11 5...10 · 10 −4 5.1 · 10 −4 0.013...0.025<br />

Mittlerer Ton > 10 1...2 · 10 −3 2.0 · 10 −3 0.025...0.05<br />

Grober Ton > 9 2...4 · 10 −3 8.1 · 10 −3 0.05...0.1<br />

Sehr feiner Schluff > 8 4...8 · 10 −3 3.2 · 10 −2 0.1...0.2<br />

Feiner Schluff > 7 8...16 · 10 −3 0.129 0.2...0.4<br />

Mittlerer Schluff > 6 0.016...0.031 5.18 0.4...0.78<br />

Grober Schluff > 5 0.031...0.062 1.9 0.78...1.57<br />

Sehr feiner Sand > 4 0.062...0.125 7.8 1.57...3.16<br />

Feiner Sand > 3 0.125...0.25 30.0 3.16...6.32<br />

Mittlerer Sand > 2 0.25...0.5 130. 6.32...12.65<br />

Grober Sand > 1 0.5...1 510. 12.6...25.3<br />

Sehr grober Sand > 0 1...2 2002 25.3...50.6<br />

Kies > −6 2...64 50.6...1619<br />

Tabelle 1.2: Udden-Wentworth-Skala. Die Sinkgeschwindigkeiten wurden nach der Stokesformel<br />

mit einer Sedimentdichte von 2650 kg/m 3 berechnet.


12 KAPITEL 1. DAS SEDIMENTINVENTAR<br />

F<br />

F E = N<br />

@ E <br />

@ E E @ E = N<br />

F E E<br />

, F E F E = N F E E<br />

@ 5 , F E @ E<br />

<br />

, K H? D A I I A H<br />

@ E E<br />

@ E<br />

@ E = N<br />

Abbildung 1.3: Diskretisierung einer Kornverteilung in Fraktionen<br />

1.3 Die Korndichte<br />

Die zweite wichtige physikalische Eigenschaft der Sedimentpartikel ist ihre Dichte. Wenn<br />

sie nicht anders angegeben wird, nimmt man immer die des Quarzes (ϱ S = 2650 kg/m 3 ) an.<br />

Manche Mineralien können aber Dichten weit über diesem Wert haben, so z.B. Magnetit (ϱ S<br />

= 5180 kg/m 3 ). Aus sehr feinen Partikeln <strong>und</strong> organischen Komponenten zusammengesetzte<br />

Flocken haben wegen ihrer großen Porosität Dichten knapp über der des Wassers.<br />

Neben der mineralischen Fraktion findet man in Küstengewässern auch noch die als Schill bezeichneten<br />

Schalen abgestorbener Muscheln. Sie bestehen aus kalkhaltigem Material (Gr<strong>und</strong>baustein<br />

CaCO 3 ) <strong>und</strong> haben eine Dichte von ϱ S = 1325 kg/m 3 .<br />

1.4 Die Fraktionierung des Sedimentes<br />

In einer Sedimentverteilung wird das Material einer Sedimentprobe auf eine Anzahl wohldefinierter<br />

Klassen verteilt, die jeweils durch bestimmte repräsentative Eigenschaften ausgezeichnet<br />

sind.<br />

Bei der Probennahme <strong>und</strong> -analyse sollte die Fraktionierung möglichst fein sein, also aus<br />

vielen Klassen bestehen. Da die Standardanalyse sich zumeist nur auf den Korndurchmesser<br />

bezieht, wird die Fraktionierung hier nach der Udden-Wentworth-Skala erfolgen. In der<br />

morphodynamisch-numerischen Simulation mit Computermodellen wird man allerdings aus<br />

Effizienzgründen nicht mit so vielen Klassen rechnen können. Eine solche Beispielfraktionierung<br />

ist in Tabelle 1.3 dargestellt.<br />

Die Namen der Fraktionen sind dabei in Anführungszeichen gesetzt, weil diese nicht mehr<br />

mit denen der Udden-Wenthworth-Skala übereinstimmen, sondern mehrere Unterfraktionen


1.4. DIE FRAKTIONIERUNG DES SEDIMENTES 13<br />

’Kies’ ’Sand’ ’Feinsand’ ’Schill’<br />

ϱ S = 2650 kg/m 3 ϱ S = 2650 kg/m 3 ϱ S = 2650 kg/m 3 ϱ S = 1325 kg/m 3<br />

d=5mm d = 0.5 mm d = 0.1 mm d=5mm<br />

Tabelle 1.3: Beispielhafte Zerlegung des Sedimentes in drei minerogene <strong>und</strong> eine Schillfraktion.<br />

inkludieren.<br />

Nach der Verteilung des Sedimentes auf die einzelnen Klassen muß man die darin enthaltenen<br />

Sedimentmengen messen. Dies kann entweder durch die Angabe ihrer Gewichte oder aber<br />

durch das von ihnen ausgefüllte Volumen geschehen. Da die einzelnen Sedimentmengen durch<br />

Wägen bestimmt werden, beziehen sich die prozentualen Angaben der Klassenverteilung auf<br />

Gewichte. Wir wollen uns hier aber auf Volumenangaben einigen, da mit ihnen morphodynamische<br />

Berechnungen vereinfacht werden.<br />

Hat eine gegebene Probe das Gesamtvolumens V ges <strong>und</strong> entfallen auf die einzelnen Klassen<br />

die Partialvolumina V i , dann bezeichnen<br />

p i =<br />

V i<br />

V ges<br />

die (Volumen-) Anteile der Klassen i an der Gesamtprobe. Fällt bei der Zuordnung zu den<br />

einzelnen Klassen nichts unter den Tisch, wird also auch das eventuell noch vorhandene Porenwasser<br />

einer Sonderklasse zugeordnet, dann ist die Kontrollbedingung<br />

∑<br />

p i =1<br />

i<br />

erfüllt.<br />

Auf der Daten- <strong>und</strong> Modellierungsebene wird die Sedimentklassifizierung in einer Sedimentklassifizierungsdatei<br />

abgespeichert. Bei der Abspeicherung der raumhaften, die Sedimentologie<br />

eines Gebietes beschreibenden Daten brauchen dann nur noch Mengenangaben zu den<br />

einzelnen Fraktionen spezifiziert werden.<br />

1.4.1 Die Summenkurve der Sedimentverteilung<br />

Macht man nicht eigene Meßkampagnen zur Bestimmung der Sedimentverhältnisse, dann wird<br />

man in der Praxis mit sogenannten Summenkurven konfrontiert, die in der Regel die Korngrößenverteilung<br />

an einem Ort zu einer Zeit darstellen.<br />

In einer Summenkurve wird der Anteil des Sedimentes, der kleiner als ein gegebener Korndurchmesser<br />

ist, über diesen aufgetragen. Eine Summenkurve beginnt daher meist bei einem<br />

Wert nahe Null (kein Korn ist kleiner als dieser Korndurchmesser) <strong>und</strong> hört bei dem Wert 1


14 KAPITEL 1. DAS SEDIMENTINVENTAR<br />

<br />

6 5 ? D K BB 5 = @ EA I<br />

BA E EJJA C H > BA E EJJA C H ><br />

BA E EJJA C H ><br />

' <br />

5 EA > @ K H ? D C = C <br />

& <br />

% <br />

$ <br />

# <br />

" <br />

! <br />

5 = @ 5 ) <br />

5 ? D E? ) ) <br />

! / A I ? D EA > A A HC A ) <br />

" 5 = @ 5 ) <br />

# A E) ) <br />

<br />

<br />

<br />

@<br />

5 ) 5 EA > = = O I A 6 H ? A <br />

= I EA > K C <br />

) ) ) H A JA H= = O I A <br />

$ $ $ $ $ <br />

Abbildung 1.4: Summenkurven des Siebdurchgangs für verschiedene Bodenarten.<br />

bzw. 100 % (jedes Korn ist kleiner als dieser Durchmesser) auf. Beispiele solcher Summenkurve<br />

sind in Abbildung 1.4 dargestellt.<br />

Hat man sich für eine Fraktionierung der Korngrößenverteilung entschieden, dann kann man<br />

aus einer gegebenen Summenkurve P (d) schnell die Anteile an den einzelnen Fraktionen bestimmen.<br />

Bestehe die Fraktion i aus allen Körnern deren Durchmesser zwischen d i−1 <strong>und</strong> d i<br />

liegt, dann ist ihr Anteil<br />

p i = P (d i) − P (d i−1 )<br />

,<br />

100<br />

falls die Summenkurve in Prozent angegeben ist. Diese Formel wird zudem dazu benutzt, die<br />

Summenkurve sukzessive aus den Werten einer Siebanalyse zu bestimmen.<br />

In der Wahrscheinlichkeitstheorie spielt neben der Summenkurve oder kumulativen Verteilung<br />

noch der Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eine wichtige Rolle. Sie ist die<br />

Funktion f, deren bestimmtes Integral die Summenfunktion ergibt:<br />

P (d) =<br />

∫ d<br />

0<br />

f(x)dx<br />

Die Wahrscheinlichkeitsdichte stellt also so etwas wie die Steigung der Summenkurve dar.


1.4. DIE FRAKTIONIERUNG DES SEDIMENTES 15<br />

6 5 ? D K BB<br />

5 = @ EA I<br />

. A E EJJA / H > . A E EJJA / H > . A E EJJA / H > <br />

5 JA E A<br />

<br />

' <br />

/ A M E? D JI = JA E <br />

& <br />

% <br />

$ <br />

# <br />

" <br />

! <br />

<br />

<br />

<br />

$ $ $ $ $ <br />

@ # <br />

Abbildung 1.5: Ermittlung des Mediandurchmessers d 50 aus einer Körnungslinie<br />

1.4.2 Statistische Kenngrößen der Korngrößenverteilung<br />

Sobald eine Korneigenschaft wie der Durchmesser d als Klassifizierungsmerkmal definiert<br />

wurde, kann man gewisse statistische Standardparameter zur Klassifizierung der Verteilung<br />

berechnen. Bezieht man sich auf den Korndurchmesser, dann sind die wichtigsten:<br />

• Der Mediandurchmesser d 50 ist der Durchmesser, für den 50 % des Materials einen kleineren<br />

Durchmesser haben. Er ist sehr einfach aus der Summenkurve abzulesen <strong>und</strong> wird<br />

oft als charakteristischer, d.h. die gesamte Verteilung vertretender Korndurchmesser verwendet.<br />

Anhand Abbildung 1.4 erkennt man aber, daß z.B. die Mediane von Schlick <strong>und</strong><br />

Geschiebemergel sehr nahe beieinander liegen, obwohl ihre Zusammensetzung sehr unterschiedlich<br />

ist.<br />

• Der Mittelwert<br />

d m =<br />

∑<br />

p(i)d(i)<br />

i<br />

∑<br />

p(i)<br />

i<br />

tastet im Gegensatz zum Mediandurchmesser die ganze Kornverteilung zur Bestimmung<br />

eines charakteristischen Korndurchmessers ab. Er sollte daher dem Medianwert als repräsentativer<br />

Durchmesser vorgezogen werden.<br />

• Eine Verallgemeinerung des Medians ist der Durchmesser d x ,für den x % des Materials<br />

einen kleineren Durchmesser haben.


16 KAPITEL 1. DAS SEDIMENTINVENTAR<br />

• Die Standardabweichung<br />

∑<br />

p(i)(d(i) − d m ) 2<br />

i<br />

σ d = ∑<br />

p(i)<br />

i<br />

ist ein Maß für die Breite der Verteilung <strong>und</strong> ist laut Abbildung 1.4 für einen Sandboden<br />

wesentlich kleiner als für den Geschiebemergel.<br />

• Die Schiefe (engl. skewness):<br />

• Die Kurtosis:<br />

α d = d m − d 50<br />

σ d<br />

β d = 0.5(d 95 − d 5 ) − σ d<br />

σ d<br />

Es sollte nicht unerwähnt bleiben, daß man diese statistischen Standardwerte auch für andere<br />

Merkmalsverteilungen berechnen kann.<br />

1.4.3 Die Lognormale Verteilung<br />

In vielen Böden sind die Korngrößen normalverteilt, wenn man über den Logarithmus des<br />

Korndurchmessers aufträgt. Für die Wahrscheinlichkeitsdichte gilt dann<br />

p(d) =<br />

⎛<br />

1<br />

√ exp ⎝− 1 ( ) ⎞ 2<br />

ln d/d50<br />

⎠<br />

2πd ln σg 2 ln σ g<br />

wobei σ g die geometrische Standardabweichung<br />

√<br />

σ g = d 84 /d 16<br />

ist. Eine weitere Darstellung existiert für die Werte d 10 <strong>und</strong> d 90 .<br />

Die Summenkurve erhält man durch Integration über die Wahrscheinlichkeitsdichte, die allerdings<br />

nicht analytisch geschlossen durchführbar ist:<br />

f(d) =<br />

Darin ersetzt die sogenannte Fehlerfunktion<br />

∫d<br />

0<br />

⎛ ⎛<br />

p(d ′ )dd ′ = 1 1<br />

⎝1+Erf ⎝√ 2<br />

2<br />

ln d/d 50<br />

ln σ g<br />

Erf(y) = √ 2 ∫y<br />

π<br />

die nicht geschlossen ausführbare Integration.<br />

0<br />

exp ( −x 2) dx<br />

⎞⎞<br />

⎠⎠


1.5. MORPHOLOGISCHE DATENSÄTZE 17<br />

Bodenart Ton Schluff Sand<br />

Sandboden < 15 % > 40 %<br />

Lehmboden < 30 % < 55 % > 30 %<br />

Schluffboden < 30 % > 55 %<br />

Tonboden > 30 %<br />

Tabelle 1.4: Die Anteile der einzelnen Korngrößen in verschiedenen Bodenarten.<br />

1.4.4 Bodenarten<br />

Bei der Betrachtung der Summenkurven von vielen verschiedenen Bodenproben wird man die<br />

Beobachtung machen, daß es gewisse Häufungen ähnlicher Kurven gibt, wohingegen andere<br />

Formen von Summenkurven nie auftreten. Diesem Sachverhalt Rechnung tragend kann man<br />

die Summenkurven klassifizieren <strong>und</strong> sie gewissen Bodenarten zuordnen. Die dabei verwendeten<br />

Begrifflichkeiten wurden unabhängig von den grauen statistischen Kenngrößen der Korngrößenverteilung<br />

im Rahmen der Kultivierung der Böden im Laufe der Menschheitsgeschichte<br />

entwickelt <strong>und</strong> sollten nicht mit der Nomenklatur der Korngrößenverteilung verwechselt werden.<br />

Die Ähnlichkeiten in den an unterschiedlichen Orten gewonnenen Korngrößenverteilungen<br />

<strong>und</strong> die damit verb<strong>und</strong>ene Klassifizierungsmöglichkeit sind auf Gesetzmäßigkeiten bei der Bodenentstehung<br />

zurückzuführen. Dabei kann man durch <strong>Sedimenttransport</strong>prozesse <strong>und</strong> durch<br />

Verwitterung entstandene Böden unterscheiden, wobei wir uns mit letzteren in dieser Schrift<br />

nicht weiter befassen werden.<br />

Zunächst kann man in Analogie zu den Begriffen der Korngrößenverteilung Bodenarten unterscheiden,<br />

in denen vornehmlich Körner einer Größenklasse zu finden sind. Sie entstehen<br />

durch selektive Akkumulationsprozesse, bei denen gewisse Korngrößen in eine Gewässerzone<br />

transportiert werden, die Strömung aber nicht in der Lage ist, alle eingetragenen Sedimente<br />

von dort wieder zu entfernen. In Sand-, Schluff- oder Tonböden sind also zum überwiegenden<br />

Teil Sande, Schluffe oder Tone, aber auch jeweils Anteile der anderen Kornklassen vorhanden<br />

(siehe Tabelle 1.4). Lehmböden enthalten zu etwa gleichen Anteilen Sand <strong>und</strong> Schluff, in ihnen<br />

sind aber auch Tone zu finden. Geschiebemergel sind sehr inhomogene, aus Ton, Schluff,<br />

Sand <strong>und</strong> Kies zusammengesetzte Ablagerungen, die vom Inlandeis oder von Gletschern als<br />

Gr<strong>und</strong>moräne abgelagert werden (glazialer Transport).<br />

1.5 Morphologische Datensätze<br />

Hat man sich für eine Sedimentklassifizierung entschieden, dann kann mit der morphologischen<br />

Beschreibung des Projektgebietes begonnen werden. Dazu wird es zunächst mit einem<br />

horizontalen Gitter überdeckt. Dieses kann sich aus regelmäßigen Quadraten oder Rechtecken,<br />

oder aber aus beliebigen unregelmäßigen Polygonen (Dreiecke, Vierecke etc.) zusammensetzen.<br />

Die numerische Mathematik als auch die Informationstechnologien stellen gewisse Anforderungen<br />

an solche Gitter, die uns hier jedoch nicht kümmern sollen. Wichtig ist an dieser


18 KAPITEL 1. DAS SEDIMENTINVENTAR<br />

, #<br />

#<br />

"<br />

!<br />

*<br />

, "<br />

, !<br />

, <br />

<br />

<br />

4<br />

, <br />

<br />

Abbildung 1.6: Struktur eines dreidimensionalen morphologischen Datensatzes. Die Draufsicht<br />

zeigt das horizontale Gitter. In Blau die Bereiche der Wassersäule, in Grau die des unerodierbaren<br />

Gr<strong>und</strong>es, die jeweils nicht mit sedimentologischen Daten belegt werden müssen.<br />

Stelle nur, daß jedem Punkt (x, y) der horizontalen Ebene ein Polygon zugeordnet ist, in dem<br />

die dort befindliche Sedimentzusammensetzung gespeichert ist.<br />

Eine vollständige Beschreibung der Morphologie eines Gebietes muß natürlich auch die vertikale<br />

Struktur des Bodens erfassen, also dreidimensional sein. Wie dies gemacht werden kann,<br />

ist in Abbildung 1.6 zu sehen. Dort wird das horizontale Gitter in der Vertikalen auf mehrere<br />

Schichten erweitert, so daß insgesamt ein Gitter aus Volumenzellen entsteht. Jedes Polygon<br />

des horizontalen Gitters steht nun für eine ganze Säule von Zellen in der Vertikalen. Jedem<br />

dieser einzelnen Zellen werden dann die Anteile der Sedimentfraktionen <strong>und</strong> gegenbenenfalls<br />

des Porenwasseranteils zugeordnet.<br />

Die Auflösung der vertikalen Struktur des Bodens macht neben den Sedimentzusammensetzungen<br />

weitere Angaben erforderlich. So ist die vertikale Position der Sohle z B für jedes Polygon<br />

zu spezifizieren, denn dort ist nicht jede Volumenzelle vollständig mit Sedimenten gefüllt.<br />

Desweiteren kann man noch für jedes Polygon eine vertikale Position z R (R für engl. ’rigid’)<br />

angeben, unter der man keine beweglichen Sedimente mehr findet, z.B. weil diese zu groß sind,<br />

um von den aktuellen Strömungen bewegt zu werden. Die Aufnahme einer solchen unerodierbaren<br />

Schicht in die Datenstruktur ist sehr nützlich, da man mit ihr auch Wasserbauwerke wie<br />

z.B. Buhnen, Schüttungen oder durch Geotextilien gesicherte Bereiche im morphologischen<br />

Datensatz berücksichtigen kann.<br />

Das Sedimentinventar eines Untersuchungsgebietes ist dann vollständig erfaßt, wenn man für<br />

jede Zelle des dreidimensionalen Gitters die Korngrößenverteilung angeben kann. Hierzu gibt<br />

es prinzipiell zwei Möglichkeiten:<br />

1. Angabe der Volumen- oder Massenanteile entweder für eine vorgegebene Klassifizie-


1.6. SEDIMENTPROBENDATENBANKEN 19<br />

rung der einzelnen Sedimentfraktionen.<br />

Es entsteht dabei ein Datensatz der Größe N2D * NZ * NSED, wenn die Horizontale<br />

durch N2D Polygone, die Vertikale durch NZ Schichten <strong>und</strong> die Sedimentverteilung<br />

durch NSED Klassen aufgelöst wird. Diese Methode hat den Nachteil, daß ein Wechsel<br />

von einer einmal gewählten Klassifizierung zu einer anderen nur durch Interpolationen<br />

der Klassenanteile zwischen der alten <strong>und</strong> der neuen Klassifizierung von statten gehen<br />

kann.<br />

2. Angabe der Parameter der lognormalen Verteilung (d 50 , d 84 <strong>und</strong> d 16 ).<br />

Hierbei entsteht ein Datensatz der Größe N2D * NZ * 3, da nur drei Parameter zur Darstellung<br />

der Sedimentverteilung benötigt werden. Kennt man diese Verteilungsfunktion<br />

nun in jeder Zelle des Gitters, dann können zu jeder beliebigen <strong>und</strong> immer änderbaren<br />

Klassifizierung die Klassenanteile rechnerisch bestimmt werden. Diese Methode ist allerdings<br />

nur so gut, wie eine tatsächliche Korngrößenverteilung durch eine lognormale<br />

Funktion approximiert werden kann.<br />

Die noch größere Aufgabe besteht jedoch darin, diese Naturdaten auch zu bestimmen.<br />

1.6 Sedimentprobendatenbanken<br />

Sedimentprobendatensätze bestehen neben den Angaben zur Korngrößenverteilung mindestens<br />

aus der Orts- <strong>und</strong> Zeitangabe, wo <strong>und</strong> wann die Proben genommen wurden. Besser sollten<br />

Möglichkeiten offen gelassen werden, auch die vertikale Position der Probeentnahme <strong>und</strong> der<br />

Bodenoberkante anzugeben, wodurch sich auch Bohrkerne erfassen lassen. Ferner kann man<br />

dann auch Sohl- <strong>und</strong> damit verb<strong>und</strong>ene Kornverteilungsänderungen später besser beurteilen.<br />

Die Trockendichte zumindest des Gesamtmaterials sollte ebenfalls nicht fehlen.<br />

Solche Sedimentprobendatensätze kommen aus unterschiedlichen Quellen, d.h. Behörden, <strong>und</strong><br />

werden in verschiedenen Datenformaten gespeichert. Zur einheitlichen Nutzung der Daten<br />

wäre eine Homogenisierung der Datenformate schon auf der Erfasserebene wünschenswert.<br />

Solange dies nicht erfolgt, sollten nach der Bestandsaufnahme der Datenquellen eine Vereinheitlichung<br />

der projektrelevanten Daten in einer Datenbank erfolgen.<br />

Diese Sedimentprobendatenbank sollte an ein Geoinformationssystem angeschlossen werden,<br />

um so ein sedimentologisches Informationssystem (SIS) zu schaffen. Hierdurch können die<br />

Daten in einfacher Form vorgesichtet <strong>und</strong> ausgewählt werden.<br />

Zur Belegung eines morphologischen Datensatzes für eine numerische Simulation sind verschiedene<br />

Strategien denkbar. Wenn die Proben das Gebiet hinreichend dicht überdecken (wie<br />

es in Abbildung 1.7 der Fall ist), kann man zunächst eine sogenannte Voronoizerlegung des<br />

Gebietes erstellen. Dies ist ein Gitter aus Polygonen, die jeweils alle Punkte umfassen, die<br />

einem Probepunkt am nächsten sind. Somit übernimmt man überall im Voronoipolygon die<br />

Sedimenttextur des Probenpunktes. Die Zellen des morphologischen Datensatzes greifen dann<br />

ihre Daten aus den entsprechenden Voronoipolygonen. Der Nachteil dieser Methodik besteht<br />

in der Überbewertung der Einzelprobe. Ihre Fehler werden auf ein u.U sehr großes Gebiet


20 KAPITEL 1. DAS SEDIMENTINVENTAR<br />

Abbildung 1.7: Oberfläche eines sedimentologischen Informationssystems (ARCVIEW) zur<br />

Darstellung der in einer Datenbank vorhandenen Probenahmepunkte (aus [58]).


1.7. ZUSAMMENFASSUNG 21<br />

übertragen. Zudem können große Sprünge in den Fraktionsanteilen an den Kanten der Voronoipolygone<br />

entstehen.<br />

Die Erstellung dreidimensionaler morphologischer Datensätze ist sowohl von der Datenerfassung<br />

als auch von der Algorithmik weitaus schwieriger <strong>und</strong> Gegenstand der aktuellen Forschung<br />

<strong>und</strong> Entwicklung.<br />

1.7 Zusammenfassung<br />

Um in die Vielfalt der Sedimente eine Ordnung zu bringen, haben wir deren Transporteigenschaften<br />

am Beispiel der Sinkgeschwindigkeit analysiert. Dabei stellte sich heraus, daß diese<br />

im Wesentlichen durch die Dichte, Größe <strong>und</strong> Form der einzelnen Partikel bestimmt ist. Die<br />

Klassifizierung von Sedimenten sollte idealerweise also Attribute nutzen, die diese Eigenschaften<br />

vollständig beschreiben. In der Regel, d.h. wenn nicht anders bekannt, setzt man für<br />

die Sedimentdichte den Wert von Quarz ϱ S = 2650 kg/m 3 an.<br />

In der Praxis verwendet man zumeist jedoch nur die recht einfach zu bestimmende Korngröße<br />

als Charakterisierungsmerkmal. Zur Klassifizierung der Sedimente wird dabei die Udden-<br />

Wentworth-Skala, bzw. Ausschnitte oder Kondensate derselben verwendet.<br />

Nach der Klassifizierung der Sedimente kann das vorhandene Material orts- <strong>und</strong> eventuell auch<br />

zeitaufgelöst den einzelnen Klassen zugeordnet <strong>und</strong> so das Sedimentinventar eines Untersuchungsgebietes<br />

erfaßt werden.


22 KAPITEL 1. DAS SEDIMENTINVENTAR


Kapitel 2<br />

Der Beginn der Sedimentbewegung<br />

Um die an der Sohle anstehenden Sedimente in Bewegung zu setzen, bedarf es einer gewissen<br />

Mindestbelastung in Form einer Sohlschubspannung. Wird diese Schwelle überschritten,<br />

so werden eine Vielzahl von Prozessen <strong>und</strong> Phänomenen initiiert. Was dabei genau passiert,<br />

hängt u.a. von der Überschreitenshäufigkeit <strong>und</strong> in welchem Maße der Bewegungsbeginn überschritten<br />

wird. Wird diese Schwelle häufig bzw. dauerhaft überschritten, bilden sich Riffel <strong>und</strong><br />

Dünen an der Sohle aus. Wird der Bewegungsbeginn nur bei Extremereignissen wie Sturmfluten<br />

<strong>und</strong> Hochwasser überschritten, dann ändert sich die Morphologie des Gebietes sehr<br />

sprunghaft. Wird die Schwelle für den Bewegungsbeginn in einem Gewässergebiet nie überschritten,<br />

so können sich dort Schwebstoffe ablagern, die mittelfristig zu einer Verschlickung<br />

des Gebietes führen.<br />

Die Erkenntnisse zum <strong>Sedimenttransport</strong> entstammen drei Quellen. Dabei nehmen<br />

physikalisch-exakte Herleitungen nur wenig Raum ein. Der weitaus größte Teil besteht aus<br />

empirisch gewonnenen Beziehungen <strong>und</strong> mechanischen Modellen. Ein Beispiel für das Handin-Hand-Gehen<br />

dieser Erkenntnisquellen sind die Ergebnisse zum Beginn der Sedimentbewegung.<br />

2.1 Die Coulombsche Beziehung der inneren Reibung<br />

Der Scherwiderstand quantifiziert diejenige Kraft, die an der Schnittfläche zweier Schichten<br />

mobilisiert wird, wenn diese gegeneinander bewegt werden. Der Bewegungsbeginn eines Sedimentbodens<br />

kann dadurch charakterisiert werden, daß sich eine Schicht der Dicke h S gegenüber<br />

der darunter liegenden ruhenden Sedimentschicht bewegt. Diese bewegliche Schicht<br />

hat mindestens die Mächtigkeit eines Korndurchmessers d, wir wollen daher die Kraft bzw.<br />

die Sohlschubspannung bestimmen, die erforderlich ist, um die oberste Kornlage gegenüber<br />

der darunter liegenden zu bewegen.<br />

Diese Kraft ist von der Auflast abhängig, welche die beiden bewegten Teile aneinander drückt.<br />

Diese ist für ein kugelförmiges Sedimentpartikel der Dichte ϱ S als ϱ S πgd 3 /6 gegeben. Zieht<br />

man hiervon den Auftrieb des durch das Partikel verdrängten Wasservolumens ab, dann wird<br />

die Auflast zu (ϱ S − ϱ)πgd 3 /6. Diese verteilt sich auf die Fläche des kugelförmigen Partikels,<br />

die Auflast pro Fläche ist also 2/3(ϱ S − ϱ)gd.<br />

23


24 KAPITEL 2. DER BEGINN DER SEDIMENTBEWEGUNG<br />

F A + F L<br />

✬✩<br />

✻<br />

<br />

✬✩<br />

✡❏<br />

✬✩<br />

✫✪<br />

✡ ❏❏❫<br />

✡✢<br />

✫✪ ✫✪<br />

❄<br />

✬✩<br />

F S<br />

✲<br />

✬✩ ✬✩<br />

✫✪<br />

A<br />

φ<br />

✫✪ ✫✪<br />

❄<br />

F G<br />

❄<br />

Abbildung 2.1: Zerlegung der Auflagerkraft in Kontaktkräfte (rechts) <strong>und</strong> Momentengleichgewicht<br />

am Korn (links)<br />

Durch die granulare Struktur des Sedimentbodens wird diese allerdings nicht senkrecht in<br />

den Boden weitergereicht, sondern auf die benachbarten Körner umgelenkt. Hierdurch wird<br />

die Auflagerkraft in senkrecht zu den Kontaktflächen wirkende Kraftkomponenten auf die benachbarten<br />

Partikel aufgeteilt (Abbildung 2.1 links). Diese neuen Kontaktkräfte haben auch<br />

horizontale Komponenten, wie aus Abbildung 2.1 rechts ersichtlich wird. Deren Spannungen<br />

werden aus der Auflagerkraft durch die Coulombsche Beziehung<br />

τ zx = 2<br />

3n (ϱ S − ϱ) gd tan φ<br />

beschrieben, wobei φ der Lagerungswinkel <strong>und</strong> n die Anzahl der von einem Oberflächenkorn<br />

belasteten Unterlagenkörner ist, auf die die Auflagerkraft aufgeteilt wird. Der Lagerungswinkel<br />

liegt bei natürlichen Sedimentgefügen zwischen 25 <strong>und</strong> 36 o .<br />

Der Bewegungsbeginn kann nun dadurch charakterisiert werden, daß die angreifende<br />

Strömung genau einen Kontakt bricht, also mindestens die kritische Schubspannung<br />

τ c = 2<br />

3n (ϱ S − ϱ) gd tan φ<br />

überschreiten muß. Bei einem angenommenen Lagerungswinkel von 30 o <strong>und</strong> einer Kontaktzahl<br />

von drei ergibt sich somit für den Bewegungsbeginn:<br />

τ c =0.128 (ϱ S − ϱ) gd<br />

Der hergeleitete Zusammenhang belegt schon richtig, daß der die kritische Sohlschubspannung<br />

für den Bewegungsbeginn proportional zur Dichtedifferenz zwischen Sediment <strong>und</strong> Wasser<br />

sowie zum Korndurchmesser ist. Auch die Größenordnung des Vorfaktors ist richtig. Klassischerweise<br />

wird die Mechanik des Bewegungsbeginns aber anders verstanden.<br />

2.2 Das Momentengleichgewicht eines Korns am Boden<br />

Die soeben vorgestellte Betrachtung zum Bewegungsbeginn versteht das Sedimentkorn fest<br />

eingebettet im Gefüge einer Schicht. Tatsächlich ist die Sedimentoberfläche allerdings sehr


2.2. DAS MOMENTENGLEICHGEWICHT EINES KORNS AM BODEN 25<br />

uneben, wodurch einzelne Körner dem Strömungsangriff besonders ausgeliefert sind. Prinzipiell<br />

gibt es drei Möglichkeiten, ein Korn von seinem Platz zu entfernen:<br />

1. Das Partikel kann angehoben werden. Dazu ist eine so große Hubkraft erforderlich, die<br />

die Strömung nicht aufzubringen vermag.<br />

2. Das Partikel kann an seinem stromabwärts gelegenen Nachbarkorn entlanggleiten. Ohne<br />

die Widerstandskraft der Gleitreibung zwischen zwei Sedimentkörnern wirklich<br />

abschätzen zu können, ist auch dieser Fall relativ unwahrscheinlich, weil der folgende<br />

energetisch wahrscheinlicher ist.<br />

3. Das Partikel kann um den Berührungspunkt mit dem stromabwärts gelegenen Partikel<br />

aus den Angeln gehebelt werden.<br />

Zur mechanischen Analyse der dritten <strong>und</strong> wahrscheinlichsten Möglichkeit betrachte man das<br />

Momentengleichgewicht eines Korns um den Auflagerpunkt A (Abbildung 2.1 rechts),<br />

(F G − F A − F L ) d 2 sin φ = F d<br />

S<br />

2 cos φ<br />

wobei F A der Auftrieb des Partikels, F G die Kraft in Richtung des Bodens <strong>und</strong> F S die<br />

Strömungskraft auf das Partikel ist. Sie wird aus der Sohlschubspannung τ B bestimmt, die<br />

- weil sie eine Kraft pro Fläche ist - mit dem Partikelquerschnitt multipliziert wird.<br />

Zusätzlich wirkt in der vertikalen Richtung die strömungsinduzierte Liftkraft F L . Sie ist proportional<br />

zur der Partikeloberfläche, die der Strömung ausgesetzt ist. Ferner kann man aus<br />

Dimensionsgründen davon ausgehen, daß sie ebenfalls proportional zur Sohlschubspannung<br />

ist, da sich nur so durch die Multiplikation mit der Partikeloberfläche eine Kraft ergibt. Führt<br />

man dann einen Proportionalitätsfaktor α L ein, dann bekommt die Liftkraft die Form:<br />

F L = ατ B d 2<br />

Die destabilisierende Strömungskraft in Strömungsrichtung ist ebenfalls proportional zu der<br />

Sohlschubspannung <strong>und</strong> aus dem Kornverband der Strömung ausgesetzten Partikeloberfläche.<br />

Diese ist kleiner als die pojizierte Partikeloberfläche, was durch den Korrekturbeiwert β ausgeglichen<br />

werden soll:<br />

Für sphärische Körner ergibt sich dann:<br />

F S = βτ B π d2<br />

4<br />

(F G − π d3<br />

6 gϱ − ατ Bd 2 )sinφ = βτ B π d2<br />

4 cos φ<br />

Bei der Auswertung dieser Gleichung müssen zwei Fälle unterschieden werden, die für die<br />

gesamte Theorie des <strong>Sedimenttransport</strong>s gr<strong>und</strong>legend sind:


26 KAPITEL 2. DER BEGINN DER SEDIMENTBEWEGUNG<br />

• Das Sedimentteilchen wird im wesentlichen durch seine Gewichtskraft am Boden gehalten.<br />

• Das Sedimentteilchen ist im wesentlichen durch elektrochemische Anziehungskräfte an<br />

den Boden geb<strong>und</strong>en, die Gewichtskraft ist im Vergleich zu diesen vernachlässigbar.<br />

Im zweiten Fall spricht man von kohäsiven Sedimenten bzw. Böden.<br />

2.3 Die Shieldskurve<br />

Wird das Sedimentteilchen einzig durch seine Gewichtskraft<br />

F G = π d3<br />

6 ϱ Sg<br />

am Boden gehalten, dann folgt für die kritische Schubspannung τ c des Bewegungsbeginns:<br />

τ c = 2 π tan φ<br />

3 βπ +4α tan φ (ϱ S − ϱ)gd<br />

Mit der Einführung des dimensionslosen Mobilitätsparameters<br />

τ B<br />

θ =<br />

(ϱ S − ϱ)gd<br />

folgt für den kritischen Mobilitätsparameter θ c :<br />

(2.1)<br />

θ c = 2 π tan φ<br />

3 βπ +4α tan φ<br />

Dieser Wert ist aufgr<strong>und</strong> des einfachen mechanischen Modells <strong>und</strong> der vielen unbekannten<br />

Größen praktisch wertlos. Wichtig ist die allgemeine Bedingung für den Bewegungsbeginn<br />

θ =<br />

τ B<br />

(ϱ S − ϱ)gd ≥ θ c (2.2)<br />

wobei man θ c als Shieldsparameter bezeichnet. Der Shieldsparameter ist empirisch vielfach<br />

untersucht worden. Er ist im wesentlichen vom dimensionslosen Teilchendurchmesser D ∗ , der<br />

als<br />

( ) 1/3<br />

(ϱS − ϱ) g<br />

D ∗ =<br />

d (2.3)<br />

ϱ ν 2<br />

definiert ist, abhängig <strong>und</strong> wird durch die in Tabelle 2.1 dargestellte Shieldskurve parametrisiert<br />

[55]. Abbildung 2.3 zeigt, daß diese Parametrisierung nicht stetig, also verbesserungsfähig<br />

ist.


2.3. DIE SHIELDSKURVE 27<br />

<br />

'<br />

&<br />

H EJEI ? D A 5 D EA @ I I F = K C <br />

%<br />

$<br />

#<br />

"<br />

!<br />

<br />

# " <br />

<br />

<br />

, K H ? D A I I A H <br />

Abbildung 2.2: Die für den Bewegungsbeginn erforderliche Schubspannung nach Shields.<br />

<br />

'<br />

&<br />

5 D EA @ I F = H = JA JA H G ?<br />

%<br />

$<br />

#<br />

"<br />

!<br />

<br />

<br />

<br />

! " # $ % & ' <br />

, K H ? D A I I A H <br />

Abbildung 2.3: Der Shieldsparameter als Funktion des Korndurchmessers.


28 KAPITEL 2. DER BEGINN DER SEDIMENTBEWEGUNG<br />

θ c =0.24D −1<br />

∗ für 1 ≤ D ∗ ≤ 4<br />

θ c =0.14D −0.64<br />

∗ für 4 ≤ D ∗ ≤ 10<br />

θ c =0.04D −0.1<br />

∗ für 10 ≤ D ∗ ≤ 20<br />

θ c =0.013D 0.29<br />

∗ für 20 ≤ D ∗ ≤ 150<br />

θ c =0.055 für D ∗ ≥ 150<br />

Tabelle 2.1: Parametrisierung der Shieldskurve. Der dimensionslose Korndurchmesser wird in<br />

Gleichung (2.3) definiert.<br />

Der Shieldsparameter θ c ist ein Maß für die auf den Durchmesser bezogene relative Stabilität<br />

des Einzelkorns im Gefüge. Aus Abbildung 2.2 kann man entnehmen, daß alles, was feiner<br />

als feiner Sand ist, eine Mindestschubspannung von 0.154 N/m 2 erfordert. Dieser konstante<br />

Wert ist mit einem für kleinere Körner zunehmenden Shieldsparameter verb<strong>und</strong>en, was darauf<br />

schließen läßt, daß diese umso fester an den Boden geb<strong>und</strong>en werden, desto kleiner sie<br />

sind. Hierfür sind kohäsive Kräfte verantwortlich, die elektrodynamischen, chemischen oder<br />

biologischen Ursprungs sein können.<br />

Der Bewegungsbeginn ist bei nichtkohäsiven Sedimenten also durch ihre Dichte ϱ S <strong>und</strong> den<br />

Korndurchmesser d bestimmt. Ein Standardwert für den Shieldsparameter ist 0.055.<br />

2.4 Bewegungsbeginn <strong>und</strong> Regimetheorie<br />

Ein Fluß befindet sich in einem morphologischen Gleichgewicht, wenn seine Gestalt sich langfristig<br />

nicht ändert. Die Wissenschaftler, die sich mit den hinter diesen Gesetzmäßigkeiten<br />

befindlichen Gleichgewicht befaßten, haben für das Wort ’Gleichgewicht’ den heute etwas<br />

irreführenden Begriff ’Regime’ verwendet. Regimetheorien versuchen, aus den einem Fließgewässer<br />

zur Verfügung stehenden Freiheitsgraden die Gestalt des sich in Regime befindlichen<br />

Gewässers zu bestimmen, also etwa die mittlere Wassertiefe, die Breite <strong>und</strong> das Gefälle, falls<br />

dem Gewässer die Freiheit zur Mäanderbildung gegeben wird.<br />

Regimetheorien besitzen eine wichtige praktische Bedeutung im naturnahen Wasserbau. Sie<br />

stellen einfache analytische Werkzeuge dar, einen Zustand für den Fluß zu bestimmen, der voraussichtlich<br />

sehr stabil ist. Umgekehrt wird jede flußbauliche Abweichung von diesem Gleichgewicht<br />

mit erheblichen Unterhaltungsmaßnahmen verb<strong>und</strong>en sein.<br />

Auch wenn die Regimetheoretiker das folgende Konzept nicht aufgestellt haben, kann man<br />

die Erkenntnisse zum Bewegungsbeginn <strong>und</strong> zur Sohlschubspannung dazu verwenden, eine<br />

geschlossene Regimetheorie zu entwickeln. Als gr<strong>und</strong>legende Annahme wollen wir davon<br />

ausgehen, daß die im Fluß wirkende Sohlschubspannung der kritischen Schubspannung entspricht:


2.4. BEWEGUNGSBEGINN UND REGIMETHEORIE 29<br />

<br />

9 = I I A H JEA BA <br />

'<br />

&<br />

%<br />

$<br />

#<br />

"<br />

EA I<br />

@ ! <br />

5 A D HC H > A H5 = @<br />

@ $ <br />

C H > A H5 = @<br />

@ & <br />

EJJA HA H5 = @<br />

@ " <br />

BA E A H5 = @<br />

@ <br />

!<br />

<br />

5 A D HBA E A H5 = @<br />

@ <br />

<br />

<br />

C<br />

4 A = JEL A A BBA JEL A 5 D H = K D A EJ I I<br />

Abbildung 2.4: Die Wassertiefe eines sich in Regime befindlichen geschiebeführenden Flusses<br />

einer Sohlneigung von 1:10 000 als Funktion der relativen effektiven Sohlrauheit.<br />

τ c =<br />

( ϱκ2 ) 2<br />

u 2<br />

ln<br />

12h<br />

ks<br />

g<br />

Warum ist dies so ? Prinzipiell können im Verhältnis zwischen Wassertiefe <strong>und</strong> kritischer<br />

Schubspannung zwei Fälle auftreten. Entweder ist die Wassertiefe in dem Sinne groß, daß<br />

kleine Strömungsgeschwindigkeiten <strong>und</strong> somit kleine Sohlschubspannungen auftreten <strong>und</strong><br />

die kritische Schubspannung für den Bewegungsbeginn dauerhaft unterschritten wird. In einem<br />

solchen Gebiet werden die vom Fließgewässer geführten Sedimente abgelagert <strong>und</strong> nicht<br />

mehr forttransportiert. Im anderen Fall ist die Wassertiefe in dem Sinne gering <strong>und</strong> damit<br />

die Strömungsgeschwindigkeiten groß, so daß die Sohlschubspannung höher als die kritische<br />

Schubspannung des Bewegungsbeginns ist. Dann werden Sedimente aus diesem Gebiet fortgetragen<br />

<strong>und</strong> die Sohle u.U. erodiert. Eine Wassertiefe in Regime wird also genau dann erreicht,<br />

wenn bezüglich eines gegebenen Durchflusses genau die kritische Sohlschubspannung<br />

des Bewegungsbeginns erzeugt wird.<br />

Als zweite Beziehung ziehen wir - wie in der hydraulischen Gr<strong>und</strong>aufgabe - die Schleppspannungsbeziehung<br />

in der Form<br />

gh tan α =<br />

κ 2<br />

(<br />

ln<br />

12h<br />

k s<br />

) 2<br />

u 2


30 KAPITEL 2. DER BEGINN DER SEDIMENTBEWEGUNG<br />

Abbildung 2.5: Relevante Kräfte beim Bewegungsbeginn auf Böschungen. Die Gewichtskraft<br />

wird in eine tangentiale <strong>und</strong> eine normale Komponente zerlegt.<br />

heran. Eliminieren wir die mittlere Strömungsgeschwindigkeit u aus beiden Gleichungen,<br />

dann bekommt man die implizite Bestimmungsgleichung<br />

( ) ln(12h/k<br />

g 2<br />

h =<br />

s ) τ c<br />

(2.4)<br />

ln(12h/k s ) ϱg tan α<br />

für die sich in Regime befindliche mittlere Wassertiefe eines geschiebeführenden Flusses.<br />

Abbildung 2.4 zeigt das Ergebnis für die Wassertiefe in einem Fluss der Sohlneigung 1:10 000.<br />

Man sieht, daß die Wassertiefe sehr stark mit der effektiven Sohlrauheit steigt, deren Berechnung<br />

in der Abschätzung der Regimeverhältnisse im naturnahen Wasserbau eine besondere<br />

Bedeutung zukommt.<br />

Neben der Wassertiefe soll schließlich noch die Flußbreite B bestimmt werden. Sie ergibt sich<br />

bei bekannter Wassertiefe direkt aus der Schleppspannungsbeziehung:<br />

B =<br />

κ<br />

ln(12h/k eff<br />

s )<br />

Q<br />

h √ gh tan α<br />

Die Flußbreite steigt also mit zunehmendem Abfluss. Da die Regimewassertiefe allerdings<br />

unabhängig von der Wassertiefe ist, sollte diese konstant bleiben, damit sich die Sohle nicht<br />

verändert. Dann kann sich allerdings auch die Flußbreite nicht ändern. Dieser Widerspruch<br />

bedeutet nichts anderes, als daß eine Variablität des Abflusses immer mit einer Änderung der<br />

Flusssohle verb<strong>und</strong>en ist, Flüsse also morphodynamisch sind.<br />

2.5 Der Beginn der Sedimentbewegung an geneigten Sohlen<br />

In Kapitel 2 hatten wir den Bewegungsbeginn von Sedimentkörnern auf einer ebenen Sohle<br />

studiert <strong>und</strong> herausgef<strong>und</strong>en, daß deren Stabilität mit dem Korndurchmesser d <strong>und</strong> der Dichtedifferenz<br />

(ϱ S − ϱ) zwischen Sediment <strong>und</strong> Wasser steigt. Wir wenden uns nun der geneigten<br />

Sohle an Böschungen <strong>und</strong> Ufern zu.<br />

Je nach Anströmung werden die Sedimentpartikel an einer geneigten Sohle leichter oder<br />

schwerer von der Strömung in Bewegung gesetzt werden können. Im Extremfall einer<br />

Hangrutschung findet der Sedimentbewegungsbeginn sogar ohne Strömung statt.


2.5. DER BEGINN DER SEDIMENTBEWEGUNG AN GENEIGTEN SOHLEN 31<br />

Im Falle eines beliebig gerichteten Strömungsangriffes auf eine geneigte Sohle haben Kovacs<br />

<strong>und</strong> Parker (1994) [29] eine allgemein gültige Beziehung hergeleitet, die wieder vom Kräftegleichgewicht<br />

des Partikels ausgeht. Auf dieses wirken zunächst die Strömungskraft F S , die<br />

wir in Analogie zu Shields wieder als<br />

⃗F S = β⃗τ c π d2<br />

4<br />

ansetzen wollen. Kovacs <strong>und</strong> Parker haben hier die Strömungswiderstandsbeziehung mit C D -<br />

Wert verwendet, am Endergebnis ändert dies nichts. Die Kraft wirkt in Richtung der Sohlschubspannung,<br />

die gr<strong>und</strong>sätzlich tangential zur Sohle ausgerichtet ist. Ferner wurde als Sohlschubspannung<br />

gleich die kritische Schubspannung τ c angesetzt, da hier ja der Bewegungsbeginn<br />

bestimmt werden soll.<br />

Desweiteren wirkt auf das Partikel die um den Auftrieb reduzierte Gewichtskraft. Von ihr<br />

wollen wir nur die Tangentialkomponente betrachten, da wir später die Gleichwichtsbedingung<br />

auf die Tangentialebene der Sohle reduzieren. Für sie gilt:<br />

⃗ F G ′ = 1 6 πd3 (ϱ S − ϱ) ⃗g t<br />

Darin ist ⃗g t die Tangentialkomponente der Gewichtskraft, die wir noch zu berechnen haben.<br />

Schließlich bleibt die, die Bewegung verhindernde Kraft der inneren Reibung zu berücksichtigen.<br />

Sie ist proportional zur normal zur Sohle wirkenden Gewichtskraft. Mit Hilfe des Winkels<br />

der inneren Reibung tan φ bekommt sie als:<br />

⃗F C = 1 6 πd3 (ϱ S − ϱ) ‖ ⃗g n ‖ tan φ⃗n C<br />

Die innere Reibung wirkt ebenfalls in Tangentialrichtung. Sie muß aber nicht entgegengesetzt<br />

zur Sohlschubspannung wirken, sondern kann, je nach Lagerungsbedingungen des einzelnen<br />

Korns in einer davon abweichenden Richtung ⃗n C wirken.<br />

Die Summe aller Tangentialkräfte am Korn muß Null sein, damit keine Bewegung induzert<br />

wird. Einfache Umformungen führen zu:<br />

⃗τ c + 2 tan φ<br />

3 β<br />

(ϱ ⃗g t<br />

S − ϱ) gd<br />

g tan φ + 2 3<br />

tan φ<br />

β<br />

(ϱ S − ϱ) gd ‖ ⃗g n‖<br />

g<br />

⃗n C =0<br />

In den beiden hinteren Termen der linken Seite erkennen wir die kritische Schubspannung<br />

für den Bewegungsbeginn nach Shields wieder, die wir nun mit τ c,0 bezeichnen wollen <strong>und</strong><br />

substituieren können:<br />

⃗τ c<br />

+<br />

⃗g t<br />

τ c,0 g tan φ + ‖ ⃗g n‖<br />

⃗n C =0<br />

g<br />

In dieser Gleichung ist nur noch der Einheitsvektor in Richtung der Gegenkräfte ⃗n C aus der<br />

inneren Reibung unbekannt. Stellen wir nach dieser um, so bekommen wir zunächst seine<br />

Richtung:


32 KAPITEL 2. DER BEGINN DER SEDIMENTBEWEGUNG<br />

⃗τ c ⃗g t<br />

⃗n C ≃−g −<br />

‖ ⃗g n ‖τ c,0 ‖ ⃗g n ‖ tan φ<br />

Ferner hatten wir ⃗n C als Einheitsvektor angesetzt, somit bekommt man für ihn:<br />

Einsetzen ergibt:<br />

⃗n C = −g ⃗τ c<br />

‖−g<br />

⃗g<br />

‖ ⃗g n‖τ c,0<br />

− t<br />

‖ ⃗g n‖ tan φ<br />

⃗τ c<br />

⃗g<br />

‖ ⃗g n‖τ c,0<br />

− t<br />

‖<br />

‖ ⃗g n‖ tan φ<br />

‖ ⃗τ c<br />

+<br />

⃗g t<br />

τ c,0 g tan φ ‖ = ‖ ⃗g n<br />

g ‖<br />

Diese Beziehung müssen wir nur noch berechenbar machen. Betrachten wir ihr Quadrat, so<br />

haben wir es nur noch mit Beträgen zu tun, die der Übersichtlichkeit halber durch Weglassen<br />

der Vektorpfeile gekennzeichnet werden:<br />

τc<br />

2<br />

τc,0<br />

2<br />

+2 τ c<br />

τ c,0<br />

g t<br />

g tan φ cos δ +<br />

g 2 t<br />

g 2 tan 2 φ − g2 n<br />

g 2 =0<br />

Darin bezeichnet δ den Winkel zwischen der Richtung der Sohlschubspannung <strong>und</strong> der tangentialen<br />

Projektion der Gravitationskraft. Es bleibt, die Zerlegung der Gravitationskraft in<br />

tangentiale <strong>und</strong> normale Anteile, bzw. deren Beträge zu bestimmen. Ist β die Sohlneigung,<br />

dann gilt ganz offensichtlich:<br />

g t<br />

g =sinβ <strong>und</strong> g n<br />

g =cosβ<br />

Die Lösung der quadratischen Gleichung ist damit schließlich<br />

√ √√√<br />

τ c<br />

= − sin β<br />

τ c,0 tan φ cos δ + sin 2 β<br />

tan 2 φ (cos2 δ − 1) + cos 2 β<br />

wobei nur die positive Wurzel berücksichtigt wurde, da das Ergebnis positiv sein muß. Nun<br />

kann man den Bewegungsbeginn zunächst nach Shields berechnen <strong>und</strong> dann für die geneigte<br />

Sohle korrigieren.<br />

Um das Ergebnis plausibler zu machen, wollen wir im folgenden verschiedene Spezialfälle<br />

betrachten. Am einfachsten ist die horizontale Sohle, für sie ist β =0<strong>und</strong> somit nimmt die<br />

Sohlschubspannung den Wert der Shieldsspannung an, τ c = τ c,0 .


2.5. DER BEGINN DER SEDIMENTBEWEGUNG AN GENEIGTEN SOHLEN 33<br />

1,8<br />

1,6<br />

1,4<br />

Neigung in Strömungsrichtung<br />

Neigung senkrecht zur Strömungsrichtung<br />

1,2<br />

cc<br />

1<br />

0,8<br />

0,6<br />

0,4<br />

0,2<br />

0<br />

-30 -20 -10 0 10 20 30<br />

Sohlneigungswinkel [Grad]<br />

Abbildung 2.6: Der Korrekturfaktur für den Bewegungsbeginn auf geneigten Sohlen. Für den<br />

Winkel der inneren Reibung gilt tan φ =0.6<br />

Strömungsangriff normal zur Sohlneigung<br />

An Uferböschungen läuft die Strömung parallel zum Hang, d.h. die Hangneigung liegt senkrecht<br />

zur Strömung. Die Flussneigung in Strömungsrichtung sei vernachlässigbar. In diesem<br />

Fall ist cos δ also Null:<br />

τ c = τ c,0 cos β √ 1 − tan2 β<br />

tan 2 φ<br />

Das Ergebnis ist in Abbildung 2.6 dargestellt. Man sieht ein symmetrisches Abfallen der kritischen<br />

Schubspannung für den Bewegungsbeginn sowohl für positive (steigende Böschung)<br />

als für negative Neigungswinkel (abfallende Böschung).<br />

Strömungsangriff in Richtung der Sohlneigung<br />

Wir wollen nun den Fall betrachten, daß die Strömung in Richtung eines abfallenden Hanges<br />

des Neigungswinkels β fließt, <strong>und</strong> cos δ =1ist. Man bekommt:<br />

(<br />

τ c = τ c,0 cos β 1 − tan β )<br />

(2.5)<br />

tan φ<br />

Dieser Zusammenhang wurde durch einfache mechanische Überlegungen schon 1950 von


34 KAPITEL 2. DER BEGINN DER SEDIMENTBEWEGUNG<br />

Material<br />

Winkel der inneren Reibung φ in Grad<br />

natürlich:<br />

Sand, r<strong>und</strong> 30<br />

Sand, eckig 33<br />

Kies 37<br />

Schotter 40<br />

Geschiebemergel 30<br />

Lehm, Ton, nichtbindig 25<br />

Ufer-Deckschichten:<br />

Flachrasen 45<br />

Kopfrasen 70<br />

Pflaster 55<br />

Kunststofffolie 90<br />

Flechtzaun 90<br />

Faschine 90<br />

Stangenbeschlächt 90<br />

Gabionen 90<br />

Tabelle 2.2: Überschlagswerte für den Winkel der inneren Reibung φ (aus [60])<br />

Schoklitsch [59] gef<strong>und</strong>en. Er stellt zudem die minimale Stabilität der Sohle dar, wenn man<br />

alle Richtungen der Strömung δ betrachtet.<br />

Das Ergebnis ist ebenfalls in Abbildung 2.6 dargestellt. Wird die Sohle in Neigungsrichtung<br />

angeströmt, dann wird die Lagestabilität der Sedimente reduziert. Fließt das Wasser dagegen<br />

die Neigung hinauf, dann wird die Lagestabilität erhöht.<br />

Abhängigkeit der kritischen Schubspannung von den Strömungsverhältnissen<br />

Nach dem Ansatz von Kovacs <strong>und</strong> Parker wird die kritische Schubspannung für den Bewegungsbeginn<br />

von der Richtung δ der Strömung, damit von den Strömungsverhältnissen <strong>und</strong><br />

der Zeit abhängig. Zudem ist dieser Ansatz für verschwindende Strömungsgeschwindigkeiten<br />

nicht eindeutig auswertbar, da der Winkel δ dann unbestimmt ist. Um diese Schwierigkeiten zu<br />

umschiffen wird empfohlen, als kritische Schubspannung für den Bewegungsbeginn zunächst<br />

ihren Minimalwert nach Gleichung (2.5) anzusetzen. Erst wenn dieser Wert von der tatsächlichen<br />

Schubspannung τ B überschritten wird, wenn also eine merklich ausgebildete Strömung<br />

vorhanden ist, sollte der Bewegungsbeginn dann nach Kovacs <strong>und</strong> Parker berechnet werden.


2.6. STABILITÄTSANALYSEN UND SOHLSICHERUNG 35<br />

2.6 Stabilitätsanalysen <strong>und</strong> Sohlsicherung<br />

Die Erkenntnisse zum Bewegungsbeginn werden bei der Analyse der Stabilität von Sedimentsohlen<br />

<strong>und</strong> falls erforderlich der entsprechenden Sicherung der Sohle eingesetzt. In Fließgewässern<br />

sind dabei drei Arten von Belastungen zu unterscheiden: Im Normalfall wirken die<br />

turbulenten, abflussbedingten Strömungen auf die Sohle. Ferner sind Extremereignisse wie<br />

Hochwasser zu berücksichtigen. Wird ein Gewässer als Wasserstraße genutzt, ist schließlich<br />

noch die Belastung durch die Schiffahrt zu beachten.<br />

2.7 Übungen<br />

1. Erstellen Sie sich mit einem Tabellenkalkulationsprogramm einen Graphen der kritischen<br />

Schubspannung nach Shields in Abhängigkeit vom Korndurchmesser. Bei der Berechnung<br />

der Shieldsparameter sollten Sie geschachtelte WENN-Abfragen benutzen.


36 KAPITEL 2. DER BEGINN DER SEDIMENTBEWEGUNG


Kapitel 3<br />

Der Transport gleichförmigen Geschiebes<br />

Beim Transport der Feststoffe unterscheidet man zwei verschiedene Bewegungsarten, zwischen<br />

denen die Übergänge fließend sind:<br />

• Als Geschiebetransport (engl. bed load) bezeichnet man den <strong>Sedimenttransport</strong>modus,<br />

bei dem sich die Partikel in direkter Bodennähe bewegen. Das Geschiebe wird dann<br />

transportiert, wenn die Sohlschubspannung einen gewissen kritischen Wert überschreitet.<br />

Beim Geschiebetransport werden wieder zwei Bewegungsarten unterschieden:<br />

– Beim rollenden Transport bleibt das Sediment in ständigem Kontakt mit dem Boden.<br />

Rollend werden sehr große Sedimentpartikel transportiert, die den Kornklassen<br />

Kies <strong>und</strong> Blockwerk zugeordnet werden.<br />

– Beim Transport in Sprüngen (engl. saltation) verläßt das Sedimentkorn nur kurzfristig<br />

den Boden. Dies ist die typische Bewegung, die Sandteilchen am Boden<br />

ausführen. Die sich so bewegende Bodenschicht ist etwa zehn Teilchendurchmesser<br />

mächtig.<br />

• Beim Transport in Suspension hält sich das Sedimentteilchen nahezu ausschließlich in<br />

der Wassersäule auf. Suspensiver Transport ist umso wahrscheinlicher, desto kleiner das<br />

Verhältnis von Sinkgeschwindigkeit w c zu Schubspannungsgeschwindigkeit u ∗ ist.<br />

Wir wollen in diesem Kapitel die physikalischen Gesetze des Geschiebetransports kennenlernen,<br />

wobei wir uns zunächst auf gleichförmiges Material beschränken. Dies bedeutet insbesondere,<br />

daß der unter dem Gewässer anstehende Sedimentboden aus kugelförmigen Körnern<br />

gleicher Dichte <strong>und</strong> Größe bestehen soll.<br />

3.1 Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität<br />

Wir wollen uns zunächst der Frage zuwenden, wieviel Sediment eine Strömung in der Lage<br />

ist, zu transportieren. Dies heißt allerdings nicht, daß die Strömung auch tatsächlich soviel<br />

Sediment transportiert, da diese Masse u.U. gar nicht zur Verfügung steht. Wir fragen also<br />

37


38 KAPITEL 3. DER TRANSPORT GLEICHFÖRMIGEN GESCHIEBES<br />

%<br />

100.0<br />

80.0<br />

Rolling<br />

60.0<br />

Saltation<br />

40.0<br />

20.0<br />

Suspension<br />

0.0<br />

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0<br />

u ∗ /u ∗c<br />

Abbildung 3.1: Transportarten<br />

nach einem Sedimentvolumen, welches die Strömung in einer Zeiteinheit durch eine gewisse<br />

Breite transportiert <strong>und</strong> definieren die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität q S als:<br />

q S :=<br />

transportiertes Sedimentvolumen<br />

Breite · Zeit<br />

Ihre Einheit sollte also m 3 /(s m) = m 2 /s sein.<br />

Seit DuBoys 1879 seine erste <strong>Sedimenttransport</strong>formel veröffentlicht hat, ist eine große Anzahl<br />

weiterer erschienen. Hier seien einige im folgenden nicht weiter vorgestellten dem Namen<br />

nach aufgezählt:<br />

• Shields (1936)<br />

• Laursen (1958)<br />

• Colby (1964a,b)<br />

• Blench Regime Formula (1966)<br />

• Inglis-Lacey (1968)<br />

• Toffaleti (1969)<br />

• Graf (1971)


3.1. DIE SEDIMENTTRANSPORTKAPAZITÄT 39<br />

• Shen-Hung (1972)<br />

• Ackers-White (1973)<br />

• Yang (1973,1979)<br />

• Maddock (1976)<br />

• Karim (1981)<br />

• Brownlie (1981a,b)<br />

• Zanke (1988)<br />

Die Formeln werden nach verschiedenen Kriterien klassifiziert. So lassen sich Schwellwertformeln<br />

<strong>und</strong> Formeln mit kontinuierlichem Transport, die auf Wahrscheinlichkeitsüberlegungen<br />

basieren, unterscheiden [7]. Andere Ansätze basieren auf der Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />

von Sohlformen oder energetischen Überlegungen.<br />

3.1.1 Die experimentelle Untersuchung des Geschiebetransports<br />

Abschlussbrett<br />

Geschiebefangbehälter<br />

Breite B<br />

Anlaufbereich<br />

18 m<br />

Transportschicht<br />

(Sohlenmaterial)<br />

15 cm<br />

Rinnenboden<br />

Abbildung 3.2: Geschieberinne.<br />

Um den Gesetzmäßigkeiten des Geschiebetransports auf die Spur zu kommen, wurden <strong>und</strong><br />

werden immer noch Laborgerinne eingesetzt. In diesen wird eine Sedimentsohle durch eine<br />

Gerinneströmung belastet <strong>und</strong> das dabei bewegte Sediment durch die zeitliche Zunahme der<br />

Sedimentmenge m S in einem Geschiebefänger am Ende der Rinne bestimmt (siehe Abbildung<br />

3.2). Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität berechnet sich dann als:


40 KAPITEL 3. DER TRANSPORT GLEICHFÖRMIGEN GESCHIEBES<br />

dm S<br />

dt<br />

= q S Bϱ S<br />

Dabei können alllerdings verschiedene Fehler auftreten, die So ist eine breitere Rinne<br />

gr<strong>und</strong>sätzlich besser als eine schmalere, da die Einflüsse der Berandung dann weniger ins<br />

Gewicht fallen. Ferner spielen die Gestaltung des Ein- <strong>und</strong> Auslaufbereichs eine wichtige Rolle.<br />

Es ist daher gr<strong>und</strong>sätzlich besser, das Experiment im numerischen Modell nachzusimulieren<br />

<strong>und</strong> hier zu schauen, wie die Transportkapazität aussehen muss, damit sie die experimentellen<br />

Ergebnisse reproduziert.<br />

3.1.2 Das Modell von DuBoys (1879)<br />

In Analogie zu einer laminaren Strömung ging M.P. DuBoys davon aus(nach [21]), daß die<br />

einzelnen Kornlagen der Sedimentsohle beim Angriff einer Sohlschubspannung τ B schichtartigen<br />

fließen. Die Situation ist in Abbildung 3.3 dargestellt. Dort ist die sich bewegende Sohle<br />

in n - 1 Schichten der Dicke ∆z ≃ d aufgeteilt. Von Schicht zu Schicht nimmt die Bewegungsgeschwindigkeit<br />

um den Betrag v S zu. Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität ergibt sich dann<br />

ganz einfach durch Aufsummieren der einzelnen Geschwindigkeitsbeträge multipliziert mit<br />

den Schichtdicken:<br />

τ B<br />

5 ? D E? D J<br />

5 ? D E? D J <br />

L 5<br />

L 5<br />

5 ? D E? D J"<br />

5 ? D E? D J!<br />

5 ? D E? D J<br />

! L 5<br />

L 5<br />

, <br />

<br />

, <br />

L 5<br />

5 ? D E? D J<br />

Abbildung 3.3: Das Geschiebemodell von DuBoys (aus [21]).<br />

n−1 ∑ n(n − 1)<br />

q S = d iv S = dv S<br />

2<br />

i=1<br />

DuBoys argumentiert weiter, daß mit zunehmender Sohlschubspannung mehr Schichten bewegt<br />

werden. Es muß also einen Zusammenhang der Form


3.1. DIE SEDIMENTTRANSPORTKAPAZITÄT 41<br />

n = τ B<br />

τ c<br />

geben. Substituiert man dann die Schichtzahl, so bekommt man die nach DuBoys benannte<br />

Transportformel:<br />

q S = dv S<br />

τ<br />

2τc<br />

2 B (τ B − τ c )<br />

An diesem Modell zum Geschiebetransport wurde viel Kritik geübt, die sich vor allem auf das<br />

laminare Fließen einzelner Sedimentschichten bezog.<br />

3.1.3 Die Transportformel von Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller (1948)<br />

Um der zunehmenden Akkumulation von grobem Material im Alpenrhein oberhalb des Bodensees<br />

<strong>und</strong> der damit verb<strong>und</strong>enen Gefahr einer großflächigen Überflutung der Vorländer<br />

durch eine Flutwelle vorzubeugen, wurde Prof. Eugene Meyer-Peter an der ETH Zürich in<br />

der zwanziger Jahren des vergangenen Jahrh<strong>und</strong>erts von der Schweizer Regierumg beauftragt,<br />

eine flußbauliche Maßnahme, die dieser Gefahr entgegenwirkt [18]. Das dahinter steckende<br />

Schlüsselproblem bestand also darin, wie weit der Fluß eingeengt werden mußte, damit<br />

die Transportkapazität so steigt, daß eingetragenes Geschiebe auch weitertransportiert wird,<br />

also einen Zusammenhang zwischen Geschiebetransportrate, (Wasser-)Durchfluß <strong>und</strong> Sohlneigung<br />

zu finden. Dem Ansatz von DuBoys wurde tiefes Mißtrauen entgegen gebracht, da<br />

das Bewegen des Geschiebes nicht in Schichten stattfand. Ferner gab es schon verschiedene<br />

empirische Ansätze zum Geschiebetransport, die allerdings nur für einen Fluß oder gar einen<br />

Flußabschnitt galten. In England wurde zu dieser Zeit die Regimetheorie für sandige Gerinne<br />

in Indien <strong>und</strong> Ägypten entwickelt.<br />

Es mußte also etwas neues her. Daher ließ Meyer-Peter 1927 das hydraulische Labor der ETH<br />

Zürich errichten, in dem seine Doktoranden (darunter auch H.A. Einstein) in den folgenden<br />

Jahren die Gesetzmäßigkeiten des Geschiebetransportes untersuchten.<br />

Die Transportformel von Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller [41], [42] ist das Ergebnis von 139 Einzelversuchen<br />

zur Abhängigkeit der Geschiebemenge von den hydraulischen Größen Durchfluß<br />

<strong>und</strong> Wasserspiegelgefälle bei Normalabfluss <strong>und</strong> stationären Transportbedingungen. Das<br />

Sediment bestand sowohl aus uniformen Material unterschiedlicher Größe, es wurden aber<br />

auch Mischsohlen <strong>und</strong> Geschiebematerial unterschiedlicher Dichte (Silikate, sowie Baryt, ϱ S<br />

= 4200 kg/m 3 <strong>und</strong> Braunkohlengrus ϱ S = 1250 kg/m 3 getestet. Die Versuchsergebnisse lassen<br />

sich mit sehr großer Genauigkeit durch die Gleichung<br />

( ) 2/3 ( ) 10/9 ( ) 1/3 ( ) 2/3<br />

q ϱS − ϱ<br />

ϱS − ϱ qS<br />

I B = a<br />

d + b<br />

ϱ<br />

ϱ<br />

ϱ ϱ S − ϱ<br />

zusammenfassen, wobei I B das Sohlgefälle, q der spezifische Durchfluß pro Breitenmeter <strong>und</strong><br />

a <strong>und</strong> b Konstanten sind.


42 KAPITEL 3. DER TRANSPORT GLEICHFÖRMIGEN GESCHIEBES<br />

$<br />

"<br />

<br />

@ <br />

6 H = I F H J+ = F = ? EJO I <br />

<br />

&<br />

$<br />

@ <br />

@ # <br />

@ <br />

"<br />

@ <br />

<br />

<br />

" $ & " $ & <br />

- BB* A @ 5 D A = H 5 JH A I I 2 = <br />

Abbildung 3.4: Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität nach Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller in Abhängigkeit<br />

von der effektiven Sohlschubspannung für verschiedene Korndurchmesser.<br />

Zur Weiterentwicklung <strong>und</strong> praktischen Anwendung dieses Zusammenhangs sollten die hydraulischen<br />

Größen Durchfluß <strong>und</strong> Sohlgefälle durch die Sohlschubspannung ersetzt werden,<br />

da diese die tatsächliche Verursacherin des Geschiebetransportes ist. Die Autoren stellen fest,<br />

daß die Versuche in der Nähe des Überganges zwischen strömenden <strong>und</strong> schießendem Abfluß<br />

stattfanden, hier gilt die Beziehung:<br />

q 2/3 I B<br />

g 1/3<br />

= hI B = τ B<br />

ϱg<br />

womit man schnell eine Schwellwertformel für den Geschiebetransport gewinnen kann, die in<br />

unserer heutigen Nomenklatur<br />

√<br />

ϱS − ϱ<br />

q S = 8 gd 3 (θ − θ c ) 3<br />

ϱ<br />

(3.1)<br />

1<br />

= 8<br />

ϱ 1/2 (ϱ S − ϱ)g (τ B − τ c ) 3/2<br />

lautet. Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller nahmen für den Bewegungsbeginn konstant θ c =0.047 an,<br />

womit die kritische Schubspannung linear mit dem Korndurchmesser steigen würde. Um eine<br />

größere Allgemeingültigkeit dieses Ansatzes zu gewährleisten, rechnet man heute auch in der<br />

Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller-Formel zumeist mit dem Bewegungsbeginn nach Shields.


3.1. DIE SEDIMENTTRANSPORTKAPAZITÄT 43<br />

Das Problem mit dem Ansatz von Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller besteht in der Verwendung der<br />

Schleppspannungsbeziehung in der Herleitung. Hierbei sind die Energieverluste in den relativ<br />

engen Gerinnen noch größer als sie in einem breiten natürlichen Gerinne zu verzeichnen sind.<br />

Tatsächlich gehen die Interpretationen zu diesem Sachverhalt in der Wirkungsgeschichte der<br />

Formel allerdings kontrovers auseinander. So schlägt van Rijn [55] vor, die Sohlschubspannung<br />

mit einem Vorfaktor, dem sogenannten Untergr<strong>und</strong>faktor µ zu behaften, der durch<br />

µ = ln(12h/k s)<br />

ln(12h/d 90 )<br />

definiert ist. Die Transportformel wird dann zu:<br />

1<br />

q S =8<br />

ϱ 1/2 (ϱ S − ϱ)g (µτ B − τ c ) 3/2<br />

I.A. wird jedoch festgestellt, daß die Transportformel von Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller den<br />

tatsächlichen Geschiebetransport überschätzt. Der Verfasser dieser Schrift schlägt daher die<br />

Verwendung mit der aus der Kornrauheit bestimmten Sohlschubspannung vor:<br />

1<br />

q S =8<br />

ϱ 1/2 (ϱ S − ϱ)g (τ B ′ − τ c) 3/2<br />

Die Transportformel nach Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller gilt insbesondere für Korndurchmesser<br />

über 1 mm, d.h. im Bereich von groben Sanden bis Kies.<br />

3.1.4 Die Wirkung der turbulenten Fluktuationen: Einstein (1950)<br />

Die Modellvorstellung von H.A. Einstein zum Geschiebetransport unterscheidet sich gr<strong>und</strong>legend<br />

von den Vorgängern wie z.B. DuBoys <strong>und</strong> Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller. Einstein geht davon<br />

aus, daß es weniger die mittlere Strömung als vielmehr die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen<br />

sind, die die Sedimentkörner in Bewegung versetzen. Das Konzept einer durch<br />

die mittlere Strömung bestimmte Mindestschubspannung taucht daher in seinen Überlegungen<br />

nicht auf. Die Modellvorstellung von Einstein wird zudem von einer Verbesserung des aus<br />

Experimenten gewonnenen Bildes zum Prozeß des Geschiebetransportes geprägt. Dabei wird<br />

das einzelne Partikel durch Sprünge transportiert, um danach in langen Ruhepausen an einem<br />

Ort zu verbleiben.<br />

Diese Sprünge stellt Einstein sich aus Einzelsprüngen zusammengesetzt vor, die durch kurzfristige<br />

turbulente Fluktuationen ausgelöst werden, bei denen die Wirkung der Liftkraft F L die<br />

Gewichtskraft des Partikels F G übersteigt: F L >F G . Der Zeitanteil, für den diese Bedingung<br />

erfüllt ist, wird als Erosionswahrscheinlichkeit p bezeichnet.<br />

Die Liftkraft ist proportional zur Sohlschubspannung, die in einer turbulenten Strömung irgendeine<br />

statistische Verteiung f(τ) um ihren Mittelwert aufweist. Die Erosionswahrscheinlichkeit<br />

p ist dann:<br />

p =1−<br />

∫τ cr<br />

−τ cr<br />

f(τ)dτ


44 KAPITEL 3. DER TRANSPORT GLEICHFÖRMIGEN GESCHIEBES<br />

f(<br />

cr<br />

cr<br />

<br />

Abbildung 3.5: Die Erosionswahrscheinlichkeit nach Einstein.<br />

Einstein nimmt vereinfachend an, daß jeder solcher Turbulenzstoß einen Teilsprung der Länge<br />

λ b d auslöst. Es gibt nun Partikel, die nach einem Turbulenzstoß zu Boden fallen, <strong>und</strong> Partikel,<br />

die durch weitere Turbulenzimpulse weitere Sprünge ausüben. Da die Wahrscheinlichkeit<br />

keinen weiteren Impulsstoß zu bekommen (1 − p) ist, ist die Wahrscheinlichkeit, nach einem<br />

Teilimpuls wieder zu Boden zu fallen, ebenfalls (1 − p). In der Wassersäule verbleibt also der<br />

Anteil p, weil er von einem Turbulenzimpuls zu einem weiteren Teilsprung genötigt wird.<br />

Die mittlere Gesamtsprungweite λ setzt sich somit aus den mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteten<br />

Längen von einem, zwei, drei etc. Teilsprüngen zusammen. Sie ist somit:<br />

∞∑<br />

λ =(1− p)λ b d +(1− p)p2λ b d +(1− p)p 2 3λ b d + ... = (1 − p)p n (n +1)λ b d = λ bd<br />

n=0<br />

1 − p<br />

Die letzte Identität läßt sich recht einfach mit der Methode der vollständigen Induktion beweisen.<br />

Die sich im Sprung befindlichen Partikel bilden die sogenannte Transportschicht. Um nach<br />

dieser Vorüberlegung zur mittleren Sprungweite zu einen Transportformel zu gelangen, betrachtet<br />

Einstein den Austausch zwischen dieser Transportschicht <strong>und</strong> der festen Sohle, auf<br />

dem die Partikel ruhen.<br />

Bei der Deposition werden Partikel aus der Transportschicht zur festen Sohle verbracht. Die<br />

Depositionsrate D als Wachstumsrate der Sohle in m/s ist beim Transport durch Sprünge der<br />

mittleren Weite λ:<br />

D = q S<br />

λ<br />

Da verschieden große Partikel Sprünge unterschiedlicher Länge ausführen, werden die sich in<br />

der Transportschicht befindlichen Kornfraktionen der Anteile p T i einzeln betrachtet. Die auf<br />

die einzelne Kornfraktion bezogene Depositionsrate ist:<br />

D i = q Sp T i<br />

λ i<br />

= q Sp T i (1 − p)<br />

λ b d i


3.1. DIE SEDIMENTTRANSPORTKAPAZITÄT 45<br />

q S<br />

✻<br />

✲<br />

E<br />

D<br />

❄<br />

✛<br />

λ<br />

✲<br />

Abbildung 3.6: Prinzipskizze zum Transportmodell von H.A. Einstein. Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität<br />

verteilt sich über eine Fläche, deren Länge die Sprungweite λ ist.<br />

Haben die durchaus unregelmäßig gestalteten Partikel das Volumen k 2 d 3 i , dann werden pro<br />

Zeit von der Fraktion i<br />

n D i = q Sp T i (1 − p)<br />

λ b k 2 d 4 i<br />

Partikel deponiert.<br />

Für den Erosionsstrom, d.h. für die Überführung von Partikeln von der festen Sohle in die<br />

Transportschicht nimmt Einstein an, daß dieser zunächst proportional zur Erosionswahrscheinlichkeit<br />

p ist. Ist die Sohle aus Sedimentfraktionen der Anteile p B i zusammengesetzt, dann<br />

ist der auf die Fraktion bezogene Erosionsstrom proportional zu p B i p. Einstein nimmt ferner<br />

an, daß die Erosionswahrscheinlichkeit mit zunehmender Partikeloberfläche k 1 d 2 i <strong>und</strong> mit der<br />

Sprungdauer t e abnimmt. Die Anzahl der pro Zeiteinheit erodierten Partikel ist dann:<br />

n E i = pB i p<br />

k 1 d 2 i t e<br />

Je größer die Sinkgeschwindigkeit des Partikels, desto kleiner sollte die Sprungdauer t e sein.<br />

Mit der Sinkgeschwindigkeitsbeziehung (1.1) folgt:<br />

√<br />

√<br />

ϱdi<br />

t e := k 3<br />

g(ϱ S − ϱ) ⇒ nE i = pB i p ϱS − ϱ g<br />

k 1 d 2 i k 3 ϱ<br />

Ein stationärer homogener <strong>Sedimenttransport</strong> kann nur dann stattfinden, wenn die Anzahl der<br />

pro Fraktion in die Transportschicht erodierten Partikel der Anzahl der erodierten entspricht,<br />

n E i = n D i . Somit ergibt sich für die Geschiebetransportkapazität:<br />

d i


46 KAPITEL 3. DER TRANSPORT GLEICHFÖRMIGEN GESCHIEBES<br />

%<br />

6 H = I F H J+ = F = ? EJO I <br />

$<br />

#<br />

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<br />

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" $ & " $ & <br />

- BB* A @ 5 D A = H 5 JH A I I 2 = <br />

Abbildung 3.7: Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität nach Einstein in Abhängigkeit von der effektiven<br />

Sohlschubspannung für verschiedene Korndurchmesser.<br />

q S = pB i<br />

p T i<br />

p λ b k 2<br />

1 − p<br />

√<br />

ϱS − ϱ<br />

k 1 k 3 ϱ<br />

Die vielen noch verbleibenden unbekannten Relationen schließt Einstein durch den Vergleich<br />

mit veröffentlichten Messungen zum Geschiebetransport, darunter auch denen von Meyer-<br />

Peter. Unter Verwendung der dimensionslosen Größen<br />

gd 3 i<br />

Φ=<br />

q S<br />

√<br />

ϱS −ϱ<br />

gd 3 ϱ i<br />

<strong>und</strong><br />

Ψ= (ϱ S − ϱ)gd i<br />

τ B<br />

= 1 θ<br />

erhält er:<br />

0.465Φ = e −0.391Ψ für Φ < 0.4<br />

Dröselt man diese Beziehung auf, dann ist die <strong>Sedimenttransport</strong>rate nach Einstein:<br />

√<br />

ϱS − ϱ<br />

q S =2.15 gd<br />

ϱ<br />

3 e −0.391/θ für θ


3.1. DIE SEDIMENTTRANSPORTKAPAZITÄT 47<br />

0,00007<br />

Transportkapazität [m²/s]<br />

0,00006<br />

0,00005<br />

0,00004<br />

0,00003<br />

0,00002<br />

d=1mm<br />

d=2mm<br />

d=3mm<br />

d=4mm<br />

d=5mm<br />

0,00001<br />

0<br />

2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000<br />

Sedimentdichte [kg/m³]<br />

Abbildung 3.8: Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität nach Einstein in Abhängigkeit von der Sedimentdichte<br />

für verschiedene Korndurchmesser bei einer Sohlschubspannung von 3 N/m 2 .<br />

erkennen, was darauf zurückzuführen ist, daß hier die Gültigkeitseinschränkung nicht beachtet<br />

wurde.<br />

Eine Merkwürdigkeit in der Transportformel von Einstein scheint die Dichteabhängigkeit zu<br />

sein. Es sieht zunächst so aus, als ob die Transportkapazität danach mit zunehmender Partikeldichte<br />

steigt. Tatsächlich geht sie aber auch in den Exponenten ein, wodurch sich insgesamt<br />

eine Abnahme der Transportkapazität mit der Partikeldichte einstellt (Abbildung 3.8).<br />

3.1.5 Das energetische Konzept von Bagnold (1966)<br />

Aus energetischer Sicht kann man den Transport von Geschiebe als Übertragung von Bewegungsenergie<br />

aus der Wassersäule in den Boden verstehen. Ein Konzept, welches diese<br />

energetischen Flüsse quantifiziert <strong>und</strong> hieraus eine <strong>Sedimenttransport</strong>formel herleitet, ist 1966<br />

von R.A. Bagnold [5] vorgestellt worden, um seine ursprünglich für den äolischen Transport<br />

entwickelten Ansätze zu verallgemeinern.<br />

Gr<strong>und</strong>sätzlich kann man zeigen [37], daß der Verlust an kinetischer Energie Φ E der Strömung<br />

des Wassers in gewissen Fällen als<br />

Φ E = τ B u<br />

(in J/(m 2 s))<br />

berechnet werden kann, wobei τ B die Sohlschubspannung <strong>und</strong> u die tiefengemittelte<br />

Strömungsgeschwindigkeit ist. Dabei wird allerdings nur ein Bruchteil e b der kinetischen


48 KAPITEL 3. DER TRANSPORT GLEICHFÖRMIGEN GESCHIEBES<br />

<br />

'<br />

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6 H = I F H J+ = F = ? EJO I <br />

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@ # <br />

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<br />

<br />

<br />

M = JA H @ A F JD <br />

" $ & " $ & <br />

- BB* A @ 5 D A = H 5 JH A I I 2 = <br />

Abbildung 3.9: Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität nach Bagnold in Abhängigkeit von der effektiven<br />

Sohlschubspannung für verschiedene Korndurchmesser bei einer Wassertiefe von 10 m<br />

<strong>und</strong> einem Effizienzfaktor von 0.1.


3.1. DIE SEDIMENTTRANSPORTKAPAZITÄT 49<br />

Strömungsenergie an die Sohle abgegeben, der weitaus größere Teil wird über die Turbulenz<br />

in Wärme umgewandelt.<br />

Dieser Bruchteil e b an Energie steht nun dem Geschiebetransport zur Verfügung, wobei man<br />

den dazu erforderlichen Energiebedarf wiederum aus den zu brechenden im Sediment wirkenden<br />

inneren Spannungen τ S <strong>und</strong> der mittleren Sedimentbewegungsgeschwindigkeit u S berechnen<br />

kann:<br />

τ S u S = e b τ B u<br />

Wird eine Schicht der Dicke h S transportiert, dann sind die inneren Spannungen nach der<br />

Coulombschen Formel unter Berücksichtigung der Sohlneigung:<br />

τ S = τ c = 2<br />

3n (ϱ S − ϱ) gh S (cos β tan φ − sin β) = 2<br />

3n (ϱ S − ϱ) gh S cos β (tan φ − tan β)<br />

Setzen wir dies in die obige Gleichung ein <strong>und</strong> berücksichtigen, daß das Produkt aus bewegter<br />

Sedimentschichtdicke <strong>und</strong> Sedimentbewegungsgeschwindigkeit gerade die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität<br />

q S = u S h S ist, dann bekommen wir<br />

2<br />

q S<br />

3n (ϱ S − ϱ) g cos β (tan φ − tan β) =e b τ B u<br />

Damit erhält man die Formel von Bagnold<br />

q S =<br />

e b τ B u<br />

(ϱ S − ϱ) g cos β (tan φ − tan β)<br />

in der der Vorfaktor 2/3n in dem sogenannten Effizienzfaktor e b integriert wurden, dessen<br />

Wert zwischen 0.1 <strong>und</strong> 0.2 liegt. tan φ ≃ 0.6 wird dabei als ’dynamische Reibungskoeffizient’<br />

bezeichnet. Berechnet man die tiefengemittelte Strömungsgeschwindigkeit dabei mit der<br />

Formel von Nikuradse für die Sohlschubspannung, so ergibt sich die Darstellung<br />

q S = e b ln 12h<br />

k s<br />

κ<br />

1<br />

√<br />

cos β (tan φ − tan β) ϱ (ϱS − ϱ) g<br />

τ 3/2<br />

B<br />

(3.2)<br />

Die Transportkapazitätsformel von Bagnold weist keinen Schwellwert für den Bewegungsbeginn<br />

auf, weil Bagnold annimmt, daß immer kinetische Strömungsenergie in die Sohle transferiert<br />

wird, was sicher nicht der Fall ist. Die resultierenden Geschiebetransportraten (Abbildung<br />

3.9) sind zudem von der Wassertiefe abhängig. Bemerkenswert sind ferner die Abhängigkeiten<br />

von der Sediment- <strong>und</strong> der Wasserdichte, die denen in der Formel von Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller<br />

entsprechen.<br />

3.1.6 Berechnung nach Engel<strong>und</strong>-Hansen (1967)<br />

Das Transportmodell nach Engel<strong>und</strong>-Hansen basiert auf einer Energiebetrachtung für die Gesamtfracht,<br />

es berechnet also nicht nur den Geschiebe-, sondern auch den Schwebstofftransport.<br />

Ausgegangen wird von der Annahme, daß das Sediment über Bodenkörper wie Riffel


50 KAPITEL 3. DER TRANSPORT GLEICHFÖRMIGEN GESCHIEBES<br />

oder Dünen mit einer charakteristischen Höhe ∆ <strong>und</strong> einer Länge λ hinwegtransportiert wird.<br />

Die dazu erforderliche Energie (pro Zeit <strong>und</strong> Länge) zum Anheben auf die Höhe ∆ ist<br />

Die Strömung leistet dazu die Arbeit<br />

(ϱ S − ϱ) gq S ∆.<br />

α 1 (τ ′ B − τ c ) u ∗ λ<br />

an der Sedimentfracht. Gleichsetzen ergibt sofort<br />

q S = α 1 (τ ′ B − τ c ) u ∗ λ<br />

(ϱ S − ϱ) g∆<br />

Empirische Analysen liefern einen konstanten Zusammenhang zwischen Länge <strong>und</strong> Höhe der<br />

Transportkörper am Boden in der Form<br />

λf<br />

∆ = const.<br />

wobei der Reibungsbeiwert f das doppelte des Taylorbeiwertes ist. Damit wird die Transportrate<br />

zu:<br />

q S = α 2<br />

f<br />

(τ ′ B − τ c) u ∗<br />

(ϱ S − ϱ) g = α 2<br />

f (θ′ − θ c ) u ∗ d<br />

Der entscheidende Zusammenhang besteht nun darin, von der am Korn wirkenden Sohlschubspannung<br />

auf die Schleppspannung überzugehen. Dazu sei die dimensionslose Schleppspannung<br />

mit θ bezeichnet. Sie wächst mit der tatsächlichen Sohlschubspannung durch die vermehrte<br />

Turbulenzintensität <strong>und</strong> durch den Aufbau von Riffeln <strong>und</strong> Dünen. Engel<strong>und</strong> <strong>und</strong> Hansen<br />

nehmen hier den Zusammenhang<br />

an <strong>und</strong> bekommen für die Transportkapazität:<br />

θ ′ − θ c =0.4θ 2<br />

q S = α 3<br />

f θ2 u ∗ d<br />

An dieser Stelle fließen wieder verschiedene empirische Ergebnisse in die Formel ein, so daß<br />

nach van Rijn die Enddarstellung<br />

ergibt.<br />

q S =0.05<br />

( ) 2<br />

ϱ u 5<br />

√ (3.3)<br />

ϱ S − ϱ gd50 C 3


3.1. DIE SEDIMENTTRANSPORTKAPAZITÄT 51<br />

"<br />

! #<br />

6 H = I F H J+ = F = ? EJO I <br />

!<br />

#<br />

<br />

#<br />

<br />

#<br />

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@ <br />

@ <br />

@ <br />

<br />

" $ & " $ & <br />

- BB* A @ 5 D A = H 5 JH A I I 2 = <br />

Abbildung 3.10: Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität nach Engel<strong>und</strong> <strong>und</strong> Fredsøe in Abhängigkeit<br />

von der effektiven Sohlschubspannung für verschiedene Korndurchmesser.<br />

3.1.7 Der Transport einer Kornschicht: Engel<strong>und</strong>-Fredsøe (1976)<br />

Bei dem Vergleich des Bewegungsbeginns nach der Coulombschen Beziehung für die innere<br />

Reibung mit den empirischen Werten nach Shields fällt auf, das erstere bei der Annahme der<br />

Bewegung einer Kornschicht die kritische Schubspannung schon überschätzt, in der Realität<br />

also weniger als eine Kornlage in Bewegung gesetzt wird.<br />

Engel<strong>und</strong> <strong>und</strong> Fredsøe [17] verwenden diese Annahme als Ausgangspunkt zur Entwicklung<br />

ihrer Transportformel. Sie betrachten das Volumen eines bewegten Partikels πd 3 /6. Dieses<br />

nimmt bei seiner Bewegung die Breite d ein <strong>und</strong> bewegt sich vollständig über eine gedachte<br />

Linie in der Zeit d/u b , wenn u b seine Bewegungsgeschwindigkeit ist. Durch eine Wahrscheinlichkeit<br />

p ∈ [0, 1] kann man schließlich die Tatsache einbeziehen, daß sich weniger als eine<br />

Kornlage bewegen kann. Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität ist also:<br />

q S = π 6 d3 p u b<br />

d 2 = π 6 dpu b<br />

Dieser sicherlich richtige Ansatz prognostiziert auf den ersten Blick also eine <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität,<br />

die mit dem Korndurchmesser steigt. Dies widerspricht den experimentellen<br />

Ergebnissen von Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller. Es ist also zu vermuten, daß die Bewegungsgeschwindigkeit<br />

u b der Kornlage eine umgekehrte Proportionalität vom Korndurchmesser enthalten<br />

sollte. Diese leiten die Autoren aus einer Kräftebetrachtung ab, die wir uns hier ersparen<br />

wollen. Das Ergebnis lautet:


52 KAPITEL 3. DER TRANSPORT GLEICHFÖRMIGEN GESCHIEBES<br />

⎛<br />

⎞ ( √ )<br />

θc<br />

τc<br />

u b = u ∗ α ⎝1 − 0.7√<br />

⎠ = u ∗ α 1 − 0.7 = √ α ( √ τ B − 0.7 √ τ c )<br />

θ<br />

τ B ϱ<br />

wobei α für Sand den Wert 9.3 annehmen soll. Der Korndurchmesser fließt hier nur in die kritische<br />

Schubspannung des Bewegungsbeginns ein, erscheint aber nicht explizit als irgendeine<br />

(gebrochene) Potenz. Dies führt dazu, daß der <strong>Sedimenttransport</strong> nach der so konstruierten<br />

Formel<br />

q S =9.3 π 6 dp √ 1 ( √ τ B − 0.7 √ τ c )<br />

ϱ<br />

zwar für kleinere Körner früher beginnt, die größeren Körner bei höheren Schubspannungen<br />

aber weitaus höhere Transportkapazitäten erzielen (siehe Abbildung 3.10). Doch bevor wir zu<br />

einer abschließenden Verurteilung kommen, soll noch angegeben werden, der wievielte Teil p<br />

einer Kornlage laut Engel<strong>und</strong> <strong>und</strong> Fredsøe transportiert wird:<br />

⎛<br />

p = ⎝1+<br />

( ) ⎞ 4<br />

0.51π/6<br />

⎠<br />

θ − θ c<br />

Wir wollen diese Formel nicht zur Berechnung des <strong>Sedimenttransport</strong>es verwenden, da sie den<br />

empirischen Ergebnissen widerspricht. Dennoch ist der gewählte Ansatz nicht falsch, er krankt<br />

jedoch an der Bestimmung der Partikelgeschwindigkeit.<br />

−1/4<br />

3.1.8 Die Empirie der Sprünge: Van Rijn (1984)<br />

Leo van Rijn geht davon aus, daß der Transport als Geschiebe im Wesentlichen in Form von<br />

Sprüngen stattfindet. Die Geschiebetransportkapazität ist dann so etwas wie das Produkt aus<br />

der mittleren Horizontalgeschwindigkeit u b bei den Sprüngen, der mittleren Sprunghöhe δ b<br />

<strong>und</strong> den Volumenanteil n b der springenden Körnchen auf mittlerem Sprunghöhenniveau:<br />

q S = u b δ b n b<br />

Van Rijn hat die Ergebnisse von verschiedenen experimentellen Arbeiten auf empirische Zusammenhänge<br />

für die Einzelgrößen untersucht. Für die mittlere Sprunghöhe schlägt er die<br />

Beziehung<br />

vor, wobei<br />

δ b<br />

d =0.3D0.7 ∗ T 0.5<br />

T = τ ′ B − τ c<br />

τ c<br />

(3.4)


3.1. DIE SEDIMENTTRANSPORTKAPAZITÄT 53<br />

<br />

<br />

@ <br />

6 H = I F H J+ = F = ? EJO I <br />

&<br />

$<br />

"<br />

@ <br />

@ <br />

<br />

<br />

@ # <br />

@ <br />

" $ & " $ & <br />

- BB* A @ 5 D A = H 5 JH A I I 2 = <br />

Abbildung 3.11: Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität nach van Rijn in Abhängigkeit von der effektiven<br />

Sohlschubspannung für verschiedene Korndurchmesser.<br />

der dimensionslose Schubspannungsparameter ist, der die kritische Schubspannung nach<br />

Shields τ c <strong>und</strong> die effektive Bodenschubspannung τ ′ B beinhaltet. Die mittlere Horizontalgeschwindigkeit<br />

sei<br />

u b<br />

√ (<br />

ϱs<br />

ϱ − 1) gd<br />

=1.5T 0.6<br />

<strong>und</strong> der Volumenanteil der springenden Körnchen am Gesamtvolumen ist:<br />

Zusammen ergibt sich die Transportformel<br />

n b<br />

n 0<br />

=0.18 T D ∗<br />

mit n 0 =0.65<br />

q S = α<br />

√<br />

ϱS − ϱ<br />

ϱ<br />

gd 3 50D −0.3<br />

∗ T β (3.5)<br />

mit den Parametern α =0.053 <strong>und</strong> β =2.1. Sie gibt allerdings nur für T ≤ 3 gute Ergebnisse.<br />

Bei größeren Sohlschubspannungen überschätzt sie die Transportkapazitäten. Deshalt werden<br />

für T>3 die Parameter α =0.1 <strong>und</strong> β =1.5 verwendet. Nach Einsetzen aller Abhängigkeiten<br />

gibt van Rijn die Näherungsformel


54 KAPITEL 3. DER TRANSPORT GLEICHFÖRMIGEN GESCHIEBES<br />

(<br />

) 2.4 ( ) 1.2<br />

u − u c<br />

d50<br />

q S =0.005uh<br />

(3.6)<br />

((ϱ S /ϱ − 1)gd 50 ) 0.5 h<br />

an.<br />

Im Vergleich zu der Formel von Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller liefert van Rijn teilweise um eine<br />

Faktor fünf bis zehn geringere Transportkapazitäten.<br />

Ein Problem den Ansatzes von van Rijn ist die Fallunterscheidung bezüglich der dimensionslosen<br />

Sohlschubspannung, die, wie Abbildung 3.11 sehr deutlich zeigt, zu Knicken in den Graphen<br />

der Transportkapazität führt. Diese erscheinen jetzt zwar unwesentlich zu sein, wenn wir<br />

später aber auch Ableitungen der Transportkapazität nach der Sohlschubspannungen benötigen,<br />

werden diese zu nicht mehr hinnehmbaren Unstetigkeiten. Der Autor empfiehlt daher,<br />

den Fall T > 3 auf den ganzen Wertebereich auszudehnen, wodurch der in Abbildung 3.11<br />

betrachtete Wertebereich lediglich für die 10 mm große Fraktion zu leicht erhöhten Transportkapazitäten<br />

führt.<br />

3.2 Gesamtfracht im Flussquerschnitt<br />

Zur Bilanzierung der Sedimentfracht in Flüssen muß man die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität über<br />

den Fließquerschnitt integrieren. Sei n eine Achse senkrecht zur Flußachse, B r <strong>und</strong> B l die<br />

Koordinaten des rechten <strong>und</strong> linken Ufers, dann ist die Gesamtfracht<br />

Q S =<br />

∫B r<br />

B l<br />

q S dn<br />

Die Gesamtfracht hat die Einheit m 3 /s), sie ist eigentlich ebenfalls nur eine Transportkapazität.<br />

Sie bestimmt den Abtransport der von der Erdoberfläche erodierten Sedimente mit den Flüssen<br />

über die Ästuare in die Küstengewässer.<br />

Wir wollen nun untersuchen, wie diese Gesamtfracht Q S vom (Wasser-)Abfluss Q abhängig<br />

ist, da diese zentrale hydrologische Größe für die meisten Fließgewässer sehr gut bekannt ist.<br />

Hier haben wir durch Abbildung ?? schon Vorarbeit geleistet <strong>und</strong> können die Sohlschubspannung<br />

nun zur Berechnung der Transportkapazitäten verwenden.<br />

Abbildung 3.12 zeigt diese für unseren Fluß mit rechteckförmigem Querschnitt.<br />

3.3 Zusammenfassung <strong>und</strong> Wertungen<br />

Der Beginn der Sedimentbewegung wird durch die Shieldskurve beschrieben. Die kleinsten<br />

Sedimentpartikel beginnen ab ca. 0.15 N/m 2 zu bewegen, Kies erst ab 2 N/m 2 .<br />

Zur Berechnung der Geschiebefracht gibt es eine Vielzahl von mehr oder weniger empirischen<br />

Formeln. An dieser Stelle ist daher insbesondere theoretischer <strong>und</strong> numerischer Forschungsbedarf<br />

zu sehen. So hat Hoyme [26] die besten Ergebnisse für ein morphodynamisches Modell<br />

der Meldorfer Bucht mit der Transportformel von Engel<strong>und</strong>-Hansen erzielt, während die von<br />

Einstein, Bagnold <strong>und</strong> van Rijn viel zu geringe Umlagerungen produzierten.


3.4. ÜBUNGEN 55<br />

$ <br />

" <br />

<br />

. A I JI J BBJH = I F H JH = JA 3 5 <br />

$ J = D H <br />

<br />

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* <br />

* <br />

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<br />

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) > BK A C A 3 I <br />

Abbildung 3.12: Sedimentfracht eines um 1:10000 geneigten, groben Sand führenden kanalartigen<br />

Fluesses berechnet nach Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller in Abhängigkeit von Oberwasser.<br />

Der Autor dieser Schrift empfiehlt jedoch gr<strong>und</strong>sätzlich die Verwendung von Schwellwertformeln,<br />

da diese das tatsächliche Geschehen am ehesten treffen. Scheint in der Natur ein Transport<br />

weit unterhalb des Schwellwertes stattzufinden, so sollte nach zusätzliche Belastungen,<br />

wie etwa dem Seegang, geschaut <strong>und</strong> diese im Bewegungsbeginn berücksichtigt werden.<br />

3.4 Übungen<br />

1. Ein 10 m tiefer Fluss mit einer ebenen, um 2 Promille geneigten Sohle aus Feinsand<br />

( d 50 = 0.1 mm, d 90 = 0.2 mm, ϱ S = 2650 kg/m 3 ) werde von einer tiefengemittelten<br />

Strömungsgeschwindigkeit von 1 m/s durchströmt.<br />

(a) Berechnen Sie den Shieldsparameter θ c <strong>und</strong> die kritische Schubspannung des Bewegungsbeginns<br />

τ c .<br />

(b) Berechnen Sie die Kornrauheit <strong>und</strong> die Sohlschubspannung nach Nikuradse.<br />

(c) Berechnen Sie die Geschiebetransportkapazität nach Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller.<br />

(d) Berechnen Sie die Geschiebetransportrate nach Einstein.<br />

(e) Berechnen Sie die Geschiebetransportkapazität nach Bagnold.<br />

(f) Berechnen Sie die Geschiebetransportkapazität nach van Rijn.


56 KAPITEL 3. DER TRANSPORT GLEICHFÖRMIGEN GESCHIEBES<br />

(g) Berechnen Sie die Geschiebetransportkapazität Q S , wenn der Fluß einen Rechteckquerschnitt<br />

der Breite 1000 m habe. Die Reibung der Strömung an den lateralen Rändern<br />

sei wieder vernachlässigt.<br />

2. Ein rechteckförmiger Priel von 20 m Breite <strong>und</strong> einem Meter Wassertiefe führt bei Ebbe<br />

pro Sek<strong>und</strong>e 10 Kubikmeter Wasser ab. Die feinsandige Prielsohle (d 90 = 0.1 mm) weist<br />

keinerlei Sohlformen auf <strong>und</strong> wird ab einer kritischen Schubspannung von 0.1 N/m 2<br />

erodiert.<br />

(a) Wie groß ist die Sohlschubspannung nach Nikuradse ?<br />

(b) Wie tief würde sich der Priel in den Wattboden eingraben, wenn sich seine Breite<br />

nicht ändert ?<br />

(c) Wie breit wird der Priel werden, wenn sich seine Tiefe nicht ändert ?


Kapitel 4<br />

Die Feststoffbilanz im Flusslängsprofil<br />

Im strengen Sinne des Wortes beschäftigt sich <strong>Morphodynamik</strong> mit der zeitlichen Änderung<br />

von morphologischen Strukturen, d.h. der Gestalt der Dinge. Damit sich irgendwo eine physische<br />

Struktur ändert, müssen Massen verschoben werden. Die <strong>Morphodynamik</strong> ist daher eng<br />

mit den Bewegungsgesetzen von Massen verb<strong>und</strong>en. Da Masse (in den Geltungsbereichen der<br />

klassischen Mechanik) in einem geschlossenen System weder verloren geht noch gewonnen<br />

wird, gibt es für sie Erhaltungssätze, aus denen man die Bilanzgleichungen der Massen auch<br />

für nichtgeschlossene Teilsysteme ableiten kann.<br />

Die Gestalt eines Fließgewässers wird durch die Sohlfläche bestimmt, sie trennt die Hydrovon<br />

der Lithosphäre. Ihre Veränderungen, d.h. die <strong>Morphodynamik</strong> des Gewässers im eigentlichen<br />

Sinne werden durch die Bilanzierung der sich unter ihr bewegenden Bodenmassen bestimmt.<br />

Für die bewegten Volumina haben wir verschiedene Geschiebetransportformeln kennengelernt,<br />

die wir nun im Flusslängsschnitt bilanzieren wollen.<br />

Die erwähnten Bilanzierungen sind eng mit einer mathematischen Operation aus der Differentialgeometrie<br />

verb<strong>und</strong>en, die man als Divergenz bezeichnet. Ihre theoretische Bedeutung<br />

sowie der praktische Umgang mit ihr soll in diesem Kapitel vertieft <strong>und</strong> geübt werden.<br />

9 = I I A HI K A<br />

* A M A C E? D A I 5 A @ E A J<br />

5 N O J<br />

*<br />

N O J<br />

4<br />

N O <br />

D N O J<br />

D 5<br />

N O J<br />

H<br />

G K D<br />

G H <br />

5 K 5 D 5<br />

= I I EL A I / A I JA E<br />

Abbildung 4.1: Bezeichnungen für die Vertikalstruktur von Boden <strong>und</strong> Wassersäule.<br />

57


58 KAPITEL 4. DIE FESTSTOFFBILANZ IM FLUSSLÄNGSPROFIL<br />

4.1 Die Bilanzierung der Transportkapazitäten<br />

Nachdem wir unterschiedliche Verfahren zur Berechnung der Geschiebetransportkapazitäten<br />

kennengelernt haben, erhebt sich die Frage, mit welchen Änderungen der Sohle diese verb<strong>und</strong>en<br />

ist. Dabei ist schnell klar, daß auch sehr große Transportkapazitäten dann zu keiner<br />

Änderung der Sohllage führen, wenn die Geschiebefrachten im Flußlauf immer vollständig<br />

weitergereicht werden. Sohländerungen kommen also erst dann zustande, wenn in einem bestimmten<br />

Gebiet mehr Sedimente eingetragen als abtransportiert werden oder umgekehrt.<br />

Die Differenz von eingetragener <strong>und</strong> ausgetragener Feststofffracht gibt also an, wieviel Kubikmeter<br />

Feststoff pro Sek<strong>und</strong>e im Betrachtungsraum verbleiben. Gehen wir davon aus, daß<br />

sich dieser gleichmäßig im Betrachtungsgebietes verteilt, dann führt die Division durch die<br />

Gr<strong>und</strong>fläche A des Betrachtungsgebietes zur zeitlichen Änderung der Sohllage z B :<br />

∂z B<br />

∂t<br />

= Qein S<br />

− Q aus<br />

S<br />

A<br />

Für ein Gewässer mit rechteckförmigem Querschnitt, dessen Breite aber in Hauptströmungsrichtung<br />

durchaus variabel sein darf, ergibt sich<br />

∂z B<br />

∂t<br />

= qein S<br />

B ein − q aus<br />

S B aus<br />

A<br />

Die Sohle ändert sich also immer dann, wenn die <strong>Sedimenttransport</strong>verhältnisse in diesem<br />

Teilgebiet nicht ausgeglichen sind.<br />

Betrachten wir hierzu nochmal die Abbildung 3.12. Sie macht deutlich, daß bei konstantem<br />

Wasserabfluß die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazitäten in breiten Querschnitten geringer als in engen<br />

sind. Wir haben in natürlichen oder künstlichen Flußverengungen also mit Erosionsstrecken<br />

zu rechnen, während Aufweitungen Sedimentationsräume sein können.<br />

In unserem Flußbeispiel aus Abbildung 3.12 bildet sich bei einer Verengung von 200 m auf<br />

150 m sich eine Transportkapazitätendifferenz von 0.0004 m 3 /s aus. Findet diese Verengung<br />

auf einer 10 km langen Flussstrecke statt, dann hat die trapezförmige Gr<strong>und</strong>fläche einen Inhalt<br />

von 1 750 000 m 2 . Dies gibt eine Erosionsrate von nur 0.571 Mikrometern pro Sek<strong>und</strong>e. Über<br />

das Jahr entspricht dies allerdings einer Erosionstiefe von 18 m.<br />

Das Zahlenbeispiel zeigt, daß wir es in der <strong>Morphodynamik</strong> bezogen auf die SI-Zeiteinheit<br />

Sek<strong>und</strong>e mit sehr kleinen Zahlen zu tun haben, die über den Zeitraum von Jahren allerdings<br />

zu erheblicher Größe anwachsen.<br />

Wir wollen nun annehmen, daß Peilungen in unserem Betrachtungsgebiet zeigen, daß das Material<br />

nicht gleichmäßig sondern nur in gewissen Teilbereichen erodiert wird. Um die Ursachen<br />

hierfür zu bestimmen, ist das Betrachtungsgebiet in Teilgebiete zu zerlegen <strong>und</strong> über<br />

deren Grenzen sind wieder die Transportkapazitäten zu bestimmen <strong>und</strong> zu bilanzieren. Bei<br />

zunehmendem Verfeinerungsgrad deckt das Bilanzierungsgebiet u.U. nicht mehr den ganzen<br />

Flußquerschnitt ab, so daß zusätzliche Außenkanten entstehen. Für ein Bilanzierungsgebiet<br />

mit beliebig vielen Grenzen bekommen wir dann die allgemeine Beziehung<br />

∂z B<br />

∂t<br />

= ∑ i<br />

q Si l i<br />

A


4.1. DIE BILANZIERUNG DER TRANSPORTKAPAZITÄTEN 59<br />

für die Evolution der Sohle, wobei eintragende <strong>Sedimenttransport</strong>kapazitäten jeweils ein positives<br />

Vorzeichen bekommen. Für zwei benachbarte Bilanzierungsteilstücke hat dies zur Folge,<br />

daß der durch die gemeinsame Kante gehende Sedimentfluß einmal positiv <strong>und</strong> einmal negativ<br />

bilanziert werden muß. Tatsächlich ist die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität aber eine vektorielle<br />

Größe, die eine eigenständige Richtung <strong>und</strong> einen Betrag hat. Um dennoch das richtige Vorzeichen<br />

in die Bilanzierung zu bekommen, benötigen wir den Normaleneinheitsvektor ⃗n, ein<br />

Instrument aus der Differentialgeometrie. Er steht immer senkrecht auf der Außenkante oder<br />

Außenfläche einer geometrischen Struktur <strong>und</strong> hat die Länge eins. Damit wird das Produkt<br />

aus Normaleneinheitsvektor <strong>und</strong> einem beliebigen Fluß q⃗<br />

Si ⃗n immer positiv, wenn er aus dem<br />

Bilanzierungsgebiet hinausweist <strong>und</strong> negativ, wenn er in das Gebiet hineinweist. Betrachten<br />

wir die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität also als eigenständige vektorielle Größe, dann wird die<br />

Bilanzierungsgleichung zu:<br />

∂z B<br />

∂t<br />

= − ∑ i<br />

q⃗<br />

Si ⃗n i l i<br />

A<br />

Zur praktischen Berechnung der Sohländerung in den Teilbereichen zerlegt man die Zeit in<br />

einzelne Zeitpunkte. Dann wird die Zeitableitung durch eine endliche Differenz der Werte an<br />

zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten zB n ersetzt:<br />

<strong>und</strong> zn+1 B<br />

z n+1<br />

B<br />

− zB<br />

n<br />

∆t<br />

= − ∑ i<br />

q⃗<br />

Si ⃗n i l i<br />

A<br />

Kennt man die Lage der Anfangssohle zu einem Zeitpunkt t 0 , kann man dann sukzessive die<br />

Änderung der Sohle an jedem neuen Zeitpunkt bestimmen.<br />

Will man die tatsächliche Sohländerung an einem bestimmten Ort erhalten, dann muß man das<br />

Bilanzierungsgebiet um diesen Ort unendlich klein wählen. Für diesen Grenzwertprozess der<br />

Bilanzierungen hat die Mathematik einen eigenen Operator geschaffen. Die Divergenz eines<br />

Vektorfeldes ⃗q S ist definiert als<br />

∑ q⃗<br />

Si ⃗n i l i<br />

div ⃗q S := lim<br />

A→0<br />

i<br />

A<br />

womit wir für die Sohländerung an einem bestimmten Ort die Gleichung<br />

∂z B<br />

∂t + div ⃗q S =0<br />

erhalten. Sie besitzt allerdings nur einen theoretischen Wert, da der in ihr enthaltene Grenzwertprozess<br />

zu unendlich kleinen Bilanzierungsgebieten natürlich nicht auswertbar ist.<br />

Wir wollen zu guter Letzt noch studieren, was passiert, wenn wir die Divergenz auf einem<br />

achsenparallelen Rechteck der Gr<strong>und</strong>fläche A = ∆x∆y berechnen. Für eine zur y-Achse<br />

parallele Kante ist der Normaleneinheitsvektor dann in bzw. entgegengesetzt zur x-Richtung<br />

orientiert, auf dieser Kante ist also ⃗q S ⃗n i = q S x <strong>und</strong> die Länge der Kante ist l i =∆y:


60 KAPITEL 4. DIE FESTSTOFFBILANZ IM FLUSSLÄNGSPROFIL<br />

∑ q⃗<br />

Si ⃗n i l i<br />

div ⃗q = lim<br />

A→0<br />

i<br />

A<br />

( ∆qx ∆y<br />

= lim<br />

∆x∆y→0 ∆x∆y + ∆q )<br />

y∆x<br />

∆x∆y<br />

( ∆qx<br />

= lim<br />

∆x∆y→0 ∆x + ∆q )<br />

y<br />

∆y<br />

Somit erhalten wir die alternative Definition der Divergenz im zweidimensionalen:<br />

div ⃗q = ∂q x<br />

∂x + ∂q y<br />

(4.1)<br />

∂y<br />

Eine Änderung der Sohle wird also immer dann erfolgen, wenn die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazitäten<br />

an einem Punkt nicht ausgewogen ist.<br />

4.2 Abrasion <strong>und</strong> das Längsprofil eines Flusses<br />

Wir wollen herausfinden, ob uns die Feststoffbilanzen etwas über das Längsprofil eines Flusses<br />

erzählen. Dazu untersuchen wir die Bedingungen, unter denen ein Fließgewässer morphodynamisch<br />

stabil ist, also keine zeitliche Änderung der Sohlhöhe aufweist. In diesem Fall gilt für<br />

die Sedimentbilanz<br />

div ⃗q S =0<br />

oder, wenn der Flussverlauf etwa geradlinig ist <strong>und</strong> durch die x-Achse beschrieben wird:<br />

∂q S<br />

∂x =0<br />

Dies bedeutet, daß sich die Geschiebetransportkapazität im Verlauf des Flusses konstant sein<br />

muß, damit die Sohle morphodynamisch stabil ist.<br />

Nehmen wir für die Geschiebetransportkapazität die Formel von Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller, dann<br />

bedeutet dies<br />

(<br />

∂q s<br />

∂x = 12<br />

ϱ 1/2 (ϱ S − ϱ)g (τ B − τ c ) 1/2 ∂τB<br />

∂x − ∂τ )<br />

c<br />

=0<br />

∂x<br />

<strong>und</strong>, wenn wir annehmen, daß in diesem Fluss auch Sedimente transportiert werden (τ B >τ c ),<br />

dann wird diese Bedingung nur für<br />

∂τ B<br />

∂x = ∂τ c<br />

∂x


4.2. ABRASION UND DAS LÄNGSPROFIL EINES FLUSSES 61<br />

Gesteinsart Abriebkoeffizient a in km -1<br />

Triaskalk (grau) 0.003 - 0.005<br />

Marmor (Treuchtlingen) 0.006 - 0.008<br />

Kalkstein (Flysch) 0.003 - 0.006<br />

Sandstein (Flysch) 0.004 - 0.009<br />

Dolomit (hell) 0.003 - 0.012<br />

Quarzit (rauhe Oberfläche) 0.002 - 0.004<br />

Verkieselte Kalk- <strong>und</strong> Sandsteine 0.002 - 0.005<br />

Tabelle 4.1: Aus Trommelversuchen gef<strong>und</strong>ene Abriebkoeffizienten.<br />

erfüllt. Der Fluss zeigt trotz Geschiebetransports dann keine Änderung des Sohlprofils, wenn<br />

der Gradient der Sohlschubspannung exakt gleich dem der kritischen Schubspannung des Bewegungsbeginns<br />

ist. Besteht die Sohle überall aus gleichförmigem Sohlmaterial mit konstanter<br />

kritischer Schubspannung für den Bewegungsbeginn, dann muß auch die Sohlschubspannung<br />

über den gesamten Flussverlauf konstant bleiben, was recht unwahrscheinlich ist.<br />

Tatsächlich ändert sich die kritische Schubspannung für den Bewegungsbeginn aber im<br />

Flussverlauf, weil die Partikel auf ihrem Weg flussabwärts zerkleinert werden. In den<br />

Oberläufen findet man noch Blockwerk <strong>und</strong> Kies, welches bei Niedrigwasser aus dem Wasser<br />

herausragt, durch wechselnde Feuchte <strong>und</strong> Temperaturen verwittert <strong>und</strong> zerfällt. In den Mittel<strong>und</strong><br />

Unterläufen werden die Körner durch Stöße mechanisch zerrieben, wobei der Abrieb als<br />

Schwebstoff oder in gelöster Form weitertransportiert wird. Diesen Prozess bezeichnet man<br />

als Abrasion.<br />

Der Abrieb der Partikel, d.h. ihr Gewichtsverlust ist proportional zum Gewicht der Partikel<br />

selbst, weil mit diesem die Stoßenergie steigt. Die Veränderung der Partikelmasse m P bzw.<br />

des Partikelgewichts m P g wird also durch die gewöhnliche Differentialgleichung<br />

∂m P g<br />

∂x<br />

= −am P g<br />

beschrieben. Geht man nun davon aus, daß die Partikelmasse proportional zur dritten Potenz<br />

des Partikeldurchmessers d ist, dann folgt:<br />

∂d 3<br />

∂x = −ad3 ⇒ 3d 2 ∂d<br />

∂x = −ad3 ⇒ ∂d<br />

∂x = −1 3 ad<br />

Die Lösung der letzten Differentialgleichung ist die Exponentialfunktion in der Form:<br />

d(x) =d 0 e − 1 3 ax<br />

Dieses Gesetz für den Geschiebeabrieb wurde von Sternberg 1875 entdeckt. Für den Geschiebeabriebskoeffizienten<br />

a soll die Tabelle 4.1 (aus [60]) Anhaltswerte geben.<br />

Damit ändert sich durch den Abrieb auch die kritische Schubspannung des Bewegungsbeginns<br />

in Flussrichtung. Wenn man den Shieldsparameter als konstant annimmt, dann ist die Änderung:


62 KAPITEL 4. DIE FESTSTOFFBILANZ IM FLUSSLÄNGSPROFIL<br />

∂τ c<br />

∂x ≃ θ c (ϱ S − ϱ) g ∂d(x)<br />

∂x<br />

Berechnet man die Sohlschubspannung mit der Schleppspannungsbeziehung, nimmt die Wassertiefe<br />

als konstant an <strong>und</strong> geht davon aus, daß sich der Wasserspiegelgradient auf der regionalen<br />

Ebene nur unwesentlich von der Sohlneigung unterscheidet, dann wird deren Änderung<br />

zu:<br />

∂τ B<br />

∂x = z B<br />

−ϱgh∂2 ∂x 2<br />

= θ c (ϱ S − ϱ) g ∂d(x)<br />

∂x<br />

Durch die Integration über x fallen auf beiden Seiten eine Ableitung weg, wenn alle anderen<br />

Größen konstant sind:<br />

−ϱgh ∂z B<br />

∂x = θ c (ϱ S − ϱ) gd(x) =θ c (ϱ S − ϱ) gd 0 e − 1 3 ax<br />

Damit bekommt man für das Sohlgefälle einen exponentialförmig abnehmenden Verlauf:<br />

∂z B<br />

∂x = −θ ϱ S − ϱ d 0 1<br />

c<br />

ϱ h e− 3 ax<br />

Das Gefälle ist im Oberlauf also sehr steil, <strong>und</strong> nimmt dann im Unterlauf stark ab. Durch eine<br />

weitere Integration zwischen dem Ausgangsort x =0im Oberstrom, an dem der Partikeldurchmesser<br />

den Wert d 0 besitzt,<br />

bekommt man für das Längsprofil des Flusses:<br />

∫ x<br />

0<br />

∫<br />

∂z B<br />

∂x dx = −θ ϱ S − ϱ d x<br />

0<br />

c<br />

e − 1 3 ax dx<br />

ϱ h<br />

0<br />

z B (x) =z B,0 − 3θ c<br />

a<br />

ϱ S − ϱ d ( 0 1 − e<br />

− 1 ax) 3<br />

ϱ h<br />

Geht man davon aus, daß der Fluss nach unendlicher Lauflänge (x →∞) das Meeresspiegelniveau<br />

(z B =0) erreicht haben sollte, dann folgt:<br />

z B,0 = 3θ c<br />

a<br />

<strong>und</strong> somit für das Flussprofil die einfache Funktion:<br />

ϱ S − ϱ d 0<br />

ϱ h<br />

z B (x) =z B,0 e − 1 3 ax<br />

Diese Funktion ist in Abbildung 4.2 für verschiedene Abriebkoeffizienten dargestellt. Man<br />

sieht, daß die Sohlhöhe erst nach h<strong>und</strong>erten bis tausenden Kilometern auf ein zehntel ihres Anfangswertes<br />

gefallen ist. Selbst die größten Ströme der Erde haben keine solchen Lauflängen.


4.3. DIE SEDIMENTTRANSPORTRATE 63<br />

1<br />

0,9<br />

0,8<br />

a=0.012/km<br />

a=0.006/km<br />

a=0.002/km<br />

Sohlhöhe/Quellhöhe<br />

0,7<br />

0,6<br />

0,5<br />

0,4<br />

0,3<br />

0,2<br />

0,1<br />

0<br />

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000<br />

Lauflänge [km]<br />

Abbildung 4.2: Längsprofil eines Flusses im Gleichgewicht.<br />

Dies bedeutet allerdings nur, daß das Flussprofil erst bei wesentlich kleineren Sohlneigungen,<br />

als sie in unseren Landschaften vorhanden sind, in einem morphologischen Gleichgewicht<br />

befinden würden.<br />

Im Gegensatz zu der Abbildung wird der Ursprung des Längsprofils nicht durch die Höhenlage<br />

der Quelle, sondern an seinem unteren Ende durch die Erosionsbasis des Flusses gesteuert.<br />

Das ist dasjenige Niveau, bei dem er in einen größeren, stehenden Wasserkörper mündet, beispielsweise<br />

einen Binnensee oder einen Ozean, <strong>und</strong> damit als Fluss endet. Flüsse können sich<br />

nicht tiefer als ihre Erosionsbasis einschneiden, denn die Erosionsbasis ist gewissermaßen der<br />

Hangfuß, die untere Grenze des Längsprofils [51].<br />

So zeigen die meisten Flüsse in ihrem Oberlauf, wo die Sohlneigung viel höher als die Gleichgewichtsneigung<br />

ist, eine Tendenz zur Tiefenerosion. Das abgetragene Material wird in den<br />

Unterläufen abgelagert, wo die Sohlneigung eher im Gleichgewicht ist.<br />

Abschließend sei noch einmal herovrgehoben, daß der hier diskutierte Zusammenhang zwischen<br />

Abrasion <strong>und</strong> Flusslängsprofil nicht naheliegend ist: Der sich auf der Skala des einzelnen<br />

Partikels abspielende Prozess determiniert ein Gewässermerkmal auf der kontinentalen<br />

Ebene.<br />

4.3 Die <strong>Sedimenttransport</strong>rate<br />

Die Bestimmung der <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität erfolgte immer unabhängig davon, wieviel<br />

<strong>und</strong> ob überhaupt Sediment am Boden vorhanden ist. Es kann aber die Situation eintreten, daß<br />

man in einem gewissen Gebiet eine Transportkapazität berechnet, die in der Bilanz zu einer


64 KAPITEL 4. DIE FESTSTOFFBILANZ IM FLUSSLÄNGSPROFIL<br />

Entnahme von Sediment aus dem Gebiet führt, in diesem aber für den Entnahmevorgang nicht<br />

hinreichend Sediment vorhanden ist. Würde man diese zu hohe Transportkapazität z.B. in<br />

einem numerischen Modell zur Lösung der Sohlevolutionsgleichung verwenden, dann würde<br />

die Sohle sich auch dort eintiefen, wo überhaupt kein Bodensubstrat mehr vorhanden ist.<br />

Dies ist der Gr<strong>und</strong>, warum wir die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazitäten immer als Kapazitäten, d.h.<br />

Fähigkeiten bezeichnet haben, da sie nur die Fähigkeit der Strömung zum <strong>Sedimenttransport</strong><br />

bezeichnen. Um die tatsächlich bewegten Sedimentmassen davon zu unterscheiden, müssen<br />

wir also einen neuen Begriff einführen, naheliegend ist hier der Begriff <strong>Sedimenttransport</strong>rate.<br />

Solche ungesättigten Transportbedingungen treten spätesten dann auf, wenn die geodätische<br />

Höhe der Sohlfläche z B (x, y, t) auf die Höhe einer unerodierbaren Schicht z R (x, y) (R wie<br />

engl. rigid) abfällt (Abbildung 4.1). Diese Schichten können aus hochkonsolidiertem Material,<br />

aus massivem Gestein, aus künstlich oder natürlich fixiertem Boden bestehen. Die Oberfläche<br />

von Wasserbauwerken wie Leitdämmen oder Buhnen bilden ebenfalls unerodierbare Horizonte.<br />

Eine triviales Bestimmungsverfahren für die Transportrate über festen Sohlen bestünde darin,<br />

diese dort zu Null zu setzen. Dies führt allerdings zu unrealistischen Nebeneffekten, wie<br />

anhand von Abbildung 4.3 demonstriert werden soll. Dort wird der Fall eines Gewässers betrachtet,<br />

in dem die Tranportkapazität in Flußrichtung kontinuierlich steigt. In seinem Verlauf<br />

befindet sich eine Zone, in der unerodierbares Material oder ein durch Geotextilien gesicherter<br />

Boden ansteht. Im oberen Bild wird davon ausgegangen, daß dort die Transportrate zu<br />

Null gesetzt wird. Darunter ist die daraus resultierende Bodenevolutionsrate als Ableitung der<br />

Transportrate dargestellt. Vor dem nichterodierbaren Bereich entwickelt sich eine Deposition,<br />

da das mit der Strömung transportierte Material durch die zu Null gesetzte Transportrate nicht<br />

über die nichterodierbare Zone transportiert wird. Setzt man dagegen die Transportrate auf<br />

einen Wert, der das verfügbare Sediment auch weitertransportiert, so entsteht lediglich an der<br />

unterstromseitigen Grenze eine Eintiefung, was den natürlichen Verhältnissen entspricht.<br />

Wir wollen nun ein Berechnungsverfahren für die <strong>Sedimenttransport</strong>rate in Abhängigkeit von<br />

der Sedimentverfügbarkeit entwickeln. Dazu bezeichnen wir hier die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität<br />

mit q ∗ s <strong>und</strong> die <strong>Sedimenttransport</strong>rate mit q s. Da die <strong>Sedimenttransport</strong>rate immer kleiner<br />

als die Kapazität ist, können wir für sie den Ansatz<br />

q s (x) =α(x)qs ∗ (x) mit α(x) ∈ [0, 1]<br />

aufstellen. Wir multiplizieren die Kapazität mit einer Wichtungsfunktion α, die diese dort<br />

reduziert, wo Sedimentmangelbedingungen herrschen.<br />

Nehmen wir nun an, daß wir in unserem Bilanzierungselement die Sedimentmenge V sed zur<br />

Verfügung haben. In einem Zeitschritt ∆t verändert sich das Sedimentvolumen infolge der<br />

Geschiebetransportkapazität um den Betrag:<br />

∆V = −∆t ∑ i<br />

q⃗<br />

Si ⃗n i l i<br />

Unter Erosionsbedingungen ist ∆V negativ. Sedimentmangel ist also durch die Bedingung<br />

−∆V > V sed


4.3. DIE SEDIMENTTRANSPORTRATE 65<br />

Sediment transport rate<br />

q s<br />

*<br />

Bed evolution<br />

Erosion<br />

Deposition<br />

River length<br />

Sediment transport rate<br />

q s<br />

*<br />

Bed evolution<br />

Erosion<br />

Deposition<br />

River length<br />

Abbildung 4.3: Die Entwicklung eines Kolkes hinter einer fixierten Sohle.


66 KAPITEL 4. DIE FESTSTOFFBILANZ IM FLUSSLÄNGSPROFIL<br />

Maßnahme<br />

Aufstau (z.B. durch Wehr)<br />

Talsperre<br />

Lokale Verengung<br />

Lokale Aufweitung<br />

Uferwiderstandserhöhung<br />

Uferwiderstandserniedrigung<br />

Laufverkürzung<br />

Laufverlängerung<br />

Verunregelmäßigung<br />

Eindeichung<br />

Aufforstung<br />

Flächenversiegelung<br />

Morphodynamische Auswirkung<br />

Feststofffalle oberhalb des Aufstaus<br />

Erosionstendenz unterhalb des Aufstaus<br />

zusätzlich zum Aufstau:<br />

Verminderung von q S durch Vergleichmäßigung von Q<br />

Erhöhung von q S , Erosion in der Verengung<br />

Verminderung von q S , Deposition in der Verengung<br />

Verminderung von q S<br />

Erhöhung von q S<br />

Erhöhung von q S , Erosionstendenz<br />

Verminderung von q S , Deposition in der Verengung<br />

Verminderung von q S<br />

Erhöhung von q S<br />

Q wird gleichmäßiger, Verminderung von q S<br />

Q wird unregelmäßiger, Erhöhung von q S<br />

Tabelle 4.2: Morphodynamische Auswirkungen anthropogener Veränderungen auf ein Fließgewässer<br />

(nach [60])<br />

gekennzeichnet. Setzt man in einem solchen Fall auf allen Kanten, auf denen Sediment die<br />

Zelle verläßt<br />

α i = − V sed<br />

∆V<br />

dann wird lediglich die verfügbare Sedimentmenge aus der Bilanzierungszelle entnommen.<br />

Es verbleibt das Problem, wie die Transportrate stromab der unerodierbaren Zone fortzusetzen<br />

ist. Springt diese sofort auf die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität, dann würde man sehr große<br />

Gradienten <strong>und</strong> dementsprechend eine schnelle, aber lokal eng eingegrenzte Kolkentwicklung<br />

haben. Bei einem stetigen <strong>und</strong> weichen Übergang würde die Kolkentwicklung langsamer, aber<br />

über einen größeren Bereich stattfinden.<br />

4.4 Morphodynamische Reaktionen anthropogener Fließgewässeränderungen<br />

Fast alle Eingriffe des Menschen in ein Fließgewässer verändern die Feststofftransportkapazitäten<br />

<strong>und</strong> -raten mehr oder weniger stark. Hierfür sind in Tabelle 4.2 verschiedene Beispiele<br />

synoptisch dargestellt.<br />

An einem Wehr wird das Wasser oberstrom aufgestaut. Hierdurch erhöht sich dort die Wassertiefe<br />

<strong>und</strong> die Strömungsgeschwindigkeit nimmt bei gleichbleibendem Abfluss ab. Dies führt<br />

zu einer Abnahme der Sohlschubspannung <strong>und</strong> damit der <strong>Sedimenttransport</strong>rate. Gleichzeitig<br />

wirkt ein Wehr im Gegensatz zu einem Schütz als Geschiebesperre.


4.5. KOLKE 67<br />

Unterhalb des Wehres fehlt dieser Feststoff. Bleibt die Transportkapazität allerdings gleich,<br />

dann wird sich der Fluss das vorhandene Material aus der Sohle nehmen <strong>und</strong> sich in der Folge<br />

eintiefen. Bei einem Wehr muss also darauf geachtet werden, daß die Durchlässigkeit für den<br />

Feststoff in irgendeiner Form gewahrt wird.<br />

Bei der Talsperre liegen die Verhältnisse ähnlich wie bei einem Wehr. Sie dient oftmals dazu,<br />

den Abfluss Q zu vergleichmäßigen, in Zeiten großen Zuflusses diesen zu speichern <strong>und</strong> diese<br />

Wassermassen bei geringem Zufluss an den Unterlauf wieder abzugeben. Hierdurch werden<br />

dem Unterlauf Abflussspitzen genommen. Da der Feststofftransport mit höheren Sohlschubspannungen<br />

überproportional ansteigt, werden diese Spitzentransportraten abgekappt <strong>und</strong> das<br />

Feststofftransportvermögen insgesamt reduziert.<br />

Lokale Verengungen/Aufweitungen führen zu einer Erhöhung/Verminderung der Fließgeschwindigkeit<br />

<strong>und</strong> der Sohlschubspannung. Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazitäten werden dadurch<br />

ebenfalls erhöht/vermindert, wodurch mit einer Erosion/Akkumulation in der Verengungs-<br />

/Aufweitungsstrecke zu rechnen ist.<br />

Wir wollen hier nicht alle Beispiele aus Tabelle 4.2 diskutieren, dem Leser soll ja schließlich<br />

Raum bleiben, sich hier selbst zu beweisen. Interessant ist hier vielleicht noch die Eindeichung.<br />

Sie führt bei Hochwasser zu einer Bündelung des Stroms in seinem vorgegebenen Bett,<br />

während er sich ohne Eindeichung über eine weite Strecke ergießen würde. Die Eindeichung<br />

bewirkt somit eine Erhöhung des Wasserstandes als auch der Fließgeschwindigkeit, wodurch<br />

die <strong>Sedimenttransport</strong>rate im langfristigen Mittel steigt.<br />

4.5 Kolke<br />

Unter Kolken (engl. Scour) versteht man lokal begrenzte Eintiefungen des Gewässerbetts, die<br />

immer dadurch entstehen, daß die Feststoffbilanz in diesem Bereich insgesamt negativ ist.<br />

Den Fall einer Veränderung der Sohlstruktur von unbeweglichem zu beweglichem Material<br />

hatten wir schon untersucht. Man bezeichnet solche Kolke dann als Klarwasserkolke, wenn<br />

Wasser aus einem Bereich starker Sohlfestigkeit kommt <strong>und</strong> somit klar ist, in ein Bereich mit<br />

erodierbarem Sohlmaterial fließt. Der Kolk entwickelt sich dann so lange in die Tiefe, bis die<br />

Strömungsgeschwindigkeit über dem Kolk so gering ist, daß kein weiteres Material erodiert<br />

werden kann. In einem solchen Fall kann man die Wassertiefe über dem Kolk einfach aus der<br />

Bedingung für den Bewegungsbeginn<br />

ϱκ 2<br />

(<br />

ln<br />

12h<br />

ks<br />

g<br />

) 2<br />

q 2<br />

h 2 = τ c = θ c (ϱ S − ϱ) gd ⇒ h =<br />

κq √<br />

ln 12h<br />

ks<br />

g<br />

ϱ<br />

θ c (ϱ S − ϱ) gd<br />

abschätzen.<br />

Eine zweite Kategorie von Kolken entsteht im Nachlauf von Einbauten in das Fließgewässer,<br />

zumeist also Pfeilerkolke hinter Brückenpfeilern. Sie können die Standsicherheit des Bauwerks<br />

erheblich gefährden <strong>und</strong> haben zum Einsturz von so mancher Brücke im Hochwasserfall<br />

geführt.<br />

Pfeilerkolke werden mit der oben beschriebenen Methode kaum zu erfassen sein, da ihre Ursache<br />

die verstärkte Turbulenz hinter dem Bauwerk ist. Dahingegen berücksichtigt die Schub-


68 KAPITEL 4. DIE FESTSTOFFBILANZ IM FLUSSLÄNGSPROFIL<br />

Abbildung 4.4: Turbulenzen hinter einem Brückenpfeiler am Douro in Portugal (Photo: W.<br />

Zielke, 2001). Im Anströmbereich erkennt man die Bugwelle als Erhöhung des Wasserstandes,<br />

der in einen Sunk an der Längsseite des Pfeilers übergeht, um dann in den turbulenten Nachlauf<br />

umzuschlagen.<br />

spannungsformel von Nikuradse lediglich die in einem logarithmischen Geschwindigkeitsprofil<br />

erzeugte Turbulenz. Eine einfache empirische Abschätzungsformel lautet für diesen Fall<br />

[?]:<br />

∆h K ≃ 2.3D<br />

Eine dritte Form von Kolken entsteht hinter Schützen als Kontrollbauwerke. In beiden Fällen<br />

kann die sich im Kolk einstellende Wassertiefe durch eine Formel von Franke<br />

( ) q<br />

2 1/3 ( ) 1/2<br />

∆h<br />

h ≃ A<br />

g d 90<br />

abgeschätzt werden. Darin ist ∆h die Wasserspiegeldifferenz ober- <strong>und</strong> unterstrom des Kontrollbauwerkes,<br />

A ≃ 1.0 für unterströmte Schütze <strong>und</strong> A ≃ 2.4 für überströmte Schütze.<br />

Für den Kolk im Überfall hinter einer Wildbachsperre geben Vischer <strong>und</strong> Huber [68] die<br />

Abschätzung<br />

h ≃ 0.88 ∆h0.343 qmax<br />

0.686<br />

d 0.372<br />

95<br />

an. Diese Formel sollte mit der von Franke für überströmte Schütze vergleichbar sein.<br />

Eine sichere Abschätzung der Kolkentwicklung hinter einem Bauwerk ist derzeit weder durch<br />

numerische noch durch physische Modelle exakt möglich. So muß das numerische Modell


4.6. ZUSAMMENFASSUNG 69<br />

Abbildung 4.5: Numerische Simulation der zeitlichen Entwicklung der Sohllage hinter einem<br />

Pfeiler. Die Kreuze stellen experimentelle Meßergebnisse, die durchgezogenen Linien wurden<br />

mit der Transportformel von van Rijn, die untere Linie zusätzlich mit einem Gr<strong>und</strong>bruchalgorithmus<br />

<strong>und</strong> die gestrichelte Linie mit der Transportformel von Engel<strong>und</strong> <strong>und</strong> Fredsoe simuliert.<br />

Aus [?].<br />

die Strömung dreidimensional abbilden, die Turbulenz <strong>und</strong> deren Transport mußsen durch ein<br />

höheres Turbulenzmodell simuliert werden. Der anstehende Boden muß durch ein Bodenmodell<br />

erfaßt werden, welches den Feststofftransport auf geneigten Flächen <strong>und</strong> die Stabilität von<br />

Böschungen reproduziert. Die Summe der genannten Prozesse lassen sich aber auch in einem<br />

physischen Modell nicht mit einem Maßstab reduzieren.<br />

Um die Kolkbildung zu reduzieren, gibt es prinzipiell vier Möglichkeiten. Zunächst kann man<br />

versuchen, die Pfeilerform zu optimieren. Desweiteren kann der Transport der Turbulenz zum<br />

Boden durch den Einbau einer horizontalen Schürze unterbinden. Die Anordnung von kleinen<br />

Vorpfeilern kann den Kolk am eigentlichen Bauwerk um ca. 20 % reduzieren. Am häufigsten<br />

ist die Panzerung der Sohle im kolkgefährdeten Bereich mit Wasserbausteinen oder Geotextilien.<br />

4.6 Zusammenfassung<br />

Der in diesem Kapitel diskutierte Massenerhaltungssatz für das Sohlsediment<br />

∂z B<br />

∂t + div ⃗q S =0<br />

beschreibt die Dynamik der beweglichen Sohle. Diese kann sich lokal in vier verschiedenen<br />

Zuständen befinden:


70 KAPITEL 4. DIE FESTSTOFFBILANZ IM FLUSSLÄNGSPROFIL<br />

• Ist die Sohlschubspannung kleiner als die kritische Shieldsspannung für den Bewegungsbeginn,<br />

dann befindet sich die Sohle im geschiebetriebfreien Zustand.<br />

• Ist die Divergenz größer Null, dann befindet sich die Sohle im Erosionszustand.<br />

• Ist die Divergenz gleich Null, dann befindet sich die Sohle im dynamischen Gleichgewicht.<br />

• Ist die Divergenz kleiner Null, dann befindet sich die Sohle im Auflandungszustand.<br />

Für den Gleichgewichtszustand haben wir das mit dem Prozess der Abrasion verb<strong>und</strong>ene<br />

Gleichgewichtsprofil als exponentialförmig kennengelernt. Ferner haben wir die Ursache der<br />

Kolkbildung durch ein plötzliches Sedimentdefizit zu verstehen gelernt.<br />

Mit diesen Gleichungen <strong>und</strong> den Formeln für die Geschiebefracht haben wir ein erstes<br />

vollständiges konzeptionelles Modell für die <strong>Morphodynamik</strong> der Fließgewässer. Dabei dienen<br />

die in den Kapiteln ?? bis ?? erlernten Methoden der Berechnung der Strömung, Kapitel 3<br />

liefert die <strong>Sedimenttransport</strong>raten <strong>und</strong> in diesem Kapitel haben wir die Bilanzierungsverfahren<br />

kennengelernt, um resultierende Sohländerungen zu bestimmen.<br />

4.7 Übungen<br />

1. Erweitern Sie in Anlehnung an die Bodenevolutionsgleichung die Gleichung für die<br />

Bewegung der Wasseroberfläche so, daß auch Niederschlag <strong>und</strong> Verdunstung berücksichtigt<br />

werden. Führen Sie dazu die entsprechenden Raten ein <strong>und</strong> benennen Sie deren<br />

Einheiten.<br />

2. Die Unterwarnow hat eine Gr<strong>und</strong>fläche von 12.5 km 2 . An ihrem seeseitigen Ende dringen<br />

bodennahe Strömungen fast immer in die Flussmündung ein, während das Wasser<br />

obenflächennah abgeführt wird. Dies hat zur Konsequenz, daß fast alle durch das<br />

Oberwasser eingetragenen Sedimente im Gebiet der Unterwarnow verbleiben. Für das<br />

2982 km 2 große Einzugsgebiet der Warnow wollen wir eine Flächenerosionsrate von 3<br />

t/km 2 /Jahr annehmen. Wie groß ist die mittlere jährliche Depositionshöhe in der Unterwarnow<br />

?<br />

3. Unter Verwendung der Definition (4.1) beweisen Sie die Produktregel:<br />

div (⃗qf) =f div ⃗q + ⃗q grad f<br />

Dabei sind f eine skalare Funktion <strong>und</strong> der Operator grad durch<br />

⎛<br />

grad f =<br />

⎜<br />

⎝<br />

∂f<br />

∂x<br />

∂f<br />

∂y<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

(4.2)<br />

definiert.


4.7. ÜBUNGEN 71<br />

4. Beim Einlauf in eine Klamm verenge sich ein Fluß mit einer sehr groben Sandsohle (d<br />

= 2 mm) auf einer 1 km langen ebenen Strecke von einer Breite von 30 m auf 20 m.<br />

Berechnen Sie für einen Abfluß Q = 60 m 3 /s bei einer Neigung von 1:10 000<br />

(a) die mittlere Strömungsgeschwindigkeit <strong>und</strong> die Wassertiefen<br />

(b) die Sohlschubspannungen <strong>und</strong> die Transportraten nach Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller<br />

jeweils am Anfang <strong>und</strong> Ende der Stecke <strong>und</strong><br />

(c) mit der Gr<strong>und</strong>fläche die Erosionsrate <strong>und</strong> geben Sie für ein sinnvolles Zeitintervall<br />

die Erosionstiefe an.<br />

Hinweis: Bei dieser wie bei folgenden Übungen können schon erstellte Tabellenkalkulationen<br />

angepaßt, verwendet oder erweitert werden.<br />

5. Rechenregeln für die Divergenz:<br />

Unter Verwendung der Definition (??) beweisen Sie:<br />

(a) div (⃗uf) =f div ⃗u + ⃗u grad f<br />

(b) div (⃗u × ⃗v) =⃗v rot ⃗u − ⃗u rot ⃗v<br />

(c) div rot ⃗u =0<br />

Dabei sind f eine skalare Funktion, ⃗v ein weiteres dreidimensionales Vektorfeld <strong>und</strong> die<br />

Operatoren rot <strong>und</strong> grad durch<br />

⎛<br />

rot ⃗u =<br />

⎜<br />

⎝<br />

∂w<br />

∂y − ∂v<br />

∂z<br />

∂u<br />

∂z − ∂w<br />

∂x<br />

∂v<br />

∂x − ∂u<br />

∂y<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

(4.3)<br />

<strong>und</strong><br />

⎛<br />

grad f =<br />

⎜<br />

⎝<br />

∂f<br />

∂x<br />

∂f<br />

∂y<br />

∂f<br />

∂z<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

(4.4)<br />

definiert.


72 KAPITEL 4. DIE FESTSTOFFBILANZ IM FLUSSLÄNGSPROFIL<br />

6. Zeigen Sie mit Hilfe der sogenannten substantiellen Ableitung<br />

Df(x, y, z, t)<br />

Dt<br />

= ∂f<br />

∂t + ∂f dx<br />

∂x dt + ∂f dy<br />

∂y dt + ∂f dz<br />

∂z dt<br />

dass sich die Kontinuitätsgleichung für kompressible Fluide in der Form<br />

darstellen läßt.<br />

1 Dρ<br />

ρ Dt = − div⃗u<br />

Die Massenerhaltung läßt sich in integraler Form auch darstellen als<br />

∫<br />

V<br />

∂ρ<br />

∂t dV = − ∂ ∫<br />

∂t<br />

A<br />

(ρ · ⃗u · ⃗n) dA<br />

wobei V das durchströmte Volumen, A die das Volumen begrenzende Fläche, ⃗u die Vektorfunktion<br />

der Geschwindigkeit <strong>und</strong> ⃗n die Flächenormale darstellt. Sie kann mit Hilfe<br />

des Gausschen Integralsatzes in die differentielle Form überführt werden (Zusatzaufgabe!).<br />

Diskutieren Sie Vor- <strong>und</strong> Nachteile der differentiellen <strong>und</strong> integralen Darstellung<br />

von Erhaltungsgleichungen.


Kapitel 5<br />

Die Sicherung der Sohle<br />

Der als Erosion bezeichnete Nettoabtrag von Feststoffen aus der Sohle kann zu einer Eintiefung<br />

eines Flusses in das umliegende Gelände führen. Zum einen kann dieser Prozess natürlich<br />

sein, so z.B. wenn er auf langfristige geologische Vorgänge zurückgeht. So haben Flüsse in ihren<br />

Oberläufen eher die Tendenz, sich in das Gelände einzutiefen, während sich das Material<br />

in den Unterläufen ansammelt.<br />

Aber auch Veränderungen im Abfluss oder dem Geschiebeeintrag führen zu einer entsprechenden<br />

Anpassung der Flusssohle in ihrer Höhenlage bzw. im Gefälle <strong>und</strong> können Erosionen<br />

bewirken. Ferner hat die durch den Menschen verursachte Laufverkürzung in vielen Flüssen<br />

zu einer Erhöhung der Fließgeschwindigkeit <strong>und</strong> damit auch der Sohlschubspannung geführt,<br />

wodurch die Flüsse sich eintiefen. Außerdem führen Geschiebesperren <strong>und</strong> Stauhaltungen zu<br />

einer Reduktion des Feststoffdargebotes <strong>und</strong> damit in ihrem Unterlauf zu Erosion.<br />

In Folge des Absenken des Flusslaufes sinkt auch der Gr<strong>und</strong>wasserspiegel ab, die Standsicherheit<br />

von Uferbefestigungen wie Sp<strong>und</strong>wänden <strong>und</strong> Böschungen wird gefährdet <strong>und</strong> der<br />

Bestand der angrenzenden Auwälder mit ihrer besonderen Flora <strong>und</strong> Fauna wird bedroht. Um<br />

diese Gefahren abzuwenden, sind entsprechende Korrekturmaßnahmen erforderlich. Solche<br />

können<br />

• Sohlenbauwerke wie Stufen oder Schwellen,<br />

• Profilaufweitungen oder Einengungen,<br />

• Verlängerungen oder Verkürzungen des Flussweges,<br />

• Änderungen der Kornzusammensetzung der Sohle,<br />

• Entlastung des Abflusses durch Nebenarme bzw. Flutmulden oder<br />

• Geschiebezugabe oder -entnahme<br />

sein.<br />

Um diese Korrekturmaßnahmen zu dimensionieren sind zunächst einmal die Belastungen der<br />

Sohle zu analysieren. Dabei sind drei Arten von Belastungen zu unterscheiden: Im Normalfall<br />

73


74 KAPITEL 5. DIE SICHERUNG DER SOHLE<br />

wirkt die turbulente Strömung auf die Sohle. Desweiteren sind Extremereignisse wie Hochwasserwellen<br />

zu berücksichtigen. Wird ein Gewässer außerdem als Wasserstraße genutzt, ist<br />

noch die Belastung durch die Schifffahrt zu beachten.<br />

Wir wollen in diesem Kapitel nur die Sicherung der Sohle gegen Erosion betrachten. Die<br />

Maßnahmen gegen eine Akkumulation von Material werden als Einschränkungsbauwerke gesondert<br />

betrachtet.<br />

5.1 Ursachen der Tiefenerosion<br />

Ganz allgemein ist die Ursache einer Eintiefung in Flüssen immer eine negative Bilanz des<br />

Feststoffhaushaltes. Die Gründe dafür können aber sehr vielfältig sein.<br />

Bevor man eine Maßnahme zur Sicherung der Sohle gegen Erosion konzeptioniert, sollte<br />

gr<strong>und</strong>sätzlich versucht werden, diese Gründe ausfindig zu machen, um die Maßnahme nachhaltig,<br />

d.h. in ihrer Wirksamkeit möglichst dauerhaft zu gestalten.<br />

Wir wollen also zunächst die verschiedenen Ursachen der lokalen Erosion ergründen <strong>und</strong><br />

schreiben uns dazu die Bodenevolutionsgleichung für einen linienförmigen Flusslauf hin:<br />

∂z B<br />

∂t + ∂α(x)q s(x)<br />

=0<br />

∂x<br />

Darin ist α(x) die Verfügbarkeit von Bodenmaterial. Diese Funktion ist eins, wenn an einem<br />

Ort genügend Material zum Abtransport vorhanden ist <strong>und</strong> Null, wenn kein Material vorhanden<br />

ist. Die Funktion q s (x) ist die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität, d.h. die Fähigkeit, Sediment<br />

zu transportieren <strong>und</strong> das Produkt α(x)q s (x) die <strong>Sedimenttransport</strong>rate, d.h. das tatsächlich<br />

transportierte Material pro Breite <strong>und</strong> Zeit.<br />

Im Fall einer lokalen Erosion ist die zeitliche Änderung der Sohle negativ, die Ableitung der<br />

<strong>Sedimenttransport</strong>rate in Strömungsrichtung also positiv. Setzen wir für diese die Transportformel<br />

nach Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller an, so folgt:<br />

(<br />

∂αq s<br />

∂x = 12α<br />

∂τ<br />

ϱ 1/2 (ϱ S − ϱ)g (τ B − τ c ) 1/2 ′<br />

B<br />

∂x − ∂τ )<br />

c<br />

∂x<br />

Dieser Ausdruck besteht auf der rechten Seite aus zwei Anteilen, die jeweils nur dann ungleich<br />

Null sind, wenn Sediment überhaupt in Bewegung versetzt wird. Gr<strong>und</strong>sätzlich kann eine Erosion<br />

also nur dann auftreten, wenn die Sohlschubspannung die kritische Schubspannung für<br />

den Bewegungsbeginn überschreitet.<br />

Der erste Term auf der rechten Seite beschreibt eine nach Oberstrom zunehmende Sedimentmangelsituation.<br />

Die Erosion wird dadurch bewirkt, daß - trotz u.U. ausgewogener <strong>Sedimenttransport</strong>kapazitäten<br />

- von Oberstrom nicht genügend Sediment nachgeliefert werden kann.<br />

Der zweite Term auf der rechten Seite ist positiv, wenn die Sohlschubspannung in Strömungsrichtung<br />

zunimmt. Welche Ursachen dies haben kann, betrachten wir zunächst einmal mit der<br />

Schleppspannungsbeziehung für die Sohlschubspannung:<br />

∂τ B<br />

∂x = ∂<br />

∂x<br />

(<br />

−ϱgh ∂z S<br />

∂x<br />

)<br />

= −ϱg ∂h ∂z S<br />

∂x ∂x − z S<br />

ϱgh∂2 ∂x 2


5.2. SOHLENBAUWERKE 75<br />

Der erste Term auf der rechten Seite enthält ein Produkt zweier Ableitungen, die in der Regel<br />

schon recht klein sind. Deshalb ist der zweite Term zumeist wesentlich wichtiger: Er besagt<br />

etwas über den Profilverlauf des Flusses: Dieses weist eine Tendenz zur Erosion auf, wenn das<br />

Flussgefälle in Laufrichtung zunimmt, das Geländelängsprofil also konvex ist.<br />

Wir können die Sohlschubspannung aber auch nach dem Nikuradsegesetz berechnen. Dann<br />

wird die Ableitung zu:<br />

∂τ B<br />

∂x = ∂<br />

∂x<br />

⎛<br />

⎞<br />

⎜<br />

⎝( ϱκ2 ) 2<br />

u 2 ⎟<br />

⎠ ≃<br />

ln<br />

12h<br />

k s<br />

( ϱκ2 ) 2<br />

2u ∂u<br />

ln<br />

12h ∂x<br />

k s<br />

Erosion tritt danach also an solchen Stellen auf, an denen die Strömungsgeschwindigkeit lokal<br />

zunimmt. Dies kann z.B. an Verengungen stattfinden. Im Vergleich zur Schleppspannungsbeziehung<br />

liefert das Nikuradsegesetz also die lokalen Ursachen für die Erosion, während die<br />

Schleppspannungsbeziehung regionale Profilungleichgewichte offenbart.<br />

Die vorangegangene Analyse zur Erosion schlägt von sich aus folgende Gegenmaßnahmen<br />

vor: Zunächst kann man versuchen, die Sohlbelastung unter die kritische Schubspannung zu<br />

bringen. Dies kann entweder durch die Befestigung des anstehenden Materials oder durch die<br />

Reduktion der Sohlschubspannung geschehen. In der Praxis reduziert man hierzu die Sohlneigung<br />

auf weiten Strecken <strong>und</strong> bündelt das Gefälle <strong>und</strong> die Belastung auf kurzen, befestigten<br />

Strecken. Dies geschieht durch Sohlenbauwerke, die wir im folgenden kennenlernen wollen.<br />

Es bleibt dann allerdings zu befürchten, daß der Feststoffmangel stromab auftritt <strong>und</strong> das Erosionsproblem<br />

dorthin verschoben wird.<br />

Eine andere Gegenmaßnahme ist die Laufverlängerung <strong>und</strong> damit die Reduktion der Schleppspannung.<br />

Bei lokalen Engstellen bietet sich eine Verbreiterung an.<br />

5.2 Sohlenbauwerke<br />

Die Bemessung <strong>und</strong> Konstruktion von Sohlenbauwerken ist in der DIN 19661, Teil 2 geregelt.<br />

Dort werden die Sohlenbauwerke in Stufen <strong>und</strong> Schwellen unterteilt. Sohlenstufen bündeln<br />

das Gefälle, verändern den Sohlenlängsschnitt also so, daß oberhalb <strong>und</strong> unterhalb des Bauwerks<br />

ein geringeres Gefälle als im unverbauten Gewässer entsteht <strong>und</strong> das zu überwindende<br />

Gefälle am Bauwerk zusammengefaßt wird. Sohlenstufen können als Abstürze <strong>und</strong> Rampen<br />

ausgeführt werden.<br />

Sohlenschwellen verändern das Sohlgefälle nicht, sondern legen nur die geodätische Höhe der<br />

Sohle direkt auf der Schwelle fest.<br />

5.2.1 Abstürze<br />

Abstürze sind die in Fließrichtung kürzesten Sohlenstufen; sie haben eine lotrechte oder steil<br />

geneigte Absturzwand. Die Natur bildet selbst Abstürze in Form von Wasserfällen.<br />

Die Beeinträchtigung des Naturhaushaltes ist bei Abstürzen <strong>und</strong> Absturztreppen, d.h. Kaskaden<br />

von aufeinanderfolgenden Abstürzen, groß. Insbesondere können Fische Abstürze nicht


76 KAPITEL 5. DIE SICHERUNG DER SOHLE<br />

Sohlenbauwerke<br />

✏✮✏ ✏✏✏✏✏✏✏ <br />

<br />

Sohlenstufen<br />

✟❍ ✟<br />

✟ ❍❍❍❍❍❥<br />

✟<br />

✟<br />

✟✙ ❄<br />

Abstürze Rampen Gleiten<br />

✟<br />

✟❍ ❍❍❍❍❍❥<br />

✟<br />

✟<br />

✟✙ ✟ ❄<br />

Sohlenschwellen<br />

Schüttsteinrampe<br />

Setzsteinrampe<br />

aufgelöste<br />

Rampe<br />

Schwellen<br />

✟❍ ✟<br />

✟ ❍❍❍❍❍❥<br />

✟<br />

✟<br />

✟✙ ❄<br />

Stützschwellen<br />

Gr<strong>und</strong>schwellen<br />

Abbildung 5.1: Gliederung der Sohlenbauwerke nach DIN 19661, Teil 2, 1991.<br />

Abbildung 5.2: Sohlenabsturz am Wimbach: Stromauf unüberwindbar für viele Organismen.


5.2. SOHLENBAUWERKE 77<br />

Abbildung 5.3: Schematische Darstellung der gebräuchlichen Rampenkörper aus DVWK 1996<br />

b.<br />

überwinden. Für diese <strong>und</strong> andere Gewässerorganismen sind Wanderung <strong>und</strong> Drift wesentliche<br />

Bestandteile ihrer Entwicklung. Häufig sind es die Oberläufe der Flüsse, die für Laichplätze<br />

<strong>und</strong> Brutstandorte genutzt werden. Oft endet diese Reise jedoch vor Querbauwerken,<br />

wie Abstürzen, Wehren oder Kraftwerken, die für die meisten dieser Organismen zu unüberwindlichen<br />

Hindernissen werden. In der Vergangenheit war vorwiegend die dauerhafte Verschmutzumg<br />

mit Schadstoffen für eine drastische Artenverarmung verantwortlich, heute -nach<br />

Verbesserung der Gewässergüte- ist dieser Faktor für eine Regeneration der Fischbestände<br />

nicht mehr entscheidend. Die starke Gefährdung der Gewässerorganismen ist eher auf die Behinderung<br />

des Wechsels zwischen den Teillebensräumen zurückzuführen [69].<br />

Gr<strong>und</strong>sätzlich sollten daher beim Neubau in Gewässern nur Rampen zur Zusammenfassung<br />

von Gefälle verwendet werden. Auf die konstruktive Gestaltung <strong>und</strong> die hydraulische Bemessung<br />

von Abstürzen wird daher hier nicht eingegangen.<br />

5.2.2 Rampen<br />

Man unterscheidet drei Arten von Rampenkörpern, die in Abbildung 5.3 dargestellt sind:<br />

Bei der Setzsteinrampe werden die Steine sorgfältig einlagig passend aneinander gesetzt. Die<br />

dichteste Packung erzeugt eine Verb<strong>und</strong>wirkung, die die angreifenden Strömungskräfte im<br />

ganzen Deckwerk verteilt. Die Blöcke werden in einen filterstabilen Untergr<strong>und</strong> eingebettet<br />

<strong>und</strong> mit Sp<strong>und</strong>wänden an der Krone <strong>und</strong> am Rampenfuß gesichert. Die Neigungen solcher<br />

Rampen liegen üblicherweise zwischen 1:4 <strong>und</strong> 1:15.<br />

Der Unterbau kann z.B. aus einer Filtermatte mit Schotterauflage oder aus einem mehrschich-


78 KAPITEL 5. DIE SICHERUNG DER SOHLE<br />

tig abgestuften Kiesfilter bestehen. Auf die Verwendung von Geotextilien sollte verzichtet<br />

werden, da diese den biologischen Austausch mit dem Untergr<strong>und</strong> verhindern. Eine Verklammerung<br />

der Steine ist nicht notwendig <strong>und</strong> sogar zu vermeiden, weil das ökologisch notwendige<br />

Lückensystem <strong>und</strong> damit die Durchgängigkeit für kleinere Organismen verloren gehen<br />

würde.<br />

Die Schüttsteinrampe besteht aus einer lockeren mehrlagigen Steinschüttung auf filterstabilem<br />

Untergr<strong>und</strong>. Dadurch bekommt das Bauwerk eine unregelmäßige Rauheit <strong>und</strong> wird elastisch.<br />

Die Neigung dieser Rampen liegt zwischen 1:10 <strong>und</strong> 1:25.<br />

Der Einbau der Schüttsteinrampe ist wirtschaftlich meist günstiger als die gesetzte Methode,<br />

weil er im fließenden Wasser erfolgen kann <strong>und</strong> keine trockene Baugrube erfordert. Die Steine<br />

werden entweder geschüttet oder mit dem Bagger einzeln verlegt, Hohlräume mit Steinmaterial<br />

abgestufter Körnung oder Sohlsubstrat verfüllt.<br />

Der Einbau beginnt -wie bei der Setzsteinbauweise- am Rampenfuß <strong>und</strong> setzt sich in Richtung<br />

des Oberwassers fort. Ein weiterer Vorteil des Einbaus in der Strömung besteht darin, daß<br />

das entstehende Strömungsmuster sofort überprüft <strong>und</strong> gegebenenfalls korrigiert werden kann<br />

[69].<br />

Zur Sicherung des Rampenfußes werden größere Steine in die Sohle eingeb<strong>und</strong>en oder eine<br />

Pilotenreihe in Form von Eisenbahnschwellen oder Holzpfählen eingesetzt.<br />

Die Kraftübertragung erfogt über das Steingewicht, Sp<strong>und</strong>wände sind daher zur Sicherung<br />

nicht notwendig. Diese können sogar einen großen Nachteil haben: Sie bilden starre Querriegel<br />

in einem flexiblen Verb<strong>und</strong> <strong>und</strong> können den Bewegungen der Steine in Form von Umlagerungen<br />

<strong>und</strong> Setzungen nicht folgen. Es entwickeln sich Absätze, die wie Abstürze wirken <strong>und</strong><br />

die Entstehung von Kolken nach sich ziehen.<br />

Die Steinumlagerungen tragen zur Selbststabilisierung im Bauwerk bei. Die Strömung transportiert<br />

exponierte Steine, bis eine stabilere Lage erreicht wird. Dabei werden nicht selten<br />

Fehlstellen von oben her ausgeglichen. Einer eventuellen mit den Umlagerungen einhergehenden<br />

Abflachung der Rampenkonstruktion müßte mit einer Nachschüttung begegnet werden.<br />

Eine Nachbettsicherung ist zu untersuchen.<br />

Die aufgelöste Rampe besteht aus einzelnen Riegeln oder Waben, die durch Becken voneinander<br />

getrennt sind. Die Becken bleiben der Eigendynamik überlassen. Hierdurch entsteht<br />

eine große Strukturvielfalt. Die aufgelöste Rampe stellt die naturähnlichste Konstruktionsart<br />

dar, da sie das Step-Pool-System der Wildbäche nachahmt.<br />

Die einzelnen Rampenarten unterscheiden sich in der Reaktion auf hydraulische Belastung im<br />

Hochwasserfall <strong>und</strong> auf die Form der Lastabtragung. Man spricht dabei von einem selbsttragenden<br />

Deckwerk, wenn die angreifenden Kräfte flächig in den Untergr<strong>und</strong> abgeleitet werden<br />

können. Ist dies nicht der Fall, muß das Deckwerk durch eine Fußkonstruktion gestützt werden.<br />

Außerdem ist die Gefahr des Herauslösens einzelner Steine <strong>und</strong> des Ausbrechens des<br />

Deckwerks infolge Stauchung zu beachten.<br />

Bei der Konstruktion ist ein filterstabiler Unterbau unter den Deckwerken erforderlich. Um<br />

eine rückschreitende Erosion vom Rampenfuß her zu vermeiden, ist die Anordnung von Fußsteinen<br />

bei Schüttsteinrampen empfehlenswert. Diese bilden ein Depot, das bei Steinumlagerungen<br />

aktiviert wird.<br />

Die Rampenkrümmung konzentriert die Strömung in der Mitte des Gewässers <strong>und</strong> schützt die


5.2. SOHLENBAUWERKE 79<br />

Abbildung 5.4: Aufgelöste Rampe in Riegelbauweise<br />

am Wimbach.<br />

Böschung die Böschung im Unterwasser, kann jedoch bei kleinkörnigem Sohlmaterial tiefe<br />

Kolke verursachen. In solchen Fällen ist eine ebene Rampe vorzuziehen.<br />

Im Bereich der Rampe ist auf eine Vorlandsicherung durch kombinierte Deckwerke (Schüttsteine<br />

<strong>und</strong> Weiden) zu achten.<br />

Bei Setzsteinrampen können Probleme auftreten, wenn sich im Untewrwasser ein Kolk bildet,<br />

<strong>und</strong> die Fußsicherung (Pilotenreihe oder Sp<strong>und</strong>wand) wie ein Absturz aus der Sohle herauragt<br />

<strong>und</strong> als Barriere wirkt. Deshalb sollte gr<strong>und</strong>sätzlich die elastischere Schüttsteinrampe der<br />

starren Setzsteinrampe vorgezogen werden. Auch unter Kostengesichtspunkten ist die Schüttsteinrampe<br />

der Setzsteinrampe vorzuziehen.<br />

Als Gleiten werden Rampen dann bezeichnet, wenn ihre Neigung kleiner als 1:15 ist.<br />

5.2.3 Schwellen<br />

Schwellen werden zur Fixierung der Sohle an ihrem Ort verwendet. Sie sollen die Gerinnesohle<br />

stabilisieren <strong>und</strong> dadurch das Gewässerprofil schützen. Außerdem kann durch den Einbau<br />

von Schwellen eine Annäherung an die ursprünglich abwechslungsreiche Gewässerstruktur erreicht<br />

wrden. Je nach Bauweise ist mit ihnen zudem eine Energiedissipation verb<strong>und</strong>en. Nach<br />

DIN 19661-2 unterscheidet man drei Arten von Schwellen:<br />

Stützschwellen (Abbildung 5.5) sind i.A. feste Wehre, hinter denen ein Fließwechsel auftritt.<br />

Für die Energieumwandlung ist in den meisten Fällen ein Tosbecken erforderlich. Stützschwellen<br />

dienen auch zur Gefällekonzentration an einer Stelle. Sie können bei niedrigen Abflüssen<br />

aber auch als Absturz wirken <strong>und</strong> sind wegen der Gefahren für die Durchlässigkeit zu vermeiden.<br />

Gr<strong>und</strong>schwellen (Abbildung 5.6) ragen nur wenig über die Sohle hinaus. Ein Fließwechsel<br />

soll sich über ihnen nicht einstellen. Man kann ihre maximale Höhe e daher aus der Konti-


80 KAPITEL 5. DIE SICHERUNG DER SOHLE<br />

Abbildung 5.5: Schematische Darstellung einer Stützschwelle.<br />

Abbildung 5.6: Schematische Darstellung einer Gr<strong>und</strong>schwelle.


5.2. SOHLENBAUWERKE 81<br />

Abbildung 5.7: Schematische Darstellung einer Sohlenschwelle.<br />

nuitätsgleichung, der Bernoulligleichung <strong>und</strong> der Grenzbedingung als<br />

h 0 + v2 0<br />

2g = e + h 1 + v2 1<br />

2g<br />

h 0 v 0 = h 1 v 1<br />

v 1<br />

√ gh1<br />

=1<br />

als<br />

e ≤ h 0 + v2 0<br />

2g − 3 √<br />

3 q<br />

2<br />

2 g<br />

berechnen.<br />

Stütz- <strong>und</strong> Gr<strong>und</strong>schwellen können dadurch, daß sie in den Fließquerschnitt hineinragen,<br />

den Wasserspiegel im Oberwasser anheben. Das Energieliniengefälle, <strong>und</strong> somit die Fließgeschwindigkeit<br />

<strong>und</strong> die Sohlschubspannung werden geringer, die Erosion wird vermindert<br />

oder gestoppt. Durch die Verminderung der <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität im Oberwsser kommt<br />

es jedoch oft zu einer völligen Verlandung des Stauraumes, so daß der Sohlenlängsschnitt einer<br />

Folgen von Abstürzen gleichen kann.<br />

Sohlenschwellen (Abbildung 5.7) sind sohlengleich im Flußbett eingebaut <strong>und</strong> sollen die Sohle<br />

ohne Energiedissipation örtlich festlegen.<br />

Sohlengleiche Schwellen wirken als Sohlenhaltepukte <strong>und</strong> sollen das Eintiefen verhindern. Sie<br />

bewirken keinen Aufstau <strong>und</strong> beeinflussen deshalb nicht die hydraulische Leistungsfähigkeit<br />

des Fließgewässers. Eine dauerhafte Sohlerosion kann nur vermieden oder vermindert werden,<br />

wenn das vorhandene Sohlengefälle nur wenig über dem, für den Gleichgewichtszustand<br />

zu erwartenden Gefälle liegt. Der Anwendungsbereich von Sohlenschwellen ist dadurch sehr<br />

eingeschränkt.<br />

Die Wahl der Baustoffe, aus denen Schwellen angefertigt werden, richtet sich nach der Art<br />

des Bauwerks, nach der Charakteristik des Flusses, der ihn umgebenden Landschaft <strong>und</strong> nach<br />

den vor Ort vorhandenen Materialien. In der Regel wird man versuchen, möglichst naturnahe<br />

Baustoffe, wie Steine oder Holz zu verwenden. Dabei sollte beachtet werden, daß Weichhölzer<br />

nur verwendet werden dürfen, wenn sie andauernd von Wasser bedeckt werden. R<strong>und</strong>hölzer


82 KAPITEL 5. DIE SICHERUNG DER SOHLE<br />

Abbildung 5.8: Mögliche Bauweisen von Holzschwellen.<br />

sollten einen Durchmesser größer als 20 cm haben. Steine müssen wasser- <strong>und</strong> frostbeständig<br />

sein.<br />

Künstliche Materialien, wie Stahl, Beton, bituminöse Stoffe oder Kunststoffe sollten möglichst<br />

nicht, <strong>und</strong> wenn nicht sichtbar verwendet werden.<br />

Neben den ökologischen Aspekten spielen natürlich auch die Beanspruchung des Bauwerks<br />

(Abrieb, Wellenschlag, Eisgang, Chemie, etc.) oder auch statische Erfordernisse eine wichtige<br />

Rolle.<br />

In waldreichen Gebieten wurde schon in frühen Zeiten Holz zur Stabilisierung der Gewässersohle<br />

<strong>und</strong> auch des Ufers verwendet. Dabei bieten sich wegen seiner Beständigkeit vor allem<br />

Lärchenholz als Baustoff an. Außerdem eignen sich auch Eiche, Ulme <strong>und</strong> Schwarzkiefer;<br />

für dauernd vom Wasser bedeckte Bauwerke können auch Tanne oder Schwarzerle verwendet<br />

werden. Nicht geeignet sind Fichte, Weide oder Pappel.<br />

Die Schwelle wird aus Querhölzern zusammengefügt, die sich an Holzpiloten abstützen.<br />

Durch den sich im Unterwasser bildenden Kolk kann die Standsicherheit der Schwelle gefährdet<br />

sein, deshalb sollte zur Vermeidung der rückschreitenden Erosion eine Steinsicherung eingebracht<br />

werden. Durch die Kombination von Holz <strong>und</strong> Stein kann die Wirksamkeit einer<br />

Schwelle auch nach dem Zerfall des Holzes noch einige Zeit aufrecht erhalten werden.<br />

5.3 Schüttsteine<br />

Die bei der Sohlsicherung verwendeten Schüttsteine schützen die Sohle gegen Erosion,<br />

erhöhen die Rauheit über die Ausbaustrecke <strong>und</strong> nehmen so dem Fluss Energie.<br />

5.3.1 Theoretische Vorüberlegungen<br />

Zur Bemessung des Schüttsteindurchmessers kann man sich der unterschiedlichsten empirischen<br />

Formeln bedienen, die verschiedenste Annahmen über die vorliegende Bauweise voraussetzen.<br />

Um die Entstehung dieser Formeln zu verstehen, wollen wir zunächst selbst versuchen,<br />

solche Zusammenhänge herzuleiten.


5.3. SCHÜTTSTEINE 83<br />

Zur Ermittlung des erforderlichen Steindurchmessers werden die Erkenntnisse zum Bewegungsbeginn<br />

eingesetzt. Setzt man in die Shieldsformel die effektive Sohlschubspannung ein,<br />

dann errechnet sich der Schüttsteindurchmesser als<br />

d S ≥<br />

τ B<br />

= ϱ<br />

(ϱ S − ϱ)gθ c<br />

ϱ S − ϱ<br />

(<br />

ln<br />

12h<br />

k g s<br />

κ 2<br />

) 2<br />

u 2<br />

θc g<br />

Aus dem Bemessungsabfluss q cr kann nun die Abflussgeschwindigkeit u <strong>und</strong> der Schüttsteindurchmesser<br />

d S bestimmt werden. Der Abfluss q cr , bei dem das Schüttsteinbauwerk versagt,<br />

berechnet sich dann als:<br />

12h √<br />

ln<br />

ks<br />

q cr = h g ϱS − ϱ<br />

d S θ c g<br />

κ ϱ<br />

Für einen gegebenen Schüttsteindurchmesser d S <strong>und</strong> einer Sohlneigung I = tanα kann<br />

nun der kritische Abfluss für den Versagensfall iterativ zusammen mit der Fixpunktform der<br />

Wasserstands-Abfluss-Beziehung (??) berechnet werden.<br />

Verwendet man die Stricklerformel für die Sohlschubspannung <strong>und</strong> setzt diese gleich der kritischen<br />

Schubspannung für den Bewegungsbeginn, dann bekommt man für den kritischen Abfluss:<br />

√<br />

q cr = k Str h 7/6 ϱ S − ϱ<br />

θ c d S<br />

ϱ<br />

Dabei kann man nun noch die Wassertiefe h aus der Stricklerformel <strong>und</strong> der Schleppspannungsbeziehung<br />

elimieren. Man erhält eine explizite Formel für den kritischen Abfluss:<br />

(<br />

) 5/3<br />

ϱ S − ϱ<br />

q cr = k Str θ c d S I −7/6<br />

ϱ<br />

Die Versagenswahrscheinlichkeit steigt also mit der Sohlneigung I <strong>und</strong> sinkt mit dem Korndurchmesser.<br />

Die Potenzen, mit denen diese Einflussgrößen in unsere beiden theoretischen<br />

Überlegungen eingehen, werden wir in den verschiedenen empirischen Formeln wiedertreffen.<br />

5.3.2 Die Formel von Isbash (1936)<br />

Das US Corps of Engineers (USCE) empfiehlt, die Formel von Isbash aus dem Jahr 1936 [28]<br />

u 2<br />

d S ≥<br />

ϱ<br />

ϱ S − ϱ 2gC 2<br />

zu verwenden, die ganz offensichtlich mit der Kombination von Shields- <strong>und</strong> Nikuradseformel<br />

äquivalent ist. Darin ist [24]<br />

C = 0.86 für Zonen mit hochturbulenten Fließbewegungen, z.B. Tosbeckensicherungen,<br />

Sohlrampen, <strong>und</strong> Bereiche mit seitlichen Einleitungen<br />

C = 1.20 für weniger turbulente Strömungen in Gewässern mit geringem Gefälle.


84 KAPITEL 5. DIE SICHERUNG DER SOHLE<br />

Ein andere Darstellungsform bezieht sich auf den kritischen spezifischen Abfluss q cr , bei dem<br />

die Lage der Schüttsteine instabil wird. Nach der Formel von Isbash ist dieser:<br />

√<br />

√ ϱS − ϱ<br />

q cr = h 2gd S C<br />

ϱ<br />

Ganz offensichtlich hat dieser Zusammenhang große Ähnlichkeit mit unserer theoretischen<br />

Herleitung aus dem Gesetz von Nikuradse.<br />

5.3.3 Der Ansatz von Whittacker <strong>und</strong> Jäggi (1986)<br />

Der Ansatz von Whittaker <strong>und</strong> Jäggi (1986) basiert auf umfangreichen Modellversuchen mit<br />

Rampen in geschütteter, aber auch gesetzter Bauweise. Die Autoren fassen die untere Grenze,<br />

bei denen die Versuchsrampen durch direkte Erosion zerstört wurden, in einer Gleichung für<br />

den kritischen spezifischen Abfluss zusammen:<br />

√<br />

ϱS − ϱ √<br />

q cr =0.257 gd 3 65<br />

ϱ<br />

S<br />

I −1.167<br />

Der Ansatz zeigt in den Abhängigkeiten wieder Ähnlichkeiten mit unserer theoretischen Herleitung<br />

aus dem Stricklergesetz, ist aber nicht einheitenkonform. Er soll für Neigungen von<br />

1:20 bis 1:4 gelten.<br />

5.3.4 Step-Pool-Systeme: Palt (2001)<br />

Für strukturierte Gebirgsbäche mit Step-Pool-Systemen gibt Palt [?] die Formel<br />

√<br />

q cr =0.093 g ϱ S − ϱ<br />

d 3<br />

ϱ<br />

65I −1.25<br />

an. Sie entspricht der Form nach dem Ansatz von Whittacker <strong>und</strong> Jäggi, lediglich der Vorfaktor<br />

<strong>und</strong> die Potenz der Neigung unterscheiden sich.<br />

5.3.5 Aufgelöste Rampen: Vogel (2003)<br />

Bei aufgelösten Rampen ist nicht der gesamte Sohlbereich mit Schüttsteinen bedeckt. Zur<br />

Berechnung des kritischen Abflusses schlägt Vogel [69] die Einführung einer Belegungszahl<br />

Ψ vor, die das Verhältnis der mit Schüttsteinen bedeckten Fläche zur Gesamtfläche der Rampe<br />

angibt. Der experimentell bestimmte kritische Abfluss ist dann:<br />

q cr = ( 0.05I −1.463 − 51.4(1 − Ψ)e −48I ) √gd 3 S<br />

Der Ansatz gilt für Rampenneigungen von 1:30 bis 1:10.


5.4. BEMESSUNGSBEISPIEL 85<br />

5.4 Bemessungsbeispiel<br />

Wir wollen alles bisher Gelernte in einem Bemessungsbeispiel anwenden. Gegeben seien<br />

• ein Sohlabschnitt der Länge ∆x,<br />

• ein spezifischer Bemessungsabfluss q,<br />

• das derzeitige Sohlgefälle I ist = −∆z B /∆x,<br />

• <strong>und</strong> das vorhandene Sohlmaterial des mittleren Korndurchmessers d m .<br />

Der Gewässerabschnitt unterliegt derzeit einer starken Erosionstendenz, die durch die Bündelung<br />

des Gefälles vermieden werden soll.<br />

Im ersten Schritt berechnet man die durch den Bemessungsabfluss wirkende Sohlschubspannung.<br />

Dazu wird mit Hilfe von Gleichung (??) der Wasserstand h bestimmt:<br />

⎛<br />

h n+1 ⎜<br />

= ⎝<br />

κ 2<br />

(<br />

ln<br />

12h n<br />

k s<br />

) 2<br />

q 2<br />

⎞1/3<br />

⎟<br />

⎠<br />

gI ist<br />

Dabei kann man k s ≃ 3d m ansetzen. Nun kann die Sohlschubspannung nach dem Nikuradsegesetz<br />

berechnet werden:<br />

τ B =<br />

( ϱκ2 q 2<br />

) 2<br />

ln<br />

12h h 2<br />

ks<br />

g<br />

Diese Schubspannung sollte höher als die kritische Shieldsspannung τ c sein, da derzeit erosive<br />

Verhältnisse vorliegen. Ist dies nach unserer bisherigen Berechnung nicht der Fall, dann ist der<br />

spezifische Bemessungsabfluss zu gering angesetzt.<br />

Die DIN 19661-2 verwendet hier die Schleppspannungsbeziehung <strong>und</strong> kommt so zu höheren<br />

Belastungen als in der hier vorgeschlagenen Berechnung mit der Nikuradseformel.<br />

Im zweiten Schritt ist das zulässige Sohlgefälle I zul zu bestimmen. Auch dies muß mit den<br />

Beziehungen für die Schleppspannung <strong>und</strong> dem Wasserstand iterativ (ca. 8-10 Iterationen)<br />

berechnet werden:<br />

I n+1<br />

zul = τ c<br />

ϱgh n<br />

⎛<br />

⎞1/3<br />

h n+1 ⎜ κ 2 q 2 ⎟<br />

= ⎝( )<br />

ln<br />

12h n 2<br />

gIzul<br />

n+1 ⎠<br />

k s<br />

Als Startwert kann man die alte Wassertiefe verwenden. Für die kritische Schubspannung kann<br />

man die Shieldswerte verwenden. Die DIN 19661-2 schlägt allerdings größere Grenzschubspannungen<br />

vor. Dieses Vorgehen kongruiert mit der Verwendung der Schleppspannung als<br />

Sohlschubspannung.


86 KAPITEL 5. DIE SICHERUNG DER SOHLE<br />

1,00E-01<br />

1,00E-02<br />

zulässiges Gefälle I<br />

1,00E-03<br />

1,00E-04<br />

1,00E-05<br />

d=1mm<br />

d=1cm<br />

d=5cm<br />

1,00E-06<br />

1,00E-07<br />

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50<br />

Spez. Abfluss q [m²/s]<br />

Abbildung 5.9: Zulässiges Grenzgefälle als Funktion des spezifischen Abflusses <strong>und</strong> des Korndurchmessers.<br />

Als zweite Möglichkeit zur Bestimmung des zulässigen Sohlgefälles schlägt die DIN 19661-2<br />

den Vergleich mit einer Musterstrecke vor. Dies ist eine vergleichbare Gewässerstrecke, die<br />

sich allerdings im Gleichgewicht befindet. Die Vergleichbarkeit sollte sich auf Art <strong>und</strong> Zusammensetzung<br />

des Sohlenmaterials, Neigung, Zustand <strong>und</strong> Beschaffenheit der Böschungen,<br />

Ausbildung <strong>und</strong> Unregelmäßigkeiten der Gewässerquerschnitte, die Abflussbeiwerte für die<br />

hydraulische Berechnung <strong>und</strong> die Abflusskurve Q(h) beziehen.<br />

Zur Beurteilung der Frage, ob <strong>und</strong> wie die Flußsohle nun gesichert werden soll, schlägt die<br />

DIN 19661, Teil 2 drei Grenzwerte vor: Zunächst ist das zulässige Sohlgefälle I zul zu bestimmen.<br />

Dieses kann man rechnerisch oder durch Beobachtung gewinnen. Das Berechnungsverfahren<br />

hierfür werden wir in dem noch folgenden Bemessungsbeispiel kennenlernen. Liegt<br />

die tatsächliche Sohlneigung über der zulässigen, so schlägt die DIN Sohlenbauwerke vor.<br />

Liegt die aktuelle Sohlneigung sogar über 3 o / oo , so werden entweder Sohlbauwerke oder<br />

ein durchgehender Ausbau, bei einer Sohlneigung von über 8 o / oo ein durchgehender Ausbau<br />

empfohlen.<br />

Im dritten Schritt sind die Rampenlänge ∆x Rampe <strong>und</strong> damit auch die Rampenneigung I Rampe<br />

zu wählen. Dabei gilt die folgende Beziehung für den auf dem Gewässerabschnitt ∆x zu überwindenden<br />

Geländeabfall ∆z B :<br />

∆x Rampe I Rampe = −∆z B − I zul (∆x − ∆x Rampe )<br />

Je länger also die Rampe sein soll, desto kleiner wird ihr Gefälle. Dieser <strong>und</strong> die folgenden<br />

Schritte sollten in verschiedenen Varianten durchgerechnet werden, da hier ein konstruktiver<br />

Freiheitsgrad enthalten ist.


5.5. PROFILAUFWEITUNG 87<br />

Im vierten Schritt wird der Schüttsteindurchmesser nach den verschiedenen Berechnungsverfahren<br />

ausgewählt <strong>und</strong> damit auch die zugeörige äquivalente Rauheit k s,S .<br />

Im fünften Schritt werden die Wasserstände vor, auf <strong>und</strong> hinter der Rampe bestimmt <strong>und</strong> überprüft,<br />

ob Fließwechsel stattfinden.<br />

5.5 Profilaufweitung<br />

Durch die Aufweitung des Flussbettprofils vermindert man den spezifischen Abfluss <strong>und</strong> damit<br />

die Sohlbelastung.<br />

Bei einer Querschnittsaufweitung kann zwischen zwei Arten der konstruktiven Gestaltung unterschieden<br />

werden:<br />

• Nach einer Auflockerung der seitlichen Begrenzungen kann der Fluss durch Böschungserosion<br />

seine Aufweitungsstrecke selbst formen.<br />

• Die in der Planung festgelegte Aufweitung wird durch entsprechendes Gerät vorgeformt<br />

<strong>und</strong> befestigt.<br />

Eine alternative Form der Profilaufweitung besteht in der Reduktion der Böschungsneigung.<br />

Dabei bleibt die geschiebetransportwirksame Sohlenbreite konstant, der Querschnitt wird<br />

größer <strong>und</strong> die Wassertiefe kleiner. Nach der Schleppspannungsbeziehung wird damit die<br />

Sohlbelastung geringer. Die Reduktion der Böschungsneigung zur Verminderung der Tiefenerosion<br />

funktioniert allerdings nur unter idealen Verhältnissen. So kann ein erhöhter Bewuchs<br />

auf den flacheren Böschungen zu größerer Seitenrauheit <strong>und</strong> stärkerer Bündelung des Flusses<br />

in der Profilmitte führen.<br />

5.6 Zusammenfassung<br />

Die Sicherung der Sohle gegen Abtragung (Erosion) sollte immer mit einer Analyse der Gesamtsituation<br />

<strong>und</strong> der möglichen Ursache der Erosion beginnen. Ist eine nachteilige Erosion<br />

nicht durch Maßnahmen im Oberstrom zu verhindern, so sind flussbauliche Eingriffe an der<br />

Problemstelle erforderlich. Diese bündeln zumeist das Sohlgefälle auf einen begrenzten Bereich,<br />

in dem die Sohle dann besonders geschützt wird. Die engste Bündelung wird durch<br />

Abstürze erreicht, die aber wegen ihrer ökologischen Undurchlässigkeit nicht mehr gebaut<br />

werden sollen. Vorzuziehen sind Sohlgleiten <strong>und</strong> Rampen in unterschiedlicher Bauweise, wobei<br />

die verwendeten Schüttsteine nach verschiedenen Ansätzen auf einen vorgegebenen kritischen<br />

Abfluss bemessen werden, bei dem das Bauwerk versagt.<br />

5.7 Übungen<br />

1. Für eine 300 m lange Flussstrecke mit einem spezifischen Abfluss von 20 m 2 /s <strong>und</strong><br />

einem Gefälle von I =1· 10 −4 soll eine Sohlsicherung bemessen werden. Das Bo-


88 KAPITEL 5. DIE SICHERUNG DER SOHLE<br />

denmaterial hat einen mittleren Korndurchmesser von 2 mm. Dazu soll in der Mitte der<br />

Flussstrecke eine 100 m lange Rampe gebaut werden.<br />

(a) Berechnen Sie für diesen Abfluss iterativ den sich einstellenden Wasserstand.<br />

(b) Berechnen Sie die Sohlschubspannung nach dem Gesetz von Nikuradse.<br />

(c) Berechnen Sie die kritische Schubspannung für den Bewegungsbeginn nach<br />

Shields.<br />

(d) Berechnen Sie das zulässige Sohlgefälle iterativ.<br />

(e) Berechnen Sie das notwendige Sohlgefälle der Rampe.<br />

(f) Bemessen Sie den notwendigen Schüttsteindurchmesser für den gegebenen Abfluss<br />

nach Whittacker <strong>und</strong> Jäggi.<br />

(g) Was würden Sie als zukünftiger Wasserbauingenieur alles zusätzlich zu dieser Aufgabe<br />

in Ihre Bemessung einbringen ?<br />

2. Wasser wird aus einem Polder über eine 5m breite Rampe der Neigung 1:5 in einen Fluss<br />

zurückgeführt.<br />

(a) Berechnen Sie mit der Formel von Poleni für µ = 1 <strong>und</strong> eine Überfallhöhe von<br />

30cm die pro Sek<strong>und</strong>e abfließende Wassermenge Q.<br />

(b) Berechnen Sie den notwendigen Schüttsteindurchmesser d 65 nach Whittaker <strong>und</strong><br />

Jäggi.<br />

(c) Berechnen Sie den sich über der Rampe einstellenden Wasserstand mit k s =3d 65<br />

aus der iterativen Wasserstands-Abflußbeziehung. Starten Sie dabei mit dem Wert<br />

h=30cm <strong>und</strong> berechnen Sie zwei Iterationen.


Kapitel 6<br />

Granulare Zweiphasensysteme<br />

Sowohl der wassergesättigte Boden unter dem Gr<strong>und</strong>wasserspiegel oder einem Gewässer als<br />

auch flüssige Schlicke sind Gemische aus flüssigem Wasser <strong>und</strong> festen Sedimentkörnern, die<br />

sich zu einem Korngerüst zusammenfügen, welches man auch als Kornmatrix bezeichnet. Wir<br />

wollen in dieser Schrift die Gasphase unter Gewässern unberücksichtigt lassen; ihr Anteil ist in<br />

der Regel vernachlässigbar. Damit muß der Boden als Zweiphasensystem beschrieben werden,<br />

wobei für jede Phase eine eigene Massenerhaltungsgleichung gilt.<br />

6.1 Die mikroskopische Betrachtungsweise<br />

Prinzipiell gilt für die Massenerhaltung des Porenwassers dasselbe Gesetz wie für das Wasser<br />

des Fließgewässers: div ⃗u =0. Diese Gleichung läßt sich allerdings nur an Orten anwenden,<br />

an denen sich auch tatsächlich Porenwasser befindet. Ein konzeptionelles Modell des Bodens<br />

müßte also so feinstrukturiert sein, daß es das Korngerüst als auch die Poren aufzulösen in der<br />

Lage ist. Bei einem Sandboden würde dies Gitterauflösungen im Mikrometerbereich erfordern.<br />

Selbst wenn dies unter Datenverarbeitungsaspekten möglich wäre, bleibt die Frage zu beantworten,<br />

wie die Porenraumgeometrie im Detail strukturiert ist. Daher ist eine makroskopische<br />

Betrachtungsweise zur Modellierung des Bodens erforderlich.<br />

6.2 Die makroskopische Betrachtungsweise<br />

Die makroskopische Betrachtungsweise geht ab initio davon aus, daß sich die Granularität des<br />

Bodens nicht auflösen läßt. Hierzu wird als gr<strong>und</strong>legende Größe zur Systembeschreibung die<br />

Porosität n eingeführt, die das Verhältnis der flüssigen Phase V f zum Gesamtvolumen V f +V s<br />

angibt (der Index s soll hier die feste Phase als Sediment identifizieren):<br />

n =<br />

V f<br />

(6.1)<br />

V f + V s<br />

Die Porosität n ist also im ungünstigsten Fall nach der vorliegenden Definition von der Größe<br />

des Betrachtungsvolumens V f + V s abhängig; man bezeichnet solche Größen als extensiv. So<br />

89


90 KAPITEL 6. GRANULARE ZWEIPHASENSYSTEME<br />

wäre sie eins, wenn das Betrachtungsvolumen sehr klein ist <strong>und</strong> vollständig in ein Korn fällt.<br />

Umgekehrt wäre sie Null, wenn das zu kleine Betrachtungsvolumen vollständig in eine Pore<br />

fällt. Damit die Definition der Porosität eindeutig wird, muss das Betrachtungsvolumen ein<br />

Vielfaches des Kornvolumens sein.<br />

Für die dichteste Packung von kugelförmigen Sedimentpartikeln gleicher Größe ist die Porosität<br />

n =0.26, d.h. 26 Prozent des Bodens sind mit Wasser gefüllt.<br />

In natürlichen Böden liegen keine gleichen Korngrößen vor, die Teilchen sind auch nicht kugelförmig<br />

<strong>und</strong> das Gefüge ist nicht dichtest gepackt. I.A. nimmt die Porosität zu, je kleiner die<br />

Korngröße ist, da mehr Körner auch mehr Möglichkeiten haben, sich ungünstig zu verkeilen.<br />

Sie ist umso kleiner, desto breiter die Korngrößenverteilung ist, da kleine Partikel das Gerüst<br />

aus großen Körnern auffüllen können.<br />

Im Unterschied zur Porosität beschreibt die Porenziffer e das Verhältnis von der flüssigen zur<br />

festen Phase V s :<br />

e = V f<br />

V s<br />

(6.2)<br />

Zur Umrechnung dieser beiden äquivalenten Größen verwende man die Ausdrücke:<br />

e =<br />

n<br />

1 − n<br />

n =<br />

e<br />

1+e<br />

Ist V = V f + V s das Gesamtvolumen, so lassen sich das Volumen der festen Phase<br />

<strong>und</strong> der flüssigen Phase durch<br />

V s = V<br />

V f = V<br />

1<br />

1+e<br />

= V (1 − n)<br />

e<br />

1+e = Vn<br />

berechnen.<br />

Durch die Angabe entweder der Porosität oder der Porenziffer ist der von der Flüssigkeit oder<br />

dem Feststoff beanspruchten Raum exakt bestimmt. Andererseits kann man die einzelnen Phasenanteile<br />

aber auch durch ihre Massen voneinander trennen. Die wichtigste Größe ist dabei<br />

die Feststoffkonzentration (oder einfach ’Konzentration’) c, die die Feststoffmasse pro Gesamtvolumen<br />

angibt. Mit der Porosität ist die Konzentration über den Zusammenhang<br />

c =(1− n)ρ S<br />

verb<strong>und</strong>en. Unterschiedliche Feststoffdichten ergeben bei gleicher Porosität also unterschiedliche<br />

Feststoffkonzentrationen.


6.3. DIE MASSENERHALTUNG IM ZWEIPHASENSYSTEM 91<br />

6.3 Die Massenerhaltung im Zweiphasensystem<br />

Für die flüssige als auch die feste Phase gelten Massenerhaltungssätze in der Form von Kontinuitätsgleichungen.<br />

Für die flüssige Phase gilt somit<br />

∂nϱ<br />

∂t<br />

<strong>und</strong> entsprechend für die feste Phase<br />

+ div (nϱ⃗u) =0⇒<br />

∂n<br />

∂t<br />

+ div (n⃗u) =0 (6.3)<br />

∂(1 − n)ϱ s<br />

∂t<br />

+ div((1 − n)ϱ s ⃗u s )=0⇒<br />

∂(1 − n)<br />

∂t<br />

+ div((1 − n) ⃗u s )=0<br />

wobei ϱ s die Sedimentdichte <strong>und</strong> ⃗u s die Sedimentbewegungsgeschwindigkeit ist.<br />

Die Addition dieser beiden phasenseparaten Gleichungen<br />

div (n⃗u +(1− n) ⃗u s )=0<br />

zeigt, daß sich die Divergenzfreiheit in einer inkompressiblen Zweiphasenströmung auf das<br />

gewichtete Geschwindigkeitsfeld bezieht.<br />

Beispiel: Phasengeschwindigkeiten in einer Absetzsäule<br />

Eine Feststoff-Wasser-Gemisch befindet sich in einer Absetzsäule. Wir wollen davon ausgehen,<br />

daß keine horizontalen Geschwindigkeitskomponenten zu verzeichnen sind, was im Mittel<br />

über eine horizontale Querschnittsfläche sicherlich gilt. Dann bleibt:<br />

∂<br />

∂z (nw +(1− n)w s)=0<br />

Da sich das Gesamtfluidvolumen in der Säule während des Absetzvorgangs nicht ändert, gilt<br />

für die Integration zwischen dem Boden z B der Absetzsäule <strong>und</strong> einer beliebigen Höhe z:<br />

∫ z<br />

z B<br />

∂<br />

∂z (nw +(1− n)w s) dz = nw(z)+(1− n)w s (z) − nw(z B ) − (1 − n)w s (z B )=0<br />

Da sowohl die Fluid- als auch die Feststoffgeschwindigkeit am Boden der Absetzsäule Null<br />

sind, bekommt man:<br />

nw +(1− n)w s =0<br />

Die Volumenerhaltung in einer Absetzsäule ist dann gewährleistet, wenn sich die Geschwindigkeiten<br />

der beiden Phasen auf diese entsprechend ihren Volumenanteilen mit umgekehrtem<br />

Vorzeichen aufteilen.


92 KAPITEL 6. GRANULARE ZWEIPHASENSYSTEME<br />

6.4 Die Impulserhaltung im Zweiphasensystem<br />

Genauso kann man auch die Impulsgleichungen der festen <strong>und</strong> flüssigen Phase herleiten. Wir<br />

beschränken uns hier auf die Angabe der Impulsgleichungen für die flüssige Phase. Sie entsprechen<br />

den schon bekannten Navier-Stokes-Gleichungen, wobei die verschiedenen Terme<br />

allerdings durch die Porosität ergänzt werden müssen. Ferner ist als weitere Kraft die Interaktion<br />

zwischen der flüssigen <strong>und</strong> der festen Phase als Widerstandskraft zu berücksichtigen:<br />

∂n⃗u<br />

∂t<br />

+ div (n⃗u ⊗ ⃗u) =−n⃗g + ⃗ f int − n ϱ grad p + n ϱ div P<br />

Entscheidend ist nun die Bestimmung der Widerstandskraft, die die einzelnen Bodenpartikel<br />

der Strömung entgegensetzen.<br />

6.5 Beschreibung <strong>und</strong> Klassifikation der Prozesse<br />

In einer granularen Feststoffsuspension finden die unterschiedlichsten Prozesse statt, die nach<br />

der Feststoffkonzentration <strong>und</strong> der repräsentativen Korngröße des Fesstoffanteils klassifizieren<br />

lassen.<br />

In Abhängigkeit von der Konzentration lassen sich granulare Feststoffsuspensionen in vier<br />

Klassen unterteilen (siehe Tabelle 6.1). Bei Konzentrationen unter 0.1 g/l bewegen sich die<br />

Schwebstoffe advektiv mit der Strömung, wobei sie auf Gr<strong>und</strong> ihres Eigengewichtes unbehindert<br />

zu Boden sinken. Rheologisch verhält sich diese wässrige Lösung wie ein Newtonsches<br />

Fluid. Die Turbulenz ist von den Schwebstoffen unbeeinflußt.<br />

Steigt die Schwebstoffkonzentration über 0.1 g/l, behindert rückströmendes Fluid das Absinken<br />

der nachfolgenden Partikel, die Turbulenz wird zudem wegen der höheren Trägheit der<br />

Sedimentpartikel gedämpft.<br />

Bei Konzentrationen über 10 g/l bekommen die Partikel zunehmend Kontakt zueinander, sie<br />

bilden ein immer stabiler werdendes Korngerüst, manchmal auch als Kornmatrix bezeichnet.<br />

Diese Kontakte behindern die horizontale Bewegung des Fluids zunehmend, es bedarf einer<br />

Mindestscherspannung, damit sich das Fluid in Bewegung setzt. Die als Fluid Mud bezeichnete<br />

Flüssigkeit verhält sich nun nicht mehr newtonsch, sondern binghamsch. Diese Mindestscherspannung<br />

dämpft die Turbulenz vollkommen weg. Immer noch ist diese Flüssigkeit in der<br />

Lage, an Bodengefällen in Form einer Scherströmung abwärts zu gleiten. An seiner Oberfläche<br />

sind schon geringe Turbulenzen in der Lage, das Material aufzuwirben (engl. Entrainment).<br />

Bei Konzentrationen über 250 g/l findet keine (auf die Zeitskala der Strömung bezogen) horizontale<br />

Bewegung mehr statt. Das Material hat ein vollständiges Korngerüst ausgebildet, welches<br />

die Auflast zu einem großen Teil auffangen kann. Der verbleibende Anteil wird durch den<br />

sich ausbildenden Porenwasserüberdruck gehalten, der durch Konsolidierung abgebaut wird.<br />

Ist das Korngerüst dann in der Lage, die Auflast vollständig zu tragen, ist dieser Konsolidierungsprozess<br />

abgeschlossen, der Porenwasserdruck wird zum hydrostatischen. Im Unterschied<br />

zum Fluid Mud wird konsolidierter Boden erst beim Vorliegen hoher Schubspannungen erodiert.


6.5. BESCHREIBUNG UND KLASSIFIKATION DER PROZESSE 93<br />

c<br />

< 0.1 g/l<br />

0.1 - 10 g/l<br />

Medium<br />

Wässrige<br />

Suspension<br />

(Hoch)konzentrierte<br />

Suspension<br />

settling advektiv Newton gedämpft<br />

hindered<br />

settling<br />

Scherströmung<br />

plastisch<br />

nicht<br />

vorhanden<br />

Absetzen<br />

nicht<br />

vorhanden<br />

viskoelastisch<br />

nicht<br />

vorhanden<br />

10 - 250 g/l Fluid Mud<br />

Konsolidierender<br />

> 250 g/l<br />

Boden<br />

Vertikalbewegung<br />

Transport Rheologie Turbulenz<br />

freies<br />

Sinken advektiv Newton<br />

hindered<br />

unbeeinflußt<br />

Tabelle 6.1: Klassifikation der Prozesse nach der Konzentration. Alle Konzentrationsangaben<br />

sind nur ungefähre Anhaltswerte <strong>und</strong> hängen von vielen weiteren Parametern ab.<br />

Die Bezeichnung der Übergänge zwischen den Phasen kann dabei Tabelle 6.2 entnommen<br />

werden. Bei diesen Übergängen können die unterschiedlichsten Prozesse eine entscheidende<br />

Rollen spielen. So hat z.B. die Bildung von Dünen <strong>und</strong> darüber liegenden Riffeln einen erheblichen<br />

Einfluss auf die Deposition von Schwebstoffen in tiefen Rinnen bei großen Strömungsgeschwindigkeiten.<br />

Erst die Ruhezonen im Leebereich dieser Sohlstrukturen erlaubt dort eine<br />

Deposition von Feinstsedimenten. Will man dort z.B. die Ausbildung von Flüssigschlickschichten<br />

vorhersagen, so müssen diese Sohlstrukturen ebenfalls prognostiziert werden.<br />

Die zweite Klassifizierung der Prozesse muß mit der repräsentativen Korngröße erfolgen. Bei<br />

festen Wasser- zu Feststoffanteil nimmt in einem gegebenem Volumen mit kleiner werdender<br />

Korngröße zunächst die Kontaktfläche zwischen den beiden Phasen <strong>und</strong> damit der Grad der<br />

Wechselwirkungen zwischen den beiden Phasen zu. Diese bestimmt u.a. den Strömungswiderstand<br />

eines absinkenden Partikels, dessen Sinkgeschwindigkeit nach Stokes mit dem Quadrat<br />

des Korndurchmessers abnimmt.<br />

Bei Suspension von Ton- <strong>und</strong> kolloiden Partikeln (durchschnittlich 2 µm) werden durch die<br />

Kleinheit der Partikel zwei Prozesse relevant, die bei Schluff- <strong>und</strong> Sandpartikeln keine Rolle<br />

spielen: die Brownsche Molekularbewegung der umgebenden Wassermoleküle <strong>und</strong> die<br />

Flockenbildung. Diese beiden Prozesse spielen eine wichtige Rolle in der Rheologie des Fluid<br />

Muds.<br />

Da ferner die Masse des Einzelpartikels mit der dritten Potenz des Durchmessers abnimmt,<br />

nimmt der Impuls des sinkenden Partikels mit der fünften Potenz des Durchmessers ab. Hierdurch<br />

wird ein absinkendes kleines Partikel durch Kollisionen mit anderen Partikeln wesentlich<br />

effektiver gebremst als ein größeres. Dadurch wird das freie Absinken bei kleinen Partikeln<br />

schon bei recht geringen Feststoffkonzentrationen vollständig unterb<strong>und</strong>en.<br />

Akkustische Untersuchungen des Feststoffprofils in Küstengewässern zeigen, daß dieser Prozess<br />

schon ab 100 g/l stattfindet, was einer Porosität von n = 0.962 entspricht. Eine solche<br />

Schicht besteht volumenmäßig also fast nur aus Wasser <strong>und</strong> dennoch haben die Feststoffpartikel<br />

so untereinander Kontakt, daß sie sich gegenseitig in ihrer Lage stabilisieren. Dies kann<br />

nur durch die Bildung langer Ketten entstehen, so wie es in Abbildung 6.1 dargestellt ist. Diese


94 KAPITEL 6. GRANULARE ZWEIPHASENSYSTEME<br />

Abbildung 6.1: Lose Kornstruktur mit viel Porenraum.<br />

von / nach Suspension Fluid Mud Fester Boden<br />

Suspension - Gellieren Deposition<br />

Fluid Mud Entrainment - Konsolidierung<br />

Fester Boden Erosion<br />

Fluidisierung<br />

Liquefaktion -<br />

Tabelle 6.2: Phasenübergänge<br />

Filamentstrukturen werden erst durch weitere Auflasten gebrochen, wobei das Porenwasser in<br />

die Wassersäule gepreßt wird.<br />

Eine vollständige mathematische Erfassung dieser Prozesse kann nur im Rahmen der Theorie<br />

der Mehrphasenströmungen geschehen.<br />

6.6 Die Abschätzung des Porenwassergehalts<br />

Die Porosität eines Bodens hängt von vielen Parametern, wie die Größe <strong>und</strong> die Form der einzelnen<br />

Partikel, die Korngrößenverteilung, <strong>und</strong> dem Verdichtungs- bzw. Konsolidierungsgrad<br />

ab.<br />

In der Literatur kann man verschiedene Ansätze finden, die die Porosität aus der Korngrößenverteilung<br />

zu bestimmen versuchen. Leider verwenden die meisten dabei zusätzliche geotechnische<br />

Angaben, die erst in einem solchen Labor bestimmt werden müssen.<br />

Wir wollen hier ein Prozessmodell studieren, welches Åberg 1992 [1], [2] aufstellte, um die<br />

Porenziffer für nicht-kohäsive Böden einzig <strong>und</strong> allein in Abhängigkeit von der Korngrößenverteilung<br />

zu bestimmen. Alle weiteren Eigenschaften werden in zwei empirische Parameter<br />

integriert.<br />

Das Berechnungsverfahren besteht aus den folgenden drei Bestimmungsgleichungen für die<br />

Porenziffer


6.6. DIE ABSCHÄTZUNG DES PORENWASSERGEHALTS 95<br />

1<br />

0,9<br />

0,8<br />

Porosität n<br />

0,7<br />

0,6<br />

0,5<br />

0,4<br />

Feststoffdichte 2650 kg/m³<br />

Feststoffdichte 2200 kg/m³<br />

Feststoffdichte 1800 kg/m³<br />

0,3<br />

0,2<br />

0,1<br />

Suspension<br />

Fluid Mud<br />

Konsolidierender Boden<br />

0<br />

0 500 1000 1500 2000 2500<br />

Feststoffkonzentration [g/l]<br />

Abbildung 6.2: Die Porosität als Funktion der Feststoffkonzentration.<br />

mit den Parametern<br />

A 0 =<br />

e =2c A 0<br />

B 0<br />

mit c =0.73 (6.4)<br />

⎡<br />

∫1 ∫1<br />

1<br />

⎣<br />

0 P ′<br />

⎤<br />

∫1<br />

d(P ) dP ⎦ dP ′ =<br />

0<br />

P<br />

d(P ) dP<br />

B 0 =<br />

∫ 1<br />

0<br />

1<br />

d(P ) dP<br />

worin P (d) die Summenkurve der Korngrößenverteilung <strong>und</strong> d(P ) deren Umkehrung ist.<br />

Der Beweis dieser Behauptung ist kompliziert. Er basiert auf der Idee, den komplexen dreidimensionalen<br />

Raum des Korngerüsts <strong>und</strong> der Poren zu eindimensionalisieren, indem er flächendeckend<br />

durch vertikale Linien zu überdeckt wird. Das Volumen eines Quaders V = AL ergibt<br />

sich dann durch die Integration<br />

∫ ∫<br />

V = dldA<br />

A<br />

Die vertikalen Überdeckungslinien gehen nun abwechselnd durch Porenwasser <strong>und</strong> durch<br />

Feststoff (Abbildung 6.4); wir wollen diese Teilabschnitte als Poren- <strong>und</strong> als Kornsehnen bezeichnen.<br />

l


96 KAPITEL 6. GRANULARE ZWEIPHASENSYSTEME<br />

percentage finer (%)<br />

100<br />

90<br />

80<br />

70<br />

60<br />

50<br />

40<br />

30<br />

20<br />

10<br />

0<br />

0,001<br />

Clay Silt<br />

Sand Gravel<br />

fine medium coarse fine medium coarse fine medium coarse<br />

f: loam<br />

n=0,21<br />

0,01<br />

h: Silt, fS<br />

n=0,25<br />

c: fine Sand<br />

n=0,35<br />

g: fine Sand/Silt<br />

n=0,20<br />

0,1<br />

a: m.Sand<br />

n=0,26<br />

diameter (mm)<br />

1<br />

b: m.Sand<br />

n=0,26<br />

e: loam<br />

n=0,17<br />

a: medium Sand<br />

b: medium/coarse Sand<br />

c: fine Sand<br />

d:Sand/Gravel<br />

e: loam<br />

f: loam<br />

g: fine Sand/Silt<br />

h: Silt, fS<br />

0,002 0,006 0,02 0,06 0,2 0,6 2 6 20 60<br />

10<br />

d: Sand/Gravel<br />

n=0,32<br />

100<br />

Abbildung 6.3: Ergebnisse für die Porosität nach dem Berechnungsverfahren von Åberg (Aus<br />

[50], [38])<br />

C H= E ? D H@<br />

<br />

L E@ ? D H@<br />

C H= E ? D H@<br />

L E@ ? D H@<br />

C H= E ? D H@<br />

Abbildung 6.4: Definition von Poren- <strong>und</strong> Kornsehnen; engl. grain chords <strong>und</strong> void chords.


6.6. DIE ABSCHÄTZUNG DES PORENWASSERGEHALTS 97<br />

Die mittlere Länge der Kornsehnen<br />

Die Sehne durch ein Korn kann dieses an beliebigen Stellen schneiden. Als mittlere Sehnenlänge<br />

g bezeichnet man den Mittelwert aller Sehnen, die ein gegebenes Korn an irgendeiner<br />

Stelle schneidet.<br />

)<br />

)<br />

*<br />

*<br />

Abbildung 6.5: Links: Beliebige Kornsehne; rechts: Zur Definition der mittleren Kornsehnenlänge.<br />

1945 konnte Tomkeieff [67] beweisen, daß die mittlere Kornsehnenlänge g für konvexe Partikel<br />

proportional ihrem Volumen V g dividiert durch die Projektionsfläche des Korns ist. Nimmt<br />

man ferner an, daß die Projektionsfläche eines Korns einem Viertel seiner Oberfäche A g entspricht,<br />

so bekommt man den Zusammenhang:<br />

g ≃ 4V g<br />

(6.5)<br />

A g<br />

Das Kornvolumen ist proportinal zur dritten Potenz des Korndurchmessers d<br />

V g = a v d 3<br />

<strong>und</strong> die Kornoberfläche proportional zum Quadrat des Kornduchmessers:<br />

A g = a s d 2<br />

Mit a = a v /a s bekommt man für die mittlere Kornsehnenlänge den naheliegenden Zusammenhang:<br />

g =4ad (6.6)<br />

Åberg hat aus Laboruntersuchungen für beliebige Körner der Fraktionen 5.6 bis 8 mm; 11.3<br />

bis 16 mm and 22.6 bis 32 mm den Proportionalitätskoeffizienten a = 0.125 erhalten. Andere<br />

Untersuchungen zeigen, daß sich für sehr spitze Körner ein Wert von 0.13 ergibt, so daß auch<br />

diese durch obigen Wert repräsentiert werden.<br />

Somit ergibt sich für die mittlere Kornsehnenlänge der einfache Zusammenhang g = d/2.


98 KAPITEL 6. GRANULARE ZWEIPHASENSYSTEME<br />

Die Anzahl der Kornsehnen auf einer Länge L<br />

Es soll nun untersucht werden, wieviele Körner von einer Linie der Länge L durchschnitten<br />

werden, wieviele Kornsehnen N g es auf der Länge L also gibt. Ganz offensichtlich unterscheidet<br />

sich dabei die Anzahl der Kornsehnen von denen der Porensehnen N v maximal um eins,<br />

da auf jede Kornsehne eine Porensehne folgt <strong>und</strong> umgekehrt. Für eine große Kantenlänge L<br />

gilt somit N g<br />

∼ = Nv .<br />

Da das Porenvolumen V f eines Volumens V = LA mit der Porosität n über<br />

zusammenhängt, gilt für das Kornvolumen:<br />

V f = nLA<br />

V s =(1− n)LA<br />

Ist g nun der mittlere Kornsehnenlänge, dann folgt für die Anzahl der Kornsehnen bei einem<br />

Material, welches aus Körners des Durchmessers d besteht:<br />

N g = V s (1 − n)L<br />

=<br />

gA g<br />

=<br />

(1 − n)L<br />

4ad<br />

Betrachten wir nun eine Korngrößenverteilung, die durch die Summenkurve P (d) dargestellt<br />

wird. Dann ist die Anzahl der Kornsehnen, die durch Körner im Größenintervall [d, d +∆d]<br />

liegen<br />

dN g =<br />

<strong>und</strong> somit die Gesamtzahl der Kornsehnen:<br />

(1 − n)L<br />

dP<br />

4ad<br />

N g =<br />

∫1<br />

0<br />

(1 − n)L<br />

dP<br />

4ad<br />

Und schließlich ist die Anzahl der Kornsehnen, die zu Körnern, deren Korngröße größer als d ′<br />

ist:<br />

N gP ′ =<br />

∫1<br />

P ′<br />

(1 − n)L<br />

dP mit P ′ = P (d ′ )<br />

4ad<br />

Mit den Werten N g <strong>und</strong> dN g können wir schließlich die Wahrscheinlichkeit p(d ′ ) berechnen,<br />

däs eine beliebige Kornsehne größer als g ′ ist:<br />

p(g ′ )= N gw ′<br />

N g<br />

=<br />

1∫ 1<br />

dP<br />

w ′ d<br />

1∫ 1<br />

dP d<br />

0


6.6. DIE ABSCHÄTZUNG DES PORENWASSERGEHALTS 99<br />

Die Länge der Porensehnen<br />

Für ein Korngerüst, welches aus Körnern gleicher Größe besteht, nimmt Åberg an, daß die<br />

mittlere Länge der Porensehnen i proportional zur Länge der mittleren Kornsehne g ′ ist. Große<br />

Körner produzieren also auch größere Porenräume. Führt man die empirische Konstante c ein,<br />

die von der Kornform abhängen sollte, dann gilt:<br />

i ′ = cg ′ = c4ad ′<br />

Besteht das Korngerüst aus Körnern unterschiedlicher Größe, soll nun die Länge der Porensehnen<br />

dL v bestimmen, die zu Körnern der Klasse [d, d +∆d] gehören. Dazu betrachtet man<br />

die Lagerungssituation eines Korns dieser Klasse <strong>und</strong> gehe davon aus, daß neben diesem kein<br />

weiteres Korn dieser Klasse liegt. Sollte dies nicht der Fall sein, dann muss die Klasse durch<br />

das ∆d kleiner gewählt werden.<br />

C<br />

P1<br />

D<br />

A<br />

B<br />

P2<br />

Abbildung 6.6: Die Länge der Porensehne P1 wird durch das Korn A, die Länge der Porensehne<br />

P2 durch das Korn D bestimmt.<br />

Åberg unterscheidet dann zwei Situationen: Entweder das Korn liegt in der Lücke zwischen<br />

zwei größeren Körnern. Dann bestimmt es auf der Linie die Größe der Porensehnen auf beiden<br />

Seiten. Die andere Möglichkeit besteht darin, daß sich in dem Hohlraum eines Betrachtungskorns<br />

ein kleineres eingenistet hat. Dann bestimmt das Betrachtungskorn den Hohlraum nicht.<br />

Nur im ersten Fall trägt das Korn zur Porensehnenlänge seiner Klasse bei:<br />

dL v ′ =2pdN g ′cg ′<br />

Das zu dieser Kornklasse gehörige Porenvolumen ist dann:<br />

dV f ′ =2pcg ′ AdN g ′<br />

Durch Integration über die Korngrößenverteilung ergibt sich:<br />

∫ ∫<br />

V f = dV f ′ = 2pcg ′ AdN g ′<br />

Das Integral kann über die Kornsehnenanzahl pro Größenklasse transformiert werden:<br />

V f =<br />

∫ 1<br />

0<br />

∫<br />

2pcg ′ (1 − n)L<br />

1<br />

A dP =<br />

g ′<br />

0<br />

2pcV (1 − n)dP =<br />

∫ 1<br />

0<br />

2pcV s dP


100 KAPITEL 6. GRANULARE ZWEIPHASENSYSTEME<br />

Damit bekommt man für die Porenziffer:<br />

e = V ∫ 1<br />

s<br />

=2c pdP<br />

V f<br />

Setzt man hier die oben definierte Wahrscheinlichkeit ein:<br />

1∫ 1<br />

∫1 dP<br />

w<br />

e =2c<br />

′ d<br />

dP<br />

1∫ 1<br />

0 dP d<br />

Da der Nenner nicht von P abhängt, gilt:<br />

1∫ 1∫ 1dP dP<br />

0 w<br />

e =2c<br />

′ d<br />

1∫ 1<br />

dP d<br />

0<br />

Um nun die Porenziffer bei bekannter Korngrößenverteilung P(d) bestimmen zu können, wird<br />

nur noch der Proportionalitätfaktor c benötigt, der vpn Åberg durch sehr umfangreiche Laborexperimente<br />

bestimmt wurde. Dabei wurden die Böden nach der Proctormethode komprimiert<br />

<strong>und</strong> darauf der Wassergehalt experimentell <strong>und</strong> durch obige Gleichung bestimmt. Für natürlich<br />

ger<strong>und</strong>eten Kies ergaben sich c-Werte zwischen 0.672 <strong>und</strong> 0.805.<br />

Korngerüststrukturen<br />

Das vorgestellte Verfahren gilt nach Åberg nur für Böden, bei denen alle Körner in alle drei<br />

Raumrichtungen vollkommen fixiert sind. Kein einziges Korn soll dabei in der Lage sein, sich<br />

in irgendeine Richtung zu bewegen. Somit ist umgekehrt jedes Korn Teil des Korngerüsts.<br />

Solche Böden bezeichnet Åberg als Gerüststruktur A.<br />

In Typ-A-Materialien müssen die Feinkornanteile in solchem Maße vorhanden sein, daß sie<br />

nicht nur Lückenfüller sind, sondern die großen Körner voneinander fernhalten. Die Korngrößenverteilung<br />

eines solchen Materials ist in Abbildung 6.8 skizziert.<br />

Die Gerüststruktur granularen Materials kann aber auch so beschaffen sein, daß nur ein Teil<br />

der Körner das tragende Skelett formen. Wie bei der Gerüststrukturtyp A sind diese Körner im<br />

Gerüst unbeweglich <strong>und</strong> bestimmen das Gesamtvolumen des Materials. Die anderen Körner<br />

sind dagegen beweglich, ohne dabei die anderen Körner zu stören. Sie haben kleinere Kontaktzahlen<br />

(Abbildung 6.7).<br />

Ein Korngerüst mit losen <strong>und</strong> festen Körnern bezeichnet Åberg als Gerüststrukturtyp B. Ein<br />

solches Korngerüst kann dann entstehen, wenn der wesentliche Anteil aus groben Körnern<br />

besteht, <strong>und</strong> ein Feinkornanteil existiert, dessen Anteil <strong>und</strong> Durchmesser vergleichweise klein<br />

ist, so daß er die Poren zwischen den großen Körnern ungestört ausfüllen kann.<br />

In Figure 6.8 graph B shows a grain size distribution curve for a typical type B material with<br />

the characteristic flat left part.<br />

Because Eq. 6.4 is only valid for type A materials, the void ratio of granular type B materials<br />

carried out by Åberg is presented in the following.<br />

0<br />

0


6.6. DIE ABSCHÄTZUNG DES PORENWASSERGEHALTS 101<br />

Abbildung 6.7: Korngerüst des Typs B: Das schwarze Korn kann sich frei bewegen.<br />

<br />

O F A H? A JBE A H<br />

)<br />

*<br />

O<br />

<br />

=<br />

N<br />

N<br />

=<br />

C H= E I E A N<br />

N <br />

Abbildung 6.8: Particle size distribution curves for materials with type A and type B structure


102 KAPITEL 6. GRANULARE ZWEIPHASENSYSTEME<br />

Die Porenziffer von Boden der Struktur B<br />

Zur Bestimmung der Porenziffer von Boden der Struktur B wird die Korngrößenverteilung in<br />

lose <strong>und</strong> Gerüstkörner unterteilt. Dabei markiert die Korngröße d a die Grenze zwischen losen<br />

Körnern (d 0 bis d a ) <strong>und</strong> Gerüstkörnern (d a bis d 100 ). In der Realität ist diese Grenze natürlich<br />

nicht so scharf; Körner der Grenzgröße d a werden dabei sicherlich an einigen Stellen das<br />

Gerüst bauen, an anderen Stellen lose im Korngerüst hängen. Dieses Modell der Bodenstruktur<br />

ermöglicht es Åberg aber, die Porenziffer auch für solche Böden zu bestimmen.<br />

Die Idee besteht darin, zunächst einmal den fiktiven Porenraum im Skelett der großen Körner<br />

zu bestimmen, egal ob zwischen ihnen Lückenfüllerkörner liegen. Die Porenziffer e a des fiktiven<br />

Porenraums ist<br />

mit<br />

A a =<br />

⎡<br />

∫1 ∫1<br />

1<br />

⎣<br />

P a P ′<br />

e a =<br />

⎤<br />

∫1<br />

d(P ) dP ⎦ dP ′ =<br />

2c<br />

1 − P a<br />

A a<br />

B a<br />

(6.7)<br />

P a<br />

∫1<br />

P<br />

d(P ) dP − P 1<br />

a<br />

d(P ) dP<br />

P a<br />

<strong>und</strong>:<br />

∫1<br />

1<br />

B a = dP (6.8)<br />

d(P )<br />

P a<br />

Zwischen der tatsächlichen Porenziffer e des Materials <strong>und</strong> der fiktiven Porenziffer e a der<br />

Skelettkörner besteht der einfache Zusammenhang:<br />

e a = e + P a<br />

(6.9)<br />

1 − P a<br />

Kombiniert man die Gleichungen 6.7 <strong>und</strong> 6.9, dann bekommt man für die Porenziffer e von<br />

Typ-B-Material:<br />

e =2c A a<br />

− P a (6.10)<br />

B a<br />

Das Verfahren gilt genauso für Materialien des Typs A, wenn man P a = 0 setzt. Dies wird im<br />

ersten Schritt auch gemacht <strong>und</strong> die Grenzkorngröße d a dann aus<br />

d a =<br />

2c<br />

2c +1<br />

A a<br />

Ba<br />

2<br />

(6.11)<br />

berechnet. Ist diese kleiner als die kleinste Korngröße d 0 , dann formen selbst diese das Korngerüst<br />

mit. Im anderen Fall wird mit d a <strong>und</strong> P a <strong>und</strong> Gleichung (6.10) die Porenziffer iterativ<br />

berechnet.


6.7. DIE BODENEVOLUTIONSGLEICHUNG 103<br />

6.7 Die Bodenevolutionsgleichung<br />

Die Transportformeln von DuBoys <strong>und</strong> Bagnold beschreiben entsprechend ihrer Herleitung<br />

die Bewegung des gesamten Bodenvolumens, sie beinhaltet also die feste <strong>und</strong> die flüssige<br />

Phase. Man kann die mit ihnen verb<strong>und</strong>ene <strong>Morphodynamik</strong> also mit den in Abschnitt 4.1<br />

dargestellten Bilanzierungsverfahren bestimmen.<br />

Die meisten Transportformeln (so z.B. die von Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller, von Einstein,<br />

Engel<strong>und</strong>-Hansen <strong>und</strong> van Rijn) beziehen sich allerdings auf das bewegte Feststoffvolumen,<br />

welches sich aus dem bewegten Gesamtvolumen durch Division durch 1 − n berechnet. Darin<br />

ist n die Porosität, die das Verhältnis der flüssigen Phase V f zum Gesamtvolumen V f + V s<br />

angibt (der Index s soll hier die feste Phase als Sediment oder engl. Solid identifizieren):<br />

n =<br />

V f<br />

(6.12)<br />

V f + V s<br />

Die Bodenevolutionsgleichung wird dann zu<br />

∂z B<br />

∂t + div<br />

⃗q S<br />

1 − n =0<br />

Wir wollen schon jetzt einen weiteren Prozeß in der Bodenevolutionsgleichung berücksichtigen,<br />

der erst später eingehend betrachtet wird. Während große Partikel vornehmlich als Geschiebe<br />

transportiert werden, können kleinere Partikel vom Boden aufgewirbelt werden <strong>und</strong><br />

den Kontakt zum Boden vollständig verlieren. Verringern sich die Turbulenzverhältnisse irgendwo,<br />

irgendwie oder irgendwann, dann sinken die in Schwebe gehaltenen Partikel wieder<br />

zu Boden <strong>und</strong> werden dort deponiert. Sei der damit verb<strong>und</strong>ene Massenfluss zwischen Boden<br />

<strong>und</strong> Wassersäule mit Φ S bezeichnet, er werde also in kg/(m 2 s) gemessen. Er setzt sich aus<br />

dem mit der Aufwirbelung verb<strong>und</strong>enen Erosions- <strong>und</strong> dem Sedimentationsfluß zusammen.<br />

Um aus diesem die zeitliche Änderung der Sohlhöhe zu bestimmen, müssen wir diesen durch<br />

die Depositionsdichte ϱ dep<br />

ϱ dep = Feststoffmasse<br />

Gesamtvolumen = ϱ S(1 − n)<br />

teilen, die die Feststoffmasse pro Gesamtvolumen angibt:<br />

∂z B<br />

∂t + div<br />

⃗q S<br />

1 − n = Φ S<br />

ϱ dep<br />

=<br />

Φ S<br />

ϱ S (1 − n)<br />

bzw. wenn die Porosität keinen räumlichen Schwankungen unterworfen ist, erhält man die<br />

allgemeine Bodenevolutionsgleichung:<br />

(1 − n) ∂z B<br />

∂t + div ⃗q S = Φ S<br />

ϱ S<br />

(6.13)


104 KAPITEL 6. GRANULARE ZWEIPHASENSYSTEME<br />

Sie beschreibt die Massenerhaltung in beliebigen Kontrollvolumina: Fließt in ein solches mehr<br />

Sedimentmasse rein als raus, so erhöht sich die Bodenebene um den entsprechenden Betrag.<br />

Je nachdem, ob dem Divergenzterm oder dem Quellterm in der allgemeinen Bodenevolutionsgleichung<br />

mehr Gewicht zugeordnet wird, lassen sich auch hier die beiden Formen des<br />

<strong>Sedimenttransport</strong>es unterscheiden:<br />

• Beim <strong>Sedimenttransport</strong> als Geschiebe ist der Divergenzterm weitaus größer als der<br />

Quellterm, das Sediment wird am Boden entlanggeschoben, indem die Natur die Gleichung<br />

löst.<br />

(1 − n) ∂z B<br />

∂t + div ⃗q S =0<br />

• Beim <strong>Sedimenttransport</strong> in Suspension ist der Quellterm weitaus größer als der Divergenzterm,<br />

das Sediment wird durch den Austausch mit der Wassersäule transportiert.<br />

Zur Bestimmung der Sohlevolution löst man die Gleichung<br />

∂z B<br />

∂t<br />

=<br />

Φ S<br />

ϱ S (1 − n) = −Φ dep +Φ ero<br />

ϱ S (1 − n)<br />

sowie eine Gleichung für den <strong>Sedimenttransport</strong> in der Wassersäule.<br />

Diese Arten der Unterscheidung gelten wohlgemerkt auf einer theoretischen Ebene. In Natura<br />

werden alle Zwischenformen verwirklicht, insbesondere ist die springende Bewegung mit<br />

einer relativ kurzen Verweilzeit in der Wassersäule zu nennen. Auch wenn beide Terme modelliert<br />

werden, ist immer zu entscheiden, welche Formen des <strong>Sedimenttransport</strong>es dem der<br />

Modellbodenfracht oder dem der Modellsuspension zuzuschlagen sind. Es existieren mathematische<br />

Modelle, die auch den suspensiven Transport durch eine entsprechende Transportratenformel<br />

im Divergenzterm berücksichtigen <strong>und</strong> die Konstruktion des anderen Extremes ist<br />

ebenfalls denkbar.


Kapitel 7<br />

Fraktionierter Transport <strong>und</strong><br />

Sedimentsortierung<br />

Im Gegensatz zu unseren bisherigen vereinfachenden Annahmen besteht das Sediment an der<br />

Sohle unter Fließgewässern aus einer Mischung von Körnern unterschiedlicher Größe, Form<br />

<strong>und</strong> Beschaffenheit. Die charakteristischen Kenngrößen dieser Sedimentmischungen, wie z.B.<br />

der mittlere Korndurchmesser weisen für verschiedene Regionen eines Gewässers gewisse<br />

Veränderungen auf, die zudem zeitlichen Schwankungen unterworfen sind. So sind im Oberlauf<br />

eines Flusses grobere Sedimente als im Unterlauf oder im vorgelagerten Küstengewässer<br />

zu finden. Ferner verfeinert sich der Sedimentboden in Richtung der Ufer von Flüssen <strong>und</strong><br />

Küstengewässern.<br />

Geht man davon aus, daß alle diese Sedimentfraktionen irgendwann einmal einen bestimmten<br />

Flußquerschnitt passiert haben, dann können nur selektive Transportprozesse dafür verantwortlich<br />

gemacht werden, daß die Sedimente unterschiedlicher Größe voneinander getrennt <strong>und</strong> an<br />

jeweils andere Orte verbracht werden. Um diese Prozesse berechenbar zu machen, dürfen wir<br />

die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität also nicht mehr nur auf die Gesamtfracht beziehen, sondern<br />

müssen zwischen einzelnen Fraktionen unterschiedlicher Sedimentklassen unterscheiden lernen.<br />

Wir wollen zunächst Sedimentmischungen mit den Instrumenten der Statistik beschreiben. Danach<br />

sollen die wichtigsten Ansätze für den Bewegungsbeginn <strong>und</strong> die Geschiebetransportrate<br />

der Einzelfraktionen in Mischungen vorgestellt werden. Diese sind im wesentlichen durch<br />

die Auswertung von Laborexperimenten zum fraktionierten Geschiebetransport oder den Vergleich<br />

von numerischen Modellen mit Naturdaten entstanden. Dabei fehlen bisher physikalische<br />

Modellvorstellungen über die Ursachen des selektiven Geschiebetransportes, was umso<br />

tragischer ist, wenn man die wichtige Rolle dieser Prozesse bei der Erzeugung der geologischen<br />

Diversität bedenkt.<br />

105


106 KAPITEL 7. FRAKTIONIERTER TRANSPORT UND SEDIMENTSORTIERUNG<br />

5 K I F A I E <br />

6 H= I F HJI ? D E? D J<br />

, A ? I ? D E? D J<br />

7 JA HI ? D E? D J<br />

Abbildung 7.1: Der vertikale Aufbau eines geschiebeführenden Gewässers.<br />

7.1 Die vertikale Schichtung des Sedimentes<br />

Die Sedimentböden unter Oberflächengewässern lassen verschiedene Schichtungs- oder Lagerungsformen<br />

erkennen, die entweder auf geologische oder aber gegenwärtige fraktionierte<br />

Transportprozesse zurückzuführen sind. Wir wollen uns an dieser Stelle nur den durch Transportprozesse<br />

erzeugten vertikalen Strukturen zuwenden. Ein typischer Aufbau einer Sedimentsohle<br />

ist dazu in Abbildung 7.1 dargestellt.<br />

Direkt an der Sohle findet man in vielen Fließgewässern eine Schicht recht groben Materials,<br />

die meist nur wenige Korndurchmesser der maximalen Fraktion mächtig ist. Man bezeichnet<br />

sie als Deckschicht, da sie, wenn sie sich einmal gebildet hat, die darunter liegenden Schichten<br />

vor Erosion schützt.<br />

Die Voraussetzung ihrer Entstehung ist in der größeren Mobilität kleinerer Fraktionen verb<strong>und</strong>en.<br />

Eine Deckschicht kann erst dann entstehen, wenn für die kleinen Fraktionen eine


7.2. DER BEWEGUNGSBEGINN BEI EINER MISCHSOHLE 107<br />

Erosionssituation vorliegt, wenn also an einem gegebenen Ort weniger Material zugeführt als<br />

abgetragen wird. Durch die größere Mobilität der kleinen Fraktionen werden dann mehr kleine<br />

als große Anteile fortgetragen, wodurch sich der mittlere Korndurchmesser an dieser Stelle<br />

erhöht. Irgendwann wird das Kriterium des Bewegungsbeginns unterschritten, womit sich eine<br />

stabile Deckschicht ausgebildet hat. Erst bei der nächsten größeren Belastung wie z.B. einem<br />

Hochwasserereignis kann die Deckschicht aufgerissen werden, wodurch auch das feinere darunter<br />

liegende Material der Erosion schutzlos preisgegeben ist.<br />

Unterhalb der Deckschicht befindet sich die Unterschicht, die von den gegenwärtigen <strong>Sedimenttransport</strong>prozessen<br />

nicht oder nur wenig beeinflußt wird. Über der Deckschicht beginnt<br />

die Wassersäule, in der Sedimente in Suspension transportiert werden.<br />

7.2 Der Bewegungsbeginn bei einer Mischsohle<br />

Wir wollen uns an den Beginn der Sedimentbewegung bei einer Mischsohle herantasten.<br />

Je nach Argumentation kann man hier schon im Vorfeld zu widersprüchlichen Ergebnissen<br />

kommen: Wendet man die Shieldskurve auf die einzelnen Fraktionen an, dann scheinen sich<br />

zunächst die kleinsten Körner <strong>und</strong> dann mit zunehmender Sohlschubspannung auch die größeren<br />

in Bewegung zu setzen.<br />

Dies ist in der Realität allerdings nicht der Fall. Tatsächlich werden die kleineren Körner durch<br />

die größeren von der Strömung abgeschattet, wodurch sich für diese die kritische Sohlschubspannung<br />

des Bewegungsbeginns erhöht. Umgekehrt ragen die großen Körner aus dem Bett<br />

von kleinen weiter heraus, so daß sie dem Strömungsangriff stärker exponiert sind.<br />

Hieraus kann man schließen, daß die kritische Schubspannung des Bewegungsbeginns für<br />

große Körner in einer Mischsohle reduziert (Expositionseffekt), während sie für die kleineren<br />

Körner erhöht wird (Abschattungseffekt).<br />

7.2.1 Das Konzept des selektiven Bewegungsbeginns nach Egiazaroff<br />

I.V. Egiazaroff [15] hat hierfür 1965 einen theoretischen Ansatz vorgestellt, dessen Herleitung<br />

hier auf die uns gewohnte Denkweise übertragen werden soll. Er geht davon aus, daß die<br />

Sohle aus Körnern besteht, die durch einen mittleren Durchmesser d m charakterisiert werden.<br />

Hieraus ragen an einigen Stellen größere Körner des Durchmessers d i heraus.<br />

Über der mittleren Sohle bildet sich nun ein logarithmisches Geschwindigkeitsprofil aus, welches<br />

an den Stellen, wo größere Körner liegen gestört wird. Aufgr<strong>und</strong> der Trägheit der sich<br />

bewegenden Wassermassen wird sich die Geschwindigkeit direkt über dem großen Korn nur<br />

unwesentlich von der ungestörten Geschwindigkeit in der Höhe z ′ = d i unterscheiden.<br />

Die Schubspannung des Bewegungsbeginns des herausragenden Korns weiche durch den Faktor<br />

ζ i vom mittleren Bewegungsbeginn ab:<br />

τ c,i = ζ i τ c bzw. ζ i = τ c,i<br />

τ c<br />

Da die am Boden wirkende Schubspannung in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit<br />

in der Bezugshöhe z ′ durch


108 KAPITEL 7. FRAKTIONIERTER TRANSPORT UND SEDIMENTSORTIERUNG<br />

K <br />

<br />

K <br />

@ <br />

@ E<br />

Abbildung 7.2: Prinzipskizze zur Modellvorstellung des Bewegungsbeginns einer fraktionierten<br />

Sohle nach Egiazaroff.<br />

( 1<br />

⃗τ B = ϱ<br />

κ<br />

ln<br />

z′<br />

z 0<br />

) −2<br />

‖⃗u(z ′ )‖⃗u(z ′ )<br />

gegeben ist, folgt für das Verhältnis ζ i auf der Bezugshöhe z ′ ≃ d i :<br />

( )<br />

ln<br />

d −2 ⎛ ⎞<br />

i<br />

2 ⎛ ⎞<br />

dm<br />

dm<br />

z<br />

ζ i =<br />

0<br />

ln<br />

( ) −2<br />

= ⎝ z 0<br />

log<br />

⎠<br />

ln<br />

d m ln d = ⎝ z 0 ⎠<br />

i<br />

z0<br />

z 0<br />

log d i<br />

z 0<br />

Im Unterschied zu unseren Darstellungen wurde der die Sohlrauheit charakterisierende Nullpunkt<br />

des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils bei einem neunzehntel des mittleren Korndurchmessers<br />

angenommen, also<br />

z 0 =0.0526d m<br />

2<br />

gesetzt. Damit ergibt sich schließlich:<br />

⎛<br />

log 19<br />

ζ i = ⎝<br />

log 19 d i<br />

⎞2<br />

⎠<br />

d m<br />

(<br />

) 2<br />

log 19<br />

bzw. τ c,i =<br />

τ c<br />

log(19d i /d m )<br />

Der Vorfaktor ζ i heißt Abschattungskoeffizient. Er bewirkt, daß sich für alle Körner, die kleiner<br />

als der mittlere Durchmesser sind, die kritische Schubspannung erhöht <strong>und</strong> für alle Körner, die<br />

größer als der mittlere Korndurchmesser sind, die kritische Schubspannung erniedrigt.


7.2. DER BEWEGUNGSBEGINN BEI EINER MISCHSOHLE 109<br />

7.2.2 Das Konzept des gleichmäßigen Bewegungsbeginns<br />

Die heutigen Interpretationen der experimentellen Ergebnisse zum Bewegungsbeginn bei<br />

Mischsohlen gehen davon aus, daß der Bewegungsbeginn nicht selektiv sondern für alle<br />

Körner gleichzeitig stattfindet [22]. Dies läßt sich insbesondere bei Erosionsversuchen in Laborgerinnen<br />

feststellen, bei denen die Abschwemmung am Auslauf des Gerinnes immer alle<br />

Fraktionen der oberen Sohlschicht aufweist. Damit ist der geometrische Ansatz Egiazaroffs<br />

nicht notwendig falsch. Sicherlich ragen die größeren Körner an manchen Stellen aus der Sohle<br />

heraus, werden sie allerdings erst einmal in Bewegung gesetzt, die kleineren mit sich.<br />

Hierfür spricht zudem eine kinematische Argumentation: Die Geschwindigkeit ist auch über<br />

Materialgrenzen hinweg in inkompressiblen Medien stetig. So kann man beweisen, daß an der<br />

Kontaktfläche zwischen Wassersäule <strong>und</strong> Sedimentsohle die Geschwindigkeiten des Wassers<br />

<strong>und</strong> des Sedimentes gleich sind. Überträgt man diesen Gedankengang auf einzelne Körner, so<br />

werden sich benachbarte oder gar sich berührende Körner an den Kontaktpunkten diesselben<br />

Bewegungsgeschwindigkeiten.<br />

Die kritische Shieldsspannung muß also mit einem die Kornverteilung repräsentierenden Korndurchmesser<br />

bestimmt werden. Hierfür nimmt man in der Regel den d m -Wert der Verteilung<br />

<strong>und</strong> berechnet mit diesem den Shieldsparameter bzw. die kritische Schubspannung nach<br />

Shields.<br />

7.2.3 Die Stabilität der Deckschicht<br />

Im Falle einer ausgebildeten Deckschicht ist diese oftmals nur eine sehr dünne Haut auf einem<br />

vielleicht mächtigen, aber feinkörnigen Unterboden. Daher kann die Berechnung der<br />

kritischen Schubspannung des Bewegungsbeginns mit Durchmessern des Deckschichtmaterials<br />

d D zu große Sicherheiten vortäuschen, während die Berechnung des Bewgungsbeginns<br />

mit Durchmessern der Unterschicht d U die Erosionsstabilität der Sohle unterschätzt. Für die<br />

tatsächliche kritische Schubspannung des Bewegungsbeginns gilt also die Ungleichung:<br />

τ c (d U )


110 KAPITEL 7. FRAKTIONIERTER TRANSPORT UND SEDIMENTSORTIERUNG<br />

7.3 Fraktionierte <strong>Sedimenttransport</strong>kapazitäten<br />

Wir wollen nun für Mischsohlen auch die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazitäten fraktionieren, d.h.<br />

untersuchen, wie groß die Transportkapazitäten der einzelnen Fraktionen i sind. Die Gesamttransportkapazität<br />

ergibt sich dann als Summe der Einzelfraktionen:<br />

⃗q S = ∑ i<br />

⃗q S i<br />

Ribberink [53] postuliert, daß für die Berechnung der <strong>Sedimenttransport</strong>kapazitäten eine<br />

logarithmisch-äquidistante Fraktionierung der Körngroßenverteilung vorteilhaft ist, d.h. die<br />

einzelnen Klassen werden so aufgeteilt, daß die Differenz der Logarithmen des Durchmessers<br />

konstant ist (ln d i+1 − ln d i = const für alle i). In diesem Fall steigt bei mehr als vier bis sechs<br />

Fraktionen die Genauigkeit in der Gesamttransportkapazität nicht mehr.<br />

7.3.1 Die Äquifraktionierung der Gesamttransportkapazität<br />

Die erste Möglichkeit zur Bestimmung der fraktionierten <strong>Sedimenttransport</strong>raten besteht in<br />

einer Aufteilung der Gesamttransportkapazität entsprechend den Volumenanteilen der Fraktionen<br />

in der obersten Schicht:<br />

⃗q S i = p i ⃗q S<br />

Bleibt also nur das Problem, wie man die Gesamttransportkapazität einer Mischsohle bestimmt.<br />

Nach Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller [41], [42] erhält man diese, wenn man in ihrer Formel<br />

den Durchmesser des Einzelkorns durch den mittleren Durchmesser der Mischsohle ersetzt:<br />

1<br />

q S =8<br />

ϱ 1/2 (ϱ S − ϱ)g (µτ B − τ c (d m )) 3/2 (7.1)<br />

Unabhängig von der Gestaltung der Formel für den Gesamttransport führen alle diese Ansätze<br />

dazu, daß sie das Sediment so verfrachten, als ob man mit einer Schaufel Boden entnehmen<br />

<strong>und</strong> an anderer Stelle deponieren würde. Dabei bleibt die Fraktionierung des Sedimentes unverändert.<br />

In der Realität beobachtet man aber selektive Transportprozesse, d.h. die Einzelfraktionen<br />

besitzen unterschiedliche Beweglichkeiten.<br />

7.3.2 Die Transportformel von Ashida <strong>und</strong> Michiue (1971)<br />

Es liegt nahe, den von Egiazaroff gef<strong>und</strong>enen Ansatz zum selektiven Bewegungsbeginn zur<br />

Konstruktion einer Geschiebetransportformel für den Transport unterschiedlicher Sedimentfraktionen<br />

zur Anwendung zu bringen. Ashida <strong>und</strong> Michiue (zitiert nach [27]) haben dazu<br />

die Formel von Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller als Ausgangspunkt verwendet. Sie gehen davon aus,<br />

daß die dimensionslose Sohlschubspannung θ i auf den Durchmesser d i der einzelnen Fraktion<br />

bezogen werden muß, während der Shieldsparameter für den mittleren Korndurchmesser d m<br />

bestimmt wird, dann aber mit der Egiazarofffunktion gewichtet wird. Die Transportrate der<br />

i-ten Fraktion ist somit also


7.3. FRAKTIONIERTE SEDIMENTTRANSPORTKAPAZITÄTEN 111<br />

! <br />

#<br />

5 A @ E A JJH = I F H J = F = EJ J I <br />

<br />

#<br />

<br />

#<br />

@ <br />

F #<br />

@ $ <br />

F #<br />

<br />

! " # $ % & ' <br />

5 D I ? D K > I F = K C <br />

Abbildung 7.3: Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität nach Ashida <strong>und</strong> Michiue in Abhängigkeit von<br />

der effektiven Sohlschubspannung für ein Korngemisch aus zwei Fraktionen von 2 <strong>und</strong> 6 mm<br />

großen Körnern. Gestrichelt sind die Transportraten der Einzelfraktionen dargestellt.


112 KAPITEL 7. FRAKTIONIERTER TRANSPORT UND SEDIMENTSORTIERUNG<br />

√<br />

ϱS − ϱ<br />

q Si = p i 8 gd 3 i (µθ i − ζ i θ c ) 3<br />

ϱ<br />

(<br />

1<br />

d 3 i<br />

= p i 8<br />

µτ<br />

ϱ 1/2 B − ζ i τ c<br />

(ϱ S − ϱ)g<br />

d 3 m<br />

wenn diese mit dem Gewichtsanteil p i im Gesamtgemisch vorhanden ist. In der Originalarbeit<br />

wird der Shieldsparameter wie bei Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller konstant mit θ c =0.047 angesetzt.<br />

Der Zusammenhang ist in Abbildung 7.3 für zwei Fraktionen (d 1 = 2 mm, d 2 = 6 mm) dargestellt.<br />

Das Geschiebe beginnt sich ab etwa 1 N/m 2 zu bewegen. Dabei wird zunächst nur die<br />

kleinere Fraktion transportiert. Ab 8.5 N/m 2 setzt sich auch die größere Fraktion in Bewegung,<br />

wodurch die Summenkurve des Gesamttransports einen Knick bekommt.<br />

Kritisch ist an diesem Ansatz anzumerken, daß er zwar die Abschattungsfunktion von Egirazaroff<br />

verwendet, die dahinter stehende Physik aber nicht verwirklicht. Laut Egiazaroff beginnen<br />

sich die großen Körner bei geringeren Schubspannungen als die kleinen zu bewegen.<br />

Die Transportrate deutet allerdings auf den umgekehrten Effekt. Dies liegt daran, daß nicht die<br />

kritische Sohlschubspannung τ c , sondern der Shieldsparameter θ c mit der Egiazarofffunktion<br />

gewichtet wird. Hierdurch wird die kritische Sohlschubspannung des Bewegungsbeginns nicht<br />

nur mit der Egiazarofffunktion, sondern auch mit dem Verhältnis von aktuellem zu mittleren<br />

Korndurchmesser gewichtet.<br />

7.3.3 Die Transportformel von Hunziker<br />

Ronald Peter Hunziker [27] hat eine fraktionierte Geschiebetransportformel entwickelt, in der<br />

das Konzept des gleichmäßigen Bewegungsbeginns Berücksichtigung findet. In ihr berechnet<br />

man die kritische Schubspannung des Bewegungsbeginns nach Shields, wobei die Geschiebemischung<br />

durch den mittleren Korndurchmesser charakterisiert wird.<br />

Ist diese Bedingung überschritten, dann bekommen die einzelnen Fraktionen allerdings unterschiedliche<br />

Beweglichkeiten zugeordnet. Dies geschieht dadurch, daß die transportauslösende<br />

Überschussspannung τ B − τ c für jede Fraktion mit einer Wichtungsfunktion ϕ i multipliziert<br />

wird:<br />

⎛ ⎛<br />

( ) ⎞⎞<br />

0.33 3/2<br />

5<br />

dU<br />

q Si = p i<br />

⎝ϕ<br />

ϱ 1/2 i<br />

⎝τ B − τ c (d D ) ⎠⎠<br />

(ϱ S − ϱ)g<br />

d D<br />

Der Vergleich mit verschiedenen Experimenten ergibt für die Wichtungsfunktion den Zusammenhang:<br />

( ) −0.011θ<br />

−1.5<br />

m +0.3<br />

di<br />

ϕ i =<br />

d m<br />

Eine Besonderheit der Transportformel von Hunziker ist die Nullstelle <strong>und</strong> die damit verb<strong>und</strong>ene<br />

Vorzeichenumkehr des Exponenten der Wichtungsfunktion ϕ i . Die Wahl dieses Ansatzes<br />

) 3/2


7.3. FRAKTIONIERTE SEDIMENTTRANSPORTKAPAZITÄTEN 113<br />

&<br />

$<br />

"<br />

5 A @ E A JJH = I F H JH = JA I <br />

<br />

<br />

&<br />

$<br />

"<br />

@ $ <br />

F #<br />

@ <br />

F #<br />

<br />

<br />

! " # $ % & ' <br />

5 D I ? D K > I F = K C <br />

Abbildung 7.4: Die <strong>Sedimenttransport</strong>kapazität nach Hunziker in Abhängigkeit von der effektiven<br />

Sohlschubspannung für ein Korngemisch aus zwei Fraktionen von 2 <strong>und</strong> 6 mm großen<br />

Körnern. Gestrichelt sind die Transportraten der Einzelfraktionen dargestellt.


114 KAPITEL 7. FRAKTIONIERTER TRANSPORT UND SEDIMENTSORTIERUNG<br />

berücksichtigt ein Ergebnis der Versuche von Suzuki, der bei größeren Belastungen der Sohle<br />

eine leichte Vergröberung des Materials festgestellt hat. Somit werden bei größeren Sohlschubspannungen<br />

mehr große Fraktionen transportiert, was für die Verhältnisse in Abbildung 7.4 bei<br />

ca. 7.2 N/m 2 stattfindet.<br />

Ferner bezweifelt Hunziker die Richtigkeit des Vorfaktors in der Formel von Meyer-Peter <strong>und</strong><br />

Müller <strong>und</strong> reduziert diesen von acht auf fünf.<br />

Für die kritische Schubspannung des Bewegungsbeginns nimmt Hunziker die Gültigkeit der<br />

Shieldsfunktion an, wobei er allerdings die kritische Schubspannung für den Fall einer ausgebildeten<br />

Deckschicht modifiziert.<br />

Die Anwendung der Transportformel von Hunziker in numerischen Modellen kann zu Instabilitäten<br />

führen, die dadurch entstehen, daß der Exponent der Wichtungsfunktion für kleine<br />

Schubspannungen gegen minus unendlich divergiert. Es ist daher sinnig, die Wichtungsfunktion<br />

nach oben zu beschränken, also z.B. durch<br />

ϕ i =min(ϕ i , 1.37)<br />

wodurch die Transportkapazität einer Fraktion niemals den Wert nach Meyer-Peter <strong>und</strong> Müller<br />

überschreiten würde.<br />

7.4 Das Konzept der aktiven Schicht<br />

Die Kornrauheit, der Beginn der Sedimentbewegung <strong>und</strong> die Geschiebetransportraten sind von<br />

der Zusammensetzung der obersten Sedimentschicht im Boden abhängig. Denkt man an den<br />

Fall einer ausgebildeten Deckschicht, dann kann der mittlere Korndurchmesser in den ersten<br />

Kornlagen sehr viel größer sein, als wenn man diesen aus einer Probe über den ersten Meter<br />

bestimmt. Zur quantitativen Prognose von <strong>Sedimenttransport</strong>prozessen ist daher eine genaue<br />

Kenntnis der obersten Sedimentschicht ausschlaggebend. Hierfür hat man in mathematischen<br />

Modellen das Konzept der sogenannten aktiven Schicht (engl. active layer, mixing layer, Index<br />

M) eingeführt.<br />

Diese habe die Dicke h M <strong>und</strong> umfasse nur die oberste Sedimentschicht direkt unter der Wassersäule.<br />

Die Transportraten sowie der Bewegungsbeginn werden dann nur mit der Sedimentverteilung<br />

in der aktiven Schicht berechnet. Dort sei jede Kornklasse mit der Fraktion p Mi<br />

vertreten.<br />

7.4.1 Die Dynamik der Einzelfraktionen<br />

Wir wollen zuerst untersuchen, wie man die Veränderung der Einzelfraktionen p i infolge des<br />

<strong>Sedimenttransport</strong>es im Verlauf der Zeit beschreibt. Um möglichst allgemein zu bleiben, gehen<br />

wir dabei davon aus, daß sich dabei nicht nur das Teilvolumen V i der Einzelfraktion, sondern<br />

auch das Bezugsvolumen V ges zeitlich ändern können.<br />

Für die zeitliche Änderung der Einzelfraktion p i = V i<br />

V ges<br />

gilt laut Quotientenregel der Differentialrechnung


7.4. DAS KONZEPT DER AKTIVEN SCHICHT 115<br />

∂p i<br />

∂t = 1 ( ∂Vi<br />

V ges ∂t − V )<br />

i ∂V ges<br />

= 1 ( )<br />

∂Vi<br />

V ges ∂t V ges ∂t − p ∂V ges<br />

i<br />

∂t<br />

Wir wollen davon ausgehen, daß das Bezugvolumen durch eine horizontale, ansonsten aber<br />

beliebige Gr<strong>und</strong>fläche A <strong>und</strong> der Höhe h S gebildet wird. Und da<br />

bzw.<br />

∂V i<br />

∂t + A div q S i<br />

=0<br />

∂V ges<br />

+ A div q ges =0<br />

∂t<br />

folgt für die Dynamik der Einzelfraktion durch Geschiebetransport:<br />

∂p i<br />

∂t = 1 (p i div q ges − div q Si )<br />

h S<br />

Sie wird durch das Verhältnis des Transports der Einzelfraktion zum Gesamttransport bestimmt.<br />

7.4.2 Die Kornzusammensetzung in der aktiven Schicht<br />

Die zeitliche Änderung der Fraktion i ist durch die Erosionsrate div q⃗<br />

Si gegeben. Ist diese positiv,<br />

dann wird diese Sedimentfraktion an der entsprechenden Stelle verringert, ist sie negativ,<br />

dann wird der Anteil dieser Sedimentfraktion erhöht. Im Falle der Erosion der Fraktion i muß<br />

das erodierte Material aus der aktiven Schicht durch Material der darunter liegenden Unterschicht<br />

ersetzt werden, damit die Dicke der aktiven Schicht konstant bleibt. Die Auffüllung<br />

erfolge proportional zum Vorhandensein der Fraktion in der Unterschicht p i .<br />

Dann wird die zeitliche Änderung der Fraktion i in der aktiven Schicht im Erosionsfall durch<br />

die Differentialgleichung<br />

∂p Mi<br />

∂t<br />

+ 1 (div q⃗<br />

Si − p i div ⃗q S )=0<br />

h M<br />

beschrieben. Im Depositionsfall gibt div q⃗<br />

Si den Materialgewinn in der Fraktion i an. Damit<br />

die Deckschichtdicke konstant bleibt, muß entsprechend der Fraktionsverteilung in der Deckschicht<br />

p Mi Material an die Unterschicht abgegeben werden:<br />

∂p Mi<br />

∂t<br />

+ 1 (div q⃗<br />

Si − p Mi div ⃗q S )=0<br />

h M<br />

Sowohl die Bilanzgleichung für den Erosions- als auch für den Depositionsfall lassen sich<br />

durch Summation über alle Sedimentfraktionen plausibilisieren. In beiden Gleichungen verschwindet<br />

die Zeitableitung, da die Eins als Summe aller Fraktionen zeitlich konstant ist. Die<br />

Divergenzterme verschwinden, da div ⃗q S = ∑ div q⃗<br />

Si gilt.<br />

i


116 KAPITEL 7. FRAKTIONIERTER TRANSPORT UND SEDIMENTSORTIERUNG<br />

7.4.3 Die Dicke der aktiven Schicht<br />

Für die Dicke der Austauschschicht gibt es in der Literatur sehr unterschiedliche Angaben. Es<br />

sind sowohl physikalisch hergeleitete als auch empirisch oder stochastisch bestimmte Ansätze<br />

zu finden.<br />

Die Austauschschichtdicke als Vielfaches des d max<br />

In der numerische Modellierung der Güntherexperimente durch Hunziker wurde die Austauschschichtdicke<br />

gleich dem 5fachen des maximalen Korndurchmessers gesetzt:<br />

h M =5d max<br />

Unberücksichtigt bleiben bei diesem Ansatz die Einflüsse der Hydrodynamik, d.h. die Austauschschichtdicke<br />

ist unabhängig von der wirkenden Bodenschubspannung.<br />

Die Austauschschichtdicke nach Borah et al. (1982)<br />

Zur Bestimmung der Austauschschichtdicke unterteilen Borah et al. [9] die aus N Fraktionen<br />

bestehende Kornverteilung in solche, die von der Strömung bewegt werden können: d 1 , .., d L−1<br />

<strong>und</strong> solche, die nicht bewegt werden können: d L , .., d N . Die Dicke der Austauschschicht wird<br />

folgendermaßen berechnet:<br />

h M =<br />

1<br />

N∑<br />

i=L<br />

p Mi<br />

d L<br />

mit:<br />

• L = Index der kleinsten immobilen Fraktion<br />

• N = Index der größten Fraktion<br />

• p Mi = Fraktion der Kornklasse i in der Austauschschicht<br />

Diese Formel besagt, dass je größer der Anteil aller beweglichen Körner am Gesamtvolumen<br />

in der Austauschschicht wird, desto dicker wird auch die Austauschschicht. Die Austauschschichtdicke<br />

ist ebenfalls direkt proportional zum kleinsten nicht beweglichen Korndurchmesser<br />

<strong>und</strong> nimmt mit Zunahme des Anteils nicht beweglichen Materials überproportional ab.<br />

Ist die Sohle beispielsweise von einer Deckschicht überlagert, die nur aus unbeweglichen<br />

Körnern der Größe d L besteht, dann spürt die Strömung nur die oberste Kornlage. Es ist dann<br />

L =1, <strong>und</strong> die Dicke der transportbestimmenden Austauschschicht entspricht dem unerodierbaren<br />

Korndurchmesser h M = d L .<br />

Bei einem Boden mit zwei Kornfraktionen gleicher Anteile, deren eine unter einer gegebenen<br />

Belastung beweglich <strong>und</strong> deren andere unbeweglich ist, gilt h M =2d L .


7.4. DAS KONZEPT DER AKTIVEN SCHICHT 117<br />

Austauschschichtdicken - verschiedene Ansätze<br />

Kornverteilung: Jade - Weser - Ästuar (global)<br />

70,00000<br />

60,00000<br />

50,00000<br />

Borah:<br />

Problem: keine Lösung, wenn alle Fraktionen<br />

mobil<br />

0.9 N/m² : 65 mm = 43.3 dmax<br />

Kornzusammensetzung in<br />

der Austauschschicht:<br />

d = 0.023 mm (9%)<br />

d = 0.046 mm (7%)<br />

d = 0.094 mm (31%)<br />

d = 0.188 mm (30%)<br />

d = 0.375 mm (16%)<br />

d = 0.750 mm (5%)<br />

Austauschschichtdicke [mm]<br />

40,00000<br />

30,00000<br />

20,00000<br />

10,00000<br />

konstant 7,5 mm = 5<br />

neuer Ansatz<br />

3 N/m² : 6,6 mm = 4,4 dmax<br />

0,00000<br />

0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500<br />

van Rijn<br />

3 N/m² : 0,4 mm = 0.27 dmax<br />

Fredsoe et al.<br />

3 N/m² : 0,64 mm = 0,43 dmax<br />

Parker et al.<br />

3 N/m² : 0,8 mm = 0,53<br />

Bodenschubspannung [N/m²]<br />

Abbildung 7.5: Die Austauschschichtdicke nach Borah et al. im Vergleich mit weiteren<br />

Ansätzen.


118 KAPITEL 7. FRAKTIONIERTER TRANSPORT UND SEDIMENTSORTIERUNG<br />

Ist der Porenwasseranteil in der Austauschschicht durch n gegeben, berechnet sich die Austauschschichtdicke<br />

zu<br />

h M =<br />

N∑<br />

i=L<br />

1<br />

p Mi<br />

d L<br />

1 − n<br />

(7.2)<br />

Die Austauschschichtdicke ist nach diesem Konzept proportional zur durch die Schubspannung<br />

ausgeübten Belastung an der Sohle <strong>und</strong> zur Dicke der bewegten Sedimentschicht. Bei<br />

kleinen Sohlschubspannungen ist der Durchmesser der ersten unbeweglichen Sedimentklasse<br />

d L <strong>und</strong> somit auch die Austauschschichtdicke klein.<br />

Dieser Ansatz berücksichtigt somit sowohl die effektiv wirkende Bodenschubspannung als<br />

auch die zum Bewegungsbeginn notwendige. In Abb. 7.5 ist die Entwicklung der Austauschschichtdicke<br />

mit zunehmender Bodenschubspannung aufgetragen. Anhand der initialen, globalen<br />

Kornverteilung im Jade-Weser-Modell wird deutlich, das mit zunehmender Bodenschubspannung<br />

sehr dicke Austauschschichten berechnet werden. Dies hat zur Folge, dass an Stellen<br />

hoher Strömungsdynamik (hohes τ b ) zu viel Sediment zum Transport zur Verfügung steht.<br />

Daraus könnten lang anhaltende maximale Transportraten <strong>und</strong> damit erhöhte Tiefenerosionen<br />

resultieren.<br />

Der Ansatz birgt allerdings zwei konzeptionelle Probleme in sich: Für den Fall, dass alle Sedimentfraktionen<br />

bewegt werden, wird der Nenner mit der Summe der unbeweglichen Fraktionen<br />

Null, die Austauschschichtdicke divergiert. Desweiteren zeigt die Abbildung 7.5, daß sehr<br />

große Sprünge in der Austauschschichtdicke dann auftreten, wenn die Sohlschubspannung so<br />

steigt, daß der Bewegungsbeginn einer Fraktion mit sehr großem Anteil überschritten wird.<br />

Aus diesen Gründen kann die abschließende Implementation in SediMorph nicht empfohlen<br />

werden, obwohl die prinzipielle Wirkungsweise des Ansatzes in einem numerischen Modell<br />

doch getestet werden sollte.<br />

Der Ansatz von Fredsøe <strong>und</strong> Deigaard (1992)<br />

Fredsøe <strong>und</strong> Deigaard [19] leiten die Austauschschichtdicke aus einer bodenmechanischen<br />

Betrachtung ab. Sie nehmen an, daß diese die Bodentiefe ist, in der die an der Bodenoberkante<br />

wirkende Sohlschubspannung τ B für die Kornmatrix nicht mehr spührbar ist. Diese von der<br />

Kornmatrix aufgenommene Spannung bezeichnet man als effektive Spannung σ ′ .Für sie läßt<br />

sich bei einem vollständig entspannten Porenwasser, d.h. konsolidierten Boden die Beziehung<br />

σ ′ zz(z) =σ zz (z B )+<br />

∫z B<br />

z<br />

(ϱ s − ϱ)g(1 − n)dz<br />

An der Bodenoberkante wirkt die durch die Strömung verursachte Sohlschubspannung τ B . Sie<br />

induziert durch den Winkel der inneren Reibung φ die Normalspannung:<br />

τ B = −σ zz (z B )tanφ ⇒ σ zz(z) ′ =− τ ∫z B<br />

B<br />

tan φ + (ϱ s − ϱ)g(1 − n)dz<br />

z


7.4. DAS KONZEPT DER AKTIVEN SCHICHT 119<br />

Die Austauschschichtdicke soll nun dadurch bestimmt sein, daß an ihrer Unterkante die durch<br />

die Sohlschubspannung induzerten Normalspannungen vollständig durch die Auflast kompensiert<br />

werden; σ zz (z B − h M )=0. Legen wir den Nullpunkt der z-Achse an z B − h M :<br />

∫h M<br />

τ B<br />

tan φ = (ϱ s − ϱ)g(1 − n)dz<br />

0<br />

Die Porosität -d.h. der Wassergehalt ist an der Bodenoberkante bekannt, dort ist nur noch<br />

Wasser vorhanden, also n =1. Am unteren Ende der Austauschschicht sei die Porosität die<br />

ungestörte des Bodens n = n 0 . Zwischen diesen beiden Werten nehmen die Autoren einen<br />

linearen Abfall des Porenwassergehalts an,<br />

n(z) =<br />

z (<br />

+ n 0 1 − z )<br />

h M h M<br />

wodurch das Integral berechenbar wird:<br />

τ B<br />

tan φ =(ϱ s − ϱ)g 1 2 h M(1 − n 0 )<br />

Damit folgt für die Austauschschichtdicke:<br />

2 τ B 1<br />

h M =<br />

g (ρ s − ρ)tanφ 1 − n<br />

wobei der Index 0 an der Porosität wieder weggelassen wurde.<br />

Die sehr klare, hinter diesem Ansatz liegende Konzeption ist genau das Problem desselben.<br />

Es wird davon ausgegangen, daß der Nullpunkt der effektiven Spannung eines konsolidierten<br />

Bodens gesucht werden muß. In einem sich bewegenden Korn-Wasser-Gemisch ist der Begriff<br />

effektive Spannung so aber gar nicht definiert. Vielmehr müssen im Bewegungsfall die inneren,<br />

rheologischen Spannungen betrachtet werden.<br />

Im Endergebnis von Fredsøe <strong>und</strong> Deigaard erscheint schließlich -im Gegensatz zu den anderen<br />

Ansätzen- der Korndurchmesser nicht mehr. Er geht immanent natürlich in den Winkel der inneren<br />

Reibung ein, für den allerdings ebenfalls keine hinreichend sicheren Parametrisierungen<br />

in Abhängigkeit von der Korngrößenverteilung existieren.<br />

Wir haben daher entschieden, den Ansatz von Fredsøe <strong>und</strong> Deigaard nicht in SediMorph zu<br />

implementieren.<br />

Die Transportformel von van Rijn (1993)<br />

An die empirische Herleitung der van-Rijn-Formel schließt sich die Überlegung an, ob die<br />

mittlere Sprunghöhe nicht als Austauschschichtdicke fungieren kann:<br />

( )<br />

h M =0, 3 D∗<br />

0,7 τB − τ 0,5 c<br />

d 50<br />

τ c<br />

In der Abbildung 7.6 ist der Ansatz mit den anderen verglichen. Man bekommt mit ihm die<br />

geringste Austauschschichtdicke für die angenommene Jade-Weser Modellkorngrößenverteilung.


120 KAPITEL 7. FRAKTIONIERTER TRANSPORT UND SEDIMENTSORTIERUNG<br />

Austauschschichtdicken - verschiedene Ansätze<br />

Kornverteilung: Jade - Weser - Ästuar (global)<br />

8,00000<br />

konstant 7,5 mm = 5<br />

dmax<br />

7,00000<br />

Austauschschichtdicke [mm]<br />

6,00000<br />

5,00000<br />

4,00000<br />

3,00000<br />

2,00000<br />

1,00000<br />

Kornzusammensetzung in<br />

der Austauschschicht:<br />

d = 0.023 mm (9%)<br />

d = 0.046 mm (7%)<br />

d = 0.094 mm (31%)<br />

d = 0.188 mm (30%)<br />

d = 0.375 mm (16%)<br />

d = 0.750 mm (5%)<br />

neuer Ansatz<br />

3 N/m² : 6,6 mm = 4,4 dmax<br />

Wong et al.<br />

3 N/m² : 0,8 mm = 0,53<br />

Fredsoe et al.<br />

3 N/m² : 0,64 mm = 0,43 dmax<br />

0,00000<br />

0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500<br />

van Rijn<br />

3 N/m² : 0,4 mm = 0.27 dmax<br />

Bodenschubspannung [N/m²]<br />

Abbildung 7.6: Die Austauschschichtdicke der verschiedenen Ansätze im Vergleich.


7.4. DAS KONZEPT DER AKTIVEN SCHICHT 121<br />

Der Ansatz von Singh et al. (2004)<br />

Einen anderen Weg schlagen Singh et al. [64] ein. Sie gehen davon aus, daß die Austauschschichtdicke<br />

mindestens der Dünenhöhe entspricht, setzen diese als das doppelte derselben<br />

an:<br />

(<br />

h M = d 90 +0.3h 1 − τ )<br />

c<br />

τ B<br />

Der Ansatz garantiert zudem, daß auch bei fehlenden Sohlbelastungen die Dicke der aktiven<br />

Schicht mindestens dem Korndurchmesser d 90 entspricht. Für sehr große Sohlbelastungen<br />

steigt die Dicke auf bis zu 30% der darüber befindlichen Wassertiefe.<br />

Dieser Ansatz ist aufgr<strong>und</strong> seiner Abhängigkeit von der Wassertiefe nicht allgemein gültig, da<br />

er z.B. in sehr tiefen Gewässern unrealistische Austauschschichtdicken produzieren würde. Er<br />

soll hier nicht weiter verfolgt werden.<br />

Der Ansatz von Wong et al. (2006)<br />

Betrachtet man die Bewegung des Sediments auf der Ebene des einzelnen Korns, so lassen sich<br />

drei verschiedene Phasen unterscheiden: Phasen, in denen das Korn an der Sohloberfläche liegt<br />

<strong>und</strong> dem Strömungsangriff ausgesetzt ist; Bewegungsphasen <strong>und</strong> Phasen, während denen es in<br />

unteren Sohlschichten eingegraben ist [71].<br />

Hieraus ergibt sich eine effektive Bewegungsgeschwindigkeit u g des einzelnen Korns, die sowohl<br />

die Ruhe- als auch die Bewegungsphasen inludiert. Diese effektive Bewegungsgeschwindigkeit<br />

ist natürlisch wesentlich kleiner als die Geschwindigkeit des Partikels in der tatsächlichen<br />

Bewegungsphase.<br />

Im Laborexperiment kann diese effektive Bewegungsgeschwindigkeit ebenso wie die Feststofftransportrate<br />

q S recht einfach durch das Markieren von Tracern gemessen werden. Da<br />

Geschwindigkeit <strong>und</strong> Transportrate durch die Beziehung<br />

q S = u g h A<br />

miteinander verb<strong>und</strong>en sind, ist zu fragen, ob die hier auftauchende Tiefe h A , die Wong et al.<br />

als Dicke der aktiven Schicht bezeichnen, mit der von uns gesuchten Austauschschichtdicke<br />

identisch, h A = h M ist.<br />

Damit das Produkt der aktiven Schichtdicke mit der effektiven Korngeschwindigkeit die Transportrate<br />

ergibt, sollte diese so etwas wie die im langfristigen Mittel bewegte Schichtdicke sein.<br />

Aus der gemessenen Bewegungsgeschwindigkeit der Tracer <strong>und</strong> der Geschiebetransportrate<br />

erhalten Wong et al. für die Dicke der transportaktiven Schicht:<br />

(<br />

) 0,56<br />

τ B<br />

h M =5<br />

(ρ s − ρ)gd − 0, 0549 d 50<br />

Sie steigt als etwa mit der Wurzel der wirkenden Sohlschubspannung. Die Formel gilt natürlich<br />

nicht für τ B < 0, 0549ρg(ρ s − ρ).<br />

Die sich ergebenden Austauschschichtdicken nach Wong et al. sind wieder in der Abbildung<br />

7.6 dargestellt. Man bekommt ein ähnliches Verhalten wie van Rijn <strong>und</strong> Fredsøe, aber im<br />

Vergleich zu diesen die größten Werte.


122 KAPITEL 7. FRAKTIONIERTER TRANSPORT UND SEDIMENTSORTIERUNG<br />

Abbildung 7.7: Einfluss der Porosität auf die Austauschschichtdicke<br />

Ein pragmatischer Ansatz zur Austauschschichtdicke<br />

Im Ansatz von Borah wird richtig gefordert, daß die Austauschschichtdicke mindestens einer<br />

Kornlage mächtig sein sollte. Allerdings ist hier der in einer Zelle vorkommende maximale<br />

Korndurchmesser nicht zielführend: So bräuchte sich ja nur ein Korn dieser Klasse in einer<br />

vom Benutzer recht groß gewählten Zelle zu befinden, um die Austauschschichtdicke maßgeblich<br />

zu bestimmen. Daher ist hier der d 90 sicherlich zielführender.<br />

Ferner sind sich die meisten Ansätze darin einig, daß dich Austauschschichtdicke mit der<br />

Porosität steigen muss. Es wird daher ein pragmatischer Ansatz vorgeschlagen, in dem die<br />

Austauschschichtdicke vom Verhältnis der eff. Bodenschubspannung zur für das Korngemisch<br />

krit. Sohlschubspannung abhängig ist:<br />

h M = d (<br />

90<br />

1 − n max 1, τ )<br />

B<br />

(7.3)<br />

τ c<br />

Mit zunehmender Strömungsbelastung des Bodens nimmt auch die Dicke der Austauschschicht<br />

zu. Durch die Skalierung mit der krit. Sohlschubspannung ist auch der Einfluss des<br />

Korngemisches berücksichtigt. Hier liegt der Ansatz zu Gr<strong>und</strong>e, dass je größer der mittlere<br />

Korndurchmesser ist, desto stärker muss auch der Strömungsangriff sein, um tiefere Kornschichten<br />

zu mobilisieren. Die Austauschschichtdicke ist in diesem Modell ein Vielfaches des<br />

90.Perzentils (d 90 ) aller vorhandenen Korndurchmesser. Dieser Wert ist im Gegensatz zum<br />

Größtkorn für die vorhandene Sieblinie repräsentativ.


7.5. ZUSAMMENFASSUNG 123<br />

In Abb. ?? ist die Dicke der Austauschschicht in Abhängigkeit der Bodenschubspannung dargestellt.<br />

Die Kornverteilung entspricht der globalen Anfangskornverteilung im verwendeten<br />

Modell des Jade-Weser-Ästuars. Die Porosität wurde mit hier mit 0% angenommen. Die Austauschschichtdicke<br />

liegt also im dargestellten Wertebereich von 0 bis 3 N/m 2 unter 7 mm.<br />

Das bedeutet die Austauschschichtdicke würde ohne Berücksichtigung der Pososität kleiner<br />

als 5 d max =7, 5 mm.<br />

Der Einfluss der Porosität auf die Dicke der Austauschschicht ist in Abb. 7.7 dargestellt. Der<br />

Einfluss des Porenraums ist überproportional. Für den größten Teil des Simulationsgebietes<br />

wird der Faktor zwischen eins <strong>und</strong> zwei sein. Es liegt die Tatsache zu Gr<strong>und</strong>e, das mit zunehmender<br />

Porosität das Korngerüst geschwächt wird. Die durch den Wasserkörper auf die<br />

Bodenoberfläche aufgebrachte Schubspannung kann somit auch tiefere Bodenschichten erreichen.<br />

Damit wird bei Vorhandensein von Hohlräumen immer eine größere Austauschschichtdicke<br />

berechnet als ohne Poren.<br />

Für die Dicke der aktiven Schicht gibt es in der Literatur sehr unterschiedliche Angaben.<br />

Ribberink [53] setzt zur Untersuchung des mit der Bewegung von Dünen verb<strong>und</strong>enen <strong>Sedimenttransport</strong>es<br />

die Dicke der aktiven Schicht als die halbe Dünenhöhe an. Will man aus den<br />

Verhältnissen in der aktiven Schicht Kornrauheit, den Beginn der Sedimentbewegung oder die<br />

<strong>Sedimenttransport</strong>raten berechnen, ist die damit angenommene Dicke sicherlich zu groß.<br />

7.5 Zusammenfassung<br />

Die räumliche Strukturierung der Körnungen von Bodensedimenten deutet auf einen ungleiche<br />

Transportkapazitäten für verschieden große Sedimentpartikel hin. Dies macht eine Fraktionierung<br />

der Transportraten für einzelne Sedimentklassen erforderlich.<br />

Der Transport beginnt für alle Fraktionen bei derselben Belastung der Sohle. Dabei können<br />

die größeren Körner die Bewegung initiieren, da sie weiter aus der Sohle ragen <strong>und</strong> dem<br />

Strömungsangriff stärker preisgegeben sind, sie reißen dann aber die kleinen mit sich.<br />

Zur Bestimmung der fraktionierten Transportraten haben wir die Ansätze von Ashida <strong>und</strong><br />

Michiue <strong>und</strong> von Hunziker kennengelernt, wobei nur letzterer sich in der Simulation von fraktionierten<br />

<strong>Sedimenttransport</strong>prozessen als tauglich erwiesen hat. Auch wenn es in der Literatur<br />

noch einige andere aufgeführt sind, ist hier noch erheblicher Forschungsbedarf zu sehen.


124 KAPITEL 7. FRAKTIONIERTER TRANSPORT UND SEDIMENTSORTIERUNG


Kapitel 8<br />

Die Erosion kohäsiver Sedimente<br />

Der Beginn der Sedimentbewegung ist beim Geschiebetransport durch ein statisches Ungleichgewicht<br />

von angreifenden Strömungs- <strong>und</strong> der Gewichtskraft am Einzelkorn geprägt. Einmal<br />

in Bewegung versetzt, bewegen sich die Einzelkörner unter gegenseitigen Stößen rollend oder<br />

springend über die Oberfläche des Bodens.<br />

Mit kleiner werdender Korngröße wird auch die stabilisierende Gravitationskraft immer kleiner,<br />

bis irgendwann elektrochemische Anziehungskräfte <strong>und</strong> biologische Stabilisierungsmechanismen<br />

eine ähnliche oder sogar wichtigere Bedeutung bekommen. Durch diese kohäsiven<br />

Kräfte bilden die Einzelkörner zusammenhängende Verb<strong>und</strong>e, so daß der Einzelkorncharakter<br />

beim Bewegungsbeginn verloren geht.<br />

Diesen sehr komplexen Prozeß bezeichnet man im Unterschied zum einfachen Bewegungsbeginn<br />

bei nichtbindigen Material als Erosion. Hierbei werden drei unterschiedliche Modi unterschieden:<br />

Bei der Oberflächenerosion werden einzelne Körner oder Flocken abgelöst. Bei<br />

der Massenerosion werden ganze Schollen vom Boden abgehoben, die dann turbulenten Wasser<br />

zerfallen <strong>und</strong> sich zu einer Suspension auflösen [49]. Dabei findet die Oberflächenerosion<br />

schon bei sehr kleinen Schubspannungen statt, während die Massenerosion mit dem mechanischen<br />

Versagen des Bodens zusammenhängt. Diesen beiden Erosionsmodi wurde später [40]<br />

noch die Fluidisierung des Sediments unter Welleneinfluss hinzugefügt.<br />

8.1 Die kritische Erosionsschubspannung<br />

Um die Erosion d.h. Ablösung eines einzelnen Korns oder einer Flocke von einem Boden zu<br />

ermöglichen, ist eine Mindesbelastung durch die Strömung vonnöten.<br />

Für die kritische Erosionsschubspannung kann an dem mechanischen Modell zum Bewegungsbeginn<br />

beim Geschiebetransport anknüpfen. Danach induzieren die vertikalen, an einem<br />

Korn angreifenden Kräfte F V über den Winkel der inneren Reibung φ eine Normalkraft<br />

F V tan φ, die sich den angreifenden Strömungskräften F S widersetzt. Der Bewegungsbeginn<br />

findet genau dann statt, wenn diese beiden Streitkräfte F S = F V tan φ gleich sind.<br />

Nach Shields ist die angreifende Strömungskraft proportional zur Partikelfläche <strong>und</strong> zur Sohlschubspannung<br />

τ B , die beim Bewegungsbeginn den kritischen Wert τ c erreicht. Es gilt also:<br />

125


126 KAPITEL 8. DIE EROSION KOHÄSIVER SEDIMENTE<br />

F S = βτ c π d2<br />

4<br />

Die vertikalen Kräfte setzen sich aus der Gewichtskraft des Korns, der Auftriebskraft, sowie<br />

der kohäsiven Kraft F C zusammen, die das Korn an seine Nachbarn bindet:<br />

(<br />

)<br />

F V = π d3<br />

6 (ϱ S − ϱ)g + F C tan φ<br />

Damit ergibt sich für die Erosionsschubspannung eines einzelnen Korns:<br />

τ c = 2 3<br />

tan φ<br />

β<br />

(ϱ S − ϱ)gd + 4F C tan φ<br />

πβd 2<br />

Führt man den Shieldsparameter θ c = 2 tan φ<br />

ein, dann erhält man folgenden Ausdruck für den<br />

3 β<br />

Bewegungsbeginn eines einzelnen, bindigen Korns:<br />

(<br />

τ c = θ c (ϱ S − ϱ)gd + 6F )<br />

C<br />

πd 2<br />

Ist die kohäsive Kraft unabhängig oder linear proportional zum Partikeldurchmesser, dann<br />

ergibt sich folgendes Bild: Bei großen Korndurchmessern überwiegt der erste Term, da der<br />

zweite durch den Durchmesser oder dessen Quadrat dividiert wird. In diesem Fall steigt die<br />

kritische Schubspannung proportional zum Durchmesser. Mit kleiner werdendem Durchmesser<br />

gibt es irgendwo ein Minimum für die kritische Erosionsschubspannung. Geht man zu noch<br />

kleineren Partikeldurchmessern, dann wird der zweite Term übermächtig, die kohäsiven Kräfte<br />

steigen nehmen immer mehr zu.<br />

Lassen wir zunächst die Wirkung der kohäsiven Kräfte außer Acht. Dann würde ein frisch<br />

deponierter Schlick mit Korngrößen kleiner als einem zehntel Millimeter (D ∗ < 2.5) nach<br />

Shields schon bei Schubspannungen von 0.15 N/m 2 erodiert werden. Numerische Experimente<br />

des Autoren bestätigten diesen Wert für frisch im Tidezyklus der Weser deponierte Schwebstoffe<br />

[36], da diese mit so viel Porenwasser abgelagert werden, daß die kohäsiven Kräfte nur<br />

wenig Einfluss haben.<br />

8.2 Die elektrochemischen Wechselwirkungen zwischen<br />

kohäsiven Partikeln<br />

Zwischen allen Partikeln wirken elektrochemische Kräfte, die im Vergleich zur Gewichtskraft<br />

der Partikel umso wichtiger werden, desto kleiner die Partikel sind. Diese elektrochemischen<br />

Kräfte können verschiedenen Ursprungs sein: Im einfachsten Fall besitzt das Partikel eine<br />

Nettoladung, man spricht dann von einem elektrischen Monopol. Auf der molekularen Ebene<br />

sind alle Ionen Monopole, Mineralien haben in der Regel allerdings keine Nettoladung, sind<br />

also elektrisch neutral. Dennoch kann sich die Ladung in einem Partikel so verteilen, daß die


8.2. DIE ELEKTROCHEMISCHEN WECHSELWIRKUNGEN ZWISCHEN KOHÄSIVEN PARTIKELN12<br />

eine Seite eher positiv, die andere Seite eher negativ geladen ist, man spricht dann von einem<br />

Dipol. Wenn die Ladungen im Partikel doppelt geteilt werden, es also zwei sich negative <strong>und</strong><br />

zwei positive Bereiche gibt, spricht man von einem Quadrupol, bei vier negativen <strong>und</strong> vier<br />

positiven Bereichen von einem Oktupol usw. Je nach der räumlichen Orientierung solcher<br />

Multipole ziehen diese sich gegenseitig an oder stoßen sich gegenseitig ab.<br />

8.2.1 Die Van-der-Waals-Kraft<br />

In vielen Fällen sind solche Multipolverteilungen in den Partikeln statisch nicht vorhanden,<br />

sondern entstehen durch zeitweise durch stochastische Fluktuationen der Ladungen im Partikel.<br />

Daurch wird das Partikel mal zum Dipol, dann zum Oktupol der Quadrupol, das alles<br />

jedoch nur sehr kurzfristig. Die dadurch entstehende elektrische Kraft zwischen den Partikeln<br />

bezeichnet man als Van der Waals Kraft. Bemerkenswert <strong>und</strong> genauso erstaunlich an ihnen<br />

ist die Tatsache, daß sie im zeitlichen Mittel nicht etwa Null sind, weil sich die unterschiedlichen<br />

anziehenden <strong>und</strong> abstoßenden Kräfte gegenseitig aufheben, sondern sie sind im zeitlichen<br />

Mittel anziehend d.h. attraktiv. Damit sind sie eine Ursache der Kohäsion.<br />

Für zwei sphärische Partikel der Durchmesser d 1 <strong>und</strong> d 2 <strong>und</strong> dem Partikeloberfläche-zu-<br />

Partikeloberflächenabstand a ist die Van-der-Waals Kraft [4]:<br />

F VdW (d 1 ,d 2 ,a) = A d (<br />

1 + d 2 +2a 1<br />

−<br />

6 a(a + d 1 + d 2 ) + 4<br />

(2a + d 1 ))(2a + d 2 )<br />

d 1 d 2<br />

+<br />

2a 2 (a + d 1 + d 2 ) + 8d 1 d 2<br />

2 (2a + d 1 ) 2 (2a + d 2 ) 2<br />

Darin ist A die Hamakerkonstante. Sie hat für Tonmineralien den Wert A ≃ 10 −20 J.<br />

In der Klammer dominiert der dritte Term um mehr als drei Größenordnungen gegenüber den<br />

anderen dreien. Man kann die Van-der-Waals-Kraft für zwei gleich große Körner des Durchmessers<br />

d also durch den Ausdruck<br />

F VdW (d, a) ≃ A d + a d 2<br />

6 a 2 (a 2 +4ad +4d 2 )<br />

approximieren. Ist ferner der Korndurchmesser d wesentlich größer als der Oberflächenabstand<br />

a, dann ist<br />

F VdW (d, a) ≃<br />

A<br />

24a d 2<br />

d.h. die Van-der-Waals-Kraft steigt linear mit dem Korndurchmesser.<br />

8.2.2 Die elektrostatische Doppelschicht<br />

Tonpartikel sind i.A. negativ geladen. Der Ursprung dieser negativen Ladung sind Gitterstörungen<br />

in den Kristallen. Um sie herum lagern sich daher positive Ionen an, um die<br />

negative Ladung des Tonpartikels auszugleichen. Dadurch bildet eine Doppelschicht aus negativer<br />

Oberflächenladung <strong>und</strong> angelagerten positiven Ionen. Hierdurch wird die Konzentration


128 KAPITEL 8. DIE EROSION KOHÄSIVER SEDIMENTE<br />

positiver Ionen an der Partikeloberfläche größer als in partikelfernen Bereichen der Lösung.<br />

Das Tonpartikel wäre damit aber insgesamt neutral geladen - wäre da nicht die Diffusion.<br />

Die Diffusion wirkt auf auch elektrodynamischer Ebene <strong>und</strong> versucht dort Konzentrationsgradienten<br />

in der Ladungsdichte auszugleichen. In diesem Fall transportiert die Diffusion positiver<br />

Ionen in die partikelfernen Bereiche der Lösung. Im Gleichgewicht zwischen der Anlagerung<br />

positiver Ionen an das negative Partikel <strong>und</strong> dem diffusiven Abtransport bleibt somit am<br />

Partikel eine Nettoladung übrig, die zur Abstoßung derselben führt. Diese Abstoßungskraft hat<br />

die Stärke [4]<br />

F (a) =− πɛd (<br />

1d 2 κ Ψ1 Ψ 2 +Ψ 2 )<br />

1 +Ψ2 2<br />

d 1 + d 2 exp(2κa) − 1<br />

Neben den Bezeichnungen aus dem vorangegangenen Abschnitt sind ɛ =8.854 · 10 −12 C 2<br />

J -1 m -1 die Dielektrizitätskonstante, κ das Inverse der Doppelschichtdicke <strong>und</strong> Ψ 1 <strong>und</strong> Ψ 2 die<br />

Oberflächenpotentiale der beiden ladungsbeschichteten sphärischen Tonpartikel.<br />

8.2.3 Die repulsive Born-Wechselwirkung<br />

Zwei Partikel können sich prinzipiell auf der atomaren Ebene so nahe kommen, bis sich deren<br />

äußere Elektronenschalen gegenseitig überlappen. Damit können die Außenelektronen des<br />

einen Partikels prinzipiell in die Schalen des anderen Partikels eindringen. Das dürfen sie<br />

allerdings nach dem Ausschließungsprinzip der Quantenmechanik nicht, wodurch eine Abstoßungskraft<br />

entsteht, die man als repulsive Bornwechselwirkung bezeichnet <strong>und</strong> die die molekuare<br />

Erklärung für die Kontaktkraft ist.<br />

Zu ihrer quantitativen Darstellung soll aus dem Lennard-Jones-Potential der repulsive Anteil<br />

verwendet werden:<br />

) 12<br />

F (a) =12 ɛ a<br />

( am<br />

a<br />

Darin ist a m der Gleichgewichtsabstand <strong>und</strong> ɛ die Bindungsenergie.<br />

8.2.4 Die Gesamtwechselwirkung<br />

Die Gesamtwechselwirkung zwischen zwei Tonpartikeln setzt sich additiv aus der Van-der-<br />

Waals, der Doppelschicht- <strong>und</strong> der Born-Wechselwirkung zusammen. Sie ist in Abbildung 8.1<br />

für zwei Körner des Durchmessers 63 µ aufgetragen. Man erkennt zunächst einen steil abfallenden<br />

Bereich positiver, d.h. repulsiver Kräfte, der aus der Bornwechselwirkung resultiert.<br />

Dann folgt ein Bereich negativer, d.h. anziehender Kräfte, die durch das Zusammenspiel von<br />

Born- <strong>und</strong> Van-der-Waals-Kräften entsteht. Im diesem Minimum finden zwei Tonpartikel ihren<br />

Gleichgewichts-Oberflächenabstand. Dann wendet sich die Kraft wieder ins Positve, da<br />

die abstoßende Doppelschicht zum Tragen kommt <strong>und</strong> fällt dann langsam zu Null hin ab.<br />

Aus dieser Abbildung erkennt man die Reichweite der elektrochemischen Wechselwirkungen:<br />

Sie reicht in dem aufgetragenen Fall nicht weiter als ca. 60 Angström, was vier Größenordnungen<br />

kleiner als der Korndurchmesser ist.


8.2. DIE ELEKTROCHEMISCHEN WECHSELWIRKUNGEN ZWISCHEN KOHÄSIVEN PARTIKELN12<br />

5,00E-06<br />

4,00E-06<br />

Van-der-Waals+Doppelschicht+Born<br />

Van-der-Waals+Born<br />

3,00E-06<br />

Wechselwirkungskraft [N]<br />

2,00E-06<br />

1,00E-06<br />

0,00E+00<br />

0,00E+00 5,00E-10 1,00E-09 1,50E-09 2,00E-09 2,50E-09 3,00E-09 3,50E-09 4,00E-09<br />

-1,00E-06<br />

-2,00E-06<br />

-3,00E-06<br />

-4,00E-06<br />

-5,00E-06<br />

Oberflächenabstand [m]<br />

Abbildung 8.1: Die elektrochemische Wechselwirkung zwischen zwei Schluffkörnern<br />

(d=63 µ, Ψ = 500mV).<br />

Bei der Wahl größerer oder kleinerer Korndurchmesser verändert sich die Reichweite der<br />

Wechselwirkungskraft nicht erheblich, lediglich die Tiefe des Potentialtopfes nimmt zu oder<br />

ab.<br />

8.2.5 Der Einfluss des pH-Wertes auf das Erosionsverhalten<br />

Mit sinkendem pH-Wert steigt der Anteil der gelösten positiven Ionen im Porenwasser. Hierdurch<br />

stehen Ionen zur Verfügung, die die elektrostatische Doppelschicht so umlagern, daß<br />

deren repulsive Wirkung insgesamt neutralisiert wird [52]. Damit kommen die attraktiven vander-Waals-Kräfte<br />

zur Geltung. Dieser Effekt tritt allerdings erst ab einem pH-Wert unter 5.5<br />

auf. Damit ist in allen Oberflächenflächengewässern davon auszugehen, daß die Doppelschicht<br />

nicht neutralisiert wird <strong>und</strong> das Potential bei der Annäherung zweier Tonmineralien zunächst<br />

abstoßend <strong>und</strong> dann erst attraktiv wird.<br />

8.2.6 Der Partikelabstand als Funktion des Porenwassergehalts<br />

Wir wollen zunächst untersuchen, wie groß der Abstand der einzelnen Partikel im Bodengefüge<br />

ist. Dazu nehmen wir an, daß sich dieses aus quaderförmigen Zellen der Kantenlänge<br />

L zusammensetzt, in der Zentren sich jeweils ein kugelförmiges Sedimentkorn des Durchmessers<br />

d befindet. Die Porosität ist dann:


130 KAPITEL 8. DIE EROSION KOHÄSIVER SEDIMENTE<br />

2,00E+03<br />

1,90E+03<br />

1,80E+03<br />

Bodenmaterialdichte g/l<br />

1,70E+03<br />

1,60E+03<br />

1,50E+03<br />

1,40E+03<br />

1,30E+03<br />

1,20E+03<br />

1,10E+03<br />

1,00E+03<br />

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1<br />

Oberflächenabstand zu Partikeldurchmesser<br />

Abbildung 8.2: Die Bodenmaterialdichte als Funktion des Kornabstandes.<br />

n = L3 − 1 6 πd3<br />

L 3 =1− 1 6 π d 3<br />

(a + d) 3<br />

Darin ist a wieder der Oberflächenabstand der Körner. Setzt man dies in die Definition für<br />

die Bodendichte (8.2) ein <strong>und</strong> stellt nach dem Oberflächenabstand der Partikel a um, dann<br />

bekommt man für diesen:<br />

a<br />

d = 3 √<br />

1<br />

6 π ϱ S − ϱ<br />

ϱ b − ϱ − 1<br />

Diese Funktion ist in Abbildung 8.2 dargestellt. Ist z.B. der Oberflächenabstand gleich dem<br />

Korndurchmesser, dann ist die Bodenmaterialdichte schon fast auf 1100 kg/m 3 gefallen.<br />

Der Vergleich von Abbildung 8.2 <strong>und</strong> 8.1 zeigt aber auch, daß sich die Änderung des<br />

Oberflächenabstandes der Partikel mit der Bodenmaterialdichte in der Dimension des Partikeldurchmessers<br />

bzw. einer Größenordnung darunter abspielt, während die Van-der-Waals-<br />

Wechselwirkung nur bei Abständen bis ca. 100 Angström zu spüren ist. Damit kann man<br />

sich den Einfluss der Van-der-Waals-Wechselwirkung auf die Erosionsstabilität nicht etwa so<br />

vorstellen, daß mit abnehmendem Porenwassergehalt die Van-der-Waals-Wechselwirkung bei<br />

allen Körnverbindungen gleichmäßig ins Spiel kommt, dadurch daß der mittlere Kornabstand<br />

sinkt. Vielmehr werden mit abnehmendem Porenwassergehalt immer mehr Kornkontakte vorhanden<br />

sein, die sich im stabilen Kraftminimum zwischen Van-der-Waals- <strong>und</strong> Bornkraft befinden.<br />

Daneben gibt es aber auch genügend Körner, die sich außerhalb des Van-der-Waals-


8.2. DIE ELEKTROCHEMISCHEN WECHSELWIRKUNGEN ZWISCHEN KOHÄSIVEN PARTIKELN13<br />

Abbildung 8.3: Konzept zum Einfluss der elektrochemischen Kräfte auf die Erosion. Braun<br />

sind die Körner, die nur durch ihr Gewicht an die Bodenoberfläche, rot sind die Körner, die<br />

zusätzlich durch die Van-der-Waals-Kraft geb<strong>und</strong>en sind. Links die Situation bei hohem, rechts<br />

bei geringem Porenwassergehalt.<br />

Bereiches befinden <strong>und</strong> durch diese nicht an die Bodenoberfläche geb<strong>und</strong>en sind. Diese werden<br />

bei Strömungsbelastung einzig durch ihre sehr geringe Gewichtskraft an der Sohle gehalten.<br />

8.2.7 Die Aggregathypothese von Krone<br />

R.B. Krone hat 1963 folgende Hypothese zur Erklärung der Bildung <strong>und</strong> Stabilität von Flocken<br />

aufgestellt [32]: Suspended individual mineral and organic particles collide to form primary<br />

zero order aggregates. These are the strongest and densest aggregates and survive at high<br />

velocity gradients. ... These aggregates can combine with one another to form ’first order’<br />

aggregates. These aggregates are weaker and less dense than zero-order aggregates because<br />

of their large pores and limited contact between constituent zero order aggregates. First-order<br />

aggregates can combine with one another to form weaker, less dense second-order aggegates,<br />

and so on.<br />

Diese Aggregathypothese läßt sich auch auf das Erosionsverhalten kohäsiver Böden übertragen<br />

<strong>und</strong> wird durch unsere Überlegungen zur Rolle der Van-der-Waals-Wechselwirkungen<br />

bestätigt.<br />

Nehmen wir also an, daß nicht jedes Tonpartikel am Boden durch kohäsive Kräfte stabilisiert<br />

wird. Der absolute Bewegungsbeginn wird dann durch diese ungeb<strong>und</strong>enen, solitären Partikel<br />

geprägt, die einzig durch ihre Gewichtskraft am Boden gehalten werden. Das würde bedeuten,<br />

daß der Beginn der Sedimentbewegung auch weiterhin durch das Gr<strong>und</strong>modell von Shields<br />

beschrieben werden könnte.<br />

Sicherlich gibt es an der Bodenoberfläche dann auch Aggregate höherer Ordnung, die aus<br />

mehreren mineralischen oder organschen Partikeln bestehen. Diese werden dann erst bei einer<br />

größeren Sohlschubspannungen erodiert, was allerdings nichts an der Tatsache ändert, daß<br />

der absolute Bewegungsbeginn nicht durch kohäsive Kräfte beeinflußt wird. Dies bedeutet<br />

natürlich nicht, daß die kohäsiven Kräfte keine Rolle im Prozess der Erosion spielen, sie treten


132 KAPITEL 8. DIE EROSION KOHÄSIVER SEDIMENTE<br />

in dem Akt auf, der nun folgen soll.<br />

8.3 Der Erosionsfluss<br />

Der Materialfluss vom Boden in die Wassersäule wird durch den Erosionsfluss Φ ero quantifiziert.<br />

Dieser Wert gibt an, wieviel Bodenmasse pro Zeiteinheit <strong>und</strong> Einheitsfläche in die<br />

Wassersäule transportiert wird. Die Einheit des Erosionsflusses ist also kg/(m 2 s).<br />

8.3.1 Experimentelle Untersuchungen in Längs- <strong>und</strong> Kreisgerinne<br />

Die experimentelle Bestimmung des Erosionsflusses geschieht in Laborgerinnen, in denen die<br />

der Durchfluss <strong>und</strong> damit die Sohlschubspannung kontinuierlich erhöht <strong>und</strong> in Abhängigkeit<br />

davon bestimmt wird, ob <strong>und</strong> wenn wieviel Material erodiert. Obwohl das f<strong>und</strong>amentalen<br />

Meßkonzept immer gleich ist, unterscheiden sich die einzelnen Ausführungen - <strong>und</strong> damit<br />

sicher auch die Ergebnisse - erheblich.<br />

Die ersten systematischen Experimente zum Erosionsverhalten kohäsiver Sedimente wurden<br />

1962 von Partheniades, Krone <strong>und</strong> Mehta [47], [31] in einem Längsgerinne an der University<br />

of California in Berkeley gemacht. Dabei stellten sich allerdings über das Längsprofil<br />

keine homogenen Strömungsverhältnisse ein, obwohl überall dasselbe Bodenmaterial verwendet<br />

wurde. Das Problem wurde unter dem Stichwort Pumpeneffekte zusammengefaßt: Damit<br />

sich ein Gleichgewichts-Geschwindigkeitsprofil im Gerinne einstellt, bedarf es einer gewissen<br />

Laufstrecke. Würde man erst ab dieser Stelle das zu untersuchende, erodierbare Material<br />

einbauen, so entsteht ein Kolk <strong>und</strong> das sich im Nachlauf einstellende Erosionsprofil ist weiterhin<br />

nicht homogen. Damit ergeben sich unterschiedliche Ergebnisse, je nachdem, an welcher<br />

Stelle des Gerinnes die Daten gewonnen wurden.<br />

1964 wurde von Partheniades - nun am MIT - das Kreisgerinne erf<strong>und</strong>en [48]. Hier wird die<br />

Strömung durch Rotation eines festen, auf die Wasseroberfläche aufgebrachten Deckels induziert.<br />

Der Nachteil dieser experimentellen Anordnung liegt in den Sek<strong>und</strong>ärströmungen die<br />

in dem gekrümmten Verlauf entstehen, wodurch eine exakte Bestimmung der Sohlschubspannung<br />

nicht oder nur schwer möglich ist. Solche Kreisgerinne werden immer noch eingesetzt,<br />

so z.B. am National Water Research Institute in Ontario, Canada [30], [72] oder in Deutschland<br />

am RWTH Aachen [62].<br />

Ein Nachteil beider Anordnungen ist die Rezirkulation des verwendeten Wassers. So kann<br />

nicht direkt der Erosionsfluss, sondern nur die Schwebstoffkonzentration in der Wassersäule<br />

gemessen werden. Diese steigt bei jeder Zunahme der Sohlschubspannung auf einen neuen<br />

Sättigungswert, der nach einer gewissen Zeitspanne angenommen wird. Erst die Auswertung<br />

der sich einstellenden Konzentrationszeitreihen ergibt dann die Erosionsflüsse als Sek<strong>und</strong>ärergebnisse.<br />

Die Bestimmung der Sohlschubspannung<br />

In der Regel wird die Sohlschubspannung als kalibrierte Funktion des Abflusses bestimmt. In<br />

Längsgerinnen wird oftmals auch auf die Schleppspannungsbeziehung τ B = ϱghI zurückge-


8.3. DER EROSIONSFLUSS 133<br />

griffen, wobei I die Neigung der freien Oberfläche ist.<br />

Diese Methoden sind allerdings zu ungenau, da sie nicht dem Charakter der Sohlschubspannung<br />

als Wechselwirkung zwischen Sohlrauheit <strong>und</strong> sich einstellendem Geschwindigkeitsprofil<br />

gerecht werden. Daher ist gr<strong>und</strong>sätzlich zu empfehlen, das Geschwindigkeitsprofil direkt<br />

über der Probe zu messen <strong>und</strong> daraus die Sohlrauheit als auch die wirkende Sohlschubspannung<br />

zu bestimmen.<br />

In-situ Meßverfahren<br />

Ein im Labor aufbereiteter Boden ist nicht natürlich gewachsen. Um auch von solchen Böden<br />

die Erosionseigenschaften zu bestimmen, sind in-situ (d.h. vor Ort) Meßverfahren erforderlich.<br />

Eine Anordnung hierzu ist das EROMES-System [61]. Es besteht aus einer quaderförmigen,<br />

geschlossenen Box mit einer Gr<strong>und</strong>fläche von 25 cm x 25 cm, die unten offen <strong>und</strong> auf den zu<br />

untersuchenden Boden aufgesetzt wird. In der Box befindet sich ein Propeller, der Turbulenz<br />

in das geschlossene System einbringt. Ein Trübungssensor mißt die Schwebstoffkonzentration<br />

in der Wassersäule als Funktion der Propellerdrehzahl. Diese Meßanordnung soll laut Gust<br />

<strong>und</strong> Müller [23] im Vergleich zu anderen Meßverfahren sehr gut in der Lage sein, eine -wenn<br />

auch mit erheblichen turbulenten Schwankungen versehene- definierte Sohlschubspannung zu<br />

generieren.<br />

8.3.2 Die Abhängigkeit von der Sohlschubspannung<br />

Der Erosionsfluss Φ ero ist zu aller Erst von der Bodenbelastung durch die Strömung abhängig,<br />

wird mit dieser steigen. Genauso wie beim Bewegungsbeginn nichtbindigen Geschiebes wird<br />

es aber auch hier eine Grenzschubspannung τ c geben, die erforderlich ist, um die Erosion zu<br />

initiieren, <strong>und</strong> unterhalb dieser der Boden erosionsstabil ist. Zur mathematischen Beschreibung<br />

dieser beiden Sachverhalte haben sich in der Literatur zwei Ansätze herausgebildet. Nach<br />

Partheniades [49] wird die Erosion durch<br />

⎧ ( )<br />

⎨ τB<br />

M<br />

Φ ero = ero − 1 falls τ B ≥ τ c<br />

τ<br />

⎩<br />

c (8.1)<br />

0 falls τ B


134 KAPITEL 8. DIE EROSION KOHÄSIVER SEDIMENTE<br />

Φ ero =<br />

{<br />

Φ0 e α(τ B−τ c) n für τ B ≥ τ c<br />

0 für τ B


8.4. DER EINFLUSS DES PORENWASSERS 135<br />

ero<br />

Abbildung 8.4: Zur quadratischen Abhängigkeit des Erosionsflusses von der Sohlschubspannung.<br />

Im oberen Fall sind wenige große Aggregate, im unteren Fall viele große Aggregate<br />

vorhanden.<br />

B<br />

8.4 Der Einfluss des Porenwassers<br />

Daß die kritische Schubspannung für den Beginn der Erosion für die Gesamtheit der Körner<br />

nicht vom Wassergehalt des Bodens abhängig ist, wurde schon festgestellt. Wieviel Sediment<br />

durch die Strömung von einem festen Boden erodiert wird, hängt neben den Korneigenschaften<br />

allerdings entscheidend vom Konsolidierungsgrad des Bodens ab. Feste, porenwasserarme<br />

Böden sind dabei wesentlich erosionsstabiler als weiche Böden.<br />

8.4.1 Experimentelle Untersuchungsverfahren zum Porenwassergehalt<br />

Prinzipiell müssen im Labor aufbereitete von natürlich gewachsenen Sedimentproben unterschieden<br />

werden. In ersterem Fall wird das Material in einem Längsgerinne über eine gewisse<br />

Laufstrecke bzw. im einem Kreisgerinne kontinuierlich über den ganzen Umkreis eingebracht.<br />

Daraufhin läßt man das Material eine gewisse Zeit konsolidieren, nimmt die vertikale Verteilung<br />

des Porenwassergehalts auf <strong>und</strong> belastet dann die Sohle durch die Strömung.<br />

Ein solche Sedimentsohle weist allerdings nicht die Eigenschaften der in der Natur gewachsen<br />

Böden auf. Um deren Erosionsverhalten zu bestimmen, entnimmt man dort geschlossene Bohrkerne<br />

<strong>und</strong> bringt diese direkt in das Laborgerinne ein. Der Nachteil dieser Methode besteht in<br />

der Unstetigkeit der Strömung, die zwischen eingebrachtem Bohrkern <strong>und</strong> der Umgebungssohle<br />

entsteht.<br />

Die Bestimmung des Porenwassergehaltes<br />

Zur Bestimmung des Porenwassergehaltes in natürlichen Böden wird ein geschlossener Bohrkern<br />

genommen, dieser eingefroren <strong>und</strong> dann in Scheiben geschnitten. Dann wird das Nassge-


136 KAPITEL 8. DIE EROSION KOHÄSIVER SEDIMENTE<br />

wicht M wet der einzelnen Scheiben bestimmt, diese dann in einem Ofen getrocknet <strong>und</strong> dann<br />

das Trockengewicht M dry bestimmt. Die Porosität n ergibt sich dann aus<br />

1 − n = M wet − M dry<br />

M wet<br />

<strong>und</strong> die Dichte des Bodenmaterials (engl. bulk density) ist:<br />

ϱ b =(1− n)ϱ S + nϱ (8.2)<br />

Eine andere Methode ist der Density Profiler von Gotthard [20]. Hier wird die Abschwächung<br />

von Gammastrahlen in Feststoffen ausgenutzt. Diese folgt dem Beerschen Gesetz, welches<br />

N = N 0 e −µϱ bx<br />

lautet. Dabei ist N die Photonenanzahl, die einen Probestoff der Dichte ϱ durchdringt, N 0 die<br />

Photonenzahl ohne diesen Probestoff. Die Durchdringungslänge der Probe ist x <strong>und</strong> ϱ b ist die<br />

Probendichte. Der Vorfaktor µ muss dabei für jede experimentelle Apparatur durch Kalibrierung<br />

bestimmt werden. Gotthart nutzte 137 Cs als Gammastrahlenquelle <strong>und</strong> als Detektor einen<br />

Na J-Kristallszintillator. Als andere Strahlenquelle bieten sich Röntgenstrahlen an, auch bei<br />

ihnen ist der Absorptionskoeffizient proportional zur Materialdichte.<br />

8.4.2 Porenwassergehalt <strong>und</strong> Erosionsschubspannung<br />

Wir wollen uns in diesem Abschnitt den experimentellen Ergebnissen widmen, die einen Zusammenhang<br />

zwischen Porenwassergehalt <strong>und</strong> Erosionsschubspannung entdeckt haben <strong>und</strong><br />

dabei untersuchen, ob sich das soeben aufgestellte Modellvorstellung zum Einfluss der Vander-Waals-Kraft<br />

auf den Bewegungsbeginn halten läßt.<br />

Bei vielen experimentelle Untersuchungen der achziger Jahre des letzten Jahrh<strong>und</strong>erts zum<br />

Erosionsverhalten von Schlickböden wurde folgendermaßen vorgegangen: Die einem Küstengewässer<br />

entnommenen Proben wurden im Labor konsolidiert <strong>und</strong> die Feststoffdichte, d.h.<br />

der Grad der Konsolidierung in Abhängigkeit von der Zeit gemessen. Daraufhin wurde die<br />

Erosionsspannung bestimmt.<br />

Als Beispiel für diese Vorgehensweise seien die Untersuchungen von Migniot [43] zitiert.<br />

Seine Ergebnisse sind in Abhängigkeit von der Trockendichte ϱ dry dargestellt, die die Feststoffmasse<br />

pro Gesamtvolumen angibt, also so etwas wie die Feststoffkonzentration ist. Für<br />

sie gelten die Zusammenhänge:<br />

ϱ dry := M ( )<br />

S<br />

ϱb − ϱ<br />

= ϱ S (1 − n) =ϱ S<br />

V ges ϱ S − ϱ<br />

Den letzten Zusammenhang erhält man durch Umstellen der Definitionsgleichung für die Bulk<br />

densitiy nach der Porosität n.<br />

Er hat für die Loire für frisch deponierte Schlicke (ϱ dry < 240g/l) den Zusammenhang<br />

u ∗e =3.2 · 10 −5 ϱ 1.175<br />

dry ⇒ τ c = ϱu 2 ∗ e<br />

=1.024 · 10 −6 ϱ 2,35<br />

dry


8.4. DER EINFLUSS DES PORENWASSERS 137<br />

5<br />

4,5<br />

Krit. Erosionsschubspannung [Pa]<br />

4<br />

3,5<br />

3<br />

2,5<br />

2<br />

1,5<br />

1<br />

0,5<br />

0<br />

1000 1050 1100 1150 1200 1250<br />

Bodenmaterialdichte [g/l]<br />

Abbildung 8.5: Die Erosionsschubspannung in Abhängigkeit von der Feststoffdichte Andersen<br />

et al. [3] für das Hollandsch Diep (gestrichelt) <strong>und</strong> Migniot [43] für die Loire (durchgezogen).<br />

<strong>und</strong> für konsolidierte Sedimente (ϱ dry > 240g/l)<br />

u ∗e =5.06 · 10 −8 ϱ 2.35<br />

dry ⇒ τ c = ϱu 2 ∗ e<br />

=2.56 · 10 −12 ϱ 4.7<br />

dry<br />

gemessen. Dieser Zusammenhang ist in Abbildung 8.5 dargestellt. An anderer Stelle werden<br />

für die Erosionsspannung τ c ≃ 0.2 N/m 2 bei einer Feststoffdichte von 100 kg/m 3 ,<br />

τ c ≃ 0.4 N/m 2 bei einer Feststoffdichte von 200 kg/m 3 <strong>und</strong> τ c ≃ 1 N/m 2 bei einer Feststoffdichte<br />

von 300 kg/m 3 angenommen.<br />

Anderson et al. [3] haben für das Hollandsch Diep den empirischen Zusammenhang<br />

τ c =0.035N/m 2 +0.0007ϱ dry<br />

mit dem EROMES-System bestimmt. Bei ihnen wird auch bei kleinen Sohlbelastungen eine<br />

Schwebstoffkonzentration im Meßgerät verzeichnet, so daß auch hier nicht der tatsächliche<br />

Bewegungsbeginn gemessen wurde. Sie nahmen daher an, daß die kritische Schubspannung<br />

dann erreicht sei, wenn die Erosionsrate unter 0.1 · 10 −3 kg/(m 2 s) falle. sondern diese bei<br />

einem Erosionsfluss kleiner als 0.1 festgesetzt wurde. Dabei wurde weder ein Einfluss der<br />

Korngröße noch des organischen Anteils auf den Bewegungsbeginn festgestellt. Solche Ergebnisse<br />

sind jedoch weder auf andere Ästuare übertragbar, ja nicht einmal in der Loire gilt<br />

dieser Zusammenhang flächendeckend, wie Migniot selbst feststellt.<br />

Die am besten dokumentierten experimentellen Daten zum Einfluss des Porenwassergehaltes<br />

auf Erosionsbeginn <strong>und</strong> -fluss sind bei Roberts et al. (1998) [56] zu finden. Diese haben den


138 KAPITEL 8. DIE EROSION KOHÄSIVER SEDIMENTE<br />

1,4<br />

Erosionsschubspannung [N/m²]<br />

1,2<br />

1<br />

0,8<br />

0,6<br />

0,4<br />

1650 kg/m³<br />

1700 kg/m³<br />

1750 kg/m³<br />

1800 kg/m³<br />

1850 kg/m³<br />

1900 kg/m³<br />

1950 kg/m³<br />

Reihe8<br />

0,2<br />

0<br />

1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02<br />

Korndurchmesser d[m]<br />

Abbildung 8.6: Die ’Erosionsschubspannung’ in Abhängigkeit vom Korndurchmesser für verschiedene<br />

Bulk Densities nach den Experimenten von Roberts et al. [56].<br />

Erosionsfluss in einem Längsgerinne für zehn verschiedene, gut sortierte Sedimente <strong>und</strong> dem<br />

Poren- bzw. dem Feststoffanteil für Quartzkörner (99.5 % Reinheit) bestimmt.<br />

Zunächst haben sie in ihren Untersuchungen festgestellt, daß sich bei den von ihnen untersuchten<br />

Schubspannungen immer Sediment bewegt. Um das Konzept des Bewegungsbeginns<br />

aufrecht zu erhalten, haben sie diesen dort definiert, wo die Bodenabtragungsgeschwindigkeit<br />

den Wert von 10 −3 mm/s unterschreitet. Die hört sich zunächst wenig an, entspricht aber einer<br />

Bodenabtragung von 1 mm in 15 min.<br />

Das Ergebnis in Abbildung 8.7 zeigt mit abnehmenden Korndurchmesser zunächst ein Abfallen<br />

der Erosionsschubspannung, was auf das abnehmende Korngewicht zurückzuführen ist.<br />

Ab einem Korndurchmesser von 0.075 mm beginnt die Erosionsspannung wieder zu steigen<br />

<strong>und</strong> zwar umso signifikanter, desto geringer der Porenwassergehalt ist.<br />

Nun könnte man geneigt sein, aus diesen Ergebnissen einen Zusammenhang für die Erosionsschubspannung<br />

zu entwickeln, der den Korndurchmesser <strong>und</strong> die Bodenmaterialdichte beinhaltet.<br />

Die Autoren sagen aber selbst, daß es sich hier eigentlich nicht um den Bewegungsbegin<br />

handelt. Diese Experimte betätigen also die These vom leichten Bewegungsbeginn, der<br />

nur durch die Shieldsspannung geprägt ist.<br />

8.4.3 Porenwassergehalt <strong>und</strong> Erosionsfluss<br />

Viele Messungen <strong>und</strong> Experimente haben ausgehend von der These, daß der Erosionsfluss<br />

durch den Ansatz von Partheniades bestimmt werden kann, die dort auftauchende Erodibilität


8.4. DER EINFLUSS DES PORENWASSERS 139<br />

0,7<br />

Erosionsschubspannung [N/m²]<br />

0,6<br />

0,5<br />

0,4<br />

0,3<br />

0,2<br />

14.8 mikro-m<br />

18.3 mikro-m<br />

48 mikro-m<br />

75 mikro-m<br />

125 mikro-m<br />

0,1<br />

0<br />

1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000<br />

Bodenmaterialdichte [kg/m³]<br />

Abbildung 8.7: Die Erosionsschubspannung in Abhängigkeit von der Bodendichte für verschiedene<br />

Korndurchmesser nach den Experimenten von Roberts et al. [56].<br />

M ero als Funktion der Bodendichte ρ b = M sed /V ges =(1− n)ϱ sed zu bestimmen versucht.<br />

Von Cormault [66] wurde für das Ästuar der Gironde der Zusammenhang<br />

( ) ρb 3<br />

M ero =0.55<br />

1000<br />

bestimmt. Diese Beziehung berechnet Erodibilitäten, die um drei bis vier Größenordnungen<br />

höher sind, als das was man mit numerischen Modellen zur Erosion bestätigen kann.<br />

Einen anderen Zusammenhang hat Schweim [62] aus Experimenten in einem Kreisgerinne<br />

gewonnen, er lautet:<br />

M ero = k ∗ ρ b mit k ∗ =6.23 · 10 −7 m/s<br />

Die beiden Ansätze sind in Abbildung 8.8 miteinander verglichen. Die mit dem Ansatz von<br />

Schweim berechneten Erodibilitäten liegen im Vergleich zu denen von Cormault in dem Wertebereich,<br />

der mit numerischen Modellen bestätigt wird. Beide Ansätze gehen jedoch davon<br />

aus, daß die Erodibilität mit steigender Porosität abnimmt.<br />

Tatsächlich wurde der Zusammenhang von Schweim in einem Kreisgerinne gewonnen. Bei<br />

der Auswertung der Ergebnisse wurde per se davon ausgegangen, daß der sich darin einstellende<br />

Sättigungswert dadurch erzielt wird, daß in dem anstehenden Boden nun eine so konsolidierte<br />

Schicht erreicht wird, daß kein Material mehr erodiert werden kann. Diese Arbeitshypothese<br />

führt in der Folge zu einer Überschätzung der Werte der kritischen Schubspannung


140 KAPITEL 8. DIE EROSION KOHÄSIVER SEDIMENTE<br />

d m [µm] Φ 0 [kg/(m 2 s)] n m<br />

5.7 3.28 ·10 1 1.90 28.0<br />

14.8 2.68 ·10 2 2.27 26.4<br />

18.3 1.49 ·10 2 2.31 24.6<br />

48 8.27 ·10 1 2.23 22.8<br />

75 4.70 ·10 1 2.10 21.3<br />

125 4.23 ·10 1 2.82 19.6<br />

222 1.25 ·10 −4 3.32 0<br />

432 2.25 ·10 −4 2.56 0<br />

1 020 1.14 ·10 −4 2.51 0<br />

1 350 6.47 ·10 −5 2.92 0<br />

Tabelle 8.1: Die Werte für die Koeffizienten nach den Experimenten von Roberts et al. Der<br />

Koeffizient m ist um eins erhöht, da Roberts die Ergebnisse auf die Erosionsgeschwindigkeit<br />

E =Φ ero /ϱ b bezieht.<br />

für die Erosion <strong>und</strong> einer Unterschätzung der Erodibilität in Abhängigkeit bei steigender Bodendichte.<br />

Auf der anderen Seite kann eine Sättigung aber auch dadurch eintreten, daß die<br />

Schwebstoffkonzentration in der Wassersäule ihre Gleichgewichtskonzentration erreicht, bei<br />

der Deposition <strong>und</strong> Erosion sich gegenseitig aufheben.<br />

Die Experimente von Roberts et al. zeigen ein ganz anderes Bild. Sie geben für die von ihnen<br />

bestimmten Erosionsflüsse die Beziehungen<br />

bzw.<br />

Φ ero =Φ 0 τ n B ϱ−m b<br />

Φ ero = Cτ n Be −kϱ b<br />

an, gehen also von einer Abnahme des Erosionsflusses mit zunehmender Bodendichte aus.<br />

Die Ergebnisse für die einzelnen Koeffizienten zeigt die Tabelle 8.1, sie sind in Abbildung<br />

8.9 graphisch dargestellt. Wie man sieht, ist die Potenz der Sohlschubspannung im kohäsiven<br />

Bereich etwa zwei, für den nicht-kohäsiven Bereich liegt er zwischen zwei <strong>und</strong> drei. Roberts<br />

et al. erwähnen, daß die Potenz für die nichtkohäsiven Sedimente auf Werte zwischen n = 1.6<br />

<strong>und</strong> 2.2 reduziert, wenn man das Erosionsgesetz auf die Form<br />

Φ ero = A (τ B − τ c ) n ϱ −m<br />

b<br />

abändert.<br />

Die von Roberts et al. gewonnenen Daten wurden ein Jahr später von Krone [32] durch die<br />

Funktion<br />

Φ ero = K 2 (ϱ max − ϱ b ) τB<br />

2<br />

gefittet. Dabei mißt der Dichteausdruck in Klammern so etwas wie den Porenwasserüberschuß.<br />

Die Konstante K 2 hat Krone aus den verschiedenen Experimenten zu 3.65 · 10 −5 m 4 s/kg bzw.<br />

1.84 · 10 −4 m 4 s/kg bestimmt.


8.4. DER EINFLUSS DES PORENWASSERS 141<br />

erosion rate constant M ero<br />

[kg/m 2 s]<br />

10<br />

1<br />

0,1<br />

0,01<br />

0,001<br />

0,0001<br />

0,00001<br />

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1<br />

porosity [1]<br />

Schweim et al.<br />

Cormault<br />

Abbildung 8.8: Vergleich der Ansätze von Schweim <strong>und</strong> Cormault für die Erodibilität M ero in<br />

Abhängigkeit von der Porosität.<br />

0,012<br />

Erosionsfluss [kg/m²s]<br />

0,01<br />

0,008<br />

0,006<br />

0,004<br />

5,70E-06<br />

1,48E-05<br />

1,83E-05<br />

4,80E-05<br />

7,50E-05<br />

1,25E-04<br />

2,22E-04<br />

4,32E-04<br />

1,02E-03<br />

1,35E-03<br />

0,002<br />

0<br />

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3<br />

Sohlschubspannung [N/m²]<br />

Abbildung 8.9: Der Erosionsfluss in Abhängigkeit von der Sohlschubspannung für verschiedene<br />

Korndurchmesser nach Roberts et al. [56].


142 KAPITEL 8. DIE EROSION KOHÄSIVER SEDIMENTE<br />

0,1<br />

0,01<br />

0,2<br />

0,4<br />

0,8<br />

1,6<br />

3,2<br />

Erosionsfluss [kg/m²s]<br />

0,001<br />

0,0001<br />

0,00001<br />

0,000001<br />

0,0000001<br />

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03 1,40E-03<br />

Korndurchmesser [m]<br />

Abbildung 8.10: Der Erosionsfluss in Abhängigkeit vom Korndurchmesser für verschiedene<br />

Sohlschubspannungen nach Roberts et al. [56].<br />

8.4.4 Ein Erosionsmodell für Sohlschubspannung <strong>und</strong> Porenwassergehalt<br />

Ein erweitertes Erosionsmodell muß natürlich die Abhängigkeit von der Sohlschubspannung<br />

als auch vom Porenwassergehalt beinhalten. Aus den Daten von Roberts et al. kann man dabei<br />

auf die Potenz zwei für die Sohlschubspannung schließen. Ferner soll der Bewegungsbeginn<br />

erst ab der kritischen Schubspannung beginnen. Daher sei der Ansatz<br />

Φ ero ≃ τ B (τ B − τ c ) f coh (d, ϱ b )<br />

vorgeschlagen, er repräsentiert die experimentellen Ergebnisse abschließend am genauesten.<br />

Die Funktion f coh (d, ϱ b ) soll dabei den Einfluss der Kohäsion auf den Erosionsfluss berücksichtigen.<br />

Sie ist eins, wenn der Korndurchmesser weit größer als der Korndurchmesser d c ≃<br />

63 mum ist, bei dem kohäsive Kräfte zu berücksichtigen sind. Ansonsten sollte diese Funktion<br />

mit der Bodendichte abnehmen.<br />

Ferner erkennt man in Tabelle 8.1, daß der Vorfaktor Φ 0 mit zunehmender Korngröße stark<br />

abnimmt. Dies wird durch den Ansatz<br />

Φ ero ≃ (τ B − τ c )<br />

τ B<br />

(ϱ S − ϱ) gd f coh(d, ϱ b )<br />

wiedergegeben, hinzugenommen wurden die Dichte <strong>und</strong> die Gravitationskonstante, die mit der<br />

Sohlschubspannung eine dimensionslose Gruppe ergeben.


8.5. BIOLOGISCHE EINFLÜSSE 143<br />

0,012<br />

Erosionsfluss [kg/m²s]<br />

0,010<br />

0,008<br />

0,006<br />

0,004<br />

2,55E+00<br />

1,48E-05<br />

1,83E-05<br />

4,80E-05<br />

7,50E-05<br />

1,25E-04<br />

2,22E-04<br />

4,32E-04<br />

1,02E-03<br />

1,35E-03<br />

0,002<br />

0,000<br />

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3<br />

Sohlschubspannung [N/m²]<br />

Abbildung 8.11: Der Erosionsfluss in Abhängigkeit von der Sohlschubspannung für verschiedene<br />

Korndurchmesser nach Gleichung (8.3). Die Kurven brechen jeweils nach der Unterschreitung<br />

des Bewegungsbeginnkriteriums ab.<br />

Schwieriger ist die Abhängigkeit von der Bodendichte ϱ b im kohäsiven Anteil. Sie schaltet<br />

sich durch die Potenz m =0ab, sobald die die Korngröße über 222 µm steigt. Ferner nimmt<br />

der Erosionsfluss stark mit der Bodendichte ab. Dieses Verhalten wird durch<br />

⎛<br />

τ B (τ B − τ c )<br />

Φ ero = M ero<br />

(ϱ S − ϱ) gd exp ⎝−2.645 ϱ ( ) ⎞<br />

b<br />

√ dc − d<br />

max , 0⎠ (8.3)<br />

ϱ d c<br />

sehr gut reproduziert. Die experimentellen Ergebnisse von Roberts et al. werden dabei am besten<br />

durch die Einstellung M ero = 0,0022 s/m <strong>und</strong> d c =80µm getroffen. Die Darstellung des<br />

Erosionsverhaltens in Abhängigkeit von der Sohlschubspannung in Abbildung 8.11 zeigt eine<br />

sehr gute Übereinstimmung der vorgestellten Parametrisierung mit den originalen Meßergebnissen<br />

von Roberts et al.<br />

8.5 Biologische Einflüsse<br />

In Ästuaren besitzen fast alle Sedimentkörner einen ihre Oberfläche überdeckenden Film aus<br />

organischen Materialien [35]. Werden diese am Boden deponiert, bilden sich dort komplexe<br />

Systeme aus mineralogischen, flüssigen, <strong>und</strong> gasförmigen Anteilen, die sowohl biologisch aktiv<br />

als auch chemisch reaktiv sind. So besteht der Schlick in Küstengewässern aus Ton- <strong>und</strong><br />

Schluffkörnern mit relativ geringem Porenanteil, in welchem die Körner in einer amorphen


144 KAPITEL 8. DIE EROSION KOHÄSIVER SEDIMENTE<br />

1,00E-01<br />

Erosionsfluss [kg/m²s]<br />

1,00E-02<br />

1,00E-03<br />

1,00E-04<br />

1,00E-05<br />

0,2<br />

0,4<br />

0,8<br />

1,6<br />

3,2<br />

1,00E-06<br />

1,00E-07<br />

0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03 1,20E-03 1,40E-03<br />

Korndurchmesser [m]<br />

Abbildung 8.12: Der Erosionsfluss in Abhängigkeit vom Korndurchmesser für verschiedene<br />

Sohlschubspannungen nach Gleichung (8.3).<br />

Matrix aus detritischem organischen Material geb<strong>und</strong>en sind [8].<br />

Den wichtigsten Einfluss auf das Erosionsverhalten kohäsiver Sedimente haben extrazelluläre<br />

polymere Substanzen (EPS). Sie werden als Sekrete von Bakterien erzeugt, die in<br />

den Schlickböden in Populationsdichten bis zu 10 9 bis 10 12 Organismen pro Gramm Trockensubstanz<br />

auftreten [8]. Neben den zum Mikrozoobenthos zählenden Bakterien können auch<br />

gewisse zum Mikrophytobenthos zählende Algenarten EPS produzieren.<br />

Diese EPS sind in der Lage, die kritische Erosionsspannung um das zwei- bis vierfache gegenüber<br />

dem mineralogischen Ausgangswert zu erhöhen.<br />

Eine quantitative oder wenigstens qualitative Prognose der biologischen Einflüsse auf die Erosionsstabilität<br />

ist bisher nicht gelungen. Einen summatorischen, d.h. alle biologischen Prozesse<br />

vereinigenden Ansatz ist der Biostabilisationsindex S B von Manzenrieder. Er ist definiert als<br />

das Verhältnis der aktuellen Erosionsschubspannungen zu dem nach Shields bestimmten Wert:<br />

S B = τ cr,aktuell<br />

τ cr,Shields<br />

Dieser Index kann für stark kolonisierte Böden Werte zwischen sechs <strong>und</strong> sieben annehmen; er<br />

kann aber auch negativ sein, wenn die biologischen Prozesse eine destabilisierende Wirkung<br />

haben.<br />

Einen weiteren Einfluss auf das Erosionsverhalten haben die Prozesse, die man unter dem Begriff<br />

Bioturbation zusammenfaßt. Hierunter Veränderungen der Sedimentzusammensetzung<br />

durch die benthische Fauna (Schnecken, Würmer <strong>und</strong> Muscheln), wie das Bilden von Höhlen,<br />

Hohlgängen, Korngrößensortierung durch Exkrementierung etc. bezeichnet.


8.6. ZUSAMMENFASSUNG 145<br />

Zur Einbindung biologischer Prozesse in die Berechnungsverfahren für den Erosionsfluss stehen<br />

prinzipiell drei Strategien zur Verfügung: Zunächst kann man empirisch vorgehen, indem<br />

für das jeweilige Interessensgebiet Kernproben entnommen werden <strong>und</strong> deren Erosionseigenschaften<br />

möglichst ungestört bestimmt werden. Dieses Verfahren eignet sich jedoch nicht in<br />

der wasserbaulichen Systemanalyse zur Bestimmung des Erosionsverhaltens gewisser Ausbauzustände,<br />

da hier der Boden durch Baumaßnahmen wie Baggerungen oder Verklappungen<br />

in seiner Textur erheblich verändert wird.<br />

Eine andere Möglichkeit der Prognostik bestünde im Aufbau einer allgemeinen Erosionsgleichung<br />

für kohäsive Sedimente in Analogie zur Universal Soil Loss Equation. Hierzu<br />

müßten die Abhängigkeiten der verschiedenen Einflussgrößen aus den unterschiedlichsten<br />

Datensätzen durch Multiregressionsanalyse extrahiert werden. Der Vorteil dieser Methode ist<br />

die einfache Anwendbarkeit des Endergebnisses. Bisher existiert eine solche Gleichung für<br />

kohäsive Sedimente allerdings nicht, <strong>und</strong> es würde Jahre brauchen, entsprechende Datensätze<br />

weltweit zu gewinnen, auszuwerten <strong>und</strong> die Gleichung aufzubauen. Der Nachteil dieser Methode<br />

ist ihr empirischer Charakter, der das Verständnis der beteiligten Einzelprozesse nicht<br />

fördert.<br />

Die dritte Möglichkeit wäre die direkte Simulation. Hier würden die maßgebenden Einzelprozesse<br />

Schritt für Schritt modelliert; d.h. man fängt mit den wichtigsten Einflussgrößen an<br />

<strong>und</strong> arbeitet sich zu den weniger wichtigen vor. Um z.B. die biologische Primärproduktion zu<br />

simulieren, ist die Modellierung der Lichtverhältnisse in Wassersäule <strong>und</strong> auf der Bodenoberfläche,<br />

sowie die Sauerstoff- <strong>und</strong> Temperaturverhältnisse in Wasser <strong>und</strong> Boden erforderlich.<br />

Hierauf könnten dann einfache Modelle für die biologische Primär- bzw. die EPS-Produktion<br />

aufsetzen.<br />

8.6 Zusammenfassung<br />

Auch der Beginn der Erosion kohäsiver Sedimente kann man durch die Shieldsschubspannung<br />

beschreiben. Übersteigt die Sohlschubspannung diesen Wert, so setzt eine Oberflächenerosion<br />

ein, bei der die ungeb<strong>und</strong>enen Körner erodiert werden. Darauf folgen geb<strong>und</strong>ene Aggregate<br />

bis die Oberflächenerosion in eine Massenerosion übergeht. Dieses Verhalten kann am besten<br />

durch eine quadratische Abhängigkeit von des Erosionsflusses von der Sohlschubspannung<br />

beschrieben werden. Dabei nimmt die Erodibilität mit zunehmender Korngröße ab.<br />

Bezüglich des Erosionsverhaltens scheint der Porenwassergehalt nur einen Einfluss auf die<br />

bindigen Sedimente zu haben. Deren Erodibilität nimmt mit zunehmendem Porenwassergehalt<br />

zu, was auf den geringeren Anteil von Aggregaten höherer Ordnung zurückzuführen ist.<br />

8.7 Ausblick<br />

Um die Prognostik der kohäsiven Eigenschaften der besser zu prognostizieren, sind im wesentlichen<br />

zwei Entwicklungen zu tätigen. Zum einen ist die räumliche <strong>und</strong> zeitliche Entwicklung<br />

des Porenwassergehaltes mathematisch besser zu erfassen. Hier sind insbesondere zu untersuchen:


146 KAPITEL 8. DIE EROSION KOHÄSIVER SEDIMENTE<br />

• der Anfangsporenwassergehalt frisch deponierter Sedimente <strong>und</strong> deren quantitative Beschreibung<br />

• Die zeitliche Entwicklung des Porenwassergehaltes durch Konsolidierung<br />

Um die Produktion von EPS durch Mikrophyto- <strong>und</strong> Mikrozoobenthos zu prognostizieren,<br />

sind zunächst die wesentlichen abiotischen ökologischen Parameter zu modellieren. Diese umfassen<br />

• die Licht- bzw. Strahlungsverhältnisse in der Wassersäule <strong>und</strong> auf der Sohlfläche<br />

• die Temperaturverhältnisse in Wassersäule <strong>und</strong> Boden. Hierzu muß das hydromechanische<br />

Modell der Wassersäule die Temperaturtransportgleichung lösen, während im Boden<br />

die Lösung der Temperaturdiffusionsgleichung hinreichend ist.<br />

• die Sauerstoffverhältnisse in Wassersäule <strong>und</strong> Boden. Hierzu muß das hydromechanische<br />

Modell der Wassersäule die Sauerstofftransportgleichung lösen, während im Boden<br />

die Lösung der Sauerstoffdiffusionsgleichung hinreichend ist.<br />

• Ein Modell für die Produktion von EPS.


Kapitel 9<br />

Der Transport von Schwebstoffen<br />

Nur die wenigsten Gewässer sind so klar, daß man durch sie hindurch ihren Boden erkennen<br />

könnte. Ihre Trübung wird durch Schwebstoffe verursacht, die das einfallende Licht streuen<br />

<strong>und</strong> reflektieren. Das Schweben der Stoffe kann zwei Ursachen haben: Falls ihre Dichte vergleichbar<br />

der des Wassers ist, dann halten sich Auftriebs- <strong>und</strong> Gewichtskraft gegenseitig die<br />

Waage, die Stoffe sinken dann weder zu Boden, noch steigen sie an die Oberfläche. Desweiteren<br />

kann die Turbulenz <strong>und</strong> die damit verb<strong>und</strong>ene turbulente Diffusion zu einem Aufwärtstransport<br />

führen, der auch dichtere partikuläre also Sinkstoffe bzw. Sedimente zu Schwebstoffen<br />

macht.<br />

Schwebstoffe sind für drei Hauptdisziplinen der Gewässerk<strong>und</strong>e von zentraler Bedeutung. Ihre<br />

Anreicherung oder Erosion in bestimmten Bereichen kann zu erheblichen Änderungen der<br />

Gewässermorphologie führen, sie sind also neben dem Geschiebe der zweite wichtige Einflußfaktor<br />

der <strong>Morphodynamik</strong>. Hier sind sie insbesondere für die Bodenbildung in Gewässerzonen<br />

mit geringen Strömungen verantwortlich, so z.B. an Ufern <strong>und</strong> in Einbuchtungen.<br />

Während dort kein Geschiebetransport mehr stattfinden kann, nehmen Schwebstoffe mittels<br />

geringster Restströmungen oder diffusiver Prozesse den Weg über die Wassersäule. Ihre Ablagerungen<br />

bilden dort Schlickböden.<br />

Ferner bestimmen Schwebstoffe nicht nur die Lichtverhältnisse <strong>und</strong> damit auch die Photosynthese<br />

in einem Gewässer, sie bestehen sogar selbst zum großen Teil aus organischem Material,<br />

so daß die Schwebstoffverhältnisse auch die Gewässerbiologie entscheidend bestimmen.<br />

Gründe genug, um sich mit ihnen eingehend zu beschäftigen.<br />

Zum dritten können Schwebstoffe auch die Strömung in erheblichem Maße beeinflussen, da<br />

sie die Dichte des Fluids verändern. Ist dies mit lokalen Dichtegradienten verb<strong>und</strong>en, dann entstehen<br />

Dichteströmungen. Desweiteren beeinflussen vertikale Dichtegradienten bzw. Schichtungen<br />

des Gewässers die Turbulenz. Dichteströmungen <strong>und</strong> Schichtung sind charakteristisch<br />

für das Strömungsklima in mikrotidalen Ästuaren.<br />

9.1 <strong>Sedimenttransport</strong> in Suspension<br />

Der <strong>Sedimenttransport</strong> in Suspension ist durch drei Teilprozesse bestimmt, die wir nun mathematisch<br />

beschreiben wollen. Zunächst wird das Sediment advektiv mit der Strömung trans-<br />

147


148 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

portiert. Da die Dichte der abiotischen Sedimentanteile größer als die des Wassers ist, sinken<br />

Sedimente fortwährend zu Boden. Und schließlich führt der Prozess der Diffusion dazu, daß<br />

Gradienten in der räumlichen Verteilung der Sedimentkonzentration ausgeglichen werden.<br />

9.1.1 Lösungen<br />

Lösungen bestehen aus einem Trägerfluid, welches in den meisten Fällen Wasser ist, in dem ein<br />

Inhaltsstoff in sehr geringer Massenkonzentration c vorliegt. Damit gilt n H2 O ≃ 1 <strong>und</strong> somit<br />

geht die Erhaltung der Wassermasse des Mehrphasensystems in die allgemeine <strong>und</strong> diese in<br />

die inkompressible Kontinuitätsgleichung über.<br />

Die Partikel des Inhaltsstoffes sind so klein, daß sie von den sie umgebenden Wassermolekülen<br />

mitgerissen werden <strong>und</strong> ihre Geschwindigkeit nicht von der des Wassers unterscheidbar ist.<br />

Die Massenkonzentration c (in kg/m 3 ) des Inhaltsstoffes läßt sich als das Produkt von Volumenanteil<br />

n c <strong>und</strong> der Eigendichte des Inhaltstoffes ϱ c berechnen:<br />

c = n c ϱ c<br />

Ferner bewegt sich der gelöste Stoff mit derselben Geschwindigkeit wie das Trägerfluid. Damit<br />

bekommt man die Massenerhaltungsgleichung des in Lösung befindlichen Materials aus der<br />

allgemeinen Kontinuitätsgleichung (??) mit ϱ = c:<br />

∂c<br />

+ div (c⃗u) =0<br />

∂t<br />

Die Konzentration des gelösten Stoffes ändert sich an einem festen Ort, wenn eine Strömung<br />

⃗u bei räumlichen Konzentrationsgradienten vorhanden ist. Es gibt zwei weitere Prozesse, die<br />

Konzentrationsänderungen auch dann bewirken, wenn keinen Strömungen vorhanden sind.<br />

Wir wollen sie in den folgenden beiden Abschnitten berücksichtigen.<br />

9.1.2 Suspensionen<br />

Suspensionen bestehen wie Lösungen aus einem Trägerfluid, welches wir wieder mit Wasser<br />

identifizieren <strong>und</strong> einem weiteren Stoff, dessen Einzelpartikel so groß sind, daß ihnen eine<br />

eigene Geschwindigkeit zugeordnet werden muß, da sie sich nicht mehr vollständig mit den sie<br />

umgebenden Wassermolekülen mitbewegen. Eine Ursachen dieser Dissonanz kann eine sich<br />

von der des Wassers unterscheidende Dichte sein, wodurch sich im Gravitationsfeld entweder<br />

eine Sink- oder eine Steigbewegung einstellt. Im ersten Fall spricht man von Sedimenten, im<br />

zweiten von Schwimmstoffen.<br />

Bezeichnet man die Vertikalkomponente der Eigengeschwindigkeit eines Sedimentpartikels<br />

im Gravitationsfeld mit w c , dann ist seine Gesamtgeschwindigkeit<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

⎞<br />

u<br />

⎟<br />

v<br />

w + w c<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎠, wenn ⎝<br />

die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers ist. Geht man wieder von einer wässerigen Suspension<br />

aus, dann schreibt sich die Massenerhaltungsgleichung des suspendierten Stoffes als<br />

u<br />

v<br />

w<br />

⎞<br />

⎟<br />


9.1. SEDIMENTTRANSPORT IN SUSPENSION 149<br />

Ort x = 1 2 3 4 5 6 7<br />

Zeitpunkt 0 0 0 0 27 0 0 0<br />

Zeitpunkt 1 0 0 9 9 9 0 0<br />

Zeitpunkt 2 0 3 6 9 6 3 0<br />

Zeitpunkt 3 1 3 6 7 6 3 1<br />

Tabelle 9.1: Stochastisches Experiment zur Diffusion<br />

∂c<br />

∂t + div (c⃗u)+∂w cc<br />

=0<br />

∂z<br />

wobei schließlich noch der Effekt der Diffusion zu berücksichtigen ist.<br />

9.1.3 Diffusion<br />

Wir zunächst die Ursache der Diffusion durch ein stochastisches Modell plausibilisieren. Auf<br />

der molekularen Ebene führen alle in einem Fluid befindlichen Partikel kleine stochastische<br />

fluktuierende Bewegungen aus, die als Brownsche Molekularbewegungen bezeichnet werden.<br />

Diese Bewegungen führen dazu, daß sich lokale Änderungen in der Konzentration auf die Dauer<br />

ausgleichen, so daß der gelöste Stoff letztlich im Fluid überall mit derselben Konzentration<br />

vorhanden ist. Dies läßt sich mit Hilfe eines einfachen stochastischen Modells zeigen, welches<br />

in Tabelle 9.1 dargestellt ist:<br />

Zu einem Zeitpunkt Null befinden sich 27 Partikel an einem fiktiven Ort x =4. Wir nehmen<br />

ferner an, daß die Zeit in Zeitschritten <strong>und</strong> nicht kontinuierlich abläuft. Die Partikel führen<br />

stochastische Bewegungen aus, sie bewegen sich in einem Zeitschritt entweder nach links<br />

oder nach rechts oder sie bleiben dort, wo sie gerade sind. Jede dieser drei Bewegungsformen<br />

sei gleichwahrscheinlich.<br />

Offensichtlich bewegt sich ein Partikel im zeitlichen Mittel nicht von der Stelle. Nachrechnen<br />

ergibt aber für die ersten drei Zeitschritte die in Tabelle 9.1 dargestellte Belegung der Kästchen.<br />

Man kann ferner sehen, daß der Teilchenstrom proportional zur Änderung der Teilchenzahl<br />

zwischen den einzelnen Zellen ist <strong>und</strong> in entgegengesetzter Richtung zur örtlichen Teilchen-


150 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

zahlsteigung fließt. Die Teilchen bewegen sich also von Orten höherer zu Orten niedrigerer<br />

Konzentration.<br />

Das erste Ficksche Gesetz ist ein deterministisches Modell für diesen stochastischen Prozeß.<br />

Befindet sich in einem Fluid ein gelöster Stoff der Konzentration c, so besagt es, daß sich ein<br />

Massenstrom in Richtung des negativen Konzentrationsgradienten bewegt:<br />

Φ c = −Kgrad c. (9.1)<br />

Der Fluß Φ c wird meistens als Massenstrom verwendet, er hat dann die Einheit kg/(m 2 s), gibt<br />

also an, wieviel Kilogramm in einer Sek<strong>und</strong>e durch eine ein Quadratmeter große Fläche fließen.<br />

K wird dabei als Diffusivität <strong>und</strong> der hier beschriebene Prozeß als Diffusion bezeichnet.<br />

Die Diffusivität hat die Einheit m 2 /s. Sie hat z.B. für Salz in Wasser den sehr kleinen Wert von<br />

1.1·10 −9 m 2 /s, für Schwebstoffe ist sie wegen der geringen Brownschen Mobilität der Partikel<br />

noch kleiner.<br />

9.1.4 Die Schwebstofftransportgleichung<br />

Wir wollen nun eine Transportgleichung für die Schwebstoffkonzentration in der Wassersäule<br />

herleiten, d.h. die Prozesse der Advektion <strong>und</strong> Diffusion zusammenbringen. Dabei ist zu beachten,<br />

daß in der Schwebe befindliche Sedimente eine eigene Bewegungsgeschwindigkeit ⃗u c<br />

haben, die sich von der des umgebenden Wassers (u, v, w) t durch die vertikale Sinkgeschwindigkeit<br />

w c unterscheidet:<br />

⎛ ⎞<br />

u<br />

⎜ ⎟<br />

⃗u c = ⎝ v ⎠<br />

w + w c<br />

Die Transportgleichung suspendierter Sedimente der Konzentration c kann man nun genauso<br />

herleiten, wie wir es bei der allgemeinen Kontinuitätsgleichung in Kapitel ?? gemacht haben.<br />

Man betrachtet auf einem quaderförmigen Kontrollvolumen die ein- <strong>und</strong> ausströmenden<br />

Flüsse, wobei die Dichte nun die Schwebstoffkonzentration <strong>und</strong> die Strömungsgeschwindigkeit<br />

in diesem Fall die Bewegungsgeschwindigkeit ⃗u c des Sedimentes ist. Ferner werden auf<br />

allen Berandungsflächen des Quaders die diffusiven Flüsse mitberücksichtigt. Man kommt<br />

dann zu der konservativen Form der Schwebstofftransportgleichung:<br />

∂c<br />

∂t + div ( ⃗u cc − K grad c) =0<br />

Aus dieser Gleichung läßt sich der Fluß der Konzentration c ablesen, er ist:<br />

Φ c = ⃗u c c − Kgrad c (9.2)<br />

Er hat dann die Einheit kg/(m 2 s), gibt also an, wieviel Kilogramm in einer Sek<strong>und</strong>e durch eine<br />

ein Quadratmeter große Fläche fließen.<br />

Da für die Strömungsgeschwindigkeiten die Kontinuitätsgleichung div ⃗u =0gilt, ergibt sich<br />

für den Term


9.1. SEDIMENTTRANSPORT IN SUSPENSION 151<br />

div ( ⃗u c c)=c div ⃗u + ⃗u grad c + ∂w cc<br />

∂z<br />

= ⃗u grad c + ∂w cc<br />

∂z<br />

<strong>und</strong> somit die nichtkonservative Form der Schwebstofftransportgleichung:<br />

Ausgeschrieben lautet sie:<br />

∂c<br />

∂t + ⃗u grad c + ∂w cc<br />

∂z<br />

= div K grad c<br />

∂c<br />

∂t + u ∂c<br />

∂x + v ∂c<br />

∂y + w ∂c<br />

∂z<br />

} {{ }<br />

Advektion<br />

+ ∂w cc<br />

∂z } {{ }<br />

Sinken<br />

= K ∂2 c<br />

∂x + K ∂2 c<br />

2 ∂y + K ∂2 c<br />

2 ∂z<br />

} {{ 2<br />

}<br />

Diffusion<br />

(9.3)<br />

Dieser Gleichung kann erst dann gelöst werden, wenn das Geschwindigkeitsfeld der Strömung<br />

bekannt ist. Der trivialste Fall ist dabei der eines ruhenden umgebenden Fluides; ihn werden<br />

wir noch behandeln. Im Fall einer stationären homogenen Strömung, die kein vertikales Profil<br />

aufweist, existiert eine analytische Lösung [36], die jedoch mit einem einfachen Taschenrechner<br />

nicht mehr auswertbar ist. Die Schwebstofftransportgleichung wird daher in der Praxis mit<br />

dreidimensionalen numerischen Strömungsmodellen gelöst.<br />

9.1.5 Randbedingungen<br />

In dreidimensionalen numerischen Schwebstofftransportmodellen benötigt man Randbedingungen<br />

an der freien Oberfläche sowie an der Sohle, die hier nur kurz umrissen werden sollen.<br />

Schwebstoffe verlassen das Gewässer durch die freie Oberfläche nicht, daher ist die Projektion<br />

des Schwebstoffflusses auf den Oberflächeneinheitsvektor ⃗n S Null, ⃗ Φ c ⃗n S =0. Bei gekrümmten<br />

freien Oberflächen erhält man als exakte Randbedingung für den dortigen Schwebstofftransport:<br />

K ∂c ∂z S<br />

∂x ∂x + K ∂c ∂z S<br />

∂y ∂y + w cc − K ∂c<br />

∂z + c∂z S<br />

∂t =0<br />

Nimmt man an, daß die Oberfläche nahezu horizontal ist, dann vereinfacht sich die Randbedingung<br />

erheblich:<br />

((<br />

w c + ∂z )<br />

S<br />

c − K ∂c )∣ ∣∣∣∣S<br />

=0<br />

∂t ∂z<br />

Der Sedimentfluss an der Sohle ⃗ Φ c ⃗n B muß nicht Null sein, da sich hier Sediment ablagern<br />

bzw. erodiert werden kann. Unter Berücksichtigung der Stokesschen Haftbedingung gilt für<br />

eine horizontale Sohle:


152 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

⃗Φ c ⃗n B =<br />

(<br />

−w c c + K ∂c<br />

∂z<br />

)∣ ∣∣∣∣B<br />

Der Sedimentfluss an der Sohle setzt sich aus dem Sedimentationsfluß aus der Wassersäule<br />

<strong>und</strong> dem Erosionsfluß in die Wassersäule zusammen:<br />

(<br />

w c · c − K ∂c )∣ ∣∣∣∣B<br />

=Φ ero +Φ dep<br />

∂z<br />

Den Erosionsfluss hatten wir schon in Kapitel 8 eingehend behandelt. Der Sedimentationsfluß<br />

ist<br />

Φ dep = w c c B (9.4)<br />

Hier existieren in der Literatur verschiedene anderslautende Ansätze, die dem Sedimentationsfluß<br />

eine Depositionswahrscheinlichkeit zuordnen. Diese Ansätze entstammen der tiefenintegrierten<br />

Modellierung, wo die Depositionswahrscheinlichkeit ein Maß dafür ist, daß sich<br />

das Sediment überhaupt in Bodennähe befindet, um deponiert zu werden. Da dreidimensionale<br />

Modelle die Vertikale auflösen, ist eine derartige Konstruktion nicht erforderlich.<br />

Am Boden bleibt in einem dreidimensionalen Modell somit eine reine Neumansche Randbedingung<br />

(<br />

−K ∂c )∣ ∣∣∣∣Bot.<br />

=Φ ero (9.5)<br />

∂z<br />

einzuhalten.<br />

9.1.6 Das Konzentrationsprofil des Schwebens<br />

Das Schweben ist ein wichtiger Spezialfall des <strong>Sedimenttransport</strong>s in Suspension. Es bezeichnet<br />

einen Vorgang, bei dem sich die Konzentration des Sediments in Suspension nicht ändert,<br />

weil kein vertikaler Fluss zu verzeichnen ist:<br />

w c c = K ∂c<br />

(9.6)<br />

∂z<br />

Diese Gleichung wollen wir als Differentialgleichung des Schwebens bezeichnen. Nimmt man<br />

an, daß die Diffusivität über die Wassersäule konstant ist, so bestätigt man leicht die Lösung<br />

c(z) =c 0 e wc<br />

K z . (9.7)<br />

Dabei gibt die Referenzkonzentration c 0 die Sedimentkonzentration an der Sohle an.<br />

Abbildung 9.1 zeigt das nach dieser Gleichung bestimmte Konzentrationsprofil für verschiedene<br />

Werte des dimensionslosen Verhältnisses w c h/K. Der Wert w c h/K = - 0.1 zeigt eine<br />

homogene Verteilung eines solchen Schwebstoffes über die Wassersäule. Bei w c h/K =-10


9.1. SEDIMENTTRANSPORT IN SUSPENSION 153<br />

<br />

'<br />

&<br />

M ? D <br />

%<br />

$<br />

D<br />

#<br />

"<br />

M ? D <br />

!<br />

M ? D <br />

<br />

<br />

M ? D # <br />

<br />

! " # $ % & ' <br />

H A A JH = JE ? ? <br />

Abbildung 9.1: Konzentrationsprofile des Schwebens bei über die Tiefe konstanter Diffusivität.<br />

wird der Schwebstoff nur in der unteren Hälfte der Wassersäule, bei w c h/K = - 50 nur im<br />

ersten Zehntel transportiert.<br />

Die tatsächlichen molekularen Diffusivitäten für Schwebstoffe liegen im Bereich von<br />

K ≃ 10 -9 m 2 /s, so daß in einem 10 m tiefem Gewässer nur Kolloide oder Partikel mit Dichten,<br />

die der des Wassers sehr ähnlich sind, in der Schwebe gehalten werden würden. Tone, Schluffe<br />

<strong>und</strong> Sande würden so nicht in der Wassersäule erscheinen. Dies entspricht allerdings nicht<br />

den Tatsachen, verantwortlich hierfür ist die Turbulenz, die zu einer scheinbaren Erhöhung der<br />

Diffusivität führt.<br />

9.1.7 Eine analytische Lösung der Schwebstofftransportgleichung<br />

Zur Verifikation eines numerischen Modells sind analytische Lösungen besonders geeignet,<br />

da sich hier der numerische Fehler genau quantifizieren läßt. Während jedoch für Wärmetransportgleichungen<br />

eine Vielzahl von analytischen Lösungen existiert [39], ist dies bei<br />

der Schwebstofftransportgleichung wegen ihrer besonderen Bodenrandbedingung <strong>und</strong> dem<br />

zusätzlichen Sinkgeschwindigkeitsterm nicht der Fall.<br />

Die hier vorgestellte Lösung wurde im Rahmen der Tiefseeforschung zur Untersuchung des<br />

Ausbreitungsverhaltens einer durch den Manganknollenbergbau induzierten Trübungswolke<br />

entwickelt [34]. Im Unterschied zu den Rouse-Profilen berücksichtigt dieser Lösungstyp auch<br />

die horizontale Advektion <strong>und</strong> Diffusion, sowie die Sedimentation am Boden. Somit stellt<br />

er den allgemeinsten Lösungstyp für die Schwebstofftransportgleichung dar <strong>und</strong> sollte daher


154 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

u<br />

−K x<br />

∂c<br />

∂x<br />

F 0 e −γz<br />

−K z<br />

∂c<br />

∂z<br />

uc + K x<br />

∂c<br />

∂x<br />

w c c + K z<br />

∂c<br />

∂z<br />

Abbildung 9.2: Schema zur analytischen Lösung der Schwebstofftransportgleichung.<br />

standardgemäß bei der Verifikation von Schwebstofftransportmodellen verwendet werden. Da<br />

der analytische Lösungsweg weitgehend verallgemeinerungsfähig ist, soll er hier dargestellt<br />

werden.<br />

Unter der Voraussetzung einer homogenen horizontalen stationären Strömung (u, v) <strong>und</strong> in<br />

allen drei Raumrichtungen konstanten Diffusivitäten (K x ,K y ,K z ), sowie einer konstanten<br />

Sinkgeschwindigkeit w c schreibt sich die Schwebstofftranportgleichung als<br />

∂c<br />

∂t + u ∂c<br />

∂x + v ∂c<br />

∂y − w ∂c<br />

c<br />

∂z − K ∂ 2 c<br />

x<br />

∂x − K ∂ 2 c<br />

2 y<br />

∂y − K ∂ 2 c<br />

2 z<br />

∂z =0. 2<br />

Als Anfangsbedingung wird am Ort (x 0 ,y 0 ) eine exponentielle Linienquelle der Form<br />

c(z) =δ(x 0 )δ(y 0 )F 0 e −γz für t =0<br />

angenommen. Die Randbedingung am Boden wird durch den Adsorptionsindex θ in der Form<br />

∂c<br />

K z<br />

∂z + w cc = θc für z =0<br />

angesetzt, in unendlicher Entfernung soll die Lösung Null sein. Ein schematische Darstellung<br />

des Gesamtproblems ist in Abb. 9.2 zu sehen.<br />

Die analytische Lösung des Problems ergibt sich nach dem klassischen Lösungsverfahren für<br />

die Transportgleichung. In einem ersten Schritt wird durch die Variablentransformation<br />

x ′ = x − ut<br />

y ′ = y − vt<br />

der horizontale advektive Transport eliminiert, indem man das neue Koordinatensystem mit<br />

der Konzentrationswolke mitbewegt. Dabei bleiben alle Ortsableitungen gleich. Die Zeitableitung<br />

wird nach der Kettenregel zu:<br />

∂c<br />

∂t → ∂c<br />

∂t − u ∂c<br />

∂x − v ∂c<br />

′ ∂y ′<br />

In diesem, sich mit der Strömung bewegenden Koordinatensystem bleibt von der Gleichung<br />

nur noch:


9.1. SEDIMENTTRANSPORT IN SUSPENSION 155<br />

∂c<br />

∂t − w ∂c<br />

c<br />

∂z − K ∂ 2 c<br />

x<br />

∂x − K ∂ 2 c<br />

′2 y<br />

∂y − K ∂ 2 c<br />

′2 z =0 (9.8)<br />

∂z2 Im zweiten Schritt wird ein Separationsansatz der Form<br />

c(x, y, z, t) =c x (x ′ ,t) c y (y ′ ,t) c z (z, t)<br />

versucht. Setzt man diesen in die verbleibende Differentialgleichung ein <strong>und</strong> dividiert durch<br />

c x c y c z , so erhält man:<br />

1 ∂c x<br />

c x ∂t − K x ∂ 2 c x<br />

+ 1 ∂c y<br />

c x ∂x<br />

} {{ ′2 c<br />

} y ∂t − K y ∂ 2 c y<br />

+ 1 ∂c z<br />

c y ∂y ′2 c z ∂t − w f ∂c z<br />

c z ∂z − K z ∂ 2 c z<br />

=0<br />

c z ∂z<br />

} {{ } } {{ 2<br />

}<br />

=0<br />

=0<br />

=0<br />

Wie durch die Unterklammerungen angedeutet, ist die Gesamtgleichung Null, wenn die drei<br />

Einzelbestandteile, die jeweils nur c x , c y oder c z enthalten, Null sind:<br />

∂c x<br />

∂t − K ∂ 2 c x<br />

x<br />

∂x ′ 2 =0<br />

∂c y<br />

∂t − K ∂ 2 c y<br />

y<br />

∂y ′ 2 =0<br />

∂c z<br />

∂t − w ∂c z<br />

c<br />

∂z − K ∂ 2 c z<br />

z<br />

∂z =0 2<br />

Bei den ersten beiden Gleichungen handelt es sich um eindimensionale Wärmeleitungsgleichungen,<br />

die durch die Poissonformel gelöst werden können. Nach Ausführung der inversen<br />

Transformationen erhält man die horizontalen separierten Lösungen<br />

c x (x, t) =<br />

c y (y, t) =<br />

(<br />

1<br />

√ 4πKx t exp − x − x )<br />

0 − ut<br />

4K x t<br />

(<br />

1<br />

√<br />

4πKy t exp − y − y )<br />

0 − vt<br />

4K y t<br />

(9.9)<br />

(9.10)<br />

Die dritte Differentialgleichung der z-Richtung wird zusammen mit den Anfangs- <strong>und</strong> Randbedingungen<br />

durch eine Laplace-Transformation in der Zeitkoordinate auf eine gewöhnliche<br />

Differentialgleichung in z transformiert. Dazu multipliziert man sie mit e −pt <strong>und</strong> integriert sie<br />

zeitlich zwischen 0 ind ∞:<br />

∫ ∞<br />

0<br />

∂c z<br />

∂t e−pt dt − w f<br />

∫∞<br />

0<br />

∫∞<br />

∂c z<br />

∂z e−pt dt − K z<br />

0<br />

∂ 2 c z<br />

∂z 2 e−pt dt =0<br />

Der Zeitterm läßt sich partiell integrieren. Unter Beachtung der Anfangsbedingung ergibt sich:<br />

∫ ∞<br />

0<br />

∫<br />

∂c ∞<br />

∫ ∞<br />

z<br />

∂t e−pt dt = −c z (t =0)+p c z e −pt dt = −F 0 e −γz + p c z e −pt dt<br />

0<br />

0


156 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

Man bezeichnet<br />

ĉ(p, z) =<br />

∫∞<br />

0<br />

c z · e −pt dt<br />

als die Laplace-Transformierte der Funktion c z (z, t).<br />

Die ursprünglich partielle Differentialgleichung der z-Richtung wird durch die Laplacetransformation<br />

zu einer gewöhnlichen:<br />

∂ 2 ĉ<br />

K z<br />

∂z + w ∂ĉ<br />

2 c<br />

∂z − pĉ = −F 0e −γz<br />

Die Lösung einer solchen inhomogenen Differentialgleichung besteht aus der Summe einer<br />

einzigen speziellen Lösung plus der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung.<br />

Eine spezielle Lösung der vollständigen inhomogenen Gleichung ist z.B.:<br />

ĉ inhom (z, p) =<br />

F 0 e −γz<br />

p + w c γ − K z γ 2<br />

Die allgemeine homogene Lösung ist:<br />

ĉ hom (z, p) =c 1 exp<br />

⎛<br />

⎝(− w c<br />

+ √ w2 c<br />

2A z 4A 2 z<br />

⎞<br />

+ p )z⎠ + c 2 exp<br />

A z<br />

⎛<br />

⎝(− w c<br />

2A z<br />

−<br />

⎞<br />

√<br />

w<br />

2 c<br />

4Az + p )z) ⎠<br />

2 A z<br />

wobei c 1 <strong>und</strong> c 2 noch zu bestimmende Konstanten sind. Damit ĉ hom (z) für z →∞gegen Null<br />

konvergiert, muß c 1 =0gelten. Die Gesamtlösung ist somit:<br />

ĉ(z, p) =<br />

⎛<br />

F 0 e −γz<br />

p + w c γ − K z γ + c 2 2 exp ⎝(− w √ ⎞<br />

c w<br />

2<br />

− c<br />

2A z 4Az + p )z) ⎠<br />

2 A z<br />

Die Konstante c 2 bestimmt sich durch das Einsetzen dieser Lösung in die Randbedingung am<br />

Boden für z =0. Das Auflösen dieser Bestimmungsgleichung liefert für c 2 :<br />

c 2 =<br />

(<br />

w c<br />

2K z<br />

F 0<br />

K z<br />

(γK z +Θ− w c )<br />

√<br />

− Θ K z<br />

−<br />

w 2 c<br />

4K 2 z<br />

+ p<br />

K z<br />

)<br />

(p + w c γ − K z γ 2 )<br />

Mit der Abkürzung<br />

bekommt man die Lösung<br />

β =<br />

w c<br />

2K z<br />

ĉ(z, p) =<br />

F 0 e −γz<br />

p + w c γ − K z γ 2 + F 0<br />

K z<br />

(γK z +Θ− w c )e −βz e −√ β 2 + p<br />

Kz z<br />

(β − Θ K z<br />

− √ β 2 + p K z<br />

)(p +2βK z γ − K z γ 2 )


9.2. TURBULENTER SCHWEBSTOFFTRANSPORT 157<br />

100<br />

75<br />

z - axis [m]<br />

50<br />

25<br />

0<br />

SOURCE<br />

1550 2750 3750 4750 5750 6450<br />

(a)<br />

x - axis [m]<br />

Abbildung 9.3: Analytische Lösung der Schwebstofftransportgleichung.<br />

Von ĉ(z, p) ist nun die inverse Laplace-Transformation zu bilden, um C z (z, t) zu erhalten:<br />

∫ Γ+i∞<br />

C z (z, t) = 1 Ĉ(z, p)e pt dp (9.11)<br />

2πi Γ−i∞<br />

Hierbei ist Γ so zu wählen, daß die Singularitäten von ĉ(z, p) bzgl. p links der Linie [Γ −<br />

i∞, Γ+i∞] liegen. Unter Anwendung der Integralformel von Cauchy erhält man:<br />

c z (z, t) = F 0<br />

2 e−2βKzγt+Kzγ2t · [e −γz erfc( 2(γ − β)K zt − z<br />

2 √ )<br />

K z t<br />

+ γ − 2β + Θ K z<br />

γ − Θ K z<br />

(γ − 2β + θ<br />

K<br />

−F z<br />

)(β − θ<br />

0<br />

(β − θ<br />

K z<br />

) 2 − (β − γ) 2<br />

e (γ−2β)z erfc( 2(γ − β)K zt + z<br />

2 √ )]<br />

K z t<br />

K z<br />

)<br />

θ<br />

e−(2β− Kz )·z−2βθt+θ2 t<br />

Kz<br />

erfc( z − 2(β − θ<br />

K z<br />

)K z t<br />

2 √ ), (9.12)<br />

K z t<br />

Emittiert die Quelle im Zeitintervall [0,T], so ergibt sich die Lösung des Problems zu<br />

c(x, y, z, t) =<br />

∫ T<br />

0<br />

c x (x, t − t ′ ) · c y (y, t − t ′ ) · c z (z, t − t ′ )dt ′ . (9.13)<br />

Diese Lösung muß natürlich auch mit einem einfachen numerischen Modell ausgewertet werden.<br />

9.2 Turbulenter Schwebstofftransport<br />

Der Vergleich des diffusiven Aufwärtstransports mit dem Sinken zeigte, daß laminare<br />

Strömungen nicht in der Lage sind, Sedimente in die Schwebe zu bringen bzw. dort zu halten.


158 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

D<br />

<br />

&<br />

$<br />

"<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

" $ & <br />

D K J <br />

Abbildung 9.4: Das Profil der turbulenten<br />

Viskosität in Fließgewässern<br />

im Vergleich mit aus Messungen gewonnenen<br />

Werten (Punkte).<br />

Warum dies erst in einer turbulenten Strömung möglich ist, wollen wir in diesem Abschnitt<br />

studieren.<br />

Dazu betrachten wir das turbulente Geschwindigkeitsfeld ⃗u einer Strömung, welches die<br />

Schwebepartikel bewegt, einmal genauer. Es besteht aus einem mittleren Anteil ⃗u <strong>und</strong> fluktuierenden<br />

Schwankungen ⃗u ′ , die die Partikel im Mittel allerdings nicht von der Stelle bewegen:<br />

⃗u = ⃗u + ⃗u ′<br />

In unserem Gedankenexperiment zur Diffusion bewegten sich die Partikel ebenfalls im Mittel<br />

nicht von der Stelle. Die sie verursachende Brownsche Molekularbewegung bewirkt dennoch<br />

ein Abflachen von Konzentrationsgradienten. Genauso kann man die Wirkung der Turbulenz<br />

als verstärkte Brownsche Bewegung interpretieren, sie verstäkrt somit das Abflachen von Konzentrationsgradienten<br />

weiter.<br />

In den verschiedenen Modi von Strömungsberechnungen, seien sie analytisch, mit empirischen<br />

Ansätzen oder numerisch, bekommt man nur die mittlere Strömung zu fassen. Die turbulenten<br />

Fluktuationen bleiben außer im Fall einer direkten numerischen Simulation unbekannt. Wir<br />

können aber die Wirkung der Turbulenz als eine Erhöhung der Diffusion beschreiben <strong>und</strong><br />

setzen die Schwebstofftransportgleichung in der neuen Form<br />

∂c<br />

∂t + u ∂c<br />

∂x + v ∂c<br />

∂y + w ∂c<br />

∂z + ∂w cc<br />

= ∂<br />

∂z ∂x K ∂c<br />

t<br />

∂x + ∂ ∂y K ∂c<br />

t<br />

∂y + ∂ ∂z K ∂c<br />

t (9.14)<br />

∂z<br />

an. K t ist dabei nicht mehr die molekulare Diffusivität, sondern eine vom jeweiligen<br />

Strömungszustand abhängige turbulente Diffusivität. Experimentelle Untersuchungen zeigen,<br />

daß deren Profil über die Vertikale dem der turbulenten Viskosität ν t (z) ähnelt, wie es in Abbildung<br />

9.4 dargestellt ist.<br />

Daher beschreibt man die turbulente Diffusivität des Schwebstoffes durch


9.2. TURBULENTER SCHWEBSTOFFTRANSPORT 159<br />

<br />

'<br />

&<br />

%<br />

M ? K <br />

4 A 0 D A D<br />

$<br />

#<br />

"<br />

M ? K <br />

!<br />

<br />

<br />

M ? K #<br />

M ? K <br />

<br />

! " # $ % & ' <br />

4 A A JH = JE ? ? <br />

Abbildung 9.5: Konzentrationsprofile nach Rouse für eine relative Bedeckung von h/z 0 =<br />

100 000.<br />

wobei die turbulente Schmidtzahl<br />

K t (z) = ν t(z)<br />

Sc<br />

= κ (<br />

Sc u ∗z 1 − z )<br />

h<br />

Sc = ν t<br />

K t<br />

≃ 1 (9.15)<br />

das Verhältnis von turbulenter Viskosität zu turbulenter Diffusivität darstellt. Für sehr kleine<br />

Partikel liegt sie in der Nähe von Eins, was sich dadurch erklärt, daß die turbulente Diffusion<br />

durch turbulente Schwankungen des Strömungsfeldes bestimmt ist: Konzentrationsgradienten<br />

werden über denselben Mechanismus wie Geschwindigkeitsgradienten abgebaut.<br />

9.2.1 Das Rouseprofil<br />

Für das parabolische Diffusivitätsprofil ist von Rouse [57] durch die Lösung der Differentialgleichung<br />

des Schwebens (9.6) eine analytische Funktion für das vertikale Konzentrationsprofil<br />

gewonnen worden. Dazu werden in der Differentialgleichung des Schwebens<br />

w c c = κ (<br />

Sc u ∗z 1 − z ) ∂c<br />

h ∂z<br />

die Variablen getrennt <strong>und</strong> diese Gleichung über die Vertikale integriert:


160 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

w c Sc<br />

κu ∗<br />

∫z<br />

1<br />

z 0<br />

z ( 1 − z h<br />

)dz =<br />

∫c<br />

c 0<br />

1<br />

c dc<br />

Die Integration startet dabei von einer Sohlhöhe z 0 , da der Nenner, d.h. die turbulente Diffusivität<br />

für z =0Null wird. Nach der Bestimmung der Stammfunktionen <strong>und</strong> Einsetzen der<br />

Integrationsgrenzen bekommt man das Rouseprofil:<br />

c(z) =c 0<br />

( h − z<br />

z<br />

) −<br />

wcSc<br />

z<br />

κu∗<br />

0<br />

h − z 0<br />

= c 0<br />

( h − z<br />

z<br />

z 0<br />

h − z 0<br />

) Z<br />

(9.16)<br />

Man beachte, daß die Sinkgeschwindigkeit nach unserer Konvention negativ sein sollte. Die<br />

positive Zahl Z bezeichnet man auch als Suspensionszahl. In Abbildung 9.5 sind hierfür Beispiele<br />

zu sehen. Sie unterscheiden sich von den Exponentialprofilen zunächst einmal durch ihre<br />

andere Form, die an der freien Oberfläche eine Nullstelle in der Konzentration aufweist. Durch<br />

die hohe turbulente Diffusion in den mittleren Bereichen der Wassersäule ist die Schwebstoffkonzentration<br />

dort relativ durchmischt. Vom Boden ausgehend fällt die Konzentration des<br />

Rouseprofils schon in den ersten zehn Prozent der Wassersäule auf diesen Durchmischungswert,<br />

um dann in den letzten fünf Prozent der Wassersäule auf Null abzufallen.<br />

Das Rouseprofil hat seit seiner Veröffentlichung im Jahr 1938 eine fortdauernde Wirkungsgeschichte.<br />

Diese ist von der experimentellen Bestimmung der sogenannten Referenzhöhe z 0<br />

<strong>und</strong> der dort vorliegenden Referenzkonzentration c 0 geprägt. Kennt man diese beiden Größen,<br />

so hat man die gesamte Gleichgewichtsschwebstoffkonzentration in der Wassersäule.<br />

9.2.2 Kombination von molekularer <strong>und</strong> turbulenter Diffusivität<br />

Auf der anderen Seite kann man aber auch versuchen, die gr<strong>und</strong>legende Schwäche des Rousemodells<br />

auszumerzen <strong>und</strong> das Profil der turbulenten Diffusivität um die molekulare K 0 zu<br />

erweitern. Die Differentialgleichung des Schwebens wird dann zu<br />

w c c =<br />

<strong>und</strong> nach der Trennung der Variablen:<br />

(<br />

K 0 + κ (<br />

Sc u ∗z 1 − z )) ∂c<br />

h ∂z<br />

∫ z<br />

0<br />

ScK 0<br />

κu ∗<br />

1<br />

dz =<br />

+ z − z2<br />

h<br />

∫ c<br />

c 0<br />

κu ∗<br />

w c Sc c dc<br />

Die Integration kann nun bis zur Sohle z =0ausgeführt werden, da die Gesamtdiffusivität<br />

dort nun nicht mehr Null wird, sondern den ihren molekularen Wert annimmt. Das Ergebnis<br />

für das Profil ist nun:<br />

( √<br />

−2z/h +1− ∆<br />

c(z) =c 0<br />

−2z/h +1+ √ 1+ √ ∆<br />

∆ 1 − √ ∆<br />

) wcSc<br />

κu∗√<br />


9.2. TURBULENTER SCHWEBSTOFFTRANSPORT 161<br />

<br />

'<br />

&<br />

%<br />

4 A 0 D A D<br />

$<br />

#<br />

"<br />

# ! K D 5 ?<br />

!<br />

<br />

# " K D 5 ?<br />

<br />

<br />

# $ K D 5 ?<br />

# # K D 5 ?<br />

! " # $ % & ' <br />

4 A A JH = JE ? ? <br />

Abbildung 9.6: Konzentrationsprofile des Schwebens bei kombinierter molekularer <strong>und</strong> turbulenter<br />

Diffusivität. Die Suspensionszahl ist konstant Z = -0.2.<br />

mit<br />

∆=1+4 K 0Sc<br />

κu ∗ h<br />

Das Ergebnis in Abbildung 9.6 zeigt eine starke Abhängigkeit sowohl der Konzentrationsprofile<br />

als auch der Gesamtkonzentration von der molekularen Diffusivität. Deren Einfluß ist<br />

deshalb so hoch, weil sie die Konzentration aus der bodennahen Schicht geringer Turbulenz<br />

drückt. Im Unterschied zur Rousetheorie veranlaßt dieser Ansatz nicht zur experimentellen<br />

Bestimmung einer sehr abstrakten Referenzhöhe, sondern zur Bestimmung der molekularen<br />

Diffusivität.<br />

9.2.3 Die Referenzkonzentration<br />

Die Referenzkonzentration c 0 ist die Konzentration am Boden bzw. in der Höhe z 0 , bei der<br />

in Abhängigkeit von der Sinkgeschwindigkeit <strong>und</strong> der turbulenten Diffusivität kein Nettoaustausch<br />

mit dem Boden stattfindet. Das suspendierte Material verbleibt beim Vorliegen der Referenzkonzentration<br />

in der Wassersäule <strong>und</strong> es stellt sich bei einer parabolischen Verteilung<br />

der turbulenten Diffusivität ein Rouseprofil für die Konzentration ein. Sie wird in tiefenintegrierten<br />

Modellen zur Formulierung der Randbedingung am Boden benötigt.<br />

Die Referenzkonzentration ist von den hydrodynamischen Größen <strong>und</strong> dabei insbesondere von<br />

der Bodenschubspannung abhängig. Ferner ist sie von der sedimentologischen Beschaffenheit


162 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

des Bodens abhängig, so ist sie bei einem gut sortierten Boden anders als bei ungleichförmigen<br />

aus verschiedenen Fraktionen bestehendem Material.<br />

Das Gleichgewicht von Erosion <strong>und</strong> Deposition<br />

Bevor wir uns an die in der Literatur veröffentlichten Ansätze heranwagen, soll ein eigener <strong>und</strong><br />

naheliegender Ansatz aus dem bisher dargelegten entwickelt werden. Ein Nettostoffaustausch<br />

mit dem Boden findet dann nicht statt, wenn Depositions- <strong>und</strong> Erosionsrate gleich sind:<br />

)<br />

)<br />

Φ dep =Φ ero ⇒ w c c B = M ero<br />

( τ<br />

′<br />

B<br />

τ c<br />

− 1<br />

= k ∗ ϱ b<br />

( τ<br />

′<br />

B<br />

τ c<br />

− 1<br />

Es spricht nichts dagegen, daß die sohlnahe Konzentration c B der Referenzkonzentration c 0<br />

entspricht. Somit folgt:<br />

c 0 = M ( ) ( )<br />

ero τ<br />

′<br />

B<br />

− 1 = k∗ ϱ b τ<br />

′<br />

B<br />

− 1<br />

w c τ c w c τ c<br />

Die Referenzkonzentration am Boden <strong>und</strong> damit auch die Gesamtaufnahmefähigkeit der Wassersäule<br />

sind also vom Verhältnis der Erodibilität <strong>und</strong> der Sinkgeschwindigkeit abhängig.<br />

Diesen Zusammenhang kann man zur Kalibrierung numerischer Schwebstofftransportmodelle<br />

nutzen. Ist die modellierte Konzentration im Vergleich zu Meßwerten zu hoch, so ist das<br />

Verhältnis zu reduzieren, also entweder die Sinkgeschwindigkeit als zu niedrig oder die Erodibilität<br />

als zu hoch abgeschätzt worden.<br />

Mit der Sinkgeschwindigkeit nach Stokes folgt für die Referenzkonzentration:<br />

c 0 =<br />

( )<br />

18νϱk∗ ϱ b τ<br />

′<br />

B<br />

− 1<br />

g(ϱ S − ϱ)d 2 τ c<br />

=1.14 · 10 −12 ϱ b<br />

d 2<br />

ϱ<br />

ϱ S − ϱ<br />

( τ<br />

′<br />

B<br />

τ c<br />

− 1<br />

Nach dieser Überlegung ist die sohlnahe Referenzkonzentration proportional zur Depositionsdichte<br />

<strong>und</strong> sie steigt linear mit der dimsensionslosen Sohlschubspannung<br />

)<br />

an.<br />

T = τ ′ B − τ c<br />

τ c<br />

= θ − θ cr<br />

θ cr<br />

Bestimmung nach Einstein (1950)<br />

Für die Referenzkonzentration existieren verschiedene empirische <strong>und</strong> semiempirische<br />

Ansätze, von denen hier als erstes der von Einstein (1950) [16] vorgestellt werden soll. Dieser<br />

Ansatz geht im wesentlichen davon aus, daß die Referenzkonzentration mit der Bodenfracht<br />

q B steigt, Schwebstoff wird also erst durch die Interaktion mit dem Geschiebe mobilisiert.<br />

Diese Annahme ist da zutreffend, wo das kleinkörnige, schwebefähige Material zwischen dem<br />

groberen Geschiebe verborgen <strong>und</strong> so vor dem Strömungsangriff geschützt ist. Der Ansatz<br />

lautet<br />

q B<br />

c 0 = ϱ s<br />

23.2u ∗ d 35


9.2. TURBULENTER SCHWEBSTOFFTRANSPORT 163<br />

<strong>und</strong> er nimmt ferner an, daß die Referenzhöhe bei z 0 =2d 35 liegt. Bei Böden, die im wesentlichen<br />

aus Feinsanden oder Schluffen bestehen, ist der Ansatz von Einstein nicht gültig. Für<br />

Küstengewässer ist also ein anderer Ansatz zu wählen.<br />

Smith <strong>und</strong> McLean (1977)<br />

Smith <strong>und</strong> McLean (1977) geben das Berechnungsverfahren<br />

T<br />

c 0 =0.004c max<br />

1+0.004T<br />

mit c max =0.65ϱ s an. Die Referenzhöhe nehmen sie bei<br />

an.<br />

van Rijn (1984)<br />

z 0 =3d 90 +26.3(θ − θ cr )d 50<br />

Leo van Rijn hat die sohlnahe Sedimentdichte experimentell bestimmt <strong>und</strong> herausgef<strong>und</strong>en,<br />

daß<br />

T<br />

c 0 =0.18c max<br />

D ∗<br />

gilt. Hierin ist c max =0.65ϱ s wieder die maximale Sedimentdichte bei dichtester Packung <strong>und</strong><br />

D ∗ der dimensionslose Korndurchmesser nach Gleichung (2.3). Die Referenzhöhe nimmt er<br />

bei<br />

an.<br />

z 0 =0.3d 50 D 0.7<br />

∗ T 0.5<br />

9.2.4 Wasserbauliche Anwendung: Sandfänge<br />

Sandfänge sind wasserbauliche Einrichtungen zur Entfernung von Schwebstoffen aus einem<br />

Wasserkörper. Sie werden in Bauwerken zur Entnahme von Flusswasser <strong>und</strong> Kläranlagen eingesetzt.<br />

Vorgeschaltet sind zumeist in beiden Fällen zunächst eine aus Grob- <strong>und</strong> Feinrechen<br />

bestehende Rechenanlage. Es gibt sie in verschiedenen Bauarten.<br />

Langsandfänge<br />

Das Prinzip des Langsandfangs besteht aus einer Erweiterung des durchflossenen Querschnitts,<br />

wodurch die Durchflussgeschwindigkeit <strong>und</strong> mit ihr die Turbulenz in der Wassersäule<br />

reduziert werden. Dieses Prinzip wird am direkt im Langsandfang angewendet, der einfach<br />

ein Gerinne mit erweitertem Querschnitt ist.


164 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

Draufsicht<br />

Betriebsweg<br />

Sandsammelbecken<br />

Revisionsverschluß<br />

Räumerbrücke<br />

Längsschnitt in Mittelachse<br />

Beleuchtung<br />

Räumerbrücke mit<br />

Sandpumpe<br />

Abbildung 9.7: Draufsicht <strong>und</strong> Längsschnitt durch einen Langsandfang.<br />

Beleuchtung<br />

Querschnitt<br />

Räumerbrücke mit<br />

Sandpumpe<br />

Betriebsweg<br />

Abbildung 9.8: Querschnitt durch einen Langsandfang.


9.2. TURBULENTER SCHWEBSTOFFTRANSPORT 165<br />

Die Schwebstoffteilchen werden mit der Strömung vorwärts bewegt <strong>und</strong> sinken gleichzeitig in<br />

Richtung Sohle ab. Ein Langsandfang wird so bemessen, dass die Zeit für das Absinken geringer<br />

ist als die für das Durchströmen erforderliche Translationszeit. Die Schwebstoffe sedimentieren<br />

dann, bevor sie den Sandfang wieder verlassen können. Die Feststoffteilchen lagern sich<br />

an der Sohle ab <strong>und</strong> müssen dort entfernt werden. Hierfür werden Schild- oder Saugräumer<br />

eingesetzt. Bei größeren Anlagen sind auch verfahrbare Brücken mit automatischen Räumsystemen<br />

in Gebrauch.<br />

Langsandfänge haben Rechteck- oder Trapezquerschnitte. Eine Mischform aus Rechteck <strong>und</strong><br />

Trapez ist auch möglich.<br />

Bestimmung des Querschnitts eines Langsandfangs<br />

Die Abscheideleistung eines Langsandfangs wird durch die Länge, Breite <strong>und</strong> die Wassertiefe<br />

bestimmt. Die Sandfanglänge L berechnet sich aus der Bedingung, daß ein Bemessungskorn<br />

der effektiven Absinkgeschwindigkeit w c,eff nach der Translation des Sandfangs in der Translationszeit<br />

T gerade die Sohle erreicht haben soll:<br />

T =<br />

h = L w c,eff u = LBh<br />

Q ⇒ L = 1 Q<br />

w c,eff B<br />

Damit hängt der Flächenbedarf A = BL eines Langsandfangs nur von dem Bemessungsnutzwasser<br />

<strong>und</strong> der effektiven Sinkgeschwindigkeit ab. So wäre die erforderliche Gr<strong>und</strong>fläche<br />

eines für einen Kubikmeter Nutzwasser ausgelegten Sandfangs bei einer effektiven Absinkgeschwindigkeit<br />

von 0.2 mm/s ca. 5000 m 2 .<br />

Die effektive Absinkgeschwindigkeit berücksichtigt neben der gravitationsbedingten Sinkgeschwindigkeit<br />

auch die Gegenbewegung durch turbulente Diffusion. Sie ist durch die Differentialgleichung<br />

∂c<br />

w c c − K t<br />

∂z = w c,effc<br />

bestimmt <strong>und</strong> ist neben der gravitationellen Sinkgeschwindigkeit von der Schwebstoffkonzentration<br />

<strong>und</strong> dessen Profil <strong>und</strong> der turbulenten Diffusion K t abhängig.<br />

Unter Annahme eines parabolischen Profils ist deren Maximalwert durch<br />

K t,max =<br />

κ<br />

4Sc u ∗h =<br />

κ 2 Q<br />

4Scln 12h<br />

k s<br />

B<br />

gegeben; im zweiten Teil der Gleichung wurde dann die Nikuradseformel für die Sohlschubspannungsgeschwindigkeit<br />

angewendet. Somit steigt die turbulente Viskosität mit der Bemessungswassermenge<br />

Q <strong>und</strong> sinkt im wesentlichen mit der Breite der Anlage, ist aber relativ<br />

unempfindlich gegenüber der Wassertiefe.<br />

Die Breite des Sandfangs kann allerdings nicht beliebig gestaltet werden, da der Übergang von<br />

Zulauf auf den Sandfang nicht schlagartig erfolgen darf. In diesem Fall würden sich Ablösewirbel<br />

bilden, die ein Sedimentieren des Sandes verhindern. Die Querschnittsaufweitung muss


166 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

also langsam erfolgen, um eine hydraulisch günstige Konstruktion zu erhalten. Hier wird oftmals<br />

ein Aufweitungsverhältnis von 1:3 vorgeschlagen. Es erfolgt jedoch nicht nur eine Aufweitung<br />

in der Breite, sondern auch eine Aufweitung in die Tiefe, da sich der Trapezanteil des<br />

Sandfangs unterhalb der Zulaufsohle befindet. Bei der Querschnittsverengung am Auslaufgerinne<br />

ist entsprechend zu verfahren.<br />

Zusammenfassend kommt man zu dem recht erstaunlichen Ergebnis, daß die Leistungsfähigkeit<br />

eines Langsandfangs relativ unabhängig von der Wassertiefe ist, weil sich mit dieser zwar<br />

der Absetzweg erhöht, aber auch die Translationsgeschwindigkeit erniedrigt. Hat diese also<br />

tatsächlich so wenig Einfluss auf die Bemessung eines Langsandfangs ?<br />

Natürlich nicht: Mit abnehmender Wassertiefe steigt die Sohlschubspannung nach der Nikuradseformel<br />

quadratrisch bei gegebenem Durchfluss an. Somit muß die Wassertiefe mindestens<br />

so groß bemessen werden, daß das Bodenmaterial nicht wieder resuspendiert wird.<br />

R<strong>und</strong>sandfänge<br />

Den enormen Flächenbedarf des Langsandfangs versucht man bei R<strong>und</strong>sandfängen zu reduzieren.<br />

Das Prinzip besteht dabei gr<strong>und</strong>sätzlich darin, das Korn nicht nur durch die Sinkgeschwindigkeit<br />

passiv der Sohle zuzuführen, sondern es durch eine geeignete Strömungsführung zum<br />

Boden zu leiten.<br />

In einem R<strong>und</strong>sandfang wird das Entnahmewasser einem kreisförmigen Trichterbecken am<br />

Rand tangential zugeführt. Zum Verlassen des Sandfangs muss das Wasser einen Zentriwinkel<br />

von mehr als 180 o durchlaufen, um den Auslauf zu erreichen. Durch die Kreisströmung bildet<br />

sich ein Quergefälle im Sandfang aus, welches den Transport des abgeschiedenen Sandes in<br />

den zentralen Sammelraum begünstigt.<br />

Die Wasserspiegelregulierung im Sandfang erfolgt über eine Kombination aus Streichwehrablauf<br />

<strong>und</strong> Venturi-Einschnürung im Ablaufgerinne. Für die Bemessung eines R<strong>und</strong>sandfangs ist<br />

die Aufenthaltszeit des Wassers im Sandfang nötig, die mit der geforderten Abscheideleistung<br />

steigt. R<strong>und</strong>sandfänge haben einen geringen Platzbedarf <strong>und</strong> benötigen zur Sandfangguträumung<br />

nur eine robuste, stationäre Pumpe. Ist der Durchmesser des Sandfangs größer als 5 m, so<br />

kann ein gesonderter Sandsammelraum im Sandfangtrichter entfallen. Bei hohem Sandanfall<br />

ist eine kontinuierliche Räumung möglich. Bei der Sandfanggutförderung wird fünfmal soviel<br />

Wasser wie Sand gefördert. Es ist daher genügend Platz für eine Sandentwässerung vorzusehen.<br />

Belüftete Sandfänge<br />

Belüftete Sandfänge haben eine längliche Form wie Langsandfänge. Sie haben einen Trapezquerschnitt,<br />

um die in ihnen erzeugte Walzenströmung zu begünstigen. Diese wird durch<br />

Lufteintrag hervorgerufen. Durch die Walzenströmung wird eine vom Zufluss unabhängige<br />

Geschwindigkeit erreicht. Das ist insbesondere in der Abwasserwirtschaft wichtig, da man nur<br />

anorganische Stoffe im Sandfang abscheiden will. Der organische Anteil soll im Abwasser<br />

verbleiben. Oft wird an einem belüfteten Sandfang auch eine Fettfangtasche installiert. Die<br />

Belüftungseinrichtung ist störanfällig (Verstopfungen) <strong>und</strong> benötigt zusätzliche Energie. Für


9.3. FRAKTIONIERTER SCHWEBSTOFFTRANSPORT 167<br />

Betriebsstörungen soll ein belüfteter Sandfang wie ein Langsandfang bemessen werden.<br />

Die diversen Sandfangtypen haben Vor- <strong>und</strong> Nachteile. Der Langsandfang ist im Bau <strong>und</strong> in<br />

Betrieb am einfachsten zu handhaben. Der belüftete Sandfang ist eine optimierte Entwicklung<br />

für die Abwasseraufbereitung. R<strong>und</strong>sandfänge benötigen zwar wenig Platz, haben aber auch<br />

einen geringeren Nutzwasserdurchfluss. Hierdurch werden oftmals mehrere R<strong>und</strong>sangfänge<br />

benötigt, womit ein erhöhter Platzbedarf durch Zwischenräume <strong>und</strong> hoher Aufwand an der<br />

Baustelle verb<strong>und</strong>en ist.<br />

9.3 Fraktionierter Schwebstofftransport<br />

Die in der Wassersäule transportierten Schwebstoffe können ein weites Spektrum an Größen,<br />

Dichten <strong>und</strong> Sinkgeschwindigkeiten aufweisen. Um diese Vielfältigkeit in Berechnungen einzubeziehen,<br />

kann man unterschiedliche Schwebstoffklassen definieren <strong>und</strong> für jede Klasse<br />

eine Transportgleichung lösen. Da Schwebstoffe oftmals aus biogenem Material bestehen <strong>und</strong><br />

kohäsiv sind, kann es bei Kollisionen von solchen Partikeln zur Bildung von Flocken kommen.<br />

Um auch diesen Prozess zu berücksichtigen, schreiben wir das System von Transportgleichungen<br />

in der Form<br />

∂c k<br />

∂t +u∂c k<br />

∂x +v ∂c k<br />

∂y +w ∂c k<br />

∂z + ∂w c k<br />

c k<br />

∂z<br />

[ ]<br />

= K ∂2 c k<br />

∂x +K ∂2 c k<br />

2 ∂y +K ∂2 c k<br />

2 ∂z + ∂ck<br />

+<br />

2 ∂t<br />

Quelle<br />

[ ] ∂ck<br />

∂t<br />

Senke<br />

wobei die mit ’Quelle’ <strong>und</strong> ’Senke’ bezeichneten Terme die Änderung der Konzentration in<br />

einer Klasse durch Flockenbildung oder aber auch das Zerbrechen von Flocken berücksichtigen.<br />

Der Autor konnte in seiner Dissertation [36] nachweisen, daß die Anzahl der binären Stöße in<br />

der Wassersäule bei Konzentrationen unter 1 g/l vernachlässigbar klein <strong>und</strong> der Einfluss der<br />

Flockenbildung auf die morphodynamische Entwicklung vernachlässigbar ist. Damit können<br />

diese Quell- <strong>und</strong> Senkterme beim fraktionierten Transport vernachlässigt werden.<br />

Interessanter ist allerdings die Frage, wie man den in der Natur immer in verschiedenen Fraktionen<br />

stattfindenden Schwebstofftransport in einer Gesamtgleichung behandeln kann. Dazu<br />

summiert man die für die einzelnen Fraktionen geltenden Transportgleichungen. Die Quell<strong>und</strong><br />

Senkterme heben sich gegenseitig auf, da jede Fraktion durch die Bildung oder das Zerbrechen<br />

von Flocken in irgendeine andere Fraktion überführt wird. Die advektiven <strong>und</strong> die diffusiven<br />

Terme addieren sich zu entsprechenden Termen für die Gesamtkonzentration. Lediglich<br />

der Sinkgeschwindigkeitsterm bedarf einer Sonderbehandlung. Setzt man hier die Sinkgeschwindigkeit<br />

der Gesamtkonzentration als das gewichtete Mittel der Einzelfraktionen<br />

∑<br />

w ck c k<br />

k<br />

w c = ∑<br />

dann erhält man die ursprüngliche Transportgleichung für die Gesamtkonzentration c zurück.<br />

Ist die relative Verteilung der Schwebstoffe auf die unterschiedlichen Fraktionen immer gleich,<br />

dann würde die Sinkgeschwindigkeit unabhängig von der Konzentration sein. Dies ist allerdings<br />

nicht der Fall.<br />

k<br />

c k


168 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

9.3.1 Konzentrationsabhängige Sinkgeschwindigkeit<br />

Würde man für jede einzelne Schwebstofffraktion ein Konzentrationsprofil etwa nach Rouse<br />

auswerten, so würde sich zeigen, daß die schwereren Partikel mehr am Boden konzentriert<br />

sind, als die leichteren, die gleichmäßiger über die Wassersäule verteilt sind. Wird irgendwo<br />

in der Wassersäule eine Schwebstoffprobe genommen, dann stammt diese also umso wahrscheinlicher<br />

aus der Nähe der Sohle, umso größer die darin gemessene Konzentration ist. Man<br />

kann also folgern, daß umso größer die Konzentration ist, desto eher stammt die Probe aus<br />

der Sohle, desto mehr große Kornfraktionen enthält sie. Dies bedeutet nichts anderes, daß<br />

die Sinkgeschwindigkeit in einem proportional zur Konzentration steigt. Damit erscheint der<br />

Ansatz<br />

w c = kc m . (9.17)<br />

gerechtfertigt. Dabei sind die Parameter k <strong>und</strong> m empirische Konstanten, die sehr stark von ihrer<br />

experimentellen Bestimmung (in situ oder Labor) <strong>und</strong> dem Gewässer abhängen. So streut k<br />

in der Literatur zwischen 0.6 <strong>und</strong> 225.6 mm/s <strong>und</strong> m zwischen 0.47 <strong>und</strong> 2 [36]. Die Parameter<br />

weisen eine sehr hohe Schwankungsbreite auf, womit dieses Konzept nur ein sehr heterogenes<br />

Bild des Sinkgeschwindigkeitsverhaltens von Schwebstoffen liefert.<br />

9.3.2 Sinkgeschwindigkeit mit Flockendynamik<br />

Die konzentrationsabhängige Sinkgeschwindigkeit erweist sich zur numerischen Modellierung<br />

des kohäsiven <strong>Sedimenttransport</strong>s ungeeignet, da es das Zerbrechen von Flocken nicht<br />

berücksichtigt. Es würden sich bei hohen Konzentrationen hohe Sinkgeschwindigkeiten einstellen,<br />

auch wenn der Turbulenzgrad <strong>und</strong> die dadurch wirkenden Schubspannungen jede<br />

Flocke zerstören würden.<br />

Es erscheint daher notwendig, neben der durch die Konzentrationsabhängigkeit dargestellte<br />

Flokkulation auch das Zerbrechen von Flocken bei hohen turbulenten Schubspannungen<br />

zu berücksichtigen. Kleine Turbulenzen führen dabei zu höheren Kollisionsraten <strong>und</strong> damit<br />

zu einer höheren Flokkulation. Ab einer gewissen Turbulenzstärke können die Flocken den<br />

wirkenden Schubspannungen nicht mehr widerstehen <strong>und</strong> zerbrechen [14]. Als Maß für die<br />

Turbulenz kann dabei der absolute Geschwindigkeitsgradient G dienen, so ist eine passende<br />

Parametrisierung dieser Effekte durch<br />

w c ∼ 1+aG<br />

(9.18)<br />

1+bG 2<br />

gegeben [36], wobei der empirische Parameter a proportional zur Flockenbildung durch turbulente<br />

Schubspannungen ist <strong>und</strong> b das Zerbrechen von Flocken parametrisiert.<br />

Der konzentrationsabhängige (9.17) <strong>und</strong> der turbulenzabhängige Teil (9.18) können zu<br />

kombiniert werden.<br />

w c = kc m 1+aG<br />

1+bG 2 . (9.19)


9.3. FRAKTIONIERTER SCHWEBSTOFFTRANSPORT 169<br />

1+aG<br />

1+bG 2<br />

1.6<br />

1.4<br />

1.2<br />

1.0<br />

0.8<br />

0.6<br />

0.4<br />

0.2<br />

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0<br />

Absoluter Geschwindigkeitsgradient [Hz]<br />

Abbildung 9.9: Abhängigkeit der Sinkgeschwindigkeit von der Turbulenz<br />

Die Modellierung der Trübungszone der Weser ergab die beste Angleichung von gemessenen<br />

<strong>und</strong> berechneten Schwebstoffkonzentrationen durch die Sinkgeschwindigkeitsformulierung<br />

[36]<br />

w c =3.5c 1+0.3G<br />

1+0.09G 2 in cm/s.<br />

9.3.3 Behindertes Absinken<br />

Bei Konzentrationen ab etwa einem Gramm pro Liter behindert rückströmendes Fluid das<br />

Absinken der nachfolgenden Partikel, wodurch sich eine Reduktion der Sinkgeschwindigkeit<br />

einstellt.<br />

Das behinderte Absinken wurde zunächst experimentell von Richardson <strong>und</strong> Zaki 1954 [54]<br />

erforscht. Sie bekommen den Ansatz<br />

(<br />

w c = w c,0 1 − c ) n (<br />

≃ w c,0 1 − n c )<br />

ϱ S ϱ S<br />

wobei die Näherung für kleine Konzentrationen c/ϱ S gilt. In der Beziehung sind ϱ S die Sedimentdichte<br />

<strong>und</strong> w c,0 die ungestörte Sinkgeschwindigkeit. Der Exponent n hängt dabei von der<br />

Kornreynoldszahl Re S = w c d/ν ab:<br />

n =4.35ReS −0.03 für 0.2 ¡ Re S ¡1<br />

n =4.45ReS −0.10 für 1 ¡ Re S ¡ 500<br />

n =2.39 für 500 ¡ Re S<br />

Das Phänomen des behinderten Absinkens (engl. hindered settling) wurde dann theoretisch<br />

von Batchelor [6] analysiert. Für sphärische Partikel kann die Abnahme der Sinkgeschwindigkeit<br />

danach durch


170 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

(<br />

w c = w c,0 1 − 6.55 c )<br />

ϱ S<br />

beschrieben werden.<br />

In der Kläranlagenmodellierung wird der Ansatz von Takacs [65]<br />

w c ≃ (e ac − e −bc )<br />

verwendet. Leider schwanken die Exponenten sowie Proportionalitätfaktor erheblich, so daß<br />

dieser Ansatz zur Prognose von Sinkgeschwindigkeiten nicht zu gebrauchen ist.<br />

Ein Sedimentpartikel ist dann vollständig in der Austauschschicht deponiert, wenn die Sinkgeschwindigkeit<br />

Null ist. In diesem Fall ist auch die Kornreynoldszahl Null womit die Feststoffkonzentration<br />

in der Austauschschichtlediglich nach dem Ansatz von Batchelor<br />

c M = ϱ S<br />

6.55<br />

<strong>und</strong> damit die Porosität der Austauschschicht direkt bestimmt werden kann.<br />

9.4 Tiefengemittelter Schwebstofftransport<br />

Auch beim Schwebstofftransport ist eine Gleichung zur Bestimmung des Verhaltens der tiefengemittelten<br />

Konzentration von großer Wichtigkeit. Zum einen wird diese in tiefengemittelten<br />

hydrodynamisch-numerischen Modellen zur Simulation des Schwebstofftransports benötigt.<br />

Ferner stellt die in der Tiefenintegration enthaltene Reduktion von drei auf zwei Raumdimensionen<br />

eine Vereinfachung dar, die notwendig ist, um langfristige morphologische Veränderungen<br />

zu verstehen <strong>und</strong> zu prognostizieren.<br />

Die Integration der dreidimensionalen Schwebstofftransportgleichung über die Wassersäule<br />

ergibt die Gleichung<br />

∂c<br />

∂t + u ∂c<br />

∂x + v ∂c<br />

∂y = 1 h<br />

(<br />

∂<br />

∂x<br />

hK ∂c<br />

∂x<br />

)<br />

+ 1 (<br />

∂<br />

h ∂y<br />

hK ∂c<br />

∂y<br />

)<br />

+ 1 h (Φ dep +Φ ero ) (9.20)<br />

wobei c hier die über die Wassertiefe gemittelte Schwebstoffkonzentration ist. Das Kreuz des<br />

tiefenintegrierten Modells ist der in der Gleichung auftauchende Sedimentfluß am Boden,<br />

Φ dep +Φ ero = w c c B +Φ ero<br />

der von der dortigen Sedimentkonzentration c B abhängt. Da das tiefenintegrierte Modell selbst<br />

nur über die Wassersäule gemittelte Sedimentkonzentrationen c liefert, besteht hier ein f<strong>und</strong>amentales<br />

Schließungsproblem. Um dieses zu lösen, nimmt man ohne Einschränkung der<br />

Allgemeinheit an, daß die sohlnahe Konzentration proportional zur tiefengemittelten ist:<br />

c| Bot = βc ⇒ Φ dep +Φ ero = w c βc +Φ ero


9.4. TIEFENGEMITTELTER SCHWEBSTOFFTRANSPORT 171<br />

%<br />

#<br />

5 D = D A K EJJA H A H A JH = JE ? ?<br />

!<br />

<br />

'<br />

%<br />

#<br />

!<br />

D <br />

D <br />

D <br />

<br />

! " # $ % & ' <br />

5 E C A I ? D M E @ EC A EJ K 5 ? D K > I F = K C I C A I ? D M E @ EC A EJM ? K <br />

Abbildung 9.10: Das Verhältnis von sohlnaher zu mittlerer Konzentration bei unterschiedlichen<br />

Verhältnissen von Wassertiefe zu Referenzhöhe.


172 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

Da die Konzentration an der Sohle größer als die tiefengemittelte ist, sollte der Koeffizient β<br />

größer als eins sein. Der Erfolg der tiefenintegrierten Betrachtungsweise des Sedimenttranportes<br />

hängt also von der Bestimmung von β ab.<br />

In guter Näherung kann man davon ausgehen, daß das vertikale Konzentrationsprofil Rouseförmig<br />

ist. Eine Integration 1 desselben liefert für die tiefengemittelte Konzentration bzw. für<br />

den Wert β die komplizierte Formel<br />

⎛<br />

β = c 0<br />

c =(h − z 0) ⎜<br />

⎝<br />

( ) wcSc<br />

z 0 1 −<br />

z 0h κu∗<br />

⎛<br />

≃ ⎝ w cSc<br />

κu ∗<br />

− wcSc<br />

κu ∗<br />

− 1<br />

( h<br />

z 0<br />

) wcSc<br />

κu∗<br />

⎞−1<br />

− w ( )<br />

cSc z0 −<br />

wcSc<br />

κu∗ 1<br />

hπ<br />

⎟<br />

κu ∗ h − z 0 sin(− wcSc ⎠<br />

κu ∗<br />

π)<br />

π<br />

sin( wcSc<br />

κu ∗<br />

π) − z 0/h<br />

w cSc<br />

⎞−1<br />

⎠<br />

κu ∗<br />

+1<br />

wobei die Näherung für große Bedeckungszahlen h/z 0 gilt <strong>und</strong> w c wieder negativ ist.<br />

Vor der Verwendung dieser Beziehung ist die entscheidende Frage zu lösen, wie die Referenzhöhe<br />

z 0 zu wählen ist. Umso kleiner diese gewählt wird, desto größer ist das Verhältnis<br />

h/z 0 <strong>und</strong> damit auch das Verhältnis von sohlnaher zu Referenzkonzentration <strong>und</strong> schließlich<br />

der Depositionsfluß.<br />

Abbildung 9.10 stellt das Verhältnis für verschiedene Bedeckungszahlen graphisch dar. Nur<br />

bei verschwindender Sinkgeschwindigkeit entspricht die tiefengemittelte Schwebstoffkonzentration<br />

der sohlnahen, da in diesem Fall der Schwebstoff gleichmäßig über die Wassersäule verteilt<br />

ist. Die Schubspannungsgeschwindigkeit liegt zwischen 0 <strong>und</strong> 0.1 m/s (bei einer Schubspannung<br />

von 10 N/m 2 ). Liegt die Sinkgeschwindigkeit im Bereich von 1 mm/s, dann ist das<br />

Verhältnis dieser beiden Größen weit größer als 0.01. Dies deutet darauf hin, daß die sohlnahe<br />

Konzentration bis zu h<strong>und</strong>ert mal größer als die mittlere Konzentration sein kann.<br />

9.4.1 Das Konzept von Krone<br />

Krone [31] setzte in Analogie zum dreidimensionalen Ansatz den Erosionsfluß nach Partheniades<br />

an. Der Depositionsfluß wird durch<br />

⎧ (<br />

⎨ w c c 1 − τ )<br />

B<br />

für τ B


9.4. TIEFENGEMITTELTER SCHWEBSTOFFTRANSPORT 173<br />

9.4.2 Die Gleichgewichtskonzentration<br />

Für die <strong>Morphodynamik</strong> erweist sich ein anderes Konzept zur Bestimmung von Deposition<br />

<strong>und</strong> Erosion in tiefengemittelten Betrachtungsweisen als erfolgreicher. Dazu schreiben wir in<br />

der Summe von Depositions- <strong>und</strong> Erosionsfluss ersteren im Rahmen der vollständigen dreidimensionalen<br />

Betrachtungsweise aus:<br />

Φ dep +Φ ero = w c c B +Φ ero = w c βc +Φ ero<br />

Da wir in der tiefengemittelten Betrachtungsweise die sohlnahe Konzentration nicht mehr kennen,<br />

führen wir den Koeffizienten β als das Verhältnis von von bodennaher c| Bot zu tiefengemittelter<br />

Konzentration c ein, die Mittlungsstriche wollten wir nun ja weglassen:<br />

Wir ziehen nun die Sinkgeschwindigkeit <strong>und</strong> den Koeffizienten β aus der Summe der rechten<br />

Seite,<br />

(<br />

Φ dep +Φ ero = w c β c + Φ )<br />

ero<br />

w c β<br />

eine unsinnige Operation, wie es zunächst erscheinen mag. Die auftauchende neue Größe<br />

c e := − Φ ero<br />

w c β<br />

⇒ Φ dep +Φ ero = w c β (c − c e )<br />

hat aber eine wichtige physikalische Bedeutung, wie sich gleich herausstellen wird. Sie kann<br />

man mit Fug <strong>und</strong> Recht als Gleichgewichtskonzentration bezeichnen. Überschreitet die aktuelle<br />

tiefengemittelte Konzentration c die Gleichgewichtskonzentation c e , dann wird die rechte<br />

Seite negativ <strong>und</strong> der Depositionsfluss überwiegt. Ist die tiefengemittelte Konzentration allerdings<br />

kleiner als die Gleichgewichtskonzentration, dann ist die rechte Seite positiv <strong>und</strong> der<br />

Erosionsfluss überwiegt. Dies geschieht jeweils solange, bis die Gleichgewichtskonzentration<br />

angenommen wird. In diesem Fall findet kein Nettoaustausch mit dem Boden mehr statt.<br />

Wir wollen nun untersuchen, wie schnell die aktuelle Konzentration die Gleichgewichtskonzentration<br />

annimmt.<br />

Um dies einzusehen, betrachten wir unter Vernachlässigung der Diffusion die Konzentrationsentwicklung<br />

auf einer Bahnlinie:<br />

dc<br />

dt = w cβ<br />

h (c − c e)<br />

Die Lösung dieser gewöhnlichen Differentialgleichung<br />

c(t) − c e =(c e − c(0))e wcβ<br />

h t<br />

beschreibt die Annäherung der Konzentration an die Gleichgewichtskonzentration, wenn zur<br />

Zeit t =0die Ungleichgewichtskonzentration c(0) vorhanden ist. Die charakteristische Zeit<br />

t char = − h<br />

w c β


174 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

H<br />

Abbildung 9.11: Mechanismen der Sedimentation in Tidehäfen. Links: Tideeffekt in der<br />

Draufsicht. Mitte: Strömungseffekt in der Draufsicht. Rechts: Dichteeffekt im Vertikalschnitt.<br />

gibt dabei an, nach welcher Zeit sich die Konzentration von ihrer Ausgangsdifferenz auf ein<br />

e-tel derselben verringert hat. Eine Analyse zeigt, daß hierzu Minuten (bei Sand) bis St<strong>und</strong>en<br />

(bei Tonen) erforderlich sind. Beim Transport von Schwebstoffen handelt es sich also um einen<br />

Prozess, der weit vom Gleichgewicht entfernt ist. Dies bedeutet, daß die Konzentration in der<br />

Wassersäule explizit modelliert werden muß <strong>und</strong> nicht durch die Gleichgewichtskonzentration<br />

approximiert werden kann.<br />

9.5 Sedimentation in Tidehäfen<br />

Häfen stellen Stauräume dar, in denen die Stauwasserzeiten sehr groß sind, da den mittleren<br />

Strömungen lediglich die Aufgabe zukommt, den Tidehub im Becken zu realisieren. Somit bekommen<br />

die mittransportierten Schwebstofffrachten genügend Zeit, in Tidehäfen zu sedimentieren.<br />

Als Ursachen für die Sedimentation in Tidehäfen lassen sich drei Effekte unterscheiden<br />

[44]:<br />

• Beim Tideeffekt werden Sedimente durch die Füllung des Tidevolumens in ein Hafenbecken<br />

eingetragen. Je größer also der Tidehub ist, desto größer ist auch die Neigung<br />

zur Verschlickung. In der wasserbaulichen Systemanalyse ist hier also insbesondere auf<br />

eine Änderung des Tidehubs zu achten.<br />

• Beim Stömungseffekt ist die Strömungswalze im Eingangsbereich eines Hafenbeckens<br />

für eine vermehrte Sedimentation verantwortlich. Um diese Zirkulationssysteme in einem<br />

numerischen Modell direkt zu simulieren, sind hochauflösende Gitter <strong>und</strong> entsprechende<br />

Turbulenzmodelle erforderlich. Manchmal kann es aber auch ausreichend sein,<br />

die Strömungsverhältnisse im Eingangsbereich des Tidehafens zu analysieren.<br />

• Als Dichteeffekt bezeichnet man den Vorgang, bei dem in Form einer dichteinduzierten<br />

Zirkulationsströmung bodennah Wasser in den Hafen eindringt <strong>und</strong> diesen oberflächennah<br />

wieder verläßt. Hierdurch werden Sedimente in den Hafen eingetragen.<br />

Zur Reduktion der Verschlickung von Tidehäfen können drei unterschiedliche Strategien<br />

angewendet werden: Man kann zunächst versuchen, das Eindringen der Schwebstoffe<br />

weitgehend zu verhindern. Hier gilt es, den Einfahrtsbereich zu optimieren. Ferner kann


9.6. NUMERISCHE MODELLIERUNG DES SUSPENSIVEN SEDIMENTTRANSPORTS175<br />

man Leitwände (Current Deflection Walls) so platzieren, daß die Bildung von eintreibenden<br />

Strömungswalzen verhindert wird.<br />

Die dennoch eingetriebenen Feststoffe müssen im einfachsten Fall irgendwann gebaggert oder<br />

andersweitig aus dem Hafen transportiert werden. Bei hintereinanderliegenden, durch Schleusen<br />

verb<strong>und</strong>enen Hafenbecken kann man das aus dem hintersten Becken abzuführende Wasser<br />

durch ein Rohrsystem an den Rändern des davorliegenden Becken einleiten <strong>und</strong> dieses so<br />

großflächig spülen. Eine andere Möglichkeit besteht in der Anlage einer geneigten Hafensohle,<br />

so daß sich der ablagernde Schlamm wie in einem Absetzbecken zu einem tiefer liegenden<br />

Sammler mit Abpumpsystem bewegt. Ein solches System ist im Hafen von Leer realisiert<br />

worden.<br />

Die dritte Strategie versucht, hinreichende Bedingungen für die Schifffahrt in dem Hafenbecken<br />

herzustellen. So kann man das anstehende Material refluidisieren, bis die Dichte hinreichend<br />

gering ist, so daß die Schiffe sich hier bewegen können.<br />

9.6 Numerische Modellierung des suspensiven <strong>Sedimenttransport</strong>s<br />

Um die dargestellten <strong>Sedimenttransport</strong>prozesse numerisch zu erfassen, ist eine Auflösung<br />

der vertikalen Struktur <strong>und</strong> somit bei komplexen Gr<strong>und</strong>geometrien ein dreidimensionales hydrodynamisches<br />

Modell erforderlich. In Bereichen geringer Wassertiefe muß dieses durch ein<br />

Wellenmodell ergänzt werden, welches auch den Einfluß welleninduzierter Schubspannungen<br />

auf den <strong>Sedimenttransport</strong> berücksichtigt. Das eigentliche <strong>Sedimenttransport</strong>modell besteht<br />

dann aus folgenden Untermodellen (im Sinne von Modellen als die Abbildung eines physikalischen<br />

Prozesses):<br />

• Zur Bestimmung der Bodenschubspannungen als auch der Austauschkoeffizienten ist<br />

ein Turbulenzmodell inklusive Grenzschichtmodell erforderlich. Es wird im folgenden<br />

gezeigt, daß auch die Flockendynamik stark durch den Grad der Turbulenz beeinflußt<br />

wird.<br />

• Da die <strong>Sedimenttransport</strong>gleichung im Gegensatz zu der für Salz oder Temperatur einen<br />

weiteren Term für die Sinkgeschwindigkeit enthält, benötigt man ein spezielles numerisches<br />

Modul, welches hier in das Gr<strong>und</strong>konzept des Operator-Splittings eingegliedert<br />

werden muß. Die dabei entstehenden Probleme werden in den folgenden Abschnitten<br />

diskutiert.<br />

• Die Sinkgeschwindigkeit wird durch ein Flokkulationsmodell bestimmt, welches die<br />

Bildung als auch Zerstörung von Flocken berücksichtigt.<br />

• Die Randbedingungen für die <strong>Sedimenttransport</strong>gleichung am Boden werden durch<br />

Sedimentations- <strong>und</strong> Erosionsmodule bestimmt. Ein Eingangsparameter ist die im<br />

Grenzschichtmodell bestimmte Bodenschubspannung. Da die Erosion kohäsiver Sedimente<br />

stark von deren Verdichtungszustand abhängig ist, ist


176 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN<br />

3D-Modell<br />

Hydrodynamik<br />

Wellenmodell<br />

✲<br />

✻<br />

✲<br />

✲<br />

✲<br />

✻<br />

❄<br />

Erosionsmodell<br />

✛<br />

✻<br />

❄<br />

Fluid<br />

Mud<br />

✻<br />

✲<br />

Strömung,<br />

Advektion,<br />

Diffusion<br />

❄<br />

Bodenschubspannungen<br />

❄<br />

Grenzschichtmodell<br />

❄<br />

Turbulenzmodell<br />

❄<br />

Konsolidierungsmodell<br />

Sedimentationsmodell<br />

❄<br />

Sediment-<br />

Advektions-<br />

Diffusionsmodell<br />

✻ ✻<br />

Absetzen,<br />

Flockenbildung<br />

✻<br />

Labor- <strong>und</strong><br />

Felddaten<br />

✲<br />

Flokkulationsmodell<br />

Abbildung 9.12: Teilmodelle eines Transportmodells kohäsiver Sedimente.<br />

• ein Konsolidierungsmodell zur Bestimmung der Dichte deponierter Sedimentschichten<br />

erforderlich. Neben einem Konsolidierungsmodell ist ein Transportmodell für Fluid<br />

Mud erforderlich, wenn Sedimentakkumulationen an steilen Hängen stattfinden.<br />

Abb. 9.12 gibt einen schematischen Überblick (erweitert nach Sheng [63]) über die Teilmodelle<br />

eines Transportmodells für kohäsive Sedimente.<br />

9.7 Zusammenfassung<br />

In diesem Kapitel gewannen wir Einsichten in die Mechanismen des Schwebens, Kenntnisse<br />

über die verschiedenen Einflußfaktoren auf die Sinkgeschwindigkeit <strong>und</strong> die Fähigkeit, Konzentrationsprofile<br />

in Abhängigkeit von der vorherrschenden Strömung <strong>und</strong> den gr<strong>und</strong>legenden<br />

Eigenschaften des Sohlsedimentes zu berechnen.<br />

Dabei haben wir festgestellt, daß turbulente Strömungen ohne weiteres in der Lage sind, auch<br />

Sande als Schwebstoffe zu transportieren.<br />

Zur quantitativen Beschreibung der Schwebstoffkonzentration haben wir in der Retrospektive<br />

sechs charakteristische Konzentrationen kennengelernt:


9.8. ÜBUNGEN 177<br />

c k<br />

c<br />

c B<br />

c 0<br />

c<br />

c e<br />

die einer Schwebstoffklasse k zugeordnete Schwebstoffkonzentration<br />

Die Gesamtschwebstoffkonzentration (= ∑ c k )<br />

k<br />

die aktuelle Schwebstoffkonzentration an der Sohle (= c(x, y, z B ,t))<br />

die Gleichgewichtskonzentration an der Sohle, bei der dort kein Austausch stattfindet<br />

die tiefengemittelte Schwebstoffkonzentration<br />

die tiefengemittelte Schwebstoffkonzentration, bei der an der Sohle kein Austausch<br />

stattfindet<br />

9.8 Übungen<br />

1. Im Mississippi wurden am 20. April 1961 an Station 1250 von Scott <strong>und</strong> Stephens folgende<br />

Daten gemessen:<br />

Wassertiefe<br />

h = 12.05 m<br />

mittlere Strömungsgeschwindigkeit u = 1.55 m/s<br />

Korngröße<br />

d m = d 50 = 0.063mm<br />

Dichte des Wassers ρ = 1000kg/m 3<br />

Dichte des Feststoffs ρ S = 2650kg/m 3<br />

Viskosität des Wassers ν =10 -6 m 2 /s<br />

(a) Berechnen Sie die effektive Sohlrauheit <strong>und</strong> die Sohlschubspannung an diesem<br />

Ort.<br />

(b) Berechnen Sie die Referenzkonzentration <strong>und</strong> -höhe nach van Rijn <strong>und</strong><br />

Smith/McLean.<br />

(c) Berechnen Sie die Volumenanteile von Wasser <strong>und</strong> Feststoff (in Prozent) zu den<br />

beiden Referenzkonzentrationen.<br />

(d) Berechnen Sie die Sinkgeschwindigkeit nach Stokes.<br />

(e) Berechnen Sie die Sedimentkonzentration unter Verwendung der Referenzwerte<br />

nach Smith/McLean nach dem Rouseprofil 0.55m, 1.59m, 3.63m, 6.62m, 9.39m<br />

<strong>und</strong> 10.95m über der Sohle. Stellen Sie die Ergebnisse graphisch dar.


178 KAPITEL 9. DER TRANSPORT VON SCHWEBSTOFFEN


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