GLEICHUNGEN UMGANG MIT TERMEN

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GLEICHUNGEN UMGANG MIT TERMEN

GLEICHUNGEN 2,

UMGANG MIT TERMEN


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Lernziele

In den Qualifizierungseinheiten zu den Grundrechenarten Addition, Subtraktion,

Multiplikation und Division sowie der Qualifizierungseinheit „Rechengesetze“ haben

Sie den praktischen Umgang mit Zahlen wiederholt, d.h. wie man Terme korrekt

ausrechnet. Dabei müssen Sie bestimmte Gesetzmäßigkeiten beachten,

beispielsweise die Vertauschbarkeit von Werten innerhalb einer Rechnung oder die

„Vorfahrtsregelungen“ „Punkt-vor-Strich“ und „Klammern zuerst“.

Diese Rechengesetze - und dazu noch einige mehr - kann man verallgemeinernd

betrachten. Immer wenn es um mathematische Ausdrücke – also Terme – geht,

gelten sie, beim Lösen von Gleichungen ebenso.

In dieser Qualifizierungseinheit

• lernen Sie folgenden Gesetze kennen und in Termumformungen und

Gleichungen anzuwenden:

das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz

das Assoziativgesetz oder Verbindungsgesetz

das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz

• Sie lernen mit negativen Werten zu rechnen und die Vorzeichen bei

Termumformungen zu berücksichtigen.

• Sie lernen Bruchgleichungen zu lösen.

• Sie lernen die Lösbarkeit und einschränkende Bedingungen einer Gleichung

zu erkennen.

• Sie lernen Formeln umzustellen.

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Begriffe:

Einen mathematischen Ausdruck wie

13 + 8 oder 7x (also 7 • x) oder (2x + 3) • 9 oder

2a + 7b (also 2 • a+ 7 • b)

nennt man einen Term.

Formt man einen Term um, so dass er im Wert gleich bleibt, nennt man das eine

Äquivalenzumformung. Äquivalent bedeutet gleichwertig.

Ein darin vorkommender Platzhalter, in der Regel ein Buchstabe (x, y, z, a, b, t,...),

nennt man Variable (variabel heißt „veränderbar“; also „die Veränderbare“).

Setzt man zwischen zwei Terme ein Gleichheitszeichen,

27 + 16 = x

13 + 8 = 7x

23 - 16 = 7

entsteht eine Gleichung.

Tritt in einer Gleichung keine Variable auf, entsteht immer eine Aussage, die

entweder wahr oder falsch ist.

Lesehinweis:

Werden in einem Term Variablen benutzt, darf man übrigens das

Multiplikationszeichen weglassen.

xy bedeutet x • y oder 3x bedeutet 3 • x. Das ist eine schön kurze Schreibweise, die

dem Leser auch signalisiert, dass eine Punktrechenart enger zusammengehört als

die Strichrechenarten,

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

1. Umgang mit Termen

1.1 Die Sache mit den Vorzeichen

In den ersten Jahren haben Sie in der Schule nur mit positiven Zahlen gerechnet,

später erschienen dann die ersten negativen Werte. Sie haben im LB Addition und

Subtraktion gelernt mit Rechnungen umzugehen, in denen von kleinen Werten

größere subtrahiert werden und das Ergebnis negativ wird, oder Sie haben negative

Werte addiert.

Bisher haben wir uns allerdings noch nicht um die Multiplikation oder Division

negativer Zahlen gekümmert und uns auch nicht wirklich um die Unterscheidung

eines Wertvorzeichens und eines Rechenoperationszeichens.

Sie werden in diesem Kapitel lernen Wertvorzeichen und Rechenoperationszeichen

zu unterscheiden und auch mit negativen Werten jede beliebige Rechenoperation

durchzuführen.

1.1.1 Vorzeichen und Rechenoperationszeichen

Vorzeichen

Negative und positive Zahlen werden durch ein Wertvorzeichen kenntlich gemacht.

Negative Werte haben ein Minuszeichen, positive ein Pluszeichen. Ein Wert ohne

Vorzeichen ist automatisch positiv.

Um den Unterschied zwischen positiven und negativen Zahlen bildlich darzustellen,

benutzt man den Zahlenstrahl.

Dieser bildet vom Nullpunkt aus in zwei Richtungen Zahlen ab, nach rechts die

positiven Zahlen und nach links die negativen Zahlen!

Ein Zahlenwert wirt nun als Pfeil dargestellt, der Betrag des Wertes wird durch die

Länge symbolisiert, die Richtung des Pfeils sagt aus, ob es sich um einen negativen

oder positiven Wert handelt. Zeigt der Pfeil nach rechts, ist es ein positiver Wert,

nach links, ein negativer Wert. (Vgl. LB Addition/Subtraktion)

Beispiel: +7 ; -4

-4

+7

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Welche Werte sind hier dargestellt?

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Lösung:

-5, +3, +1, -2

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Rechenoperationszeichen

Wir unterscheiden die Rechenoperationen +, -, •, :. Die Addition und Subtraktion

lassen sich also optisch nicht von den Vorzeichen eines Wertes unterscheiden. In

der Regel sehen Sie bei Rechnungen auch nur das Resultat, wenn

Rechenoperationszeichen und Vorzeichen zu einem Zeichen zusammengeführt

werden. Das wollen wir uns genauer anschauen.

Stellen Sie sich eine Rechenoperation als Anweisung vor, mit Werten etwas

auszuführen. Die Addition bedeutet als Anweisung :

„Nehmen Sie zwei Pfeile, die jeweils einen Wert symbolisieren, und setzen Sie

sie in ihrer Originalrichtung aneinander!“

Die „Additionsmaschine“ setzt diese Anweisung um.

Beispiel: (+3) + (-4)

Ein positiver und ein negativer Wert werden addiert.

+

-1

Die Addition fügt die Pfeile aneinander: 3 Schritte nach rechts, 4 Schritte nach links.

-4

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

+3

Das Ergebnis ist –1.

Also (+3) + (-4) = 3 – 4 = –1

Übung: Wie übersetzen und berechnen Sie die folgenden Aufgaben?

Bedenken Sie, dass die Rechenoperation „+“ nur besagt: „ Lasse das nachfolgende

Vorzeichen, wie es ist!“

(+5) + (+3) = (+7) + (-3) =

(-6) + (+3) = (-5) + (+12) =

(-2) + (-4) = (+7) + (-14) =

(-23) + (+11) = (-9) + (-13) =

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Lösung:

(+5) + (+3) = 5 + 3 = 8 (+7) + (-3) = 7 – 3 = 4

(-6) + (+3) = -6 + 3 = -3 (-5) + (+12) = -5 + 12 = 7

(-2) + (-4) = -2 – 4 = -6 (+7) + (-14) = 7 – 14 = -7

(-23) + (+11) = -23 + 11 = -12 (-9) + (-13) = -9 – 13 = - 22

Die Subtraktion bedeutet als Anweisung :

„Nehmen Sie zwei Pfeile, die jeweils einen Wert symbolisieren, und setzen Sie

den zweiten in umgekehrter Richtung an den ersten!“

Die „Subtraktionsmaschine“ setzt diese Anweisung um.

Beispiel: (+3) – (-4)

Ein positiver und ein negativer Wert werden subtrahiert.

-

+7

Die Subtraktion fügt den folgenden Pfeil in umgekehrter Richtung an:

-4

– (-4)

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

+3

Ein Pfeil, der nach links zeigt und umgedreht wird, zeigt dann nach rechts! Also wirkt

er wie die Anweisung +4! 3 Schritte nach rechts und 4 Schritte nach rechts.

Das Ergebnis ist +7.

Also: (+3) – (-4) = 3 + 4 = 7

Übung: Wie übersetzen und berechnen Sie die folgenden Aufgaben?

Bedenken Sie, dass die Rechenoperation „-“ besagt: „Drehe das nachfolgende

Vorzeichen um!“

(+5) – (+3) = (+7) – (–3) =

(-6) – (+3) = (-5) – (+12) =

(-2) – (–4) = (+7) – (–14) =

(-23) – (+11) = (-9) – (–13) =

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Lösung:

(+5) – (+3) = 5 – 3 = 2 (+7) – (–3) = 7 + 3 = 10

(-6) – (+3) = -6 – 3 = –9 (-5) – (+12) = -5 – 12 = –17

(-2) – (–4) = -2 + 4 = 2 (+7) – (–14) = 7 + 14 = 21

(-23) – (+11) =-23 – 11 = –34 (-9) – (–13) = -9 + 13 = 4

1. Regel

Folgen ein Rechen- und ein Wertvorzeichen nacheinander, ergeben zwei gleiche

immer +, zwei ungleiche immer –.

2. Regel

Ein – bedeutet, das folgende Wertvorzeichen umzudrehen.

Vorzeichen

und

Rechenzeichen + –

+ + –

– – +

Übung: Schreiben Sie kürzer, indem Sie Rechen- und Wertvorzeichen

zusammenfassen, und berechnen Sie:

(+5) – (-29) = (-2,5) + (-0,8) – (+2) =

(-25) + (+21) – ( +3) = – (-5) + (-3) – (-2) – (+2) =

– (-1,5) + (+1,5) – (-1,5) + (-1,5) = + (-33) – (-33) + (+32) – (+32) =

Übung: Schreiben Sie kürzer, indem Sie Rechen- und Wertvorzeichen

zusammenfassen:

– (-a) + (-b) – (-2a) + (-5b) = – (+6x) + (+2x) – (-8x) =

+ (-2ax) – (+7) – (-ax) + (-5) = (-x) – (-x) + (-x) – (+2x) =

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, können Sie die Klammer auflösen, indem

Sie alle Wertvorzeichen der Werte innerhalb der Klammer umdrehen. Bei einem +

bleiben alle Vorzeichen erhalten. Bedenken Sie, dass ein Wert ohne Vorzeichen

automatisch positiv ist.

Beispiele:

85 – (16 – x) = 85 – 16 + x = 69 + x

85 + (16 – x) = 85 + 16 – x = 101 – x

Übung: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie so weit wie möglich

zusammen:

– (5x + 3) – (-6 – 2x) + (-3 + x) =

-2s – ( 3s – (5 + 2s) –6) =

(-4 + y) – (-y + 4) + ( +4 – (-4) – y) =

Lösung:

– (5x + 3) – (-6 – 2x) + (-3 + x) = -5x – 3 + 6 + 2x –3 + x = -2x

-2s – ( 3s – (5 + 2s) –6) = -2s – ( 3s – 5 – 2s – 6) = -2s –3s + 5 + 2s + 6 = 11 – 3s

(-4 + y) – (-y + 4) + ( +4 – (-4) – y) = -4 + y + y- 4 + 4 + 4 – y = y

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

1.1.2 Multiplikation und Division mit positiven und negativen Zahlen.

Regel:

Multipliziert oder dividiert man zwei Zahlen mit gleichen Vorzeichen, erhält man

einen positiven Wert, zwei Zahlen mit ungleichen Vorzeichen ergeben einen

negativen Wert!


und : + –

+ + –

– – +

Beispiele:

(+30) • (-2) = -60 (-45) : (-5) = 9

(-6a) • (+4) = -24a

(+2)

(-3) = –2 3

Übung: Fassen Sie zusammen und berechnen Sie so weit wie möglich:

(-24) • (-3) = (+22x) : (-4) =

26y • (-2) : (-1,3) = (x : (-2)) • (-1) =

-45 : (-3) : (+5) • 2x = (– 1 4 ) • (–1 4 ) • (-8) =

-4a : (-2) • (-b) • 2 = (– 1 4 x) • (–1 2 ) • 12 =

Lösung:

(-24) • (-3) = 72 (+22x) : (-4) = -5,5x

26y • (-2) : (-1,3) = -52y: (-1,3) = 40y

(x : (-2)) • (-1) = – 1 2 x • (-1) = 1 2 x

-45 : (-3) : (+5) • 2x = 15 : 5 • 2x = 6x (– 1 4 ) • (–1 4 ) • (-8) = 1 16 • (-8) = –1 2

-4a : (-2) • (-b) • 2 = -4ab (– 1 4 x) • (–1 2 ) • 12 =1 8

x • 12= 1,5x

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

1.2 Das Kommutativgesetz

Übung

Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Kreuzen Sie an;

4 + 5 = 5 + 4

5 – 4 = 4 – 5

a + b = b + a

a – b = b – a

5 – 4 = – 4 + 5

a – b = – b + a

5 • 4 = 4 • 5

12 : 4 = 4 : 12

a • b = b • a

a : b = b : a

4 • 6 : 2 = 4 : 2 • 6

4 • 6 : 2 = 4 • 2 : 6

a • b : c = a : c • b

wahr

falsch

Lösung:

wahr

4 + 5 = 5 + 4

5 – 4 = 4 – 5

a + b = b + a

a – b = b – a


5 – 4 = – 4 + 5

a – b = – b + a

5 • 4 = 4 • 5

12 : 4 = 4 : 12

a • b = b • a

a : b = b : a


4 • 6 : 2 = 4 : 2 • 6

4 • 6 : 2 = 4 • 2 : 6

a • b : c = a : c • b

falsch

Merke:

Die Addition und die Multiplikation sind vertauschbar, Subtraktion und Division nicht!

Nur wenn das Rechenzeichen bei der folgenden Zahl bleibt, können Sie auch die

Division oder Subtraktion eines Wertes an eine andere Stelle setzen.

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Übung: Ordnen Sie die richtigen Äquivalenzumformungen zu:

15 + x =

y : 25 • 2 =

– 12 + b =

x – y + z =

6 : 3 • 9 =

6x : 2 =

15 x 12 – b z + y – x 54 : 3 2 y : 25 2 x : 6

- y + x + z b – 12 x + 15 y : 50 3 x 6 : 27

Lösung :

15 + x = x + 15

y : 25 • 2 = 2 y : 25

– 12 + b = b – 12

x – y + z = - y + x + z

6 : 3 • 9 = 54 : 3

6x : 2 = 3 x

Übung: Prüfen Sie, ob richtig umgeformt wurde:

6 a – 7 b + 12 a = 18 a – 7 b

x • ( - 3 + 7) - 3x = x

60 • a : 2 • 5 = 6 a

wahr

falsch

Lösung

6 a – 7 b + 12 a = 18 a – 7 b

x • ( - 3 + 7) - 3x = x


60 • a : 2 • 5 = 6 a

Es muss heißen

60 • a : 2 • 5 = 30 a • 5 = 150 a

wahr

falsch


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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

1.3 Das Assoziativgesetz oder Verbindungsgesetz

Rechnen Sie im Kopf: 34 + 12 =

Wahrscheinlich addieren Sie schrittweise, weil Sie wissen, dass Sie 12 in 10 + 2

unterteilen können und dann zunächst 34 + 10 rechnen dürfen.

Das sieht dann aufgeschrieben so aus:

34 + 12 =

34 + (10 + 2) = (34 + 10) + 2

Da die Addition auch noch kommutativ ist, dürfen Sie bei der Addition beliebig

Teilergebnisse bilden, Klammern setzen und vertauschen.

Auch für die Multiplikation gilt das Assoziativgesetz, indem Sie beliebig

Teilergebnisse bilden dürfen und Klammern einfügen können.

Es gilt:

a + b + c = (a + b) + c = a + ( b + c)

= (b + a) + c = b + ( a + c)

= (a + c) + b = a + (c + b)

und a • b • c = (a • b) • c = a • (b • c)

= (b • a) • c = b • (a • c)

= (a • c) • b = a • (c • b)

Übung: Rechnen Sie günstig, indem Sie das Assoziativgesetz anwenden:

Beispiele:

144 + 79 + 56 = (144 + 56) +79 = 200 + 79 = 279

4,6 • 25 • 4 = 4,6 • (25 • 4) = 4,6 • 100 = 460

289 + 155 + 11 =

327 + 208 + 192 =

0,8 • 21,2 • 5 =

1,5 • 11,1 • 4 • 5 =

999 + 777 + 1 + 888 + 223 + 112 =

16 • 19 • 25 • 0,1 • 0,5 • 0,2 =

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Übung: Überprüfen Sie, ob das Assoziativgesetz auch unbesehen für die

Subtraktion und Division zu übernehmen ist. Sind folgende Äquivalenzumformungen

korrekt?

(27 – 13) – 12 = 27 – (13 –12)

100 – ( 56 – 23 ) =(100 – 56) - 23

(60 : 10) : 2 = 60 : (10 : 2)

80 : 10 : 2 = (80 : 10) : 2

99 : 33 : 3 = 99 : (33 : 3)

68 – 22 – 13 = (68 – 22) – 13

wahr

falsch

Lösung:

wahr

falsch

(27 – 13) – 12 = 27 – (13 –12)

100 – ( 56 – 23 ) =(100 – 56) - 23

(60 : 10) : 2 = 60 : (10 : 2)

80 : 10 : 2 = (80 : 10) : 2

Hier rechnen Sie in der gegebenen

Reihenfolge. Die Klammer besagt

auch nichts anderes.

99 : 33 : 3 = 99 : (33 : 3)

68 – 22 – 13 = (68 – 22) – 13

Hier rechnen Sie in der gegebenen

Reihenfolge. Die Klammer sagt

nichts anderes.

Das Assoziativgesetz gilt also nicht für die Subtraktion und auch nicht für die

Division!

Übung: Wenden Sie Kommutativ- und/oder Assoziativgesetz an, beachten

Sie die Klammern und prüfen Sie die Termumformungen nach!

25 : 75 • (12 : 4) = 25 : ( 75 • 3)

25 : 75 • (12 : 4) = (3 • 25) : 75

75 – ( 25 – 13) – 5 = 75 – 25 – 13 - 5

75 – ( 25 – 13) – 5 = (75 – 25) – 13 – 5

7 • 21 : 3 = 7 • (21 : 3)

x – y – z = ( x – z) – y

a • b • c : d = ( a • b • c) : d

w : x : y = w : (x : y)

56 : 2 : 7 = 56 : ( 2 • /)

wahr

falsch

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

wahr

25 : 75 • (12 : 4) = 25 : ( 75 • 3)

25 : 75 • (12 : 4) = (3 • 25) : 75

75 – ( 25 – 13) – 5 = 75 – 25 – 13 - 5

75 – ( 25 – 13) – 5 = (75 – 25) – 13 – 5

7 • 21 : 3 = 7 • (21 : 3)

x – y – z = ( x – z) – y

a • b • c : d = ( a • b • c) : d

w : x : y = w : (x : y)


56 : 2 : 7 = 56 : ( 2 • /)

falsch

1.4 Das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz

Wenn Sie im Kopf rechnen, wenden Sie dieses Gesetz oft an. Vielleicht ist es Ihnen

nicht bewusst:

Wie lösen rechnen Sie 23 • 6 im Kopf?

Wahrscheinlich multiplizieren Sie zunächst 20 • 6 und addieren dann das Ergebnis

von 3 • 6 dazu. Das sieht dann so aus:

23 • 6 = 20 • 6 + 3 • 6 = 120 + 18 = 138

(20 + 3)

Der entscheidende Schritt besteht darin, dass es überhaupt erlaubt ist, einen der

Faktoren in eine Summe zu zerlegen.

Es gilt (20 + 3) • 6 = = 20 • 6 + 3 • 6

Dahinter verbirgt sich das Distributivgesetz:

Allgemein gilt:

(a + b) • c = = a • c + b • c = ac + bc

und, da die Multiplikation kommutativ ist,

a • (b + c) = a • b + a • c = ab + ac

Die Elemente der Strichrechenart innerhalb der Klammer können einzeln

„ausmultipliziert“ werden, so dass es keine Klammer mehr gibt.

Umgekehrt kann aus eine Reihe von Multiplikationen mit immer derselben Zahl der

Faktor „ausgeklammert“ werden.

Kommutativ- und Assoziativgesetze gelten nach wie vor, ebenso „Punkt vor Strich“

und dass Klammern den Inhalt zusammenhalten. Es gibt jetzt nur noch mehr Wege,

weitere gleichwertige Varianten zu entwickeln oder günstiger zu rechnen.

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Übung:

Wenden Sie das Distributivgesetz an, indem Sie ausmultiplizieren:

3 • (x + 4 ) = (5 + a ) • b =

5 • (a + b + c) = (3 + x + 1 x + y) • x =

1,5 • ( 4 + 3x) = ( 2x + 3y) • 2z =

1

3 • ( 3x + 9) = ( 1 3 + 4y) • 1 2 =

Das Distributivgesetz gilt ebenso in der Verbindung von Multiplikation mit

Subtraktion.

Sie wenden dieses Gesetz an, wenn Sie 49 • 7 im Kopf rechnen und dabei auf die

Aufgabe 50 • 7 ausweichen:

49 • 7 =

( 50 – 1) • 7 = 50 • 7 – 1 • 7 = 350 – 7 = 343

Allgemein gilt:

a • (b - c) = a • b - a • c = ab - ac

und, da die Multiplikation kommutativ ist,

(b – c) • a = = b • a - c • a = ab - ac

Übung:

Wenden Sie das Distributivgesetz an, indem Sie ausmultiplizieren:

3 • (x - 1 ) = (33 - 3a ) • b =

5 • (a - 2b - c) = (4 - 2x - 3 x + y) • x =

1,2 • ( 4 - 5x) = ( 2z – 0,3y) • 2z =

1

4 • ( 12x - 2) = ( 4 7 - 8y + 16x) • 1 2 =

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Wenn Sie im Kopf rechnen, wenden Sie das Distributivgesetz auch in der Division

an.

Wie rechnen Sie 156 : 3 im Kopf? Wahrscheinlich dividieren Sie zunächst 150 durch

3 und addieren dann das Ergebnis von 6 : 3 dazu. Das sieht dann so aus:

156 : 3 =

(150 + 6) : 3 = 150 : 3 + 6 : 3 = 50 + 2 = 52

Ebenso gilt

145 : 5 =

(150 – 5) : 5 = 150 : 5 – 5 : 5 = 30 – 1 = 29

Allgemein gilt: (a + b) : c = = a : c + b : c = a c + b c

und

(a - b) : c = = a : c - b : c = a c - b c

Achtung: Die Division ist nicht vertauschbar! Auch das Distributivgesetz lässt

sich nicht vertauschen!

a : ( b + c) ≠ a : b + a : c

Beispiel: 36 : (6 + 3) ≠ 36 : 6 + 36 : 3 Rechnen Sie nach!

Zusammenfassung:

Das Distributivgesetz besagt:

Soll eine Summe oder Differenz mit einem Wert multipliziert werden oder durch einen

Wert dividiert werden, können die Werte der Summe oder Differenz einzeln

multipliziert oder dividiert werden und die Produkte bzw. Quotienten anschließend

addiert oder subtrahiert werden.

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Übung:

Wenden Sie das Distributivgesetz an :

(45 – 9x ) : 3 =

(12x – 16y + 2z) : 4 =

(2x – 3) • 6 + ( 4x + 6) : 2 =

(x + 2) • 2 + (x - 3) • 3 + (x + 4) • 4 + (x - 5) • 5 =

3a • (25 – b) – 50a =

Lösung:

(45 – 9x ) : 3 = 15 – 3x

(12x – 16y + 2z) : 4 = 3x - 4y + 0,5z

(2x – 3) • 6 + ( 4x + 6) : 2 = 12x – 18 + 2x + 3 = 14x - 15

(x + 2) • 2 + (x - 3) • 3 + (x + 4) • 4 + (x - 5) • 5 = 2x + 4 + 3x – 9 + 4x + 16 + 5x – 25

= 14x - 14

3a • (25 – b) – 50a = 75a – 3ab – 50a = 25a – 3ab

Übung:

Klammern Sie aus! Berechnen Sie - falls möglich – den Wert!

6 • 7 + 5 • 7 – 3 • 7 = (6 + 5 – 3) • 7

= 8 • 7 = 56

15 • 3 + 24 • 3 – 3 • 17 + 6 • 3 =

18 : 6 – 66 : 6 + 54 : 6 – 6 : 6 =

2a + 2b =

9x – 20x + 33 x + 2 x + xy =

2ab + 2ab + 12a – 20a =

2a 2 + 4 ab =

(x + 2) • 4 + (x + 2) • 6 - (x + 2) • 8 =

b • (1 – a) + (1 – a) • c =

15 : a + 7 a - b : a

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Gleichungen 2, Umgang mit Termen

1.5 Das Ausmultiplizieren mehrerer Klammern und die

binomischen Formeln

Wollen Sie zwei Klammern miteinander multiplizieren, müssen Sie jedes Element mit

jedem malnehmen.

Beispiel: (x + 2) • ( x + 3) = x • (x + 3) + 2 • (x + 3) =

x 2 + 3x + 2x + 6 = x 2 + 5x + 6

Beachten Sie, dass man x 2 und 5x nicht zusammenfassen darf!

Übung: Multiplizieren Sie die Klammern aus:

(x + 5) (x – 1) =

(x – 2) (2x – 1) =

(3 – a) (a + 5) =

(2b + a) (b + 2a) =

(x – y) (2 + z) =

(3 + 6y) (5 – y) =

(2 + x – y) ( 3x – 1) =

Die binomischen Formeln verallgemeinern 3 Spezialfälle der Multiplikation von

Klammern.

1. binomische Formel: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. binomische Formel (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

3. binomische Formel (a + b) (a – b) = a 2 – b 2

a und b stehen hier jeweils für eine Zahl, eine Variable oder einen Term und stellen

jeweils das erste und zweite Glied einer Klammer dar.

Übung: Multiplizieren Sie die Klammern aus und weisen Sie so die

Gültigkeit der binomischen Formeln nach!

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) =

(a – b) 2 = (a –b) (a – b) =

(a + b) (a – b) =

Lösung:

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a – b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2

(a + b) (a – b) = a 2 - ab + ab - b 2 = a 2 – b 2

a und b stehen in der Formel für beliebige Werte, Variablen oder Terme. Üben Sie

die Binome zu benutzen.

Beispiele für die Anwendung:

Seite 18


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(x + 8) 2 = x 2 + 2 • x • 8 + 8 2

= x 2 + 16x + 64

(5y + 4) 2 = 5y•5y + 2•5y•4 + 4 2

= 25y 2 + 40y + 16

Übung:

Rechnen Sie wie in den Beispielen:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(x + 3) 2 =

(b + 3a) 2 =

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

(x – 2) 2 =

(4a – 3) 2 =

(a - b) (a + b) = a 2 – b 2

(2 – y) (2 + y) =

(5x + 3)(5x – 3) =

Seite 19


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

1.6 Zusammenfassende Übungen:

Anwendung aller Rechenregeln und Termumformungen

Fassen Sie alle Terme so weit wie möglich zusammen. Dabei können Sie

Kommutativ, Assoziativ und Distributivgesetz anwenden, müssen Ihr Wissen über

„Punkt vor Strich“ und Klammern anwenden und die Vorzeichen beachten!

Beispiel: (a + b) • 2 – 3 • (b – a)

Wie lösen Sie diesen Term? Überlegen Sie zunächst, welche Gesetze Sie benötigen

und versuchen Sie es!

Lösung:

Kommentar:

(a + b) • 2 – 3 • (b – a) = Punkt vor Strich! Also zuerst

ausmultiplizieren (Distributivgesetz). Die

erste Klammer ist positiv, also Vorzeichen

lassen.

2a + 2b – 3 • (b – a) = Die zweite Klammer wird mit –3

ausmultipliziert, also auf die Vorzeichen

aufpassen!

2a + 2b –3b + 3a =

5a – b

Nun noch zusammenfassen!

Beispiel: (a + 2) • (b – 3)

Wie lösen Sie diesen Term? Überlegen Sie zunächst, welche Gesetze Sie benötigen

und versuchen Sie es!

Lösung:

Kommentar:

(a + 2) • (a – 3) = Fassen Sie die erste Klammer als einen

Faktor auf und wenden Sie das

Distributivgesetz an.

(a + 2) • a – (a + 2) • 3= Nun wenden Sie das Distributivgesetz

noch einmal an, müssen aber beachten,

dass alle Ergebnisse des

Ausmultiplizieren der zweiten Klammer

das Vorzeichen umdrehen müssen. Sie

können Schritt1 und 2 auch in einem

vollziehen und sofort die erste Klammer

einmal mit b und einmal mit (-3)

multiplizieren.

a 2 + 2a – 3a – 6 =

a 2 - a - 6

Nun zusammenfassen!

Seite 20


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Übung:

Fassen Sie die Terme zusammen:

(x + 1) • (-2) - ( 2x – 3) = - (5 –y) • x – (y + x) =

45: (-15) – (-24: 8 • 3) + (-2) = x (-2) – x (-3) – x (-2) – 3x =

a + b – c – (a – b + c) + 2 (-a –b –c) = 1

2 x - ( 1 3 x - 1 4 x ) +1 2 x =

2 (y +z): (-1) = (-4 – x) • (x – 4) =

(3b –2) (-3 + b) – ( 3b 2 –2) = (x +2) (x – 2) =

Seite 21


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

2. Gleichungen

In diesem Kapitel werden Probleme im Umgang mit linearen Gleichungen behandelt,

die mit Hilfe Ihrer Kenntnisse der Rechengesetze und Ihrem erfolgreichen Umgang

mit Vorzeichen gelöst werden können. Grundwissen über das Lösen einer Gleichung

mit einer der vier Grundrechenarten aus dem LB Gleichungen 1 setzen wir voruaus.

2.1 Die Lösung als Bruch angeben, wenn die Rechnung „nicht aufgeht“

Ist der letzte Schritt zur Lösung einer Gleichung eine Division, die oft ja nicht

„aufgeht“, lässt man üblicherweise das Ergebnis als Bruch stehen. Nur wenn ein

Problem mit konkreten Größen gelöst werden soll, das Ergebnis beispielsweise

einen Geldbetrag oder ein Längenmaß darstellt, dürfen Sie runden. In allgemeinen

Gleichungen dürfen Sie niemals runden, sonst stimmt die Probe nicht exakt. Es heißt

ja „Gleich-ung“ und nicht „Ungefähr-ung“!

Beispiel:

7 x = 5 / : 7 Die Gleichung wird durch 7 geteilt.

x = 5 : 7

x = 5 7

L = { 5 7 }

Probe:

Das könnte man ausrechnen, die Rechnung geht aber

nicht auf! Also wird die Division mit Hilfe des Bruchstrichs

notiert:

So kann das Ergebnis bleiben!

So gibt man auf „gut Mathematisch“ die Lösung als

Lösungsmenge an!

7 • 5 7 = 7·5

7

= 5 wahre Aussage, also ist die Gleichung

richtig gelöst worden.

Beispiel:

1,4 x = 0,6 Die Gleichung wird durch 1,4 geteilt.

x = 0,6

Das Ergebnis steht als Bruch, muss nun mit 10 erweitert

1,4

werden, damit keine Kommazahlen mehr vorkommen.

x = 6 Nun kürzen Sie! (Hier durch 2!)

14

x = 3 7

L = { 3 7 }

Probe:

1,4 • 3 7 = 1,4•3

7

= 4,2 : 7 = 0,6 wahre Aussage, also ist

die Gleichung richtig gelöst worden.

Seite 22


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Übung

Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben Sie die Ergebnisse als Bruch oder

gemischte Zahl an. Denken Sie daran, das Ergebnis in der vollständig gekürzten

Form anzugeben und nur ganze Zahlen in Zähler und Nenner zu belassen. Machen

Sie jeweils auch die Probe:

15 x = 14 14 x = 15

x = x =

Probe:

Probe:

12 x = 10 65 x = 15

x = x =

Probe:

Probe:

36 x = 15 39 x = 102

x = x =

Probe:

Probe:

19 x = 21 121 x = 22

x = x =

Probe:

Probe:

1,5 x = 0,8 0,18 x = 1 8

x = x =

Probe:

Probe:

2,9 x = 0,03 22,5 x = 50

x = x =

Probe:

Probe:

Seite 23


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

2.2 Gleichungen mit negativen Werten als Lösungen

Peter hat 11 Äpfel. Wie viele hat ihm seine Tante noch dazu gegeben, wenn er

hinterher 8 Äpfel hat?

Hier stimmt ja wohl etwas nicht! Peter hat nichts bekommen, er hat weniger Äpfel,

also hat er welche gegessen oder abgegeben!

Übersetzen Sie trotzdem die Aufgabe in eine Gleichung, dann sieht das so aus:

11 + x = 8

Wenden Sie Ihre Kenntnisse zum Lösen einer Gleichung an und Sie erhalten

folgende Lösung:

x = 8 – 11

x = –3

Es gibt also eine rechnerische Lösung : x = -3 . Sie machen die Probe, indem Sie

den Wert (-3) an die Stelle des x in die Gleichung einsetzen.

11 + (-3) = 8

11 – 3 = 8 wahre Aussage!

Bezogen auf die Aufgabe mit Peter und seinen Äpfeln gibt es diese Lösung nicht,

weil es keine –3 Äpfel gibt! Stückzahlen beziehen sich auf den Zahlenraum der

natürlichen Zahlen Ν.

Erweitert man den Zahlenraum für mögliche Lösungen jedoch nicht nur auf die

Menge aller positiven, sondern auch aller negativen rationalen Zahlen (Q), dann

ergibt sich eine mathematische Lösung dieser Gleichung.

Im Folgenden sind für alle Aufgaben Lösungen aus dem gesamten Zahlenraum Q

möglich.

Beispiel:

4 – x = 9 | -4

- x = 9 – 4

- x = 5 | • (-1) Das x mit dem verkehrten

Vorzeichen (-x) ist 5, also

multiplizieren Sie die Gleichung

mit –1!

x = -5

Probe: 4 – (-5) = 9

4 + 5 = 9 wahre Aussage!

Seite 24


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Übung

Lösen Sie folgende Gleichungen und machen Sie die Probe

45 – x = 55,2 x + 23 = -13

15 x = -4,5 -3x = 12

2,5 x = -22,5 - 44 + x = - 65

-65 – x = 20 2x = -77

x : (-3) = 9 x : 5 = -7

15 – x = 17 + x - x – 2 = 12

x + 26 = - 13 – x 0 = x + 11

Seite 25


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

2.3 Gleichungen mit Klammern

Im LB Gleichungen haben Sie gelernt, einfache Gleichungen zu lösen.

Sind Gleichungen aus größeren Termen zusammengesetzt, müssen Sie sämtliche

Rechengesetze berücksichtigen.

„Punkt vor Strich“ bedeutet in der Gleichungslehre, dass die Punktrechenarten die

Terme fester zusammenhalten als die Strichrechenarten. Deshalb müssen die

Strichrechenarten zuerst von der Variablen gelöst werden. Klammern können

ausmultipliziert werden, um die Terme übersichtlicher zu gestalten.

Beispiele:

x – (2x – 6) • 2 = x + 2 Lösen Sie zuerst die Klammern auf, bevor Sie die

Gleichungen lösen!

Beachten Sie hierbei, was Sie im Umgang mit Klammern

und Vorzeichen gelernt haben:

1. Ein „+“ vor der Klammerbedeutet, die Klammer

kann weggelassen werden, ohne dass sich + oder

– verändern.

2. ein „-" vor der Klammer bedeutet, dass sich + und

– umkehren.

3. Ein Faktor vor oder hinter der Klammer bedeutet,

dass ausmultipliziert werden muss.

x – 4x + 12 = x + 2 Zusammenfassen!

–3x + 12 = x + 2 | +3x Alle Elemente mit x auf der Seite sammeln, wo mehr sind,

12 = 4x +2 | - 2 die Zahlen auf der anderen.

10 = 4x | :4

2,5 = x

Probe: 2,5 – (2,5 • 2 – 6) • 2 = 2,5 + 2

2,5 – (5 – 6) • 2 = 4,5

2,5 – (-1) • 2 = 4,5

2,5 + 2 = 4,5 wahre Aussage!

Übung

Lösen Sie folgenden Gleichungen:

5 (2x +2) = x + 28 (x + 1) • 7 – 5 = 8x

10 – (1 –x) = 8 2 (2 – 1,5x) = 8

2x – (-x –1) • 3 = 3 (x + 2) • 2 = (x + 3) • 3

- (x +2) = (x + 3) • 3 (16 x – 8) : 4 = x + 6

(x+2) (x – 2) = x 2 – x (x – 5) 2 = x 2 + 5

(10 + x ) 2 = x 2

Seite 26


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

2.4 Bruchgleichungen

Beachten Sie folgende Regeln der Bruchrechnung:

Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem die Zähler addiert

bzw. subtrahiert werden und der Nenner bleibt.

Ungleichnamige Brüche müssen auf den Hauptnenner erweitert werden.

Wenden Sie diese Regel auch im Umgang mit Brüchen in Gleichungen an!

Beispiel:

2x

3 - x 4

= 40 Hauptnenner ist 12. Erweitern Sie!

4•2x

4•3 - 3x

3•4 = 40

8x-3x

12

= 40 Mit dem Hauptnenner multiplizieren.

5x = 40 • 12

5x = 480 : 5

x = 96

Tipp : Sie können die Gleichung auch sofort mit dem Hauptnenner multiplizieren,

das sieht dann so aus und geht schneller:

2x

3 – x 4

= 40 Multiplizieren Sie beide Seiten

der Gleichung mit dem Hauptnenner 12.

4 3

12•2x

3

– 12•x

4

8x – 3x = 480

5x = 480

x = 96

= 12 • 40 Kürzen!

Probe:

2•96

3 – 96

4

64 – 24 = 40

= 40

Übung

Lösen Sie folgenden Gleichungen ebenso:

5x

2 + 8x

3 = 62 x

2 – 2x

7 = 3

x

3 – x 5 = 16 x

8 + 8 = x

10 + 2

Seite 27


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Wenn der Zähler (oder auch der Nenner) eine Strichrechenart enthält, müssen Sie

aufpassen, dass Sie beim Multiplizieren eine Klammer um den jeweiligen Term

setzen müssen!

Beispiel:

x-2

3 + 2-x

2

= -2 Multiplizieren Sie mit dem Hauptnenner!

Setzen Sie die Zähler in Klammern!

2 3

6(x-2)

3

+ 6(2-x)

2

= -2 • 6 Kürzen!

2x – 4 + 6 – 3x = –12

2 – x = –12

– x = –14

x = 14

Probe:

14-2

3

+ 2-14

2

= -2

12

3 + -12

2

= -2

4 – 6 = -2

Übung

Lösen Sie folgenden Gleichungen ebenso:

x-3

7 = 2+x

7 - 5-x

7

b

5 - 2 = b 3

2-3x

4

+ 5+2x

5 = x 3x

2 + 2x

3 = 1

2(x+3)

6

- 2(x-3)

9

= 4

Seite 28


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

2.5 Lösbarkeit von Gleichungen

x + 3 = 1 ist nur lösbar, wenn x nicht darauf begrenzt ist, eine positive Zahl zu sein;

denn x = -2 .

Für x muss die sogenannte Grundmenge definiert sein und x muss dann ein Element

aus dieser Menge sein. In unserem Zusammenhang wollen wir x immer aus der

Menge der rationalen Zahlen (Q) wählen, das sind die Zahlen, die sich als Bruch

schreiben lassen.

Wir wollen folgende Gleichung lösen: x + 1 = x – 1

| - x

+ 1 = - 1 Was bedeutet das?

Diese Aussage ist eindeutig falsch!

Vielleicht probieren wir es anders? x + 1 = x – 1 | - 1

x = x – 2 | - x

0 = - 2 Was bedeutet das?

Diese Aussage ist eindeutig falsch!

Wie Sie es auch angehen, es entsteht eine falsche Aussage. Das bedeutet, unsere

Ausgangsgleichung ist nicht lösbar!

Die Lösungsmenge ist leer. Man schreibt L = { }

Lösen Sie nun diese Gleichung: 2x – x = x

x = x | -x

0 = 0

Das stimmt! Aber welchen Wert hat x?

Sie gelangen zu einer allgemeingültigen Aussage, die unabhängig von der Wahl für

den Wert von x ist. Das heißt, egal wie Sie den Wert für x wählen, es entsteht immer

eine wahre Aussage. Probieren Sie es!

2x – x = x

x = 1 ⇒ 2 • 1 – 1 = 1

x = 2 ⇒ 2 • 2 – 2 = 2

x = 3 ⇒ 2 • 3 – 3 = 3

x = 0 ⇒ 2 • 0 – 0 = 0

x = -1 ⇒ 2 • (-1) –(-1) = -1

x = -2 ⇒ 2 • (-2) – (-2) = -2

Die Gleichung ist allgemeingültig und hat unendlich viele Lösungen. Man schreibt

L = Q

Alle anderen Gleichungen dieser Lerneinheit haben nur ein Ergebnis.

Beispiel: x + 5 = 0,5

x = 0,5 – 5

x = -4,5 Die Gleichung ist eindeutig lösbar.

Man schreibt L = {-4,5}

Seite 29


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Aufpassen müssen Sie noch, wenn in einer Gleichung durch eine Variable dividiert

wird oder durch einen Term mit der Variablen, denn das Teilen durch 0 ist nicht

definiert! In solch einem Fall darf der Term, durch den geteilt wird, niemals den Wert

0 annehmen.

Beispiel:

18

x+1

= 20 x + 1≠ 0; also x ≠ -1

18 = 20(x+1)

18 = 20x + 20

18 – 20 = 20 x

-2 = 20x

-2

20 = x

-1

10 = x

L = { -1

10 }

Übung: Geben Sie die Lösungsmenge an und die einschränkenden

Bedingungen für x:

3x + 3 = 3x – 3 L =

5x – 4x = x L =

2(x+1) –2x = 2 L =

1

x + 2 = 2 x ≠ L =

10

2x - 1 = 1 x ≠ L =

1

x - 1 = 0 x ≠ L =

2. 6 Umstellen von Formeln

Formeln stellen „Kochrezepte“ zur Berechnung verschiedenster Sachverhalte dar:

Flächen-, Körperberechnungen in der Geometrie, Prozente und Zinsen,

physikalische Zusammenhänge werden in ihrer Allgemeinheit als Formel dargestellt.

Platzhalter geben an, wie welche Größen miteinander durch Rechenoperationen

verknüpft werden.

Beispiel:

V = s t

Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit

V = Geschwindigkeit

s = zurückgelegte Strecke

t = Zeit

Um die Geschwindigkeit zu berechnen, teilt man also die Strecke

durch die Zeit. Zeit und Strecke müssen bekannt sein.

Seite 30


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Die Formel muss umgestellt werden, sobald nicht V, sondern s

oder t unbekannt sind. Dazu benutzen Sie Ihre Kenntnisse aus der

Gleichungslehre.

Ist s unbekannt, müssen Sie die Gleichung „nach s auflösen“, d.h.

s muss allein auf einer Seite der Gleichung übrig sein:

V = s t

V • t = s

Stellen Sie nun nach t um:

| • t Multiplizieren Sie mit t!

Schon sind Sie fertig! Sie haben nun die

Formel, wie Sie s mit Hilfe von V und t

berechnen können.

V • t = s

Übrigens dürfen hier s, t und V nicht die Werte 0 annehmen! Da es sich um konkrete

Größen handelt, brauchen Sie keine Bedenken zu haben. Geschwindigkeit findet nur

statt, wenn tatsächlich Zeit vergangen ist oder eine Strecke zurückgelegt wurde!

Viele Formeln bestehen nur aus Multiplikationen und Divisionen, müssen daher nur

durch Division oder Multiplikation hin und her geschoben werden.

Übung: Lösen Sie folgende Formeln zu den angegebenen Variablen auf:

Fläche eine Rechtecks: A = a • b a = Länge

b = Breite

Volumen eine Quaders: V = a • b • h a = Länge

b = Breite

h = Höhe

a =

a =

b =

b =

h =

Prozentwert:

W = G•p

100

G =

G = Grundwert

p = Prozentsatz

Seite 31


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

p =

Volumen einer Rechteckpyramide: V = a•b•h

3

a =

b =

a = Länge

b = Breite

h = Höhe

h =

Umfang eines Kreises: U = 2 π r r = Radius

π = Kreiskonstante

r =

Sobald Formeln auch Strichrechenarten oder Klammern enthalten, müssen Sie die

geltenden Rechengesetze beachten!

• Strichrechenarten binden die Terme schwächer, also Strichrechenarten zuerst

lösen.

• Klammern halten den Term fest zusammen, also keine Elemente aus einer

Klammer „herausreißen“!

• Klammern so weit wie möglich lösen, z.B. ausmultiplizieren, oder als

Gesamtheit behandeln!

Beispiel:

Umfang eines Rechtecks: U = 2 (a + b) a = Länge

b = Breite

Lösen Sie nach a auf! U = 2 (a + b) | : 2

U

2

= (a + b) Nun dürfen Sie die Klammer

weglassen!

U

2

= a + b | - b

U

2 - b = a

oder : U = 2 (a + b) Sie lösen hier die Klammer auf!

U = 2a + 2b | - 2b

U – 2b = 2a | : 2

U-2b

2

= a

Beide Varianten sind identisch, denn U-2b

2 = (U – 2b) : 2 = U 2 - b

Seite 32


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Übung: Lösen Sie folgende Formeln zu den angegebenen Variablen auf:

Mittellinie eines Trapez:

Fläche eines Trapez:

m = a+c

2

a =

c =

A = a+c

2 • h

a =

h =

Mantelfläche des Quaders: M = 2 • h • (a + b)

h =

a =

„Linsengleichung“

g = f•b

b-f

f =

b =

f = Brennweite

g = Gegenstandsweite

b = Bildweite

Seite 33


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Kontrollbogen

Aufgabe 1: Schreiben Sie kürzer, indem Sie Rechen- und Wertvorzeichen

zusammenfassen, und rechnen Sie so weit wie möglich aus:

– (-2) + (+1,5) – (-2) + (-1,5) = + (-13) + (-33) + (+13) – (+32) =

– (+a) + (-b) – (-2a) - (-5b) = – (+6x) + (-2x) – (-8x) =

-15 : (-3) : (+5) • (-22x) = (+ 1 4 ) • (–1 4 ) • (-8) =

-40a : (-2) • (-b) • (-2) = (+ 1 6 x) • (–1 2

) • 12• (-x) =

Aufgabe 2:

Ordnen Sie die richtigen Äquivalenzumformungen zu:

-2 + a =

56 • 14 : 7 =

– x + b - 3 =

a – 2 56 • 2 14 • 7 : 56 -3 – b + x

2 – a -a + 2 b – 3 – x 3 – x - b 56 • 7 : 14

Aufgabe 3

Wenden Sie das Distributivgesetz an, indem Sie ausmultiplizieren:

6 • (y - 1 ) = (13 - 3a ) • x =

-5 • (a - 2b - c) = (a+3) • (b –7) =

(x +5) 2 = (6 – y) (6 + y) =

(2x –7) 2 =

Aufgabe 4

Klammern Sie aus:

17 • 4 + 17 • x + 17• y – 13 x • 17 =

Aufgabe 5:

Fassen Sie zusammen und lösen Sie alle Klammern auf!

(5x + 2) (2x – 3) – (16 + x) =

- ( -x + 8 ) 2 – 3 (3x –2) 2 =

Aufgabe 6:

Seite 34


Gleichungen 2, Umgang mit Termen

Lösen Sie die folgenden Gleichungen. Geben Sie die Lösung als Lösungsmenge an.

Geben Sie bei Bruchgleichungen einschränkende Bedingungen, falls nötig.

15 x = 35 L =

122 – 2x = 155 L =

(2x + 2) – (x+3) = -1 L =

35 – x = 36 – x L =

x : (-3) + 2 = x L =

5x

2 + 8x

3 = 3,1 L =

x

3 – 2x

7 = 8 L =

x + 1 = x – 3 L =

5x – 2x = 6x – 3x L =

1

x + 3 = 2 x ≠ L =

5+2x

x

= 3 x ≠ L =

Aufgabe 7:

Stellen Sie die Formeln zu den angegebenen Größen um:

U = R • I R =

A = g•h

2

g =

M = 2h • (a + b) a =

h =

Seite 35

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