Flächenberechnung

Flächenberechnung

Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................... 1
Impressum.................................................................................................................. 2
Vorbemerkungen ........................................................................................................ 3
Flächenberechnung.................................................................................................... 5
Vierecke.................................................................................................................. 6
Rechteck ............................................................................................................. 6
Quadrat ............................................................................................................... 9
Textaufgaben zu Rechtecken und Quadraten................................................... 11
Parallelogramm ................................................................................................. 13
Textaufgaben .................................................................................................... 16
Trapez ............................................................................................................... 18
Dreiecke................................................................................................................ 22
Kreis...................................................................................................................... 27
Vermischte Textaufgaben zur Flächenberechnung............................................... 34
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Impressum
Produktion:
leitner.interactive, Äußere Buchleuthe 58, 87600 Kaufbeuren
Herausgeber:
e/t/s Didaktische Medien GmbH
Kirchstraße 3
87642 Halblech
Autor:
Bfw Bad Pyrmont
Rechte:
Copyright© 2006 e/t/s Didaktische Medien GmbH, Halblech.
Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie,
Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Herausgebers
reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder
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Programmierer und Autoren können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Vorbemerkungen
Das Kapitel Flächen- und Körperberechnung ist sehr komplex, da es eine Vielzahl
verschiedener Flächen- und Körperformen gibt. Wir beschränken uns in dieser
Qualifizierungseinheit deshalb auf die Grundlagen, das heißt die Formen, die am
häufigsten vorkommen. So verzichten wir bei der Flächenberechnung zum Beispiel
vollständig auf zusammengesetzte Flächen und bei der Körperberechnung auf
abgestumpfte sowie zusammengesetzte Körper.
Die Flächen- und Körperberechnung ist ohne das Beherrschen der Maßeinheiten
nicht möglich. Deshalb widmet sich das erste Kapitel dem Umwandeln von
Maßeinheiten. Auch dabei haben wir uns auf Grundlegendes beschränkt. So bleiben
Hohl- und Gewichtsmaße sowie die Dichte unberücksichtigt.
Damit Sie die Formeln besser verstehen, was eine wichtige Voraussetzung für
dauerhaftes Lernen ist, haben wir diese teilweise deren Entstehung erklärt. Wenn Sie
sich einige Formeln nicht einprägen können, schlagen wir Ihnen vor, dass Sie sich
Karteikarten anlegen, wobei Sie auf der Vorderseite das Thema (z.B. Flächeninhalt
des Rechtecks) und auf der Rückseite die dazugehörige Formel (z.B. A = a • b)
notieren können.
Die Textaufgaben sind innerhalb eines Kapitels in der Regel nach Schwierigkeitsgrad
sortiert. Am Anfang finden Sie immer einige leichte. Mit zunehmender Nummerierung
steigt der Schwierigkeitsgrad, wobei häufig zur Lösungsfindung die Formeln
umgestellt werden müssen. Falls Sie damit Schwierigkeiten haben, empfehlen wir
Ihnen, sich - noch einmal - die Qualifizierungseinheit zur Gleichungslehre
anschauen. Dort wird insbesondere dieses Kapitel behandelt. Vergessen Sie bitte bei
den Textaufgaben nicht die Antwortsätze!
Bei vielen Textaufgaben gehen die Rechnungen nicht glatt auf. Das heißt: Sie
müssen runden. Runden Sie aber bitte erst das Endergebnis und nicht
zwischendurch, da sonst das Ergebnis ungenau wird bzw. möglicherweise nicht mit
der angegebenen Lösung übereinstimmt. Für das Runden gelten – wenn nicht
anders angegeben – die in der Qualifizierungseinheit zur schriftlichen Multiplikation
bzw. Division dargestellten Rundungsregeln.
Noch ein Hinweis zu den Lösungen der Textaufgaben: Wir haben – um die Anzahl
der erforderlichen Rechnungen zu reduzieren – in der Regel zunächst eine komplette
Formel für die Berechnung der jeweils gesuchten Größe aufgestellt, in diese dann
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die bekannten Werte eingesetzt und anschließend das Ergebnis ermittelt. Falls Sie
es bevorzugen, die Aufgaben in mehreren Schritten zu lösen, kann es in
Ausnahmefällen bzw. wenn Sie unsere obigen Ausführungen zum Runden nicht
beachten, vorkommen, dass Ihr Ergebnis von unserem abweicht. Falls Sie in einem
derartigen Fall wissen möchten, ob Ihr Ergebnis ebenfalls stimmt, können Sie sich
gern mit uns in Verbindung setzen. Bitte teilen Sie uns auch mit, wenn Sie eine
offensichtlich falsche Lösung finden. Wir haben zwar alle Lösungen überprüft. Aber
„Irren ist menschlich“ und manchmal schleicht sich – leider – auch bei uns der
Fehlerteufel ein. Sorry!
Bei der Kreisberechnung taucht die konstante Zahl π = 3,141592654... auf. Aus
Gründen der Vereinfachung bzw. um das Runden etwas zu reduzieren haben wir bei
allen derartigen Aufgaben mit 3,14 gerechnet, wobei uns bewusst ist, dass dadurch
die Lösungen teilweise ungenau sind.
Diese Qualifizierungseinheit enthält wiederum eine Fülle von Übungsaufgaben. Wie
in den übrigen Einheiten gilt auch hier, dass Sie nicht alle Aufgaben bearbeiten
müssen. Wenn Sie ein Teilkapitel beherrschen, können Sie natürlich gleich zum
nächsten übergehen. Vielleicht lassen Sie auch immer einige Aufgaben für eine
spätere Wiederholung zurück. Manchmal ist es sinnvoll, Aufgaben zu
Trainingszwecken – natürlich in zeitlichen Abständen – noch einmal zu bearbeiten.
Sie können die Aufgaben natürlich mit dem Taschenrechner lösen. Allerdings sollten
Sie versuchen, wenn immer es möglich ist, auf den Taschenrechner zu verzichten
und Ihr Gehirn zu trainieren.
Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieser Qualifizierungseinheit!!!
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Flächenberechnung
Flächen werden von geraden oder auch gebogenen Linien begrenzt. Zu den Flächen
mit geraden Begrenzungen gehören alle Vielecke (d.h.: alle Flächen mit mindestens
3 Eckpunkten). Zu den Flächen mit gebogenen Linien gehören alle kreisförmigen und
ovalen Gebilde.
Die Eckpunkte von Vielecken werden – gegen den Uhrzeigersinn - mit großen
Anfangsbuchstaben (A, B, C, D .....) bezeichnet, wobei der Punkt links unten in der
Regel A ist.
Den Begrenzungslinien von Flächen werden kleine Buchstaben (a, b, c, d .....)
zugeordnet.
Wie schon im Kapitel Flächenmaße erwähnt, haben Flächen in der Regel zwei
Ausdehnungen (Dimensionen), nämlich die Länge und die Breite. Deshalb werden in
manchen Büchern die Seiten vor allem von Rechtecken mit den Buchstaben l und b
bezeichnet. Aus Gründen der Einheitlichkeit verzichten wir in dieser
Qualifizierungseinheit jedoch darauf.
Von allen Flächen können Sie mithilfe entsprechender Formeln den Umfang und den
Flächeninhalt ermitteln.
Sie können jedoch auch - wenn Sie die Formeln umstellen – aus einem gegebenen
Umfang oder aus einem gegebenen Flächeninhalt die Länge einzelner Seiten
errechnen. Falls Sie mit dem Umstellen von Formeln Schwierigkeiten haben,
empfehlen wir Ihnen, sich - noch einmal - die Qualifizierungseinheit zur
Gleichungslehre anschauen. Dort wird insbesondere dieses Kapitel behandelt.
Die Abkürzung für den Umfang einer Fläche ist U. Der Flächeninhalt wird entweder
mit F oder A abgekürzt. Der Buchstabe A ist der erste Buchstabe des englischen
Wortes „area“ (deutsch: Fläche) und international üblich. Deshalb findet er auch in
dieser Qualifizierungseinheit ausschließlich Verwendung.
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Vierecke
Als Vierecke bezeichnet man die Flächen, die von 4 geraden Linien umschlossen
werden. Die Eckpunkte heißen – wie oben beschrieben - A, B, C und D. Die Seiten
werden gegen den Uhrzeigersinn mit den Buchstaben a, b, c und d bezeichnet,
wobei die untere Seite a ist.
Jedes Viereck hat vier Innenwinkel. Sie werden mit den Anfangsbuchstaben des
griechischen Alphabetes bezeichnet:
Eckpunkt A – Winkel α (gesprochen: alpha)
Eckpunkt B – Winkel β (gesprochen: beta)
Eckpunkt C – Winkel γ( gesprochen: gamma)
Eckpunkt D – Winkel δ (gesprochen: delta).
Die Summe aller Innenwinkel in einem beliebigen Viereck beträgt 360°. Es gilt also
die Gleichung: α + β + γ + δ = 360°.
Es gibt spezielle Vierecke, die darüber hinaus noch über weitere Eigenschaften
verfügen. Von diesen werden in diesem Kapitel nur das Rechteck, das Quadrat, das
Parallelogramm und das Trapez besprochen.
Der Umfang von Vierecken entspricht stets der Summe der Länge der Seiten, also
U = a + b + c + d, wobei Sie sich je nach Viereckstyp diese Formel entsprechend
vereinfachen können (siehe unten).
Die Formel für die Flächeninhalte aller Vierecke wird von der entsprechenden
Rechtecks-Formel hergeleitet. Deshalb stellen wir auch das Rechteck als Erstes vor.
Rechteck
Beispiel:
a
b
b
a
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Kennzeichen des Rechtecks:
• vier rechte Innenwinkel
Ein rechter Winkel hat 90°.
• je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und verlaufen parallel, d.h. in
gleichem Abstand zueinander.
Formel für die Berechnung des Umfangs:
U = a + b + a + b = 2 • a + 2 • b = 2 • (a + b)
Formel für die Berechnung des Flächeninhalts:
A = a • b
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Übung 1
Berechnen Sie bitte in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte!
a 39 mm 16,5 cm 56 dm 5 cm
b 110 mm 24,2 cm 15 m 7,5 m
U dm 220 cm
A m² 300 m²
Lösung:
a 39 mm 16,5 cm 56 dm 40 m 5 cm
b 110 mm 24,2 cm 15 m 7,5 m 105 cm
U 298 mm 81,4 cm 412 dm 95 m 220 cm
A 4 290 mm² 399,3 cm² 84 m² 300 m² 525 cm²
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Quadrat
Beispiel:
a
a
a
a
Kennzeichen des Quadrats:
• vier rechte Innenwinkel
Ein rechter Winkel hat 90°.
• alle vier Seiten sind gleich lang und verlaufen parallel.
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Formel für die Berechnung des Umfangs:
U = a + a + a + a = 4 • a
Formel für die Berechnung des Flächeninhalts:
A = a • a = a²
Wenn Sie aus einem gegebenen Flächeninhalt eines Quadrates die Seitenlänge
ermitteln möchten, müssen Sie die Wurzel dieses Wertes bilden. Das heißt: Sie
suchen die Zahl, die mit sich selbst multipliziert genau den vorgegebenen Wert
ergibt. Das mathematische Zeichen für die Wurzel ist √. Also:
a = √A
Übung 1
Berechnen Sie bitte in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte!
a 3,6 mm 6,5 cm 15 dm
U dm 448 cm
A m² dm² 900 m²
Lösung:
a 3,6 mm 6,5 cm 15 dm 112 cm 30 m
U 14,4 mm 26 cm 60 dm 448 cm 120 m
A 12,96 mm² 42,25 cm² 2,25 m² 125,44 dm² 900 m²
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Textaufgaben zu Rechtecken und Quadraten
1. Drei Fensterrahmen im Format 1,50 m • 95 cm sollen ringsherum abgedichtet
werden.
Wie viel m Dichtungsband wird benötigt?
2. Sie möchten an eine quadratische Tischdecke mit einer Seitenlänge von 80 cm
eine Bordüre nähen.
Wie viel dm Bordüre müssen Sie kaufen?
3. Ein Arbeitsraum ist 25,2 m lang und 12,4 m breit.
Wie groß muss die Fensterfläche sein, wenn sie mindestens 1/8 der
Bodenfläche betragen soll?
4. Zwei Türen sollen gestrichen werden, und zwar von beiden Seiten jeweils
zweimal. Eine Tür ist 80 cm breit und 1,95 m hoch, die andere ist 75 cm breit
und 1,90 m hoch.
Reicht ein Topf Farbe, der laut Beschreibung für eine Fläche von 10 m²
angegeben ist?
5. Auf dem Flugplatz der Stadt Freifurt sollen zwei neue Landebahnen angelegt
werden. Sie sollen jeweils 3,86 km lang und 36 m breit werden.
Berechnen Sie die voraussichtlichen Baukosten, wenn für 1 m² 213,50 €
veranschlagt werden!
6. Zwei Landwirte tauschen gleichwertiges Weideland. Bauer Knolle hat ein Stück,
das 88 m breit und 127,5 m lang ist. Bauer Wiesenstolz bietet ihm dafür einen 55
m breiten Streifen seines Landes.
Wie lang muss das Stück sein, damit es die gleiche Größe wie das Grundstück
von Herrn Knolle hat?
Wie lang sind die Zäune um jede Wiese?
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7. Die fensterlose Seitenfront eines mehrstöckigen Flachdach-Bürohauses soll für
Werbezwecke vermietet werden. Das Haus ist 46 m lang und steht auf einer
3,50 m hohen Säulenhalle. Die Höhe vom Erdboden bis zur Dachkante beträgt
28 m. Rings um die Werbefläche soll ein Rand von 2 m übrig bleiben.
Wie groß ist die Fläche, die somit zur Verfügung steht?
8. Wie breit (in mm) ist ein DIN A5 Bogen mit einer Länge von 21 cm, wenn er eine
Fläche von 31 080 mm² hat?
9. Die Baustelle eines Einfamilienhauses ist mit einem rot-weißen Band von
insgesamt 80 m Länge gesichert. Die längere Seite der Baustelle ist 23 m lang.
Wie lang ist die kürzere Seite der Baustelle?
10. Der neue quadratische Parkplatz vor dem Theater in Meindrama hat eine Fläche
von 1.989,16 m².
a) Wie lang bzw. breit ist der Parkplatz?
b) Für wie viele Autos ist somit Parkraum geschaffen worden, wenn man für ein
Auto einschließlich Zufahrt einen Platzbedarf von 15 m² kalkuliert hat?
11. Aus einer 105 cm breiten Papierrolle werden 196 Papierstücke im Format 18 cm
• 24 cm herausgeschnitten. Der Abfall beträgt 0,9828 m².
Wie viele laufende m Papier befanden sich ursprünglich auf der Rolle?
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Lösungen:
1. 14,7 m
2. 32 dm
3. 39,06 m²
4. nein (Größe der zu streichenden Fläche: 11,94 m²
5. 59 335 920 €
6. a) 204 m – b) Wiese K.: 431 m, Wiese W.: 518 m)
7. 861 m²
8. 148 mm
9. 17 m
10. a) 44,6 m - b) 132,6 ≈ 132 Autos (Es muss abgerundet werden, da der 133. Parkplatz kleiner als 15 m²
ist. Er könnte für Fahrräder oder Motorräder reserviert werden.)
11. 9 m
Parallelogramm
Beispiel:
b
a
Kennzeichen des Parallelogramms:
• jeweils 2 gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und verlaufen parallel
• jeweils 2 gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
Formel für die Berechnung des Umfangs:
U = a + b + a + b = 2 • a + 2 • b
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Formel für die Berechnung des Flächeninhalts:
A = a • h a
h a
b
Erläuterungen zur Formel:
a
Das Parallelogramm ist ein verschobenes Rechteck. Wenn man dieses wieder in die
„gerade“ Position bringt, ist die kürzere Seite des neuen Rechtecks identisch mit der
Höhenlinie zur Seite a im Parallelogramm (siehe Zeichnung).
Eine Höhenlinie verläuft übrigens immer im rechten Winkel (90°) zu einer
vorhandenen Linie. Man sagt auch: Sie verläuft senkrecht zu einer vorhandenen
Linie. Da es – zumindest theoretisch - zu jeder Seite eines Vierecks eine Höhenlinie
gibt, deutet man mit einem tiefgestellten Buchstaben an, zu welcher Seite diese
Höhenlinie gehört. Man sagt: h a = Höhenlinie h zur Seite a.
Wie Sie aus der Zeichnung entnehmen können, sind die beiden kleinen Dreiecke
flächengleich. Das heißt: Das Dreieck, das sich auf der rechten Seite außerhalb des
roten Rechtecks befindet, ist genauso groß wie das Dreieck innerhalb des Rechtecks
auf der linken Seite. Anders ausgedrückt: Sie können das eine Dreieck sozusagen
an der einen Seite abschneiden und an der anderen Seite wieder einfügen. Somit ist
das Parallelogramm flächengleich mit dem Rechteck mit den Seiten a und h a.
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Übung 1
Berechnen Sie bitte in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte!
a 56 mm 26 cm 65 dm 3,40 m
b 25 mm 24,2 cm 8,90 m 19,5 cm
h a 18 mm 115 mm 37,5 dm 8,3 cm
U 220 dm
A cm² 24,14 m² 134,46 cm²
Lösung:
a 56 mm 26 cm 65 dm 3,40 m 16,2 cm
b 25 mm 24,2 cm 45 dm 8,90 m 19,5 cm
h a 18 mm 115 mm 37,5 dm 7,10 m 8,3 cm
U 162 mm 100,4 cm 220 dm 24,60 m 71,4 cm
A 1 008 mm² 299 cm² 2 437,5 dm² 24,14 m² 134,46 cm²
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Textaufgaben
Übung 2
1. Für eine Werbefläche werden 5 gleichseitige Parallelogramme aus Sperrholz zu
einer Rosette zusammengefügt. Die Seitenlänge jedes Parallelogramms beträgt
5 m, die Höhe 4,70 m.
Wie viel m² Sperrholz wird insgesamt benötigt, wenn 3 solcher Rosetten
angefertigt werden sollen?
2. Zwei gegenüber liegende Seiten eines Baugrundstückes, das die Form eines
Parallelogramms hat, sind jeweils 26,4 m lang, der Abstand zwischen ihnen
beträgt 16,6 m, die beiden anderen Seiten sind jeweils 18,2 m lang. Die
Anschaffungskosten belaufen sich auf 109 € pro m².
Wie teuer ist das Grundstück?
3. Das Büro eines Geschäftsmannes soll mit Parkett ausgelegt werden. Die
Parketthölzer haben das Format von Parallelogrammen mit der Seite a = 20 cm
und der Höhe h = 5 cm. Das Büro ist 6 m lang und 6,80 m breit.
Wie viele Parketthölzer werden benötigt, wenn der Verschnitt unberücksichtigt
bleibt?
4. Die sparsame Cäcilie bastelt sich aus Pappe ein Tangram-Spiel. Für die
Herstellung einer parallelogrammförmigen Figur hat sie 85 cm² Tonpapier
benötigt. Die kürzere Seite b ist mit 5 cm dabei halb so lang wie die
Flächenhöhe.
Sie möchte nun wissen, wie groß der Umfang der Figur ist. Können Sie ihr
helfen?
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Lösungen:
1. 352,5 m²
2. 47.768,16 €
3. 4.080 Hölzer
4. 27 cm
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Trapez
Beispiele:
beliebiges Trapez
gleichschenkliges Trapez
c
c
d
b
d
b
a
a
Kennzeichen des Trapezes:
• 2 gegenüberliegende Seiten verlaufen parallel.
• Bei einem gleichschenkligen Trapez sind zusätzlich die Seiten b und d gleich
lang.
Formel für die Berechnung des Umfangs:
U = a + b + c + d
Umfang des gleichschenkligen Trapezes: U = a + 2 • b + c
Formel für die Berechnung des Flächeninhalts:
A = m • h a
m = a + c
2
c
h a
m
b
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Erläuterungen zur Formel:
a
Auch das Trapez lässt sich in ein Rechteck zurückführen (siehe Zeichnung). Die
längere Seite dieses Rechtecks ist die Mittellinie m. Ihre Länge ergibt sich aus der
mittleren Länge der Seiten a und c. Um diese zu ermitteln, addieren Sie die Längen
dieser beiden Seiten und teilen sie anschließend durch 2. Sie bilden sozusagen die
durchschnittliche Länge von a und c. Die kürzere Seite des Rechtecks entspricht im
Trapez der Höhenlinie zur Seite a.
Wie Sie aus der Zeichnung entnehmen können, sind auch hier wieder die außerhalb
des Rechtecks befindlichen kleinen Dreiecke genauso groß wie die jeweils innerhalb
des Rechtecks. Also ist das Trapez flächengleich zu dem Rechteck mit den Seiten m
und h a.
Übung 1
Berechnen Sie bitte in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte!
Zusatzinfo:
Es handelt sich jeweils um gleichschenklige Trapeze!
a 56 mm 16 cm 65 dm 3,40 m
b 25 mm 10,3 cm 8,90 m 20,1 cm
c 38 mm 115 mm 37,4 dm 5,6 cm
m cm 8,3 cm
h a 17 mm 85 mm 40 dm 7,25 m
U cm 220 dm 25,60 m
A cm² 134,46 cm²
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Lösung:
a 56 mm 16 cm 65 dm 3,40 m 11 cm
b 25 mm 10,3 cm 58,8 dm 8,90 m 20,1 cm
c 38 mm 115 mm 37,4 dm 4,40 m 5,6 cm
m 47 mm 13,75 cm 51,2 dm 3,90 m 8,3 cm
h a 17 mm 85 mm 40 dm 7,25 m 16,2 cm
U 144 mm 48,1 cm 220 dm 25,60 m 56,8 cm
A 799 mm² 116,875 cm² 2 048 dm² 28,275 m² 134,46 cm²
Übung 2
Textaufgaben
1. In einem Wassergraben wird das Wasser durch eine trapezförmige Eisenplatte
mit einer Höhe von 1,75 m gestaut. Die obere Kante ist 3,90 m lang, die untere
1,10 m.
Welchen Flächeninhalt hat die Eisenplatte? (Runden Sie das Ergebnis bitte nicht!)
2. Der Innenhof eines Verwaltungsgebäudes hat ein trapezförmiges Aussehen. Die
Mittellinie ist 25 m lang und die Höhenlinie 12 m. Der Hof soll mit 400 cm²
großen Platten ausgelegt werden.
Wie viele Platten werden benötigt? (Der Verschnitt bleibt dabei unberücksichtigt!)
3. Ein Grundstück hat die Form eines symmetrischen Trapezes mit folgenden
Abmessungen:
a = 58,2 m b = 29 m c = 42,8 m h a = 27 m
Je m² Fläche sollen 50 g Dünger gestreut werden.
a) Wie viel kg Dünger benötigt Gärtner Rosendorn insgesamt (1 kg = 1.000 g)?
b) Das Grundstück soll umzäunt werden. Wie viel laufende m Maschendraht
benötigt Herr Rosendorn dafür?
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
4. Die Vermessung eines trapezförmigen Grundstückes hat folgendes Ergebnis
ergeben:
c = 24 m h a = 27,15 m A = 7,602 a
Wie lang ist die Seite a?
5. Ein trapezförmiger Schifffahrtskanal hat eine Sohlenbreite von 22 m, einen
Abstand von Ufer zu Ufer (Wasserbreite) von 51 m und einen Querschnitt der
Wasserfläche von 412,45 m².
a) Wie tief ist der Kanal?
b) Aufgrund eines extremen Niedrigwassers sank der Wasserpegel vor einiger
Zeit kurzfristig auf die Hälfte.
Wie groß waren da die folgenden Werte: Wasserhöhe h a , Sohlenbreite a,
Wasserbreite c sowie der Querschnitt der Wasserfläche A?
Lösungen:
1. 4,375 m²
2. 7.500 Platten
3. a) 68,175 kg – b) 159 m
4. 32 m
5. a) 11, 3 m – b) h a = 5,65 m; a = 22 m; c = 36,5 m; A = 165,2625 ≈ 165,26 m²)
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Dreiecke
Als Dreiecke bezeichnet man alle Flächen, die von 3 geraden Linien begrenzt
werden. Die Eckpunkte werden – wie auch bei den Vierecken – gegen den
Uhrzeigersinn mit den Buchstaben A, B, und C bezeichnet, beginnend unten links.
Die Seiten werden allerdings im Unterschied zu den Vierecken nach den
gegenüberliegenden Eckpunkten bezeichnet. So heißt die untere Seite c. Die dem
Punkt A gegenüberliegende Seite heißt a, die dem Punkt B gegenüberliegende
entsprechend b.
Die Seiten a und b werden – wie die Seiten eines Winkels - auch Schenkel genannt.
Beispiel:
C
b
a
B
A
c
Jedes Dreieck hat drei Innenwinkel. Dem Eckpunkt A ist wie auch bei den Vierecken
der Winkel α zugeordnet, zu B gehört β, zu C γ.
Da ein Dreieck stets ein halbes Viereck ist, beträgt die Summe aller Innenwinkel in
einem Dreieck stets 180°. Es gilt also die Gleichung: α + β + γ = 180°.
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Arten von Dreiecken:
Man kann Dreiecke nach der Art ihrer Winkel einteilen. Es gibt:
• spitzwinklige Dreiecke Alle Winkel sind kleiner als 90°.
• rechtwinklige Dreiecke Ein Winkel (in der Regel γ) ist genau 90°.
• stumpfwinklige Dreiecke Ein Winkel ist größer als 90°.
Es gibt spezielle Dreiecke, die darüber hinaus noch über weitere Eigenschaften
verfügen:
• gleichseitige Dreiecke Alle Seiten sind gleich lang. Dadurch sind auch die
Winkel gleich groß, also α = β = γ = 60°.
• gleichschenklige Dreiecke Zwei Seiten (in der Regel a und b), auch Schenkel
genannt, sind gleich lang. Also sind auch zwei
Winkel (in der Regel α und β) gleich groß.
Auch Kombinationen sind möglich. So hat ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck
einen rechten Winkel und 2 gleich lange Seiten.
Formel für die Berechnung des Umfangs beliebiger Dreiecke:
U = a + b + c
Formel für die Berechnung des Flächeninhalts beliebiger Dreiecke:
A = a • h a = b • h b = c • h c
2 2 2
h c
c
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Erläuterungen zur Formel:
Wie eingangs erwähnt ist jedes Dreieck ein halbes Viereck, wobei Sie es sich
wahlweise als halbes Rechteck oder Parallelogramm vorstellen können (nachfolgend
wird es aus Gründen der Einfachheit als halbes Rechteck interpretiert). Also ist auch
der Flächeninhalt halb so groß wie der des dazugehörigen Rechtecks. Das Rechteck
entsteht dadurch, dass Sie zu einer beliebigen Dreiecksseite die entsprechende
Höhenlinie h einzeichnen und das Rechteck vervollständigen (hier: h und h c ). Wie aus
der Zeichnung ersichtlich wird, ist dieses – rote - Rechteck nun doppelt so groß wie
das ursprüngliche Dreieck. Also teilen Sie die entstandene Fläche noch durch 2 und
erhalten somit die Formel für die Flächenberechnung beliebiger Dreiecke.
Bei der Berechnung bestimmter Dreiecke lassen sich die obigen Formeln zum Teil
etwas vereinfachen. Die vereinfachten Formeln sind in der nun folgenden Tabelle
dargestellt. Es ist jedoch nicht ratsam, sich diese noch zusätzlich einzuprägen. Mit
etwas Überlegung können Sie sie sich jederzeit selbst herleiten.
Dreieckstyp Umfang Flächeninhalt
gleichseitiges Dreieck U = 3 • a
gleichschenkliges Dreieck
rechtwinkliges Dreieck
gleichschenkligrechtwinkliges
Dreieck
U = 2 • a + c
U = 2 • a + c
A = a • b
2
A = a • a = a²
2 2
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Übung 1
Berechnen Sie bitte in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte!
Runden Sie die Ergebnisse dabei nicht!
allgemein
gleichseitig gleichschenklig
(a = b)
rechtwinklig
(γ = 90°)
a 70 mm cm 4,5 m
b 60 mm cm 2,9 m
c 80 mm 80 cm
gleichschenklig
-rechtwinklig
h h c = 52 mm h = 4,55 dm h c = 44,7 cm h b = h a =
U 15,75 dm 2 m 12,8 m 30,7 cm
A
40,5 cm²
Lösung:
allgemein
gleichseitig gleichschenklig
(a = b)
rechtwinklig
(γ = 90°)
gleichschenklig
-rechtwinklig
a 70 mm 5,25 dm 60 cm 4,5 m 9 cm
b 60 mm 5,25 dm 60 cm 2,9 m 9 cm
c 80 mm 5,25 dm 80 cm 5,4 m 12,7 cm
h h c = 52 mm 4,55 dm h c = 44,7 cm h b = 4,5 m h a = 9 cm
U 210 mm 15,75 dm 2 m 12,8 m 30,7 cm
A 2.080 mm² 11,94375 dm² 1.788 dm³ 6,525 m² 40,5 cm²
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Übung 2
Textaufgaben
1. Ein dreieckiges Blumenbeet hat folgende Maße:
a = 3,75 m h a = 2,24 m
Welchen Flächeninhalt hat das Beet?
2. Wie viel m² Gesamtflächeninhalt haben 25.000 dreieckige Klebezettel mit
folgenden Maßen: c = 124 mm, h c = 16 cm?
3. Für die Herstellung von Mörtelkellen braucht man gleichseitige Dreiecke aus
Metall.
a) Wie lang ist eine Seite, wenn eine Mörtelkelle einen Umfang von 39 cm hat?
b) Wie groß ist ein Metall-Dreieck, wenn die Höhe 12 cm beträgt?
4. Ein dreieckiges Grundstück hat eine Fläche von 8,26 a. Die eine Seite des
Grundstücks misst 94,4 m.
Wie groß (in m) ist die dazugehörige Höhe?
5. Wie lang (in mm) ist die Seite c eines Dreiecks, wenn die Höhe 48 mm und der
Flächeninhalt 1.080 mm² betragen?
6. Ein dreieckiges Grundstück hat folgende Maße: a = 48 m, h a = 38,5 m. Es soll
gegen ein rechteckiges Grundstück mit einer Länge von 27 m getauscht werden.
Wie breit muss dieses Grundstück sein, damit die Flächeninhalte gleich sind?
(Runden Sie das Ergebnis bitte auf einen halben Meter auf!)
7. In einem Dreieck ist die Höhe h c halb so lang wie dazugehörige Seite c.
Wie lang sind c und h c, wenn das Dreieck insgesamt einen Flächeninhalt von 36
cm² aufweist?
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Lösungen:
1. 4,20 m²
2. 248 m²
3. a) 13 cm – b) 78 cm²
4. 17,5 m
5. 45 mm
6. 34,222 ≈ 34,50 m
7. c = 12 cm - h c = 6 cm
Kreis
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem bestimmten Punkt M (Mittelpunkt)
den gleichen Abstand r (Radius) haben.
Der Radius wird auch als Halbmesser bezeichnet.
Der doppelte Radius ist der Durchmesser d. Er gibt den Abstand von einem Punkt
der Kreislinie durch den Mittelpunkt M zum gegenüberliegenden Punkt der Kreislinie
an. Als Formel geschrieben heißt das:
d = 2 • r
r = d
2
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Beispiel:
M
r
Um den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnen zu können, benötigt
man eine Konstante, die so genannte Kreiszahl π (gesprochen: Pi; Buchstabe P im
griechischen Alphabet). π ist ein unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch und
hat den Zahlenwert 3,1415926535897932..... Dieser Wert entspricht dem
Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 1 (z.B. cm², dm², m²) bzw. dem Umfang
eines Kreises mit dem Radius 0,5 (z.B. cm, dm, m).
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Formel für die Berechnung des Umfangs:
U = 2 • r • π = d • π
Formel für die Berechnung des Flächeninhalts:
A = r • r • π = r² • π oder A = d² • π
4
Wenn Sie zwei unterschiedlich große Kreisflächen so aufeinander legen, dass die
Mittelpunkte identisch sind, ist von der größeren Kreisfläche nur noch ein Ring zu
erkennen. Dieser lässt sich mithilfe folgender Formel sehr leicht berechnen.
Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisringes:
A = π • r 1 ² - π • r 2 ² = π • (r 1 ² - r 2 ²)
Dabei ist r 1 der Radius des größeren Kreises und r 2 der Radius des kleineren
Kreises.
Erläuterungen zu den Formeln:
Die beiden Formeln wurden schon lange vor Christi Geburt von dem griechischen
Mathematiker Archimedes (287-212 v. Chr.) „entwickelt“. Der versuchte nämlich,
einen Zusammenhang einerseits zwischen dem Radius/Durchmesser und dem
Umfang und andererseits zwischen dem Radius und dem Flächeninhalt eines
Kreises herzuleiten. Bei seinen vielfältigen Messungen und Berechnungen näherte er
sich schon sehr gut dem heute mit dem Computer auf unzählig viele Stellen nach
dem Komma errechneten Wert für π.
Zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreisringes berechnet man die
Flächeninhalte der beiden Kreise und bildet die Differenz von ihnen. Die zweite
Formel stellt eine Vereinfachung der ersten dar. Bei ihr wurde π ausgeklammert.
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Übung 1
Berechnen Sie bitte in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte!
Rechnen Sie bitte mit π = 3,14 und runden Sie die Ergebnisse mit Ausnahme der
Aufgaben mit m grundsätzlich auf eine Stelle nach dem Komma!
r 17 mm 75 cm
d 78,6 cm
U
80,954 dm
A cm² 38,465 m²
Lösung:
r 17 mm 39,3 cm 75 cm 12,9 dm 3,5 m
d 34 mm 78,6 cm 150 cm 25,78 7 m
≈ 25,8 dm
U 106,76 246,80
4,71m 81,954 dm 21,98 m
≈ 106,8 mm ≈ 246,8 cm
A 907,46
≈ 907,5 mm²
4.849,69
≈ 4.849,7 cm³
17.662,5 cm³ 522,52
≈ 522,5 dm²
38,465 m²
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Übung 2
Textaufgaben
Bitte setzen Sie der Einfachheit halber für π 3,14 ein!
1. Ein kreisförmiges Blumenbeet hat einen Umfang von 12,70 m.
Berechnen Sie den Durchmesser und die Fläche!
2. Wie viel kg Saatgut wird für eine kreisförmige Rasenfläche mit einem Radius von
18,7 m benötigt, wenn für 1 m² 40 g gerechnet werden? (1 kg = 1.000 g) (Runden
Sie das Ergebnis bitte auf volle kg!)
3. Ein Rad hat einen Durchmesser von 45 cm.
Welche Strecke (in km) wird bei einer Umdrehungszahl von 3.400 Umdrehungen
pro Minute (U/min) in einer Stunde zurückgelegt?
4. Ein 2,75 m breiter Torbogen in Form eines Halbkreises soll anlässlich eines
Festes mit einer Girlande geschmückt werden.
Wie viel m Girlande sind erforderlich?
5. Hobbygärtner Tannenduft möchte in seinem Garten ein kreisförmiges Rosenbeet
mit einem Durchmesser von 1,50 m anlegen. Um dieses Rosenbeet soll noch ein
30 cm breiter Kiesstreifen verlaufen.
a) Welchen Flächeninhalt hat das Rosenbeet?
b) Welchen Flächeninhalt hat die Kiesfläche? (1,69 m²)
6. Die Druckerei Druckfix soll für einen Kunden ein Plakat in einer Auflage von
8.000 Exemplaren drucken. Das Plakat soll eine Größe von 70 cm x 100 cm
haben. Darauf soll ein roter Kreis mit einem Durchmesser von 30 cm gedruckt
werden. Zu berücksichtigen ist noch, dass jedes Plakat einen unbedruckten
Rand von jeweils 5 cm an jeder Seite aufweist.
Wie viel m² werden insgesamt rot bedruckt und wie viel m² werden insgesamt
anderweitig bedruckt bzw. beschriftet?
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
7. Der Umfang des Äquators beträgt ungefähr 40.000 km.
a) Wie groß ist der Erddurchmesser?
b) Stellen Sie sich bitte vor, dass um den Erdäquator ein Seil straff gespannt
ist. Es hat dann natürlich die Länge von 40.000 km. Wenn man nun das Seil
um einen Meter verlängert, so liegt es nicht mehr eng an der Erde an.
Wie groß (in cm) ist dann der auf den gesamten Äquator gleichmäßig
verteilte Abstand des Seiles?
8. Der Flächeninhalt einer kreisförmigen Metaplankarte mit einem Smiley beträgt
28,26 cm².
Welchen Umfang hat die Karte? (Runden Sie das Ergebnis bitte nicht!)
9. Für eine kreisrunde Schmuckdose mit einem Innenradius von 7 cm wird ein
Deckel gesucht. Die Dosenwand ist knapp 2 mm dick. Es stehen zwei Deckel zur
Auswahl. Der erste hat einen Flächeninhalt von 40,6944 cm², der zweite hat
einen Umfang von 45,216 cm.
Überprüfen Sie, ob einer der beiden Deckel passt!
10. Ein runder Aussichtsturm hat einen Umfang von 17,27 m. Um diesen Turm führt
oben eine 1,50 m breite begehbare Aussichtsplattform.
a) Am äußeren Rand der Plattform ist ein Gitter angebracht. Berechnen Sie
seine Länge!
b) Wie viele Besucher dürfen sich auf der Plattform aufhalten, wenn sie pro 0,5
m² mit nur einer Person belastet werden darf? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf volle
Personen auf!)
11. Die 2-Euro-Münze mit d = 26 mm besitzt in der Mitte einen runden Einsatz aus
einem goldfarbenen Metall mit d = 18 mm.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des silberfarbenen Metalls um die goldfarbene
Fläche!
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Lösungen:
Bei allen Aufgaben wurde mit π = 3,14 gerechnet.
1. d = 4,044 ≈ 4,04 m - A = 12,812 ≈ 12,81 m²
2. 43,9 ≈ 44 kg
3. 288,252 km
4. 4,3175 ≈ 4,32 m
5. a) 1,76625 ≈ 1,77 m² - b) 1,6956 ≈ 1,70 m²
6. rot = 565,2 m² - Rest = 3.754,8 m²
7. 12.738,8535 km ≈ 12.738,854 km - b) 15,9 cm ≈ 16 cm
8. 18,84 cm
9. Deckel 2 passt, da r = 7,2 cm, - Deckel 1 ist zu klein, da r = 3,6 cm
10. 26,69 m – b) 65,9 ≈ 66 Personen
11. 276,32 mm²
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
Vermischte Textaufgaben zur Flächenberechnung
1. Bei einem Elektroherd sind die einzelnen Kochplatten von Metallringen
umgeben.
a) Wie groß ist der Umfang einer kleinen Kochplatte mit einem Radius von 8
cm?
b) Wie groß ist der Umfang einer großen Kochplatte mit einem Durchmesser
von 20 cm?
c) Wie viele laufende Meter Metall benötigt der Hersteller für einen
Vierplattenherd mit zwei großen und zwei kleinen Kochplatten?
d) Wie groß (in cm²) ist die Restfläche der Kochmulde eines Vierplattenherdes,
wenn sie 58 cm breit und 52 cm tief ist? (Die Dicke des Metallringes bleibt dabei
unberücksichtigt)
2. Das Tapeziererteam Streich & Klecks hat eine rechteckige Wand mit 8
Tapetenbahnen von je 54 cm Breite und 2,52 m Länge vollflächig tapeziert.
a) Wie lang ist die Teppichleiste für diese Wand?
b) Wie groß in m² ist die Wand?
c) Wie viele Tapetenbahnen müssen Streich & Klecks noch kleben, wenn die
gegenüberliegende Wand genauso groß ist und die Fläche von jeder der
beiden anderen Wände 1,5 mal so groß ist abzüglich insgesamt 5 Bahnen
für Tür und Fenster?
3. Der Minutenzeiger einer Kirchturmuhr ist – gemessen vom Drehpunkt – 50 cm
lang.
a) Welchen Weg (in cm) legt seine Spitze in einer Minute zurück?
b) Welchen Weg (in m) legt seine Spitze an einem Tag zurück?
4. Die Bavaria-Buche im Altmühltal hat einen Umfang von ca. 8 m.
Wie groß ist ihr Durchmesser?
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
5. Die Fensteröffnungen im Rathaus zu Hallingsbüttel haben ein quadratisches
Format mit einer Seitenlänge von a = 1,82 m. Sie sollen aus Gründen der
Energieeinsparung mit einem Filzstreifen abgedichtet werden.
Wie viel m Filzstreifen werden benötigt, wenn 38 Fenster vorhanden sind?
6. Ein Auftrag umfasst 8 Bilder. Davon haben je zwei die Maße 18,5 cm x 14 cm,
12,6 cm x 19,5 cm und 10,8 cm x 12,6 cm, ein weiteres ist 32 cm x 32 cm groß
und das kleinste 7,5 cm x 8 cm.
Welche Gesamtfläche ergeben diese Bilder?
7. Ein Grundstück hat die Form eines Parallelogramms mit folgenden Maßen:
a = 58,2 m b = 50 m h a = 42,8 m
Auf das Grundstück sollen junge Tannen gepflanzt werden, wobei man mit
einem Platzbedarf von 2 m² pro Tanne rechnet.
a) Wie groß ist das Grundstück?
b) Wie viele Tannen können gepflanzt werden?
c) Wie groß ist der Umfang des Grundstückes?
8. Ein hölzernes Heringsfass hat einen Innendurchmesser von 95 cm und eine
Wandstärke von 30 mm. Rings um das Fass sind drei Blechbänder gelegt, die
sich jeweils um 150 mm überlappen.
a) Wie viel Stellfläche (in cm²) beansprucht die Tonne? (Runden Sie das Ergebnis bitte auf
volle cm²!)
b) Wie viele m Blechband werden für die drei Ringe benötigt?
9. Ein Papierbogen im Format DIN A3 hat ein Format von 297 mm x 420 mm.
Berechnen Sie die Fläche in cm²!
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Pisafit Mathematik – Flächenberechnung
10. Ein Staatsforst ist mit jungen Kiefern bepflanzt worden. Er hat eine rechteckige
Form von 856 m Länge und 347 m Breite. Zum Schutz gegen Nagen und
Verbiss wird die Schonung mit einem 1 m hohen Maschendraht umgeben.
Wie viel € muss die Forstverwaltung ausgeben, wenn der Draht pro laufenden
Meter 0,65 € kostet?
11. Ein Stück Stoff, das 1 m² groß ist, wird in 5 gleiche Rechtecke zerschnitten.
Wie lang (in cm) ist jedes Rechteck, wenn es 32 cm breit ist?
12. Eine Tiefbaufirma muss für eine neue Bahntrasse einen 4,80 m hohen
Bahndamm aufschütten. Der Damm ist unten 21,5 m breit und oben 12,3 m.
Wie groß ist der Flächeninhalt des Damm-Querschnittes!
13. Herr Bauschulte möchte das 13,79 m² große gleichschenklige Giebeldreieck
seines 9,85 m breiten Hauses mit Holzbrettern verschalen.
a) Wie lang muss er das längste Brett mindestens schneiden?
b) Wie lang ist eine Dachseite, wenn für das Umrahmen des Giebeldreiecks
zusätzlich 21,19 m Holzbretter benötigt werden?
14. Welchen Durchmesser hat eine Walze, deren Umfang 65 cm beträgt?
Lösungen:
1. a) 50,24 ≈ 50,2 cm - b) 62,8 cm - c) 2,26 m - d) 1.986,08 cm²
2. a) 4,32 m - b) 10,8864 m² ≈ 10,89 m² - c) 27 Bahnen
3. a) 5,23 ≈ 5,2 cm - a) 75,36 m
4. d = 2,547 ≈ 2,55 m
5. 276,64 m
6. 2.365,56 cm²
7. a) 2.490,96 m² - b) 1.245,4 ≈ 1.245 Tannen - b) 216,40 m
8. a) 8.007,785 ≈ 8.009 cm² - b) 9,9642 ≈ 9,96 m
9. 1 247,4 cm²
10. 1 563,90 €
11. 62,5 cm
12. 81,12 m²
13. a) 2,80 m - b) 5,67 m
14. 20,70 ≈ 20,7 cm
Seite 36