Bericht_Nr.085_W ... - TUHH

85 | September 1961
SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU
W. Blendermann
Platte und Wirbelpaar als
mathematisches Bild der quer
angeströmten unendlich langen,
ebenen Platte

Platte und Wirbelpaar als mathematisches Bild der quer angeströmten unendlich langen,
ebenen Platte
W. Blendermann, Hamburg, Technische Universität Hamburg-Harburg, 1961
© Technische Universität Hamburg-Harburg
Schriftenreihe Schiffbau
Schwarzenbergstraße 95c
D-21073 Hamburg
http://www.tuhh.de/vss

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Plaffe. ~
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!~~~..!1 c1!J..rb e!.E~!.!:- a! s ma

"
- 2
1. Die Fliissigkeitsbewegung um eine ebene Platte, ihre mathe- S"
14atiscb.e ErfassunglO 4
1010 ,F1,üsslgl(eitsbewegtmg'um. die ebene Platte 4
1020 lledingungen und AnnaI1t'lentiir die mathema tIsche Behandlung
4
1.3. Diskussion der Abbildungsfunktion 5
2. Ansatz tür die ße:r;eclmungeIer ehenen Strömung nm die Platte. 6
2.1. Kantenhedtn~ung 6
202. Das komplexe Potential der Strö11IUng UI'

,l " -
3
-
6. Versuch,~aus"ertung
6.1. Versucnsbeschreibung
6.2.. Theoretischer Wi(ierstandsbciwertallS Iler expe:rinenteIlen,
Wirbellage; experimenteller Widerstandsbeiwert;
,
st,.~ionärer Druc~~vidcrst.m.ld,
"
-
31
603.. Unter~ut;'.llu~g e1nz.elner' 'Verstl,cllsr-eil1en 33
6.4. Vergl~ich der Stromlinienbilder a11sVersucb und Rechnung
34
605.. Unzulänglicl:J,keit tlerTheorie 35
7. Zusammenfassung 35
3i
31
8. Literatur 37
"
..

.-
10 Die Flüssi.keitabe\Ve un Uin eine ebene Platte" ihre mathe-
~atische
Erfassung.
1010 Flüssigkeitsbewegung um die ebene Platte
Bei der Umströmpng einer quer zu ihrer Breite bowegten Platte
Hiat sich mit Be\Vegungsb~ginn an jeder Kante ein Wirbel ab,
- .
der bei wachsender Wirbelstärke von der Platte-litit einer GeschWin....
digkeit abrückt, tUe 1!11Vergleich zu derjenigen der Platte klein
ist" Zu Beginn der Bewegung is~ die Lage des Wirhelpaares sym-"
metrisch. Im weiteren Umlauf tritt jorioch eine völlige Änderung
ein: das Wirb~lpaar gibt seine symmetrische Lage a.uf , es
. .
entstehen abwechselnd an

,.
bleibt.. Diese Bedingung wird dadurch erfülltp daß man die Ablösung
einer Unstetigkeitsfläche von der Kante annimmt~ deren
Uetrag des Gesch\vin.digkeitssprunges ~ie dort von derPotentj.altheorie.
gef,prderte unendlicl1große G'eschwindlgkeit endlich wer"':
den läßto Hier soll allerdings die gesamte Zirkulation dieser
Unstetigke itsflä-che .die einer Wirbelschicht entspricht ~ im
KeJrn eines l~otentialwirbels vereinigt gedacht werden.. Durch
. .
I"ermvirkung des Winkels bleibt die Geschwindigkei t an der Platteukante
'endlic:l"
1030 Piskussionder Abbildungsfun~tio~
-
Um die UmströlI1ungder Platte der Uechnung zugänglich zu machen,.
wird die Platte Ilerartig kon.form abgebilrtetr (laß die A1>hildung
keln,e Kante besitzt (Abb.1) ~
Diese Bedingung wird d,urcl1die analytische f'u'nktion
1
l.;
== z - - z (i)
erfüllt~ deren Umkehrung
( 2)
Sie vermittelt die Abbildung der C-ßbene in diez-Ebene, wobei
die strecke von -2f++2i'in der l.;-Ebene, also elie Vlatte,
in den ~rels mit dem Uadius r=l..inder z=Ebeneübergeht . Die
strömungu.m die Platte geht konform in die strömung um den
Kreis übe,T.
Der Uadius des Krei'sesin der z-Ebene ist die Maßeinheit der
KoortIinatender 1;:- und z-Ebene.
Die Diskussion der Abbildl,mgsfunktion,ergiht t daß das Unendliche
der'C-Ebene unverändert .iO tlas~n~ndlicbe der z-Ebene
. ,
übergeht~. Die Geschwindigkeit ilDUnendlichen ist also in beiden
Ebenen gleich"
.
Mit
und
z = x + iy = Reiq>
1:: l; + in
""'--'
i,fJ
- Qe .'

6
-
lauten die Transtormationsgleichungon
t - Q aos -& ::: A cos cp
T} =: Qsin -& ::: K sin Cl>
( 3)
-
A und K sind abkürzende Symbole für .
,,~ R.=
Sie sind durch die Beziehung
i { K :: R'... k
( 4)
miteineand~r
2,,2 .'
K - 1\ ':: 4 ( 5)
verknüpft..Konzentrische Kreise der z-Ebene
gehen in konfokale Ellipsen der t-Ebene über
(6)
D'ie JI':11 bgera4en argz ::

'
,
0.
... 7 ..;..
2020 Das komplexe l)oten tial der Strömung Ud (len !freiszyl inder
bzw. die }>lat te
,
Das lwmplexe Potential, das si.ch zusammensetzt aus der stetigen,
zirkulationsfreien strömung um (lenKörper und der durch
die \I(iukel hervorgerufenen Strömung, lautat, _in denselhen
Koordinaten ausg~drUcktt für ~eide Ebenen gleich.
Das komplexe 'Potential der stotigen~ zirkulationsfreien strömung
ist (lurch uieGleicl1ung
gegeben. ,
1
\f = U (z + -)
, ,
'. z
"
Die Koorrlinat~n de~ beiden Wi~belzeptren seien Roe1'O und Roe-i

4
Darin wurde-
( 12)
gesetzt. Auf dem Krets mit dem Radius r=1 folgt die gespiegelte
Geschwindigkeit der Bez,lehung
oder
'v
-.
)
\- ::
U K -
auch
2 1. ( i
A s ing?s:1_n~o
. ..
- .
) ' 2
. ..
s n

9 -
(14)
Bei der konformen Abbildung bleib~ die Größe der Zirkulation
erhal
ten.;
r :: r
.
Abbi~dung .1r~liches System.
2 2
..
U ~ +4~ti
CI>
1t.
A s ncp ( 15)
30 gU8s1stationär.rZustand
301.. Gescbwindigkei ts- unr! Druckverlauf üher die Platte
Die gespiegelte Geschwindigkeit an einem beliebigen Ort der
~-Ebene ist .egeben durch
...:
v ::: U - iv =
dWges dz
.
.dW~es: -
d dz dC
entlang
der Platte
Da.rin
iBt
.
(
~W~e~ ) ::
dz k
berel ts ermi ttel t "'orden.. Um den z\Ve i ten Differentialquot lenten
zu erhalten. ist GI. (1) nach z zu differenzieren unel da~
von der Kehrwert zu bilden.
( 16)
Für die Platte wird
( 17)

Das Produkt der GIn. (13) .und (11) ergibtVp
(U>p =
[281n'(S1n~i~08~)-2Y
(
8in~+iooscp.
..
>]
1+ itJ!;cp
. 2
Gesucht ist 'Y.
p, der Il8aginärteil der gespiegel ten Geschwindig-
keit.
-1) tg~ ( 18)
Da die Platte Trennlinie. ist, muß u =0 sein. Aus der ßernoullip
sohen Gleichung folgt für den Druokverlauf Ül)~r die Platte
(19)
GeschwiD~igkeit.-und Druckverlauf wurden für eine in den
. . .
Versuchen beobachtete \firbellageberechnet und in Abb.7.und 8
aufgetragen.
3.2. Stationäre'r Druckwiderstand durch Integration des Druck';'"
verlaufes über die Platte.
..
Die Resultierende der auf die Platte auageübten Druckkrafte
ist
P = JApdF
Der Deiwert des Druokwiderstandes wird dann
Die Tiefe der Platte sei '1' . Mit GI. (19 ) erhält man für (len
Beiwert
0p
= if[1-;]dTl = -tf(if>:dll.
da, über Vor- und Rückseite der Platte genommen
.
~----
---------------

~. 11-
sein
mußo
Cp
;:
11;
S
o
')
(u) ;COScpd

( 23)
(6) unter Ve~endung von G10 (5) zu setzen"
3 ,,~~ Stationärer Ilruckwiderstand. nach der Lal~allyschen Forme.l
l;;tJ1HJ
zweite Möglichkeit, den ay.fdie Platte wirkenden statio-
JIT,iiren strömungsdruck zu berechnen, bieten

.
- 13 .-
'-Ebene ist gegebendurcb
- d \
V
dß~ t!
v == u-iv := .
::
d\Vges dz
dz ~
. .
.
.u
d dWge s J GI ( 11 ) 1 dz .
I G1 ( 16 )
.
ar:Hl s~n
naC 1
un(
0
nac.l :l b . 0 ere i t s
dz
. UC:
früher angegeben wordeno Es lautet 'also
v
U
==
( 1 ) (
.
1
1- +21)' '..
z...
e1

.
'.
, ,
14
Es ist also der Grenzwert
zubilt.len~ für den !dan erbält
,
2. 1 ~
2
J.YZ':""< z ~+1) z ...+1
000
(26)
Das ist die Geschwin{iip;keitl' d,ie bei Entfernung aes Wirbels
in z die GescJl\viu(1igkei tdes fest«:n
I'
o
irhel R in tier (,-Ebene
kompensiert.
Setzt !!Ian in GI. (25) z=z =Rei~o unI! herüd\sicht'igt tAl. (26).
o 0
so erhäl t man die in z im quasistati'onHren Zustan(t herrschen-
,
0
'
de gcspiegel te Ge::w.r...indl:J;t:ci t
....
u - u ~U .
.Y.o. _ ~
.
!.s!
j
d 1 1 l' 1
~,
[
1 i + 1 ~"'i . ="
z Z (z +1) Z -- e fj>() 7.

Die Bedingung der ftul1elo.ge tür ,lAS Wlrbelprtar ist durch
V=O o
gegeben.. wovon Real~ und II!taginiirteil gleichzeitig zu Null
werden
müssen.
Aus 610 (21) erhält lOan tür uo=O
Also
Es
wird. für
Ä ::O(lt=I): sinCP=1 (3; .=35,26°
A.-oo(U+""): 8tbcp:: i :. ,.30°
In cartes1sohen J(oordi~at.en der c;.-~bene _lautet die Gleichung
fUr u .0
. 0 .
Damit

16
Ebenfalls v ;o'stellt eine Hyperbel mit' der TI-Achse als Hnupt~
achse dar'~ ~hre große llalb3chse' ist 2,' ihrekJeine:- i'/3e Ihre
Exzentrizität

40 Wider~tand der Platte in instationärer Strömung.
~. ,
4010 Die auf einen bewegten Körper ausgeübte Kraft bei Anwe~
senheit von Wirbeln~
In einem mit
reibungslos-er,
_ unzusammendrückbarer Flüsslg1cei t
erfüllter Raum befinde sich im Endlichen ein beliebig geform~
tel' Körpe'r" At}ßerdea seien in der endliehen Umgebung des Körpers
D Wirbdlfiden vorhanden, die entwerter geschl~ssen sein
oder am Körper enden können" Die Flüssigkeit wird als drehungs~.
fr(~i und bis auf die Wirbelfäden stetig vorausgesetzt. In Unendl
:ichen soll SiC~l die Flüssigkeit in Fonl einer Paralle1strö=
mung
bewegen.
Durch eine im Unendl iehen 1 iegende gescillossene Fläche 1"00 war"
da eine bestimmte, im zeitlichen Bewegungsablml~ unveränderlj.Jf;;he
Flüsaigke itsmenge herausgeschnitten (Abb..2) 6 Die den
Ktirper begrenzende Fliehe sei F. Um auf das betrachtete Flüssig-
]{ei tsgebiet (leu Impulssatz anwenden zu können, l1at Inan die iHr":
belf'{ltlen durch !

'P1
ist d,a.s zirkulatio'nsfreie Potential. l1iU die 111 i t
Pla.ttebei ruhender,Flüssigkeit im
~, . .
UnendlicbE~no
U (t)
bewegte

- 19
kann für 01. (3Q)
,PF~ ::: ':"'Q lt;fWdl1
,
5:+ I.
F,,'
gescbrieben
werde~.\
nie TJlonsfornlat1on h,at' den- Vorteil, daß die Auftretenden Integrale
durch Inte~ration J;1ll Komplexen gelöst werden-können, sofern
ee gelingt» d1) d:u.rch(lie komplexe Variable zu substituieren.
Er5etzt 'man inGl 0 (33) ,l;',undT} durch
ne x und y, so. erhält man die auf die
den Kreiszylinder ausgeUbt~ Kraft
die Koordinaten der z-Ebe-
Abbi~d mg tier Platte, also
w01>il1 D die x-Komponente des Impulses ist f mit den beiden An-
I;'"
te,'!lün
(35)
:::
Q!tP1dY
F
B FX2 = QftJ2 dy.
F'+I:FI,'
(36)
li;tj f

(37)
zur Ermittlung der durch das Wirbel paar hervorge~nlfenen newe~
gungsgröße wird die Lösung des Integrales
Jln(Z'-:Zo)dZ
K . .
benötigto Es wird Null, wenn Zo außerhalb des Kreises liegt~ und
ergibt einen Wert, wenn der Kreis den Punkt Zo ertthält~
f
k
In(z~zo)dz .. 0
(2:0 außerhalb K)
(38)
.f In( z-zo) (tz -
/(
.
i
. (r-Ro) e CP021~i
(zo inherhalb K) ( 4:0)
Die dur.ch das Wirbelpaar hervorgerufene BelVegungsgx'ößeist zu
ermitteln nach 01. (36)
r
== Qj~2dY
F+!F'n
== Qj'''2dY +
F
Diebeiden Anteile von B sollen m:!.t
FX2
und
== QfW2dy
'F
(41)
BFX2
bezeichnet werdeno
Mit GI. (32) wird
Auf dem Kreis ist
== QJWadY
IFn'
== Qi :fnfln
F
(42)
y == sincp; dy == coscp d~.

'
21.
Mit
wird
Nach der Substitution'mit
z =
ei,; dz = ie1'd"
die HFz in ein komplexes Integral umwandelt, läßt sich die l.ö-?
SUDI unter Verwen_lung der GIn. (39) und (40) leicht angeben.
B F
t
%2
1 ..
= 2Qr(1 R,o
)8in~o
I
.
( 13)
Aus Abb.3a ist, zuerkennen, daß: bei der Ermittlung der x-Kom po...
nente des Impu.lsesGI. (42)
ala
8QJ "2d~
~ r",'
. ,
wesen deryorbendeDen ,
SY'!JJle'trl~ Dur über eine der beieIen }

'-22-
Wirbelpaarbedingte
Bewegupgsgr6ße
Zusammen mit dem Impuls der zirkulationsfr6ien StrBmung GI. (37)
'IvÜ:~d der gesamte ~ auf den Zylinder w~rl{ende Inq;ml sdruc!{
( 45)
GesamtÜnpuls (ler bewe{~te.n P,latte 0
I;-Kompq,nente des Impulses GI. (34) wird in die den 'll(!'ÜliElpulbeim
Kreiszylinder entsprechenden Anteile zerlegt.
Der II~lpuls infolge der zirl(ulatio!1sfreien Plattonströmung lautet
QfP1 dT)
F
::: 41tQU
2
== 1tQbU
mit der halbe~ Plattenbreite b ::: 2.
I
Da bo i 'der konformen Ab.bil du.ng der Krai s]wntl.1:r in (jtü Plat. te nach
,
-
Glo (20) Punkte auf der Platte den doppelten Abs~and vom Ur=
'
sprung haben w:i.edie entsprEHJhenden Ordinaten der Kr~ܧkcntur.,)
muß der durch das Wirb~lpanr bedingte Impulsa~teil Bt~2
fUr die
Platte den doppeltc!! Wert des entsprechenden Anteiles fUr den
Krei szyl ind.er GI. (:13) annehJl1on.
B~'~2 := QJ P2dTJ :: 2Bfx;;::
F
=
4Ql'(1..:.i ) sin

23
(48)
Die Summe der dre~ Gleichungen (46), (47)9 (4,8) ergibt die Beweg~ng9graße
für die Platte.
40,1.. Gesamtimpu.ls des Kreiszylinders bzw. der Platte (2.Hechmmg).
Wesentlich schneller erhält 11an den Impuls für den Kreiszylinder
.
-
1Jl:nd damit" auch für die Pla tte auf folgendem Wege.
f);j,::3 erste Integral p der Ir.tpulS Iler zirJmla tionsfreien Strömu.ng
ergibt
mit
9
ZUr den Kreiszylinller (b = r =1):'
iih~ ,He Platte {b = halbe Pla ttehbrei te = 2):
i:US Syliunetriegründen brauchen die hei(len letzten Inte~rnle der
11li1pulsgleichungnur für eine Seite des Zylinders bzw. der Platte
arm! ttc1t zu wercien 0 Es 1st der doppe Ite Wert der Integrale zu
neh/aeu 0

24
Zur Uerechpung des zweiten Integrales BPx2' BF~2 sei der Zylinder
mit FIUssigkeit erfüllt gedacht, die sich unter Einwirkung
der Wirbel bewegt. Durch die Anordnunp; der Gegenwirbel bleibt
die I(re lskontur Stromlinie & Unter der SCh0n früber gemachten
Voraussetzung, daß sieh der k~rper in Rube befindet~.muß der Impuls
der sich innerhalb der Kreiskontur befindlichen Flüssigkeits.;..
menge Null werden.
B = 0
Finnen
Ver Impuls ist, wie aus Abb. 3 zu ersehen ist, aber allch durch
gegeben. Folgleich ist
Qj4kdf = -Qf~2dt.
F'. .IF';
Gesucht ist die x-Komponente des l/Itpulses
28inCPoQj

')Jen:
für den Kreiszylinder:
= 2Qr(Ro~1)sin~09
fUr die Platte, indemflir az die entsprechendoStreoke
2)sincpo
ge setzt \Virdj . := 2QP,ac
= 2QP(Ro + i - 2)sin~o"
o
Die gesamte Bewegungsgröße ist die Summe der drei 'feilimpu.lse..
Kreiszylinder~
Platte:
Zum Vergleioh 010(45) und (49).
"orin noch nach Gl..(5) :\2 durch k2ersetzt wurde. Der Index Co)
wird als selbstverständlich fortgelassen.
Unter Verwendung bipolarer Koordinaten (Abb.4) läßt sich der Aus-
. .
druck weit.er uwforIuen. k ist nach GI. (6) die große Halbachse der
Ellipseil die .dia Endpunkte' der l>latteals Brennpnnlrte hat, so
daß
-~---
----

- 36 '-
l.'erner ist 2sincp nach Glo (7) die große lIalbachse der Hyperbel
mit den selben Brennpunktert, also
1
2sincp = 2'(G'- t) ..
:Mit
lautet
2 2 _ f":-"
k -4sin t "r.:'
cp v
der Impuls für die-Platte
;:
BF 4'JtQU
f; .
+ 2'JtQUTG.
Die bipolaren Koordinaten und ~ und TI sind durch die Beziehungen
02
= c:2. + (TI +2)2
1'2
= c:2 + (11 =2)2 (51)
miteinand~r
verknüpft.
"
406. Widerstand der beschleunigt bewegten Platte..
Der Widerstand der Platte ergibt sich als substanzielle Änderung
des lwpulsee Glo(50)
Der Widerstandsbeiwert tfird dann
= 4'JtQ ~ + 2'JtQ tr (ufo)' (52)
( 53)
Es ist zu beachten daß der Zylinderhalbmesser
1
r = 1 = -b' b = Breite der Platte
4 '
die Maßeinheit der Koordinaten isto
I

,: ,~-~'tr,::'~,~'';:;-~';'''~:_':\ ":'fr
.
','
,"
,~'f! ~
- , -..~._,.
~~)1,r l,;:;tswertung Üer Differentiation muß die Beobachtnng des Wir,",
t:elpaares
hernngezogenwerden"
iJ c ~!iU"~U~ I{e I1"Z U : ..k" f'ö In) 1 ..
~,~!!.r~J..E-.2.~"2 rJt!!!~,~J1in t ~!~O ine m Kre iß. ~:dl~~
. ,
ci
.;x";, ert td.]rd» dfJrl~h den die I,'läche aber nicht e infach- zn:sa.m;;lcmiÜin~
~nd ~ernaoht wirdo
,~..:'ll,el" e:dliH t er :lrlfol,ge falscher L()sung der in der EHe!mang
;wf~i,iatendeifkoillpiexen Integra!e tIer Art GI. (38) für
QfP2dY ;; Qraz
/(
- ----------- -------

- 28 .~
in die oben angegebene Form übergeht.
In diesem Zusammenhang so-ll etwa,s näher auf die l5itierte Arbeit
eingegangen werden.
5.20 Zur Wirbelbewegung hinter dem Zylinder
1m ersten Abschn.lttseiner Arbeit befaßt Föppl sich mit d.er Gleichgewj,chislage
des Wirbelpaares und findet, daß es hinter deI'! Kreiszylinder
.in strömender Flüssigkeit einen geometrischen Ort gibt,
an dem sich das Wirbelpaar gegenüber deHlZylinder in lluhH befinden
kann. Die U~chnung ergibt eine Kurve, die VQI11 hinteren Stauo
-
punkt unter einem Winkel von 45 ansteigt und 1m Unendlichen eine
Asymptote von 30° hat.
. ,
Unter Hinweis auf eine beigefügte FotGgrafie 2U~ der von L.Rubach
[12] durchgeführten Versuchsreihe schreib~.er:
9Vergleichen wir nun die auf der 'fafel wiedergegehene Fotogra..;,
fie, so finden wir durch AUsmessllng, daß die Zentren des Wirbelpaares
genau auf der oben bestillDltenKurve liegen. Wir kön-
. .
nen jetzt folgende Schilderung von dem hydrooynarnischen Vorgang,
der bei der Bewegung eines sehr langen Kreiszylinders aus der
Ruhe heraus betrachtet wird, ent\Jerfen: Es löst sich an der
hinteren Zylinder\Vand .ein Wirbelpaar ab, das. unter fortwährendem
Wachstum seiner Wirbelstärke sicil unserer Kurye nähert und~
nacbdec es die Kurve erreicht hat, langswa längs fler Kurve oder
deren nächster Umg()bung wei terwandert, wobei seine \Virbelstärlee
aberl.ial s zuniml!it.
t
Rubach stellt dagegen fest, daß die wirkliche Erscheinung mit
der von Föppl erm!ttelten Kurve nicht übereinstinunt 0 Als Begründung
für elieAb\.,e~chunggibt er an, (laß in der Föpplschen Arbeit
die Reibung vernacl1lässigt\forden sei und die auftretenden \Yirbel
in Wirklichkeit keine Potential..irh~l darE teIlen. Für gleich-
- .
tönligeBewegung hat er aus seinen Versuchen die in Abb 0 6 wiedergegebene
W1rbelbahn ermi tte.lt. Rubach bemerJtt dazu:
t
Die Wirbelzentren fÜhren Seh\vingungen aus, die an eine SinussChwingung
erinnern. Die einzelnen Zentren wandern von Aufnahme
zu Aufnah111eauf di,eser Kurve fort unter ständigem
Wachsen tier\firbelstiirke t

- 29 -.
Dieser offensichtliohe Widerspruch ist in gewissem Grade auf zukläl-cn,
wenn man sich die Mühe Illacht~die Wirbelbahn aus den
I
von Rubacb bei beschleunigter Bewegung gemachten Aufnahr!len~ die
der bereits zitierten Arpeit beigefügt sind, zu ermitteln_
} öppl spricht ausdrücklich von der Bewegnng aus der Uuhe heraus 9
während Uubnch ihn mit de. Beispiel gleichförm~ger Bewegung widerlegt.
Die in Abb.6 eingezeichnete Wirbelbahn fü~ beschleunigte
Bewegung gibt Föpplrecht. Daß das Wirbel paar die Kurve, kurz
nachde~ es sie erreicht hat wieder verläßt~ führt er auf eine
labile störung z,trück. Unbeantwortet ble ibt die 1-' rage t warum das
Wirbelpaar bei gleichförmiger Bewegnng nicht der Föpplsc~en Kurve
folgt.
Vom \feiteren hydrodynamischen Vorgang, in dessen Verlauf sich
lias strömungsbild völlig ändert, .gehen Föppl und Ruhach die gleicbe
Beschreibung. Die bei~en Wirbel geben ihre spiegelbildlicli
symmetrische Lage auf. Es entstehen abwechselml an bei{len Seiten
, ,
des Zylinders neue Wirbel, die sich in {

Wirbe18ysteas als Folge eines Gesetzes des kleinsten Widerstandes
beurtetlen.' .
Ob sieb die Beobachtung aut gleichförmige olter beschleunigte
Bewegung bezieht, bleibt offen.!
.
MUller gibt auch den
I .' .
von Föppl ßei~chneten Wert rlesImpulses an,
der siell als falso!t cr\Yieseni18t.
5.30 Zur Erweiterung auf die Strömung UHt die unen.Uicl1 lange?
ebene
]'latte.
1111letzten Kapitel seines Berichtes geht Föppl anf die Strömung
um die unendlich' lange, ebene Platte ein. Er }coltllnt zu dem Ergebnis,
daß es hinter der Platte einen geometrischen Ort flir das
Wirbelpaar geben mUsse, an deld es sich gegenübe r der PI ;\tte in
!tube befinden
kann.
Er bildet die Ebene
lytischen Funktion
ab und erllält dann
der Kreiskontnr (zTEbene) mit Hilfe der ana-
G1.(1) auf. die Ebene .der Platte PI, den gesuchten ge O!!1f~~
trischen Ort der Ruhel agc bUlter der PIntte, ,,.enn man d Le fUr
dle z

,~
.v ;:.,
,"-,..",
'
"",.31
daß die Abbildungsfunktion GI.(i) abgesehen von Khnlichkcitstransforlllationcn
eine Inversion enthäl t, deren Zentrum t: = 2i
1st, was Föppl inseinerBeweisfÜhrung übersehen hat. Bei tier Transformation
der Föpplschen Kurve in die '~Ebene nacht sich (ler feste
Wirbel in , = 2i bemerkbaro ~n trUberer Stelle des vorliegenden
Berichtes ist fest{~stellt worden, daß sich das Wirbel paar gegen-
Uber der Platt;e nirgendwo in !tulle befinden leann.
i"erner schreibt er, daß nur tUr difl Lage des \firbelpanres im Unendl
iehen elie Be1lingung enel1 icher Gesclnvindigke i t an den Enden
der Platte erflillt sei. Die KantenberlingungGlo(15) gestattet
jedoch, in je(h~j:lAugenblick der Be\vegung die \Yirhelstär1cen so zu
bestimmen, daß dort endliche Gescimindigleci t her.rscht. Dazu
A.bb07 und 80
6" 'y_~rsuchsauswertun~
601. Versuchsbeschre1bung
Am In;;ti tut für Schif-tbau der Unlversi tät lIamburg sind mit einer
1CO mm breiten und 300 mm langen Plat.te Versuche durchgefUhrt
worden, llie zur ße!cchnung des Widcrs.tandesherangezogen werd',"
sollen. Gemessen wurden Gesc~,indigkeit, llcscilleunigung und der
Widerstand, ferner wurde

:,.~ .
~~!'",,~
,~--"
-
Durch Elimination der Zeit in den Kurven für T(t) und ß(t)
erhält I!laß die Wirbelbahn (Abb0.19).Sie scheint tür verschieden~
Bcsc111eunigunge:a glc ich zu sain, nur llaß sich die ~iirbel mit
unterschiedliche r Geschwindigkeit auf ih! be.wegan. Je größer die
Boschleunig.ung,amso größer ist ,11e Bahngescll\vlndiglrei t des \iir~
belpaares. Ein Vergleich lIes zei tlichen Ablaufes der Wirbelbe\fegung
in Abb. 19 zeigt jedoch für bIll = 0,067 m/s2 eine Ahweichung?
die als Anzeichen s~arker Störanfälligkeit zu werten ist.. Das
W:i.r'belpaar mit der größe~nmittleren Beschleunigung läuft zunächst
dem geringerer mlttler.er Beschleunigung voraus, bleibt ihm gegen~
iiher dann, aber
zurück..
Die Auswertung der Differentiation wird nach Glo(53) durchgeführt.
n
[
11"':
Cw = ü% (2+,{5
) dU' d T 'l'
d6
dt
+ U(G(i't + dt
)]
Dazu ist es erforderlich, die AulAaße der Wirbel zentren in bipolare
Koorl1inaten'umzurechnen" 1: untl(5 sind in Abbo17 aufgetragen.
Abb.18 enthält die ~uf ~b als Längeneinheit bezogene AnstttimgeschiVin,.
igkeii. Die' für die liechnungerforderlichen Werte wurden
in 'l'abQl + 3 zusammeng,estell t. Der berechnete Beiwert des GesaJ'lt.-
widers tandes, C\fR' und der Beiwert des Uruckwi

~ 33-
Welche der beiden Aussagen Uber die Wirbelbewegung - Beschleunigl~ngsabbängigkei
t der Wirbel bahn oder - unabhäng1gl(ei t- nu.n
'34) beigefiigt sind, lIlag der ßewegungsablauf erHiutert
wcrden,,(Das erste Negativ der Versuchsreihe war nicht vorhanden)
Dal3 Wlrbelpaar entfernt sich zunächst in symmetrischer Lage mit
wOichsender Geschwindigkeit, wobei sicll die Wirbel gegeneinander
-
yarsüÜieben (Abb.29). Darallf entfernt sich einer der Wirbel
Hchnel1er als tIer andere mit der Ströl:1Ung (Ahb. 30 + 32) . Dazu
/il).Jo21, \vorin die Entfernung des Wirbels von der Platte als Funktion
der Zeit aufgetragen ist. Im Endzustand bildet sich eine
Wirbelanordnung heraus, die einer Karl1'uinschen ,
Wirbelstraße ähnelt (Abb,,33 und 34). Bemerkenswert erscheint,
daß die labile Störung - Verzögern unrt Aufgabe der Symmetrie -
wie die ausgewählten Versuchsreihen unterschiedliche~ Beschleu-
~igung erkennen ~assen. in einem bestimmten, gleichen Abstand
von der Platte eintritt. .is zu die~er Stelle, die bei ~~. 75 mm
entsprechend t ;t'3 liegt, kann hinsichtlich derWiderstandsrechnung
das matbematische Bild von Platte und Wirbelpaar nur Geltung
haben. Danach ist ja auch, wie man aus Abb.19 und 24 er-

~v
_.--
.
.">
- 34 -
,
I~i.eht~
zu bemerken..
ein Rtarkes Sinken des theoretischen Widerstandsbehv€!rtes
PUr die wiederg~gebenen Versuchsreihen wurden die Widerstandsbeiwerte
in Tabelle 4 .;. 6 berechnet und in Abb..24aufgetragen.
60,4.. Vergleich der Stromlinienbilder 811S Versuch und Rechnung.
Die Stromfunktion wird durch den Imaginärteil des komplexen
Potentials GI.(10) dargestellt..
-
"r,;;U(r~ ~)sincp + iRIn
( r-
WÜi.H)i
~ um einen dimensionslosen Ausdruck zu erhalf..en, durch die
fu,~trönmngsgeschwindigkei tUund
.!b :: 1;
4
b:: Plattenhrelte
~U'vidiert
\'furde fJ
i!;rößte ungestörte Breite (8* 9 Skizze Abb.l.l). Das .tn der Rech-
Das Stromlinienbild ist für die aus Abb..28 herausgef.lesfJen~iexperimentelle
Wirbellage ~ :: 2,34; ~ ::
0
o
o
1$50, entsprechend Ro = 2,97;
~o = 27 berechnet worden. Nach der Kantenbefiingang~,st dabei fiir
die Zirkulation 1 ::2,11 zu setzen.
'~i t Hilfe der Abb.25 und 26, worin die Stror.1funkt ion in Abhängigkeit
vo~ Polarkoordinaten der AbbildungAebene autget?sgan
~;fI.,;;:,de, :kann

... . . ,
,
.
- 35
nung für .das.Wirbelpaat ermittelte verwirbelte Gebiet ist also
,
wesentlicb grCSßerals dasjenige der Strömungsaufnabme. Nicht
ganz ohne Eintluß dürften dabe;L die zugeschärften Kanten der
Versuchsplatte
setno
6..50 Unzulänglicbkeit der Theorie
-.
Als Ergebnis der Arbeit ist festzustellen, daß das einfache mathe-
I28tische Bild von Platte und Wirbelpaar nicbt ausreicht, um die
Umströmung der Platte zu erfassen. Irr! Gegensatz zum Spiralwirbel
stillUBtes in einigen \fesentlichenMerkmalen nicht mit der Wirklichkeit
U~ereino
1) Der Geschwindigkeitsverlauf an-der Plattenlcante ist stetig;
es müßte dort ein .sprung berrsch811..
Dieser Gescbwindigkeitssprung, der durch die Ausbildung einer
Trennungsfläobe zustande kommt, ist gera(le so groß, daß die Geschwindigkeit
an den Plattenkanten endlich bleibt..
2) Am Ort des Wirbels herrsohteine Geschwindigkeit; sie müßte
jedoch verscbwinden, d.h., die Wirbel müssen sioh h1 Gleichgewicht
befinden
In Abbol0 fällt auf, d~ß sich der Wirbel in einem Gebiet ausgesprochen
kleiner Geschwindigkeit bewegt. Das ist jedoch lediglich
ein Be"eis der trivialen Tatsache, daß tUe Theorie nicht ganz
falsch
ist..
3) Die Flüssigkeit ist aU:ßerbalb des Wirbelkernes drehungsfrei;
in Wirkliohkeit ist jedoch Drehung vorhanden.
Diese Erscheinung läßt sich lIliteinem Stäbchen, das man hinter
der Platte innerhalb des verwirbel.ten Gebietes auf die ifasserobcrflächeiegt,
leicht nacb'prüfen.
7~ Zusammenfassung
Der Bericht befaßt sich mit der Bewegung eines Wirbel paares
hinter einer quer angeströmten, unendlich langen Platte und
verglej.cht die theoretischen Ergebnisse mitVersuchsergebnissen .
La wird versaoht, die Frage zu beantworten, ob die beobachteten
Wirbel durch ein einzelnes Wirhclpa~rp bestehend ans Potential-

-'
- 36 -
Es wird der Geschwindigkeits- und Druckverlauf Uber die Platte berechnet
und daraus der stationäre Widerstand ermittelt. Ferner wird
untersucht, ob es'hinter der Platte einen geometrischen Ort gibt, an
dem sich ein \V1rbelpaar in Ruhebetinrlen kann. Die Rechnung ergibt,
daß hinter der Platt~ die Geschwindigkeit aa Ort. des Wirbels überall
von Null verscbie4en ist,der Wirbel sieb also nirgendwo in Ruke
befinden
kann.
Weiterhin wird der Widerstand der Pla~te In.instationärer Strömung
als substantielle Xaderuug des 118puuesermittelt.. Zur Auswertung der
Differentiation wird die in VerBucben beobaQhtete,irbelbeweguDg herangezogen.
.Wegen der starken Störungställigkeit st~ßt die Versuchsauswertung
aut Sobwier~gkeiten. Die Frage der Besobleunigungsabhän-
,
.
gigkeit der W1rbelbailD IIUß aus dieselifGrundeoften bleiben.
Die in den VersUObe~eJleSSeneD Wider8t~ndswerte stellen sich als zu
klein heraus, da sicl1 mit der "\ferwendeten Versuchseinriclttungeine
zweil1iraensionale strömung nicl1t
. .
ver\firklichenließ. Die theoretisehen
Widerstandswerte sind dagegen zu groß. wobei sich zufällig
ein Verhiil tnts VQn ~' zwischen den Werten aus Versuch und Rechnung
ergibt.
Obwohl man geneigt ist, das hinter der Platte beobacht~i;~ \flrbelgebilde
als \firbelpaar anzusprechen, er-Kibt die RechnuDp; zwar eine
gute qualitative, jedoch eine unzureichende quantitative tJbereinstimmung.
Nebenbei wird die Gelegenheit genutz~, einige Fehler 1n ei.ßr
Arbeit von L. Fappl (6] über dis 'ir~elbe.egung hinter .ine. Kreiszylinder
~u berichtigen.
'
Ber llericht kOl8Jllt zu dem I!;r8ebni$,da13das einfache Modell von
Platte und wtrbelpaar nicht ausreicht., um die UIßströlllung einer
quer zu. ihrer Breite be\Yegten, unendlich langen Platte ,zu erlassen.
Weitere Untersuchungen - z.B. über scl\wingendePlatten oder die
\Virbclbahn als F..mktion der 8esohleußi~'llng- werden als H1athematische~
Bi1(\ Sp1rahytrbel verwenden laiiS~'~k1.

.,"
31
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aut eine geschlossene te'liehe
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W1rbe1l>aares binter. zyl indrlscT\en Körpern
For8c'umgsarhoi tauf delil Gebiete des fn~enicur8-
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Auftriebes
von Trn~rlü~eln

i
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I
Bdo 5 1925, S. 17_+ 35
.
-
[14J Wcdemeyer. Erioh: Ausbildung eines Wirbelpaates an den
.
i
Kanten einer Platte
-
-
Dlplo~rbeit der Mathema.tis:ch-Natur\Yissi)~schaftlichen
Fakultät derGeorg~Augu8t-Universität zu Göttingen

lilbel(e 1 bm . q02+ rn/se.
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d.t d.t (1t Cw
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4,80 2,19 4-08 , ,
1,+0 0,92 0,62 5,30
2 2,12. 1,4-8 '
3 2,92 1,52 .6,10 2,98, 4-,58 , 1,20 0,82 0,1,-9 .3,79
+ 3.+0 1,89 7,~O 3,4-2 5,02 1,14- 0,34- i 0.+0 ,
I 2.67
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5 1,97 8,30 3,6+ 5,31} 1.04- 0,14- ! 0,3+ 1,7B
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2 2,58' ',50 8,80 2,64- "-,35 1,98 1,03 0,67 +,67
,
J 3,1,.2 1,72 8,80 3,4-2 5,04- 1,60 0,59 0,78 3.38
4- 3,90 2,20 10,DO 3,92 51+ -150 0,+1 0,89 2,7+
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.3 3.29 1,70 10,f}0 3,3Z +,96 2. , 55 0/,.9 0,55 2,56
Ir 3,72 2,06 13,00 3,73 5,51 2,Ze 0,35 0,55 1,00
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Wirbelbahn bei geic!förmiger
Bewegung nach L.Rubach
- e-e- 0- x
Wirbelbahn bei beschleunigter
Bfl/Wegung aus Aufnahmen
von L.Rubach
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Abb.5
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Föpplsche Kurve
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Wirbelbahn bei gleichförmiger
Bewegung nach L.Rubach
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W"rbelbahn bei beschleunigter
Bewegung aus Aufnahmen
von L. Ru bach
Abb.6

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