Vektorrechnung 1.¨Ubungsblatt
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<strong>Vektorrechnung</strong><br />
1.Übungsblatt<br />
1. Die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke [P 1 P 2 ] sind (−1, −4, 8), wobei P 1 (x 1 , y 1 , z 1 )<br />
und P 2 (2, 3, 6). Findet die Koordinaten von P 1 .<br />
2. Im Dreieck ABC wählt man auf BC einen Punkt A ′ , der die Strecke in dem Verhältnis<br />
BA ′<br />
A ′ C = λ teilt. Dann gilt, für einen beliebigen Punkt P ∈ E 3 die vektorielle Gleichung:<br />
P A ′ = 1<br />
1 + λ P B + λ<br />
1 + λ P C.<br />
3. Lehrsatz der Winkelhalbierenden. Es sei das Dreieck ABC und D ∈ (BC) gegeben.<br />
[AD ist genau dann die Winkelhalbierende des Winkels ̂BAC, wenn BD<br />
DC = AB<br />
AC .<br />
4. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt, der sich in<br />
einem Abstand von 2/3 von der Ecke und 1/3 von der Basis befindet. Der Schnittpunkt<br />
der Seitenhalbierenden heißt Schwerpunkt des Dreiecks.<br />
5. In einem Dreieck ABC ist BC = a, CA = b, AB = c. Die Winkelhalbierende des<br />
Innenwinkels A schneidet BC in A 1 , dann gilt für alle Punkte M aus dem euklidischen<br />
Raum E 3 die Beziehung<br />
MA 1 =<br />
b<br />
b + c MB +<br />
c<br />
b + c MC.<br />
6. In einem konvexen Viereck ABCD, sei M der Mittelpunkt von AB, N der Mittelpunkt<br />
von CD und P der Mittelpunkt von MN. Dann ist P A + P B + P C + P D = 0.<br />
7. Gegeben wird ein Tetraeder ABCD und A ′ der Schwerpunkt des Dreiecks BCD. Dann<br />
gilt<br />
AA ′ = 1 (AB + AC + AD).<br />
3<br />
8. Es sei S die Spitze der Pyramide, deren Grundfläche ein Parallelogramm ABCD ist. Die<br />
Diagonalen des Parallelogramms schneiden sich im Punkt M. Dann gilt<br />
SA + SB + SC + SD = 4SM.
9. Der Satz von Pappus Sei ABC ein Dreieck und A ′ ∈ BC, B ′ ∈ AC, C ′ ∈ AB andere<br />
Punkte als die Spitzen des Dreiecks, so dass<br />
A ′ B<br />
A ′ C = B′ C<br />
B ′ A = C′ A<br />
C ′ B = λ<br />
gilt. Dann besitzen die Dreiecke ABC und A ′ B ′ C ′ denselben Schwerpunkt.<br />
10. Ist I der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ABC und P ein beliebiger Punkt im<br />
euklidischen Raum, dann ist<br />
P I =<br />
1<br />
(aP A + bP B + cP C)<br />
a + b + c<br />
(Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden für die Innenwinkel<br />
des Dreiecks).<br />
11. Im Dreieck ABC bezeichnet man mit H den Orthozentrum (Höhenschnittpunkt), mit<br />
O den Umkreismittelpunkt (der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) und mit G den<br />
Schwerpunkt. Dann gelten:<br />
(a) OA + OB + OC = OH;<br />
(b) HA + HB + HC = 2HO;<br />
(c) HA + HB + HC = 3HG;<br />
(d) die Punkte H, G, O sind kollinear (sie bilden die sogenannte Eulergerade). Im Fall<br />
eines gleichseitigen Dreiecks fallen die drei Punkte übereinander, was dazu führt,<br />
dass die Eulergerade nicht existiert.