Erwerb funktionaler, räumlicher und kausaler Beziehungen von ...

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Darstellung von MOBAL und STT 24

Sorten doch eigentlich identisch sind. Das führt zu einer Äquivalenzrelation zwischen

Sorten, wonach Sorten der gleichen Äquivalenzklasse angehören, wenn ihre Extensionen

identisch sind. Damit kann man einer Äquivalenzklasse eine Extension zuordnen, die der

Extension der enthalten Sorten entspricht. Die Äquivalenzklassen können folgendermaßen

definiert werden.

Definition : (Äquivalenzrelation über Sorten)

Die Relation ≈ ⊆ SN × SN ist eine Äquivalenzrelation wie ‘=‘, die folgendermaßen

definiert ist :

∀ s 1 ,s 2 ∈ SN : s 1 ≈ s 2 ⇔ ext(s 1 ) = ext(s 2 )

SN/≈

: Menge der Klassen von Sorten mit der gleichen Extension

Die Äquivalenzklassen enthalten nun das, was eigentlich mit einer Sorte gemeint ist. Sie

enthalten alle Sorten, die aufgrund gleicher Objekte der Argumentstellen von Prädikaten

gebildet wurden, oder durch den Benutzer definiert wurden. Was noch fehlt ist ein

Sortenname für eine Äquivalenzklasse und eine Funktion, die für jede Sorte die Klasse

berechnet, zu der sie gehört:

Definition : (Name einer Äquivalenzklasse)

Die bijektive Funktion cn : SN/≈ → CLASS, ordnet jeder Äquivalenzklasse einen

eindeutigen Namen zu.

CLASS

: Menge eindeutiger Klassennamen

Da jedem Klassennamen eine Klasse zugeordnet wird und jede Klasse mindestens eine

Sorte enthalten muß, wird jedem Klassennamen mindestens eine Sorte zugeordnet.

Schließlich gibt es noch eine Funktion class : SN → CLASS mit

∀ s 1 ,s 2 ∈ SN : class(s 1 ) = class(s 2 ) ⇔ s 1 ≈ s 2 ⇔ ext(s 1 ) = ext(s 2 )

die für jede Sorte die Klasse berechnet, zu der sie gehört.

Durch die Definition der Äquivalenzrelation ≈ wurde die Menge der Sorten in

Äquivalenzklassen aufgeteilt. Die Extensionsfunktion ext wurde zur Definition von

verwendet, und aufgrund dieser Definition ist es offensichtlich, wie die Extension einer

Klasse aussehen wird, da alle Sorten einer Klasse die selbe Extension haben. Dies soll

durch die Definition einer Extensionsfunktion cext für Klassen dargestellt werden.

Außerdem ist es so einfacher zwischen Klassen und Sorten zu unterscheiden.

Definition : (Extension von Äquivalenzklassen)

cext : CLASS → pset(TERM) ist eine Funktion, die den Klassen ihre Extensionen

zuordnet:

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