Erwerb funktionaler, räumlicher und kausaler Beziehungen von ...

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Erwerb funktionaler, räumlicher und kausaler Beziehungen von ...

Darstellung von MOBAL und STT 25

∀ s ∈ SN : cext(class(s)) = ext(s)

Lemma

cext ist eine injektive Funktion :

∀ c 1 ,c 2 ∈ CLASS : cext(c 1 ) = cext(c 2 ) ⇒ c 1 = c 2 ,

cext(class(s 1 )) = cext(class(s 2 ))

⇔ ext(s 1 ) = ext(s 2 )

⇔ s 1 ≈ s 2

⇔ class(s 1 ) = class(s 2 )

Nachdem festgelegt wurde, welche Sorten äquivalent sind, muß man festlegen welche

Sorten miteinander vereinbar sind. Das wird benötigt, um die Sortenkorrektheit von

Variablenbindungen in Formeln zu entscheiden. Die Vereinbarkeit zwischen Klassen

führt zur Vereinbarkeit zwischen Sorten. Die Vereinbarkeit zwischen Sorten benötigt als

Minimalanforderung eine partielle Ordnung. Man erhält eine partielle Ordnung, wenn

man die Teilmengenbeziehungen zwischen Extensionen von Klassen betrachtet. Das

bedeutet, daß eine Klasse c 1 Unterklasse einer Klasse c 2 ist, wenn die Extension von c 1

eine Teilmenge der Extension von c 2 ist.

Definition : (Die partielle Ordnung über Äquivalenzklassen)

≤ ⊆ CLASS × CLASS mit c 1 ≤ c 2 ⇔ cext(c 1 ) ⊆ cext(c 2 )

(CLASS,≤) ist eine partielle Ordnung, da (pset(TERM), ⊆) eine partielle Ordnung und

cext ein Homomorphismus von CLASS nach pset(TERM) ist.

Mit Hilfe von ≤ können Funktionen und Relationen definiert werden :

subclass-relation :

subclass ⊆ CLASS × CLASS

subclass(c 1 ,c 2 ) ⇔ (c 1 ≤ c 2 ) ∧¬ (c 2 ≤ c 1 )

predecessor :

subs : CLASS → pset(CLASS) mit

subs(c 1 ) := {c ∈ CLASS c ≤ c 1 ∧ c ≠ c 1 }

successor :

supers : CLASS → pset(CLASS) mit

supers(c 1 ) := {c ∈ CLASS c 1 ≤ c ∧ c ≠ c 1 }

d-subclass-Relation

d-subclass ⊆ CLASS × CLASS

d-subclass(c 1 ,c 2 ) ⇔ (c 1 ≤ c 2 ) ∧(¬ c 3 : (c 1 ≤ c 3 ) ∧ (c 3 ≤ c 2 ))

direct predecessors :

d-subs : CLASS → pset(CLASS) mit

d-subs(c 1 ) := {c ∈ subs(c 1 ) | ¬ c 2 ∈ subs(c 1 ) : c ≤ c 2 }

direct successors :

d-supers : CLASS → pset(CLASS) mit

d-supers(c 1 ) := {c ∈ supers(c 1 ) | ¬ c 2 ∈ supers(c 1 ) : c 2 ≤ c}

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