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Teilchen im Kasten

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6. Das <strong>Teilchen</strong> <strong>im</strong> Potentialkasten<br />

6.1 Der eind<strong>im</strong>ensionale <strong>Kasten</strong><br />

Wir betrachten ein <strong>Teilchen</strong> der Masse m <strong>im</strong> eind<strong>im</strong>ensionalen Potentialkasten<br />

mit unendlich hohen Wänden und der Breite a .<br />

Die potentielle Energie in den verschiedenen Bereichen ist:<br />

V = ∞<br />

für x ≤ 0<br />

V = 0<br />

für 0 < x < a<br />

V = ∞<br />

für x ≥ a<br />

−<br />

h 2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

d Ψ<br />

⋅<br />

m d x<br />

+ V ⋅ Ψ = E⋅Ψ<br />

2<br />

2<br />

d Ψ<br />

− h ⋅<br />

2 m<br />

2<br />

d x<br />

+<br />

∞ ⋅ Ψ =<br />

E⋅Ψ<br />

für<br />

x<br />

≤<br />

0, x<br />

≥<br />

a<br />

2<br />

2<br />

d Ψ<br />

− h ⋅ + 0 ⋅ Ψ = E ⋅ Ψ für 0 < x < a .<br />

2 m<br />

2<br />

d x<br />

Da endliche Größen gegenüber ∞ vernachlässigt werden können, folgt:<br />

∞ ⋅ Ψ = 0<br />

→ Ψ = 0 für x ≤ 0, x ≥ a .


Die zweite Gleichung ergibt mit<br />

α 2 = 2mE / h<br />

2<br />

d<br />

2<br />

Ψ = − α<br />

2<br />

2<br />

d x<br />

Ψ<br />

.<br />

Eine Lösung ist z.B. Ψ = A ⋅ sin α x mit den Randbedingungen:<br />

Ψ<br />

Ψ<br />

( 0 ) = A ⋅ sin α ⋅ 0 = 0<br />

( a ) = A ⋅ sinα<br />

⋅ a = 0<br />

⇒<br />

[ n = 0, ± 1, 2, ...] "Quantenzahl".<br />

αa = nπ<br />

±<br />

Negative n können nicht zugelassen werden, da α ⋅ a positiv ist. n = 0 muß<br />

ausgeschlossen sein, da dann Ψ überall Null wäre.<br />

E<br />

n π<br />

= h<br />

2<br />

2ma<br />

α ⋅ a = n π n = 1,2,3...<br />

2 2 2<br />

2<br />

2 h<br />

n = n<br />

n =<br />

2<br />

8ma<br />

Die zugehörigen normierten Eigenfunktionen sind:<br />

1,2,3...<br />

Ψ<br />

n<br />

=<br />

2<br />

a<br />

n π<br />

⋅ sin<br />

a<br />

x<br />

mit<br />

2 als Normierungsfaktor.<br />

a<br />

http://www.chemgapedia.de/vsengine/supplement/Vlu/vsc/de/ch/13/vlu/praktik<br />

um1/farbe.vlu/Page/vsc/de/ch/13/pc/praktikum1/farbe/grundlagen_1_2.vscml/F<br />

ragment/459acdee659d2c35e1e7dbb8de57bee3-169.html


Wellenfunktionen<br />

Aufenthaltswahrscheinlichkeiten<br />

(pro Volumenelement)<br />

Hinweis: Knotensatz für das <strong>Teilchen</strong> <strong>im</strong> eind<strong>im</strong>ensionalen <strong>Kasten</strong>.<br />

Die Zahl der ″Knoten″ (Nulldurchgänge) einer Wellenfunktion ist um eins kleiner<br />

als die Quantenzahl des zugehörigen Energieeigenwertes.<br />

6.2 Der dreid<strong>im</strong>ensionale <strong>Kasten</strong><br />

∂<br />

2<br />

∂ x<br />

Ψ<br />

2<br />

+<br />

∂<br />

2<br />

∂ y<br />

Ψ<br />

2<br />

+<br />

∂<br />

2<br />

∂ z<br />

Ψ<br />

2<br />

2mE<br />

= −<br />

2<br />

h<br />

Ψ<br />

Variablenseparation:<br />

Ψ<br />

( x,<br />

y,z) = X( x) ⋅ Y( y) ⋅ Z( z)<br />

→<br />

einsetzen und durch X⋅Y⋅Z teilen:<br />

2<br />

2<br />

1 ∂ X 1 ∂ Y 1 ∂ Z 2mE<br />

⋅ + ⋅ + ⋅ = − .<br />

X<br />

2<br />

Y<br />

2<br />

Z<br />

2 2<br />

∂ x ∂ y ∂ z h<br />

2


Da diese Gleichung für alle Werte von X, Y, Z gilt, müssen die drei Summanden<br />

auf der linken Seite jeweils konstant sein:<br />

1<br />

X<br />

⋅<br />

∂<br />

2<br />

∂ x<br />

X<br />

2<br />

=<br />

−<br />

α<br />

2<br />

x<br />

1<br />

Y<br />

⋅<br />

∂<br />

2<br />

∂ y<br />

Y<br />

2<br />

=<br />

−<br />

α<br />

2<br />

y<br />

1<br />

Z<br />

⋅<br />

∂<br />

2<br />

∂ z<br />

Z<br />

2<br />

=<br />

−<br />

α<br />

2<br />

z<br />

mit<br />

2 2 2 2 2m E<br />

= α + α + α =<br />

x y z 2<br />

α .<br />

h<br />

Analog zum eind<strong>im</strong>ensionalen Potentialkasten erhält man:<br />

α<br />

x<br />

=<br />

1 π<br />

a<br />

n 2 π<br />

b<br />

n π<br />

c<br />

n 3<br />

α y =<br />

αz<br />

=<br />

n π<br />

a<br />

1<br />

( x) = A sin x n 1,2,3...<br />

X x 1 =<br />

n π<br />

b<br />

2<br />

( y) = A sin y n 1,2,3...<br />

Y y 2 =<br />

n π<br />

c<br />

3<br />

( z) = A sin y n 1,2,3...<br />

Z z 3 =<br />

n1<br />

πx<br />

n 2 π y n3<br />

πz<br />

Ψ n1<br />

n 2 n3<br />

( x, y,z)<br />

= Asin ⋅ sin ⋅ sin<br />

a b c<br />

Normierungskonstante<br />

A =<br />

8<br />

a bc<br />

E n1<br />

n<br />

2<br />

n<br />

3<br />

=<br />

h2<br />

α<br />

2m<br />

2<br />

=<br />

2<br />

8 h m<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

n<br />

a<br />

2<br />

1<br />

2<br />

+<br />

n<br />

b<br />

2<br />

2<br />

2<br />

+<br />

n<br />

c<br />

2<br />

3<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

.


Zustandsdichte in einem <strong>Kasten</strong> mit a = b = c = L:<br />

E n1 n2n3<br />

=<br />

2 2 2<br />

( n + n + n )<br />

1<br />

1<br />

8mL<br />

Stellt man sich vor, dass die Quantenzahlen n einen Raum aufspannen, und dass<br />

ein Satz von n-Werten einen Punkt in diesem Raum darstellt, so kann man argumentieren,<br />

dass die mögliche Anzahl von Zuständen proportional zum "Volumen"<br />

des "n-Raums" ist.<br />

Hierzu wird der Radius R <strong>im</strong> „n-Raum“ definiert:<br />

2<br />

1<br />

h<br />

2<br />

R =<br />

2 2 2<br />

1 + n1<br />

n1<br />

n +<br />

Nun kann die Energie E durch R ausgedrückt werden:<br />

2 2mE<br />

R =<br />

h<br />

2<br />

2<br />

h R<br />

E =<br />

8mL<br />

2<br />

L<br />

Be<strong>im</strong> <strong>Teilchen</strong> <strong>im</strong> <strong>Kasten</strong> können <strong>im</strong> n-Raum nur positive Werte für n auftreten,<br />

daher muss das Volumen durch 8 geteilt werden. Da aber zwei verschiedene<br />

Spinwerte für das Elektron möglich sind, muss mit 2 multipliziert werden. Die<br />

Anzahl der Werte lautet dann:<br />

N =<br />

⎛ 1 ⎞ 4<br />

⎝ 8 ⎠ 3<br />

⎛ 8π<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎝ 3 ⎠<br />

3<br />

2<br />

( 2) ⎜ ⎟ πR<br />

= ⎜ ( 2mE) 3 /<br />

3<br />

und die Anzahl der Zustände pro Volumen:<br />

3<br />

L<br />

h<br />

n<br />

z<br />

=<br />

N<br />

3<br />

L<br />

⎛ 8π<br />

⎞<br />

= ⎜ ⎟<br />

⎝ 3 ⎠<br />

( 2mE)<br />

h<br />

3<br />

3/ 2<br />

Die Zustandsdichte als Funktion der Energie ist die Ableitung von n z nach der<br />

Energie:<br />

dn z<br />

ρ E) =<br />

dE<br />

4π<br />

=<br />

( 2m)<br />

(<br />

3<br />

h<br />

3 / 2<br />

E


Ein Beispiel für den eind<strong>im</strong>ensionalen Potentialkasten: Hexatrien<br />

Es wird angenommen, daß die sechs π-Elektronen entlang des Moleküls frei<br />

beweglich sind (1-d<strong>im</strong>ensionales Potential):<br />

E<br />

=<br />

n<br />

2<br />

⋅ 8,02 ⋅ 10<br />

−18<br />

J<br />

n<br />

= 1,2,3...<br />

Jedes Energieniveau wird mit zwei Elektronen besetzt (Pauli-Prinzip).<br />

λ exp = 268nm


6.3 Der Tunneleffekt<br />

Eind<strong>im</strong>ensionaler Potentialkasten mit endlich hohen Wänden:<br />

In der klassischen Mechanik ist für E < V 0 dem <strong>Teilchen</strong> nur der Aufenthalt<br />

zwischen x = 0 und x = a erlaubt. In der Quantenmechanik existiert eine gewisse<br />

Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des Bereiches [x, a] (″Tunneleffekt″),<br />

wenn die Potentialwände eine endliche Höhe haben.<br />

Hat eine Potentialbarriere eine endliche Breite, so kann die Materiewelle die<br />

Barriere durchdringen, auch wenn ihre Energie E n kleiner als V 0 ist.


Die Schrödingergleichung <strong>im</strong> Bereich der Barriere ist:<br />

2<br />

−h<br />

2m<br />

e<br />

⋅<br />

∂<br />

2<br />

∂ x<br />

Ψ<br />

2<br />

+<br />

V<br />

0<br />

Ψ<br />

=<br />

E Ψ<br />

∂<br />

2<br />

∂ x<br />

Ψ<br />

2<br />

=<br />

2m<br />

h<br />

e<br />

2<br />

( V − E) Ψ<br />

0<br />

2 m<br />

−<br />

e<br />

( V0<br />

− E) ⋅ x<br />

2<br />

Ψ(x)<br />

= A ⋅ e<br />

h<br />

.<br />

Die Wellenfunktion fällt also innerhalb der Barriere für E

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