Elektromagnetische Wellen Wir versehen den rückgekoppelten ...

Elektromagnetische Wellen
Wir versehen den rückgekoppelten Schwingkreis (Wienscher Resonator
von oben) mit einem zweiten Schwingkreis als Empfänger.
Experiment Sender-Empfänger
Rö
Gl
U gl
+
-
L
C
L
C
G
Sender
em. Welle
Empfänger in Resonanz
Die Glühbirne Gl leuchtet bei Annäherung, d.h. es wird offensichtlich Energie
durch eine elektromagnetische Welle übertragen. Die Abstrahlung ist allerdings
schwach, da die Geometrie der Spule und des Kondensators (Sendeantennen)
geschlossen ist und die Felder nach außen hin sehr schnell abnehmen.
1

Eine gute Abstrahlcharakteristik bekommt man mit einer Stabantenne, dem
berühmten Herzschen Dipol, den man sich als aufgebogenen Schwingkreis
vorstellen muß:
H
E
Einwindige Spule,
kleiner Kondensator
H
E
Spule ersetzt durch Draht, Kondensator
aus Spitzen
H
E
Aufbiegen des Drahtes
2

Wegen der kleinen Induktivität und Kapazität hat der Dipol eine sehr hohe
Eigenfrequenz, wegen der offenen Geometrie ist die Abstrahlung hoch.
Wir benutzen einen rückgekoppelten Schwingkreis mit ν=100 ΜΗz und regen
damit einen Herzschen Dipol als Sender an:
Experiment Sender
z
x
Die Antenne sei in x-Richtung orientiert
Sender
y
Wir benutzen eine weiteren Herzschen Dipol mit Glühbirne in der Mitte als
Empfänger und testen die Abstrahlcharakteristik des Dipols:
z
y
Maximaler Strom kein Strom
x
kein Strom
3

Die Antenne strahlt in der x-Richung nicht ab, der E-Vektor steht senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung und schwingt in x-Richtung. Die elektromagnetische
Welle ist also transversal polarisiert.
E −Vektor
Ausbreitungsrichtung ( k −Vektor (k=2π/λ) )
Die elektromagnetische Welle erzeugt auf der Antenne eine stehende Welle, wie man
mit Glühlämpchen auf der Antenne oder mit einer Leuchtstoffröhre nachweisen kann:
l
Experiment Lämpchenserie;
Experiment Glimmlampen;
Experiment Leuchtstoffröhre;
I
x
U
4

Auf der Antenne entsteht eine stehende Welle mit Stromknoten und
Spannungsbäuchen an den beiden Enden. Die Vorgänge auf der Antenne
kann man sich wie im folgenden Bild gezeichnet vorstellen. Der Strom fließt zu den
beiden Enden de Antenne und erzeugt um 90 ° phasenverschoben ein
Magnetfeld und ein elektrisches Feld.
y
j x
x
+
E
-
x
H
t=0
z
t=T 0
/4
j x
y
x
x
-
+
H
t=T 0
/2
E
z
t=3T 0
/4
E x , H y
t
z
z
t=0 T 0
/4 T 0
/2 3T 0
/4 T 0
y
y
5

Die Abstrahlcharakteristik der Diploantenne kann man sich so vorstellen, daß im
Raum geschlossenen Feldlinien entstehen. Mit der Geometrie von oben sind die
H-Feldlinien geschlossene Kreise um x und die E-Feldlinien geschlossenen
Linien in der x-z-Ebene.
x
E (geschlossene Linien
x-z-Ebene)
+ +
+ +
z
H (konzentrische
Kreise um x )
c (Lichtgeschwindigkeit )
Die Welle wandert mit der Phasengeschwindigkeit c in den Raum
Abstrahlung Dipol aus Albert
6

Wellengleichung el.-mag. Wellen
Wir müssen noch zeigen, daß aus allgemeinen Grundgleichungen die
Wellengleichung für elektromagnetische Wellen ableitbar ist. Die Grundgleichungen
sind jetzt natürlich die Maxwellschen Gleichungen. Wir benötigen
zwei davon in der allgemeinen Schreibweise:
Induktionsgesetz:
∫ E ⋅ds
= −∫
•
B ⋅dA
Die Zeichnung erklärt die Bedeutung: Integriert wird dB/dt über
Fläche A und E längs einer geschlossenen Linie. Eine zeitlich
veränderliche Induktion B erzeugt also ein elektrisches Feld E
senkrecht zu B.
Durchflutungsgesetz:
∫ H ⋅ds
= ∫
•
D ⋅dA
Eine zeitlich veränderliche Verschiebungsdichte D
erzeugt also ein Magnetfeld senkrecht zu D
dA
•
D
•
B
H
E
7

Außerdem gilt im Vakuum:
B = µ
0
D = ε
0
H
E
mit der Dielektizitätskonstante des Vakuums
und der Permeabilitätskonstante
ε
µ
0
0
= 8,854⋅10
= 4π
⋅10
−7
12 As
Vm
Vs
Am
−
Wir betrachten die Abstrahlung einer speziellen ( Antenne, nämlich einer
in x-y-Ebene unendlich ausgedehnten sehr dünnen metallischen Platte mit einem
Wechselstrom in x-Richung. (Siehe Zeichnung)
Aus Symmetriegründen hat das Magnetfeld nur eine y-Komponente H y , die
längs der x-Achse konstant ist. Genauso hat das elektrische Feld nur eine
x-Komponente E x , die längs der y-Achse konstant ist.
8

x
J x( (ωt)
∆z
1
H y (ωt)
2
∆x
z
y
E x (ωt)
∆y
H y (z) H y (z+∆z)
E x (z) E x (z+∆z)
Wir wollen das Induktionsgesetz und das Durchflutungsgesetz längs
zweier Wege 1 und 2 ausnutzen:
Weg 1:
∫ E⋅ds=
=
i
∑
1...4
E
i
⋅ds= −E
= −E
x
x
(z) ∆x
+ E
x
(z) ∆x
+ {E
(z+∆z)
∆x
x
∂E
(z) +
∂z
x
∆z}
∆x
=
∂E
∂z
x
∆z∆
x
9

außerdem:
−
∫
.
BdA = −µ
0
∫
.
H
⋅dA
= −µ
0
.
H
y
∆A
= −µ
0
∂H
∂t
y
∆x
∆z
zusammen gilt also nach dem Induktionsgesetz:
∂E
∂z
x
= −
µ 0
∂H
∂t
y
(1)
Weg 2:
∫ H ⋅ds
=
i=
außerdem:
∑
1...4
∫
H
.
i
⋅ds
= −H
D⋅dA
= ε
y
∂H
= −
∂z
0
∫
.
(z) ∆y
+ H
y
∆z∆y
E ⋅dA
= ε
0
.
E
x
y
(z + ∆z)
∆y
∆A
= ε
0
∂E
∂t
x
∆y
∆z
10

Zusammen also nach dem Durchflutungsgesetz:
∂H
∂z
y
= −
∂E
∂t
x
ε
(2)
0
Wir differenzieren jetzt (1) und (2) jeweils noch einmal nach z bzw. t:
2
∂ E
2
∂z
x
= −
∂
H
2
2
2
y
∂ H
y ∂ E
x
µ und
0
= −ε
0 2
∂t∂z
∂z∂t
∂t
zusammen wird daraus:
2
∂ E
∂t
x
2
=
ε
1
µ
0
0
2
∂ E
∂z
x
2
(3)
11

und jetzt noch einmal in umgekehrter Reihenfolge:
2
∂ Ex
∂z∂t
= −µ
0
∂
2
H
∂t
2
y
und
∂
2
H
y
∂z∂t
= −ε
0
2
∂ E
∂t
x
2
zusammen ergibt das:
∂
2
H
∂t
2
y
=
ε
1
µ
0
0
∂
2
H
∂z
2
y
(4)
(3) und (4) sind die berühmten Wellengleichungen der elektromagnetischen
Welle mit der Lösung :
12

E
x
= E
0
cos( ωt
− kz)
und H = H
0
cos( ωt
− kz)
x
y
y
1 8
c = ≈ 3⋅10
m /
ε µ
0
0
s
Für die Phasengeschwindigkeit erhält man aus dem Vorfaktor die Lichtgeschwindigkeit
im Vakuum .
Für elektromagnetische Wellen definiert man den Wellenvektor k
als Vektor in Ausbreitungsrichtung mit k = 2π
/ λ so daß man schreiben kann :
E
x
= E
x0
cos( ωt
− k ⋅z)
und H
y
= H
y0
cos( ωt
−
k ⋅z)
Vorführung el.-mag. Welle Fendt
Die elektromagnetische Welle besteht immer aus senkrecht zueinander
polarisierten E- und H-Wellen, die sich gegenseitig erzeugen. Die Amplituden
der beiden Wellen E 0 und H 0 stehen in einem festen Verhältnis:
13

aus
−
E
E
0x
0x
∂E
∂H
x
y
= −µ
0
∂z
∂t
( −k)sin(
ωt
− kz)
ω
=
k
B
0 y
=
cB
0 y
fo lgt
:
=
µ
0
H
y0
ω
sin( ωt
−
kz)
also
gilt
Man kann diesen Ausdruck auch umschreiben zu :
E
1
0
0x
= cB0y
= µ
0H0y
= H0y
ε
ε
0µ
0
0
Der Ausdruck µ
0
= 377Ω
hat die Dimension eines Widerstandes, man
ε
0
nenn ihn den “Wellenwiderstand des Vakuums“
µ
14

Intensität einer el.-mag Welle
Zur Berechnung der Intensität einer el.-magn. Welle brauchen wir zunächst
die über eine Schwingung gemittelte Energiedichte.
w
=
1
2
ε
0
E
2
x
+
1
2
µ
0
H
2
y
1
= ε
0E
4
1
= ε
0E
2
2
x0
+
2
x0
1
µ
0
4
1
= µ
2
H
0
2
y0
H
2
y0
Für die Intensität I gilt , wie immer für Wellen:
I
= c
w
=
1
2
ε
µ
1
µ
0 2
0 2
E
x0
= H
y0
0
2 ε
0
Poynting-Vektor
Eine spezielle Definition füe elektromagnetische Wellen ist der Poynting-Vektor
S = E ×
H
15

Dieser Vektor zeigt in Richtung der Ausbreitungsrichtung der Welle.
E
Die Intensität kann man dann schreiben als:
S
I
=
S
denn
es
gilt :
H 1 µ 0 2
S = E × H = H
y0
2 ε0
Der Poyntingvektor beschreibt also die Energiestromdichte j E der el.-magn. Welle
Strahlungsdruck
Mit der Energiestromdichte ist auch eine Impulsstromdichte verbunden, die sich als
Strahlungsdruck P auf eine bestrahlte Fläche äußert. Es gilt :
I
P = = w ; =
c
N
m
[ P] 2
16

Diese Formel kann man im Teilchenbild der elektromagnetischen Strahlung
leicht ableiten (siehe später), im Wellenbild wollen wir sie nur plausibel machen:
Betrachten Sie einen Plattenkondensator mit dem Volumen V und der
Feldstärke E. Die gespeicherte Energie :
E
Ges
w =
=
1
2
1
2
ε
0
ε
0
E
V E
2
2
= σ
;
N
m
[ w] =
2
+
+
+
σ
E
-
-
-
die man auch als Zugspannung des Feldes auf die Kondensatorplatten
interpretieren kann.
17

Mikro sichtbar Röntgen
LW MW UKW Wellen infr. uv γ−Strahlung
10
0
10
3
10
6
10
9
10
12
10
15
10
18
10
21
10
24
ν(Hz)
3⋅10
8
3⋅10
−4
3⋅10
−16
λ(m)
18

Zusammenfassung Wellen
Wellenglch.
ebene Welle
2
∂ ψ ( z,
t)
=
2
∂t
ψ(z, t)
v
2
Ph
2
∂ ψ ( z,
t)
2
∂z
= Acos( ω t - kz)
Phasengeschwindigkeit
v Ph
= ω/
k
= λν
Intensität
I
=
j E
=
ρ
E
vPh
Mechanische Wellen
Seilwellen
Schallwellen fester
Körper
Eigenschwingungen
v Ph
=
v Ph
σ
ρ
= E
ρ
v
ν Ph
n
= (n + 1) n =
2L
0,1,...
19

Schallwellen
Elektromagnetische Wellen
Wellenglch.
2
∂ s
2
∂t
=
K
∂
s
2
2
2
∂ E
x
1 ∂ Ex
2
=
ρ ∂z
2
2
∂t
ε
0µ
0
∂z
Wellenfkt.
Phasengeschw.
Intensität
Dopplereffekt
Strahlungsdruck
s(z, t) = s0 cos( ωt − kz)
2
~ ω s0
p = −ρ sin( ωt
− kz)
k
κRT
c s
M
E
H
x
y
= E
= H
x0
y0
cos( ωt
− k ⋅ z)
cos( ωt
− k ⋅ z)
1 8
=
c = ≈ 3⋅10
m / s
ε µ
1
I =
~
2
s
p ~
0v 0
ν ' = ν
0
v
1m
c
[
v
(1 ±
c
E
s
Q
s
]
)
I =
1
2
0
0
ε
µ
0 2
E
x0
0
vE
1m
cs
ν'
= ν0 [ ] für v