Lösungen - Kapitel 8 1

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Lösungen - Kapitel 8
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Der Kurbelmechanismus dient dazu, eine Translations- in eine Rotationsbewegung umzuwandeln.
Anwendungen sind vielfältig, z.B. der Antrieb der Kurbelwelle im Auto durch
die Kolbenbewegung im Zylinder.
y
R
m 1
y 1
x − x 2 1
m 2
x
Wir wollen die Bewegung der Massen m 1 und m 2 beschreiben. Grundsätzlich haben wir
für die N = 2 Massenpunkte 3N = 6 Freiheitsgrade, die durch die folgenden Zwangsbedingungen
eingeschränkt werden:
(1) m 1 bewegt sich in der x-y-Ebene: z 1 =0
(2) m 1 bewegt sich auf einem Kreis mit Radius R: x 2 1 + y1 2 − R 2 =0
(3) x 1 bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit: ω
(4), (5) m 2 kann sich nur entlang der x-Achse bewegen: y 2 = z 2 =0
(6) m 1 und m 2 sind durch eine starre Stange
verbunden: (x 1 − x 2 ) 2 +(y 1 − y 2 ) 2 − l 2 =0
Offenbar legen die 6 Zwangsbedingungen die 6 Freiheitsgrade der Massenpunkte vollständig
fest. Es verbleibt kein Freiheitsgrad, der noch durch die Bewegungsgleichung zu bestimmen
wäre. Man erhält aus (2) und (3) mit der Anfangsbedingung x 1 (0) = R, y 1 (0) = 0
und aus (4) - (6)
x 1 (t) =R cos ωt
y 1 (t) =R sin ωt
(x 1 − x 2 ) 2 + y1 2 − l 2 =0
(R cos ωt − x 2 ) 2 + R 2 sin 2 ωt − l 2 =0
x 2 2 − 2x 2 R cos ωt + R 2 − l 2 =0
x 2 = R cos ωt + √ 1) R 2 cos 2 ωt − R 2 − l 2
√
x 2 = R cos ωt + l 2 − R 2 sin 2 ωt

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1) Das ’+’-Zeichen gilt, weil x 2 ≥ x 1 sein muss, sonst bleibt die Kurbel hängen.
Es gibt einen interessanten Sonderfall für l = R:
x 2 = R(cos ωt +
√
1 − sin 2 ωt) =2R cos ωt .
In diesem Fall schwingt die Kurbel über die Mitte des Kreises hinaus.
2
z
m
r
z
y
ϕ
x
Die Zylinderoberfläche wird durch x 2 + y 2 = R 2 beschrieben. Wahl der generalisierten
Koordinaten:
q 1 = ϕ = arctan y x
q 2 = z
q 3 = x 2 + y 2 .
Zwangsbedingung: q 3 = R = const.
D.h. q 1 und q 2 sind für die Beschreibung ausreichend. Umschreibung der kartesischen
Koordinaten:
x 1 = x = R cos q 1 , ẋ 1 = −R ˙q 1 sin q 1
x 2 = y = R sin q 1 , ẋ 2 = R ˙q 1 cos q 1
x 3 = z = q 2 , ẋ 3 =˙q 2
Kinetische Energie:
T = 1 2 m(ẋ2 1 +ẋ 2 2 +ẋ 2 3)= 1 2 m(R2 ˙q 1 +˙q 2 2)
Für die Bewegungsgleichung
d ∂T
− ∂T − Q μ =0
dt ∂ ˙q μ ∂q μ

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benötigt man nicht die generalisierte Kraft
μ =1:
Q μ = ∑ i
F i
∂x i
∂q μ
.
μ =2:
∂x 1
∂q 1
= −R sin q 1
∂x 2
∂q 1
= R cos q 1
∂x 3
∂q 1
=0
Q 1 = kR 2 sin q 1 cos q 1 − kR 2 sin q 1 cos q 1 =0
Bewegungsgleichungen:
μ =1:
μ =2:
∂x 1
= ∂x 2
=0
∂q 2 ∂q 2
∂x 3
=1
∂q 2
Q 2 = −kq 2 − mg
mR 2¨q 1 =0→ ˙q 1 =0→ q 1 = c 1 + c 2 t
√
k
m¨q 2 + kq 2 + mg =0→ ¨q 2 + ω0q 2 2 = −g mit ω 0 =
m
Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: q 2 = A cos ω 0 t + B sin ω 0 t − g
ω0
2
Die Lösungen für q 1 und q 2 beschreiben die Überlagerung einer gleichförmigen Kreisbewegung
in der x-y-Ebene ( ˙q 1 = ˙ϕ = const.) durch eine harmonische Schwingung in
z-Richtung. Einsetzen in die Anfangsbedingungen liefert:
3
c 1 =0,c 2 = v 0
R ,A= g ω 2 0
l
,B= v 0
ω 0
.
m

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Zwangsbedingung: x 2 + y 2 + z 2 = l 2
Elimination einer Koordinate möglich. Wähle Polarkoordinaten: q μ =(θ, ϕ)
x = l sin θ cos ϕ,
y = l sin θ sin ϕ,
z = l cos θ,
ẋ = l ˙θ cos θ cos ϕ − l ˙ϕ sin θ sin ϕ
ẏ = l ˙θ cos θ sin ϕ + l ˙ϕ sin θ cos ϕ
ż = l ˙θ sin θ
Kinetische Energie:
T = 1 2 m(ẋ2 +ẏ 2 +ż 2 )= 1 2 ml2 ( ˙θ 2 +˙ϕ 2 sin 2 θ)
Potentielle Energie:
Lagrange-Funktion L = T − V :
V = −mgl cos θ
L = 1 2 ml2 ( ˙θ 2 +˙ϕ 2 sin 2 θ)+mgl cos θ
Bewegungsgleichungen:
d ∂L
− ∂L =0
dt ∂ ˙q α ∂q α
d
ϕ : (ml ˙ϕ dt sin2 θ =0→ ˙ϕ sin 2 θ = const. = A (1)
θ : ml¨θ − ml ˙ϕ 2 cos θ sin θ + mgl sin θ =0 (2)
Verwende (1) in (2)
A
¨θ = ˙ 2 cos θ
sin 3 θ
− g l sin θ
Spezialfall ebenes Pendel ϕ =0→ A =0
¨θ = − g l sin θ
kann in der allgemeinen Bewegungsglei-
Durch die Substitution v = dθ bzw. d2 θ
= v dv
dt dt 2 dθ
chung eine Integration ausgeführt werden:
v =
√
2g
l
cos θ −
A2
sin 2 θ + c.
Eine weitere Integration führt auf ein elliptisches Integral.
Betrachte die z-Komponente des Drehimpulses:
L z = ml 2 ˙ϕ sin 2 θ = const.
Die Fläche, welche die Projektion des Ortsvektors auf die x-y-Ebene überstreicht, ist
zeitlich konstant (Flächensatz, vgl. Kepler Gesetze).

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y
2a
x
4a
m
Die vermeintlich einfachste Wahl für die generalisierte Koordinate ist der Parameter θ
(Rollwinkel): q 1 = θ
x = a(θ +sinθ) , ẋ = a ˙θ(1 + cos θ)
y = −a(3 + cos θ) , ẏ = a ˙θ sin θ
Kinetische Energie:
T = 1 2 m(ẋ2 +ẏ 2 )=ma 2 ˙θ2 (1 + cos θ)
Potentielle Energie:
V = mg(y +4a) =mga(1 − cos θ)
d ∂L ∂L
L = T − V , Bewegungsgleichungen: −
dt ∂ ˙θ =0 ∂θ
sin θ
¨θ −
2(1 + cos θ) ˙θ 2 + g sin θ
a 2(1 + cos θ) =0.
Dies ist eine sehr komplizierte Differentialgleichung, wähle daher eine andere generalisierte
Koordinate:
q 2 =sin θ 2
θ =2arcsinq 2
sin θ = 2 sin θ 2 cos θ 2 =2q 2
√
1 − q 2 2
cos θ =1− 2sin 2 θ 2 =1− 2q2 2
Kinetische Energie:
Potentielle Energie:
√
x =2a(arcsin q 2 +2q 2 1 − q
2
2 ) , ẋ =4˙q 2 a √ 1 − q2
2
y = −2a(2 − q2) 2 , ẏ =4a ˙q 2 q 2
T =8ma 2 ˙q 2 2
V =2mgaq 2 2

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Bewegungsgleichung d dt
∂L
∂ ˙q 2
− ∂L
∂q 2
=0:
¨q 2 + g
4a q 2 =0.
Die Koordinate q 2 führt eine harmonische Schwingung mit der Frequenz ω = √ g
√
bzw. 4a
mit der Schwingungsdauer T =2π aus. Dieses Resultat hätte man auch durch eine
4a
g
entsprechende Substitution in der ursprünglichen Bewegungsgleichung mit der generalisierten
Koordinate q 1 = θ erhalten.
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l 1
ϕ
1 m 1
l 2
m 2
ϕ
2
Generalisierte Koordinaten ϕ 1 ,ϕ 2 :
T 1 = m 1
2 l2 1 ˙ϕ 2 1
U 1 = −m 1 gl 1 cos ϕ 1
x 1 = l 1 sin ϕ 1
y 1 = −l 1 cos ϕ 1
x 2 = l 1 sin ϕ 1 + l 2 sin ϕ 2
y 2 = −l 1 cos ϕ 1 − l 2 cos ϕ 2
L = T − U = T 1 + T 2 − U 2 − U 2
T 2 = m 2
2 (ẋ2 2 +ẏ2)= 2 m 2
2 (l2 1 ˙ϕ 2 1 + l2 2 ˙ϕ 2 2 +2l 1 l 2 ˙ϕ 1 ˙ϕ 2 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ))
U 2 = −m 2 g(l 1 cos ϕ 1 + l 2 cos ϕ 2 )
L = 1 2 (m 1+m 2 )l 2 1 ˙ϕ 2 1+ 1 2 m 2l 2 2 ˙ϕ 2 2+m 2 l 1 l 2 ˙ϕ 1 ˙ϕ 2 cos(ϕ 1 −ϕ 2 )+(m 1 +m 2 )gl 1 cos ϕ 1 +m 2 gl 2 cos ϕ 2

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Bewegungsgleichungen:
d
dt
(
)
∂L
∂ ˙ϕ 1/2
−
∂L
∂ϕ 1/2
=0
1) d [
(m1 + m 2 )l1 2 ˙ϕ 1 + m 2 l 1 l 2 ˙ϕ 2 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) ] =
dt
− m 2 l 1 l 2 ˙ϕ 1 ˙ϕ 2 sin(ϕ 1 − ϕ 2 ) − (m 1 + m 2 )gl 1 sin ϕ 1
2) d [
m2 l2 2 ˙ϕ 2 + m 2 l 1 l 2 ˙ϕ 1 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) ] =
dt
m 2 l 1 l 2 ˙ϕ 1 ˙ϕ 2 sin(ϕ 1 − ϕ 2 ) − m 2 gl 2 sin ϕ 2 .
Für kleine Schwingungsamplituden gilt
sin ϕ ≈ ϕ
cos ϕ ≈ 1 − ϕ2
2 .
Damit ergibt sich
1) d [(m 1 + m 2 )l1 2 ˙ϕ 1 + m 2 l 1 l 2 ˙ϕ 2
(1 − (ϕ )]
1 − ϕ 2 ) 2
=
dt
2
− m 2 l 1 l 2 ˙ϕ 1 ˙ϕ 2 (ϕ 1 − ϕ 2 ) − (m 1 + m 2 )gl 1 ϕ 1
2) d [m 2 l2 2 ˙ϕ 2 + m 2 l 1 l 2 ˙ϕ 1
(1 − (ϕ )]
1 − ϕ 2 ) 2
=
dt
2
m 2 l 1 l 2 ˙ϕ 1 ˙ϕ 2 (ϕ 1 − ϕ 2 ) − m 2 gl 2 ϕ 2 ,
und nach weiterer Auflösung
1) (m 1 + m 2 )(l 1 ¨ϕ 1 + gϕ 1 )+m 2 l 2 (¨ϕ 2 +˙ϕ 2 2(ϕ 1 − ϕ 2 )) = 0
2) m 2 (l 2 ¨ϕ 2 + gϕ 2 )+m 2 l 1 (¨ϕ 1 +˙ϕ 2 1(ϕ 1 − ϕ 2 )) = 0 .
Vernachlässigt man Terme der Form ˙ϕ 2 i ϕ j (d.h. cos ϕ i ≈ 1),soerhält man
Spezialfall m 1 = m 2 ,l 1 = l 2 = l:
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Lagrange-Gleichungen:
1) (m 1 + m 2 )(l 1 ¨ϕ 1 + gϕ 1 )+m 2 l 2 ¨ϕ 2 =0
2) m 2 (l 2 ¨ϕ 2 + gϕ 2 )+m 2 l 1 ¨ϕ 1 =0.
1) 2(l ¨ϕ 1 + gϕ 1 )+l ¨ϕ 2 =0
2) l ¨ϕ 2 + gϕ 2 + l ¨ϕ 1 =0.
L = T − V,
d ∂L
− ∂L =0
dt ∂ ˙q α ∂q α

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Hamilton-Gleichungen:
˙q i = ∂H
∂p i
,
ṗ i = − ∂H
∂q i
.
Übergang von Lagrange nach Hamilton durch eine Legendre-Transformation:
H(p, q, t) = ∑ i
p i ˙q i − L.
Für konservative Systeme entspricht die Hamiltonfunktion der Gesamtenergie und bleibt
erhalten:
H = T + V.
Vorteil:
Man erhält die Konstanten der Bewegung unmittelbar aus den zyklischen Koordinaten:
∂H
=0.
∂q α
Lagrangegleichungen liefern n Differentialgleichungen 2. Ordnung, die Hamiltongleichungen
2n Differentialgleichungen 1. Ordnung.
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a)
[F, G] = ∑ α
( ∂F ∂G
− ∂F )
∂G
= − ∑ ∂p α ∂q α ∂q α ∂p α
α
( ∂G
∂p α
∂F
∂q α
− ∂G
∂q α
∂F
∂p α
)
= −[G, F ]
Für die Poisson-Klammer gilt demnach nicht das Kommutativ-Gesetz der Algebra.
b)
[F 1 + F 2 ,G]= ∑ α
( ∂(F1 + F 2 ) ∂G
− ∂(F )
1 + F 2 ) ∂G
∂p α ∂q α ∂q α ∂p α
( ∂F1 ∂G
− ∂F )
1 ∂G
+ ∑ ∂p α ∂q α ∂q α ∂p α
α
= ∑ α
=[F 1 ,G]+[F 2 ,G]
( ∂F2 ∂G
− ∂F )
2 ∂G
∂p α ∂q α ∂q α ∂p α
Demnach erfüllt die Poisson-Klammer das Distributiv-Gesetz der Algebra.
c)
[F, q r ]= ∑ α
( ∂F ∂q r
− ∂F )
∂q r
= ∂F
∂p α ∂q α ∂q α ∂p α ∂p r
Denn es ist ∂qr
∂q α
=1für α = r und 0 für α ≠ r. Dagegen gilt ∂qr
∂p α
r beliebig ist, folgt das gesuchte Ergebnis.
=0für alle α. Da

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d)
[F, p r ]= ∑ α
( ∂F ∂p r
− ∂F )
∂p r
= − ∂F
∂p α ∂q α ∂q α ∂p α ∂q r
Denn es ist ∂pr
∂q α
=0für alle α, während ∂pr
∂p α
beliebig ist, folgt das gesuchte Ergebnis.
=1für α = r und 0 für α ≠ r. Dar