Kernphysik

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Kernphysik

SS 2013, HHU Duesseldorf, Prof. Dr. Thomas Heinzel

Vorlesung: Kern- und Elementarteilchenphysik, inoffizielle Mitschrift

by: Christian Krause, Matr. 1956616

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung Kernphysik 4

1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Wichtige Meilensteine (nicht vollständig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Sternstunde der Kernphysik: Rutherford’s Streuexperiment . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Aufbau der Atomkerne: Einige experimentelle Fakten 7

2.1 typische Untersuchungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Elementare Kerngrößen und -werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Massen - bzw. Ladungsverteilung im Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Anmerkung: Neutronen im Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Bindungsenergien der Nuklide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.1 Nukleonen und das Pauli-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.2 Das Tröpfchenmodell (Bethe-Weizsäcker-Formel) . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.3 Nuklidkarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Kernzerfälle und Instabilitäten, Radioaktivität 17

3.1 Stabilitätskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Radioaktivität + Physik der Zerfallsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Zerfallsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.2 Natürliche Radioaktivität (ohne Spaltung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 α-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Die β(Beta)-Zerfälle (β + , β − ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.1 Phänomenologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4.2 Modell: Kinetisches Energiespektrum e − (e + ) beim β-Zerfall . . . . . . . . . . . 25

3.4.3 Weitere Zerfallsart: e-Einfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Experimentelle Techniken 27

4.1 Beschleuniger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1 Relativistische Auflösung: λ dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.2 Beschleuniger-Konzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.3 Beispiele für Beschleuniger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Wechselwirkung ionisierende Strahlung ↔ Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.1 schwere, geladene Teilchen (als Projektil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.2 Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.3 Neutronenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.4 γ-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Detektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3.1 Ionisationskammer (Zählrohr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.2 Szintillationszähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.3 Halbleiter-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.4 Spurendetektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.5 Čerenkov-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Quantenmechanik der Streuprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.1 Quantenstreutheorie (elastisch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4.2 Relevanz für die Form des starken WW-Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4.3 Born’sche Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Kernkräfte + Kernmodelle 44

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5.1 Das Deuteron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Proton-Neutron-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3 π-Mesonen (Pionen): Austauschteilchen der Nukleon-Nukleon-WW . . . . . . . . . . . 48

5.4 Anmerkungen zu Kernmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Kernreaktionen 51

6.1 Einfache Beispiele für Kernreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3 Beispiele für stossinduzierte Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.4 Stossinduzierte Radioaktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.5 Kernspaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.6 Kernspaltungs-Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.7 Kernfusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.7.1 Kernfusion in der Sonne und in anderen Sternen . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.7.2 Entstehung der Elemente mit A > 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.8 Kontrollierte Kernfusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.8.1 Anforderungen an Fusionsreaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.8.2 Fusionsreaktoren mit magnet. Einschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 Grundlagen der Elementarteilchenphysik 66

7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.2 Quarks und Gluonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.3 Leptonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.4 Anmerkungen zur schwachen Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.5 “Standardmodell“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8 Offene Fragen 71

A Tutorium 72

A.1 Anmerkung zur Streutheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.1.1 Θ(b) Für kugelsymm. Potentiale V (⃗r) = V (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A.1.2 Anwendung auf Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A.1.3 Anmerkung zum Thomson-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A.2 Fermi-Dirac-Statistik, Fermi-Funktion, Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A.2.1 Teilchen-Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A.3 Kernspin-Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

A.4 Kernspin-Resonanz-Spektroskopie (NMR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.5 Altersbestimmung und andere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.5.1 Altersbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.6 Nuklearmedizin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A.7 Dosimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

A.7.1 Dosimetrische Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

A.8 Die natürlichen Spaltungsreaktoren von Oklo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.9 Energieversorgung: Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.9.1 Wasserkraftwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.9.2 Kernspaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.9.3 Windkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.9.4 Solarenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.9.5 Biomasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.9.6 Geothermie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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by: Christian Krause, Matr. 1956616

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Vorlesung: Kern- und Elementarteilchenphysik, inoffizielle Mitschrift

by: Christian Krause, Matr. 1956616 1 EINFÜHRUNG KERNPHYSIK

1 Einführung Kernphysik

1.1 Motivation

Kerne: Element des Atoms, das die Protonen + Neutronen enthält

klein: Kerndurchmesser ≈ 10 −4 des Atomdurchmesser

massiv: ≈ 99, 9% der Atommasse

⇒ Atom als Quantentopf E n ≈ n2

→ Charakteristische Energie ≈ 1eV, sichtbares Licht

a2 E charKern

E charAtom

≈ 10 7 , Potentialtopfbreite 10 fm → char. Energie ≈ 10 MeV

Kernphysik ≡ Physik des Atomkerns

1.2 Wichtige Meilensteine (nicht vollständig)

1896 Antoine Becquerel: Uranerz sendet unsichtbare Strahlung aus, die Photoplatten schwärzt

1898 Pierre + Marie Curie: Isolieren radioaktive Elemente Polonium + Radium

1902 Frederich Soddy: Klassifizierung der Strahlung in α, β, γ-Strahlung (heute unvollständig)

1911 Ernest Rutherford: Geburtsstunde der Kernphysik: α-Teilchen → Au-Folie: Streuung

α-Teilchens an einem Atom ⇒ Masse im Atom ist stark konzentriert

1911 Joseph Thomson: Massenspektrometer → Entdeckung von Isotopen

1911 Rutherford + Hans Geiger: α-Teilchen = He-Kern

1917 Rutherford: Postulat des Neutrons

1919 Rutherford: Erste künstliche Umwandlung eines chemischen Elements 4 2He + 14

7 N → 17

8 O + P

1924 Patrick Blackett: Erste Abbildung einer Kernreaktion in Nebelkammer

1924 Rutherford postuliert Existenz der starken Kernkraft (starke Wechselwirkung) → damit

verbunden: Neue Austauschteilchen: Gluon, π-Meson (Pion)

1932 James Chadwick: Entdeckt das Neutron 1 0N (Nobelpreis 1935)

1932 Carl Anderson: Entdeckung des Positron e + , m = m e , q = −qe

1939 Otto Hahn, Fritz Straßmann: Erste induzierte Kernspaltung, Erklärung dazu: Liese Meitner,

Otto Frisch

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 1 EINFÜHRUNG KERNPHYSIK

1955 Friedrich Reines, Clyde Cowan: Entdeckung des Neutrinos: ν e + p → n + e +

1960 Murray Gell-Mann, George Zweig: Postulieren Bausteine der Nukleonen (Protonen,

Neutronen): Quarks ≡ Teilchen ±1/3e, ±2/3e

up: q = +2/3e, down: −1/3e, Spin: 1/2, Tragen Farbladung

2012 Higgs-Boson (wird derzeit verifiziert)

1.3 Sternstunde der Kernphysik: Rutherford’s Streuexperiment

Vor 1912: Rosinenkuchen-Modell (Thomson-Modell)

Rutherford: α-Teilchen auf Au-Folie

Streuexperiment: Winkelverteilung der gestreuten Projektile ⇒ Streupotential

Konzept: Messe Ṅs(Θ, ∆Ω)

Ṅ s = Rate gestreuter Projektile um Winkel Θ im Raumwinkel ∆Ω

⇒ Differentieller Wirkungsquerschnitt dσ

dΩ (Θ) ∣

∣∣∣exp

Theorie: Setze Potential V (⃗r) an = V (r)

⇒ Θ(b), b=Stossparameter

⇒ dσ

dΩ (Θ) ∣

∣∣∣theo

Vergleiche theoretische mit experimentellen Werten

(i) Experimenteller Teil:

σ ≡ Integraler Wirkungsquerschnitt = effektive Streufläche eines Targets

Ṅ ≡ Projektil-Teilchenfluss: Flussdichte ṅ = Ṅ/F mit F ≡ Projektilquerschnittsfläche

n T ≡ Target-Dichte

d ≡ Target-Dicke

Insgesamt gestreut werden

ṅ s = ṅ · σ · n T · d mit n T · d= Aufintegrierte Flächendichte der σ-Scheiben

→ Ṅs = σ · n T · d · Ṅ

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 1 EINFÜHRUNG KERNPHYSIK

∆Ṅs(Θ, ∆Ω) = dṄs

dΩ · ∆Ω = Ṅ · n T · d · dσ (Θ)∆Ω nur σ hängt von Ω ab.


Normierung: ∆Ṅs(Θ, ∆Ω)



∆Ω = 4π

= n T · d dσ


(Θ)∆Ω ⇒

dΩ dΩ

aus Messgrößen

(ii)Theoretischer Teil

V (r) wird angesetzt: integrale Kraft des Potentials auf Projektil → Ablenkwinkel Θ(b)

∆Ṅs(Θ, ∆Ω) = b∆b · ∆Φ · ṅ · n T · d · F = Ṅ · n T · d · b d b


Vergleich zur Formel unter (i)

dσ d b

= b ·

}{{} dΩ dΘ (Θ) 1

·

} {{ } sinΘ

Messung Modellpotential

· ∆Θ · ∆Φ } {{ }

∆Ω

sinΘ

Atom im Thomson-Modell: Zufällige, mehrfache Streuung → Stochastik

Ṅ s (Θ) gaussverteilt

αe − Θ2

σ 2 , mit Θ ≈ 2 ◦ ⇒ Erwartung: Maximal beobachtbarer Streuwinkel ≈ 2 ◦

Messung Rutherford: Signifikante Großwinkelstreuung wird beobachtet, Abfall algebraisch

⇒ Mehrfachstreuung ist sehr unwahrscheinlich

Annahme: α-Teilchen streut an einzelnem Coulomb-Potential

V (N) ∝ 1 r → b(Θ) ⇒ 4πε ( )

0 Θ

µ · cot v0 2 · b

q p q T 2

mit µ = m T · m p

m T + m p

= reduzierte Masse, v 0 = Projektil-Geschwindigkeit, q p , q T = Ladung von

Projektil / Target


dσ (

dΩ (Θ) = qp q T

8πε 0 µv0

2

) 2

1

sin 4 Θ

2

Rutherford’sche Streuformel

→ Schlussfolgerung: Target muss innerhalb der Goldfolie stark lokalisiert sein (= punktförmig).

Streuung ist seltenes Ereignis.

⇒ Schlussfolgerung: Au-Kern enthält die Protonen

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 2 AUFBAU DER ATOMKERNE: EINIGE EXPERIMENTELLE FAKTEN

r k Kernradius ≈ 3,5 fm ≡ 3, 5 · 10 −15 m

Analogie: r k ≈ 5fm, r Atom ≈ 0,1 nm, r k ≈ 5 · 10 −5 r Atom

Vergleich: r Sonne ≈ 700.000 km, Abstand Erde Sonne: ≈ 1, 5 · 10 11 m ⇒ r Sonne ≈ 5 · 10 −3 Abstand

Erde Sonne

⇒ Atom ist im Wesentlichen leer

Anmerkung: Hinreichend hohe Ablenkwinkel oder Projektil-Energien: Ṅ s (Θ) gaussförmig:

Rosinenkuchenartiges Target

→ α-Teilchen dringen ab hier in den Kern ein. Dort: Zufälliges streuen → Kern selbst hat

Rosinenkuchen-Struktur: Knick in dσ

dΩ (Θ)

(E): Übergang von Coulomb-WW zu starker W.W. = Kernradius

2 Aufbau der Atomkerne: Einige experimentelle Fakten

2.1 typische Untersuchungsmethoden

• Streuexperimente:

– Potentialformen

– Anregungen

– Reaktive Streuungen, z.B. Proton rein, α-Teilchen raus

– Variation verschiedener Projektile:

∗ p, α: Coulomb + Starke W.W.

∗ n: Starke W.W.

∗ e: Coulomb-W.W.

∗ ν e : Schwache W.W.

• optische Spektroskopie

– Kernspin: Hyperfeinstruktur

– γ-Spektroskopie: Energiezustände des Kerns (typisch, MeV)

– Myonische Spektroskopie: m Myon ≈ 200m e , ersetze e durch Myon

⇒ Atom schrumpft ⇒ Kernpotential spielt eine größere Rolle

• α, β-Spektroskopie ≡ Spektroskopie mit von Kernen emittierten Teilchen

2.2 Elementare Kerngrößen und -werte

• Ladung: q k = +z · e mit z=Ordnungszahl (Protonenzahl) wird getragen durch

Proton p

– q p = +e = 1, 602 · 10 −19 C

– m p = 1, 673 · 10 −27 kg

– Spin 1/2 = Fermion

– Radius: 1,3 fm

– Aufbau: 2 up, 1 down Quarks

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Vorlesung: Kern- und Elementarteilchenphysik, inoffizielle Mitschrift

by: Christian Krause, Matr. 1956616 2 AUFBAU DER ATOMKERNE: EINIGE EXPERIMENTELLE FAKTEN

– Magnet. Moment: µ p = 1, 41 · 10 −26 J/K

– Kernmagneton µ K ≡ 3

2m p

= 5, 05 · 10 −27 J/K = 2, 79µ k

– “ + “ µ p ↑↑ ⃗s

– vgl: Elektron: µ B = 9, 27 · 10 −24 J/K

– µ c = µ B · 1, 001

– “Proton“ griesch. “das Erste“, Entdecker Rutherford (1919)

– Antiteilchen: Antiproton p, identisch zu p, außer q p = −q p = q e

– Entdecker: E. Segré, Chamberlain (1955) (Nobelpreis 1959)

• Masse: Zusätzliche Teilchen im Kern, Neutrale Teilchen mit m ≈ m p müssen vorhanden sein

Neutron n

– q n = 0

– m n = 1, 675 · 10 −27 kg

– Spin 1/2 = Fermion

– Radius: 1,3 fm

– Aufbau: 1 up, 2 down Quarks

– m n = 1, 675 · 10 −27 kg

– Magnet. Moment: µ n = −9, 66 · 10 −27 J/K = −1, 91µ k

– “ - “ µ n ↑↓ ⃗s

– Entdecker Chadwick 1932 (Nobelpreis 1935)

– m n > m p ⇒ freie Neutronen zerfallen ⇒ Lebensdauer freier Neutronen: τ n =887 sec.

– Antiteilchen n (Entdeckt von B.Cork 1956), Unterschied zum Neutron: Chiralität oder

Helizität

– n: Spin ↑↑ Flugrichtung

– n: Spin ↑↓ Flugrichtung, analog bei z.B. Neutrinos

Begriffe: Hadron ≡ Teilchen, die der starken Wechselwirkung unterliegen. (sofern frei beobachtbar)

• Aus 3 Quarks: p, n, ... = Baryonen

• Aus 1 Quark + 1 Antiquark aufgebaut: Pion π ± , p 0 , ... = Mesonen

Das Proton ist das einzige stabile Hadron

{p, n} ≡ Nukleonen (Kernbausteine)

Nuklid = Systeme aus Nukleonen; Kerne A ZX, X ≡ chem. Element, z = Ordnungszahl,

Kernladungszahl, A= Massenzahl = Anzahl Nukleonen, N = A-z = Neutronenzahl

Kernmassen und Massendefekt m k = z · m p + (A − z) m n −

∆m }{{}

Massendefekt

∆m ≡ E B Bindungsenergie: ∆m · c 2 = E B wird bei Bildung des Nuklids aus p,n abgestrahlt.

Bsp: 12

6 C häufigstes Kohlenstoff-Isotop

E(6p + 6n) = 1, 81 · 10 −9 J = 11, 283GeV

E( 12

6 C) = 1, 79 · 10 −9 J = 11, 194GeV

⇒ E B ( 12

6 C) = 89MeV

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 2 AUFBAU DER ATOMKERNE: EINIGE EXPERIMENTELLE FAKTEN

Anmerkung: Atomare Masseneinheit (amu): 1n = 1/12m( 12

6 C) = 1, 6605 · 10 −27

Def: E b ≡ E B

A

Bindungsenergie pro Nukleon = “Ionisationsenergie“

Maß für Stabilität des Nuklids: E b ( 12

6 C) = 7, 6MeV ⇒ Eisen ist das stabilste Nuklid

⇒ Allgemein Energieskalen sind im Vergleich zur Atomphysik ca. 6-7 Grössenordnungen höher.

⇒ E = hν

Atom: 1ev = sichtbares Licht, λ ≈ 1µm Kern: 10Mev = harte Röntgenstrahlung (γ-Strahlung),

λ ≈ 0, 1 − 1pm

Größe: Näherung: Nuklid ≈ Kugel, hart

r 0 = Radius Nukleon = 1,3 fm → r K = r 0

3 √ A 10fm∀ Nuklid

m k

Dichte ρ ≈

4/3πrk

3 ≈ 2 · 10 17 kg/m 3 → Kugel aus Erdmasse r E 240m

Messung von r k : Rutherford Experiment aus Übergang von dσ

dR∣ → dσ


Coulomb

dR


starke W W

2.3 Massen - bzw. Ladungsverteilung im Kern

Ladungsverteilung: ρ(⃗r)

Bestimmung: Analog zur Kristall-Strukturbestimmung durch Röntgenstrahlung, λ <

charakteristischer Abstand der Teilchen im Target

Kristall: a: Gitterkonstante, Kern r 0 ⇒ Intensitätsverteilung der gestreuten Welle =

Fourier-Transformierte der Struktur

→ als Projektil: Es bieten sich e − an: Keine Starke WW, Coulomb-WW, können gut auf hinreichend

kleine λ beschleunigt werden.

λ de Broglie (e − ) 1, 3fm = h p

Relativistische Energie: E = √ c 2 p 2 + m 2 ec 4 ≈ √ c 2 p 2 mit m e c 2 = 511keV


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by: Christian Krause, Matr. 1956616 2 AUFBAU DER ATOMKERNE: EINIGE EXPERIMENTELLE FAKTEN

∆p

2 · 1 ( ) Θ

p = sin ⇒ dσ

2 dΩ ∝ 1 mit ∆p= Impulsübertrag

∆p4 Wir werden sehen: Ṅ(Θ) = Ṅ(Θ) ∣ ∣∣∣P

unktstreuer

· F (∆ ⃗ k)(Formfaktor) mit F (∆ ⃗ k)=F.T. von ρ(⃗r)

Einfallend: Ebene Welle Ψ = Ψ 0 e i(⃗ k⃗r−ωt)

Gestreut: Kugelwelle: Ausgehend von Ladungselement d q = ρ(⃗r ′ )d⃗r ′

⇒ Gestreute Partialwelle χ ⃗r ′(⃗r) = Ψ 0 e i⃗ k⃗r ′

} {{ }

·a

r ei⃗ k ′ ⃗r ′ · ρ(⃗r ′ )d⃗r ′

Auf ⃗r ′ auftreffende Welle

mit ⃗r = ⃗ R − ⃗r ′ , da r ′ < R, r → ⃗ k ′ ≈‖ ⃗ R

Setze ein: ⃗r = R ⃗ − ⃗r ′ → ⃗ k · ⃗r ′ = ⃗ k ′ · ⃗r = ⃗ k ′ · ⃗R + ( ⃗ k − ⃗ k ′ ) ·⃗r ′

} {{ }

∆k

Da ⃗ k ′ · ⃗R ≈ k · R

χ ⃗r ′(⃗r) = a Ψ 0

R eikR · e i(∆⃗ k)·⃗r ′ · ρ(⃗r ′ )d⃗r ′

⇒ χ( ⃗ R) =


Volumen Kern

Man definiert F (∆ ⃗ k) ≡ 1

χ ⃗r ′(⃗r)d⃗r ′ = a Ψ 0

R eikR


q T

Kern


Kern

ρ(⃗r ′ )e i∆⃗ k·⃗r ′ d⃗r ′

ρ(⃗r ′ )e i∆⃗ k·⃗r ′ d⃗r ′ ≡ Formfaktor

= per Definition: Fourier-Tranformierte von ρ(⃗r)

q T = +ze ⇒ χ( R) ⃗ = a Ψ 0

R · q T · e ikR ·F (∆ ⃗ k)

} {{ }

Streuamplitude

F (∆ ⃗ k) beschreibt die Abweichung von ρ(⃗r ′ ) von einer Punktladung.

Messgröße


Ṅ(Θ) =

dΩ ∝ |χ( R)| ⃗ 2 dσ

⇒ Messung Ṅ(Θ) = |

dΩ | P unktstreuer = F (∆ ⃗ k) 2

Skizze der FT (nicht hier im Skript)

Messungen: ρ(⃗r) hat typisch die Form einer Fermifunktion:

1

ρ(r) = ρ 0 ·

e (r−R1/2)/a + 1

→ R 1/2 ∝ r 0

3 √ A

4, 4a ≡ Abstand in dem ρ von 90% von ρ 0 auf 10% von ρ 0 abfällt ≈ 0, 2 · R 1/2

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Massendichte: Bestimme analog; Projektil: Neutronen

→ Befund: ρ m (r) ≈ ρ(r) ⇒ Kern als Flüssigkeit “Tröpfchenmodell“

• Zusammenhalt durch starke WW.

• Inkompressibel

• Masse, Ladung homogen verteilt

• scharfer Rand

2.4 Anmerkung: Neutronen im Kern

Rutherford, 1911: Kerne ≈ doppelt so massiv wie z Protonen

1920: ∃ Neutronen im Kern

Vorstellung 1911 - 1920: z Elektronen außen, A-z Elektronen im Kern. A Protonen im Kern

Was spricht gegen dieses Modell?

i) Widerspruch zur Heisenberg’schen Unschärferelation: Man kann ein e − nicht durch Coulomb-WW

auf ≈ 3fm einschließen.

Heisenberg: ∆p · ∆v ≥

Ekin e− ≈ (∆p e) 2

2m e

3fm


2

2m e · r 2 k

⇒ r k ≈ 3fm → 100GeV = 10 11 eV >> E Coulomb (e − − p) bei Abstand von

⇒ e − kann nicht im Kern gebunden sein

ii) Spin: I P = 1/2 (Kernspin des Protons)

Deuteron: 1p, 1n ↔ alte Vorstellung 2p, 1e −

Beobachtet: I d = 1, nach alter Vorstellung: I d = 3/2 ↑↑↑ oder I d = 1/2 ↑↑↓

2.5 Bindungsenergien der Nuklide

E b ≡ E B /A Bindungsenergie pro Nukleon

Maß für Stabilität des Kerns

Bestimmung

• Massenspektrometrie vgl. M Kern ↔ m(z · p) + m((A − z) · n)

• Streuexperimente

• Photospaltung des Deuterons: d + hν → p + n + E kin ⇒ E b

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typischer Wert ≈ 7MeV, E b (A) = ?

Beobachtungen:

• E b steigt mit wachsendem A bis A=56, E max

b = E b ( 56

26F e)

• E b sinkt mit wachsendem A bis A > 56. Stabilitätskurve bricht ab bei A ≈ 240, obwohl

E b ≈ 7, 5MeV

Nuklidkarte: Trage Nuklide in (z,n)-Ebene ein

⇒ Stabile Kerne liegen nahe einer charakteristischen Kurve (Stabilitätskurve)

Nur Kerne (stabil oder instabil) nahe dieser Kurve existieren. Je größer der Kern wird, desto höher

ist sein Neutronenüberschuss → n wirken stabilisierend

im Folgenden: Erklärung von E b (A): Stabilitätsdiagramm

2.5.1 Nukleonen und das Pauli-Prinzip

n,p sind Fermionen → gehorchen der Fermi-Dirac Statistik, Besetzungsfunktion der Zustände:

1

f(E, µ, T ) =

e (E−µ)/kT + 1

µ ≡ chem. Potential

Stelle Fermi-Kante als scharfe Kante da → ∆E ≈ 1MeV >> kT im Kern sehr gut erfüllt

Darstellung als Quantentopf:

Potential der starken Wechselwirkung → Mittlere Potentiallandschaft ≈ Topf mit harten Wänden.

Form: Für p,n gleich

⇒ Töpfe separat für p,n darstellen. Unterschiede: In Folge der Coulomb-WW werden ersichtlich.

(siehe Skizze auf Folie)

Nuklidkarte: Auftragung aller stabilen + instabilen Kerne → in (z,A) liegen diese Nuklide nahe einer

Kurvenlinie.

Stabilitätsdiagramm: ∃ bei z 10 ein Neutronen-Überschuss

Grund: n wirken stabilisierend, als Abstandshalter zwischen den Protonen → Coulomb-Abstossung

wird reduziert.

Gedankenexperiment: Nuklid ohne Coulomb-WW, die dann angeschaltet wird.

Durch die Potentialanhebung der Coulomb-WW werden niedrigere Energiezustände für Neutronen

frei. Es kommt zum β + -Zerfall: p → n + e + + ν e

Bevölkerung der Zustände gem. Fermi-Dirac-Verteilung

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f(E, M, T ) =

1

e (E−µ)/kT + 1 , lim

T →0 µ(T ) ≡ E F Fermi-Energie

QM: Kugel mit harten Wänden: l ≡ Drehimpuls-Q.Z; j = radiale Q.Z: E j,l ≈ π2 2

2mr 2 k

(

j + l ) 2

2

Bei Kernen: k B T


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2. Oberflächen-Term: Nukleonen an Oberfläche haben weniger nächste Nachbarn ≈ 6

→ E B wird ∝ S (Oberfläche) reduziert.

Da r k ∝ 3√ A; S ∝ rk 2 ⇒ EOberfl. B

16, 8MeV

∝ A 2/3 ⇒ E Oberfl.

b

∝ A −1/3 ⇒ E Oberfl.

b

= −α s · A −1/3 ; α s =

3. Coulomb-Term: klassische Elektrostatik

ρ = const; Kern hat scharfe Wände → Coulombterm entspricht der elektrostatischen Energie

einer homogen geladenen Kugel

Eb Coul z 2

= −α c ·

A 4/3 α c = 3e2 = 0, 715MeV

20πɛ 0 r 0

Näherung: 2z ≈ A → E Coul

b ∝ −A 2/3

Berechnung: V (r) = Potential einer homogen geladenen Kugel

V (r) =

Q r k

4πɛ 0 r =

ρ

3ɛ 0

· r3 k

r mit r > r k, Q rk = ρ · 4

3 πr3 k

Baue Kugel aus Kugelschalen der dicke dr k auf, bringe diese Schichten aus r = ∞ an die

bereits bestehende Kugel. dQ = ρ · dV = ρ · 4πr 2 k dr k

geleistete Arbeit: dW = dQ · [V (r k ) − V (∞)]

Gesamtenergie: Integriere von r k = 0 bis zu r k = R k Kernradius


E Coul (R K ) =

R k

0

dW =

∫R k

0

ρ · r 3 k

3ɛ 0 r k

} {{ }

V (r k )−V (∞)

· 4πρrk

2 } {{ }

ρ·dV

dr k = 4πρ2

15ɛ 0

· R 5 k

z · e = 4 3 πρR3 k ⇒ ρ2 = 9z2 e 2

16π 2 Rk

6 , einsetzen mit R k = r √ 3

0 A

⇒ E Coul (R k ) =

3e2 z 2

· ≡ −ECoul

20πɛ 0 r 0 A1/3 B wirkt destabilisierend

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4. Der Asymmetrieterm:

Gemeint: Asymmetrie zwischen z und n = A-Z

Ursprung:

Wieder Gedankenexperiment: Kern ohne Coulomb-WW, dann einschalten der Coulomb-WW:

Durch Coulomb-WW verschiebt sich das Energie-Niveau der Protonen nach oben. Einige

Protonen zerfallen in Neutronen und füllen weitere Niveaus auf der Neutron Seite: Dadurch:

E F = kinetische Energie der höchstgelegenen Nukleonen steigt an. Ursprung:

Fermi-Dirac-Statistik

⇒ E b wird reduziert

Quantitativ: E asymm

b

= −α A

(z − N) 2

A 2

α A = 23, 2MeV

Anmerkung: α ′ = 4α A ≈ 92MeV tritt in Literatur auf.

Berechnung:

(i) Berechne E ges

kin = (Ep kin + En kin )(A, z) symmetrisch

(ii) → E asymm

B

= E ges

kin

(A, z = A/2) − Eges

Kern als zwei 3 dimensionale Fermigase

kin

(A, Z)

→ 31 Zustände: D i (E) = 2√ 2m 3

4π 2 3 √

E − E 0 i

mit E 0 i = Topfboden für i = n, p

n i = Anzahl der Teilchen, Kasten: Kantenlänge a

E

⇒ N ∫ i,F

i

a 3 =

E 0 i =0 D i (E)dE =


2m

3/2

3π 2 3 (E i,F ) 3/2 Seite 15


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→ E i,F =

( ) 2/3 ( )

Ni

· 2 3π

2 2/3


a m 2

⇒ Gesamte kinetische Energie einer Teilchenart:

E∫

i,F

Ekin i = a3

0

E · D(E)dE = a 3 (2m)3/2

4π 2 3

E∫

i,F

0

( ) 5/3

E 3/2 Ni

dE = C 0 · a 3 = C 0 · a −2 · N 5/3

i

a

mit C 0 = const, A ∝ a 3 :

E ges

kin = Ep kin + En kin = C 1A −2/3 (z 5/3 + n 5/3 )

Kern symmetrisch: z = n = A/2

( )

E ges

A 5/3

kin (A, A/2) = C 1 · 2 · · A −3/2

2

[

∆E ges

kin = C 1A −3/2 N 5/3 + z 5/3 − 2 · (A/2) 5/3] = −E asymm

B

Näherung: Sei T z ≡ 1 2 (z − N) ⇒ N = A/2 − T z; z = A/2 + T z

typisch:

( ) 2 Tz


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by: Christian Krause, Matr. 1956616 3 KERNZERFÄLLE UND INSTABILITÄTEN, RADIOAKTIVITÄT

Empirisch: E P aar

b = α P · δ · A −1/3


⎨+1 gg

mit δ = 0 ug/gu mit g gerade und u ungerade, z.B. “gg“: z gerade und n gerade


−1 uu

α p = 11,5 MeV

gesamt: E b (A) = ∑ i

Eb i (A) mit i=Volumen, Oberfläche, Coulomb, Asymmetrie, Paarbildung

2.5.3 Nuklidkarte

Auftragung aller bekannten Nuklide

aus ∂E b

∂A

!

= 0 → Kurve maximaler E b (z, N) : z(N)

Berechnung von z(N) aus B.-W.-Formel → stimmt gut mit der Lage der stabilen Kerne überein.

z min (A) =

1

1, 98 + 0, 014A 1/3 ⇒ z min(N min )

3 Kernzerfälle und Instabilitäten, Radioaktivität

Karlsruher Nuklidkarte, Nuklide in (z,N)-Ebene

Angaben zu Häufigkeiten, Zerfallsarten, Lebensdauer, Wirkungsquerschnitte

Isotop

Isotop

A

z X mit X = chem. Element

• Je größer der Abstand eines Nuklids von der stabilen Kurve, desto kürzer ist seine Lebensdauer

• alle Zerfallsarten (α, β ± , p, n) bringen Nuklid näher an Stabilitätskurve.

Beispiele:

α-Zerfall = Emission eines 4 2He-Kern

A

z X

−→ α A−4

z−2 Y + 4 2 He

Bsp. 208 α

85 At −→ 204

83 Y + 4 2 He + γ (Astatium → Wismuth)

Vorstellung: Innerhalb des Kerns bildet sich stochastisch eine α-Untereinheit → besonders stabil

Falls E(α) im Kern > 0 → Tunneln möglich

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 3 KERNZERFÄLLE UND INSTABILITÄTEN, RADIOAKTIVITÄT

Erste Anwendung des Konzepts des Tunnelns (Gamow)

β − -Zerfall: A z X β−

−→ A z+1Y + e − + ν e + γ

z.B.: 225

88 Ra β−

−→ 225

89 Ac + e − + ν e + γ (Radium → Actinium)

β + -Zerfall: A z X β+

−→ A z−1Y + e + + ν e + γ

z.B.: 15

8 O β+

−→ 15

7 N + e + + ν e + γ (Sauerstoff → Stickstoff)

Es gibt mehr als doppelt so viele β-Emitter wie α-Emitter.

Pathologisch: p,n-Emitter

Spaltung: Große Kerne spalten in 2 ≈ gleich große Fragmente + typisch n-Emission. (s. später)

β − : Nuklid hat Neutronenüberschuss: ∃ freie Protonenzustände unterhalb besetzter

Neutronenzustände: Kerne liegen unterhalb Stabilitätskurve

M (Tochterkern) + M (emittierte Teilchen) ! < M (Mutterkern) : Exotherme Reaktion

3.1 Stabilitätskriterium

Empirisch: Mattauch’sche Isobarenregel

isobar = Menge an Nukliden mit identischem A

j ganzzahlig: → A = 2j + 1 (ug oder gu)

∃ in der Regel nur ein einziges stabiles Isotop

→ A = 2j und A > 14 (uu oder gg)

∃ keine stabilen uu-Kerne, aber min. zwei stabile gg-Kerne

→ Nur 2 1H, 6 3 Li, 10

5 B, 14

7 N und stabile uu-Kerne

⇔ äquivalent: Isotopenregel

z gerade: ∃ mindestens 2 stabile Isotope

z ungerade: ∃ höchstens 2 stabile Isotope

Diskussion anhand von β-Zerfällen:

E b (z, A) für A=const: Isobarenreihe

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z-Abhängigkeit von E b (z, A = const)

E b (z) = E 0 − α C A −4/3 z 2 − α A A −2 (z − N) 2 =

mit α ∗ = const. und z 0 ∈ Q

zusätzlich: Paarbildungsterm:


⎨ 1 gg

E P aar (z) = α P δA −3/2 mit δ = 0 ug und gu


−1 uu

(i) Sei A=const., ungerade: δ = σ

Quad. Ergänzung

. . . = α ∗ (z − z 0 ) 2

ug oder gu → alle Kerne zu festem A liegen auf einer Parabel E b (z) ∝ (z − z 0 ) 2

→ Zerfallsreihe: Benachbarte Kerne können durch β-Zerfälle ineinander übergehen:

z > z 0 :

z < z 0 :

β + }

Zerfälle

β − Zerfälle hin zum Kern am Energieminimum

Zerfälle

⇒ ∃ nur ein stabiles Isotop!

(ii) Sei A=const, gerade

(ii,1) A > 14:

uu-Kern: δ = −1

gg-Kern: δ = +1

⇒ −E b (z − z 0 ) bzw. M(z − z 0 ) liegen auf zwei Parabeln:

gg-Kerne: E b höher, stabiler; uu-Kerne: E b kleiner, instabiler

Alle uu-Kerne zerfallen durch β-Emission in energetisch günstigere gg-Kerne

gg-Kerne nahe dem Energieminimum können nicht weiter zerfallen: Alle uu-Kerne haben höhere

Energie, benachbarte gg-Kerne nicht erreichbar wegen Auswahlregeln ∆q = ±e

(ii,2) A ≤ 14, gerade:

Offenbar sind hier 4 uu-Kerne stabil.

Grund: Je kleiner A, desto größer ist die Krümmung der Isobarenparabeln, Abstand wird größer ⇒

Ein uu-Kern kann unterhalb aller gg-Kerne liegen und ist somit stabil.

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3.2 Radioaktivität + Physik der Zerfallsarten

3.2.1 Zerfallsgesetz

Ensemble von n Kernen, λ ≡ Wahrscheinlichkeit eines Zerfalls pro dt

→ Aktivität = # Zerfälle pro Zeit

[Akt.] = 1 Bq (Becquerel)

dn

dt = −λn

→ n(t) =

∫ n

dn ′

n ′

n 0

= −

∫ t

t=0

λdt ′ ⇒ n(t) = n 0 e −λt

mit n 0 = n(t = 0) Ausgangsmenge an Mutterkernen, Zerfallsprodukt = Tochterkern

Lebensdauer: Zeitraum bis nur noch 1 e n 0 vorhanden ist

τ =< t >=

∫ ∞

0

1

λn(t)dt ·t · =

} {{ } n 0

Anzahl Zerfälle in[t,t+dt]

∫ ∞

0

tλe −λt dt = 1 λ

Halbwertszeit: T 1/2 Zeit nach der noch 50% von n 0 vorhanden sind:

setze n(t) = n 0

2 und löse nach t auf: T 1/2 = τ · ln(2)

• Erdwärme: ≈ 44T W Leistung, davon ≈ 50% durch radioaktive Zerfälle, restliche 50%: Bei

Erdentstehung durch Akkretion (Druckerhöhung); derzeit genutzt ≈ 40GW

• Strahlung im menschl. Körper ≈ 7000 Bq durch 40

19K

→ Die Welt ist voll von Radioaktivität

3.2.2 Natürliche Radioaktivität (ohne Spaltung)

= selbstständig in der Natur auftretende Kernzerfälle und deren emittierter Strahlung

Beispiele:

Nuklid Zerfallsart Freigesetzte Energie T 1/2

3

1H β − 29 keV 12, 3 a

40

19K β − 1,3 MeV 1, 5 · 10 9 a

129

53 I β − 150 keV 1, 7 · 10 7 a

135

55 Cs β − 210 keV 3 · 10 6 a

204

82 P b α 2,6 MeV 10 17 a

238

92 U α 4,2 MeV 4, 5 · 10 9 a

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T 1/2 10 9 a → Woher kommen kurzlebige Isotope mit T 1/2


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• α-Zerfall wird nur bei Nukliden mit A 150 beobachtet

• τ ∈ [10ms, 10 17 a]

• kinetische Energie weist charakteristische Verteilung auf.

Bsp: Zerfall von 208

85 At Astatium: H(E kin (α)) weist 4 Peaks auf. (mit H: Häufigkeit)

Können mit Anregungszuständen des Tochterkern erklärt werden.

• Typische kinetische Energie der emittierten α’s ≈ 5MeV

• Tochterkern + α evtl. γ-Strahlung erfüllen gemeinsam alle Erhaltungssätze (E, p, ⃗ L, ⃗s, q)

α-Zerfall:

E kin (α) = (M x − M Yx − m α ) · c 2

Welche Kerne zerfallen durch α?

Sichtbar anhand Stabilitätskurve: E b (A)? Ja, bedingt.

E B (α) = 28, 3MeV Bedenke: E b ist mittlere Bindungsenergie / Nukleon

A∑

E b (A) ≡ 1 A

i=1

E i b

Bilde α aus den je zwei obersten p und n im Potentialtopfmodell ⇒≈ 4E min

b

4E b > E B ( 4 2He) Widerspruch!

E min

b

=?, A=200 ≈ 100 Nukleonen mit E i b < E b = 25 gefüllten E-Niveaus

Typischer E-Niveau-Abstand ≈ 100 keV ⇒ E min

b

≈ 5, 5MeV − 6MeV

∆E α ≡ Energiegewinn durch Bildung eines α-Teilchens =

E B (α) − 4 · E min

b = 28, 3MeV − (22 − 24)MeV ⇒ ∆E α ≈ 4 − 6MeV möglich!

< 4.E b

Bei sinkendem A: E b (A) und damit E min

b

steigen an → ∆E α sinkt.

→ Abschätzung: Bildung von α-Teilchen bei ∆E α > 0 ist möglich für A 150

Bildung anderer Einheiten als α? z.B. 12

6 C-Kern

α-Teilchen wird emittiert. E- und Impulserhaltung: Mutterkern ruht

M y · vy 2 = m α vα

2 }

Ekin α M y · v y = m α v =

α

M y

M y>>m α

∆E α ≈ ∆E α

M y + m α

klassische Erwartung: falls ∆E α > E Coulomb−Barriere ⇒ α wird emittiert

bzw. ∆E α < E C.B : α bleibt im Kern

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E CB = Epot,α

Coulomb−W W (r γ + r α ) (Radius der beiden emittierten Kerne)

r γ + r α = r 0 [(A − 4) 1/3 + 4 1/3 ] ⇒ E max

CB =

z.B: At, A = 206 ⇒ E max

CB ( 208

85 At) ≈ 43MeV

klassisch ist der α-Zerfall bei allen Kernen unmöglich

(z − 2) · 2e 2

4πε 0 r 0 [(A − 4) 1/3 + 4 1/3 ]

George Gamow “zur Quantentheorie des Atomkerns“: Auflösung des klassischen Widerspruchs durch

Tunneleffekt: α-Teilchen tunnelt durch Coulomb-Barriere

Erstmalige Anwendung des Tunnelphänomens zur Erklärung von exp. Beobachtungen.

Approximation der Coulomb-Barriere durch Rechteck-Barrieren, λ de Broglie


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3.4.1 Phänomenologie

Tritt bei Kernen aller Massen auf

Bsp: 225

88 Ra β−

−→ 225

89 Ac (Radium → Actinium)

15

8 O β+

−→ 15

7 N

α-Zerfall: Alle Erhaltungssätze werden durch α− und Tochterkern erfüllt

β-Zerfall: Problem

Z.B. E- und p-Erhaltung: (Mutterkern ruht):

→ E kin

e =

µ T

µ T + m e

· ∆E Fester Wert!

Beobachtung weicht hiervon ab.

Falls nur e emittiert wird: Widerspruch zu Erhaltungssätzen.

Spinerhaltung ist ebenfalls verletzt! n → p + e − + ν e , p → n ≠ e +

Auch: Spin(p)= 1/2, Spin(n)=1/2, Spin(e)=1/2 ⇒ Widerspruch

z.B. Reaktion 6 2He β−

−→ 6 3Li + e −

∃ Fälle, in denen Li-Kern und e − in den selben Halbraum emittiert werden!

⇒ Postulat (W.Pauli): Es muss beim β-Zerfall ein weiteres Teilchen emittiert werden.

Spin=1/2, Ladung= 0, Masse: Abschätzung:

Maximale E-Differenz zwischen freigewordenem E B und E e kin

Falls zusätzliches Teilchen ruht: E-Fehlbetrag m T eilchen · c 2

+ ET

ochter

kin

→ Abschätzung: m T eilchen 0, 2eV ≈ 4 · 10 −7 m e

1930: Teilchen = “Neutrino“ = “kleines Neutron“, ν e , q = 0, s = 1/2, m νe


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by: Christian Krause, Matr. 1956616 3 KERNZERFÄLLE UND INSTABILITÄTEN, RADIOAKTIVITÄT

⇒ ∃ vierte Art der Wechselwirkung, die “Schwache Wechselwirkung“

Reichweite ≈ 1 10

Reichweite der starken W.W.,

Stärke: 10 −13 x Starke W.W., 10 −11 x Coulomb-W.W.

⇒ Es ist extrem unwahrscheinlich, dass ein Neutrino eine Reaktion durchführt

Detektoraufbau: Zwei Wassertanks á 200l Wasser an Kernreaktor. Darin gelöst: CdCl 2

→ hohe ν e -Flüsse ≈ 10 13 cm −2 s −1 Beachte: Natürliche ν e -Fluss von Sonne auf Erde ≈ 10 10 cm −2 s −1

Nachweismechanismus:

1. ν e wird von Proton des H 2 O eingefangen

p + ν e → n + e +

2. 113 Cd hat hohen Absorptionsquerschnitt für Neutronen:

113 Cd + n → 114 Cd ∗ T 114

1/2=20µs

−→ Cd + γ (9,1 MeV)

3. e + + e − machen Paarvernichtung: e + + e − T 1/2=10µs

−→

2γ (je 511 keV)

Die erwartete Gamma-Emission gilt heute als eindeutiger Nachweis.

Reines und Cowan: Nachweis-Effekt ≈ 10 −20 → ca. 1 Ereignis / Stunde

→ Abschätzung Wirkungsquerschnitt ≈ 10 −42 cm 2

Moderne ν e -Detektoren (s. später)

z.B. Super-Kamiokande (Japan) zählt ca. 3 natürliche Neutrinos pro Tag.

3.4.2 Modell: Kinetisches Energiespektrum e − (e + ) beim β-Zerfall

E.Fermi. Z. Phys. 88, 161 (1934)

Quantifizierung Neutrino-Hypothese druch Erklärung von I(E k in e− )

Fermi’s goldene Regel:

W(E) Übergangs-Wahrscheinlichkeit, Hier Wahrscheinlichkeit eines β-Zerfalls ∝ Zur Zustandsdichte

im Produktraum: Hier für e − (e + ) und ν e (ν e ) im Vakuum

β-Zerfall mit E-Differenz E 0 = E e + E ν (E e : Elektron, E ν : Antineutrino)

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Zustandsdichte: D e (E), D ν (E)= Zustandsdichte für freie Teilchen im Vakuum, Basisfunktion ebene

Wellen (s. Tutorium 2)

Im Impulsraum: D e (p e ) = 4πp 2 e

D ν (p ν ) = 4πp 2 ν umrechnen auf D ν (E) mit E ν =

Mit E ν = E 0 − E e ; D ν (E) ∝ (E 0 − E e ) 2

so dass W (E e ) ∝ D e (E)

} {{ }

∝ p2 e

2me

· D ν (E)

} {{ }

(E 0 −E e) 2


m 2 0 c2 + c 2 p 2 ν


m0 ≈0 cp ν

⇒ W (E) ∝ p2 e

2m · (E 0 − E e ) 2 ∝ I(E) (Zählerrate der e − )

⇒ Trage auf:

Fermi-Kurie-Plot


N e (E)

p 2 e

gegen (E 0 − E e )

Bem: Effekt einer ν-Masse auf F-K-Plot?

⇒ E e (max) = E 0 − m ν c 2 : Ändere E ν (p) durch m ν ≠ 0

→ Andere F-K-Funktion

z.B. β-Zerfall von 3 H : m 0 ≤ 250eV

Heute: Moderne Experimente m 0 ≤ 2, 2eV nach dieser Methode (Kraus Etal., Eur. Phys 3 (40,

447(2005)))

3.4.3 Weitere Zerfallsart: e-Einfang

= e − aus der Hülle des Atoms wird vom Kern geschluckt

p + e − → n + ν e → Änderung der Ordnungszahl z

Auch: k-Einfang: e − aus tief liegenden s-Orbitalen sind besonders gefährdet

Detektion: Durch chem. Nachweis des Tochter-Elements oder durch charakteristische

Röntgenstrahlung durch Auffüllen des freien e-Orbitals.

z.B.: 7 4Be 2000s,K

−→ 7 3Li ∗ γ

−→ 7 3Li + hν

αβγ→ zur γ-Strahlung:

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 4 EXPERIMENTELLE TECHNIKEN

In der Regel: Entsteht durch angeregte Tochterkerne, die in den Grundzustand übergehen.

Anregungen: Z.B. 1-Teilchen-Anregungen, 1 Neutron/Proton befindet sich im nächsten,

höhergelegenen Niveau, E: typisch 1 MeV

Bsp: (1): 212

83 Bi β−

−→ 212

84 P o ∗ γ

−→ 212

84 P o α −→ 208

82 P b

Vielteilchen = (kollektive) Anregungen, Kern schwingt, rotiert → quantisiert

22

11Na −→ β+ 22

10Ne ∗ γ

−→ 22

10Ne, bzw. ein kleiner Teil zerfällt direkt in den Grundzustand

Man beobachtet: 1,28 MeV, 511 keV und Summen, Harmonische, davon

511 keV: Paarvernichtung; höhere Frequenzen: Mischungen durch Nichtlinearität des Mediums

Kern = kompliziert schwingende Ladungsverteilung → viele Multipolmomente → Multipolstrahlung

E 2 , E 3 , E 4 mit M 2 , M 3 , . . .

4 Experimentelle Techniken

Typsiche Energieskala: MeV, z.B. Struktur des Kerns ρ(r), ρ e (r)

Projektil: e − mit E ≈ 1 GeV, woher?

Oder: Erzeugung neuer Teilchen

E e − ≈ 511 keV, E p ≈ 1 GeV, E Higgs ≈ 127 GeV

⇒Konsequenz: Teilchen (Projektile) müssen auf Vielfaches ihrer Ruheenergie beschleunigt werden

→ E = m T eilchen c 2 muss bereit gestellt werden:

V T eilchen = c − δ mit δ


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c 2 p 2 > m 0 c 4 : Taylor E → cp

Üblich: Formuliere unabhängig von Teilchenart: Normiere auf m 0 c 2

α ≡ E kin

m 0 c 2

Damit: Massenzunahme: E kin =

→ m(v)

m 0

=

1


1 − v2

c 2

= · · · = 1 + α = γ

Nach p auflösen: p = m(v) · v = 1 c


m 2 0 c4 + c 2 p 2 − m 0 c 2


E 2 kin + 2m 0c 2 E kin = m 0 c √ α 2 + 2α

⇒ λ dB = h p =

h 1


m 0 c α 2 + 2α

bei α >> 1: λ dB ≈

h

αm 0 c

relativistische de Broglie Wellenlänge

z.B.: e − , λ dB,e − ≈ 1fm → E e−

kin ≈ 1GeV

p, λ dB,p ≈ 1fm → E p kin ≈ 500MeV

Beachte: bei hohen Energien spielt die Ruhemasse für den Impuls keine Rolle ↔ Impulszunahme bei

v


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m 0,p = m 0,T , E p kin = q · V = m(v)c2 − m 0 c 2 Def.

= αm 0 c 2 mit V =Spannung

E s.p.

kin

= Kinetische Energie im Schwerpunkt-System; Energie, die expt. zur Verfügung steht

= m 0 c 2√ 2 + 2α α>>1


m 0 c 2√ 2α Def =

α


E s.p.

kin ∝ 2E P rojektil

kin

⇒ Problem


2E P rojektil

kin

m 0 c 2 mit α =

EP

rojektil

kin

m 0 c 2

Bsp. Proton: E P rojektil

kin

= 100GeV → E s.p.

kin = 7GeV (steht zur Verfügung), wobei m pc 2 = 940MeV ,

E s.p. ≈ 93GeV (ist verloren)

↔ vgl. zwei p auf je 50 GeV beschleunigt (entgegengesetzt)

E s.p

kin = 100GeV ; E s.p = 0

Beispiel: Umsetzung des Konzepts HERA (High Energy Ring Accelerator), Hamburg (seit 2007

stillgelegt)

Durchmesser: 6,6 km, E= 60 GeV, e − im Uhrzeigersinn, e + gegenläufig, mit denselben Ablenkspulen

/ Beschleunigern + Überlagerungspunkt zur Kollision → Collider

4.1.3 Beispiele für Beschleuniger

1. Zyklotron

Erfinder: E. Lawrence (1930) → Nobelpreis 1939

= Vakuumkammer, aus zwei Hälften hohler Zylinder “D’s“

dazwischen: E-Feld ⃗ wird angelegt

⊥ Zylinderebene: B-Feld ⃗ (homogen)

Umlauf-Kreisfrequenz: ω c = eB m Zyklotronfrequenz

⇒ ⃗ E-Feld muss alle halben Umlaufperioden umgepolt werden. Z.B. ⃗ E(t) = ⃗ E 0 sin(ω c t)

Zyklotron-Radius r c = v ω c

steigt

z.B.: U=50 kV, B=2T, R=1m ⇒ für Protonen ω c ≈ 30 MHz ·2π

→ E kin

max(r c = R) ≈ 200MeV

4000 Umläufe in 130 msec, technisch machbar: E kin ≈ 500MeV

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Paul-Scherrer-Institut (Villingen): E kin ≈ 590MeV

Beachte: m nimmt zu, geht in ω c ein → mit Beschleunigung muss ω c synchron abgesenkt

werden

“Synchro-Zyklotron“ (→ Übungen)

⇒ Nur gepulster Betrieb möglich

2. Betatron

Hier: r c = const, Geschwindigkeitszunahme durch wachsendes B-Feld innerhalb der

Teilchenbahn (Induktionsgesetz)

d ⃗ B

dt = −⃗ ∇ × ⃗ E; ⃗ B ‖ ⃗e z = | ⃗ B| = B

Tangentialkomponente von ⃗ E an Kreisbahn beschleunigt Teilchen

→ Beschleunigungs-Spannung ∮ ∫ ∫ pro Umlauf:

U ind = ⃗E ds =

⃗∇ × E ⃗ dA = πrc 2 · d < B >

dt

s

eingeschl. Fläche A

= mittleres vom Teilchen umflogenes B-Feld

mit < B >= 1 ∫

πrc

2 A

⃗B d ⃗ A

Impuls eines zu Beginn ruhendes Teilchens.


p =


F dt = q


E tan dt U ind=2πr c·E tan q =

2πr c

U ind dt

U ind ()

=

q

2πr c

πr 2 c

∫ d < B >

dt

dt = q · r c · < B >

2

(1)

Anderseits: p derart, dass Teilchen auf Kreisbahn mit r = r c

mv 2

r c

= q · v · B(r c ) mit B(r c ) ≠< B >; B-Feld am Ort der Trajektorie

⇒ B(r c ) = m · v

q · r c

E kin

max ≈ 300MeV

vgl. mit (1): < B >= 2 · mv

qr c

⇒ B(r c ) ! = 1 2 < B > Wideroe-Bedingung

Vorteil Betatron: Beschleunigung Massen-unabhängig

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• keine relativistischen Korrekturen nötig

• funktioniert für viele Teilchenarten bei identischen Paramtern (gleichzeitige

Beschleunigung mehrerer Teilchenarten)

Limitierung durch Größe des Magneten

E max

!

= 30GeV für e − : B(r c ) = 1T → r c ≈ 100m technisch nicht machbar

3. Vermeide B-Feld-Problem durch linear angeordnete Beschleunigungs-Strecke →

Linearbeschleuniger: Nachteil: groß

Konzept: Hintereinanderschaltung mehrerer Beschleunigungs-Strecken: Metallröhren, werden

von Ladungen axial durchflogen

• innerhalb Röhre: kein ⃗ E-Feld

• beim Austritt: ⃗ E-Feld zwischen Röhren beschleunigt ⇒ während des Durchflugs:

Umpolen!

⇒ Länge der Röhren wächst mit Abstand von Quelle an

Variante: Wanderwellen-Röhre

4. Synchrotron:

Problem: Linearbeschleuniger → sehr gross

Zyklotrons → Fläche B-Feld auf wenige m 2 begrenzt

→ ∆ Linear-Beschleunigerelemente in Kombination it lokalen B-Feldern

→ Ring: Synchrotron: ⃗p T eilchen steigt ⇒ B-Feld muss zur Beschleunigung synchron

hochgefahren werden.

typisch: Vorbeschleunigung im Linearbeschleuniger auf z.B. 0,99 c ≈ 500 MeV

→ weitere Beschleunigung im Ring auf (1 − 10 −4 )c bis (1 − 10 −6 )c

Einkopplung (Auskopplung): Ablenkkondensatoren

Synchrotronstrahlung: kollimierte, kohärente, abstimmbare Röntgenstrahlung. Wichtig für z.B.:

• Röntgen-Holographie

• Kristallstruktur-Analyse

• kohärentes “Röntgen“

Grösstes Synchrotron: LHC (Large Hadron Collider)

CERN (Conseil Europeen de la Recherche Nucléaire)

Ring: Umfang 27km, ≈ 100m unter Erde

Zwei Gegenläufige Protonenstrahlen: E max (Protonen) geplant 7Tev = 7000 GeV, derzeit 3,5

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TeV

Ablenkung: 8000 Supraleitende Magnete (B ≈ 8,3 T), gekühlt mit flüssigem Helium

Druck im Ring: ≈ 10 −10 mbar

Baukosten ≈ 3 · 10 9 Euro, getragen von 20 Nationen

v = c(1 − 2 · 10 −6 ): Ring wird ca. 11000 x/sec durchlaufen

Leistungsaufnahme: ≈ 150 MW (Düsseldorf ca. 500 MW)

Variante: Speicherring: v=const. im Synchrotron, Teilchen werden eingekoppelt →

Quasi-kontinuierlicher Strahl möglich, hohe Intensitäten.

4.2 Wechselwirkung ionisierende Strahlung ↔ Materie

Als Grundlage der Detektion, z.B.

• schwere Teilchen, geladen (p, α), oder neutral (n)

• leichte Teilchen (e − , e + , ν e )

• γ-Strahlung (Photonen), sonstige Austauschbosonen (s. Kap. 8)

Charakter und stärke der WW, abhängig von Teilchenart.

4.2.1 schwere, geladene Teilchen (als Projektil)

+ze=q überwiegend Coulomb, m p >> m e überwiegend Streuung an e − der Atomhüllen →

Ablenkung, E-Verlust des Projektil pro Stoss mit e − ist sehr klein

Abnahme der Strahlintensität ist nicht-exponentiell

Vorgehen Modell:

1. ∆p bzw. ∆E pro Stoss an einem e −

2. Aufintegrieren über n e Elektronendichte

F ‖ mittelt sich weg

⇒ Projektil, e − erfährt Kraft F ⊥ , ∆⃗p ⊥ ⃗e x

Annahme: E Bindung (e − ) ≈ 0


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⃗F = −e · ⃗E = 1

4πε 0

zp · e 2

r 2 ⃗e r = 1

4πε 0

zp · e 2

x 2 + b 2⃗e r

→ ∆p e =

∫ ∞

−∞

F ⊥ dt dt= dx v

=

∫ ∞

F ⊥

−∞

v dx = e v

∫ ∞

−∞

E ⊥ dx

∫ ∞


NR: Lösung E ⊥ dx mit Satz von Gauss:

−∞

A


⃗Ed A ⃗ =

V

⃗O ⃗ EdV Gauss = z · e

ε 0

eingeschlossene Ladung; Boden, Deckel → x → ±∞ tragen nicht bei

∫ ∞

= 2πb E ⊥ (b, x)dx

−∞


∫ ∞

−∞

E ⊥ dx =

z p · e

2πb · ε 0

⇒ ∆E e = −∆E p = ∆p2 e

2m e

=

z 2 pe 4

8π 2 b 2 ε 2 0 m ev 2

Aufintegrieren über alle e − im Target:

∆e (tot)

p



b∫

max

z

= − ⎣

pe 2 4 1

n e

8π 2 b 2 ε 2 0 m ev 2 b 2 · }{{} 2πb db⎦ ∆x ∝ 1 b

b min

Jacobi

→ divergiert → Lege sinnvolle Grenzen b min , b max fest.

b min z.B. ≈ r 0

b max z.B. ≈ 3x Abschirmlänge (Yukawa-Potential)


∆E p

∆x ≈ dE p

dx = − z2 pe 4 n e

4πε 2 0 m e

1

v 2 p

( )

bmax

ln

b min

Bethe-Bloch-Formel

Beschreibt Energieverlust Projektil pro Strecke im Targetmedium

Beachte: dE p

dx ∝ 1 E p

(nichtrelativistisch) → Energie wird in relativ kleinem Fenster absorbiert

Bragg-Peak: ⇒: Durch Wahl von E p , Targetmaterial → einstellen, in welcher Tiefe E p deponiert

wird; z.B. Implantation in Kristallen, Protonentherapie

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4.2.2 Elektronen

Bem: e + verschwinden durch Paarvernichtung: Reichweite: wenige mm

m P rojektil = bzw. E e

2. Bremsstrahlung: Abbremsung der e − in Kernfeldern (dominant, exponentiell)

− dE e

dx

∣ ≈ 4m Kernz 3 α 3 2 E e

Kern=T arget

m 2 ec 2

( ) a(E)

ln

z 1/3

mit α ≡ Feinstrukturkonstante = 1

137 = e2

4πε 0 c

Reichweiten Bsp: E p = 1MeV

Projektil Targetmedium

Luft H 2 O Pb

e − 3.8 m 4.3 mm 670 µm

p 25 mm 22 µm 8 µm

α 5 mm 4 µm 2.6 µm

und a(E) = Numerischer Faktor

4.2.3 Neutronenstrahlung

Quelle: Kernreaktionen: Die n freisetzen, z.b. Spaltung von 235 U

Kollimation und Reflexion an einer Metallwand, E n ≈ 1 - 10 MeV, Moderation = Verzögerung;

Thermische Neutronen: E kin ≈ 300K = 25meV

WW mit Materie: Über starke Kernkraft → Verzögerung: geringe Effizienz

Abschwächung durch Absorption: keine Coulomb-Barriere:

• Starke Abnahme des Streuquerschnitts mit zunehmender Energie; Grund λ dB (n) sinkt mit

steigender Energie

• Überlagert: Starke Streu (Absorptions-)Resonanzen im Bereich ≈ 1 MeV = Niveauabstand der

n-Zustände im Kern

Beispiel: 10

5 B + n → 2 3Li + α σ Absorptions ≈ 10 3 fm 2

235 U + n → 136

53 I + 98

39Y + 2n (Iod, Yttrium)

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4.2.4 γ-Strahlung

In der Regel: Exponentielle Abschwächung

3 Mechanismen:

• Photoeffekt

• Comptoneffekt

• Paarbildung

1. Photoeffekt

hν Absorption, Anregung von e− Ionisation

−→

typisch: 1-Photon-Absorption

E kin (e − ) → Wärme

σ P.E.



< z T > 5

E 3,5

γ

über Targetkerne gemittelt

Fällt mit steigendem E γ ab.

2. Comptoneffekt ≡ inelastische Streuung von Photonen an Elektronen

Da E γ >> E Bindung (e − ), e − ≈ quasi-frei

σ C ≈ z · E γ für kleine Energien E γ m e c 2

σ C


≈ σ0 −

E γ

m e c 2 für E γ m e c 2

3. Paarbildung hν → e + + e − + E kin , E min (Paarbiludng)= 2 · m e c 2 = 1,022 MeV

e + + e − → Paarvernichtung, e − relaxieren

σ P B


≈ z 2 ln E γ

4.3 Detektoren

Konzept: Teilchen → Target: Wechselwirkung ⇒ (el.) Signal

zu messen: z.B. Teilchenart, Energie, Impuls (Spektrum), Trajektorie

Detektor-Kenngrößen:

• Spezifität auf Teilchenart

• Empfindlichkeit

• Ansprechzeit

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4.3.1 Ionisationskammer (Zählrohr)

Prinzip: Ionisierende Strahlung fällt auf Zählgas in Kammer zwischen Kondensatorplatten

→ Ionisierung: e − → + Platte; Ion + → - Platte ⇒ Strompuls

Kondensator mit V(klein) vorgespannt: Alle Ladungen erreichen Kondensatorplatten: Signal ist

abhängig von Teilchenart, unabhängig von V.

V > V Schwelle1 : Proportionalbereich: Durch Strahlung erzeugte Ladung kann selbst Ionisieren →

Verstärkung ∝ V; Teilchenselektivität bleibt erhalten

V > V Schwelle2 : Teilchenselektivität geht verloren: Ionisation sättigt ⇒ Geiger Müller Zähler

10 7 V/M ⇒ Strompuls sehr hoch, aber keine Teilchenselektivität

Teilchenselektivität durch wahl geeigneter Filterfenster (z.B. absorbieren α)

Detektion von Neutronen BF 3 als Zählgas: 10

5 B + n → 7 3Li + α (ionisiert)

Aufbau Geiger-Müller-Zähler: (Skizze nicht im Skript)

⃗E =

V

rln ( a

)⃗e r mit b = Drahtradius, a = Zählrohrradius

b

typisch: a = 1 cm, b= 100 µm → | ⃗ E|(r ≈ b) ≈ 10 7 V/m

4.3.2 Szintillationszähler

Strahlung → Szintillatorkristall (Medien, die Strahlung mit hoher Effizienz in Lichtpulse (sichtbar)

umwandeln)

Photoeffekt + Rekombination. z.B.: NaI + Tl-Dotierung (Thallium)

→ Lichtblitze auf Photomultiplier

N P hoton = α ·

E kin

hν P hoton

⇒ (+) schnell: Ansprechzeit ≈ 10ns, hohe Effizienz, Nachweis-Wahrscheinlichkeit

(-) Betrieb im Dunkeln und bei geringer Luftfeuchte

4.3.3 Halbleiter-Detektor

z.B. p-n-Diode aus Silizium

Teilchen regen in Verarmungszone (am p-n-Übergang) Elektron-Loch-Paare an.

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Ladungstrennung durch ⃗ E eingebaut + angelegte Spannungen.

→ Ähnlich Ionosationskammer, aber

• Medium-Dichte ist viel höher (Kristall) → Effizientere Detektion (Nachweis-Wahrscheinlichkeit

≈ 10 4 − 10 5 x Ionisationskammer)

• ∆E pro e-h-Paar ≈ 1 eV ↔ 10-100 eV in Ionisationskammer → höhere Signale

• Raumladungszone ≈ 1 mm → schneller

• γ-Spektroskopie wird möglich: E γ = Pulsamplitude, Intensität = Häufigkeit der Pulse

• Nachteil: kleines Detektionsvolumen

4.3.4 Spurendetektoren

Häufig: E kin , Teilchenart anhand der Trajektorien, insbesondere in Magnetfeldern detektierbar

Meist: Teilchen gibt E kin entlang Trajektorie ab.

⇒ Eine Vielzahl von Informationen

Nebelkammer, Blasenkammer, Streamer

Konzept Nebelkammer:

1. Kammer mit gesättigtem H 2 O-Dampf (oder Alkohol)

2. (A) Teilcheneinfall: → Trigger: Kammer wird adiabatisch expandiert

3. Übersättigung: Tröpfchenbildung

• Keine Strahlung: Tröpfchen neutral: Kleine Tröpfchen verdampfen, große Tröpfchen ≈

stabil

• Strahlung: Tröpfchen geladen: Kleine Tröpfchen werden stabilisiert

• ⇒ kleine Tröpfchen dort, wo Strahlung durchgeflogen ist

4. Visualisierung (Beleuchtung)

• H 2 O-Dampf: Rayleigh-Streuung: σ ∝ ω 4 , schwach

• (B) große Tröpfchen: r >> λ: Streuung schwach (geometrische Optik)

• kleine Tröpfchen: λ ≈ r: Mie-Streuung, stark

• ⇒ starke Lichtstreuung entlang der Teilchentrajektorien!

zu (A): Adiabatische Expansion

H 2 O-Luft-Gemisch, gesättigt:

p Dampf (V 2 ) =

(

V1

V 2

) κ

· p Dampf (V 1 ) mit κ = 7 5 = 1, 4= Adiabaten-Exponent Seite 37


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( ) κ−1 V1

→ dabei Abkühlung T (V 2 ) = T (V 1 )

V 2

Sättigungs-Dampfdruck sinkt exponentiell:

p s (T ) ∝ e −

λ

k B T

mit λ= Verdunstungswärme

zu (B): stabile Tröpfchengröße + Ladungsabhängigkeit

Oberflächenspannung σ erhöht Druck im Tröpfchen

Hydrodynamik: ∆p σ (r) = 2σ r

⇒ lokaler Dampfdruck wird erhöht bei sinkendem r

⇒ Teilchen verdampfen für r < r kritisch

r > r kritisch : stabil

r < r kritisch : instabil → verschwinden

Effekt von Ladung im Tröpfchen: Moleküle erfahren Dipolkraft nach innen → Abdampfen wird

erschwert → Tröpfchen stabilisiert

Einstellung Kammer: Geladene Tröpfchen machen Mie-Streuung, Neutrale Tröpfchen sind für

Mie-Streuung zu groß.

Blasenkammer: Kammer mit Flüssigkeit gefüllt → Strahlung gibt Wärme lokal ab ⇒ Blasenbildung

entlang Trajektorie: Visualisierung über Lichtstreuung.

p Dampf : Abgesenkt, getriggert, unter p s → Flüssigkeit verdampft lokal → Lichtstreuung an der

Dampf-Trajektorie.

Vorteil: Medium ist dichter → Kammer kompakter.

Streamerkammer: Ionisationskammer, Durchflugszeit = Strahlungspulsdauer, Leuchtspur: Licht

entlang Trajektorie

4.3.5 Čerenkov-Detektor

Misst direkt Teilchen-Geschwindigkeit, aber nur von geladenen Teilchen. Funktioniert nur für

v T eilchen > c mit n = Brechungsindex Detektormedium

n

Medium: Polarisierbar, z.B. Wasser, PMMA (Polymethylmethacrylat = Plexiglas), ...

Entlang Trajektorie: Medium wird polarisiert

• Relation unter Abgabe von Dipolstrahlung

• kurzzeitig strahlende Punktquellen entlang Trajektorie

• Aufbau der Wellenfronten

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Vorlesung: Kern- und Elementarteilchenphysik, inoffizielle Mitschrift

by: Christian Krause, Matr. 1956616 4 EXPERIMENTELLE TECHNIKEN

1. v < c n

Wellenfront bildet sich nicht aus

2. v > c n

Konstruktive Überlagerung, Wellenfront; Ausbreitungsrichtung Licht =

Teilchen-Geschwindigkeit V T eilchen

cosΘ C =

c

n t

vt = c

nv

( c

)

⇒ Θ C = Čerenkov-Winkel = arccos vn

• Messung V T eilchen

• sehr schnell: 10 GHz

• typisch: Blaues Licht

4.4 Quantenmechanik der Streuprozesse

Coulomb: V (r) =

q

4πɛ 0 r ; Gravitation 1 r

Starke W.W.? Näherungsweise Kastenpotential

Messungen zum starken WW-Potential stehen im Widerspruch zu einem Einteilchen-Potential

Sichtbar in Streuamplituden, dazu: Quantenstreutheorie

klassisch

Streuung eines lokalisierten Teilchens

Messgröße: dσ

dΩ → Potentialform

quantenmechanisch

Streuung von Wellen, nicht lokalisiert


dΩ keine Zählrate, sondern |Ψ|2 der gestreuten Welle

Phasenverschiebung der gestreuten Welle: Maß für V (⃗r), “Streuphasen“ δ e → dσ

dΩ Quantenmechanik:

⃗L ist quantisiert → b ist nicht beliebig (⃗r × ⃗p = ⃗ L) ⇒ Einlaufende Wellen mit

Drehimpuls-Quantenzahl l = 0, 1, 2, ...

l=0 s-Welle Streuphase δ 0

l=1 p-Welle Streuphase δ 1

...

“Partialwellen-Zerlegung“

Stelle einlaufende Welle in Basis der Partialwellen zu l=0,1,2,... dar.

→ Messe δ 0 , δ 1 , · · · → dσ


Bemerkungen:

experimentell ↔ vgl. mit


dΩ (Modell)

• auch hier: keine Eindeutigkeit

• selbst einfachste Potentialformen: nur numerisch lösbar

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4.4.1 Quantenstreutheorie (elastisch)

Ebene Welle ⃗ k fällt ein, wird gestreut am Target. Abstand Target - Detektor >> Target Ø→

gestreute Welle ist Kugelwelle.

Gesamte Wellenfunktion Ψ ges (⃗r) = A ⎢

⎣ }{{}

eikz

über V (⃗r) mit Θ=Streuwinkel

f(Θ) ↔ dσ


? ⇒ Kap. 2

dΩ dΩ = j ar 2

j e

Detektor: Fläche dF → dΩ = dF

r 2


Ψ E (⃗r)

+ f(Θ) eikr

r } {{ }

Auslaufend Ψ A (⃗r)

mit j i = Stromdichte ein- bzw. auslaufend



⎦ mit f(Θ) = Streufaktor, enthält Info

Zählrate: j a · dF = v a · |Ψ A (⃗r)| 2 dF = v a · | A r f(Θ)eikr | 2 dF mit v = Geschwindigkeit

= v A A 2 |f(Θ)| 2 dΩ

j e = v e |Ψ E | 2

} {{ }

A 2

normiert

elastisch: v a = v e ⇒


dΩ = |f(Θ)|2

Wie hängt f(Θ) von den Streuphasen ab?

→ Partialwellen-Zerlegung: Drehimpuls quantisiert → Partialwellen mit Quantenzahl l als Basis.

l-Quantisierung: | L ⃗ P rojektil | = | ⃗ b × ⃗p| = l · ⇒ b = l λ



2l + 1

P l hat l Nullstellen. Normierung: c l =


mit λ=Wellenlänge Projektil

Radialgl: Hier geht V (r) ein. Lösung für V (r) = 0: Verwendet für große Abstände

Re(kr) = j e (kr) mit j e =sphärische Besselfunktion und k = p = Wellenzahl der Projektile


Entwicklung von e ikz in Basisfunktionen.

e ikz =

∞∑

a e · j e (kr)P l (cos Θ) mit kz = kr cos Θ

l=0

Koeffizienten a e = · · · = (2l + 1)i l Seite 40


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Mit steigendem l wird Abstand der Basisfunktion von Hauptachse (⃗e z ) größer.

Große Abstände, kr >> 1 → j e (kr) ≈ 1

kr sin(kr − lπ 2 )

mit sinα = i 2 (e−iα − e iα )

Ψ E (⃗r) = 1

2kr



∞∑

(2l + 1)i l+1 ⎣e } −i(kr−lπ/2)

{{ } − } e i(kr−lπ/2) ⎦

{{ } P l (cos Θ)

} {{ }

einlaufend auslaufend Kugelwelle

l=0

Bedeutung für gestreute Welle:

Streuung ⇒ auslaufende Kugelwellen, die nur Phasen δ l gegenüber ungestreuter Welle verschoben

sind ⇒ Form von Y lm (⃗r)

Ψ E (⃗r, Θ) = 1 ∞∑

[ (2l + 1)i l+1 e −i(kr−lπ/2) − e 2iδ l

− e i(kr−lπ/2)] P l (cos Θ) mit Phasenfaktor e 2iδ l

2kr

l=0

und Streuphase 2δ l

→ Ψ s (⃗r) gestreute Welle = Ψ ges (⃗r) − Ψ E (⃗r)

Ψ s (⃗r) = 1

2kr

∞∑

(2l + 1)i l+1 (1 − e 2iδ l

)e i(kr−lπ/2) P l (cos Θ)

l=0

(1 − e 2iδ l

): mit 1=auslaufender Kugelwellen-Anteil von e ikz und e 2iδ l

durch Potential

Andererseits: Ψ(⃗r) = f(Θ) · eikr

r

⇒ Streuamplitude f(Θ) = 1

2k

e iπ/2 = i, e −ilπ/2 = i −l

1 − e 2iδ l

= −2ie iδ l

sin(δ l )

∞∑

(2l + 1)(1 − e 2iδ l

) e} −ilπ/2 {{ i l+1

} P l (cos Θ)

=i

l=0



dΩ = |f(Θ)|2 = 1 ∣ ∣∣∣ ∞ ∑

k 2 (2l + 1)sin(δ l ) · P l (cos Θ)


l=0

2

Bemerkung:

• Expt: Messe dσ

dΩ ↔ Theorie: V (r) → δ l → f(Θ) → dσ


• E hinreichend gering: nur l = 0 s-Wellen-Streuung

• E erhöht → höhere l’s tragen bei.

zur s-Wellen-Streuung

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z.B. Thermische Neutronen aus Projektil: E kin ≈ 25meV → λ ≈ 10 5 fm >>ØKern

→ nur Partialwelle l = 0 wird gestreut, j i (kr) ist zu weit von Target entfernt

l = 0 → P 0 (cos Θ) = 1

f(Θ) = λ

2π eδ0 · sin(δ 0 ) mit δ 0 = s-Wellen-Streuphase


≡ f 0 keine Winkelabhängigkeit → gesamter Wirkungsquerschnitt σ0

mit f 0 ≈ Streulänge ≈ Radius der σ-Kreisscheibe

• Interpretation ∫ der Streuphase ∫

δ l = ⃗


(√

k(⃗r)dγ = 2mE0 − √ )

2m(E 0 − V (r)) dγ l


γ l

γ l

V (r) repulsiv: δ l < 0

V (r) attraktiv: δ l > 0

• falls Projektil geladen und stark wechselwirkend:

δ l = δ Coulomb

l

+ δ stark

l


dΩ dΩ = · · · = 4πf 2 0

Zuordnung nichttrivial

l hoch: Abtand hoch → nur Coulomb

l klein: Abstand gering → Coulomb + starke WW-Anteile

Auch: verschiedene Beiträge interferieren miteinander. In der Regel: keine analytische Lösung

für δ l möglich.

4.4.2 Relevanz für die Form des starken WW-Potentials

Gemessene Streuphasen der starken WW. verhalten sich im Widerspruch zu Streuphasen, wie sie

durch ein-Teilchen Potentiale möglich sind. Mögliche Lösungen (phänomenologisch: Konsistenz durch

V (⃗r, E P rojektil )) → Mehrteilchenpotentiale z.B. V (⃗r T − ⃗r P , ⃗r T + ⃗r p )

Bsp: Analytisches Modell zur Quantenstreuung: s-Wellen-Streuung von thermischen Neutronen an

Kernpotential modelliert als Kastenpotential.

V (⃗r) = V (r) → Eindimensional

s-Wellen-Streuung: Keine Winkel-Abhängigkeit von f(Θ) = f 0

Ψ vecr = R(r) mit m = 0, l = 0, Substitution: R(r) = u(r)

r

→ Schrödingergl: u ′′ (r) + 2m

2 (E − V (r))u(r) = u′′ (r) + k 2 (r)u(r) = 0

k(r) = 1 √

2m(E − V (r))

Zur Lösung: Ansatz: u(r) = αe ikr + βe −ikr Seite 42


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Innenraum: r ≤ R 0 : k i = 1 √

2m(E − V0 )

R(r) = u(0)

r

Darf an r = 0 nicht divergieren, wird erreicht durch u(0) ! = 0 als Randbedingung

⇒ α = −β

u i (r) = 2iα sin(k i · r)

r > R 0 : u a (r) hat die zuvor hergeleitete Form: δ l = 0 für l ≠ 0

(

u a (r) = eiδ 0

sin

[k a r + δ )]

0

k a k a

Stetigkeit an r = R 0 :

(1) u: eiδ 0

k a

sin(k a R 0 + δ 0 ) ! = sin(k i R 0 )

(2) u ′ : e iδ 0

cos(k a R 0 + δ 0 ) ! = k i sin(k i R 0 )

Teile (1) durch (2):

Bei ausgeschaltetem Potential:

1

tan(k a R 0 + δ 0 ) = 1 ( )

ki

tan(k i R 0 ) ⇒ δ 0 = −k a R 0 + arctan tan(k i R 0

k a k i k a

u s (r) = rΨ s (r) = 1 k a

sin(k a r + δ 0 )

→ wird um δ 0

k a

entlang r-Achse verschoben.

Falls dΨ

dr

∣ = 0 Resonante Streuung

r=R0

Ψ(R 0 ) = 0 Potentialstreuung

→ Quasi-gebundene Zustände beeinflussen

σ

dΩ → Streuresonanzen

4.4.3 Born’sche Näherung

Quantenstreuung bei hohen Energien: δ l mit l gross trägt zu f(Θ) bei → Problem: Zuordnung Signal

→ Streuphasen

E P rojektil

kin

>> e · V (r) → Einlaufende ebene Welle wird “gestört“ ⇒ Auch Ψ S ist ebene Welle, um

kleinen Streuwinkel abgelenkt.

Ψ E ( ⃗ k, ⃗r)e i⃗ k⃗r ; Ψ S ( ⃗ k, ⃗r)e −i⃗ k⃗r Streupotential koppelt Ψ E schwach an Ψ S

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Fermi’s goldene Regel: W ( ⃗ k, ⃗ k ′ ) = 2π } {{ } | u(⃗ k, ⃗ k ′ ) | 2 · D(E) mit D(E) = Zustandsdichte pro dΩ

} {{ }

Übergangsrate Matrixelement

D(E) = (2m) 3 2

4π 2 3 √

E =

m 2

2π 2 3 v p mit v p = Projektilgeschwindigkeit

D Ω (E) = D(E)

4π = m2

8π 3 3 v p



U( ⃗ k, ⃗ k ′ ) = n e i⃗ k ′r V (⃗r)e i⃗k⃗r d⃗r = n

V

V

V (⃗r)e i ⃗q⃗r d⃗r mit n= Teilchendichte

⃗q= Impulsübertrag ( ⃗ k − ⃗ k ′ )


dΩ = W (⃗ k, ⃗ k ′ )

= 2π j e

mit j e = n · v p , f(Θ) =

m 2

8π 3 3 v p · n

m ∣ ∫ ∣∣∣

2π 2


1

v p n∣

V (⃗r)e i ⃗q⃗r d⃗r

∣ ∣∣∣

V (⃗r)e i ⃗q⃗r d⃗r

∣ ∣∣∣

2

Bsp: Streuung am Rechteckstopf, typische Tiefe ≈ 10 MeV → E kin > 10 MeV, aber

nichtrelativistisch

{ σ r > R0

V (r) =

−V 0 r ≤ R 0


dΩ = · · · = 3m2 V0 2R6

0 [sin(2kR 0 · sin(Θ/2)) − 2kR 0 · sin(Θ/2)cos(2kR 0 · sin(Θ/2))] 2

4 2kR 0 sin 6 (Θ/2)

auch hier: Messungen nicht erklärbar mit Einteilchen-Potential, Anpassung an Vielteilchenpotentiale,

oder äquivalent an E-Abhängige Einteilchenpotentiale möglich.

z.B.: V (⃗r, ⃗r ′ 1

) = V (ρ)

π 3/2 ρ 3 exp[−((⃗r − ⃗r′ )/β) 2 ] mit ρ = 1 2 |⃗r − ⃗r′ | und β = 0,85 fm

5 Kernkräfte + Kernmodelle

• Charakter der starken Wechselwirkung, Austauschteilchen

• Kern als Quantentopf

→ am Bsp. (überwiegend): p-n System:

• gebunden: Deuteron 2 1H

• frei: p-n-Streuung

→ Anregungen: Vibrationen, Rotationen

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5.1 Das Deuteron

• Bindungsenergie: Messung durch Photospaltung: 2 1H + hν → p + n + E kin

→ Messe Reaktion als Funktion von ν, E kin (p) = E kin (n) Impulserhaltung

ν = γ: Falls E γ < E B : keine Reaktion, setzt ein bei E γ = 2,225 MeV

• Magnetisches Moment: µ 0 = 0, 857µ k ≈ µ p + µ n

⇒ beide Kernspins stehen coparallel ↑↑, antiparalleler Zustand ↑↓ ist instabil.

⇒ starke Wechselwirkung ist signifikant Spin-abhängig.

Modell Kastenpotential, r 0 Breite, v 0 Tiefe V 0 > 0, Bindungsenergie: E B > 0, µ = m p · m n

m p + m n

reduzierte Masse ≈ m 2

Wie oben: Ψ(r) = u(r) · 1

r → d2 u

dr 2 + m (E − V (r)) = 0

2 { −V0 r ≤ r 0

0 sonst

Randbedingungen: u(0) = 0 = u(∞)


⎪⎨ u i (r) = A i sin(k i · r) innen k i = 1 m(V0 − E B )

→ Lösung: u(r) =


⎪⎩ u a (r) = A a e −r/a

aussen a = √ mEB

Gemessen: E B , gesucht: V 0 , Stetigkeit:

u i (r 0 ) ! = u a (r 0 ) : A i sin(k i · r 0 ) ! = A a e −r 0/a (1)

u ′ i(r 0 ) ! = u ′ a(r 0 ) : k i A i cos(k i · r 0 ) ! = −A a

a e−r 0/a (2)

→ (1)

(2) : k icot(k i · r 0 ) ! = − 1 a

( √

r0 m √

) √

EB

k i , a einsetzen: cot V0 − E B = −


V 0 − E B

z.B. √ Graphische Lösung: V 0 = 67, 52 MeV, Auch: Näherung:

EB

≈ σ ⇒ r √

0 m √

V0 − E

V 0 − E B

¯ B ≈ π 2

Abfall: Ψ a (r) auf 1 e : → v 0 ≈ π2

4

2

mr 2 0

≈ 45 MeV

nach 4,3 fm von r 0 aus ⇒ Radius der Wellenfunktion ≈ 5,7 fm

Gestalt der Wellenfunktion

W (r)dr = Wahrscheinlichkeit, den Abstand in [r, r + dr] zu finden.

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= 4πr 2 |4(r)| 2 dr = 4π · |u a | 2 dr für r > r 0

= 4πA 2 ae −2r/a ⇒ W (r > r 0 ) ≈ 0, 8

p,n haben Abstand deutlich > r 0 , d ist nicht kugelsymmetrisch, el. Quadrupolmoment

Q E (d) = 2, 86 · 10 −27 e · cm 2

5.2 Proton-Neutron-Streuung

(i) Niederenergetisch (s-Wellen-Streuung): z.B: Thermische Neutronen in flüssigen H 2 , Allein durch

starke WW bestimmt. Keine Coulomb-Abstoßung

σ erwartet: π · (5, 7fm) 2 ≈ 4, 4 · 10 −24 cm 2 = 4, 4 barn

σ gemessen: ≈ 20, 3 barn, Faktor 5!

Erklärung: Spinabhängigkeit des Wirkungsquerschnitts:

σ n−p

↑↑

< σ n−p , da ↑↑ bindend, ↑↓ antibindend

↑↓

Kernspin: ⃗ I np = ⃗ I n + ⃗ I p :

⃗I n ↑↑ ⃗ I p : I = 1, m I = 0, ±1

⃗I n ↑↓ ⃗ I p : I = 0, m I = 0

3 coparallele Zustände, 1 antiparalleler Zustand, alle gleich wahrscheinlich

zu 75% Streuung im Triplett-Zustand, zu 25% im Singlett-Zustand

σ gemessen = 3 } {{ } 4 σ ↑↑ + 1

} {{ } 4 σ ↑↓ ⇒ Abschätzung von σ ↑↓ ≈ 68 barn

20,3 barn

4,4 barn, so.

(ii) Hochenergetische Streuung:

Bisher immer: dσ


nimmt stark ab mit steigendem Streuwinkel

Beobachtung: dσ

dΩ (p − n) ≈ symmetrisch um π 2 herum?

Falls Teilchen ununterscheidbar: Die beiden Prozesse liefern identische Signale

1. Neutron und Proton fliegen aneinander vorbei

2. Neutron und Proton werden zurückgestreut

Aber: Detektor kann zwischen p, n unterscheiden → ?

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Antwort: Während des Streuprozesses können sich Proton und Neutron ineinander umwandeln! Bei

Coulomb-WW ist so eine Umwandlung unmöglich. Wechselwirkung muss den Unterschied zwischen p

und n transportieren können.

Coulomb: Austausch eines Photons, Eigenschaften m=0, q=0, ⇒ Charakter der Streupartner ist

konstant; Spin = 1 wie alle Austauschteilchen

⇒ Starke Kernkraft: Austauschteilchen muss Masse und Ladung transportieren können:

q T eilchen = 0, ±e, m T eilchen ≈ m n − m p

Vakuum Fluktuationen: Ein Q.M. System kann sich für kurze Zeit Energie aus dem Vakuum

borgen. Gebiet: Quanten-Elektrondynamik (Coulomb) und Quanten-Chromo-Dynamik (Starke WW)

Darstellung: Feynman-Diagramme = Darstellung elementarer Wechselwirkungsprozesse, z.B. e −

streut an Proton. Mit y-Achse = Zeit des Teilchens und x-Achse = Ort (vor bzw. nach der

Wechselwirkung)

Konvention:

Pfeilrichtung: (a) in Zeitrichtung: Teilchen (b) entgegen Zeitrichtung: Antiteilchen

Linien: (i) volle Linien: Spin 1/2-Fermionen, (ii) Schlangenlinie: Photon, (iii) gestrichelte Linie:

Austauschteilchen der Nukleon-Nukleon WW π

Teilchen zu Linien mit offenem Ende: Können gemessen werden (reale Teilchen)

Teilchen zu Linien ohne offenes Ende: Können nicht gemessen werden (virtuelle Teilchen = fähig zu

wirken, tauchen in Gleichungen auf, aber nicht in Detektoren)

Auch: Massive Teilchen können virutell sein. z.B. Vakuum-Polarisation und virtuelle

Photonen-Emission

“kurze Zeit“: Was ist kurz?

Virtuelle Prozesse und Unschärferelation: Energie-Zeit-Unschärfe

E des Vakuums: ≈ 10 −10 J/m 3 → Casimir-Effekt

∆E · ∆t ≥ besagt: E und t können gleichzeitig nicht genauer gemessen werden als ∆E · ∆t =

Virtuelle Teilchen sind nicht messbar ⇒ ∆t ≤

, da, falls ∆t >


∆E

Anwendung 1: Warum ist die Coulomb-Wechselwirkung langreichweitig?

z.B. e − − e − -Streuung: e − tauschen virtuelle Photonen aus

: Prozess direkt messbar.

∆E

Photon wird ausgesandt für ∆t ≤

mit ∆t= Abstand bzw. Flugstrecke

∆E

= ∆r

c ≤

⇒ E Coulomb ≤ c 1 E Coulomb r ⇒ Coulomb-Potential ∝ 1 r Exaktes Resultat: Seite 47


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E Coulomb =

e2 1

4πε 0 r

E Coulomb = 1 r c = 3 · 10−26 1 r

e 2

4πε 0

= 2 · 10 −28 1 r

Anwendung 2: Austauschteilchen hat Ruhemasse m 0

∆t ! ≤

t

∆E ≤


m 0 c 2

V max = c: Reichweite r ≤ c · ∆t ≤

⇒ Reichweite ist begrenzt.

m 0 c

→ Coulomb-WW ist langreichweitig, weil Photon keine Ruhemasse hat.

→ Starke WW: r 0 ≈ 1, 4fm ⇒ m 0 (Austauschteilchen) ≥ 140 MeV

5.3 π-Mesonen (Pionen): Austauschteilchen der Nukleon-Nukleon-WW

Baryonen schwer, p, n

Mesonen mittelschwer, π ± , π 0

Leptonen leicht

Baryonen, Mesonen = Hadronen, unterliegen der starken WW

∃ drei π-Mesonen:

π 0 : q=0, m π 0=135,0 MeV/c 2 , s=0 τ = 8, 4 · 10 −17 s Zerfall: 98,9% π 0 → 2γ, 1,1%π 0 → e − + e + + γ

π ± : q=±e, m π ±=139,6 MeV/c 2 , s=0 τ = 2, 6 · 10 −8 s Zerfall: 100% π + → µ + + ν µ , 100%

π − → µ − + ν µ

µ − = Myon, µ + =Antimyon, ν µ =Myon-Neutrino

Vorhersage des Pion: 1935, Yukawa, Exp. Nachweis: 1947 p + p → π + + n

Bei E 200 MeV in p-n, p-p, n-n Streuung: Emission von π-Mesonen

p-p-Streuung:

p+p → p+p +π 0

p+p → p+n +π +

p-n-Streuung:

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p+n → p+n +π 0

p+n → n+n +π +

p+n → p+p +π −

n-n-Streuung: analog

Weder p,n, noch π 0 , π ± sind Elementarteilchen, m π 0,±

= Reichweite Nukleon-Nukleon-WW

5.4 Anmerkungen zu Kernmodellen

bzgl. Kastenpotentialen:

• Einteilchenbild: Wechselwirkung der Nukleonen hat keinen Einfluss auf Spektrum

• Vielteilchenbild: Wechselwirkung der Nukleonen verändert Spektrum

Einteilchenpotentiale:

z.B. 3D Quantentopf mit harten Wänden:

{ 0 x, y, z > a

V (x, y, z) =

−V 0 x, y, z ≤ a

( ni π

)

→ Ψ i (x i ) = sin

a x i → diskrete Energie-Eigenwerte: E(n x , n y , n z ) = −V 0 + π2 2

2ma 2 (n2 x + n 2 y + n 2 z)

mit i = x, y, z

→ Zustände mit identischem (n 2 x + n 2 y + n 2 z) haben die selbe Energie, Entartungen, Schalenbildung.

→ Magische Zahlen = gefüllte Schalen, s. Übungen

Messungen Schalenstruktur, z.B. durch Abspaltung von Neutronen:

→ Magische Zahlen: n = 8,20,28,50,82,126

Parabelpotential

V (r) =

{ −V0 (1 − (r/a) 2 ) r < a

0 sonst

→ M.Z. n=2,8,20,40,70,112

komplizierte Potentiale + Spin-Bahn-Kopplung können die Energiestruktur reproduzieren

bzgl. Rotation und Vibration

Form des Kerns: Kugel? Häufig, aber nicht immer.

z.B. Wechselspiel Coulomb-Abstoßung ↔ Oberflächenenergie

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⇒ Kern wird elongiert (inkompressibel, E Coulomb sinkt) → Oberflächenenergie steigt

Kerne mit ⃗ L ≠ 0, E rot = L2


mit Θ = Trägheitsmoment

→ Absenkung der Energie, indem die Masse möglichst nahe an die Rotationsachse gebracht wird.

Beschreibung Deformation: Kern Radius R = r(Θ)

R(Θ) ≈ R 0 (1 + βY 0

2 cos(Θ)) mit Y 0

2 : Kugelflächenfkt., β=Deformationsparameter

β > 0: Prolat, β < 0: Oblat; Bethe-Weizsäcker: E B (β)

Konsequenzen Deformation:

• Elektrisch: ρ e (⃗r) nicht kugelsymmetrisch → höhere elektrische Momente → Charakter der

Strahlungsübergänge signifikant: Quadrupol- und Oktupolübergänge

• mechanisch: Anregung von Rotationen durch Stösse wird möglich ∆ ⃗ L = ∆⃗p × ⃗r Kugel:

∆⃗p ‖ ⃗r → ∆ ⃗ L = 0

Prolat, Oblat: ∆ ⃗ L ≠ 0 möglich.

L

Spektrum Rotationen: E Rot = ⃗ 2

=

2Θ k

Θ k,y = Θ k,y

L2 x

2Θ k,x

+

L2 y

2Θ k,y

mit Θ k = Trägheitsmoment, Symmetrie:

⇒ ⃗ L 2 x + ⃗ L 2 y = ⃗ L 2 − ⃗ L 2 z

⃗L 2 |Ψ >= 2 l(l + 1)|Ψ >, ⃗ L z |Ψ >= k|Ψ >

E(l, k) = 2 (l(l + 1) − k 2 ) ·

zu Vibrationen

Beschreibung: Zeitabhängige Deformation.

Kernradius: R(Θ, Φ) = R 0 (Θ, Φ) ·

1

2Θ k

, Typische Übergangsenergien ≈ 100 keV - 200 keV

{

1 +

∞∑

l∑

l=0 m=−l

a lm (t)Y lm (Θ, Φ)

Dipolschwingung: l = 1, Amplitude+Frequenz= a lm = 0 für l > 1

Quadrupolschwingung: l = 1, 2, a lm = 0 für l > 2

Monopolschwingung: Da Kernmaterie ≈ inkompressibel → sehr hohe Energie ≈ 100 MeV

Deformations-Schwingungen: Volumenerhaltend, Protonen schwingen häufig anders als Neutronen.

z.T. sehr komplexe Anregungen

}

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z.B. A 60Nd + γ V ibration −→

A−j

60 Nd + j · n

E der Neutronen als Funktion von E γ ⇒ Riesenresonanz

“Entmischungsschwingung“: Alle Protonen schwingen relativ zu den Neutronen

6 Kernreaktionen

= Inelastische Stösse, welche das Targes-Nuklid ändern. (n,p) ändert sich, Umwandlung chem.

Elemente.

Projektil: p,n, α; π ± , π 0 , andere kleine Nuklide.

typisch: Reaktionen besitzen Schwellen-Energie, die überwunden werden muss. Durch E kin des

Projektils.

Falls E kin > E Schwelle Reaktion möglich. Falls E kin < E Schwelle elastische oder inelastische Streuung

oder Kernreaktion durch Tunneln.

6.1 Einfache Beispiele für Kernreaktionen

Beschreibung: Projektil α, Eingangskern X, Ausgangskern Y, b

a + X → Y + b; = X(a,b) → Y

Variationen

1. Nichtreaktiver, inelastischer Stoß: a + X → X ∗ + a

2. Reaktive Streuung: b ≠ a, X ≠Y: z.B.: 7 3Li + p → 7 4Be + n → 4 2 He + 3 1 H + p

In der Regel: α-Emission, n,p-Emission wird nicht als Spaltung bezeichnet

3. Stossinduzierte Spaltung: X spaltet sich in zwei ≈ gleich große Fragmenge: X + a → Y 1 , Y 2 + b

z.B.: n + 238

92 U → 239

92 U ∗ → A 1

z 1

Y 1 + A 2

z 2

Y 2 + j · n + γ mit j ∈ {1...6}

Alle Reaktionen hängen von E kin (P rojektil) ab. (Barriere ist zu überwinden).

Energiebilanz: M(a) + M(X) = M(Y) + M(b) + Q mit Q=Wärmetönung, Q > 0 exotherm,

c2 Q < 0 endotherm

Vorstellung: Compound-Kern (Niels Bohr)

Eingangsteilchen verbinden sich zu angeregtem Nuklid X ∗ , das schnell vergisst, wie es entstanden

ist. → Zerfall ist ≈ unabhängig vom “Eingangskanal“

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z.B.: d + d ∗∗ → 4 2He ∗ → 3 2He + n + 235 MeV

oder 4 2He ∗ → 4 2He ∗ → 3 1H + p4.0 MeV

**: Reaktionsschwelle wird überschritten

6.2 Erhaltungssätze

Erhalten sind:

• Energie

• Impuls

• Gesamt-Drehimpuls ⃗ J = ⃗ L + ⃗ I

• Nukleonenzahl

• Ladung

Parität: P: = Verhalten der Wellenfunktion unter Punktspiegelung am Ursprung

Ψ(r, Θ, ϕ) = Ψ(r, π − Θ, ϕ + π) = (±1) · Ψ(r, Θ, ϕ) mit (±1) = Parität P

Starke WW, Coulomb-WW erhält die Parität → Auswirkung auf Auswahlregeln. (Schwache WW

erhält die Parität nicht!)

Bsp: Kugelsymm. Potential Ψ(r, Θ, ϕ) = R(r) · Y lm (Θ, ϕ)

P (Y lm ) = (−1) l R ist symmetrisch unter Punktspiegelung → P (R) = 1

Paritätserhaltung: ∆l gerade.

→ Spin-Flips in Kernen sind verboten: ∆I = ±1

J = L ⃗ + I ⃗ ⇒ ∆j = 0

} {{ }

⇒ ∆l = gerade ⇒ Widerspruch!

Drehimpulserhaltung

∆l = ±1 bei Spin-Flips.

6.3 Beispiele für stossinduzierte Reaktionen

1. (α, p)-Reaktion, α-Teilchen = a, p=b, erste künstliche Kernumwandlung, Rutherford/Blackelt

1924

α + 14

7 N → 17

8 O + p

Damit möglich: Reaktions-Spektroskopie: α + 27

13Al → 31

15P ∗ → 30

14Si + p

Photonen werden mit zwei Energien emittiert. Ekin 1 ≈ 2, 26 MeV, E2 kin ≈ 1, 1 MeV,

∆E kin =Anregungszustand

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2. Die (α,n)-Reaktion

z.B.: α + 9 4Be → 13

6 C ∗ → 12

6 C + n mit charakteristischem E kin Spektrum des Neutron

6.4 Stossinduzierte Radioaktivität

= nach Reaktion: Y wirkt als β ± - oder γ-Strahler.

Entdeckung: Irène Curie, F. Juliot (Nobelpreis 1935)

α + 10

5 B → 14

7 N ∗ → 13

7 N + n

13

7 N τ=10min → 13

6 C + β + + ν e

α + 27

13Al → 13

15P ∗ → 30

15P + n

30

15P τ=2,5min

−→ 30

14Si + β + + ν e

“Künstliche Radioaktivität“: Nuklide, die in der Natur nicht verkommen, können erzeugt werden.

Heute: n als Projektil, da Coulomb-Barriere nicht überwunden werden muss.

z.B: 23

11Na + n σtot≈53fm2

−→ 24

11Na ∗

γ

−→ 24

11Na β−

−→ 24

12Mg ∗

γ

−→ 24

12Mg

59

27Co + thermisch σ tot≈3700fm

n −→

2

60

27Co 11min,γ

−→ 60

27Co 5,3a;β−

−→ 60

28Ni ∗ γ;Eγ 1 =1,33MeV,Eγ 2

−→

=1,18MeV

60

28Ni

Meist: Neutronen aus Kernreaktor, Gelegentlich: p + X → Y + n-Reaktion

Auch: Schwelle n können nötig sein.

z.B: 35

17Cl + 1MeV

n

35

16S ∗ τ=88d,β−

−→ 35

17Cl

σtot=8fm2

−→ 35

16S ∗ + p

Auch Elementsynthese: Compound-Kern emittiert keine Teilchen: α + 7 3Li → 11

5 B + γ (stabil)

6.5 Kernspaltung

Spontan und induziert möglich. = Zerfall eines großen Kerns (A >> 56) in 2 ≈ gleich große

Fragmente. Meist: Zusätzlich freie n entstehen.

Mechanismus: (Lise Meitner, Otto Frisch, 1939)

Rotation/Vibration: Kern deformiert sich

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• Oberfläche nimmt zu: kostet Energie

• Coulomb-Energie nimmt ab: Gewinnt Energie (Mittlerer p-p-Abstand steigt)

• Wenn ∆E Coul > −∆E Oberfl : Spaltung

Dann: Gespaltener Zustand ist energetisch günstiger als der Ausgangszustand.

Abschätzung: Kugel Deformation −→

Rotations-Ellipsoid

Hauptachsen: a = R(1 + ɛ), b ≈ (1 − 0, 5ɛ) mit ɛ=Deformationsparameter

Oberfläche: S ≈ 4πR 2 (1 + 2/5ɛ 2 ) ⇒ E S = E 0 S + ∆E S (ɛ), ∆E S (ɛ) = 2/5ɛ 2 E 0 S

Coulomb-Term: E C = E 0 C(1 − 1/5ɛ 2 ), ∆E C (ɛ) = 1/5E 0 Cɛ 2

Kern ist stabil für ∆E S

!

> ∆E C

∆E S < ∆E C : Spaltung ist energetisch günstiger

→ Spaltungsschwelle: 2/5E 0 S

E 0 C

!

= 1/5E 0 C unabhängig von ɛ!

!

= 2E 0 S; Spaltungsparameter: X S ≡ E0 C

2E 0 S

Berechnung mit Tröpfchenmodell:

!

≥ 1 für Spaltung

X S = a C · z 2 A −1/3

2a s · A 2/3

= a C

2a S

· z2

A mit a C ≈ 0, 714MeV ; a S ≈ 18, 3MeV

⇒ X S ≥ 1 für

z2

A

≥ 51 Kerne mit

z2

A

≥ 51 sollten spontan Spalten

Kerne mit z2

≤ 51 können durch die Spaltungsbarriere tunneln, Spaltkriterium ist ein Grund,

A

warum es keine Kerne massiver als 294

94 P u gibt.

Bsp: Spontane Spaltung: 254

100F m (Fermium), X S = 0, 76; z2

A

τ 1/2 (Spaltung) = 246d, τ 1/2 (α) = 3, 4h

= 39, 4,

252

98 Cf (Californium), X S = 0, 74; τ 1/2 (Spaltung) = 60a, τ 1/2 (α) = 2, 2a

Stossinduzierte Spaltung:

In der Regel: a=n = Nuklid absorbiert ein Neutron → Angeregter Compound-Kern.

Anregungs-Energie: E kin (n) ∆E B Unterschied Bindungsenergie

Erstmalige Beobachtung der induzierten Spaltung: Cockcroft + Walton, 1932

p + 7 3Li → 8 4Be∗ → α + α + 17MeV (= α-Zerfall)

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→ n-induzierte Spaltung schwerer Kerne: (Otto Hahn, Fritz Strassmann, 1939) N.P. Hahn (Chemie)

1944

1MeV

n + 238

92 U → 239

92 U ∗ → Y ∗

1 + Y ∗

2 + j · n, j hängt von den Fragmenten ab.

Fragmente: Weisen n-Überschuss auf → β − -Strahlung oder n-Emission.

∆E B + E kin (n) !

geE sp

Target Compound ∆E B ∆ SP Notwendige E kin (n)

238 239

92 U 92 U ∗ 5,0 MeV 6,1 MeV ≥ 1,1 MeV

235 236

92 U 92 U ∗ 6,4 MeV 5,3 MeV σ thermische n

Ursache: 236

92 U ist ein gg-Kern: Besonders stabil

Allgemein: Hinreichend große ug-Kerne spalten durch therm. Neutronen: 233 U, 235 U, 239 P u, 241 P u

z.B. n + 235

92 U E th

−→ 236

92 U ∗ → 141

56 Ba ∗ + 92

36Kr ∗ + j · n und j = 3, mit < j >= 2, 43

< E kin (n) >≈ 2MeV

Natürliches Uran: 99,3% 238 U, 0, 7% 235 U

Neutron, 2 Mev in natürlichem Uran: ≈ kein Effekt. Wirkungsquerschnittte für Einfang und

β-Zerfall >> W.Q. Spaltung.

Ausser für 235 U bei E kin (n) ≤ 100meV

∃ keine thermische n. Da schnelle n nur ineffizient durch Stösse an u-Kernen abgebremst werden und

dabei mit hoher wahrscheinlichkeit absorbiert werden ohne zu spalten. ⇒ keine Kettenreaktion.

Bem: E-Bilanz bei Spaltung:

z.B. 235 U: Freigesetzte Energie ∆E ≈ 201MeV

Verteilung:

E kin (Yi ∗ ) E kin (n) E γ E β E ν

167 MeV 6 MeV 13MeV 5 MeV 10 MeV

Nutzbar davon sind 178 MeV ( ∑ außer E ν ).

6.6 Kernspaltungs-Reaktionen

z.B. Frankreich: 78% der Energie aus KKW.

• - Gefahr Fehlfunktion

• - Radioaktive Abfälle

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• - Proliferation (Diebstahl waffentechnisches Material)

• + hohe Energieausbeute E(1 kg Uran) = Verbrennung von 750 t Kohle = 2770 t CO 2 )

• + Praktisch unbegrenzt verfügbar

Idee Kettenreaktion: Bremse die schnellen Neutronen effizient auf thermische Energien ab, ohne sie

durch Absorption zu verlieren.

n thermisch + 235 U → Y 1 + Y 2 + < j > ·n (schnell) Abbremser: Moderatoren

Verstärkungsfaktor k ≡

N(i + 1)

N(i)

k < 1: geht aus; k > 1 Explosion; k = 1 Reaktor

Moderatoren

• hoher E-Übertrag pro Stoss ⇒ leicht

• keine n-Absorber

• technisch realisierbar

3 Moderatoren

• Wasser: n-Absorber

• schweres Wasser: teuer, natürliches Uran nutzbar

• Graphit: inhärent unsicherer Reaktor

Anzahl der Stöße zur Moderation: Wasser/Schweres Wasser: 18; Graphit: 60

Alternativ zur Moderation: Spaltung durch schnelle Neutronen. → aus 238 U wird 239 P u “gebrütet“:

“schneller Brüter“ bezieht sich auf die schnellen Neutronen.

→ Neutronenzyklus bei Kettenreaktion

Thermische Spaltung: Neutronenzyklus

Zyklus j:

N j thermische n → Einfang 235 U, 238 U


thermische Spaltung von 235 U


ηN j schnelle n mit η > 1


zum Teil (wenig) schnelle Spaltung von 238 U


ɛ · η · N j schnelle n, ɛ > 1


Moderation (1 − P s )-Anteil entweicht mit (1 − P s ) Entweich-Wahrscheinlichkeit


P s · ɛ · η · N j übrig


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Bruchteil (1 − P ) wird in 238 U absorbiert


P · P s ɛ · η · N j übrig (moderiert ≈ thermisch)


(1 − J) wird im Moderator absorbiert


(1 − P th ) kann entweichen


J · P th · P · P s ɛηN j ≡ N j+1 −→ zum Anfang des Zyklus

idealer Reaktor: ∞-Ausgedehnt → P th = P s = 1

Verstärkungsfaktor: K ∞ = η ɛ P J Vier-Faktor-Formel

pro Zyklus: dN = N j+1 − N j = (K eff − 1)N j · dt

T mit T = Zykluszeit ≈ 10−6 s

→ N(t) = N(0)e (k eff −1)· t

T

⇒ K eff muss sehr genauf auf 1 geregelt werden.

K eff = 1, 001 → Verstärkung in 1 min von 10 26

“Reaktivität ρ ≡ K eff − 1

K eff

!

= 0“

Aufbau von Spaltungsreaktoren: Bsp = Anordnung von Brennsstoff, Moderator, E-Transformator

(i) Druckwasser-Reaktor (Biblis, Brokdorf, Grafenrheinfeld, ...)

Brennstoff: UO 2 -Tabletten; 235 U ist angereichert ≈ 3% (von 0,72%)

ca. 200 in Brennstoffstab, Zr-Mantel, Platz für gasförmige Spaltprodukte z.B. Kr,Xe

≈ 25 Stäbe → Brennelemente, wird von H 2 O umflossen, Funktion: (i) Moderator, (ii)

Wärmeabtransport

Reaktorkern ≈ 100 Brennelemente (á 25 Stäbe á 200 Tabletten)

P ≈ 3, 8GW , davon ≈ 1, 4GW als el. Leistung, η = 35%, ca. 70 MW zum Betrieb des Reaktors

Verbrauch Brennstoff: ≈ 30t/a an Uran ρ Uran ≈ 19t/m 3 ⇒ Würfel mit Kantenlänge von 1,5m

Primärkreislauf: P ≈ 150bar, T ≈ 330 ◦ C, Fluss durch Reaktor ≈ 7000 t/h gekoppelt über

Wärmetauscher an Sekundärkreislauf → Dampfturbine ⇒ Strom

Anreicherung: 235 U: steigt von innen nach außen von ca. 2% auf ca. 3,2%, zum Ausgleich der

Entweich-Verluste

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Steuerung/Regelung: innerhalb T entstehen 99,25% aller n; 0,75% der n: Emission aus

Spaltprodukten (zeitverzögert)

wichtig: 87

35Br ∗

−→ β− 87

36Kr ∗

n

−→ 86

36Kr dauert 76s

Arbeitspunkt: ρ nur durch direkt freigesetzte n < 0, ρ mit den verzögerten n: ρ ≡ 0

“DWR“ sind inhärent sicher: Störfall → K eff > 1 → H 2 O verdampft → Moderation nimmt ab →

Reaktor erlischt

Aber: Problem Kernschmelze: H 2 O ist weg → keine Kühlung. “Nachzerfallswärme“, Wärme, die

durch Abregung der Spaltprodukte z.B. 1h nach Abbruch der Kettenreaktion ≈ 64 MW

→ Reaktorkern heizt sich auf. 900 ◦ C: Zr-Rohre schmelzen, 1450 ◦ Zr oxidiert → H 2 wird freigesetzt

→ Knallgasreaktion, 2850 ◦ C: UO 2 schmilzt.

Reaktor-Vergiftung: Einige Spaltprodukte absorbieren n, insbes. 135 Xe

−→ 135 T e 2min,β−

−→

135 I 6,7h,β−

−→

135 Xe −→ β− 135 Cs sowie 135 Xe −→ +n 136 Xe + γ, dieser

Zerfallskanal fehlt, wenn Reaktor aus ist. ⇒ 135 Xe reichert sich an.

135 U f

Im Betrieb: Gleichgewicht 135 Xe-Bildung ↔ 135 Xe Abbau. Reaktor aus → C( 135 Xe) steigt →

Anschalten: Zu viel 135 Xe schluckt n. ⇒ erst nach ca. 2 Tagen kann der Reaktor wieder Strom

produzieren.

(ii) Graphitmoderierte Reaktoren auch: Tschernobyl-Reaktor

Erster Kernspaltungsreaktor: Chicago Pile I (CP-1), Leitung: Enrico Fermi, Erstbetrieb: 02.12.1942

Reaktorkern: ≈ 1600 Brennelemente, m je 100 kg, Länge 3,5 m

Stecken in Bohrungen in einem Graphikblock, werden von H 2 O umflossen, Graphit = Moderator;

H 2 O = Wärmeabfuhr + n -Absorber, Moderation vernachlässigbar

• + skalierbar: z.B. 3200 MW, 4800 MW, 6500 MW

• + Brennelement-Wechsel im Betrieb

• +/- Brüten von 294

94 P u

• - keine inhärente Sicherheit: Graphit moderiert bei K eff > 1 weiter H 2 O verdampft → Wärme

wird nicht abgekühlt → Explosion

• - Regelung ist kritisch

• - kein Konzept zum Rückbau

(iii) Brutreaktoren schneller Brüter

Spaltung von Kernen durch schnelle n, Brennstoff wird zuvor durch Neutronenabsorption erzeugt.

238 U + 2MeV

n

238 U + 2MeV

n

→ Spaltung, wenig

→ 239 U β− ,23min

−→ 239

93 Np 2,4d

−→ 239

94 P u →Spaltung + n

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sowie 239

94 P u α,T 1/2=24.000a

−→ Spaltung + n

• + keine Moderation nötig

• + Brüten von Pu, bis zu 30% des Pu kann herausgenommen werden, ohne Zyklus zu

unterbrechen → Gesamter Vorrat an 238 U steht als Brennstoff zur Verfügung → reicht ca. 2000

a

• - Wärmeabtransport durch flüssiges Na (T≈ 550 ◦ C), gefährlich

• - nicht inhärent sicher

• - Ausgangsmaterial hoch angereichert C( 235 U) oder C( 294 P u) ≈ 20%, größter in Betrieb

befindlicher schneller Brüter Belojarsk (ru) 600 MW.

(iv) ADS-Reaktor (Rubbiatron) Carlo Rubbia (Nobelpreis für Physik 1984, schwache WW, Leiter

Cern 1989-1993)

Brennstoff: Thorium / Spaltungsreaktor Abfälle

Synchrotron: p(1GeV ): p + 207

82 P b → A−j

82 P b + j · n mit j 20 “Spallation“

n + 232

90 T h β−

−→ 233

91 P a β−

−→ 233

92 U; 233

92 U + n → Spaltung + n

n+ Abfall normaler Spaltungsreaktor, → Umwandlung in Abfall mit T 1/2 ≈ 500a (statt sonst ca.

10 5 a)

6.7 Kernfusion

= Verschmelzung von kleinen Kernen zu größeren Kernen, E-Gewinn bis zur Fusion von 56 F e

möglich. Coulomb-Barriere muss überwunden werden.

E kin

!


z 1 z 2 e 2

4πɛ 0 (r 1 + r 2 ) , z.B. 2 1H + 2 1 H → 3 H 1 H + p + 3 MeV

E kin

!

≥ 500keV = T ≈ 6 · 10 9 K hoch, technisch schwer zu realisieren; mit 1 eV = 11000K

E Coulomb steigt mit z 1 , z 2 , E Coul ∝

z 1 z 2

≈∝ z5/3

(A 1 + A 2 ) 1/3

Fusionen bis hin zu 56 F e treten in Sternen auf. Je massiver der Stern, desto höhere Elemente können

fusioniert (gebrannt) werden. Unser Stern (Sonne) eher klein → überwiegend Fusion von p zu 4 2He.

Außerdem: Erzeugung von Transuranen? Rechungen: Evtl. “Insel der Stabilität“ für Kerne mit

z 117

6.7.1 Kernfusion in der Sonne und in anderen Sternen

Leuchtkraft Sonne: 4 · 10 26 W ; Solarkonstante: 1360 W/m 2 treffen auf Erde auf. ≈ konstant seit ca.

4, 5 · 10 9 a → abgestrahlte Energie bisher: 6 · 10 43 J

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Derzeit: Sonne besteht zu ≈ 73% aus H(p), zu ≈ 25% aus He, brennt vermutlich weitere 5 · 10 9 a.

Energiequelle? Chemisch? T 10 7 K im inneren. Gravitation? Bei der Bildung der Sonne aus

Gaswolke freigesetzte Gravitationsenergie: ≈ 4 · 10 41 J

Brennzyklen: (Hans Bethe, Nobelpreis 1967)

Temperatur sinkt von innen (r=0, T≈ 2 · 10 7 K) nach außen (Oberfläche ≈ 6000K) → Kugelförmige

Bereiche, in denen gewisse Prozesse möglich sind.

(i) Die p-p-Kette: Stufe 1: Fusion zu d.

p + p → d + e + + ν e (langsam) + 11,9 MeV zu 99,75% , E ν = 0, 4MeV

p + p + e − → d + ν e (schnell) zu 0,25%, E ν = 1, 44MeV

Stufe 2: Fusion zu 3 He

p + d → 3 2 He + γ

Stufe 3: Fusion zu 4 He

3

2He + 3 2 He → 4 2 He + 2p zu 91%

3

2He + 4 2 He → 7 4 Be zu 9%

7

4Be + e − → 7 3 Li + ν e (2 diskrete Energien der ν e : 0,78 MeV, 0,34 MeV

7

3Li + e − → 2 × 4 2He

3

2He + 4 2 He → 7 4Be zu ≈ 0,1%

7

4Be + p → 8 9B

8

5B → 8 4Be + e + + ν e (E ∈ [0,6 MeV, 20 MeV])

8

5B → 2 × 4 2He

→ Idee: Messe das Spektrum der Solarneutrinos auf der Erde,

Freigesetzte Energie E pro Zyklus 26,2 MeV ⇒≈ 10 38 1/s

→ Flussdichte der Solarneutrinos auf Erde

Messungen

(1) R.Davies (1964) Chlor-Tank 600t, C 2 Cl 4 in Goldmine, 1000m unter Oberfläche

Reaktion: 37 Cl + ν e → 37 Ar + e −

Ar (gasförmig) wird extrahiert: Zählrate: ein ν e / 3 Tage = 30% der erwarteten Detektionsrate

(Nobelpreis 2002)

(2) Gallex Im Gran-Sasso Tunnel (Italien) 1991 - 1997, 30t GaCl 3 , Reaktion:

71 Ga + ν e → 71 Ge + e − , E ν ≥ 0, 71 MeV, Germanium wird aus Detektor extrahiert

Zählrate: 0,75 ν e / Tag ≈ 0,65 % der erwarteten Zählrate

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(3) Super-Kamiokande (Kamioka, Japan) 1km unter Oberfläche

50.000 t H 2 O, umgeben von ≈ 11000 Photomultipliern, die Čerenkov-Strahlung nachweisen.

Reaktion: d + ν e → e − + p + p mit e − erzeugt über Polarisation H 2 O Čerenkov-Strahlung

Zählrate ≈ 15/Tag (20x höher als Gallex)

Sonnen-Neutrino-Bilder mit ≈ 22400 Neutrinos, gemessen über ≈ 5a

→ Solarneutrino-Defizit von ≈ 45% (“Solarneutrino-Problem“)

Solarneutrino-Spektrum wird relativ bestätigt, aber Signal zu schwach. Erklärung:

Neutrino-Oszillation.

(

Umwandlung ν e → ν µ → ν τ : 1 − sin 2 1, 27

} {{ }

∆m=m νµ −m nue

⇒ Neutrinos haben eine Masse.

( ∆m · c

2

E

) )

· x

Der CNO-Zyklus: 4p → He mit 12 C als Katalysator. Notwenig: T 1, 8 · 10 7 K

Zyklus:

12 C + p → 13 N → 13 C + e + + ν e

13 C + p → 14 N

14 N + p → 15 O → 15 N + e + + ν e

15 N + p → 12 C + 4 He

12 C muss hinreichend vorhanden sein, wirkt als Katalysator

Brennzyklen in anderen Sternen:

Sternbildung: Gaswolke kontrahiert durch Gravitation → p und T steigen → maximale Temperatur

ist durch Masse des Sterns gegeben.

Verlauf der Sternentwicklung wird durch Ausgangsmasse bestimmt.

(1) kleine Sterne: M < 1 4 M Sonne

→ p − p Kette nur in kleinem Zentralbereich → dT

dr

hoch ⇒ hohe Konvektion

→ alle Protonen gelangen in Brennbereich → p fusionieren ≈ vollständig; nachdem Brennstoff (p) zu

Ende ist: Kein Strahlungsdruck mehr.

→ Stern kollabiert: ≈ gleichgewicht: Fermi-Druck der e − = Gravitationsdruck.

⇒ weißer Zwerg: Leuchtet schwach r W z ≈ r Erde , ρ ≈ 10 9 kg

m 3 Seite 61


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(2) Sonnenähnliche Sterne:

Phase I: Im Zentralbereich: Überwiegend pp-Kette, T ≈ räumlich konstant (Gebiet r ≈ 1/3R 0 )

→ Keine Konvektion → irgendwann: Protonen sind verbraucht: Stern erlischt im Inneren →

Kontraktion

⇒ pp-Kette in Kugelschale

⇒ 3α-Prozess setzt ein, da T steigt auf T 10 8 K

4 He + 4 He → 8 Be, 8 Be + 4 He → 12 C

Frei werdende Energie derart hoch, Strahlungsdruck übersteigt Gravitationsdruck → Stern bläht sich

auf “Roter Riese“, r R.R ≈ 250r Sonne ≈ Abstand Erde Sonne; danach: Übergang zum weißen Zwerg

(3) grosse Sterne M > 1, 5M Sonne:

T Zentrum > 2 · 10 7 K → CNO-Zyklus

Bei T 10 9 K: Höhere Brennprozesse finden statt.

→ Zwiebelschalten-Struktur der Brennprozesse

C: 12 C + 4 He → 16 O; 16 O + 4 He → 20 Ne

Ne: 20 Ne + 4 He → 24 Mg; 24 Mg + 4 H e → 28 Si

O: 16 O + 16 O → 28 Si + 4 He oder → 32 S

Si: 28 Si + 28 Si → 56 Ni → 52

26F e + 4 2 He (Dauer bis gesamter Sternbrennstoff verbraucht: nur ca. 1

Stunde)

Falls E kin (e − ) > (m n − m p ) · c 2

→ E-Gewinn durch: p + e − → n + ν e

→ nachezu komplette Umwandlung in Neutronen. Fermi-Druck der e − entfällt → Stern kollabiert bis

Fermi-Druck der Neutronen den Gravitationsdruck kompensiert.

Dauer des Kollapses: ca. 10 - 20 min. Nachstürzende Materie wird über Schockwellen reflektiert ≈

3/4 der Gesamtmasse entweicht dem Stern: “Supernova“. Es verbleibt: Neutronenstern.

16 kg

ρ N.Stern ≈ 10

m 3 , m N.Stern ≈ 2× Sonnenmasse, Ø≈ 10km

Frei werdende Energie ≈ 10 48 J, Großteil der Masse wird abgestoßen

Bei sehr großen Sternen m S 5× Sonnenmasse

E F,n → P F ermi < P Gravitation ⇒ weiterer Kollaps zum schwarzen Loch, Dauer bei m ≈ 10

Sonnenmassen ca. 20 min.

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 6 KERNREAKTIONEN

6.7.2 Entstehung der Elemente mit A > 56

Durch Fusion energetisch nicht möglich. → Bildung durch hohe n-Flüsse während Supernovae

Reaktionen: S-Prozess (Slow Neutron Capture)

A

z X → n A+1

z X ∗ β− → A+1

z+1 Y → n A+2

z+1 Y β− → A+1

z+2 Z . . .

Bildung von Nukliden bis zu A≈210

R-Prozess (Rapid n Capture) (Überwiegend für A 210)

A

z X → n A+1

z X ∗ n →

A+2

z X ∗ → . . . β− →

6.8 Kontrollierte Kernfusion

= kontrollierte Verschmelzung kleiner Kerne in Reaktoren

derzeit: Forschungsphase: Plasmen sind gezündet worden, aber bisher kein Energiegewinn.

Erwartung: in ca. 10a Machbarkeit geklärt

Probleme:

• Einschluss des Plasmas mit T≈ 10 8 K

• Auskopplung der freigesetzten Energie

• + sehr hohe Energieausbeute pro Reaktion / pro Masse

• + Nur wenig und kurzlebiger radioaktiver Abfall

• + Brennstoff unbegrenzt vorhanden, p, d, t

• - funktioniert noch nicht

6.8.1 Anforderungen an Fusionsreaktoren

Überwindung der Coulomb-Barriere

E Coul ≈ 500keV → 5 · 10 9 K, Einsatz der Reaktion bei ca. 10 8 K

Da:

(i) tunneln durhc Coulomb-Barriere (≈ inverser α-Zerfall)

(ii) V Kern ist Maxwell-Boltzmann verteilt → hochenergetischer Schwanz

Maxwell-Boltzmann: P (v)dv =


2

π

( ) 3

)

m 2 −( mv

2

e

2k B T

v 2 dv

k B T

mit P (v)dv Reaktivgeschwindigkeit der Reaktionspartner

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Fusions-Wirkungsquerschnitt: σ ab ≈ S(E)

E e √ EGE

Gamow-Faktor

S(E)=komplizierte Fkt. ≈ konst.

Fusionsrate R ab =< σ ab · v >=

∫ ∞

0

σ ab (v)P (v)dv

Am besten geeignet: d-t Fusion (hat hohen Fusionsquerschnitt)

d + t T ≈108 K

−→

4 2He + n + γ

mit E kin (He) = 3, 5MeV zum Plasma heizen, E kin (n) = 14, 1MeV zur Extrahierung der Energie

Vgl: 2 1H + 3 1 H = 10keV

Zündung des Plasmas:

E hoch genug, damit Fusionsreaktion einsetzt. Zu bedenken: Starke Verluste durch Wärmestrahlung,

γ-Emission (Zündkriterium)

Für Reaktor notwendig: α-induzierte Wärmeleistung muss ausreichen zum Betrieb des Plasmas.

→ Fusionsleistung L = zum Heizen frei werdende Leistung

P f =< σ f · v > ·E α · n d · n t mit n d = n t = n p

2 Plasmadichte

= n2 p

4 < G f · v > ·E α

Andererseits: Notwendige Heizleistung: E(T ) = 3 2 k BT · n p · 2 (wegen Elektronen)

⇒ P (T ) = E(T )

τ E

mit τ E = Plasmaeinschlusszeit

Kriterium:

zur Verfügung stehende Heizleistung

Notwendige Heizleistung

!

≥ 1

1 ! ≤ n2 p < G f · v > E α τ E

12k B T n p

⇒ n p · τ E

!


12k B T

< G f · v > ·E α

Lawson-Kriterium

Bei k B T = 20keV , < G f · v >≈ 10 −22 m 3 s −1 ⇒ n p · τ E

!

≥ 10 20 m −3 s Hohe Plasmadichte bzw. hohe

Einschlusszeit

Es gibt zwei Konzepte zum Einschließen des Plasmas

(i) Magnet. Einschluss

(ii) Trägheits-Einschluss

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6.8.2 Fusionsreaktoren mit magnet. Einschluss

Konzept: Geeignete B-Feld-Geometrie, die das Plasma einschließt. Idee: Geschlossene Magnet-Linien

binden das Plasma in Torus-Gestalt. Tangentiale Flucht ist möglich.

Implementierung: Tokamak: Russ. Akronym für “Toroidale Kammer im Spulenmagnetfeld“ =

Kombination von 3 Magnetspulen-Systemen.

1. Toroidale Spulen: Erzeugen toroidales B-Feld. Geladene Teilchen sind an B-Feld-Linien

gebunden.

2. Helmholtz-Spulen: Verhindern gemeinsam mit dem eigen-B-Feld des Plasmas die tangentiale

Flucht → Resultierende B-Linien: Helix-Trajektorien, welche die Ladungen auf

Zyklotron-Bahnen um sie binden! Andererseits: Notwendige Heizleistung:

3. Tranformator-Spule (inner poloidal coil): Wechselfeld (induziert Strom im Plasma →

Aufheizung): Tokamat als Tranformator, Primärspule: I.P.C, Sekundärspule: Plasmatorus

B-Felder hinreichend hoch, um den Plasmadruck p = ρk B T zu kompensieren.

Reiniugng + Entfernung der Asche ( 4 2He). Divertoren: Geeignet konstruierte Massenspektrometer

Zufuhr von Brennstoff (=auch Heizmechanismus): “Neutralteilchen-Injektion“

H 2 , D 2 , DT, T 2 → Beschleuniger + Neutralisation → Neutralteilchen hoher Energie werden ins

Plasma injeziert. Ionisation + Heizung.

Derzeit im Aufbau: ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) (lateinisch: Der

Weg), Cadarache, Frankreich

Inbetriebnahme: 2018

h ≈ 20m, r a ≈ 10,5m, r i ≈ 4m, B T orus ≈ 5, 3T , T≈ 2 · 10 8 K, Kosten: 6, 6 · 10 10 Euro

Bemerkungen: Fusion in Tokamaks “Jet“ 1991: Erste Plasma-Zündung: 1,7 MW für 2 sec

1997: 16 MW Leistung = Ausbeute ≈ 65%

Seitdem: Vorbereitungen für ITER. Projektiert: p ≈ 500 MW > Eingebrachte Leistung. Ausbeute ≈

1000%

Derzeit: ≈ 2024 Umsetzung klar, ≈ 2040 Fusionsreaktoren am Netz.

Auskopplung der Energie: n(≈ 14 MeV) treten aus Plasma aus → durch Wand auf Absorber., z.B.

Li-Blöcke. Ein Teil der n: Brüten von d, t.

z.B. 6 Li + n → 4 He + t + 4, 8 MeV

Probleme: Plasma-Instabilitäten: Plasma bricht aus, trifft auf Wand → Materialschäden in den

Wänden

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Stellarator: Plasma-Torus, der nur durch einen Satz von B-Feld-Spulen eingeschlossen, kontrolliert +

geheizt wird.

Laserinduzierte Kernfusion / Trägheits-Einschluss

Kügelchen mit Brennstoff (d,t) werden verdampft durch intensiven Laser → “Mikroplasma“

Diffusionszeit > Fusions-Reaktionszeit

Oberfläche des Pellets verdampft → Druckwelle komprimiert Innenbereich auf Fusionsbedingungen.

ρ ≈ 10 26 cm −3 ≈ 10 3 ρ F estkoerper → T = 10 8 K erreichbar für 10ns - 100ns

z.B. Shiva-Nova Laser (Lawrence Livermore Lab, Ca), λ =1,05 µm, P ≈ 3 · 10 20 W

Freigesetzte Energie pro Pellet ≈ 600 J

7 Grundlagen der Elementarteilchenphysik

7.1 Einleitung

Teilchen: p, n, e, ν, π ± , π 0 , ν e , ν e , γ

Heute: Man kennt mehr als 100 Teilchen, insbesondere: Higgs-Boson (2012)

3 Klassen:

1. Leptonen “leichte Teilchen“: Heute: Zeigen keine starke Wechselwirkung, e − , ν, τ, ν e , ν µ , ν τ

2. Hadronen

• Mesonen: Mittelschwer π 0 , π ± Heute: Unterliegen starker WW, sind aus zwei Quarks

aufgebaut.

• Baryonen: Schwer p, n Heute: Unterliegen starker WW, sind aus drei Quarks aufgebaut.

3. Zusätzlich: Austauschteilchen der vier Wechselwirkungen.

Gravitation: Graviton → Masse

Coulomb: Photon → Ladung

Schwach: W, Z ± → Schwache Ladung

Stark: Gluonen → Farbladung

7.2 Quarks und Gluonen

Vlg. mit Coulombkraft: Quarks entsprechen elektrostatisch geladene Teilchen, Gluonen entsprechen

Photonen.

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Murrary Gell-Mann (1961): Hadronen sind aus Quarks aufgebaut. Quarks sind Elementarteilchen →

Erklärung der Quantisierung der Hadronenmassen, der magnetischen Momente von p, n, 1969

Nobelpreis Physik.

bis 1964: Alle beobachteten Hadronen konnten aus 3 Quarks aufgebaut werden.

“leichten Quarks“

Name Ladung q Masse (MeV/c 2 )

up (u) + 2/3e 1,5 - 5

down (d) - 1/3e 17 - 25

strange (s) - 1/3e 60 - 170

“schwere Quarks“

Name Ladung q Masse (MeV/c 2 )

charm (c) + 2/3e 1100 - 1400

bottom (b) - 1/3e 4100 - 4400

top (t) + 2/3e 174.000

Zu jedem Quark gibt es ein Antiquark.

Quark Elementarteilchen, aus denen stark wechselwirkende Teilchen aufgebaut sind → 6 Quarks +

Antiteilchen.

Gluon Austauschteilchen der starken Wechselwirkung → 8 Gluonen.

Farbladung Physikalische Größe, an welche Gluonen koppeln → 3 Farbladungen + Antifarbladungen

Beispiele: Aus Quarks aufgebaute Teilchen

Teilchen Typ Enthaltene Quarks

p Baryon 2u, 1d

n Baryon 2d, 1u

π − Meson 1d, 1u

π + Meson 1u, 1d

Σ − Baryon 2d, 1s

→ Baryonen: Bestehen aus 3 Quarks, Mesonen: Bestehen aus 2 Quarks.

Aufbau p,n

p = uud, q p = 2 · 2

3 e + 1(−1 e) = +e, Spin: 1/2

3

n = udd, q n = 1 · 2

3 e + 1(−1 e) = 0, Spin: 1/2

3

π − = du, q π − = − 1 3 e − 2 e = −e, Spin: 0

3

Masse von p und n:

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m p >> 2m u + m d ; m n >> 2m d + m u

Grund: Masse ergibt sich aus kinet. und potentieller Energie der Quarks im Proton-Quantentopf.

• Experimentelle Indizien: z.B. Streuung hochenerget. e − an p oder n ⇒ Formfaktor ≈ 3

Teilchen sind im nukleon enthalten.

• bis heute: Freie, einzelne Quarks wurden nicht beobachtet

• Wechselwirkung der Quarks: Farbladung und Gluonen. O. Greenberg (1964): ∃ 3 Farbladungen

mit gewissen Ähnlichkeiten zum Farbkreis → Farbladungen rgb

Postulat: Alle Teilchen, die aus Quarks aufgebaut werden können, haben die Farbladung weiß.

Farbladung

rot r

grün g

blau b

Antifarbe

r = cyan

g = magenta

b = gelb

⇒ ∃ zwei Möglichkeiten, Hadronen aufzubauen:

1. Aus 3 Quarks mit unterschiedlichen Farben, z.B. u r , u g , d b = p Baryonen r + g + b = weiß

2. Aus 1 Quark + 1 Antiquark: z.B. d r u r = π −

Häufig: Quarks werden mit ihrer Farbladung indiziert. Z.B. π + = 1 √

3

(u r r + u g d g + u b d b )

Pionen sind nicht elementar, zusammengesetzt aus Quarks.

→ Wie sieht die elementare WW aus?

Elementares Austauschteilchen: Gluon, Spin 1, Ruhemasse 0, trägt eine Farbladung und eine

Antifarbladung

Zur Skizze: (nicht hier im Skript)

1) Analog zu virtueller Comptonstreuung: d-Quark emittiert ein Gluon

2) d − d Paarbildung aus Gluon (Analog zur e − − e + -Paarbildung aus Photon)

Bem: ∃ 8 Gluonen. 6 farbige und zwei farblose.

rg, b, gb, gr, br, bg,

1

√ (rr − gg), 1 (rr + gg − 2bb)

2 2

Quark-Einschluss: Es gibt keine freien Quarks. V Quark−Quark steigt mit wachsendem Abstand r an.

Größenordung: e dV

dr ≈ 1GeV/fm

Vergrößert sich r → Feld-(=Gluonen-)Energie steigt über Vakuum-Polarisations-Schwelle: → Fliegen

zwei Quarks auseinander, bildet sich Quark-Antiquark Kette entlang Trajektorie: “Hadronen-Jet“.

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 7 GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK

• Gluonen tragen Farbladung → unterliegen selbst der starken WW.

• Derzeit: Keine Indizien, dass Quarks aus noch elementaren Teilchen aufgebaut sind.

• Proton: Enthält Quarks, Gluonen, die Paarbildung machen und wechselwirken können.

“Quark-Gluon-Plasma“

7.3 Leptonen

Elementarteilchen, die nicht der starken Wechselwirkung unterliegen. Quantenzahl: L =

Leptonenzahl: Muss erhalten bleiben.

z.B.: n(L = 0) → p(L = 0) + e − (L = 1) + ν e (L = −1) , ∑ i

L i

!

= 0

3 Generationen:

I e − , ν e m e = 511keV m νe 2, 2eV T 1/2 (e − , ν e ) = ∞

II µ − , ν µ m µ = 105MeV m νµ 170keV T 1/2 (µ − ) ≈ 2, 2µs, T 1/2 (ν µ ) = ∞ (?)

III τ − , ν τ m τ = 1717MeV m ντ 15MeV T 1/2 (τ) ≈ 3 · 10 −13 s, T 1/2 (ν τ ) = ∞ (?)

Das τ − wurde 1913 entdeckt.

Anmerkungen zu exp. Nachweisen:

ν µ -Nachweis: µ − → e − + ν e + ν µ

Hochenergetischer p-Strahl auf Be: → Emission von π − → µ − + ν µ

{µ − , ν µ )-Strahl auf Fe-Bock: µ − wird absorbiert, ν µ fliegt durch.

ν µ -Strahl auf Al: p + ν µ → µ + + n, die µ + -Detektion erfolgt über ein Massenspektrometer

Nachweis ν τ : Bisher nicht direkt, indirekt über Impulserhaltung beim Z − -Zerfall:

τ − → e − + ν e + ν t au

7.4 Anmerkungen zur schwachen Wechselwirkung

z.B. n → p + e − + ν e

Auf Quark-Ebene: udd → uud + e − + ν e

d → u + e − + ν e

Starke WW: Quark-Typ bleibt erhalten (Flavor) (nur Farbladung ändert sich)

Schwache WW: Quark-Typ ändert sich.

Z.B.: Neutrino: keine Ladung, keine Farbladung → keine Kopplung an Photonen oder Gluonen

⇒ Austauschteilchen (W, Z-Bosonen), Analogon zur Ladung (“schwache Ladung“)

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 7 GRUNDLAGEN DER ELEMENTARTEILCHENPHYSIK

(i) Schwache WW mit Ladungstransfer: d → u + e − + ν e “geladener Strom“

(ii) Schwache WW ohne Ladungstransfer: µ − → e − ν µ + ν e “Neutral Strom“

Stärke der schwachen WW: Kopplung: Γ schwach ≈ 10 −4 Γ Coulomb = 10 −6 Γ Stark

→ Reichweite ≈ 2 · 10 −18 m

↔ Masse Austauschboson: ≈ 80GeV/c 2 >> m n , m p ≈ m Blei Atom

Geladener Strom durch W ± -Bosonen m W ± = 80, 2GeV/c 2

Neutraler Strom durch Z 0 -Boson m Z 0 ≈ 91, 2GeV/c 2

Nachweis W ± , Z 0 -Bosonen: Erzeugung im e − − e + -Speicherring

e − + e + ≥91GeV

−→ Z 0 (Cern, 1983)

p + p ≥80GeV

−→ W ± + weitere Teilchen (Cern, 1982)

Detektoren: z.B.

Z 0 → e + + e − : ∑ Energie ≈ 90 GeV

W + → e + + ν e

W − → e − + ν e : Energie ≈ 80 GeV

7.5 “Standardmodell“

Versucht alle Teilchen und deren WW mittels Elementarteilchen zu erklären:

Elementarteilchen

• punktförmig

• Spin

• keine innere Struktur

• Masse

3 Familien:

• Leptonen

• Quarks

• Bosonen (Austauschteilchen) W ± , Z 0 , γ, g Spin 1

Problem: aus Eichfreiheit kann hergeleitet werden: falls es nur Bosonen als Austauschteilchen mit

Spin 1 gibt, dann folgt daraus: Quarks + Leptonen sind masselos → Widerspruch

Lösung: Postulat: ∃ Austauschbosonen mit Spin 0, welches an die Fermionen koppelt,

Kopplungsstärke legt Masse fest “Higgs-Mechanismus“. Higgs-Boson koppelt unterschiedlich stark an

Quarks und Leptopnen → legt Masse fest

2012: m Higgs ≈ 127 GeV (Cern)

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 8 OFFENE FRAGEN

∃ Modelle H 0 , H ±

8 Offene Fragen

• starke WW auf Nukleon-Ebene: Potentialtopfform?

• gibt es eine Insel der Stabilität? z ≈ 120

• werden Fusionsreaktoren Energie erzeugen?

• Neutrinomasse 0 < m ≤ 2, 2 eV

• Ursprung der Massen; Higgs

• Vereinigung Standardmodell - Gravitation

• Materie Antimaterie Asymmetrie

Seite 71


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by: Christian Krause, Matr. 1956616 A TUTORIUM

A Tutorium

A.1 Anmerkung zur Streutheorie

A.1.1

Θ(b) Für kugelsymm. Potentiale V (⃗r) = V (r)

Kugelsymm. → ⃗ L bleibt erhalten

Polarkoordinaten ϕ, r im Schwerpunkt-System: µ; v = v p − v T

Θ = Ablenkwinkel

v(t = −∞) = v 0 Potential V (r = ∞) = 0

(

⃗L-Erhaltung: L ⃗ dr

= µ⃗r × ⃗r = µ⃗r ×

dt ⃗e r + dϕ )

dt ⃗e ϕ

⃗r ‖ ⃗e r : ⃗r × dr }

dt ⃗e r = 0

L = | L| ⃗ = µr 2 ˙ϕ

⃗r ⊥ ⃗e ϕ : ⃗r × ⃗e ϕ = r

˙ϕ(t) =

L

µr 2 (t)

E-Erhaltung: E = 1 2 µv2 + E pot (r)

kinetischer Teil: 1 2 µv2 = 1 2 µ(ṙ2 + r 2 + ˙ϕ 2 ) = 1 2 µṙ2 +

⇒ ṙ(t) =

√ (

)

2

E − E pot (r) −

L2

µ

2µr 2

L2

2µr 2

⇒ im Prinzip r(t), ϕ(t)

Θ = π − 2ϕ min

ϕ min = ϕ(r min ) =

˙ϕ, ṙ einsetzen:


ϕ min

0

dϕ =

ϕ∫

min

0


dt · dt

r∫

min

dr dr =

−∞

˙ϕ

ṙ dr

Θ = π − 2ϕ min = π − 2

r∫

min

−∞

L 2

2µr 2

√ (

) dr ⇒ E pot(r) bestimmt Θ

2

µ

E − E pot − L2

2µr 2

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by: Christian Krause, Matr. 1956616 A TUTORIUM

Umschreiben auf Stossparameter b

}

L = µv 0 · b

e = 1 → L 2 = 2µb 2 E → L ersetzen

2 µv2 0

⇒ Θ = π − b

r∫

min

−∞

(

1

r 2 1 − b2

r 2 − 2E pot(r)

µv0

2

) −

1

2

dr

A.1.2 Anwendung auf Coulomb-Potential

V (r) =

q T

4πε 0 r ; E pot(r) = q pq T

4πε 0 r

( 4πε0 µv0 2 → Ergebnis: Θ(v 0 , b) = 2 · arccot

b )

q p q T

mit dσ ( ) db

dΩ = b · ·


1

sin ( 4 Θ

2

= 1 ( )

qp q 2

T 1

4 4πε 0 µv0

2 sin ( )

4 Θ

2

)

A.1.3 Anmerkung zum Thomson-Modell

Target = Homogen geladene Kugel, Kugel sei neutral

⇒ Ausserhalb r K : keine Ablenkung σ ≈ πr 2 K

{ neutral, r > rk

α-Teilchen sieht Thomson-Atom als

geladen, r < r k



F y (r) = F (r)cos(β), ∆p y = F y (r)dr = F y (r(t))dt

Kugel

Kugel

Kraft auf Ladung innerhalb der Kugel: F (⃗r) = q p · E(⃗r) =

q pq T

4πε 0 r 3 k

· r

Durchflugstrecke d: b klein → d hoch, aber Ladung symmetrisch um b verteilt

Durchflugstrecke d: b groß → d klein, Ladung antisymmetrisch


d ≈ 2 rk 2 − b2 ⇒ Durchflugzeit T ≈ 2 √

R

v 2 − b 2

0


∆p y =

q p q T

4πε 0 rk

3 r cos(β)dt =

q pq T

4πε 0 rk

3 bT =

q pq T b

2πε 0 r 3 k v 0


R 2 − b 2 Seite 73


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Mit ∆p


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= Pauli-Prinzip: ∃ keine zwei Teilchen mit identischem Satz an Quantenzahlen

Annahme n Teilchen auf N Zuständen N ≥ n, z.B. N=3, n=2

A = Anzahl der Verteilungen:

( )

( )

n + N − 1

N

klassisch: A = N n , Bosonen A=

, Fermionen A=

n

n

Stat. Mech: Besetzungswahrscheinlichkeit eines Zustandes der Energie

E ⃗s = ∑ j

n j ɛ j mit ∑ n j = n

Zustandssumme z = ∑ ⃗s

e −βE ⃗s

Besetzungshäufigkeit für Zustand mit Energie E k : ⇒ n k =


⃗s n ke −βE ⃗s


⃗s e−βE ⃗s

= − 1 β

∂ ln z

∂ɛ k

⇒ n k = e −βEɛ k

Klassisch Boltzmann-Verteilung

⇒ n k =

⇒ n k =

1

e βE ɛ k −µ

− 1

1

e βE ɛ k −µ

+ 1

Bosonen Bose-Einstein-Verteilung mit µ= chem. Potential

Fermionen Fermi-Dirac-Verteilung

Zustandsdichte: D(E) ≡

Anzahl der Zustände

Energie x Volumen , D(⃗ k) ≡

Anzahl der Zustände

Volumen x Volumen im k-Raum

Vorgehen: Berechne D( ⃗ k) E(⃗ k)

−→ D(E)

Zustände im ⃗ k-Raum, Ebene Wellen

Periodische Randbedingungen n · λ ! = L mit n ∈ N und L=Länge des Kastens

( )

1 Zustand in ∆ ⃗ 2π 3 ( ) 2π 3

k = , Spinentartung: 2 Zustände in

L

L

( )

D( ⃗ L 3

1

k) = 2 ·

2π L 3 = 1

4π 3

Freie Teilchen: E( ⃗ k) = E(k) = 2 k 2

2m

D(k) = D( ⃗ k) = ·4πk 2 = k2

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D(E) = D(k) ·

( ) dE −1

mit dE

dk dk = 2 k

m ⇒ D(E) =

m

π 2 2 · k = √

2m 3

π 2 2 √

E

A.3 Kernspin-Resonanz

z.B. Proton ( 1 1H-Kern): I = 1/2

Magnetisches Moment ⃗µ = γ · · ⃗I mit γ=gyromagn. Verhältnis

im Magnetfeld: ⃗ B 0 , const, homogen: ⃗ I: Richtet sich aus

⃗I ↑↑ ⃗ B 0 , ⃗ I ↑↓ ⃗ B 0

∆E = ±µ p · B 0 = γ · 2π · B 0 → ∆E(P roton) = 42, 8MHz · 2π ·B

} {{ } 0 = Radiofrequenz bei üblichen

Larmorfrequenz

B-Feldern

⇒ RF-Bereich: Extrem hohe Auflösung besser 10 −7

⇒ Lokale B-Felder können präzise Vermessen werden

Strahle ∆E = hν ein → Absorptionsresonanz

Variante 1: Bei welcher Frequenz wird absorbiert?

Variante 2: Wie wird die Anregung abgestrahlt?

Auswahlregelnn: ∆l = 0, ∆m l = ±1 Magnet. Dipolstrahlung

Quantenmechanik: Übergänge?

{Î2 Îz}

, Basis, Eigenvektoren |m >, m = ±1/2

Î z |m >= m|m >

Î|m >= I(I + 1)|m > mit I = 1/2

Beschreibung von Übergängen:

Î + ≡ Îx + iÎy, Î− ≡ Îx − iÎy Leiter-Operatoren: α|m >= √ (I(I + 1) − m(m + 1)|m ± 1 >

⇒ Î+|1/2 >= 0 = Î−| − 1/2 >

Î + | − 1/2 >= |1/2 >; Î−|1/2 >= | − 1/2 >

Hamilton-Operator: Ĥ = γB 0 Î z

Betrachte Resonantes ⃗ B 1 -Feld: ⃗ B 1 (+) = ⃗ B 1 e iω Lt

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Hamilton-Op: Ĥ ′ = +γe iω Lt ∑ i

B i 1Îi mit B 1 ↔ | + 1/2 >≡ |< ±1/2|Ĥ′ | ∓ 1/2 >| 2


⎪⎨

⎫⎪

z.B. < 1/2|Ĥ′ | − 1/2 >= γe iω 1

Lt

2 < 1 2 |(Bx 1 − iB y 1 )Î+| − 1 2 > + 1

⎪⎩

} {{ } 2 |(Bx 1 + iB y 1 )Î−| − 1 ⎬

} {{ } 2 > ⎪

=0


macht keinen Übergang

= γ 2 eiω Lt (B x 1 − iB y )+ < 1 2 |Bz 1Î−| − 1 2 >

z in der xy-Ebene rotierendes B-Feld

| − 1/2 >→ | + 1/2 > positiv zirkulare Polarisation

| + 1/2 >→ | − 1/2 > negativ zirkulare Polarisation

⇒ Anliegendes Feld soll ⃗ B 1

!

⊥ ⃗ B 0 und in xy-Ebene zirkular polarisiert eingestrahlt werden

Ensemble von Kernspins

typisch: ≈ 10 23 Kernspins, P (↑↑), P (↑↓), Besetzung ist Boltzmann-verteilt

P (±1/2) = Besetzungswahrscheinlichkeit P (−1/2)

P (1/2)

= e−γB 0/kT ≈ 1 − γB 0 /kT

} {{ }

bei 300K≈1−10 −6

bei 300K: γB 0 /kT


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Lit: R. Macomber - A complete introduction to NMR Spectroscopy, Wiley (1998)

∆E(B 0 ) = γB 0 mit γ gyromagn. Verhältnis

Interessant sind vor allem Elemente mit Kernspin I = 1/2

Kern rel. Isotopenhäufigkeit γ/2π (MHz /T)

1

1H 99,98% 42,58

16

6 C 1,1% 10,71

23

11Na 100% 11,26

31

15P 100% 17,24

Die eingestrahlten Frequenzen kann, da RF, hervorragend aufgelöst werden

Technologie: ⃗ B 0 durch supraleitende Magnetspule, typisch 1 - 10 T

⃗B 1 ⊥ ⃗ B 0 (s. Tut 3): Über RF-Spule

Verfahren 1: ⃗ B 1 kontinuierlich, messe Absorption (über Detektionsspule)

Verfahren 2: ⃗ B 1 als Puls → Magn. Fluss durch Mess-Spule variiert gem. Präzession der Kernspins

(FID, Fuse Induction Decay)

Entweder: Verfahre B 0 bei konst. ω RF oder meist verfahre ω RF bei B 0 =const

Auflösung: ∆ω

ω ≈ ∆B 0

B 0

besser als 10 −7

Konzept: B 0 induziert lokale Magnetfeld-Variationen:

• Diagmagn. Antwort der Elektronenhülle (Lenz’sche Regel)

e − auf Kreisbahn → B-Feld des Kreisstroms entgegen B 0 → Kern sieht abgeschwächtes ⃗ B-Feld

• Paramagnet. Antworten: Falls ⃗ J ≠ 0: Magn. Moment der e − richtet sich ↑↑ ⃗ B 0 aus → lokale

Verstärkung

In der Regel: Diamagn. Verschiebung der Resonanzfreqenz

→ Darstellung in ppm: δ = chemische Verschiebung = 10 6 ∆ω L

ω 0 L

ω 0 L = Referenzfrequenz, die in der REgeln mitgemessen wird. Häufig: 1 H-Resonanz von

Tetramethylsilan (TMS) Si(CH 3 ) 4

Bsp: Protonenresonanz an Toluol: Pheonolring (5 H) + 1 Methyl (3 H)

NMR-Spektrum: Peaks bei δ = −2, 45ppm = H an Methylgruppe, δ = −7, 23ppm = H am Phenolring

Integrierte Signalstärke S(-7,23) : s(-2,45) = 5:3

Vorteil TMS als Referenzmedium:

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• 12 Äquivalente Protonen → starkes, eindeutiges Signal

• chemisch inert

• sehr gut löslich (außer in Wasser)

→ Zoom in z.B. den 7.2 ppm-Peak von Toluol: Komplexe Feinstruktur (mit Auflösung von 10 −4 ppm)

Faustregel: Resonanzfrequenz sieht bis zu 3 Bindungslängen

Zusätzlich: Kernspins koppeln aneinander und bilden ein Spin-Multiplett.

A.5 Altersbestimmung und andere Anwendungen

A.5.1 Altersbestimmung

Häufigkeit der Isotope ändert sich durch Zerfälle → Isotopen-Verhältnisse → Alter

⇒ T 1/2 ≈ Zeitraum von Interesse

Wesentliche Gebiete:

Kulturhistorisch T 1/2 ≈ 1000 - 10000 a ( 14 C)

Astronomisch/Geologisch: T 1/2 ≈ 10 8 − 10 9 a (Uran-Blei, Rubidium-Strontium)

Bildung Objekt zur Zeit t 0 → N(t 0 ) radioaktive Kerne

→ N(t) = N(t 0 )e −λ(t−t0) ⇒ ∆t = t − t 0 = 1 ( )

λ ln N(t0 )

N(t)

14 C-Methode

14 C durch Höhenstrahlung

14 N + n → 1 4C + p (mit n aus Höhenstrahlung)

Erzeugungsrate 14 C ≈ 2, 5 · 10 4 m −2 s −1 , Häufigkeit: H( 14 C)

H( 12 = 1, 2 · 10−12

C)

14 C wird über Stoffwechel aufgenommen

H( 14 C) im Lebewesen = const. bis zum Tod. Fällt dann ab mit T 1/2 = 5730a

∆T -Bestimmung ca. 500a - 40.000 a möglich.

Altersbestimmung von Gestein:

Falls Tochterkern stabil → Isotopenzusammensetzung des Elements ändert sich

Uran-Blei-Methode:

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2 Uran-Isotope 238 U; T 1/2 ≈ 4, 472 · 10 9 a; 235 U; T 1/2 ≈ 7, 038 · 10 8 a

H( 235 U)

H( 238 = 0, 72%

U)

Beide Zerfallen in Pb-Isotope:

238 U −→ α · · · → 206

8 2P b (stabil, Zwischenschritte T 1/2


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γ-Kamera: Feld ovn Szintillationszählern (z.B.) + Kollimator

Radiopharmazeutika:

• spezifisch: bzgl. des metabolischen Prozesses von Relevanz

• wenig Hintergrund (d.h. Isotope, die nicht vorkommen oder nicht aufgenommen werden)

• ungiftig (chemisch)

• T 1/2 = wenige Stunden / Tage

• E γ 100keV

• Am besten: keine α, p−Emission (hohe Schäden)

geeignete Isotope

Stoff T 1/2 E γ (keV) Herstellung

123 I 13h 159 Zyklotron

133 Xe 5,5d 81 Kernspaltung

99 T c 6,02h 140 Kernchemie Spaltung

99 T c beliebter Kandidat, da kein Hintergrund

Herstellung 99

43T c :

99

42Mo β− ,66h

−→ 99

43T c

Da 99

42Mo selten: 98

42Mo + n −→ 99

42Mo

Das Neutron stammt aus Kernreaktoren oder einem Zyklotron: 18

8 O + p → 18

9 F + n

Mo-Präparat wird gemolken (D.h. 99

43T c wird chem. extrahiert)

→ Einbau in Wirkstoff: DTPA → Mit Tc markieren: Tc-DTPA. Wird selektiv von Niere

aufgenommen und ausgeschieden. Auch: Hirnfunktion, Knochenaufbau, etc.

PET: Positronen-Emissions-Tomographie:

Injeziere β + -Emitter

→ lokal: e + + e − Paarvernichtung

⇒ Emission zweier γ-Quanten entgegengesetzt, Verbindungslinie enthält Ort β + -Emiters

⇒ viele γ-Detektionen → β + lokalisierbar auf ca. 1 mm genau.

Korrelierte Messung: γ-Quanten innerhalb ∆t = L c

gehören zusammen mit L ≈ ØDetektorring

Beachte:

1

Zerfallsrate > ∆t Seite 81


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A.7 Dosimetrie

A.7.1 Dosimetrische Kenngrößen

Energiedosis D Pro Masse absorbierte Strahlungsenergie, wenig aussagekräftig bzgl. Gefährdung [D]

= 1 J/kg = 1 Gray (Gy)

Ionendosis J Pro Masse freigesetzte Ladung [J] = 1 C/kg; 1 Röntgen = 2,58 ·10 −4 C/kg

Physiologisch Relevant: Strahlungsart, Physikalische Einheit → Physiologische Einheit

Physiologische Wirkung: Berücksichtigt über Wichtungsfaktoren

Äquivalentdosis H = Energiedosis ×W Strahlungsart [H] = [D] = Sievert (Sv), rem = 10 −2 Sv.

“RBW“ relative biologische Wirksamkeit

Strahlungsart RBW

β, γ 1

n 10

α 20

1 Sv = 1 Gy × RBW, typische Werte:

Lunge Röntgen

Gebiss

RCT Ganzkörper

Nierenfunktion

Herzfunktion

Strahlentherapie:

Organentzündung

Karzinom

0,2 mSv

0,01 mSv

20 mSv

1 mSv

17 mSv

1 Sv

3 - 50 Sv

Gewebe-Wichtungsfaktor: Berücksichtigt Empfindlichkeit der Gewebe bzgl. Strahlung

Gewebe

Wg

Haut 0,01

Leber 0,05

Magen, Knochen 0,12

Drüsen 0,2

Effektive Dosis = E=

Außerdem:


i=Gewebe

W g i H i Dient der Beurteilung der Gesamtgefährdung einer Person.

KERMA = Kinetic Energy Released per unit Mass Kin. Energie pro Masse aller durch Strahlung

freigesetzter Teilchen, i.d.R. Angabe bzgl. Absorber, Luft- oder H 2 O-KERMA

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LET = Linear Energy Transfer = dE

dλ = ∆E

∆x = Abgegebene Energie pro λ dB (=Flugstrecke) des

Teilchens

Ansatz zur Charakterisierung aller Energien und Strahlenarten mit einem Parameter

Hoch-LET: dE λ

> 10keV µm , Nieder-LET dE λ < 10keV µm

Bislang: Zeitraum der Belastung nicht berücksichtigt → Dosisleistungen dD

dt , dH dt , . . .

Meist Angabe von dH [ ] dH

dt , =

dt

[ ] Sv

s

dH

Größe

dt (mSv/a)

ØBelastung/Person 2,4 ohne Therapien

Arbeitsplatz-Grenzwert 20

Nachgewiesene Schädigungsschwelle 500

Letale Schädigungsschwelle 5000

Kosm. Strahlung 0,3 Meeresspiegel

26 in 12km Höhe

Terrestr. Strahlung 0,2 schwankt bis zu 2 Größenordnungen

Baustoffe Tragen signifikant zu Øbei

Körperintern 0,3

Belastungsvergleich:

Belastung (Sv/h)

Natürliche Radioaktivität 10 −7

Lunge Röntgen 3,6

Cobalt Bestrahlung 50

AKW, Abstand 1km 10 −10

Fernsehröhre 2m Abstand 10 −10

Strahlenschutz:

4 Grundregeln:

1. Verwende Quellen möglichst geringer Intensität

2. Minimiere Verweildauer im Strahlenbereich

3. Halte große Abstände ein I(r) ∝ 1 r 2

4. Abschirmung

⇒ Regeln stehen teilweise im Widerspruch zueinander

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A.8 Die natürlichen Spaltungsreaktoren von Oklo

Uran aus Uranerz: UO 2 (Pechblende, Uranitit), vermischt mit P bO

Reduktion → Uran, aus zwei Isotopen

Isotopenverhältnis ist universell: X( 235 U)=0,7202%; X( 238 U)=99,2798%

Zur Zeit: 1kg Uran: 300 $, 7,2 g 235 U → 42.000 $ ≈ Goldpreis

→ vor Verarbeitung: Genaue Analyse

1972 in Pierrelatte (Fr) Uran aus Oklo (Gabun): X( 235 U)=0,7171%, bei 700t: $ 8,4 Mio fehlen.

Heute: Minimaler Wert (auch aus Oklo): X( 235 U)=0,44%

16 Fundstellen mit X( 235 U) reduziert.

Grund? 235 U wurde natürlich induziert gespalten, Kettenreaktion zum Verbrauch?

Nachweis: Verteilung der Spaltprodukte wichen z.T. ab von natürlichen Isotopenverteilung, z.B.

Neodym (Nd)

→ Isotopenverteilung: 142 Nd kommt in der Natur vor, tritt aber nicht bei Kernspaltung von 235 U

auf.

⇒ Vergleich Nd-Verteilung (Oklo) und Nd-Verteilung (Reaktor) wie auch für andere Elemente (Cs,

Sr, Gd) weisen Kernreaktion nach.

Moderation durch Wasser.

Bei X( 235 U)=0,7202% → k < 1 bei H 2 O−Moderation. → 235 U muss angereichert gewesen sein (auf

ca. 3%).

→ Halbwertszeichen: T 1/2 235 U ≈ 7 · 10 8 a; T 1/2 238 U ≈ 4, 5 · 10 9 a

T (X( 235 U) ≥ 3% = −2, 2 · 10 −9 a ⇒ Reaktoren liefen vor ca. 2 Mrd. Jahren.

→ Weitere Bedingungen:

• C(Uran im Gestein) 10%̌

• C(H 2 O im Gestein) 6%̌

• keine Neutronengifte (B,Li) ̌

Ein paar Zahlen Pro Flöz ≈ 6t 235 U verbraucht. Freigesetzte Energie: 15 GWa (≈ 1 modernes KKW

für 43 Jahre)

Vermutlich: 100 KW für 10 5 a.

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Zyklischer Betrieb: Spaltung → Wärme → H 2 O verdampft → keine Moderation → Reaktor geht aus

→ Abkühlung → H 2 O läuft nach → Moderation → Spaltung

Was kann man daraus lernen:

• einige Spaltprodukte einschließbar

• Konstanz der Naturkonstanten: c, h, q e sind im Rahmen der Messgenauigkeit über 2 · 10 9 a

konstant geblieben.

A.9 Energieversorgung: Vergleich

basiert auf: Nature 454, 816-823 (2008)

Weltenergiebedarf: P ≈ 4 TW = ca. 3000 Spaltungsreaktoren, Größtest Kraftwerk:

Drei-Schluchten-Staudamm (China) P ≈ 18 GW

Kriterien

• Verfügbarkeit

• Baukosten

• Stromkosten

• Akzeptanz

• Nachhaltigkeit

A.9.1 Wasserkraftwerk

P ≈ 800 GW = 20 % des Gesamtbedarfs

Baukosten: ≈ 10 6 Euro/MW Leistung

Stromkosten: ≈ 3ct - 10 ct /kWh

Potential: ≈ 3 TW

• + kein Brennstoff

• + Kontinuität

• + Regelbarkeit

• - Umweltschäden

• - Anschlagsgefahr

Vorhersage: P auf 1,8 TW ausbaubar.

A.9.2 Kernspaltung

440 Reaktoren, P ≈ 370 GW

Baukosten: ≈ 2 · 10 6 Euro/MW

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Stromkosten: ≈ 2,5ct - 7 ct /kWh

Potential: ≈ 60 a Uran(235)-Spaltung, 2000a Uran(238)-Spaltung

• + Kontinuität

• - Radioaktivität Proliferation

• - Anschlagsgefahr

Vorhersage: mittelfristig relevant, zunehmend langfristig abnehmend

A.9.3 Windkraft

P ≈ 150 GW (ØAbgerufen ≈ 20%)

Baukosten: ≈ 1, 8 · 10 6 Euro/MW Leistung

Stromkosten: ≈ 5ct - 9 ct /kWh

Potential: ≈ 72 TW

• + kein Brennstoff

• - keine Kontinuität

• - geringe Leistungsdichte

Vorhersage: Ausbau auf 1 TW denkbar, jedoch nur 20% durchschnittlicher Leistungsabruf möglich.

A.9.4 Solarenergie

P ≈ 10 GW, davon wird Ø14 % abgerufen

Baukosten: ≈ 2 · 10 6 Euro/MW

Stromkosten: ≈ 25ct - 40 ct /kWh (Solarthermie-Kraftwerke: 17 ct/kWh)

Potential: ≈ 100.000 TW Solarleistung treffen auf Erde auf.

→ 1/10 der Saharafläche reichen aus, um den Weltbedarf zu decken.

• + kein Brennstoff

• + hohe Leistungsdichte (1,3 kW/m 2 )

• - keine Kontinuität

• - nicht lokal verfügbar

A.9.5 Biomasse

= Zucht von Pflanzen zur Energiegewinnung, CO 2 neutral, P= 40 GW

Baukosten: ?

Stromkosten: 2 ct / kWh

Potential: Bei voller Nutzung der geeigneten Flächen: P≈3 TW möglich

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• + hohes Potential

• + CO 2 neutral

• + Kontinuität

• - konkurriert mit Lebensmittelproduktion

Vorhersage: Wird nur lokal im kleinen Maßstab eine Rolle spielen.

A.9.6 Geothermie

P ≈ 10 GW

Baukosten: 2 · 10 6 Euro/MW

Stromkosten: 5 ct / kWh

Potential: 70 GW (bei entwickelter Technologie, bei verbesserter Technologie 1 TW)

• + kein Brennstoff

• + Kontinuität

• - geringe Leistungsdichte

• - nur sehr lokal verfügbar

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