Download (PDF: 1.8 MB)

Formale Sprachen, speziell:
Chomsky-Grammatik
Nach dem Weihnachtsgeschäft ist im Januar und Februar immer relativ wenig Betrieb
in Marino Caponis Ristorante. Deshalb plant Marino Caponi für den 21. Februar,
den internationalen Tag der Muttersprache, eine besondere Aktion: Er gibt
jedem Gast eine Liste mit Worten und Sätzen aus verschiedenen Sprachen und der
Gast muss diese Ausdrücke der richtigen Sprache zuordnen. Wer alle seine Ausdrücke
auf dem Blatt der richtigen Sprache zuordnet, erhält ein Getränk seiner Wahl
gratis. Damit das Ganze nicht zu einfach wird, fragt er seinen Neffen Enzo, welche
Sprachen er denn benutzen soll. Der schlägt vor: „Neben den natürlichen Sprachen
und Dialekten, kannst Du doch auch eine künstliche Sprache, wie z. B. Esperanto,
nehmen. Außerdem gibt es in der Informatik auch sogenannte ‚formale Sprachen‘,
die Dein Quiz noch schwieriger machen würden.“
Marino findet die Idee gut und macht sich schlau, welche verschiedenen Sprachen
er benutzen kann.
Unter einer Sprache wird normalerweise eine natürliche Sprache wie Deutsch oder Englisch
verstanden.
Laut National Geographic wurden 2005 weltweit über 6900 Sprachen aktiv verwendet.
Jedoch werden die meisten von diesen Sprachen nicht mehr an die Kinder weitergegeben
und sind deshalb vom Aussterben bedroht. Man vermutet, dass innerhalb der
nächsten 100 Jahre viele der heute noch vorhandenen Sprachen verschwinden werden.
2005 wurden die häufigsten 51 Sprachen von rund 80 % der Menschen als Muttersprache
gesprochen, alle anderen (noch) existierenden ca. 6850 Sprachen von den restlichen
20 %. (Einen eindrucksvollen Einblick in die Vielfalt von Sprachen, auch künstliche Sprachen,
bietet die Internetseite http://www3.germanistik.uni-halle.de/prinz/index.htm.)
National Geographic, Planet
Erde 2008, Unsere Welt im
Wandel: Zahlen, Daten,
Fakten, S. 87
Neben den natürlichen Sprachen, zu denen auch die Gebärdensprache zählt, existieren
jedoch auch künstlich geschaffene bzw. konstruierte Sprachen. Zu den konstruierten
Sprachen gehören:
• Plansprachen wie z. B. Esperanto,
• fiktionale Sprachen wie z. B. Klingonisch aus der Fernsehserie „StarTrek“ (1984),
• Geheimsprachen und formale Sprachen, zu denen auch die Programmiersprachen
gehören.
Wenn zwei Kommunikationspartner Informationen austauschen wollen, benutzen sie auf
jeden Fall eine Sprache, die sie beide verstehen. Bei den natürlichen Sprachen ist der
Kommunikationspartner in der Regel ein Mensch. Wenn der Kommunikationspartner
eine Maschine ist, wird zur Kommunikation üblicherweise eine formale Sprache benutzt.
Eine formale Sprache kann eine Telefonnummer sein oder eine Programmiersprache,
wie zum Beispiel Java.
Grammatiken
Zwischen all diesen Sprachen gibt es viele Gemeinsamkeiten. Sie bestehen alle aus
bestimmten Elementen (Lauten, Symbolen, Buchstaben oder Worten), die eine bestimmte
Bedeutung haben und nach gewissen Regeln zu großen Konstrukten zusammengebaut
werden können. Die Regeln, die es für diesen Zusammenbau gibt, wird Grammatik
genannt.
Die Grundzüge der Sprache
Esperanto wurde im Jahr
1887 von dem Warschauer
Arzt Ludwik Lejzer Zamenhof
veröffentlicht. Er wollte
eine leicht erlernbare, neutrale
Sprache zur internationalen
Kommunikation (zur
besseren Völkerverständigung)
schaffen. Mittlerweile
wird Esperanto in ca. 150
Ländern von bis zu
2 000 000 Menschen aller
Altersgruppen gesprochen.
Selbst eine eigene Flagge
wurde für „Esperantoland“
kreiert.
Wikipedia
Zusatzmaterial – Chomsky-Grammatik
Während es bei natürlichen Sprachen eine Umgangssprache gibt und die meisten Kommunikationspartner
in der Lage sind, auch „verstümmelte“ bzw. nicht regelkonforme
Sätze zu verstehen (siehe „Imbissdeutsch“ auf youtube), müssen formale Sprachen
absolut exakt und eindeutig sein. Bei ihnen können höchstens kleine Fehler „verstanden“
werden und das auch nur, wenn sie sehr nah an der korrekten Form sind.
1

Weil die formalen Anforderungen für formale Sprachen so wichtig sind, wurden für die
Darstellung der Syntax einer Sprache, also der Grammatik, verschiedene Hilfsmittel
entwickelt.
Am bekanntesten und gebräuchlichsten sind
• Ableitungsbaum,
• Backus-Naur-Form bzw. Erweiterte Backus-Naur-Form,
• Syntaxdiagramm und
• Chomsky-Grammatik.
Von diesen vier Darstellungsarten werden die ersten drei im zugehörigen Buch, Kapitel
2.3 auf Seite 49 ff. vorgestellt. Die Chomsky-Grammatik soll hier erklärt werden.
picture alliance/dpa
Noam Chomsky,
*07.12.1928 in Philadelphia,
war Professor für Lingusitik
am Massachusetts Institut
of Technology. Er war seit
den 1960er Jahren einer der
führenden Intellektuellen
Amerikas und fand viel
Beachtung in der Linguistik,
Informatik und Politik.
Chomsky-Grammatik
Zeitgleich mit der Veröffentlichung der Backus-Naur-Form entwickelte der Linguist
Noam Chomsky im Hinblick auf die formale Beschreibung natürlicher Sprachen ein theoretisches
Syntaxmodell, die Chomsky-Grammatik. Eine Chomsky-Grammatik besteht
aus vier Komponenten G = (Σ, V, P, s). Dabei ist
• Σ (griech. = Sigma) eine endliche, nichtleere Menge von Terminalsymbolen (das sogenannte
Alphabet der betreffenden Sprache). Das ε (griech. = Epsilon) gehört immer
dazu und steht für NICHTS.
• V eine endliche, nichtleere Menge von Variablen (Nichtterminalsymbole oder Hilfssymbole),
wobei Σ ∩ V = ∅, also in Σ gibt es kein einziges Terminalsymbol, das auch
Nichtterminalsymbol ist.
• P eine endliche Menge von Produktionen (Ersetzungsregeln), wobei eine Produktion
immer die Gestalt x → y hat und x und y dabei Wörter sind, die aus dem Alphabet der
Sprache Z = Σ ∪ V gebildet wurden (Z ist die Sprache, die aus der Vereinigung der
Terminalsprache Σ und der Nichtterminalsprache V entsteht.). Außerdem muss die
linke Seite x mindestens ein Nichtterminalsymbol enthalten.
• s ein Startsymbol (zum Starten einer Ableitung), wobei gilt: s ∈ V.
Die Chomsky-Grammatik (G) für Sätze der Art „Der junge Mann sieht das Auto“ würde
so aussehen:
Zusatzmaterial – Chomsky-Grammatik
G = (Σ, V, P, s) mit
Σ = {der, die, das, alte, junge, tolle, klapprige, Mann, Frau, Auto, Fahrrad, fährt, sucht, sieht}
V = {Satz, Subjekt, Prädikat, Objekt, Nominalgruppe, Artikel, Adjektiv, Substantiv, Verb}
P = { →
→
→
→
→ |
→ der | die | das
→ alte | junge | tolle | klapprige | ε
→ Mann | Frau | Auto | Fahrrad
→ fährt | sucht | sieht
}
s =
Mit einer Chomsky-Grammatik können noch mehr Sprachen beschrieben werden als
mit der EBNF, weil auf der linken Seite der Ableitungs- bzw. Produktionsregeln bei der
Chomsky-Grammatik auch mehrere Symbole stehen können.
2

Zusammenhang zwischen Grammatiken und Automaten
Wir haben bei den Automaten gesehen, dass Akzeptoren der Überprüfung einer Sprache
dienen. Durch Grammatiken werden hingegen die Sprachen erzeugt.
Bei den Automaten haben wir die drei Klassen der endlichen Automaten, der Kellerautomaten
und der Turingmaschinen kennengelernt. Tatsächlich gibt es für jede dieser
Klassen auch jeweils passende Grammatiken.
Sprachklassen
Erkennen (Automat) Erzeugen (Grammatik) Beispiel
Eine reguläre Sprache
wird erkannt durch
einen endlichen Automat
Zur Erzeugung einer regulären Sprache
benötigt man eine rechtslineare
Grammatik, die man auch Chomsky-
3-Grammatik nennt.
Diese rechtslinearen Grammatiken sehen
so aus, dass auf der linken Seite einer
Produktionsregel immer ein Nichtterminal
steht und auf der rechten Seite ein
Terminalsymbol oder ein Terminalsymbol
gefolgt von einem Nichtterminalsymbol.
→ 1 | 0 | ε.
Eine kontextfreie
Sprache wird erkannt
durch einen Kellerautomat
Eine kontextsensitive
Sprache wird erkannt
durch eine spezielle
Turingmaschine
Eine aufzählbare
Sprache wird erkannt
durch eine Turingmaschine
Zur Erzeugung einer kontextfreien
Sprache benötigt man eine kontextfreie
Grammatik, die man auch Chomsky-
2-Grammatik nennt.
Alle kontextfreien Grammatiken können
mit der EBNF und mit Syntaxdiagrammen
dargestellt werden.
Zur Erzeugung einer kontextsensitiven
Sprache benötigt man eine kontextsensitive
Grammatik, die man auch
Chomsky-1-Grammatik nennt.
Zur Erzeugung einer aufzählbaren
Sprache benötigt man eine unbeschränkte
Grammatik, die man auch
Chomsky-0-Grammatik nennt.
Sie beschreibt die aufzählbaren Sprachen
und die Wörter.
Klammerausdruck = "( " Term " )".
Term = …
Für die Sprache, die Wörter der Form „a n b n c n “ beinhaltet,
hatten wir bereits eine erkennende Turingmaschine
konstruiert. Eine passende Grammatik dazu kann als
Chomsky-1-Grammatik angegeben werden, die so
aussieht:
G = (Σ, V, P, s) mit
Σ = {a, b, c}
V = {S, A, C}
P = { → abc | a b c
→ a b | a b
b → b
c → c c
}
s =
Für die natürlichen Sprachen gibt es keine Chomsky-Hierarchiestufe. Das heißt, dass
sich natürliche Sprachen nicht in ihrem vollen Umfang durch ein Computerprogramm
erkennen und beschreiben lassen.
Zusatzmaterial – Chomsky-Grammatik
3

Zusammengefasst, ergibt sich folgende Chomsky-Hierarchie, wobei jeweils der nächsthöhere
Chomsky-Typ Teilmenge des vorhergehenden ist:
natürliche
Sprachen
Chomsky-Grammatik
Typ 0 = aufzählbare
Sprachen =
unbeschränkte
Grammatik
Sprache wird
erkannt durch
Turingmaschine
Chomsky-Grammatik
Typ 1 = kontextsensitive
Sprachen =
kontextsensitive
Grammatik
Sprache wird erkannt
durch spezielle
Turingmaschine
Chomsky-
Grammatik Typ 2 =
kontextfreie Sprachen =
kontextfreie Grammatik
Sprache wird
erkannt durch
Kellerautomat
Chomsky-
Grammatik Typ 3 =
reguläre Sprachen =
rechtslineare Grammatik
Sprache wird erkannt
durch endlichen
Automaten
Marino Caponi nimmt sich ein großes Blatt und füllt eine dreispaltige Tabelle mit
den Sprachen, den Ausdrücken in den jeweiligen Sprachen und den Übersetzungen
der Ausdrücke. Er plant, jedem Gast ein Blatt zu geben, auf dem nur die erste
Spalte ausgefüllt ist. Die Inhalte der zweiten und dritten Spalte bekommt jeder Gast
als einzelne Schnipsel in einem Umschlag und muss diese Schnipsel in der richtigen
Reihenfolge auf das Blatt Papier kleben.
Zunächst schreibt er einige Ausdrücke in einigen Sprachen auf:
Zusatzmaterial – Chomsky-Grammatik
Sprache Ausdruck Übersetzung bzw. Grammatik
Esperanto Unu horo havas sesdek minutojn. Eine Stunde hat sechzig Minuten.
Englisch Age is a matter of mind. Alter ist Ansichtssache.
Französisch C’est á toi maintenant. Jetzt bist du dran.
Spanisch La comida está salada. Das Essen ist versalzen.
Italienisch Siamo arrivati il dódici agosto. Wir sind am 12. August angekommen.
Portugiesisch Não foi isso que pedimos. Das hatten wir nicht bestellt.
Russisch Лось ест траву и ветки. Der Elch frisst Gras und Zweige.
Schwedisch Jag skulle vilja ha rödbetor. Ich hätte gern rote Beete.
Tschechisch Pokoj není uklizený. Das Zimmer ist nicht gereinigt
worden.
Klingonisch
Rache ist ein Gericht, das am besten
kalt serviert wird.
Quelle: http://en.wikipedia.org/
wiki/Klingon_writing_systems
4

Nun möchte er noch einige formale Sprachen erfinden und gibt sie mit verschiedenen
formalen Hilfsmitteln an, die er auch auf dem Zettel für die Kunden abdruckt.
Zuerst verwendet er einen erkennenden
Automaten für die a-Sprache.
Danach gibt er die b-Sprache mit einer
Chomsky-Grammatik an:
G = ({a,b}, {S}, { → a a | b}, S)
Start
q 0
a
b
q 1
Die c-Sprache legt er mit Regeln der EBNF fest:
S = "a" "a" T ["a" "a"].
T = "b" T | "b".
Und zum Schluss beschreibt er die d-Sprache mit einem Syntaxdiagramm:
a b
a
b a
Damit es noch ein wenig schwieriger wird, gibt er zu jeder der vier Sprachen noch
ein Wort an, das zu keiner dieser vier Sprachen gehört.
Sprache Wort/Zeichenkette ungültige Wörter/Zeichenketten Sprachtyp
a-Sprache ababab bababa reguläre Sprache
b-Sprache aaabaaa aabaaa kontextfreie Sprache
c-Sprache aabbaa aaabaa kontextfreie Sprache
d-Sprache aaababaa aaabaabaaa reguläre Sprache
Marino Caponi überlegt, welche Sprache zu welcher Chomsky-Hierarchiestufe
bzw. zu welchem Sprachtyp gehört:
Die a-Sprache lässt sich durch einen endlichen Automaten darstellen, also muss
das eine reguläre Sprache mit einer rechtslinearen Grammatik sein. Das ist also
eine Chomsky-3-Grammatik.
Die b-Sprache erzeugt quasi Palindrome bzw. Klammerausdrücke, denn bei der
Ableitungsregel steht auf der rechten Seite jeweils links und rechts von einem
Nichtterminalsymbol, dem , ein Terminalsymbol, ein a. Das bedeutet diese
kontextfreie Sprache lässt sich durch eine kontextfreie Grammatik, eine Chomsky-
2-Grammatik, erzeugen und wird von einem Kellerautomat erkannt.
Dasselbe gilt für die c-Sprache, wegen ["a" "a"] auf der rechten Seite des Nichtterminals
T.
Bei der d-Sprache wiederum besteht kein Zusammenhang zwischen der Anzahl
der „a“ am Anfang und am Ende des Wortes. Deshalb ist sie wie die a-Sprache
eine reguläre Sprache, die sich mit einer rechtslinearen Grammatik beschreiben
lässt.
Zusatzmaterial – Chomsky-Grammatik
Nun ist Marino Caponi zufrieden und freut sich schon auf den internationalen Tag
der Muttersprache.
5

1
2
3
4
AUFGABEN
Nennen Sie drei Beispiele, wo Ihnen im Alltag formale Sprachen begegnen.
Die Lachsprache hat die Form (ha) n . Die Wörter dieser Sprache lauten: „ha“, „haha“,
„hahaha“, …
a) Notieren Sie die Syntaxregeln dieser Sprache in der EBNF.
b) Geben Sie die Syntaxregeln dieser Sprache mithilfe von Syntaxdiagrammen an.
c) Erstellen Sie für die Lachsprache eine Chomsky-Grammatik.
d) Leiten Sie das Wort „hahaha“ mithilfe eines Ableitungsbaumes ab.
Die Sprache der Kleidergrößen K lautet: K = {XXS, XS, S, M, XL, XXL, XXXL}
Geben Sie eine Chomsky-Grammatik zur Erzeugung dieser Kleidergrößensprache
an.
Die KFZ-Kennzeichen in Deutschland sind unter anderem aus drei Zeichengruppen
aufgebaut: Die erste Gruppe aus einem bis drei Buchstaben gibt an, aus welcher
Stadt bzw. welchem Landkreis das Fahrzeug kommt. Die zweite Gruppe besteht
aus ein bis zwei Buchstaben und dient der Identifikation. Ebenso der Identifikation
dient die dritte Gruppe, die aus ein bis vier Ziffern besteht.
a) Geben Sie mithilfe der EBNF eine Grammatik an, die den Aufbau von KFZ-Kennzeichen
beschreibt.
b) Geben Sie drei ungültige Kennzeichen an, die nicht zur Sprache der deutschen
KFZ-Kennzeichen gehören.
5
In der Mathematik haben Sie gelernt, einen Ausdruck wie (3 + 4) * (5 – 3) folgendermaßen
zu beschreiben:
„Der Term ist ein Produkt. Der 1. Faktor ist eine Summe aus den Summanden drei
und vier. Der 2. Faktor ist eine Differenz. Der Minuend lautet fünf, der Subtrahend
ist drei.“
a) Erstellen Sie zu diesem Term einen Ableitungsbaum.
b) Geben Sie zu den vier Grundrechenarten – inklusive der Klammerung – eine
Chomsky-Grammatik an.
c) Stellen Sie die Ableitungsregeln durch Syntaxdiagramme dar.
Zusatzmaterial – Chomsky-Grammatik
6