Funktionen - arthur

4 Funktionen
Der Begriff Funktion wurde 1694 von Gottfried Wilhelm Leibniz
(1676 – 1716) eingeführt und wurde von ihm als formelmäßige
Rechenvorschrift für die Beschreibung des Zusammenhangs
zwischen veränderlichen Größen aufgefasst. Das Erfassen von
Zusammenhängen zwischen mehreren Größen ist eine wichtige
Aufgabe in Mathematik, Technik und Naturwissenschaft.
Zusammenhänge werden meist als Formel angegeben und sind
dadurch für Berechnungen und Auswertungen zugänglich.
Das älteste verwendete Darstellungsmittel für Zusammenhänge
von Größen sind Tabellen. Sie wurden schon 2000 v. Chr. von den
Babyloniern verwendet. Die grafische Darstellung der Werte ist ein
wertvolles Hilfsmittel zur Veranschaulichung und Interpretation.
4.1 Definition und Darstellung der Funktion
Leibniz: Bedeutendster
deutscher Philosoph, Wissenschafter
und Mathematiker
seiner Zeit.
Die heute verwendete Definition der Funktion entstand aus dem Bestreben der modernen
Mathematik, den Begriff Funktion möglichst allgemein und präzise zu erfassen. Man erkannte
die Funktion als Abbildung zwischen Elementen zweier Mengen.
A
4.1 Leonie hat freie Fahrt auf der Autobahn. Sie stellt
auf automatische Temporegulierung und kann eine
Strecke von 120 Kilometer (km) gleichmäßig fahren.
Der Kraftstoffverbrauch beträgt auf dieser Strecke
8 Liter (l).
Stelle den Zusammenhang zwischen der
Fahrtstrecke und dem Kraftstoffverbrauch dar.
4.1.1 Die Darstellung der Funktion mit einer Tabelle
Du kannst den in Aufgabe 4.1 beschriebenen Zusammenhang in einer Tabelle angeben. Dazu
legst du zunächst die Definitionsmenge D fest. Für Leonie interessant sind die ersten 120
Kilometer. Daher sind alle reellen Zahlen im Intervall [0 km; 120 km] eine günstige Festlegung
für D. Da die Tabelle nicht alle Werte von D beinhalten kann, nimmst du nur einige Werte und
unterteilst am besten die Strecke von 120 km gleichmäßig.
Die Menge der Werte, die sich für den Kraftstoffverbrauch ergeben, entsprechen den reellen
Zahlen, die im Intervall [0; 8] liegen.
Jedem Streckenabschnitt ordnest du den Verbrauch zu, der bis zu dem jeweiligen
zurückgelegten Weg auftritt. Am besten teilst du den Kraftstoffverbrauch von 8 l ebenfalls
gleichmäßig auf und erhältst schließlich zB die folgende Tabelle:
zurückgelegte Strecke in km 0 30 60 90 120
verbrauchter Kraftstoff in ∙ 0 2 4 6 8
Definition:
Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jedem Element einer
x
Menge D (Definitionsmenge) genau ein Element der Menge W
(Wertemenge) zuordnet. Wir schreiben
f: D → W.
„Die Funktion f bildet die Definitionsmenge D auf die Wertmenge W ab.“
108 Funktionale Zusammenhänge
D
f
W
f(x)

Funktionen
Üblicherweise bezeichnet man ein beliebiges Element von D mit x und ein beliebiges Element
von W mit f(x) ... „Funktionswert an der Stelle x“.
x ist eine unabhängige Variable; f(x) die von x abhängige Größe.
Wenn die Zuordnung nicht eindeutig ist, dh. ein Element von D
wird zwei oder mehreren Elementen von W zugeordnet, dann
spricht man von einer Relation R.
D
R
W
4.1.2 Grafische Darstellung einer Funktion im Koordinatensystem
Im Falle von Leonies Autofahrt können wir jeder Fahrtstrecke einen eindeutigen Kraftstoffverbrauch
zuordnen. Es handelt sich daher um eine Funktion. Die Zuordnung ergibt jeweils zwei
Zahlen, die so genannten Wertepaare, die man in einer Klammer zusammenschreibt zB (30|2).
Dh. man ordnet der Zahl 30 die Zahl 2 zu. Die Wertepaare kann man wieder in einer Menge
zusammenfassen.
Menge der Wertepaare: {(0|0), (30|2), (60|4), (90|6), (120|8) ...} = {(x|f(x))|x∊D ^ f(x)∊W}
Man nennt diese Menge den Graph der Funktion f, weil man die Wertepaare als Punkte (x|y)
in einem rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystem interpretieren kann.
(-5 |3)
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
(-6 |-2)
2. Quadrant
3. Quadrant
y
6
5
4
3
2
-2
-3
-4
-5
-6
1. Quadrant
(4|5)
(3 |-4)
4. Quadrant
x
Ein kartesisches Koordinatensystem besteht aus zwei im rechten Winkel zueinander stehenden
Achsen x und y, die einander im Nullpunkt (Ursprung) schneiden. Die eingezeichneten Punkte
kann man durch ein Zahlenpaar (x|y) – die Koordinaten des Punkts – darstellen.
Die x-Koordinate wird auf der horizontalen Achse (= „Abszisse“) aufgetragen, die y-Koordinate
gibt den vertikalen Abstand von der x-Achse an.
Die vertikale Achse nennt man auch „Ordinate“.
Eine positive Zahl für x bedeutet das Auftragen nach rechts, eine negative nach links.
Eine positive Zahl für y bedeutet das Auftragen nach oben, eine negative nach unten.
Durch die beiden Achsen wird die Ebene in vier Felder geteilt. Man nennt sie Quadranten.
Punkte mit positiven x und y kommen im 1. Quadranten vor.
Punkte mit negativem x und positivem y besetzen den 2. Quadranten.
Sind x und y negativ, dann liegt der Punkt im 3. Quadranten und Punkte mit positivem x und
negativem y liegen im 4. Quadranten.
Die x-Koordinate des Graphen der Funktion f entspricht x∊D und die y-Koordinate der Punkte
dem Funktionswert f(x)∊W. Man kann daher die Funktion grafisch darstellen.
Funktionale Zusammenhänge
109

Funktionen
Grafische Darstellung
x ... Die unabhängige Variable wird auf der horizontalen Achse aufgetragen.
y = f(x) ... Die von x abhängige Größe wird auf der vertikalen Achse aufgetragen.
8
f(x) in Liter
7
6
5
4
3
2
1
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
x in km
TIPP: Die Beschriftung der Achsen muss sehr sorgfältig gemacht werden. Die Größen müssen
jeweils mit ihren Maßeinheiten auf den Achsen angegeben werden. Das ist sehr wichtig, weil
man sonst den Graphen nicht interpretieren kann.
Wir wählen einzelne Wertepaare (die schwarz eingezeichneten Punkte) und verbinden diese
Punkte durch eine Linie. Dadurch haben wir nun für Leonie den Zusammenhang zwischen der
Fahrtstrecke und dem Kraftstoffverbrauch grafisch dargestellt.
Diese Darstellung erlaubt es auch, zwischen den von uns angegebenen Werten (Punkten)
abzulesen, welcher Verbrauch bei welcher Strecke benötigt wird. Durch die Verbindung der
Punkte erfassen wir die gesamte Definitionsmenge. Leonie kann zB ablesen, dass sie bei 10 km
ca. 0,7 l verbraucht, bei 50 km ca. 3,3 l usw.
4.1.3 Darstellung der Funktion mithilfe einer Funktionsgleichung
Betrachten wir die Tabellenwerte oder die Grafik, dann fällt auf, dass f(x) immer ein Fünfzehntel
von x ist.
Es gibt daher noch eine weitere Möglichkeit, in diesem Fall die Zuordnung der Elemente der
beiden Mengen zu beschreiben.
Es ist möglich, für die Zuordnung von Verbrauch und Strecke der Autofahrt eine Gleichung zu
formulieren:
f: D → W mit f(x) = x__
15
und x∊D
Im Praxisgebrauch schreibt man für gewöhnlich nur die Kurzform: f(x) = x__
15
m it x∊D
Bei allen Darstellungen mit Funktionsgleichungen muss man erklären, was die Variablen
bedeuten. In unserem Beispiel müssen wir zusätzlich angeben:
x ... Strecke in Kilometer (km); f(x) ... der für x km verbrauchte Kraftstoff in Liter (l)
Die Definitionsmenge wurde aus Zahlen gebildet, die aus einem durchgehenden Bereich auf
dem Zahlenstrahl stammen. Die Menge heißt stetig. Der zugehörige Funktionsgraph wird als
Linie dargestellt.
110 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
Wenn die Definitionsmenge nur aus einzelnen Zahlen besteht, so nennt man sie diskret. Der
zugehörige Funktionsgraph besteht aus einzelnen Punkten.
4.2 Du kaufst beim Bäcker 10 Semmeln. Der Preis pro Stück beträgt 35 Cent.
Stelle die Zuordnung als Tabelle und grafisch dar.
AB
Stück 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Preis in Cent 0 35 70 105 140 175 210 245 280 315 350
Grafische Lösung:
f(x) in Cent
350
280
210
140
70
x in Stück
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.3 Kreuze an, wenn es sich bei der folgenden Zuordnung um eine Funktion handelt.
Begründe deine Antwort.
A
B
C
D
E
Den Schülerinnen und Schülern einer Klasse werden die Katalognummern
zugeordnet.
Den Schülern und Schülerinnen einer Klasse werden die jeweils gewählten
Freigegenstände zugeordnet.
Den natürlichen Zahlen werden ihre Teiler zugeordnet.
Der Zeit nach dem Fallenlassen einer Kugel wird die momentane Höhe
zugeordnet.
Den Sitzplätzen im Theater wird der Preis für die Karte zugeordnet.
4.4 Lies aus den Abbildungen einzelne Punkte ab und schreibe die Werte in Form einer
Tabelle.
Beurteile, ob es sich bei den dargestellten Zusammenhängen um eine Funktion oder um
eine Relation handelt.
Begründe deine Antwort.
a) y
b) y
c)
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
-1
1 2 3 4 5
x
4
3
2
1
-1
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5 6 7
x
-4 -3 -2
4
3
2
1
-1
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4
x
D
CD
Funktionale Zusammenhänge
111

Funktionen
BD
4.5 Zeichne die Werte in ein Koordinatensystem. Beurteile, welche der angegebenen
Zusammenhänge Funktionen sind. Begründe deine Antwort.
a) x
y
b) x
y
c)
1 2
2 4
3 6
4 8
1 2
1 4
4 3
4 5
x
y
1 2
2 2
3 2
4 2
AC
4.6 Die unten im Querschnitt dargestellten Gefäße Füllhöhe
werden gleichmäßig mit Wasser gefüllt. Schreibe zu
jeder Grafik, die den Anstieg des Wassers im Gefäß
wiedergibt, den Buchstaben des passenden Gefäßes. Zu
einem Gefäß gibt es keine passende Grafik, ergänze sie.
ZB:
Zeit
Querschnitt
Füllhöhe
Zeit
Querschnit
A) B) C) D) E) F)
1) Füllhöhe Füllhöhe Füllhöhe
2)
Füllhöhe Füllhöhe
Füllhöhe Füllhöhe Füllhöhe
3)
Füllhöhe Füllhöhe Füllhöhe
Füllhöhe Füllhöhe Füllhöhe
4)
Füllhöhe
Füllhöhe Füllhöhe
5)
Füllhöhe Füllhöhe
Zeit
Zeit
Zeit
Zeit Zeit Zeit Zeit
Zeit
Zeit
Zeit
Zeit
Zeit
Zeit
Zeit Zeit Zeit Zeit
Zeit
Zeit Zeit
Zeit Zeit
Zeit
Zeit
D
4.7 Prüfe, welche der folgenden Abbildungen die
Geschwindigkeit der Achterbahn auf dem im Bild
gekennzeichneten Streckenstück darstellt.
Begründe deine Antwort.
Erkläre, warum die beiden anderen Grafiken nicht in
Frage kommen.
a) Geschwindigkeit
b) Geschwindigkeit
c)
Geschwindigkeit
Weg
Weg
Weg
Viele empirisch gewonnene Zuordnungen von Werten,
die in allen Bereichen des Alltags, der Wirtschaft und
der Technik große Bedeutung haben, sind Funktionen,
können aber nicht in Form einer Gleichung angegeben
werden. Aber in sehr vielen Fällen lässt sich eine Funktion
finden, die annähernd den Verlauf beschreibt.
ZB: Der Verlauf der Körpertemperatur eines Fieberpatienten.
Es wird das Fieber zu bestimmten Zeitpunkten gemessen und die Punkte mit einer Linie
verbunden. (Im Bild die rote Kurve.) Auf diese Weise kann man sehen, dass die Temperatur zwar
schwankt, aber deutlich ein ansteigender Trend feststellbar ist, der durch eine Näherungskurve
(Hier ist es die grüne Linie.) beschrieben werden kann.
112 Funktionale Zusammenhänge

4.1.4 Darstellen des Funktionsgraphen mit Technologieeinsatz
Funktionen
4.8 Stelle die Funktion f(x) = 0,5x 2 mit x∊R im Intervall [–3; 2] mithilfe von Technologieeinsatz
grafisch dar.
Lösung mit TI-Nspire:
• Menu/ 2Graphs/ Eingabezeile: f1(x) = 0.5x^2/enter
• Achsen und Blatt justieren durch Verschieben am Touchpad oder mit
Menu4/1 Fenstereinstellungen
• Farbe: Auf die Kurve klicken/CRT-Menu /B Farbe /enter
Strichdicke dasselbe: 3 Attribute/enter
B
4.9 Zeichne die Punkte der gegebenen Tabelle mithilfe deines Rechengeräts.
x 0 10 20 30 40
f(x) 50 65 93 109 132
Lösung mit TI-Nspire:
• ctrl Page/4 List spreadsheet/
• Mit Cursor in den Tabellenkopf,
beschriften zB x und k
• Werte in den Spalten eingeben
• ctrl Page/5 Data & statistics/enter.
• Auf die Achsenfelder klicken, linke Seite: k
unten: x bestätigen
• Mit ctrl Menu Farbe wählen
Anleitung für das Zeichnen von Funktionsgraphen mit TI82-84, Excel und
Geogebra-CAS siehe www.hpt.at (Schulbuch Plus für Schüler/innen)
4.10 Stelle die Tabellenwerte als Punkte grafisch dar.
x 0 100 200 300 400
f(x) 30 150 300 450 600
4.11 Stelle die Tabellenwerte und den Graphen der Funktion f(x) = x 2 – 5 gemeinsam dar.
Beurteile, wie die angegebene Funktion den „Trend“ der Punkte beschreibt.
x 0 2 4 6 8
f(x) –4,9 –1,1 10,5 31,3 58,8
4.12 Stelle mithilfe von Technologieeinsatz die Funktionsgraphen von f(x) = 2x, g(x) = 2x + 3
und h(x) = –0,5x im selben Koordinatensystem dar.
Vergleiche die Graphen der Funktionen g und h mit dem Funktionsgraphen von f.
Funktionale Zusammenhänge
B
B
BD
BD
113

Funktionen
4.2 Die Gleichung der linearen Funktion
Funktionen, deren Graph eine Gerade ist, werden als lineare Funktionen bezeichnet.
Die Variablen müssen nicht unbedingt mit x und y bezeichnet werden. Man orientiert sich
vielmehr an den üblichen Bezeichnungen in Formeln, die den Sachzusammenhang verdeutlichen.
4.2.1 Der Anstieg einer Geraden
AB
4.13 Der Umsatz E, den ein Händler beim Verkauf von
100 Kilogramm (kg) Kaffee macht, beträgt 780 Euro (€).
a) Fülle in der Tabelle die fehlenden Felder aus.
x in kg 0 20 40 60 80 100
E(x) in € 0 780
k = E(x) ___
x – 7,80
b) Ermittle die Funktionsgleichung E(x).
Stelle den Zusammenhang mit dem Quotienten k aus dem
Erlös und der verkauften Menge her.
c) Zeichne den Funktionsgraphen von E(x) mithilfe von Technologieeinsatz.
Am einfachsten kommst du mit einer Schlussrechnung zu den
fehlenden Werten E(x) in der Tabelle. Es bleibt das Verhältnis der
Verkaufsmenge x zum Umsatz E(x) gleich.
Man nennt zwei Größen, bei denen eine Veränderung der einen
Größe dazu führt, dass sich die andere Größe im gleichen Verhältnis
verändert, direkt proportional zueinander.
Man schreibt dies im angegebenen Fall: E(x) ∼ x. Sprich: „E(x) ist direkt proportional zu x.“
Wenn x zunimmt, dann nimmt E(x) im gleichen Verhältnis zu. E(x) : x = konstant
Du bist jetzt in der Lage, die Tabelle auszufüllen:
x in kg 0 20 40 60 80 100
E(x) in € 0 156 312 468 624 780
k = E(x) ___
x
– 7,80 7,80 7,80 7,80 7,80
Der Quotient k aus dem Erlös und der verkauften Menge ist immer gleich groß.
Man nennt k den Proportionalitätsfaktor. Formt man um, so erhält man:
E(x) = 7,8 ∙ x … die gesuchte Funktionsgleichung für den Erlös in Abhängigkeit von der
verkauften Menge.
800
700
600
500
400
300
200
100
0
E(x) in
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
114 Funktionale Zusammenhänge
in kg
100 kg . . . . . . . . . . 780 €
20 kg . . . . . . . . . . E
100 : 20 = 780 : E
20 · 780
E = _____
100 = 156
Der Graph einer direkten
Proportionalitätsfunktion f mit
f(x) = k ∙ x ist eine Gerade durch den
Ursprung des Koordinatensystems. Er
ist demnach die grafische Darstellung
einer linearen Funktion mit der
Besonderheit, dass der Punkt (0|0)
Element des Funktionsgraphen ist.

Funktionen
In der nebenstehenden Abbildung sind einige lineare
Funktionen f mit f(x) = k ˜ x dargestellt, wobei für den
Proportionalitätsfaktor die folgenden Werte eingesetzt
wurden:
k = 1_
2 ; 1; 2; –0,7; – 10 __
3
-9 -6
-3
10
8
6
4
2
-2
y
3
y = 2x
6 9
y = x
1
y = 2 x
x
-4
-6
-8
-10
y = -0,7x
y = - 10
3 x
Der Wert des Faktors k entscheidet über die Steigung einer Geraden.
Ist k > 0, dann steigt die Gerade, ist k < 0, dann fällt die Gerade.
Für k = 0 ist die Gerade parallel zur x-Achse.
Je größer der Betrag |k | ist, desto stärker steigt oder fällt die Gerade.
Wir untersuchen genauer, in welchem Ausmaß sich die y-Koordinate der Geradenpunkte
verändert, wenn sich die x-Koordinate ändert.
y = 2 · x
Jede Änderung des x-Werts
um 1 führt zu einer Änderung
des y-Werts um 2.
y = 5 · x
Jede Änderung des x-Werts
um 1 führt zu einer Änderung
des y-Werts um 5.
Die eingezeichneten Dreiecke nennt man Steigungsdreiecke. k ist auf der vertikalen Kathete
des rechtwinkligen Dreiecks ablesbar, wenn die horizontale Kathete 1 beträgt.
Den Winkel α, den die Gerade mit der x-Achse einschließt, nennt man den Steigungswinkel.
x
y
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8
x
y
0 0
1 5
2 10
3 15
6
5
4
3
2
-2
-3
-4
y
y = 5x
5
y = 2x
1
x
-2 -1 1 1 2 3 4
-1
1
2
4.14 Stelle in R + die lineare Funktion f(x) = 1,5x mithilfe der Steigung grafisch dar.
Miss den Steigungswinkel ab. Dokumentiere die einzelnen Arbeitsschritte.
Lösung:
12
10
8
6
4
2
0
f(x)
56,3°
f
1 2 3 4 5 6 7 8
x
Der Graph ist eine Gerade durch den
Ursprung. Auf der x-Achse wird eine Einheit
nach rechts, von dort 1,5 Einheiten nach
oben aufgetragen. Der erhaltene Punkt
wird mit dem Ursprung über eine Gerade
verbunden. Dies ergibt den Graphen der
Funktion f. Den Winkel so genau wie möglich
ablesen: α ≈ 56,3°
BC
Funktionale Zusammenhänge
115

Funktionen
ABD
AB
C
4.15 Der Graph einer Funktion enthält die beiden angegebenen Punkte.
a) (1|3) und (2|5) b) (–1|–2) und (1|4) c) (1|–1) und (3|3)
Überprüfe mit einer Grafik, ob die Funktionswerte f(x) zu x proportional sind.
Wenn es nicht zutrifft, dann ändere eine Koordinate, damit eine direkte Proportionalität
gegeben ist.
4.16 Die Kosten K einer Ware in Euro (€) sind direkt proportional zur Warenmenge x in
Kilogramm (kg). 20 kg kosten 86 €.
a) Stelle die Funktionsgleichung K(x) in einer passenden Defnitionsmenge auf.
b) Zeichne den Funktionsgraphen und miss den Steigungswinkel der Geraden ab.
4.17 Rechnet man die Mehrwertsteuer zum Nettopreis hinzu, dann gibt es zwischen dem Preis
ohne Mehrwertsteuer und dem Bruttopreis mit Mehrwertsteuer einen linearen
Zusammenhang, der in der folgenden Grafik wiedergegeben ist.
30
p B in
25
20
15
10
5
0
p N in
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
a) Lies die Funktionsgleichung des Bruttopreises p B in Abhängigkeit vom Nettopreis p N
aus der Grafik ab.
b) Gib den Proportionalitätsfaktor k und den Steigungswinkel α der Geraden an.
BCD
ABC
4.18 Ein Geldbetrag K 0 wird mit 1,5 % p.a. verzinst. Nach einem Jahr erhält man K 1 .
a) Zeige, dass zwischen K 0 und K 1 eine direkte Proportionalität besteht.
b) Ermittle den Proportionalitätsfaktor und interpretiere, was er aussagt.
c) Stelle den Zusammenhang K 1 in Abhängigkeit von K 0 für Geldbeträge bis zu
1.000 € mithilfe von Technologieeinsatz grafisch dar.
4.19 Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Länge s des zurückgelegten Weges der dafür
benötigten Zeit t direkt proportional.
a) Drücke die Proportionalität durch eine Funktionsgleichung s(t) aus.
b) Interpretiere den Proportionalitätsfaktor im Sachzusammenhang.
c) Stelle die Funktion für einen Fußgänger, der in 10 Sekunden 12 m zurücklegt, grafisch
dar.
CD
4.20 a) Interpretiere den Funktionsgraphen mit
V ... Volumen von Eisen in m 3
m(V) ... Masse von Eisen mit dem Volumen V
in Kilogramm (kg).
b) Erkläre, wie man den Proportionalitätsfaktor
deuten könnte.
5000
4000
3000
2000
1000
0
m in kg
V in m 3
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
116 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
4.2.2 Die Gleichung einer Geraden
4.21 Ein leeres Fass soll mit Wasser aufgefüllt werden. Pro Minute
nimmt die Flüssigkeitshöhe y dabei gleichmäßig um 1,5 dm
zu. Das Fass hat eine Höhe von 1 m.
In einem zweiten gleich gebauten Fass befindet sich bereits
Wasser bis zu einer Höhe von 3 dm. Auch dieses Fass soll
ganz mit Wasser gefüllt werden.
Die Höhe y ist bei beiden Fässern eine Funktion der Zeit t.
a) Stelle beide Funktionen in einem gemeinsamen
Koordinatensystem grafisch dar.
b) Lies aus der Grafik ab, wann beide Fässer voll sind.
c) Vergleiche die beiden Graphen und beschreibe, was dir
auffällt.
d) Stelle die Gleichungen der beiden Geraden auf.
ABC
Zur Lösung der Aufgabe fertigst du zuerst für jedes der beiden Fässer eine Tabelle an.
t in min 0 2 4 6
1. Fass y 1 (t) in dm 0 3 6 9
2. Fass y 2 (t) in dm 3 6 9 voll
a) y 1 (t), y 2 (t) in dm
b) Die Höhe kann 10 dm nicht überschreiten.
10
Daher liest man die Punkte
Fass ist gefüllt (4,67 |10)
(6,67 |10) bei beiden Geraden auf dieser Höhe ab.
8
Das Auffüllen des leeren Fasses dauert
y 2
ca. 6,7 Minuten, das nicht mehr leere
6
4
2
Fass ist in ca. 4,7 Minuten voll.
y 1
c) Die Füllhöhe y 1 beim leeren Fass ist
direkt proportional der Zeit. Beim
2. Fass sind alle Punkte um genau 3 dm
0 1 2 3 4 5 6
t in min
7
in Richtung der positiven y-Achse
verschoben.
y 2 ist parallel zu y 1 . Die Steigung k von beiden Geraden ist gleich groß: k = 1,5.
Mit d bezeichnet man den Achsenabschnitt, den eine Gerade auf der vertikalen Achse
erzeugt. Es gilt: d = f(0).
d = 0 für die Gerade y 1 ; d = 3 für die Gerade y 2
d) Für die Füllhöhe des 1. Fasses gilt: y 1 (t) = 1,5x ... direkte Proportionalität
Für die Füllhöhe des 2. Fasses gilt: y 2 (t) = 1,5x + 3
Eine Funktion f: D → R mit f(x) = k ∙ x + d (k, d∊R) nennt man eine lineare Funktion.
Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade mit der Steigung k und dem y-Achsenabschnitt
(Ordinatenabschnitt) d = f(0).
y = k ∙ x + d heißt Normalform der Geradengleichung und ist eine explizite Darstellung
der linearen Funktion.
a ∙ x + b ∙ y + c = 0 allgemeine Form der Geradengleichung bzw. implizite Darstellung der
linearen Funktion. Sie entsteht durch das Umformen der Normalform, so dass auf einer Seite
der Gleichung null steht.
Funktionale Zusammenhänge
117

Funktionen
BC
4.22 Stelle die Funktionen f: [–3; 3] → R mit f(x) = k ˜ x + d mit den folgenden Werten für k
und d in jeweils dem gleichen Koordinatensystem grafisch dar:
a) k = 1; k = 2; k = –2 bei d = 1
Beschreibe, was sich durch die Veränderung von k bei gleichbleibendem d ergibt.
b) d = 1; d = 2; d = –2 mit k = 1
Beschreibe, was sich bei Veränderung von d bei gleichbleibendem k ergibt.
Lösung:
a) y
Je größer k desto steiler ist die Gerade, ein negatives k
6
k = 2
5
ergibt eine fallende Gerade.
4
Alle Geraden schneiden die y-Achse im Punkt (0|d).
k = -2
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-2
-3
-4
-5
k = 1
x
b) y
Je größer d desto „höher“ liegt die Gerade, ein negatives
6
5
d ergibt eine Gerade deren Schnittpunkt mit der y-Achse
d = 2
4
unterhalb der x-Achse liegt. Die Geraden haben eine
3
gleich große Steigung und sind daher parallel.
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-2
d = -2
-3
-4
-5
d = 1
x
BCD
C
BC
CD
4.23 Argumentiere, welche der folgenden Funktionsgleichungen lineare Funktionen darstellen
und welche nicht.
Stelle die linearen Funktionen in impliziter Schreibweise dar.
Stelle die Funktionen mithilfe von Technologieeinsatz grafisch dar.
Lies die Werte für k und d aus den Gleichungen der linearen Funktionen ab.
a) y = __ 1
2x
+ 3 b) y =
1_
2 + 3x c) 2x + 3y = 5 d) y = 3 · (x + 5) e) y = ___ 3
4.24 Beschreibe, wie sich der Graph von f: [–3; 3] → R mit f(x) = k ˜ x + d ändert, wenn
a) das Vorzeichen von k geändert wird. b) k verdoppelt wird. c) k null wird.
d) d um 2 Einheiten kleiner wird. e) d null wird. f) d verdoppelt wird.
4.25 Erstelle eine Wertetabelle mit mindestens 3 Werten aus der angegebenen Definitionsmenge
und zeichne die gegebene Funktion. Gib anschließend die Wertemenge der Funktion an.
a) y = 2x – 3, D f = [1; 4] b) y = –x + 4, D f = {–1, 0, 1, 2, 3} c) y = 1_
2 x + 2, D f = R
4.26 Welche der angegebenen Gleichungen stellen lineare Funktionen dar? Begründe.
a) f 1 (x) = ____ 3x + 4
2
b) f 2 (x) = x 2 – 2 c) y = 7 d) x = 3
x + 5
118 Funktionale Zusammenhänge

4.27 Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P(4|–1), Q(5|2)
und R(–1|3) auf, oberhalb oder unterhalb der Geraden
g: y = –x + 3 liegen. Kontrolliere durch eine Zeichnung.
Lösung:
y(4) = –4 + 3 = –1 = y P ⇒ P liegt auf g.
y(5) = –5 + 3 = –2 < y Q ⇒ Q liegt oberhalb von g.
y(–1) = –(–1) + 3 = 4 > y R ⇒ R liegt unterhalb von g.
Funktionen
BCD
y
2 x – 3 f 6 (x) = –2x –3 -8
7
g 6
5
4
R 3
2
Q
1
x
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-1
P
-2
-3
BCD
BD
BCD
4
BCD
AB
y
CD
8
7 A B
6
5
C
4
3
2
1
x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-3
-4
-5
D
-6
-7
4.28 Ermittle rechnerisch, ob der Punkt P auf, oberhalb oder unterhalb der Geraden liegt.
Kontrolliere durch eine Zeichnung.
a) y = 3x + 8 P(4|14) b) y = –x – 3 P(4|7) c) y = 1_
3 x + 1_
2 P(6|2,5)
4.29 Prüfe rechnerisch, ob die Punkte auf einer Geraden liegen.
a) A(1|4), B(4|1), C(6|–1) b) A(–4|–2), B(–2|–5), C(3|1)
4.30 Ermittle rechnerisch, ob der Punkt P auf, unterhalb oder oberhalb der Geraden g liegt.
Prüfe durch eine Zeichnung nach. Setze dazu Technologie ein.
a) P(–2|3) b) P(1|3) c) P(1|– 3 _
4 ) d) P(3|–5)
g: y = x – 5 g: y = – 1_
2 x + 3 _
2 g: y = – 3 _ x + 1 g: y = –2x + 1
4.31 Der Punkt P liegt auf der Geraden g.
Ermittle die fehlende Koordinate.
Liegt P oberhalb der Geraden, wenn diese Koordinate vergrößert wird? Begründe deine
Antwort.
a) P(2|y P ) b) P(x P
|3) c) P(0,5|y P ) d) P(x P
|–2,5)
g: y = 4x – 5 g: y = –x + 2 g: y = x + 3 g: y = 1_
4 x – 1
4.32 Von einer Geraden sind die Punkte A und B gegeben. Ermittle die fehlende Koordinate
des auf der Geraden liegenden Punkts P, ohne die Gleichung der Geraden aufzustellen.
a) A(12|34), B(20|48), P(16|y P ) b) A(75|40), B(30|36), P(x P
|15)
4.33 Lies aus den einzelnen Graphen A bis D je
2 Punkte ab.
Ordne dem Graphen mithilfe der Punkte die
zugehörige Funktionsgleichung zu.
Beurteile, welche der angegebenen Funktionen
nicht gezeichnet sind.
Gib jeweils auch die implizite Darstellung der
Geradengleichungen an.
f 1 (x) = 2x – 3 f 4 (x) = 2_
3 x + 1
f 2 (x) = – 1_
2 x – 3 f 5(x) = 3 _
2 x + 1
f 3 (x) = 1_
Funktionale Zusammenhänge
119

Funktionen
4.2.3 Die Steigung und das Steigungsdreieck
ABC
4.34 Zeichne den Graphen der Funktion f: [–3; 2] → R, die durch die folgende Tabelle
gegeben ist:
Zeichne das Steigungsdreieck ein und lies die Steigung ab.
Lies den y-Achsenabschnitt ab.
Stelle die Funktionsgleichung auf.
Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du wissen,
y
wie du die Steigung bei jeder beliebigen Geraden aus
der Grafik ablesen kannst.
Vergleiche die beiden Dreiecke ABC mit A(0|d), B(1|d)
und C(1|k + d) mit dem beliebig gewählten Dreieck
y P
PQR. (Siehe Skizze.)
1
x = x 2 - x 1
Ändert man den Wert der unabhängigen Variablen x
k + d
C
um 1, dann ändert sich der Funktionswert y um k.
A
Da die Dreiecke ABC und PQR ähnlich sind, gilt:
d
Für die Differenz (y 2 – y 1 ) der y-Koordinaten
(„senkrechte Differenz“) schreibt man kurz ∆y, für die
Differenz (x 2 – x 1 ) der x-Werte („waagrechte Differenz“)
schreibt man ∆x.
1
k
B
∆ ... [sprich: „Delta“], griechischer Großbuchstabe, Abkürzung für „Differenz“.
Für die Steigung k schreibt man dann kurz k = __ ∆y
∆y
und nennt __
∆x ∆x Differenzenquotient.
Jetzt kannst du die eingangs gestellte Aufgabe lösen:
Zeichne die gegebenen Punkte ein und verbinde sie.
(Es sind die reellen Zahlen als Wertemenge gegeben.)
Ablesung aus der Zeichnung:
5
4
3
TIPP: setze das Steigungsdreieck am besten beim Schnittpunkt der
Geraden mit der y-Achse an.
In x-Richtung +1 zeichnen. Von dort geht man „nach unten“ zur
Geraden: k ist daher negativ.
k = –2
d = –2
f(x) = –2x – 2
x –3 –2 –1 0 1 2
y 4 2 0 –2 –4 –6
Die Steigung k einer Geraden kann mithilfe von zwei Punkten mit den Koordinaten P(x 1 |y 1 )
und P 2 (x 2 |y 2 ) als Differenzenquotient berechnet werden:
k = _____ y 2 – y 1 __
x 2 – x
= ∆y
1 ∆x
y 2
x 1 x 2
2
1
R
Q
y = y 2 - y 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1 d = -2
-2
1
-3 k = -2
-4
-5
-6
f(x)
x
x
120 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
Im Alltag werden Steigungen oft in Prozent angegeben, zB:
100 m
18 m
k = __ ∆y
∆x = 18
100
___ = 0,18 = 18 %
18 %
Negative Steigungen werden im Alltag nicht mit einem negativen Vorzeichen angegeben, sondern
als Gefälle bezeichnet.
Achsenparallele Geraden
y
6
5
4
3
2
1
-6 -5-4
-3 -2 -1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2 3 4 5
6
y = 5
y = 2
x
y = 0
y = -3
Ist die Steigung einer Geraden k = 0, lautet die Funktionsgleichung:
y = d
Diese Funktion heißt konstante Funktion.
Der Graph verläuft waagrecht, also parallel zur x-Achse.
Ist auch d = 0, so erhalten wir die Gleichung y = 0, die die
x-Achse beschreibt.
6
5
4
3
2
1
-6 -5-4
-3 -2 -1
-2
-3
-4
-5
-6
y
2 3 4 5
x = -4 x = 0 x = 2
1
6
x
Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, sind keine
Funktionen. Einem x-Wert werden jeweils unendlich viele
y-Werte zugeordnet. Diese Geraden lassen sich aber trotzdem
durch eine Gleichung angeben:
ZB liegen auf der blau gezeichneten Geraden alle Punkte, deren
x-Wert 2 ist. Die Gleichung x = 2 „wählt“ also aus allen Punkten
der Zeichenebene jene aus, die auf dieser Geraden liegen.
Durch die Gleichung x = 0 wird die y-Achse beschrieben.
4.35 Beschreibe anhand geeigneter Zeichnungen, wie mithilfe des y-Achsenabschnitts und des
Steigungsdreiecks die gegebene Funktion gezeichnet werden kann.
y = –2x + 3
ABC
Lösung:
d = 3 ⇒ Die Gerade
verläuft durch den
Punkt (0|3).
Das Einzeichnen des Steigungsdreiecks
ergibt einen
weiteren Punkt der Geraden.
k = –2 = –2 __
1 = __ ∆y
∆x
⇒ ∆x = 1, ∆y = –2
Die Gerade wird durch
die beiden Punkte
gezeichnet.
4
3
y
4
3
y
x = 1
4
3
y
2
2
y = -2
2
-1
1
1 2 3
x
-1
1
1 2 3
x
-1
1
1 2 3
x
Funktionale Zusammenhänge
121

Funktionen
ABC
4.36 Beschreibe anhand geeigneter Zeichnungen, wie mithilfe des y-Achsenabschnitts und des
Steigungsdreiecks die gegebene Funktion gezeichnet werden kann.
y = 2_
3 x – 1
Lösung:
d = –1
⇒ Punkt (0|–1)
3
y
k = 2_
3 = __ ∆y
∆x
⇒ ∆x = 3, ∆y = 2
3
y
Die Gerade wird
eingezeichnet.
3
y
2
2
2
-1
1
1 2 3 4
x
-1
1
y = 2 x
1 2 3 4
-1
1
1 2 3 4
x
-1
-1
x = 3
-1
-2
-2
-2
AB
4.37 Ermittle die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte A(–2|–4) und B(8|1) verläuft.
Lösung:
Ermitteln der Steigung k:
k = _____ y B – y A
x B – x
= 1 _____ – (–4)
A 8 – (–2) = __ 5
10 = 1_
2 ⇒
Gleichung der Geraden: y = 1_
2 ˜ x + d
Ermitteln von d:
B(8|1) in y = 1_
2 · x + d einsetzen:
1 = 1_
2 · 8 + d ⇒ d = –3
Gleichung der Geraden durch A und B:
g: y = 1_
2 ˜ x – 3
• Man erhält die gleiche Steigung, wenn
man _____ y A – y B
x A – x
berechnet.
B
• A und B liegen auf der Geraden.
Das Einsetzen der Koordinaten
eines Punkts der Geraden in die
Geradengleichung muss daher eine
richtige Aussage ergeben.
ABC
4.38 Gib die Gleichung der dargestellten Geraden an.
Beschreibe deine Vorgehensweise.
Lösung:
d = 1
Schnittpunkt mit der y-Achse
bei 1 ergibt d.
-3
-2
3
2
1
-1
-1
-2
y
1 2
x
3 4 5
k = __ ∆y
∆x = –1
__
3 = – 1_
3
Steigungsdreieck zB durch (0|1)
und (3|0) einzeichnen,
Ablesen von ∆x und ∆y ergibt k.
∆y ist negativ, Richtung nach unten.
y = – 1_
3
x + 1 Die Gleichung der Geraden
angeben.
-1
-3
y
3
2
1
-1
x = 3
y = -1
x
1 2 3 4
-2
122 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
4.39 Welche Zeichnungen stellen das Steigungsdreieck zur Steigung k = – 3 _
2
korrekt dar?
Begründe deine Auswahl.
a)
-2
b)
2
c)
-2
d) e)
3
-3
4.40 Zeichne das Steigungs dreieck, das die markierten Punkte enthält.
Gib die Steigung k mit möglichst einfachen Zahlen an.
Kontrolliere anschließend mithilfe von Technologieeinsatz.
a) b) c) d)
2
1
y
-2 -1
-1
1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
-6
-7
x
-2
y
7
6
5
4
3
2
1
-1
-1
-2
4.41 Ermittle die Steigung k der gezeichneten Funktion. Achte auf die Skalierung.
y
y
y
a) b) c)
-1 000
-800
-600
-400
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
-200
-10
x
4.42 Ermittle k und d aus der Grafik. Stelle die Gleichung der dargestellten Funktion auf.
y
y
y
a) b) c)
-8
-6
-4
8
6
4
2
-2
-2
-4
-6
2 4
6
-3
1 2 3 4 5 6 7
2,4
2,2
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,001-0,2
-0,4
4.43 Lies den y-Achsenabschnitt d aus der Zeichnung ab und ermittle die Steigung k mithilfe
eines geeigneten Steigungsdreiecks.
Stelle die Gleichung der Geraden in Normalform und in allgemeiner Form auf.
Überprüfe deine Ergebnisse anschließend mithilfe von Technologieeinsatz.
a)
y
b)
y
c)
y
12
10
8
6
4
2
-8 -6 -4 -2
-2
-4
-6
-8
2 4 6 8 10 12
x
x
-6
-9
-4
-6
x
4
3
2
1
y
-3
-4 -3 -2 -1
-1
1 2 3 4 5
-2
-3
-4
-5
0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
10
8
6
4
2
-3
-2
-4
-6
-8
-10
4
2
-2
-2
-4
-6
-8
-10
2 4
3 6 9
6 8
x
x
x
2
x
2
1
-100 -1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-6
-6
-4
3
2
1
y
-2
-3
-4 -3 -2 -1
-1
1 2 3 4 5
-2
-3
-4
-5
-6
-4
100 200 300 400 500 600
6
4
2
-2
-2
8
6
4
2
-2
-2
-4
-6
-4
-6
-8
2 4
2 4
6
6 8
x
x
x
x
CD
BCD
C
AC
ABC
Funktionale Zusammenhänge
123

Funktionen
BC
4.44 Gib die Steigung der dargestellten Funktion als gekürzten Bruch an.
Achte dabei auf die unterschiedlichen Skalierungen auf den Achsen.
a) y
b) y
c)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-90 -60 -30
-0,2
30 60 90
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-0,001
x
0,1
0,05
x
-0,0005 0,0005 0,001
-0,4
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
2
1,5
1
0,5
-0,2
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
y
0,2 0,4
x
BC
4.45 Zeichne die Gerade mithilfe des y-Achsenabschnitts und des Steigungsdreiecks.
a) y = –3x + 5 b) y = 3 _ x +2 c) y = –
1_
4 2
x – 1 d) y = –x + 1
ABC
4.46 Verwende die gegebene Zeichnung und Technologie.
a) Gib die Gleichung der blau gezeichneten Geraden
g 1 an.
b) Ermittle die Gleichung jener Geraden g 2 , die
parallel zu g 1 und durch den Punkt A(2|5) verläuft.
c) Zeichne eine zu g 1 normale Gerade durch den
Ursprung.
Lies die Gleichung dieser Geraden ab.
-9
-6
-3
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
y
3
6 9
x
-8
-10
ABC
4.47 Gib die Gleichung der dargestellten Funktion an.
Verwende dabei die Variablen- und
Konstantenbezeichnungen aus der Zeichnung.
Lösung:
∆s ist negativ, Richtung nach unten.
a
b
s
v = v 1
s = -(a - b) =
= b - a
v 1
v
k = __ ∆s
∆v = ____ b – a
v
, d = a
1
s = ____ b – a · v + a
v 1
a
b
s
v 1
• Zeichne mithilfe der gegebenen
Punkte ein Steigungsdreieck ein
und beschrifte es.
v
ABC
4.48 Gib die Gleichung der
dargestellten Funktion
an. Verwende dabei
die Variablen- und
Konstanten bezeichnun
gen aus der Grafik.
a) m
b)
m 0
t
t 1
h 2
h 1
h
s 0
s
ABD
4.49 Von einer Geraden sind der Punkt D auf der y-Achse und ein weiterer Punkt gegeben.
Ermittle die Geradengleichung zunächst durch Kopfrechnen.
Kontrolliere deine Ergebnisse anschließend mithilfe von Technologieeinsatz.
a) D(0|4), P(–2|2) b) D(0|–1), P(3|–4) c) D(0|0,5), P(2,5|–1,5)
124 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
4.50 Gib die Gleichungen aller in der Grafik
dargestellten Geraden an.
Kontrolliere deine Ergebnisse anschließend
mithilfe von Technologieeinsatz.
4.51 Gib die Gleichung der dargestellten Geraden an.
Überprüfe anschließend mithilfe von Technologieeinsatz.
a) b) c) d)
-2 -1
-1
y
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
x
-3
-2
3
2
1
-1
-1
-2
-3
4.52 Es sind die folgenden Geradengleichungen gegeben:
a) 2x + 3y = 9 b) –3x + 10y = 5 c) 4x – y = –7
Forme die gegebene Gerade auf Normalform um und lies k und d ab.
Stelle die Gerade mithilfe des Steigungsdreiecks grafisch dar.
Kontrolliere das Ergebnis mithilfe von Technologieeinsatz.
y
1 2
3
g 1 g 2 y
10
8
g 5
6
4
2
g 3
x
4.53 Zeichne die gegebene lineare Funktion durch Einzeichnen des y-Achsenabschnitts und
der Steigung. Dokumentiere die einzelnen Arbeitsschritte.
a) y = 2_
3 x + 5 _
7
2
b) y = –x – __
10 c) y = –1,5x d) y = 5 _
9 x
x
-3
-2
3
2
1
-1
-1
-2
-3
y
-9
1 2
-6
3
x
-3
-2
-4
-6
-8
-10
-3
-2
3 6 9
3
2
1
-1
-1
-2
-3
y
1 2
3
g 4
x
ABCD
AC
BCD
BC
4.54 Gib an, wie viel Prozent die Steigung bzw. das Gefälle beträgt.
a) b) c)
27 cm
53 cm
89 mm
1,5 km
24 cm
4,8 km
AB
4.55 Auf einer Teststrecke für Autobusse wird mit verschiedenem Gefälle experimentiert.
Ermittle jeweils die fehlenden Längen h und s. Vergleiche die Ergebnisse. Was fällt dir auf?
a) b) c)
h
s
2,5 %
h
s
5 %
h
s
7 %
ABC
1 km
1 km
1 km
4.56 Welche Steigung entspricht folgendem Steigungswinkel? Verwende besondere Dreiecke.
a) 45° b) 30° c) 60°
4.57 Argumentiere, ob man mithilfe eines Steigungsdreiecks einen Steigungswinkel von 90°
beschreiben kann.
AB
D
Funktionale Zusammenhänge
125

Funktionen
4.3 Einige Anwendungen der Funktion
4.3.1 Formeln aus der Geometrie
Praktisch kann jede Formel, bei der der Zusammenhang zwischen 2 Größen untersucht werden
soll, bei der demnach eine abhängige und eine unabhängige Variable festgelegt werden kann, als
Funktion gedeutet werden. Die Formel selbst ist gegeben und soll mathematisch interpretiert
werden.
BCD
4.58 Die Volumenformel für einen Drehkegel lautet V = 1_
3 · r 2 · π · h. Der Radius r des
Grundkreises beträgt 5 cm.
a) Stelle grafisch dar, wie sich das Volumen des Kegels mit der Höhe verändert.
Lies die Steigung ab und erkläre, wie man diese geometrisch deuten kann.
b) Interpretiere die Formel, wie sich die Verdopplung der Höhe auf das Volumen
auswirkt, wie groß das Volumen bei einer Höhe von 10 cm ist und welche Höhe ein
Volumen von 200 cm 3 aufweist.
Lösung:
Das Volumen ist eine Funktion der Höhe: V(h) = __ 25
3 · π · h
Wir überlegen die passende Grund- bzw. Definitionsmenge zu dieser Funktion.
Im Zusammenhang mit dem Volumen eines Kegels sind die rellen Zahlen eine sinnvolle
Grundmenge. Negative Zahlen für die Höhe des Kegels schließen wir aus und legen die
Definitionsmenge mit R + fest.
Du kannst die Funktion im kartesischen Koordinatensystem zeichnen, indem du
einige Punkte des Graphen berechnest und diese verbindest. Oder du verwendest
Technologie.
Vorsicht: Die meisten Rechenprogramme verlangen die Variablen x und y, nicht bei
allen kann man V und h als Variable definieren!
Aus der Zeichnung lassen sich Zusammenhänge zwischen Volumen und Höhe bei
einem Kegel mit vorgegbenem Radius ablesen.
a)
300
250
200
150
100
50
0
V(h) in cm 3
h in cm
2 4 6 8 10 12 14
k = 25 __
3 · π
Bedeutung:
Wenn sich die Höhe um 1 cm vergrößert, dann
vergrößert sich das Volumen um den Faktor 25 __
3 · π.
b) Man erkennt, ...
• dass eine Verdoppelung der Höhe bei gleichbleibendem Radius auch eine
Verdopplung des Volumens zur Folge hat.
• dass bei einer Höhe von 10 cm das Volumen ca. 260 cm 3 beträgt.
• dass ein Volumen von 200 cm 3 bei einem Kegel mit der Höhe von ca. 7,6 cm
auftritt.
126 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
4.59 Die Oberfläche eines Zylinders hat die Formel: O = 2r 2 · π + 2r · π · h
O ... Oberfläche des Zylinders in cm 2 , r ... Radius der Grundfläche in cm,
h ... Höhe des Zylinders in cm.
a) Zeichne die Funktion O in Abhängigkeit von h für r = 4 cm.
Lies den Anstieg k und den Ordinatenabschnitt d ab.
b) Interpretiere die Formel mit r = 4 cm hinsichtlich der folgenden Fragestellungen:
Verdoppelt sich die Oberfläche, wenn sich die Höhe verdoppelt?
Welche Oberfläche hat ein Zylinder mit der Höhe h = 6,5 cm?
Welche Höhe hat ein Zylinder mit einer Oberfläche von O = 200 cm 2 ?
4.60 Ein Kohlenkübel hat die Form eines Zylinders, der im oberen
Teil laut Angabe in der Skizze schräg abgeschnitten ist.
Für einen solchen Kübel erhält man für die Mantelfläche
plus der Grundfläche die Formel:
h
A = r 2 π + 5 _
3
· r · π · h; r ... Radius in cm,
h ... maximale Höhe in cm.
Argumentiere, wie sich die Höhe h des Kübels in
Abhängigkeit vom Radius r verändert, wenn die Fläche
A = 200 cm 2 beträgt.
Welche der angegebenen Funktionen entspricht dieser Abhängigkeit h(r). Begründe.
A
120
h(r) in cm
B
120
h(r) in cm
r
h
3
BC
BD
100
100
80
80
60
60
40
40
20
r in cm
20
r in cm
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
C
120
h(r) in cm
D
120
h(r) in cm
100
100
80
80
60
60
40
40
20
r in cm
20
r in cm
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Funktionale Zusammenhänge
127

Funktionen
4.3.2 Kosten und Erlös einer Produktion
x ... Menge, die von einer bestimmten Ware produziert oder abgesetzt wird.
Sie wird in Mengeneinheiten (ME) angegeben. Das können Stück, Liter, Kilogramm oder Teile
bzw. Vielfache davon sein, zB 1 000 kg.
E ... Erlös in Geldeinheiten (GE), abhängig von der verkauften Menge x in ME
p ... Verkaufspreis pro Mengeneinheit (GE/ME)
E(x) = p(x) ∙ x ... Zusammenhang von Preis, Menge und Erlös
K(x) ... gesamte Kosten in GE, die bei der Produktion der Ware anfallen. Man unterscheidet
Fixkosten K f , die bereits anfallen, wenn noch gar nichts erzeugt wird (zB Strom, Miete) und
variable Kosten K v , die abhängig von der Produktionsmenge x sind.
K(x) = K f + K v mit K f = K(0)
G ... Gewinn in GE ist die Differenz von Erlös und Kosten: G(x) = E(x) – K(x)
ABC
4.61 Die fixen Kosten für die Herstellung eines Produkts betragen 348.500 € pro Woche, die
variablen Kosten 117 € pro Stück. Der Verkaufspreis wird mit 199 € pro Stück festgesetzt.
a) Gib die lineare Kostenfunktion an.
b) Ermittle die lineare Erlösfunktion.
c) Berechne für eine wöchentliche Produktionsmenge von 5 000, 10 000 bzw. 20 000
Stück die Gesamtkosten, den Erlös und den Gewinn.
d) Überprüfe deine Ergebnisse durch Ablesung aus einer geeigneten grafischen
Darstellung.
e) Interpretiere den Erlös und die Kosten bei einer Absatzmenge von 2 000 Stück.
Was lässt sich über den Gewinn aussagen?
Lösung
a) Der Graph der Kostenfunktion geht durch die Punkte (0|348 500) und (1|348 617)
Der Abschnitt auf der vertikalen Achse und die Steigung:
d = 348 500, k = __ ∆K
∆x = 117 ___
1 = 117
Die Kostenfunktion lautet daher: K(x) = 117 · x + 348 500
b) E(x) = 199 ˜ x
c) d)
x in Stück 5 000 10 000 20 000
E(x) in € 995.000 1.990.000 3.980.000
K(x) in € 933.500 1.518.500 2.688.500
G(x) in € 61.500 471.500 1.291.500
e) Bei x = 2 000 ist die Differenz von Erlös und
Kosten negativ. Die Kosten überwiegen.
Es entsteht ein Verlust.
4 000 000
3 500 000
3 000 000
2 500 000
2 000 000
1 500 000
1 000 000
500 000
0
E(x), K(x) in
61 500
471 500
5 000 10 000 15 000 20 000
E
K
1 291 500
x in Stück
Bemerkung: Die Gewinnfunktion G(x) ist nicht grafisch dargestellt. Der Gewinn ist als Differenz
zwischen Erlös und Kosten ablesbar.
128 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
4.62 Die Firma Hotvolley erzeugt Volleybälle. Die fixen
Kosten betragen je Monat 25.000 €, die variablen
Kosten je Ball betragen 7,25 €.
a) Gib die lineare Kostenfunktion K(x) für die
Produktion von x Bällen in einem Monat an.
b) Die Bälle werden zu einem Stückpreis von 12 €
verkauft. Gib die Gleichung der Erlösfunktion E(x) an.
c) Stelle beide Funktionen in einem gemeinsamen
Koordinatensystem dar.
Lies aus der Grafik ungefähr den Gewinn bei der
Erzeugung von 40 000 Bällen ab.
4.63 Die Kostenfunktion eines Betriebs lautet K(x) = 7 · x + 54 000
x ... Menge in Mengeneinheiten ME, K(x) ... Kosten von x ME in Euro (€).
a) Stelle die Kostenfunktion grafisch dar.
b) Berechne den Verkaufspreis, der notwendig ist, um bei einer Verkaufsmenge von
3 000 ME einen Erlös von 100.000 € zu erreichen.
c) Zeichne die Graphen der Erlös- und der Kostenfunktion in ein gemeinsames
Koordinatensystem.
Lies aus der Grafik ab, wie groß ungefähr der Gewinn bei 3 000 ME ist.
4.64 Eine Firma stellt Taschenrechner her. Die Fixkosten
betragen 12.000 € pro Monat. Bei einer Produktion
von 10 000 Stück pro Monat betragen die
Gesamtkosten 162.000 €.
a) Stelle die Kostenfunktion auf.
b) Berechne den Verkaufspreis eines Geräts, wenn der
Erlös beim Verkauf von 2 500 Stück 60.000 € beträgt.
c) Stelle die Erlösfunktion grafisch dar.
Lies aus der Grafik ab, wie groß ungefähr der Gewinn bei 2 500 Stück ist.
ABC
ABC
ABC
4.3.3 Weg, Geschwindigkeit und Zeit
Bei einer gleichförmigen Bewegung ist der zurückgelegte Weg der dafür benötigten Zeit
direkt proportional.
Bezeichnungen:
s ... Wegstrecke in Längeneinheiten angegeben, zB in Meter (m) oder Kilometer (km)
t ... Zeit(dauer) in Zeiteinheiten angegeben, zB in Stunden (h) oder Sekunden (s)
v ... Geschwindigkeit angegeben, zB in Meter pro Sekunde (m/s)
oder Kilometer pro Stunde (km/h)
Die Formel s = v ˜ t gilt immer dann, wenn die Geschwindigkeit während der Bewegung
konstant ist.
TIPP: Bei den Bewegungsaufgaben solltest du sehr gut auf die angegebenen Einheiten achten.
In den meisten Fällen muss man die Einheiten erst umrechnen, ehe man sie zur Berechnung
benützen kann.
Funktionale Zusammenhänge
129

Funktionen
AB
4.65 Karl fährt mit dem Rad eine Strecke von 40 km.
Er möchte in 2 Stunden am Ziel sein.
Stelle einen Fahrplan (tabellarisch, grafisch und
als Gleichung) für Karl zusammen.
Lösung:
D = [0; 120] mit Elementen aus R in Minuten (min)
W = [0; 40] mit Elementen aus R in Kilometer (km)
Tabelle:
Zeitpunkt nach dem Start ... t 0 30 60 90 120 Minuten
zurückgelegter Weg ab Start ... s(t) 0 10 20 30 40 km
50
s(t) in km
40
30
s
20
10
0
t in min
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
k = 10 __
30 = 1_
3
; s(t) =
t_
3
mit D = {t∊R|0 min ⩽ t ⩽ 120 min}
t ... Zeit in Minuten (min), s(t) ... in t min zurückgelegte Strecke in Kilometer (km)
AB
ABD
AB
4.66 Von Tulln verläuft entlang der Donau ein Radweg
annähernd geradlinig und eben. Roland fährt
3 Stunden und 12 Minuten.
a) Gib die Funktion an, die die Abhängigkeit des
Weges s von der Geschwindigkeit v beschreibt.
b) Wähle eine realistische Definitionsmenge und
stelle die Funktion grafisch dar.
4.67 Eine Schwimmerin erreicht eine durchschnittliche
Geschwindigkeit von 0,7 m/s.
a) Berechne, wie weit sie in 20 Minuten kommt.
b) Stelle die Bewegung in einem Koordinatensystem
grafisch dar.
c) Erkläre, wie sich der Graph verändert, wenn die
Schwimmerin langsamer wird.
4.68 Ein Wanderer benötigt für eine Strecke von
6 Kilometer 1,4 Stunden.
Stelle den Zusammenhang zwischen der Gehzeit t
und dem zurückgelegtem Weg s(t) als Tabelle dar.
Stelle die Funktion in einem Koordinatensystem
grafisch dar.
Gib eine passende Funktionsgleichung an.
130 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
4.69 Ein PKW fährt von Salzburg mit annähernd
konstanter Geschwindigkeit von 115 km/h auf der
Autobahn Richtung München. Zur gleichen Zeit
startet ein LKW von einer 40 km nach Salzburg
gelegenen Tankstelle und fährt mit einer mittleren
Geschwindigkeit von 85 km/h ebenfalls Richtung
München.
a) Gib sowohl für den PKW als auch für den LKW die Funktionsgleichung an, die die
Entfernung von Salzburg nach der Fahrzeit t (in Stunden) angibt.
b) Stelle die Funktionen in einem Koordinatensystem grafisch dar.
c) Lies ungefähr ab, wie viel Stunden nach Fahrtbeginn der PKW den LKW überholt.
In welcher Entfernung von Salzburg ist das?
Lösung
a) PKW: s P (t) = 115 ˜ t
LKW: s L (t) = 85 ˜ t + 40
b)
400
300
s P (t), s L (t) in km
M T 40 km S
c) Der PKW überholt nach ungefähr 1,3 h.
1,3 ˜ 115 = 149,5 ≈ 150
Er überholt ca. 150 km von Salzburg
entfernt.
ABC
200
100
0
LKW
PKW
t in h
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
4.70 Die Grafik gibt die Fahrtdaten zweier Züge wieder.
400
s(t) in km
AC
300
1. Zug 2. Zug
200
100
0
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
t in h
a) Lies aus der Zeichnung ab, mit welcher mittleren Geschwindigkeit beide Züge fahren.
b) Erstelle für beide Züge die Gleichung der Weg-Zeit-Funktion.
c) Ermittle, nach welcher Zeit beide Züge voneinander ungefähr 50 km Abstand haben.
Funktionale Zusammenhänge
131

Funktionen
4.4 Stückweise lineare Funktionen
In vielen Fällen setzt sich eine Funktion stückweise aus verschiedenen linearen Funktionen
zusammen, die jeweils nur innerhalb eines begrenzten Intervalls definiert sind.
Es ist daher notwendig für jeden Streckenabschnitt die Definitionsgleichung und die
Definitionsmenge anzugeben.
ABCD
4.71 Ein PKW fährt mit einer mittleren Geschwindigkeit von v = 110 km/h von Linz in
Richtung Eisenstadt. Er startet um 10:00 Uhr.
a) Ermittle, wann er das 231 km entfernte Ziel erreicht.
b) Erkläre, wie der Rückweg dargestellt werden kann, wenn der PKW-Fahrer um
13:00 Uhr in Eisenstadt losfährt und die gleiche mittlere Geschwindigkeit erreicht.
Gib die Funktionsgleichung für den Rückweg an.
c) Zeichne die stückweis linearen Funktionen in ein Weg-Zeit-Diagramm und gib die
Definitionsmengen der einzelnen Streckenabschnitte an.
Lösung:
a) s(t) = 110 ˜ t (t ⩾ 0 bis zur Ankunft in Eisenstadt)
231 = 110 ˜ t ⇒ t = 2,1 ≈ 2 h 6 min
Die Ankunftszeit in Eisenstadt 10:00 Uhr + 2 h 6 min = 12:06 Uhr.
b) In Eisenstadt gab es eine Pause bis 13:00 Uhr
13:00 Uhr – 10:00 Uhr = 3 h
Die Rückfahrt beginnt 3 Stunden nach der Abfahrt in Linz.
Entfernung von Linz: 231 km
s(t) = 231 – 110 ˜ (t – 3)
s(t) = 561 – 110t für t ⩾ 3
s(t) in km
240
c) Grafische Darstellung:
220
200
s(t) = 110t D 1 = [0; 2,08 h]
180
s(t) = 231 D 2 = [2,08; 3 h]
160
s(t) = 561 – 110t D 3 = [3 h; ca. 5 h]
140
120
100
80
60
40
20
0
t in h
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5
ABC
4.72 Interpretiere die folgenden Weg-Zeit-Diagramme:
a) Gib die Wegstrecken und die jeweiligen Geschwindigkeiten an.
b) Lies die stückweise linearen Funktionen ab.
15
s(t) in km
50
s(t) in m
12,5
40
10
7,5
5
30
20
2,5
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
t in h
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
t in s
132 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
4.73 Eine Supermarktkette wirbt mit Rückvergütungen zu
Jahresende.
Für Einkäufe bis zu einer Gesamthöhe von 5.000 €
werden 2 % der Summe in Form einer Gutschrift
rückerstattet.
Hat jemand im Lauf des Jahres um mehr als 5.000 €
eingekauft, so erhält er 3 % der Gesamtsumme
gutgeschrieben.
a) Ermittle die fehlenden Werte der Tabelle.
b) Stelle die Funktion grafisch dar.
Beschreibe, was dir dabei auffällt.
Lösung:
a) Die fehlenden Werte sind:
80 €; 100 €; 165 €; 180 €
b) Bei 5.000 € hat die Gerade eine „Unstetigkeitsstelle“.
Der Funktionswert springt von 100 auf 150 .
200
150
100
50
Einkaufssumme
Rückvergütung in
Höhe der
Gutschrift
€ 1.000,00 € 20,00
€ 4.000,00
€ 5.000,00
€ 5.500,00
€ 6.000,00
Einkauf in 1 000
ABC
0
1 2 3 4 5 6
Lösung mit Technologieeinsatz: TI-Nspire:
Calculator/Funktion definieren durch Eingabe:
f(x):= Vorlage für stückweise Funktionen nehmen
Menu2/ Graphs/Eingabezeile: f1(x) = f(x)
Die Anleitung für die Eingabe für stückweis stetige lineare Funktionen bei
TI82-84, Excel und Geogebra-CAS siehe www.hpt.at (Schulbuch Plus für
Schüler/innen)
4.74 Stelle die Funktionsgleichung der skizzierten stückweise linearen Funktion auf.
a) b) c)
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
-4 -3 -2
y 6
5
4
3
2
1
-1
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7
x
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
AC
Funktionale Zusammenhänge
133

Funktionen
ABC
4.75 Ein Paketdienst befördert nach folgenden Tarifen:
Für Pakete bis 2 kg werden 3,70 €, bis 4 kg 4,70 €
und bis 8 kg 5,70 € verlangt.
a) Stelle diesen Sachverhalt als stückweise
definierte Funktion grafisch dar.
b) Gib die Funktionsgleichungen an.
ABD
4.76 Für das Parkhaus am Hauptplatz gelten folgende Tarife:
Die erste Stunde parkt man gratis, ab der zweiten Stunde kostet jede begonnene Stunde 2 €.
a) Stelle die Kosten in Abhängigkeit von der
Parkdauer grafisch dar.
b) Für Abendveranstaltungen gibt es Tickets um
2,50 €, mit denen man maximal 4 Stunden
parken darf.
Beurteile, ab welcher Parkdauer dieses Ticket
günstiger ist, als der Normaltarif.
Ermittle, wie viel man sich mit diesem Ticket an
einem Abend höchstens erspart.
C
4.77 Der Eintritt in ein Erlebnisbad ist in der Grafik
dargestellt.
Interpretiere die Grafik hinsichtlich der
folgenden Fragestellungen:
a) Wie viel bezahlt man für die ersten beiden
Stunden?
b) Wie groß ist die Erhöhung der Kosten für jede
weitere Stunde?
c) Ab welcher Badezeit ist eine Tageskarte
rentabel?
14
12
10
8
6
4
2
0
Kosten in
Tageskarte
Zeit in h
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ABD
4.78 Viele moderne Heizungen werden mit Holzpellets
befeuert.
Ein Händler bietet Pellets zu folgenden Preisen an:
245,10 € pro Tonne bis zu einer Gesamtmenge von
2 Tonnen; 237,50 € pro Tonne ab einer Gesamtmenge
von über 2 Tonnen bis zu 4 Tonnen und
229,90 € pro Tonne bei einer Gesamtmenge über
4 Tonnen.
a) Stelle die Preisentwicklung grafisch dar.
b) Überprüfe, ob es möglich ist, dass für eine
größere Menge weniger bezahlt werden muss.
Kennzeichne die entsprechenden Bereiche in der
Zeichnung.
134 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
4.5 Die Nullstelle der linearen Funktion
4.5.1 Definition und Berechnung der Nullstelle
4.79 Berechne die Nullstelle der Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = –0,5x + 7
Überprüfe die Rechnung mithilfe einer Zeichnung.
BD
Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du wissen, was man unter einer Nullstelle versteht.
Man versteht unter einer Nullstelle jenen x-Wert, der eingesetzt in die Funktion f den
Funktionswert null liefert. Der Begriff „Stelle“ deutet an, dass Nullstellen Elemente des
Definitionsbereichs D sind.
Bei reellen Funktionen sind Nullstellen jene Stellen der x-Achse, an denen der Funktionsgraph
die x-Achse berührt oder schneidet. Reelle lineare Funktionen mit k ≠ 0 haben genau eine
Nullstelle.
Vorsicht: Unterscheide zwischen „Stelle“ und „Punkt“. Eine Funktion hat keinen Punkt,
nur ihr Graph besteht aus Punkten. Die „Stellen“ der Funktion sind die x-Werte aus der
Definitionsmenge.
Setze zum Berechnen der Nullstelle f(x) = 0. Aus dieser linearen Gleichung kannst du x ermitteln:
–0,5x + 7 = 0 | – 7
–0,5x = –7 | : (–0,5)
x = 14 Die Nullstelle x 0 = 14.
Wenn die Funktionsgleichung bekannt ist, dann kannst du die Nullstelle mithilfe von
Technologieeinsatz entweder über den Gleichungslöser oder über eine Grafik bestimmen.
TI-Nspire:
Menu/ 2 Graphs/Funktion eingeben/ nachjustieren/Menu/
6 Graph analysieren/ 1 Nullstelle/enter. Mit der Greifhand vor der Nullstelle klicken und
über die Nullstelle fahren/ enter, die Koordinaten des Schnittpunkts mit der x-Achse werden
angezeigt.
Die Anleitung für die Nullstellenbestimmung bei TI82-84, Excel und
Geogebra-CAS siehe www.hpt.at (Schulbuch Plus für Schüler/innen)
4.80 Berechne die Nullstelle der Funktionen.
a) y = 1_
3
x + 2 b) y = –x + 7 c) y = –0,5x + 3
4.81 Es sind 2 Punkte A und B gegeben.
a) A(–4|5), B(4|1) b) A(1|7), B(5|2) c) A(–3|–2), B(6|1)
Stelle die Gleichung der Geraden g auf, die durch A und B geht.
Berechne die Schnittpunkte von g mit beiden Koordinatenachsen.
Überprüfe die Rechnung durch eine Ablesung aus der grafischen Darstellung.
Funktionale Zusammenhänge
B
ABD
135

Funktionen
ABD
ABC
4.82 Ermittle die Gleichung und die Nullstelle der Geraden, die durch die Punkte A und B
verläuft. Überprüfe dein Ergebnis anhand einer Zeichnung. Setze dazu Technologie ein.
a) A(–3|2), B(5|–2) b) A(6|4), B(–1|2)
4.83 Die lineare Funktion f hat eine Nullstelle bei x 0 = 1. Der Graph der Funktion hat die
Steigung k = –2.
Stelle die Gleichung der Funktion auf. Zeichne den Funktionsgraphen.
Lösung:
Variante 1 aus der Grafik:
Zeichne den Funktionsgraphen.
Lies die Funktionsgleichung ab:
f(x) = –2x + 2
Variante 2 durch Berechnen:
Setze x = 1, y = 0 und k = –2 in die
Normalform der Geradengleichung ein.
y = k ˜ x + d
0 = –2 ˜ 1 + d ⇒ d = 2
Die Gleichung der Geraden lautet:
y = –2x + 2
f(x)
3
1
2
k = -2
1
Nullstelle x
-1 0 1 2 3
ABCD
4.84 Die lineare Funktion f hat eine Nullstelle bei x 0 = –1.
Der Graph der Funktion geht durch den Punkt (2|–3).
Berechne die Gleichung der Geraden.
Zeichne den Funktionsgraphen.
Lies die Gleichung der Funktion aus dem Graphen ab.
Vergleiche die Ergebnisse der Ablesung mit den Rechenergebnissen.
Lösung:
y = k ˜ x + d
(–1|0) liegt auf der Geraden ⇒ 0 = –k + d bzw k = d
(2|–3) liegt auf der Geraden ⇒ –3 = 2k + d
mit k = d ergibt sich: –3 = 3d ⇒ d = –1, k = –1
Gleichung der Geraden: y = –x – 1, wie bei der Ablesung!
y
2
1
x
-2 -1 0 1 2
-1
-2
-3
ABCD
ABCD
4.85 Der Achsenabschnitt eines linearen Funktionsgraphen auf der x-Achse beträgt 2 cm, der
Achsenabschnitt auf der y-Achse ist 5 cm.
a) Stelle die Funktion grafisch dar.
Lies die Funktionsgleichung mithilfe des Steigungsdreiecks ab.
b) Erkläre, wie man die Gleichung der Funktion mithilfe der angegebenen Punkte
berechnen kann.
4.86 Die lineare Funktion f hat eine Nullstelle bei x 0 = 40. Der Graph der Funktion geht durch
den Punkt (–10|–20).
a) Berechne die Gleichung der Geraden.
b) Zeichne den Funktionsgraphen mithilfe von Technologieeinsatz.
c) Lies die Gleichung der Funktion aus dem Graphen ab.
Vergleiche die Ergebnisse der Ablesung mit den Rechenergebnissen.
136 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
Jede Gleichung, nicht nur lineare Gleichungen, kann man grafisch näherungsweise lösen, wenn
man sie so umformt, dass auf einer Seite null steht. Dann interpretiert man den Gleichungsterm
als Funktionsterm, zeichnet den Funktionsgraphen und kann die Nullstellen ablesen. Die
abgelesenen x-Werte sind näherungsweise Lösungen der Gleichung.
Das Lösen einer Gleichung entspricht dem Ermitteln der Nullstelle der zugehörigen Funktion,
wenn die Gleichung so umgeformt wird, dass auf einer Seite null steht.
4.87 (x 2 – 2x) + (x – 3) ˜ 15 = (x + 4) 2
Löse die Gleichung durch Ablesen der Nullstelle aus der passenden Grafik.
Stelle dazu die gegebene Funktion mithilfe von Technologieeinsatz dar.
Was fällt dir auf?
Lösung:
Man gibt den Funktionsterm
f(x) = (x 2 – 2x) + (x – 3) ˜ 15 – (x + 4) 2
ein.
x = 12,2 ist die Lösung der Gleichung.
Es fällt auf, dass der Graph der Funktion eine
Gerade ist, obwohl quadratische Terme
vorkommen. Schaut man den Funktionsterm
genauer an, so entdeckt man, dass x 2 beim Umformen wegfallen würde.
4.88 Löse die Gleichungen mit G = R durch Ablesen der Nullstelle aus der Grafik.
a) (x – 7) 2 = (x – 6) (x – 5) + 14,5
b) (x – 2) 3 – (x 2 – 4) = x 3 – 7x 2 – 16
c) (x + 3) 2 – (x + 12) 2 + 39 + 26x = 0
BD
BC
4.5.2 Die Nullstelle der linearen Gewinnfunktion: der Break-Even-Point
G(x) = E(x) – K(x) ... Zusammenhang zwischen Gewinn, Erlös und Gesamtkosten
Break-Even-Point = BEP: Wenn man eine Ware verkauft, so überwiegen zu Beginn die
Kosten. Erst allmählich stellt sich Gewinn ein.
Die Stelle x in Mengeneinheiten (ME), an dem Erlös und Kosten gleich groß sind, markiert
den Eintritt in die Gewinnzone. Der BEP ist die Nullstelle der linearen Gewinnfunktion.
4.89 Die fixen Kosten einer Produktion betragen 19.500 € je Monat, die variablen Kosten betragen
pro Stück 2,50 €. Beim Verkauf erzielt das Produkt einen Preis von 4,20 € pro Stück.
a) Bestimme die jeweils lineare Kosten-, Erlösund
Gewinnfunktion.
b) Ermittle den Break-Even-Point.
c) Überprüfe die Berechnung durch eine
grafische Darstellung der Funktionen.
Lösung:
a) K(x) = 2,50x + 19 500; E(x) = 4,20x;
G(x) = 4,20x – 2,50x – 19 500 = 1,7x – 19 500
b) G(x) = 0 ⇒ BEP ≈ 11 471 Stück c)
100000
90000
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
-10000
E(x), K(x), G(x) in
E
x in Stück
5 000 10 000 15 000 20 000 25 000
K
G
ABCD
Funktionale Zusammenhänge
137

Funktionen
BD
CD
ABC
ABC
4.90 Der Gewinn, den ein Unternehmer beim Vertrieb eines Produkts macht, lässt sich mit der
Funktion G(x) = 63x – 50 400 darstellen.
x ... Verkaufsmenge in Mengeneinheiten (ME)
G(x) ... Gewinn bei einer Verkaufsmenge x in Geldeinheiten (GE)
a) Berechne die Nullstelle.
b) Zeichne die Funktion in einem Koordinatensystem mit passend gewählter Skalierung.
c) Erkläre, warum diese Nullstelle – der Break-Even-Point – für den Unternehmer
wichtig ist.
4.91 Es ist die Gewinnfunktion G in
G(x) in GE
40
Abhängigkeit von der Verkaufsmenge x
30
gegeben:
20
a) Lies den Break-Even-Point der
10
Gewinnfunktion ab.
b) Lies die Gleichung der Gewinnfunktion 0
-10
ab.
-20
c) Kreuze an, wie man die Menge mit
einem Verlust von 9,5 GE bestimmt, und begründe deine Auswahl:
A Man setzt x = 9,5 in G(x) ein.
B Man setzt G(x) = 9,5.
C Man setzt x = –9,5 in G(x).
D Man setzt G(x) = –9,5.
4.92 In einer Firma werden T-Shirts bedruckt. Die fixen Kosten
pro Monat betragen 35.000 €. Die variablen Kosten für ein
fertig bedrucktes T-Shirt belaufen sich auf 12 €. Der
Verkaufspreis (ohne MWSt) beträgt 21 € pro Stück.
a) In einem Monat werden x T-Shirts erzeugt.
Gib die Funktionsgleichungen für die Gesamtkosten und
für den Erlös an.
b) Erstelle eine Grafik, in der du die Gesamtkosten und den
Erlös, abhängig von der Stückzahl, einzeichnest.
c) Lies ab, bei welcher Stückzahl die Werkstatt kostendeckend
zu arbeiten beginnt. (Break-Even-Point bzw. Gewinnschwelle)
4.93 Bei einem Kongress nimmt man pro teilnehmender
Person je 70 € ein.
Die Fixkosten für den Veranstalter der Tagung
belaufen sich auf 10.800 € und pro Person fallen
Kosten von 4,50 € zusätzlich an.
a) Berechne, ab welcher Teilnehmerzahl die
Tagung ohne Verlust für den Veranstalter sein
wird.
b) Stelle die jeweils lineare Kosten-, Erlös und
Gewinnfunktion grafisch dar.
c) Lies ab, welchen Gewinn man bei 500 Personen
zu erwarten hat.
G
5 10 15 20 25
x in ME
138 Funktionale Zusammenhänge

4.5.3 Die Nullstelle der linearen Abschreibung: die Nutzungsdauer
Funktionen
Unter dem Buchwert B einer Maschine versteht man den Wert, den die Maschine nach einer
bestimmten Nutzungsdauer t noch hat. Er wird auch gelegentlich als „Restwert“ bezeichnet.
Man kann ihn berechnen, indem man vom Anschaffungswert die jährliche Abschreibung
abzieht.
4.94 Max soll eine Maschine mit einem Anschaffungswert von 26.000 € und einer
Nutzungsdauer von 10 Jahren linear abschreiben.
a) Stelle den Abschreibungsprozess grafisch dar.
b) Gib die Funktionsgleichung an, mit der man den Buchwert der Maschine bestimmen
kann.
c) Lies den Buchwert nach einer Nutzungsdauer von 3 Jahren aus dem Graphen
ungefähr ab.
d) Berechne, wann der Buchwert nur mehr ein Fünftel der Anschaffungskosten beträgt.
Lösung:
a) B(t) in
B(t) in
30 000
30 000
ABC
25000
20000
15000
10000
25000
20000
15000
10000
5 000
0
t in a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Beachte: Genau genommen bleibt der Buchwert innerhalb eines Jahres unverändert.
Man müsste eine Treppe zeichnen, die aber durch die Gerade angenähert werden kann.
b) 2 Punkte sind bekannt, nämlich der Funktionswert an der Stelle t = 0 (0|26 000) und
die Nullstelle bei t = 10 ⇒ d = 26 000, k = –2 600
Gleichung des Abschreibprozesses: B(t) = –2 600t + 26 000
c) Der Buchwert nach 3 Jahren beträgt ungefähr 18.000 €.
d) –2 600t + 26 000 = 5 200 ⇒ t = 8
Nach 8 Jahren beträgt der Buchwert ein Fünftel des Anschaffungswerts.
5 000
0
t in a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4.95 Eine Anlage hat eine Nutzungsdauer von 11 Jahren und der Buchwert nach 9 Jahren
beträgt 164.000 €.
a) Berechne den Anschaffungswert mithilfe von Technologieeinsatz.
b) Stelle den Sachverhalt grafisch dar.
4.96 Eine Maschine hat einen Anschaffungswert von 52.000 € und eine Nutzungsdauer von
16 Jahren.
a) Berechne, nach wie vielen Jahren der Restwert 39.000 € beträgt.
b) Stelle den Sachverhalt mithilfe deiner Technologie grafisch dar.
4.97 Eine Anlage hat nach 9 Jahren einen Restwert von 154.000 € und ihr Anschaffungswert
betrug 431.200 €.
a) Berechne die Nutzungsdauer.
b) Stelle den Sachverhalt grafisch dar.
AB
AB
AB
Funktionale Zusammenhänge
139

Funktionen
4.6 Beziehung von zwei Funktionen
4.6.1 Die Funktion und ihre Umkehrung
ABD
4.98 Stelle die Funktion f: y = 5x – 3 im Intervall [–3; 5] grafisch dar.
Ermittle die Gleichung der Umkehrfunktion f –1 .
Erkläre anhand einer grafischen Darstellung den Zusammenhang der beiden Funktionen
f und f –1 .
Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du den Begriff der Umkehrfunktion kennen.
Ist ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Größen als Funktion f gegeben, kann man der
unabhängigen Variablen immer
eindeutig einen Funktionswert
f
zuordnen. Vertauscht man die
x
f(x) x
f -1
abhängigen und unabhängigen
Variablen, dann besteht bei linearen
D
W
W
D
Funktionen wieder eine eindeutige
Zuordnung.
Funktion f Umkehrfunktion f –1
Die so entstandene Funktion heißt Umkehrfunktion und wird mit f –1 bezeichnet.
Die Funktion f: D → W mit y = f(x) ordnet jedem x∊D eindeutig ein y∊W zu.
Vertauscht man W mit D und kann jedem y eindeutig ein x zugeordnet werden, so entsteht
die Umkehrfunktion f –1 von f.
Ist die umgekehrte Zuordnung nicht eindeutig, dann spricht man von einer Umkehrrelation.
Man kann die Umkehrfunktion aus der Funktionsgleichung berechnen.
1. Schritt: x wird explizit ausgedrückt (dh. x wird frei gestellt). Man erhält die Gleichung der
Umkehrfunktion: f –1 : x = ___ y + 3
5
2. Schritt: Hat man es nur mit den Koordinaten von Punkten zu tun und nicht mit Größen
aus Alltag, Naturwissenschaft oder Wirtschaft,
dann ändert man die Achsenbeschriftung im
4
y
Koordinatensystem nicht, sondern vertauscht die
3
1. Mediane
Variablen x und y in der Gleichung der Umkehrfunktion.
2
f
f –1 : y = ___ x + 3
1
5
. Dies hat den Vorteil, dass man beide
f -1
Funktionsgraphen in ein gleich bezeichnetes
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
Koordinatensystem zeichnen kann.
-1
-2
Man kann an der grafischen Darstellung beider
Funktionen erkennen, dass die Umkehrfunktion die
Spiegelung der Funktion an der ersten Mediane (y = x) ist.
-3
-4
Das Vertauschen von x und y entspricht im Koordinatensystem einer Spiegelung des
Graphen an der 1. Mediane, die durch die Gleichung y = x beschrieben wird.
y
140 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
4.99 Zeichne die Funktion f: y = 1_
3
x + 2 in ein Koordinatensystem.
a) Berechne die Gleichung der Umkehrfunktion und stelle sie grafisch im gleichen
Koordinatensystem dar.
b) Zeichne die 1. Mediane ebenfalls in dieses Koordinatensystem ein.
c) Lies den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen ab. Was fällt dir auf?
Lösung:
N
1
x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
5
4
3
2
-2
-3
-4
-5
-6
P
-7
-8
y
F
a) x = (y – 2) ˜ 3 = 3y – 6
Es handelt sich um Punkte im
Koordinatensystem, daher gilt:
f –1 : y = 3x – 6
grafisch: grüne Gerade
b) 1. Mediane: rot strichlierte Linie.
c) Der Schnittpunkt hat die Koordinaten
(3|3). Dieser Punkt liegt auf der 1. Mediane,
weil x und y den gleichen Wert haben.
Es fällt auf, dass der Graph der
Umkehrfunktion eine Spiegelung des
Funktionsgraphen an der 1. Mediane ist.
ABC
4.100 Untersuche, ob im Intervall [–2; 2] zur Funktion f(x) = x 2 eine Umkehrfunktion existiert.
BD
Um die Aufgabe zu lösen, erstellen wir eine Wertetabelle im angegebenen Intervall.
x
y
–2 4
–1 1
0 0
1 1
2 4
x
y
4 –2
1 –1
0 0
1 1
4 2
-3
-2
-1
4
3
2
1
-1
-2
y
1 2
Der gespiegelte Graph stellt eine
Relation dar, die keine Funktion ist, da
zu jedem x > 0 zwei y-Werte existieren.
Wenn wir den Definitions bereich von
y = x 2 auf R + 0 einschränken, ist die
Umkehrrelation eine Funktion, da zu
jedem x ⩾ 0 genau ein y-Wert existiert.
Die Umkehrrelation ist nur dann eine Funktion, wenn der Definitionsbereich von y = x 2 so
eingeschränkt wird, dass verschiedenen x-Werten immer verschiedene y-Werte zugeordnet
werden.
3 4
x
4.101 Spiegle den gegebenen Graphen an der 1. Mediane.
Argumentiere, ob die Umkehrung eine Funktion oder eine Relation ist.
Gib die Gleichungen beider Graphen an.
a) y
b)
y
2
1
-2 -1 1 2
-1
-2
x
-3 -2
3
2
1
-1
-1
-2
-3
1 2 3
x
BD
Funktionale Zusammenhänge
141

Funktionen
ABD
ABD
Aufgaben 4.102 – 4.103: Stelle jeweils die Funktion und deren Umkehrrelation in einem
gemeinsamen Koordinatensystem grafisch dar. Begründe, ob die Umkehrrelation eine Funktion
ist; wenn ja, gib deren Funktionsgleichung an.
4.102 a) y = 5x b) y = 2x – 1 c) y = –x + 1 d) y = 4
4.103 a) y = x 2 + 2 b) y = x 2 – 3 c) y = x_
2 d) y = ___ 2
x + 3
4.6.2 Anwendung der linearen Umkehrfunktion: die Nachfragefunktion
ABC
4.104 Die Preis-Funktion der Nachfrage für Eprouvetten
beschreibt den Stückpreis in Abhängigkeit von
der nachgefragten Menge durch die Funktion
p N : y = 400 – 2x
x ... Absatzmenge in Stück
y ... Stückpreis bei einem Absatz von x Stück in
Euro (€).
a) Stelle die Funktion und die Umkehrfunktion
grafisch jeweils in einem passend skalierten Koordinatensystem dar.
Lies die Gleichung der Umkehrfunktion x(p N ) aus der Grafik ab.
b) Berechne die Gleichung der Umkehrfunktion.
c) Beschreibe in Worten, welchen Zusammenhang diese Umkehrfunktion angibt.
Was musst du wissen, um diese Aufgabe lösen zu können?
Die Preisfunktion der Nachfrage p N = f(x) beschreibt die Abhängigkeit des Preises für eine
Mengeneinheit einer Ware, wobei die Ware billiger wird, je mehr abgesetzt wird.
Die Umkehrung dieser Funktion ordnet dem „Stückpreis“ die dabei zu erwartende Absatzmenge
–1
zu und ergibt die so genannte Nachfragefunktion x = f(p N ) = p N
Um diesen Sachverhalt deutlich auszudrücken, stellt man die beiden Funktionen besser getrennt
mit vertauschten Achsen dar.
Erstelle für die gegebene Gleichung im eingangs gewählten Beispiel eine Wertetabelle mit
beliebigen x-Werten für die Funktion p N :
x 0 50 100 150
p N (x) 400 300 200 100
a) Wenn wir die Elemente vertauschen, dann
erhält man die Umkehrfunktion p N –1 .
400
300
200
x(p N ) in Stück
p N 400 300 200 100
x(p N ) 0 50 100 150
Die Umkehrfunktion lässt sich grafisch in einem
Koordinatensystem darstellen.
50 – 0
Ablesen der Umkehrfunktion d = 200, k = ______
300 – 400 = – 1_
2
p –1 N : x(p N ) = –0,5p N + 200
100
0
p N -1
p N in /Stück
100 200 300 400 500
142 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
b) Man kann die Umkehrfunktion aus der Funktionsgleichung berechnen, dh. in unserem Fall
die Nachfragefunktion aus der Preisfunktion der Nachfrage ermitteln.
x wird explizit ausgedrückt (dh. x wird frei gestellt). Man erhält die Gleichung der
Umkehrfunktion: p –1 N : x = ______ p N – 400
–2
= –0,5p N + 200
c) Die Umkehrfunktion (= Nachfragefunktion) gibt die nachgefragte Absatzmenge x in
Mengeneinheiten (ME) als abhängige Variable bei einem Stückpreis von p N in Geldeinheiten
pro Mengeneinheit (GE/ME) an.
4.105 Es werden x Kilogramm (kg) eines Rohstoffs gekauft. Der Preis pro kg ändert sich linear in
Abhängigkeit von der Verkaufsmenge x.
Zu Beginn bei x = 0 beträgt der Preis je kg 50 €.
Bei einer Verkaufsmenge von 10 kg beträgt der Preis je kg 43 €.
Stelle die Gleichungen der Preisfunktion der Nachfrage und die ihrer Umkehrfunktion
auf.
Zeichne den Graphen der Nachfragefunktion in ein passend skaliertes Koordinatensystem.
4.106 Es werden x Liter (l) einer Flüssigkeit gekauft. Der Preis pro l ändert sich linear in
Abhängigkeit von der Verkaufsmenge.
Bei einem Preis von 100 € werden 15 l des Produkts nachgefragt.
Bei einem Preis von 80 € können 17,5 l abgesetzt werden.
Stelle die Gleichungen der Nachfragefunktion und ihrer Umkehrfunktion auf.
Zeichne den Graphen der Preisfunktion der Nachfrage in ein passend skaliertes
Koordinatensystem.
ABCD
ABCD
Die Nachfragefunktion und daher auch die Preisfunktion der Nachfrage haben zwei besondere
Stellen.
Der Preis, bei dem der Käufer nicht mehr bereit ist, die Ware zu kaufen, wird als Höchstpreis
bezeichnet. Er lässt sich zB beim Schnittpunkt der Nachfragefunktion mit der p N -Achse ablesen.
Berechnen kann man den Höchstpreis über die Nullstelle der Nachfragefunktion x(p N ) = 0 oder
als Wert der Preisfunktion der Nachfrage mit p N (0).
Die höchste Menge, die abgesetzt werden kann, wird durch die volle Sättigung des Bedarfs
festgelegt und heißt Sättigungsmenge x S . Sie ist die Nullstelle der Preisfunktion der Nachfrage
oder kann auch als Wert x(0) der Nachfragefunktion verstanden werden. Die beiden Skizzen
verdeutlichen den Zusammenhang.
400
p N (x) in GE/ME
Höchstpreis
400
x(p N ) in ME
300
300
200
100
0
p
Sättigungsmenge x in ME
100 200 300
Sättigungsmenge
200
100
0
p N -1
Höchstpreis
p N in GE/ME
100 200 300 400 500
Funktionale Zusammenhänge
143

Funktionen
ABCD
4.107 Die Nachfrage x nach einem bestimmten Produkt hat die Sättigungsmenge x s bei
50 Mengeneinheiten (ME). Der höchste Preis pro ME (Preis bei x = 0) beträgt
160 Geldeinheiten (GE).
a) Stelle die Funktion x grafisch dar und ermittle mithilfe des Steigungsdreiecks die
Funktionsgleichung x(p N ).
b) Berechne die Gleichung der Preisfunktion der Nachfrage und berechne daraus deren
Umkehrfunktion x(p N ). Vergleiche mit der Ablesung in a).
Lösung:
x ... nachgefragte Menge in ME
p N (x) ... Preis der Nachfrage pro ME in GE/ME
a)
50
40
x(p N ) in ME
40
12,5
30
20
10
0
k = –0,3125; d = 50
x(p N ) = – 0,3125x + 50
b) p N (x) = k ˜ x + d
k = –160 : 50 = –3,2
d = 160
p N (x) = –3,2x + 160
p N in GE/ME
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
Durch Umformung erhält man: x(p N ) = –0,3125p N + 50
Man erhält durch Ablesung und Berechnung das gleiche Ergebnis für x(p N ).
ABC
4.108 Berechne die Sättigungsmenge der Nachfrage, bei der der Preis null wird.
Stelle die gegebene Funktion p N grafisch dar und zeichne die Sättigungsmenge ein.
Bestimme die Gleichung der Nachfragefunktion.
a) p N (x) = 20 – x_
2 b) p N (x) = 12 – 0,5x
c) p N (x) = –2x + 400 d) p N (x) = –0,5x + 50
e) p N (x) = 120 – 2x f) p N (x) = –5x + 75
144 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
4.6.3 Der Schnittpunkt von zwei Funktionsgraphen
Bisher haben wir den Schnittpunkt zweier Graphen stets aus der Zeichnung abgelesen. Nun
suchen wir eine Methode, wie man ihn berechnen kann.
4.109 Tony und Jim kaufen je ein gebrauchtes
Motorrad.
Tonys Motorrad kostet 1.250 € und hat einen
Spritverbrauch von 5 Liter pro 100 km.
Jims Motorrad kostet 1.190 € und hat einen
Spritverbrauch von 6 Liter pro 100 km.
1 Liter Benzin kostet 1,40 €.
Vergleiche mithilfe einer Grafik die Kosten für das Motorrad und den Spritverbrauch bei
Tony und Jim für Fahrten bis 15 000 km.
Berechne, bis zu welcher Strecke Jim mit dem billigeren Motorrad trotz des höheren
Spritverbrauchs preislich günstiger, gleich und weniger günstig als Tony abschneidet.
ABC
Du stellst am besten die Funktionsgleichungen der
Kosten für beide Motorräder auf.
x ... Fahrstrecke in Kilometer (km)
f(x), g(x) ... Kosten für x km in Euro (€)
2 400
2 200
f(x), g(x) in
Tony: f(x) = 1 250 + 0,05 ˜ 1,4x = 1 250 + 0,07x
Jim: g(x) = 1 190 + 0,06 ˜ 1,4x = 1 190 + 0,084x
2 000
Jim
Tony
Die Grafik ergibt, dass Jim bis ungefähr 5 000 km
günstiger ist, bei ca. 5 000 km sind beide gleich, nach
5 000 km wird es für Tony günstiger. Bei 15 000 km
beträgt der Kostenunterschied ungefähr 150 €.
Die Ablesung des Schnittpunkts aus der Grafik ist
ungenau.
Darum berechnen wir den Schnittpunkt der beiden
Geraden, die wir in Normalform dargestellt haben:
f: y = 1 250 + 0,07x
g: y = 1 190 + 0,084x
1800
1600
1400
1200
0
5 000 10 000 15 000
x in km
Es liegen zwei Gleichungen vor. Für den Schnittpunkt gilt, dass die Funktionswerte beider
Funktionen übereinstimmen müssen.
Daher kann man beide y-Terme einander gleichsetzen.
1 250 + 0,07x = 1 190 + 0,084x | –0,07x – 1 190
60 = 0,014x
x = 4 285,714... ≈ 4 285,7
f(4 285,7) = g(4 285,7) = 1 550
Die Kosten betragen für Tony und Jim gleich viel, nämlich 1.550 €, wenn beide Motorräder
ca. 4 285,7 km zurückgelegt haben.
Funktionale Zusammenhänge
145

Funktionen
Lösung mittels Technologieeinsatz:
Grafisches Verfahren:
I: y = 1 250 + 0,07x
II: y = 1 190 + 0,084x
TI_Nspire:
Beide Funktionsgleichungen
im
Grafikfenster eingeben.
MENU/2 graphs/6
Grafik analysieren/ 4 Schnittpunkt/enter/ untere Grenze und obere Grenze eingeben/ enter.
Die Anleitung für die Lösung von Gleichungssystemen bei TI82-84, Excel und
Geogebra-CAS siehe www.hpt.at (Schulbuch Plus für Schüler/innen)
Die lineare Gleichung, die man durch das Gleichsetzen der beiden Funktionsterme erhält, hat
3 unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten:
• Eine eindeutige Lösung: Die Graphen beider Funktionen schneiden einander.
• Keine Lösung: die Graphen der beiden Funktionen liegen parallel zueinander.
• Alle Zahlen der Definitionsmenge sind Lösungen: die beiden Graphen sind ident.
ABC
4.110 Ermittle grafisch den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen von:
a) g 1 (x) = –x + 12 b) g 1 (x) = –x + 2 c) g 1 (x) = –x + 2
g 2 (x) = 2x – 3 g 2 (x) = –x + 3 g 2 (x) = –x + 2
Lösung:
a) y
b) y
c)
-5
15
10
5
-5
g II : y = 2x - 3
S(5 I 7)
x
5 10 15 20
g I : y = 12 - x
-2
4
3
2
1
-1
-1
-2
g II
1 2
3 4
g I
-10
Alle Zahlen der Definitions-
Eindeutige Lösung: Keine Lösung menge sind Lösungen:
x = 5, y = 7
–x + 2 für alle x∊D
x
-2
4
3
2
1
-1
-1
-2
y
g I = g II
x
1 2 3 4
Aufgaben 4.111 – 4.112: Der Graph der linearen Funktion f geht durch die Punkte A und B.
a) Ermittle die Schnittpunkte dieser Geraden mit beiden Koordinatenachsen.
b) Gib die Gleichung jener Geraden an, die durch den Ursprung und durch P(–2|–2) geht.
c) Stelle die beiden Geraden grafisch dar und lies den Schnittpunkt ab.
d) Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden und überprüfe anhand der Grafik.
AB
AB
4.111 A(–4|5), B(4|1)
4.112 A(1|7), B(5|2)
146 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
4.113 Zeichne die beiden Geraden und berechne ihren Schnittpunkt.
a) I: y = –x + 1 b) I: y = 1_
4 x – 1
II: y = 2x + 7 II: y = x + 2
4.114 Die Telefongesellschaft TWO bietet zwei verschiedene Tarife an.
Tarif 1: Monatliche Grundgebühr 9 €,
Gesprächsminute 9 Cent
Tarif 2: Monatliche Grundgebühr 15 €,
Gesprächsminute 5 Cent
a) Erstelle die beiden annähernd linearen
Tarif-Funktionen für ein Monat.
b) Zeichne die beiden Funktionen.
Lies aus der Grafik ab, wie viel Euro mehr jemand bezahlt, wenn er in einem Monat
6 Stunden telefoniert und den ungünstigeren Tarif gewählt hat.
c) Interpretiere, was der Schnittpunkt im Sachzusammenhang aussagt.
4.115 Auf einer Kartbahn werden 2 Tarife angeboten.
Tarif 1: 10 Minuten kosten 11 € inklusive
Leihgebühr für den Helm und den Anzug.
Tarif 2: 10 Minuten kosten 9 €, die Leihgebühr für
Helm und Anzug beträgt 14 €.
a) Erstelle die Kostenfunktionen und zeichne sie.
b) Ermittle durch Berechnung und durch Ablesen
aus der Grafik, für welche Fahrzeit welcher Tarif
günstiger ist, wenn man Helm und Anzug benötigt.
BD
ABCD
ABC
4.6.4 Anwendung im Wirtschaftbereich: das Marktgleichgewicht
x ... Menge einer Ware, die abgesetzt werden kann, in Mengeneinheiten (ME)
p A (x) ... Preis pro Mengeneinheit in (GE/ME) der angebotenen Ware, abhängig von der
angebotenen Menge x in ME ⇒ Preisfunktion des Angebots (wird auch als „inverse
Angebotsfunktion“ bezeichnet). Jeder angebotenen Menge entspricht ein Angebotspreis
p A , der höher wird, wenn der Produzent von einer Ware mehr anbietet.
p N (x) ... Preis pro Mengeneinheit in (GE/ME) der nachgefragten Ware, abhängig von der
nachgefragten Menge x ⇒ Preisfunktion der Nachfrage („inverse Nachfragefunktion“).
Wenn mehr Käufer bereit sein sollen, eine Ware zu kaufen, dann muss der Nachfragepreis p N
sinken.
x(p A ) ... vom Produzenten angebotene Menge in ME einer Ware ⇒ Angebotsfunktion
x(p N ) ... vom Konsumenten nachgefragte Menge in ME einer Ware, ⇒ Nachfragefunktion
Sie sind beide abhängig von dem Preis pro Mengeneinheit in GE/ME.
Angebot und Nachfrage bestimmen den Marktpreis.
Unter dem Markt versteht man das „Aufeinandertreffen“ von Anbietern (Produzenten) und
den Nachfragern (Konsumenten).
Der Marktpreis (= Gleichgewichtspreis) p G ist jener Preis, bei dem Angebotsmenge
und Nachfragemenge gleich groß sind. Er ist über den Schnittpunkt der Graphen beider
Preisfunktionen bestimmbar.
p A (x) = p N (x) ⇒ x = x G und p G = p A (x G ) = p N (x G )
Funktionale Zusammenhänge
147

Funktionen
ABCD
4.116 Für eine Ware lauten die Funktionsgleichungen für die Preisfunktionen in Angebot und
Nachfrage p N (x) = –0,5x + 7, p A (x) = 1,5x + 3
x ... Menge in Mengeneinheiten (ME);
p N (x); p A (x) ... Preise in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME)
a) Stelle die beiden Funktionen in einem gemeinsamen Koordinatensystem grafisch dar.
b) Ermittle aus der Grafik und durch Berechnung den Gleichgewichtspreis (Marktpreis)
für diese Ware.
c) Berechne die Gleichungen der Nachfrage- und der Angebotsfunktion.
Lösung:
a)
10
p(x) in GE/ME
8
p A
6
(2 |6)
4
p N
BD
BC
ABC
2
0
b) Marktpreisbestimmung aus der Grafik:
6 GE/ME bei x G = 2 ME
Marktpreisbestimmung durch Berechnung:
–0,5x + 7 = 1,5x + 3 ⇒ x = 2
p G = –1 + 7 = 6
c) Nachfragefunktion:
x(p N ) = (7 – p N ) : 0,5 = 14 – 2p N
Angebotsfunktion:
x(p A ) = (p A – 3) : 1,5 = p A – 2
4.117 Skizziere die folgenden Funktionen und argumentiere, ob die angegebene Gleichung den
Preis für das Angebot oder für die Nachfrage einer Ware beschreibt.
Die Nachfrage bzw. das Angebot werden in Mengeneinheiten (ME) und der Preis in
Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME) angegeben.
a) p(x) = 4 – x_
5
x in ME
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
b) p(x) = 4 + 2x c) p(x) = 5 –
1_
x
4.118 Die Preisfunktion für das Angebot und eine Nachfragefunktion sind durch die folgenden
Gleichungen beschrieben: p A (x) = 3 + 2x; x(p N ) = –p N + 16
Berechne den Marktpreis in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME).
Vergleiche das Ergebnis anhand einer geeigneten Grafik.
4.119 Eine Angebotsfunktion hat die Gleichung: x(p A ) = a ˜ p A + b mit x in ME und
p A in GE/ME.
Sie hat an den Grenzen des Intervalls [2; 5] die Absatzmengen 1 ME bzw. 10 ME.
a) Ermittle die Koeffizienten a und b der Angebotsfunktion.
b) Die Preisfunktion der Nachfrage lässt sich durch die Gleichung p N (x) = –0,5x + 10
beschreiben.
Berechne den Marktpreis in GE/ME.
Vergleiche das Ergebnis anhand einer grafischen Darstellung.
148 Funktionale Zusammenhänge

4.7 Indirekt proportionaler Zusammenhang
Funktionen
Sehr oft findet man im Alltag und natürlich auch in Wirtschaft und Technik sowie in den
Naturwissenschaften nicht proportionale funktionale Zusammenhänge.
Betrachten wir den Fall, dass eine Größe verdoppelt und dadurch die andere halbiert wird.
Welche Art von Zuordnung ist das?
4.120 Ein Grundeigentümer will 1 000 m 2 seiner Wiese für einen rechteckigen Parkplatz zur
Verfügung stellen. Er möchte für diese Fläche alle möglichen Längen und Breiten
herausfinden, um die beste Auswahl zu treffen, welcher Teil der Wiese als Parkplatz am
günstigsten wäre.
a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der man bei vorgegebener Fläche die Breite y
des Parkplatzes in Abhängigkeit von der Länge x berechnen kann.
b) Stelle diesen Zusammenhang grafisch mithilfe von Technologieeinsatz dar.
ABC
a) Die Gleichung kannst du aus der Flächenformel für das Rechteck bekommen: A = x ˜ y.
Daraus ergibt sich: y = ____ 1 000
x
. Wir sehen: Wenn x verdoppelt wird, dann wird y halbiert und
umgekehrt. Das genau ist die Zuordnung von zwei Größen, die wir untersuchen wollten.
b) 80 Breite
70
60
50
40
30
20
in m
Die Grafik zeigt keine lineare Funktion.
Die Länge ist zur Breite daher nicht direkt
proportional.
Es besteht aber eine direkte Proportionalität
zum Kehrwert von x:
y ∼ 1_
x
10
Länge in m Man spricht von indirekter Proportionalität.
0
50 100 150 200 250 300
Besteht zwischen zwei Größen x und y der Zusammenhang y = k ˜ 1_
x
, dann ist die Größe y
indirekt proportional zu x oder anders ausgedrückt: y ist direkt proportional zum
Kehrwert von x. Der Graph der Funktion f(x) = k · 1_
x
ist keine Gerade.
4.121 Eine Gemeinde rechnet damit, im kommenden Winter 1,2 Tonnen pro Tag (t/d)
Streusand auf den Gehsteigen zu benötigen und setzt voraus, dass 48 Tage (d) lang mit
dieser Tagesportion gestreut werden muss.
a) Setze eine Schlussrechnung an und berechne mithilfe einer Proportion, für wie viele
Tage der Vorrat reicht, wenn 1, 44 t pro Tag verbraucht werden.
b) Zeige mithilfe einer Tabelle und einer grafischen Darstellung, dass die Verbrauchsdauer
in Tagen nicht direkt proportional zur Tagesmenge an Streusand ist.
Lösung:
a) Je mehr Streusand pro Tag verbraucht wird,
1 200 kg __ . . . . . . . . 48 Tage
d
desto weniger lang reicht der Vorrat.
1 440 kg __
d
Es gilt die folgende Proportion:
1 200 : 1 440 = x : 48 Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder
1 440 · x = 57 600 | : 1 440
x = 40
Der Vorrat reicht nur mehr für 40 Tage.
ABCD
Funktionale Zusammenhänge
149

Funktionen
b) Tabelle:
benötigter Vorrat in kg/d 0 300 600 900 1 200
Verbrauchsdauer in Tagen ∞ 192 96 64 48
400
300
200
100
Tage
Die Grafik zeigt, dass keine direkte
Proportionalität zwischen diesen
beiden Größen vorliegt.
Die Verbrauchsdauer ist indirekt
proportional zum benötigten
Tagesvorrat.
0
Menge pro Tag
200 400 600 800 1 000 1 200
AB
BCD
4.122 Bestimme zu den folgenden Funktionen eine möglichst umfassende Definitionsmenge.
Stelle die Funktionen in einem sinnvollen Bereich grafisch dar.
a) f(x) = 1_
x
b) f(x) =
4_
5
x
c) f(x) = __
4.123 Beschreibe anhand einer Grafik und überprüfe durch eine Rechnung, ob die Wertepaare
direkt proportionale, indirekt proportionale Größen oder weder noch beschreiben.
a) (0|1), (2|6), (4|12), (7|21) b) (1|2), (8|0,25), (0,1|20)
2x
AC
4.124 In den Skizzen sind zueinander proportionale Größen dargestellt.
Lies jeweils die Funktionsgleichung ab.
a) b)
b
a
r
z
c
1
a
c
1
b
1
c
z
c
2
r
AB
AB
AB
4.125 Bei einer mittleren Geschwindigkeit von 122 km/h dauert die Zugfahrt von Salzburg nach
Wien 2,6 Stunden.
Berechne, um wie viel Kilometer pro Stunde die mittlere Geschwindigkeit erhöht werden
muss, wenn sich die Fahrzeit auf 2,25 Stunden verkürzen soll.
4.126 Sieben Arbeiter würden 16 Tage benötigen, um die Fenster einer Wohnhausanlage
auszutauschen. Berechne, wie viele Arbeiter zusätzlich eingesetzt werden müssen, wenn
die Arbeit bereits nach 11 Tagen abgeschlossen sein soll.
4.127 Um das in eine Baugrube eingedrungene Wasser abzupumpen, würden vier Pumpen
11 Stunden benötigen. Berechne, wie viele Pumpen zusätzlich eingesetzt werden müssen,
wenn das Wasser bereits nach 8 Stunden abgepumpt sein muss.
AB
4.128 Um einen Lärmschutzdamm aufzuschütten, werden 3 LKW eingesetzt, die zur
Durchführung der Arbeit voraussichtlich 8 Tage benötigen. In wie vielen Tagen kann die
Arbeit durchgeführt werden, wenn nach 2 Tagen 2 zusätzliche LKW eingesetzt werden?
150 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
Zusammenfassung
Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung aller Elemente einer Menge D
(Definitionsmenge) zu Elementen der Menge W (Wertemenge).
Wir schreiben f: D → W.
Wenn die Zuordnung nicht eindeutig ist, dann spricht man von einer Relation R.
Die Funktion kann man darstellen mithilfe einer Tabelle, einer Gleichung oder grafisch im
Koordinatensystem.
Der Graph einer direkten Proportionalitätsfunktion f mit f(x) = k ∙ x ist eine Gerade durch
den Ursprung des Koordinatensystems.
Der Wert des Faktors k entscheidet über die Steigung einer Geraden.
Ist k > 0, dann steigt die Gerade, ist k < 0, dann fällt die Gerade.
Für k = 0 ist die Gerade parallel zur x-Achse.
Je größer der Betrag |k | ist, desto stärker steigt oder fällt die Gerade.
Eine Funktion f: D → R mit f(x) = k ˜ x + d (k, d∊R) nennt man eine lineare Funktion.
Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade mit der Steigung k und dem y-Achsenabschnitt
(Ordinatenabschnitt) d = f(0).
Die Normalform oder explizite Darstellung der Geraden lautet y = k ∙ x + d
Die implizite Darstellung der linearen Funktion lautet: a ∙ x + b ∙ y + c = 0
Der Funktionsgraph der linearen Funktion ist eine Gerade.
Die Steigung k einer Geraden kann mithilfe von zwei Punkten mit den Koordinaten
P(x 1 |y 1 ) und Q(x 2 |y 2 ) als Differenzenquotient berechnet werden:
k = _____ y 2 – y 1
x 2 – x
= __ ∆y
1 ∆x
Man versteht unter einer Nullstelle jenen x-Wert, der eingesetzt in die Funktion f den
Funktionswert null liefert. Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse an der Nullstelle.
Jede lineare Gleichung mit 2 Unbekannten kann als Gleichung einer linearen Funktion (bzw.
einer Geraden) interpretiert werden.
Zwei Geraden können die folgenden Lagebeziehungen zueinander haben:
• Es gibt eine eindeutige Lösung der linearen Gleichung, die durch Gleichsetzen der beiden
Funktionsterme entsteht. Grafische Interpretation: 2 Geraden schneiden einander.
• Es gibt keine Lösung. Grafische Interpretation: 2 Geraden sind parallel zueinander.
• Alle Elemente der Definitionsmenge sind Lösungen. Grafische Interpretation: 2 Geraden
sind ident.
Die Funktion f: D → W mit y = f(x) ordnet jedem x∊D eindeutig ein y∊W zu.
Vertauscht man W mit D und kann jedem y eindeutig ein x zugeordnet werden, so entsteht
die Umkehrfunktion f –1 von f.
Ist die umgekehrte Zuordnung nicht eindeutig, dann spricht man von einer Umkehrrelation.
Besteht zwischen 2 Größen x und y der Zusammenhang y = k ˜ x, dann ist die Größe y direkt
proportional zu x. Der Graph der Funktion f(x) = k ˜ x ist eine Gerade.
Besteht zwischen 2 Größen x und y der Zusammenhang y = k ˜ 1_
x
, dann ist die Größe
y indirekt proportional zu x oder anders ausgedrückt: y ist direkt proportional zum
Kehrwert von x. Der Graph der Funktion f(x) = k · 1_
x
ist keine Gerade.
Funktionale Zusammenhänge
151

Funktionen
Weitere anwendungsorientierte Aufgaben zur Wiederholung
Modellieren von Funktionsgleichungen
ABC
4.129 Eine 40 Zentimeter (cm) große Kerze brennt gleichmäßig ab. Nach 10 Stunden ist sie
noch 27 cm hoch.
a) Stelle die lineare Funktion h(t) auf, die die Höhe der Kerze (in cm) in Abhängigkeit
von der Brenndauer t (in Stunden) beschreibt.
b) Ermittle, wie lang die Kerze maximal brennt.
c) Stelle die Funktion grafisch dar und kennzeichne die gegebenen Werte.
Lösung:
Genau lesen, Bezeichnungen und c)
h(t) in cm
40 Kerze ganz
Einheiten beachten:
30
h(0) = 40; h(10) = 27
nach 10 Stunden
27 – 40
a) d = 40; k = _____
10 – 0 = –1,3
20
h(t) = –1,3t + 40
b) h(t) = 0 ⇒ –1,3t + 40 = 0
t = 30,77 Stunden
10
0
ausgebrannt
t in h
5 10 15 20 25 30 35
ABC
ABC
ABCD
4.130 In einer Kuranstalt werden pro Tag 16 Liter Desinfektionslösung verbraucht. Derzeit
beträgt der Vorrat 450 Liter.
a) Stelle die Funktionsgleichung für die Abnahme des Vorrats in Abhängigkeit von der
Zeit in Tagen auf.
b) Zeichne den Funktionsgraphen und lies ab, wie groß der Vorrat nach 10 Tagen ist.
c) Ermittle, wie lange der Vorrat reicht.
d) Wenn nur mehr 100 Liter vorhanden sind, dann wird eine Nachbestellung gemacht.
Berechne wie viele Tage die Kuranstalt Zeit hat, bis nachbestellt werden muss.
4.131 Die Profiltiefe von Autoreifen nimmt mit der gefahrenen
Strecke gleichmäßig ab. Paul stellt 20 000 km nach dem
Kauf neuer Reifen eine Profiltiefe von 5 mm fest, nach
35 000 km beträgt die Profiltiefe noch 3,5 mm.
a) Ermittle eine lineare Funktion, die die Abnahme
der Profiltiefe beschreibt.
b) Stelle die Abnahme der Profiltiefe grafisch dar.
Lies ab, bei welchem Kilometerstand Paul neue
Reifen kaufen sollte, wenn das bei einer Profiltiefe
von 3 mm empfohlen wird.
c) Berechne, wie viel Kilometer Paul mit dieser Reifengarnitur maximal zurücklegen kann,
wenn die gesetzlich vorgeschriebene Mindestprofiltiefe für Sommerreifen 1,6 mm
beträgt.
4.132 In einem neuen Wellnesshotel sind zur Eröffnung 800 Handtücher für den Saunabereich
vorhanden. Pro Tag verschwinden im Mittel 4 Handtücher.
a) Stelle die Anzahl der Handtücher als Funktion der Zeit t (in Tagen) nach der Eröffnung
dar. Zeichne den Funktionsgraphen.
b) Wenn die Anzahl der Handtücher unter 500 sinkt, wird nachbestellt.
Berechne, wie lang nach der Eröffnung damit zu rechnen ist.
c) Erkläre, warum der Graph durch einzelne Punkte dargestellt werden müsste.
152 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
Bewegungsaufgaben
4.133 Ein Autofahrer fährt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 90 km/h von Graz nach
Linz, das 220 km weit entfernt ist. Eine Viertelstunde später fährt eine Motorradfahrerin
mit einer mittleren Geschwindigkeit von 110 km/h ebenfalls von Graz nach Linz.
a) Berechne, wo und wann sie den Autofahrer einholt.
b) Zeichne ein Weg-Zeit-Diagramm.
Lösung:
a) Auto
Motorrad b) Diagramm
Weg s
123,75
1 = 90 · t 1 s 2 = 110 · t 2
100
I: t 2 = t 1 – 0,25
II: Die beiden Wege sind gleich: 90t 1 = 110t 2
Graz
Umformen: t 2 = __ 9
11 ˜ t 0
8:00 0,25 1
8:15 9:00
1
Beide t 2 -Terme gleichsetzen ⇒ t 1 – 0,25 = __ 9
11 ˜ t 1
Die Gleichung lösen: t 1 = 1,375 h und s 1 = s 2 = 123,75 km von Graz entfernt
4.134 Ein Radfahrer fährt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 12 km/h. Der zurückgelegte
Weg s (in km) abhängig von der Zeit t (in Stunden) lässt sich durch die Funktion
s(t) = 12 · t beschreiben.
a) Zeichne den Graphen der Funktion.
b) Forme die Funktionsgleichung nach t um und erstelle eine Wertetabelle.
c) Zeichne den neuen Graphen in ein neues Koordinatensystem.
Vergleiche diese Funktion mit dem ursprünglichen Graphen.
4.135 Zwei Züge fahren einander entgegen. Die Grafiken zeigen den Verlauf der Fahrten an zwei
verschiedenen Tagen.
500
435
400
300
Geschwindigkeit 90 km/h 110 km/h
s(t) in km
Zeit t 1 t 2
Zug 2
1. Tag
Zug 1
500
435
400
300
s(t) in km
Zug 2
Linz
200
Zug 1
2. Tag
s(t) in km
Motorrad
1,375
9:22:30
Auto
t in h
AB
BD
CD
200
200
100
100
0
t in h
1 2 3 4 4,7 5 6 7
a) Lies die Funktionsgleichungen für die Bewegung beider Züge am 1. Tag aus der Grafik
ab.
b) Argumentiere, welcher Unterschied am 2. Tag gegenüber dem 1. Tag hinsichtlich der
Startzeit, dem Treffpunkt und der einzelnen Geschwindigkeiten auftritt.
0
t in h
1 2 3 4 4,7 5 6 7
Funktionale Zusammenhänge
153

Funktionen
ABC
ABC
AC
ABC
4.136 Die Bremsen eines PKW werden durch gleichmäßiges Verringern der Geschwindigkeit
getestet. Für die Geschwindigkeit v nach einer Bremsdauer t (in Sekunden) gilt:
v(t) = v(0) + a · t mit Anfangsgeschwindigkeit v(0) in m/s, Bremsverzögerung a in m/s 2 .
Die Bremsung beginnt bei v(0) = 20 m/s, die Bremsverzögerung beträgt a = –4 m/s 2 .
a) Berechne, wie lang es dauert, bis das Fahrzeug zum Stillstand kommt.
b) Stelle die Funktion v grafisch dar.
c) Lies die Geschwindigkeit des PKW 2 Sekunden nach Beginn der Bremsung ab.
4.137 Zwei Trabrennfahrer trainieren auf einer 2,3 km
langen Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit.
Der erste Traber erreicht eine Geschwindigkeit von
49 km/h, der zweite Traber ist einer der zurzeit
schnellsten Hengste und hält den Kilometerrekord
von einer Minute und 10,2 Sekunden.
a) Stelle die Funktionen beider Traber auf.
b) Zeichne die Funktionsgraphen für beide Traber.
c) Ermittle (aus der Grafik ungefähr sowie durch genaue Berechnung), welchen
Vorsprung der schnellere Traber in der ersten Runde erreicht.
4.138 Die Bahnhöfe A, B und C liegen auf einer
Zugstrecke, wobei B zwischen A und C liegt.
Ein Inter-City-Express (ICE) und ein
Regionalexpress (REX) fahren auf dieser Strecke.
Diese Situation wird in der grafischen
Darstellung veranschaulicht.
a) Interpretiere die Grafik hinsichtlich der
folgenden Fragestellungen:
Wie groß ist die Differenz der Abfahrtszeiten
beider Züge?
Wie weit ist der Bahnhof B von A entfernt?
Wie groß sind die mittleren Geschwindigkeiten
der beiden Züge?
Wann und in welcher Entfernung von B überholt der ICE den REX?
Um wie viel später trifft der Regionalexpress in C ein?
b) Stelle die Funktionsgleichungen für beide Züge auf.
4.139 Franz und Hans bewegen sich von zu Hause zum
100 m entfernten Gasthof „Zur alten Post“.
Hans hat einen Vorsprung von 75 m und geht
langsam mit 1,5 m/s.
Franz läuft, um Hans einzuholen, und hat eine
konstante Geschwindigkeit von 9 m/s.
a) Stelle Funktionsgleichungen für den Weg s
abhängig von der Zeit t für beide auf.
b) Zeichne die beiden Funktionen, wenn Franz nach dem Einholen mit Hans zusammen
weitergeht.
c) Lies ab, wann Franz den Hans einholt.
d) Berechne, wie lange Franz für den gesamten Weg braucht.
400
350
300
250
200
150
100
50
0
s(t) in km
ICE
REX
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
t in h
154 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
Aufgaben aus dem Finanz- und Wirtschaftsbereich
4.140 Die Gesamtkostenfunktion in Euro (€) für die Herstellung eines Produkts in
Abhängigkeit von der Produktionsmenge in ME lautet: K(x) = 9,6x + 84 000.
Aktuell werden 16 000 Stück des Produkts hergestellt.
a) Berechne für diese Stückzahl den Verkaufspreis am Break-Even-Point (BEP).
b) Stelle für diesen Stückpreis die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion grafisch in einem
passend gewählten Koordinatensystem dar.
c) Argumentiere, wie sich die Kurven verändern, wenn der Stückpreis höher angesetzt
wird.
Lösung.
E(x), K(x), G(x) in
400000
a) Am BEP gilt: G = 0 ⇒ p ˜ x = K b)
E
Die Gesamtkosten aller 16 000 Stück
K
300000
betragen 237.600 € bei p = 14,85 €/Stück.
c) Bei einem höheren Stückpreis steigt der Erlös. 200000
Der BEP wird nach kleineren Mengen hin
verschoben und der Gewinn wird insgesamt
höher.
100000
G
0
16 000
x in Stück
5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000
ABD
4.141 Die Firma City-Plan druckt U-Bahnpläne und hat monatliche Fixkosten von 50.000 €.
Im Monat können maximal 40 000 U-Bahnpläne erzeugt werden (Kapazitätsgrenze).
Die variablen Kosten betragen 4 € pro Plan. Jeder Plan wird um 6 € verkauft.
a) Gib die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion an und stelle diese grafisch dar.
b) Berechne, ab welcher Produktionsmenge der Betrieb kostendeckend arbeitet.
c) Erkläre, wie der Schnittpunkt der Kosten- und Erlösfunktion mit dem BEP
zusammenhängt.
4.142 Die Preisfunktion einer Unternehmerin für das Angebot ihres Produkts lautet:
p A (x) = 50 + 0,2x.
x ... angebotene Menge in ME
p A (x) ... Angebotspreis für x ME des Produkts in GE/ME
a) Gib die Umkehrfunktion x(p A ) an.
b) Beschreibe in eigenen Worten, welchen Zusammenhang diese Umkehrfunktion angibt.
c) Berechne den Marktpreis bei einer Nachfragefunktion von x(p N ) = –10p N + 800.
d) Erkläre, wie die Unternehmnerin den Gewinn bei Verkauf zum Marktpreis bestimmen
kann.
Lösung:
a) x(p A ) = _____ p A – 50
0,2 = 5p A – 250
b) Die Menge, die angeboten ist, hängt vom Angebotspreis ab. Die Unternehmerin setzt
einen höheren Preis pro ME an, wenn sie mehr anbieten soll.
c) 5p G – 250 = –10p G + 800 ⇒ p G = 70 GE/ME. Der Marktpreis beträgt 70 GE/ME.
d) Die Erlösfunktion erhält man mit E(x) = p G ˜ x.
G(x) = E(x) – K(x) dh., erst wenn die Unternehmerin die Gleichung für die
Gesamtkosten in Abhängigkeit von der produzierten Menge kennt, kann der Gewinn
berechnet werden.
ABCD
ABCD
Funktionale Zusammenhänge
155

Funktionen
ABC
BC
4.143 Die Nachfragefunktion für x verkaufte Eprouvetten kann durch
die Gleichung x(p N ) = 500 – a 1 · p N beschrieben werden, wobei
p N der Preis einer Eprouvette ist.
Der Höchstpreis liegt bei einem Stückpreis von 2,50 €.
Bei einer Nachfrage von 140 Stück bezahlt man 70 € insgesamt.
a) Berechne den Koeffizienten a 1 .
b) Gib die Gleichung der Umkehrfunktion p N (x) an und stelle
sie grafisch dar.
Lies die Sättigungsmenge aus der Grafik ab.
4.144 Es werden x Gläser verkauft. Der Preis pro Glas ist von der Nachfragemenge abhängig und
kann mit der folgenden Funktion beschrieben werden:
p N (x) = 24 – 0,016x, x ... Absatzmenge in Stück
p N (x) ... Preis bei einer Absatzmenge x in Euro pro Stück (€/Stück)
a) Berechne die Gleichung der Nachfragefunktion.
b) Stelle beide Funktionen grafisch dar.
Lies die Sättigungsmenge und den Höchstpreis ab.
ABC
ABD
ABC
Vermischte Aufgaben
4.145 Ein 120 cm hohes Aquarium wird gleichmäßig mit Wasser bis 20 cm unter den Rand
gefüllt. Die jeweilige Wasserstandshöhe h (in cm) in Abhängigkeit von der Zeit t (in
Minuten) nach Beginn der Füllung lässt sich durch die Funktion h(t) = 3 · t + 10
berechnen.
a) Gib die Gleichung t(h) der Umkehrfunktion an. Erkläre, was sie aussagt.
b) Zeichne den Graphen der Umkehrfunktion t und den Graphen der Funktion h.
Vergleiche beide Funktionsgraphen miteinander.
c) Zeige durch eine passende Rechnung, dass der Schnittpunkt beider Funktionsgraphen
auf der 1. Mediane liegt.
4.146 Bei Rechtecken mit der Seitenlänge a = 10 cm lässt sich durch Angabe der Seite b der
Flächeninhalt eindeutig ermitteln.
a) Gib die Funktionsgleichung an, die der Seite b eines Rechtecks den Flächeninhalt A
zuordnet.
b) Zeichne den Graphen.
c) Forme die Funktionsgleichung nach b um.
d) Zeichne den neuen Graphen in ein Koordinatensystem. Begründe, warum es nicht
sinnvoll ist, dasselbe Koordinatensystem zu verwenden.
e) Beurteile, ob die Umkehrung eine Funktion ergibt.
Wenn ja, gib den Funktionstyp an.
f) Vergleiche den Graphen der ursprünglichen Funktion mit
dem neuen Graphen. Beschreibe die Unterschiede bzw. die
Gemeinsamkeiten.
4.147 Rosanna tankt ihr Auto vor einer längeren Fahrt voll. Der Tank
fasst 40 l. Das Auto verbraucht bei ihrem Fahrstil
durchschnittlich 5,8 Liter (l) Benzin pro 100 Kilometer (km).
a) Stelle die Funktionsgleichung für die Benzinmenge im Tank in
Abhängigkeit von der gefahrenen Strecke dar.
b) Lies die Nullstelle ab. Interpretiere sie im Sachzusammenhang.
156 Funktionale Zusammenhänge

Funktionen
Wissens-Check
gelöst
Du kannst erklären, was eine Funktion ist und kannst sie grafisch und mit
einer Gleichung darstellen. Kreuze die richtige Menge an, die eine Funktion
darstellt. Begründe deine Auswahl.
1
2
3
A {(1|2), (1|–2), (2|4), (2|–4)}
B {(1|2), (1|0,5), (2|4), (2|0,25)}
C {(1|2), (2|2), (3|2), (4|2)}
D {(2|2), (2|–2), (2|3), (2|–3)}
Du kennst die Definitionsmenge und die Wertemenge einer Funktion. Kreuze
die richtige Definitionsmenge für die Funktion f: f(x) = 0,5x – 3 an, die die
Wertemenge W = {–3, –2, –1} ergibt. Begründe deine Auswahl.
A D = {0, 1, 2} B D = {–3, –2, –1}
C D = {0, 2, 4} D D = {1, 3, 5}
Du kennst die Bedeutung der Parameter k und d einer linearen Funktion.
Kreuze die richtige Aussage an. Begründe deine Auswahl.
Die Graphen zweier linearer Funktionen sind parallel, wenn ...
A d gleich ist. B k gleich ist.
C d und k gleich sind. D d null ist.
Kreuze die richtige Aussage für die Geraden y 1 = 0,25x – 1 und y 2 = 0,5x – 1
an. Begründe deine Auswahl.
4
A
B
C
D
y 1 hat den größeren Steigungswinkel.
y 1 und y 2 schneiden die y-Achse an derselben Stelle.
y 1 und y 2 schneiden die x-Achse an derselben Stelle.
Eine der beiden Geraden ist parallel zur x-Achse.
Du kannst lineare Funktionen grafisch darstellen und kannst die Achsenabschnitte
und die Nullstelle ablesen. Kreuze die zwei richtigen Aussagen zur
Funktion f: f(x) = 5x – 2,5 an und begründe deine Auswahl.
5
6
A Die Nullstelle wird berechnet mit 5x – 2,5 = x
B Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird berechnet mit 5x – 2,5 = x
C Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird berechnet mit f(x) = 0
D Die Nullstelle liegt bei x = 0,5
Der Punkt P(3|y p ) liegt auf einer Geraden durch die Punkte A(1|3) und
B(5|–1). Kreuze das richtige Ergebnis für y p an. Erkläre, wie man zu diesem
Ergebnis kommt.
A –1 B 4
C –4 D 1
Funktionale Zusammenhänge
157

Funktionen
gelöst
7
8
Kreuze zu den Begriffen „direkt und indirekt proportional“ die richtige
Aussage an und begründe deine Auswahl.
Wenn die eine Größe mehr wird, so wird auch die andere Größe mehr und
wenn die eine Größe weniger wird, so wird auch die andere Größe weniger.
A
B
C
D
Die Größen sind in diesem Fall immer direkt proportional.
Die Größen können direkt proportional sein.
Die Größen sind ohne Ausnahme indirekt proportional.
Die beiden Größen sind möglicherweise indirekt proportional.
Du kannst den Schnittpunkt der Graphen von 2 linearen Funktionen grafisch
und rechnerisch bestimmen. Kreuze die richtige Lösung an und begründe,
warum die anderen nicht in Frage kommen.
g 1 : y = 3x – 1 und g 2 : 2x – y = 4 haben den folgenden Schnittpunkt:
A (3, 10) B (5, 14)
C (–0,6|–2,8) D (–3|–10)
Kreuze an, welche beiden Funktionsgraphen einen eindeutigen Schnittpunkt
haben. Begründe, warum die anderen nicht in Frage kommen.
9
A 2x + 3y = 0 und –x + 3y = 4
B y = –6x + 2 und y = –6x + 4
C 12x + 2y = 10 und –6x – y + 5 = 0
Kreuze an, welche der folgenden Aussagen falsch ist, und erkläre, warum die
anderen richtig sind.
10
A
B
C
D
Es existieren lineare Funktionen, die keine Nullstelle haben.
Es existiert eine lineare Funktion, deren Umkehrung zur gleichen
Funktion führt.
Der Graph der Umkehrfunktion ist eine Spiegelung des
Funktionsgraphen an der Achse y = x.
Der Graph der Umkehrfunktion ist eine Spiegelung des
Funktionsgraphen an der Achse y = –x.
Kreuze an, welche der folgenden Aussagen richtig ist, und erkläre, warum die
anderen falsch sind. Ein Joghurt enthält 5 mg Kalzium pro 100 g. Der Becher
hat eine Füllmenge von 68 g.
11
A
B
C
D
Beim Verzehr des Joghurts nimmt man 0,0034 g Kalzium zu sich.
Beim Verzehr des Joghurts nimmt man 5 mg Kalzium zu sich.
Beim Verzehr des Joghurts nimmt man 34 mg Kalzium zu sich.
Beim Verzehr des Joghurts nimmt man 134 mg Kalzium zu sich.
Lösung:
1) C 2) C 3) B 4) B 5) C, D 6) D 7) B 8) D 9) A 10) D 11) A
158 Funktionale Zusammenhänge