Blatt 8: Drallsatz - Institut für Angewandte und Experimentelle ...

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Blatt 8: Drallsatz - Institut für Angewandte und Experimentelle ...

Institut für Angewandte

und Experimentelle Mechanik

Technische Mechanik III

(aer, ee) ZÜ 8.1

Aufgabe 8.1

SR

B

ω

Bei einer Wirbelstrombremse wird das Schwungrad SR (Masse m,

Radius r) durch einen Bremsmagnet B verzögert. Das hierbei wirkende

Bremsmoment M B ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit

(M B = kω). In der Lagerung wirkt zusätzlich ein konstantes Reibmoment

M R .

a) Stellen Sie den Drallsatz für die Wirbelstrombremse auf.

b) Bestimmen Sie ω(t) für den Fall, dass ω(t = 0)=ω 0 ist.

c) Nach welcher Zeit t ∗ kommt das Rad zum Stehen?

Aufgabe 8.2

Eine homogene Walze (Masse m, Radius r) wird zum Zeitpunkt t = 0 mit der translatorischen

Geschwindigkeit v 0 auf eine raue waagrechte Ebene (Gleitreibungskoeffizient µ) aufgesetzt. Vor

dem Aufsetzen dreht sich die Walze nicht. In Folge der Gleitreibung fängt die Walze an, sich zu

drehen.

a) Wie lange dauert es, bis ihre Drehgeschwindigkeit so groß geworden ist, dass sie von da an

ohne Gleiten weiterrollt?

b) Welche Strecke hat ihr Schwerpunkt bis dahin zurückgelegt?

Aufgabe 8.3

Eine Vollwalze W (Masse m 1 , Durchmesser d) rollt auf einer schiefen Ebene ohne Gleiten

nach unten und wird dabei an ihrer Oberseite durch ein homogenes Brett B (Masse m 2 ,

Länge L) gebremst, das parallel zur schiefen Ebene verläuft und an seinem oberen Ende gelenkig

gelagert ist. Haft- und Gleitreibungskoeffizient zwischen Brett und Walze seien µ 0 und µ.

g

L

x 0

a) Welche Entfernung x 0 muss der Berührpunkt

der Walze vom Lager des Brettes haben, damit

aus der Ruhe heraus gerade eine Bewegung

beginnen kann?

B

α

d

x

W

b) Welche Neigung α muss mindestens vorhanden

sein, wenn das nach a) zu errechnende

x 0 < L sein soll?

c) Welche Geschwindigkeit ¯v hat der Schwerpunkt

der Walze am unteren Ende des

Bretts, wenn die Walze bei x 0 wie in

a) berechnet die Bewegung ohne (merkliche)

Anfangsgeschwindigkeit begonnen hat?

Drücken Sie das Ergebnis in µ 0 ,µ,α,L und

m 2

m 1

aus.


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und Experimentelle Mechanik

Technische Mechanik III

(aer, ee) ZÜ 8.2

Lösung zur Aufgabe 8.1

a) Der Drallsatz für eine ebene Scheibenbewegung

bezüglich des Körperschwerpunkts S

lautet allgemein:

M B

M R

S

r

Θ (S) ,m

In diesem Fall (Θ (S) z.B. aus Formelsammlung):

ϕ,ω

Θ (S) ˙ω = ∑ k

M S k

Θ (S) ˙ω = −M B − M R

1

2 m r2 ˙ω = −k ω − M R

1 dω

m r2 = −k ω − M R (1)

2 dt

b) Ausgehend von Gln. (1) erhält man durch Trennung der Variablen:

m r 2

2k

m r 2

2k

(

m r 2

2k ln [ (

ln ω + M )

R

− ln

k

m r 2

dω = −dt

2 (k ω + M R )

∫ ω

∫ t

d˜ω = −

˜ω + M R

ω 0

1

k

˜ω + M ) ∣∣∣ ω

R

k ˜ω=ω 0

(

ω 0 + M )]

R

k

( )

w +

M R

ln k

ω 0 + M R

k

w + M R

k

ω 0 + M R

k

= −t

= −t

0

d˜t

= − 2k

m r 2 t

= e − 2 k

m r 2 t

ω(t) = − M (

R

k + ω 0 + M R

k

)

e − 2 k

m r 2 t (2)


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und Experimentelle Mechanik

Technische Mechanik III

(aer, ee) ZÜ 8.3

c) Mit der in Gleichung (2) berechneten Winkelgeschwindigkeit ω(t) ergibt sich:

ω (t ∗ !

) = 0

− M (

R

k + ω 0 + M )

R

e − 2 k

m r

k

2 t∗ = 0

M R

e − 2 k

m r 2 t∗ =

ω o k + M R

t ∗ = m ( )

r2

2k ln ωo k + M R

M R

Lösung zur Aufgabe 8.2

S

v

ω

a) In vertikaler Richtung findet keine Bewegung statt. Der Impulssatz

in vertikaler Richtung führt daher auf die statische

Gleichgewichtsbedingung. Das Kräftegleichgewicht liefert:

mg

N = mg (1)

N

R

Der Impulssatz in horizontaler Richtung lautet:

m dv

dt

= −R

Gleitreib.

= −µ N (1)

= −µ mg (2)

Die Symmetrieachse des Zylinders behält bei der Bewegung ihre Richtung bei. Für eine

solche ebene Bewegung gilt der Drallsatz bezüglich des Schwerpunktes in der Form:

Θ (S) ˙ω = ∑ k

M S k (3)

Hinweis: Da zunächst zwischen der Walze und der Ebene ein Schlupf auftritt, ist der Auflagepunkt

in diesem Fall kein Momentanpol.

Aus Gleichung (3) folgt mit Θ (S) = 1 2 m r2 , der Gleitreibungsbeziehung und (1):

Θ (S) ˙ω = r R =⇒

1

2 m r2dω dt = r µ mg =⇒ 1

2 rdω dt = µ g (4)

Gleichungen (2) und (4) gelten, solange das Rad rutscht. Mit den Anfangsbedingungen

v(t = 0) = v 0 und ω(t = 0) = 0 folgt:

aus (2) :

aus (4) :

∫ v

ṽ=v 0

dṽ

∫ω

1

2 r

˜ω=0

= −µg

d˜ω = µ g

∫ t

˜t=0

∫ t

˜t=0

d˜t ⇒ v = v 0 − µgt (5)

d˜t ⇒ ω = 2 µg

r t (6)


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Technische Mechanik III

(aer, ee) ZÜ 8.4

Zum Zeitpunkt t = T , in dem die Bewegung in reines Rollen übergeht, gilt v = ωr (der

Auflagepunkt ist nun Momentanpol) und somit folgt aus (5) und (6):

v 0 − µgT = 2µg

r T r =⇒ T = v 0

3µ g

(7)

b) Der zurückgelegte Weg s T ergibt sich aus (5) durch Integration:

∫ s T

v = ds

dt = v 0 − µgt ; mit s(t = 0) = 0

∫ T

⇒ ds = (v 0 − µgt) dt

0

0

s T = v 0 T − 1 2 µg T 2

mit (7) s T = v2 0

3µg − µ g v2 0

18µ 2 g 2 = 5 18

v 2 0

µ g

Lösung zur Aufgabe 8.3

S

K

S

α

K

d

m 2 g

m 1 g

MP

x 0

L

2

P

ω

R

N

P y

P x

a) Damit Walze und Brett im statischen Gleichgewicht sind,

muss gelten (MP: Momentalpol):

Brett:

Walze:


k

M P k

!

= 0

−Kx 0 + m 2 g cos α · L

2 = 0


k

M MP

k

K = m 2 g cos α ·

!

= 0

−Sd + m 1 g sin α · d

2 = 0

L

2x 0(1)

S = 1 2 m 1 g sin α (2)

Im Fall des Haftens gilt |S| ≤ µ 0 K und damit für den Grenzfall des Gleichgewichts:

S = µ 0 K (3)


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Technische Mechanik III

(aer, ee) ZÜ 8.5

Einsetzen von (1) und (2) in (3) liefert:

1

2 m 1 g sin α = µ 0 m 2 g cos α ·

x 0 = m 2 µ 0 L

m 1 tanα

L

2x 0

(4)

b) Für x 0 < L gilt mit (4):

m 2 µ 0 L

m 1 tanα < L

tanα > µ 0

m 2

m 1

α > arctan

( )

m 2

µ 0

m 1

c) Im Allgemeinen wird der Impuls- und Drallsatz eines Körpers bezüglich seines Schwerpunktes

aufgestellt. Für die homogene abrollende Walze kann aber auch der Drallsatz bezüglich des

Momentanpols aufgestellt werden.

Der Drallsatz für die Walze bezüglich des Momentanpols MP liefert:

Θ (MP) ˙ω = 1 2 dm 1 g sin α − S d (5)

Massenträgheitsmoment: Θ (MP) = 1 2 m 1

( d

2

) 2

+ m 1

( d

2) 2

} {{ }

Steineranteil

Θ (MP) = 3 8 m 1 d 2 (6)


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und Experimentelle Mechanik

Technische Mechanik III

(aer, ee) ZÜ 8.6

Außerdem gilt die kinematische Beziehung

ẋ = d 2 ω ⇒ ˙ω = 2 dẍ , (7)

wobei ẋ die Geschwindigkeit des Schwerpunktes ist.

Zwischen Walze und Brett tritt Gleitreibung auf:

S = µ K (8)

Einsetzen von (1) für beliebiges x in (8) liefert die Reibkraft S:

S = µ L 2x m 2g cos α (9)

Einsetzen von (6), (7) und (9) in (5) liefert:

3

8 m 1 d 2 2 dẍ = 1 2 dm 1 g sin α − µ L 2x m 2g cos α · d

2

∣ ·

m 1 g d

3

2gẍ = sinα − µLm 2

m 1

cos α · 1

x

(10)

Gleichung (10) ist eine Differentialgleichung, die mit Hilfe der Beziehung ẍ = v dv

dx durch

Trennung der Variablen (Separation) und Integration gelöst werden kann:

∫ v

0

ṽ dṽ = 2g 3

1

2 ṽ2 ∣ ∣∣

v

ṽ=0

= 2g 3

∫ L (

sin α − µL m 2

cos α · 1 )

dx

m 1 x

x 0

[

sin α · x − µL m 2

m 1

cos α · ln x] L

x=x 0

v 2 = 4 3 g [

sin α · (L − x 0 ) − µL m 2

m 1

cos α · ln L x 0

]

Durch Einsetzen von x 0 aus (4) erhält man:

v 2 = 4 [(

)

3 gL m 2

sin α − µ 0 cos α

m 1

+ µ m 2

m 1

cos α · ln

( )]

m 2 1

µ 0

m 1 tanα

Damit ist die gesuchte Geschwindigkeit:


v = (−) +

2

gL

3

[(

)

m 2

sin α − µ 0 cosα + µ m ( )]

2 m 2

cos α · ln µ 0 cot α

m 1 m 1 m 1

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