Blatt 6: Gleichgewicht 3D, Fachwerk - Institut für Angewandte und ...

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Blatt 6: Gleichgewicht 3D, Fachwerk - Institut für Angewandte und ...

Institut für Angewandte

und Experimentelle Mechanik

Technische Mechanik I

ZÜ 6.1

Aufgabe 6.1

C

b

z

B

h

g

Eine in A und B gelagerte Tür (homogen, Masse m) soll

durch einen masselosen Stab CD gesichert werden. Das Lager

B kann nur horizontale Kräfte aufnehmen, während

A auch Vertikalkräfte in negativer z-Richtung aufnehmen

kann. An den Kontaktstellen C und D sollen keine Momente

übertragen werden. Die Tür wird durch eine Kraft F in

y-Richtung belastet.

x

F

m

A

D

a

y

a) Berechnen Sie die Komponenten der Lagerkraft in C.

b) Wie groß ist die Vertikalkomponente der Lagerkraft

in A?

c) Wie groß darf F höchstens sein, damit die Tür nicht

angehoben wird?

Aufgabe 6.2

Fachwerk I

2 6

5

1 3

4

Fachwerk II

2 6

5

1 3

4

10 14 F

9 13 17

7 11 15

8 12 16

F

10 14

9 13 17

7 11 15

8 12 16

Gegeben sind die beiden Fachwerke I und

II, die durch die äußere Kraft F belastet

werden. Alle Stäbe besitzen die Länge a.

a) Geben Sie, soweit vorhanden, alle

Nullstäbe beider Fachwerke an.

b) Bestimmen Sie für das Fachwerk II

die Stabkraft F 8 im Stab 8 mit Hilfe

desRitter’schenSchnittverfahrens.Dabei

sollen Zugkräfte positiv dargestellt

werden.


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und Experimentelle Mechanik

Technische Mechanik I

ZÜ 6.2

Lösung zur Aufgabe 6.1

a) Berechnung der Komponenten der Kraft C ⃗

1. Freischneiden der Körper

2. Einzeichnen der äußeren Kräfte und Momente

3. Koordinatensystem einführen

Der Stab CD ist masselos, es greifen keine äußeren Kräfte an. Es werden also nur Kräfte in

Stangenrichtung übertragen.

z C

B y

B x

C

mg

A y

A z

A x

F

x

y

D = C

Die Kraft C ⃗ wirkt auf die Tür in Stangenrichtung. Die Richtung des Vektors C ⃗ ergibt sich

aus der Geometrie der Konstruktion, der Betrag aus den Gleichgewichtsbedingungen.

Um den Einheitsvektor ⃗e C zu erhalten, der die Richtung von C ⃗ angibt, wird der Vektor −→ DC

von D nach C aufgestellt und normiert:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤

b 0

⃗r C = ⎣0⎦; ⃗r D = ⎣a⎦ ⇒ −→ DC =⃗r C −⃗r D = ⎣

h 0

b

−a

h

⎦ (1)

⃗e C =

⎡ ⎤

b

1

√ ⎣−a⎦ (2)

a2 +b 2 +h 2 h

Die Kraft C ⃗ lässt sich also schreiben als

⎡ ⎤

b

C

⃗C = C ·⃗e C = √ ⎣−a⎦ (3)

a2 +b 2 +h 2 h


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Technische Mechanik I

ZÜ 6.3

wobei der Wert von C noch unbekannt ist.

4. Gleichgewichtsbedingungen:

Für die freigeschnittene Tür lauten die 6 Gleichgewichtsbedingungen:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

∑ A x b B

⃗Fi = 0 : ⎣

C

x 0 0 0

A y

⎦+ √ ⎣−a⎦+

⎣B y

⎦+ ⎣F⎦+

⎣ 0 ⎦ = ⎣0⎦, (4)

A a2 +b 2 +h 2

z h 0 0 −mg 0

∑ ⃗M (A) = 0 :

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

0 A x 0 B x b b

⎣0⎦×

⎣A y

⎦+ ⎣0⎦×

⎣B y

⎦+ ⎣

C

0⎦×

√ ⎣−a⎦+


0 A z h 0 h a2 +b 2 +h 2 h

b

2

0

h

2



⎦× ⎣

0

0

−mg

Es liegen also 6 Gleichungen für die 6 Unbekannten A x , A y , A z , B x , B y , C vor.

5. Auswertung:

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

b 0 0

⎦+ ⎣0⎦×

⎣F⎦ = ⎣0⎦.

0 0 0

UmdiegesuchteGrößeC zuerhalten,genügtbeispielsweisedieAuswertungderz-Komponente

von (5), hierin sind die anderen Unbekannten nicht enthalten:


C

√ ·(−a)+b·F = 0 (6)

a2 +b 2 +h2 (5)

⇒ C = F a√

a2 +b 2 +h 2 . (7)

Die gesuchte Kraft C ⃗ erhält man durch einsetzen in (3):

⎡ ⎤

⃗C = F ⎣

b

a

−1

h

a

⎦ . (8)

b) Berechnung der Vertikalkomponente A z der Kraft ⃗ A

Aus der z-Komponente von (4) folgt:

A z = mg −

C


a2 +b 2 +h 2h = mg − h a F . (9)


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Technische Mechanik I

ZÜ 6.4

c) Bestimmung von F max , so dass die Tür nicht angehoben wird

Das Lager im Punkt A kann nur Vertikalkräfte in negativer z-Richtung aufnehmen, die

Reaktionskraft A z muss also in die positive z-Richtung zeigen (wie im Freikörperbild eingezeichnet).

Ist dies nicht der Fall, so wird die Türe angehoben.

Die Bedingung, dass die Türe nicht angehoben wird, lautet also

A z ≥ 0

mg − h a F ≥ 0

F ≤ a h mg = F max .


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Technische Mechanik I

ZÜ 6.5

Lösung zur Aufgabe 6.2

a) Fachwerk I:NachdererstenRegelfürNullstäbe( ”

SindaneinemunbelastetemKnotenzwei

Stäbe angeschlossen, die nicht in gleicher Richtung liegen, so sind beide Stäbe Nullstäbe.“)

sind die Stäbe 1 und 2 Nullstäbe.

Fachwerk II: Das Fachwerk II besitzt keine Nullstäbe.

F

A x

A y

b) Gleichgewichtsbedingungen am

freigeschnittenen Gesamtkörper

liefern die Auflagerreaktionen:

B y


Fx ≡ 0 = A x (1)


Fy ≡ 0 = A y +B y −F (2)


M

(A)

z ≡ 0 = −2aF + 9a 2 B y (3)

aus (3):

B y = 4 9 F

B y in (2):

A y = 5 9 F

Zur Verwendung des Ritter’schen Schnittverfahrens werden zweckmäßigerweise die Stäbe 8

bis 10 geschnitten.

Das Moment bezüglich des Punktes O (Angriffspunkt der Kraft F ) liefert:


M

(O)

z : −2aA y +


3

2 aF 8 = 0

F

mit A y : F 8 = 5 9 F 2a √ 2

A x O F 10

3a

F

A 9

y

F 8 = 20

F 8

9 √ 3 F

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