Blatt 2 - Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik

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Blatt 2 - Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik

Institut für Angewandte

und Experimentelle Mechanik

Technische Mechanik I

ZÜ 2.1

Aufgabe 2.1

a

⃗F 4 a

O

a

⃗F 1

⃗F 3

z

y

x

⃗ F2

In den Kanten einer gleichseitigen Pyramide wirken

4 Kräfte gemäß nebenstehender Skizze. Für

die Beträge der Kräfte gilt:

F 1 = F 3 = F 4 = F , F 2 = 2F

a) Geben Sie die Komponenten der Kräfte im

x,y,z-Koordinatensystem an.

b) Berechnen Sie die resultierende Kraft und

das Moment bezüglich des Punktes O.

Aufgabe 2.2

z

C

⃗F A

In den Punkten A(0, 3a, a) und B(2a, a, −a)

greifen die Kräfte

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1

1

⃗F A = ⎝ 2 ⎠F und FB ⃗ = ⎝ 3 ⎠F an.

3

k

x

a

a

B

O

a

⃗F B

A

y

a) Berechnen Sie die resultierende Kraft als

Funktion des Parameters k.

b) Bestimmen Sie den resultierenden Momentenvektor

⃗ M

(O)

bezüglich des Ursprungs O

als Funktion der Parameter a, k.

c) Bestimmen Sie den resultierenden Momentenvektor

M ⃗ (C)

bezüglich des Punktes

C(0,0,3a) alsFunktionderParameter a, k.

Aufgabe 2.3

⃗F

Eine ebene Scheibe in Form eines gleichseitigen Dreiecks

wird durch eine Kraft ⃗ F beansprucht, die an der

Mitte einer Seite angreift.

Zerlegen Sie die Kraft in drei Teilkräfte, die an den

Kanten des Dreiecks angreifen und deren Wirkungslinien

in Richtung der Kanten zeigen. Die Beträge der

Teilkräfte sind so zu bestimmen, dass deren Wirkung

äquivalent zur Kraft ⃗ F ist.

Führen Sie dazu ein Koordinatensystem ein.


Institut für Angewandte

und Experimentelle Mechanik

Technische Mechanik I

ZÜ 2.2

Lösung zur Aufgabe 2.1

⃗F 4

B

C

⎡ ⃗F 1


⃗r A = ⎣

E

⃗F 3 A

z

y

x

⃗ F2

− a 2

a

2

0



⎦ ⃗r B =




D

− a 2

− a 2

0


a) Zur Bestimmung der Kräftevektoren werden

zunächst die Eckpunkte der Pyramide

im Koordinatensystem O angegeben. Dabei

werden die Eckpunkte wie in nebenstehender

Skizze bezeichnet. Die Höhe der Pyramide

kann durch zweifache Anwendung des

SatzesvonPythagoraszuh = √ 1

2

aberechnet

werden. Die Punktkoordinaten ergeben sich

damit zu:


⎦ ⃗r C =




a

2

− a 2

0



⎦ ⃗r D =




a

2

a

2

0



⎦ ⃗r E =




0

0

√1

2

a




Die Kraft F ⃗ 1 zeigt nun in Richtung der Pyramidenkante EC. Vektoriell kann diese Kante

durch⃗r C −⃗r E beschriebenwerden.DaderKraftvektordenBetragF besitzt,dieKantejedoch

dieLängeaergibtsichfürdenKraftvektor F ⃗ 1 = F(⃗r a C−⃗r E ).DieübrigenKraftvektorenlassen

sich ebenso berechnen und ergeben sich durch Einsetzen der Punktkoordinaten zu:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

F

F

2

0

2

−F

⎢ ⃗F 1 = ⎣ − F ⎥

2 ⎦ , F2 ⃗ ⎢ ⎥

= ⎣ 2F ⎦ , F3 ⃗ ⎢

= ⎣ − F ⎥

2 ⎦ , ⃗ ⎢ ⎥

F4 = ⎣ 0 ⎦

−√ F 2

0

F√

2

0

b) Die resultierende Kraft ist gegeben durch


0

4∑

⃗F = ⃗F i = F ⃗ 1 + F ⃗ 2 + F ⃗ 3 + F ⃗ ⎢

4 = ⎣ F

i=1

0

und das Moment bezüglich O durch

⃗M (O) =

Anmerkung

4∑

⃗r i × F ⃗ i =⃗r C × F ⃗ 1 +⃗r C × F ⃗ 2 +⃗r A × F ⃗ 3 +⃗r B × F ⃗ 4

i=1





(

=⃗r C × ⃗F1 + F ⃗ )

2 +⃗r A × F ⃗ 3 +⃗r B × F ⃗ ⎢

4 = aF ⎣

In dieser Aufgabe wird nur in einem Koordinatensystem gerechnet. Aus diesem Grund wird

bei der Berechnung der Vektoren die verkürzte Schreibweise verwendet, bei der die Basisvektoren

bzw. das Koordinatensystem nicht explizit angegeben werden.


2

2


2

2

1

2




Institut für Angewandte

und Experimentelle Mechanik

Technische Mechanik I

ZÜ 2.3

Lösung zur Aufgabe 2.2

a) resultierende Kraft:

⃗F res = ∑ i

⃗F i =




1

2

3



⎟ ⎜

⎠F + ⎝

1

3

k



⎟ ⎜

⎠F = ⎝

2

5

k +3



⎠F

b) resultierendes Moment bzgl. O:

⃗M (O) = ∑ i


=

=






⃗r i ×⃗a i =⃗r A × ⃗ F A +⃗r B × ⃗ F B

0

3a

a



⎟ ⎜

⎠× ⎝

10+k

−2k

2


1

2

3


⎠aF


c) resultierendes Moment bzgl. C:


⎟ ⎜

⎠F + ⎝

allgemein:

⃗M (P) = ⃗r PO ×⃗a+ ⃗ M (O)

⃗M (C) = ⃗r CO × F ⃗ res + M

⎛ ⎞ ⎛

⃗ (O)

0 2

⎜ ⎟ ⎜

= ⎝ 0 ⎠× ⎝ 5

−3a k +3

⎛ ⎞

=



25+k

−6−2k

alternativer Lösungsweg:

⃗M (C) = ∑ i


=

=






2


⎠aF

2a

a

−a




⎟ ⎜

⎠× ⎝


⎠F +

⃗r i ×⃗a i =⃗r CA × ⃗ F A +⃗r CB × ⃗ F B

0

3a

−2a


25+k

−6−2k

2


⎟ ⎜

⎠× ⎝


1

2

3


⎠aF



⎟ ⎜

⎠F + ⎝

2a

a

−4a





1

3

k



⎟ ⎜

⎠F = ⎝

10+k

−2k


⎟ ⎜

⎠× ⎝

2

1

3

k



7

1

−3


⎟ ⎜

⎠aF = ⎝


⎟ ⎜

⎠F = ⎝


⎟ ⎜

⎠aF + ⎝


13

−2

−3

15

−6

0



k +3

−1−2k

5


⎟ ⎜

⎠aF + ⎝


⎟ ⎜

⎠aF + ⎝



⎠aF

10+k

−2k

2

k +12

−4−2k

5



⎠aF



⎠aF


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Technische Mechanik I

ZÜ 2.4

Lösung zur Aufgabe 2.3

Die Kraft ⃗ F soll durch drei Kräfte ⃗ F 1 , ⃗ F 2 , ⃗ F 3 ersetzt

werden, die in den Seiten des Dreiecks liegen. Die

Richtung der Kräfte ist also vorgegeben, gesucht sind

Betrag und Orientierung. Die Wirkung der 3 Kräfte

soll äquivalent zu der von ⃗ F sein, d.h. die resultierenden

Kräfte und Momente müssen gleich sein.

Diese müssen berechnet und gleichgesetzt werden.

Dazu werden die Kräfte ⃗ F 1 , ⃗ F 2 und ⃗ F 3 im eingezeichneten

xyz-Koordinatensystem dargestellt (Es kann

auch jedes andere Koordinatensystem zur Lösung der

Aufgabe verwendet werden).

Die Kräfte lauten dann:

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

F F 1

⃗F = ⎣0⎦ , F1 ⃗ = ⎣ 0 ⎦ ,

0 0

⎡ ⎤ ⎡

−F 2 cos60 ◦ − 1F ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

⃗F 2 = ⎣ F 2 sin60 ◦ √2 2 −F 3 cos60 ◦ − 1F ⎤

⎦ = ⎣ 3

F ⎦

2 2 , F3 ⃗ = ⎣−F 3 sin60 ◦

2 3

⎦ = ⎣− √ 3

F ⎦

2 3 ,

0 0 0 0

wobei F 1 , F 2 , F 3 noch unbekannt sind.

Nun wird ⃗ F mit der Summe der Kräfte ⃗ F 1 , ⃗ F 2 , ⃗ F 3 gleichgesetzt:

y

z

60 ◦

x

⃗F 3

⃗F 2

60 ◦

⃗F 1

⃗F

F = F 1 − 1 2 F 2 − 1 2 F 3 , (1)

√ √

3 3

0 = 0+

2 F 2 −

2 F 3 . (2)

Das Gleichgewicht der resultierenden Momente kann bezüglich eines beliebigen Bezugspunktes

aufgestellt werden. Hier wird der Koordinatenursprung O als Bezugspunkt gewählt. Die Wirkungslinien

von F ⃗ 1 und F ⃗ 3 gehen durch O, d.h. diese Kräfte üben kein Moment auf O aus. Die

Ortsvektoren der Kraftangriffspunkte von F ⃗ und F ⃗ 2 zu dem Bezugspunkt O sind identisch und

sind aus folgender Skizze ersichtlich:

a

h

⃗F 2

Wird dieSeitenlängedesDreiecks als aangenommen,

so lautet die Höhe des gleichseitigen Dreiecks


) 2


1 3

⃗F h = a −( 2 2 a =

2 a.

60 ◦


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Technische Mechanik I

ZÜ 2.5

Die Momente der Kräfte bezüglich O lassen sich nun vektoriell bestimmen. Werden die resultierenden

Momente gleichgesetzt, erhält man

⃗r 2 × ⃗ F =⃗r 1 × ⃗ F 1 +⃗r 2 × ⃗ F 2 +⃗r 3 × ⃗ F 3 .

Die Vektoren vom Bezugspunkt O zu den Wirkungslinien der Kräfte lauten

⎡ ⎤

⃗r 1 =⃗r 3 =⃗0, ⃗r 2 = ⎣

3a

4

h

2

0

3a

4

h

2

0

⎦ ,

und somit ergibt sich

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

F 0

⎣ ⎦× ⎣0⎦ = ⎣0⎦×


0 0

was sich vereinfacht zu

⎡ ⎡

0

⎣ 0 ⎦ = ⎣

− √ 3

4 aF ⎤

0

0


3

2 aF 2


F 1

0

0



⎦+ ⎣


3a

4

h ⎦×

2

0


− 1F ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

√2 2 0 − 1F ⎤

2 3

⎣ 3

F 2 2

⎦+ ⎣0⎦×

⎣− √ 3

F ⎦

2 3 ,

0 0 0

⎦ , bzw. − √ 3

4 aF = √ 3

2 aF 2 . (3)

Mit den 3 Gleichungen (1) – (3) lassen sich nun die 3 Unbekannten F 1 , F 2 , F 3 bestimmen. Aus

(3) folgt:

F 2 = − 1 2 F (4)

Gleichung (4) in (2) eingesetzt:


3

0 =

(− 1 ) √

3

2 2 F −

2 F 3 =⇒ F 3 = − 1 2 F . (5)

Setzt man nun (4) und (5) in (1) ein, erhält man

F = F 1 − 1 (− 1 )

2 2 F − 1 (− 1 )

2 2 F =⇒ F 1 = 1 2 F . (6)

Die gesuchten Kräfte lauten also

F 1 = 1 2 F F 2 = − 1 2 F F 3 = − 1 2 F .

Anmerkung

Die Momente der Kräfte bezüglich O lassen sich bei ebenen Systemen auch über skalare Größen

bestimmen. Die Formel hierfür lautet M = l·F, wobei der Hebelarm l den senkrechten Abstand

zwischen der Wirkungslinie der Kraft F und dem Bezugspunkt O darstellt.


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Technische Mechanik I

ZÜ 2.6

r

a

h

F 2

Wird wiederum die Seitenlänge des Dreiecks als a angenommen,

ergibt sich für den Abstand r

F r = h √

3

2 = 4 a.

60 ◦

Nun wird das aus F resultierende Moment bezüglich O mit dem aus F 1 , F 2 , F 3 resultierenden

gleichgesetzt, Momente werden in z-Richtung positiv angenommen:

−r ·F = 0·F 1 +h·F 2 +0·F 3 .

Dies entspricht Gleichung (3).

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