4 Prozessautomatisierung mit qualitativen Modellen - UniversitÃ¤t ...

AT II 

§ 4 Automatisierung mit qualitativen Modellen 

Lernziele 

– Verstehen, was qualitative Modellbildung ist 

– Entscheidungstabellen und kausale Netze entwerfen können 

– Qualitative Modelle mit Intervall-Variablen entwerfen können 

– Qualitative Modelle zur Prozessüberwachung und Diagnose anwenden 

können 

– Die Grundzüge der Fuzzy-Logik verstehen 

– Fuzzy-Controller entwerfen können 

© 2013 IAS, Universität Stuttgart 281

AT II 


4.1 Qualitative Modellbildung 

4.2 Prozessüberwachung mit qualitativen Modellen 

4.3 Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control 

4.4 Zusammenfassung 



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Qualitative Modellbildung 

– Grundidee der qualitativen Modellbildung 

Qualitative Beschreibung des prinzipiellen Verhaltens 

– Vorteile qualitativer Modelle 

Globale Aussagen über das Verhalten des Prozesses 

Vermeidung eines aufwendigen quantitativen Modells 

Entspricht menschlicher Denkweise 

Einbeziehung von heuristischem Erfahrungswissen 



AT II 

Übersicht wichtiger Konzepte zur Modellierung technischer 

Prozesse 

Prozessmodelle 

Prozessmodelle von Fließprozessen 

(zeitkontinuierliche Prozesse) 

qualitative Modelle 

zeitkontinuierlicher 

Prozesse 

quantitative Modelle 

zeitkontinuierlicher 

Prozesse 

Prozessmodelle von 

Folge- und Stückprozessen 

(ereignisdiskrete 

Prozesse) 

Modelle mit 

kausalen 

Beziehungen 


Regeln 


qualitativen 

Variablen 

Mathematische 

Modelle 

Simulative 

Modelle 

Simulative 

Modelle 

Mathematische 

Modelle 


Wertebereich- 

Variablen 

Modelle 

mit 

"fuzzy” 

Variablen 

Analytische 

mathematische 

Modelle 

Empirische 

mathematische 

Modelle 

Steuerungsablauf 

Modelle 

Simulationssprachenorientierte 

Modelle 

Zustandsmodelle 

Petri- 

Netz- 

Modelle 



AT II 

Qualitative Modellierungskonzepte am Beispiel "Beheizung 

eines Hauses" (1) 

abströmende 

Wärmemenge 

Innentemperatur 

Heizkörper 

Umgebungs- 

Temperatur 

( 

u < ) u 

Pumpe 

Warmwasser- 

Heizkessel 

Brenner 



AT II 

Qualitative Modellierungskonzepte am Beispiel "Beheizung 

eines Hauses" (2) 

Wesentliche 

physikalische 

Prozessgrößen 

(t) 

zugefügte 

Wärmemenge 

q e 

(t) 

u (t) 

abströmende 

Wärmemenge 

q a 

(t) 

u Temperaturen in °C 

q e 

, q a 

zu- bzw. abströmende 

Wärmemenge in Cal/s 

Einflussgrößen 

(t) u 

q e 

(t) 

(Ursachen) 

u (t) 

q e 

(t) 

q a 

(t) 

Wirkungsrichtung 

(t) 

Ergebnisgröße 

(t) 

(Wirkung) 

Kausales 

qualitatives 

Prozessmodell 

Regel-orientiertes 

qualitatives 

Prozessmodell 

u (t) 

q e 

(t) 

wenn 

dann 

wenn 

dann 

> u 

q a 

> 0 

q e 

> q a 

> 0 

(t) 

Qualitatives 

[ 

u ] [ q ] a 

Modell mit 

- [ d ] [ ] 

[ q ] + 

Signume 

Variablen 



AT II 

Kausale qualitative Modelle 

– Beschreibung von Wirkungsbeziehungen zwischen Prozessvariablen 

"Lesart" der Beziehungen von den Wirkungen zu den Ursachen 

(entgegen der Wirkungsrichtung) 

– Reine phänomenologische Beschreibung 

Oberflächenwissen: Aus der Erfahrung gewonnenes Wissen über das äußere 

Verhalten eines technischen Systems (black box Betrachtung) 

Einflussgrößen 

u (t) 

u (t) 

q a (t) 

(t) 

Ergebnisgröße 

(t) 

q 

q e (t) e (t) 

(Ursachen) 

(Wirkung) 

Wirkungsrichtung 



AT II 

Regelorientierte Modelle 

– Regelorientierte Modellierungskonzepte 

Entscheidungstabellen 

Expertensysteme (Wissensbasierte Systeme) 

– Anwendung: Darstellung heuristischen Erfahrungswissens 

u 

(t) 

wenn 

dann 

> u 

q a 

> 0 

(t) 

q e 

(t) 

wenn 

dann 

q e 

> q a 

> 0 


UND 


AT II 

Entscheidungstabellen 

Name der 

Entscheidungstabelle 

Bedingungsteil 

Bedingung 1 

Bedingung 2 

. 

. 

. 

Bedingung n 

Aktionsteil 

Aktion 1 

Aktion 2 

. 

. 

. 

Aktion k 

Regel 1 Regel 2 . . . Regel m ELSE 

Kombinationen von Bedingungen, 

z.B. WENN Bedingung 1 UND Bedingung 2 

ODER 

Sequenzen von Aktionen 

z.B. DANN 1. Aktion 2, 

2. Aktion k 

Vorteile: formale Darstellung, leicht erlernbar, übersichtlich 



AT II 

Beispiel einer Entscheidungstabelle: 

Drehzahlregelung eines Motors 

Bedingungen Regel 1 Regel 2 Regel 3 Regel 4 ELSE 

Spannung im Toleranzbereich nein ja ja ja 

Drehzahl zu hoch normal 

zu 

niedrig 

Aktionen 

Motor abschalten 2 nein nein nein 

Motor abbremsen 1 ja nein nein 

Motor beschleunigen nein nein nein ja 



AT II 

Wissensbasierte Modelle (Expertensysteme) 

– Verwendung von Produktionsregeln 

Prämissen 

Produktionsregeln 

Folgerungen 

Regel 1 

Motor 

abschalten 

Spannung 

im Toleranzbereich 

Regel 2 

Motor 

abbremsen 

Motor- 

Drehzahl 

Regel 3 

keine 

Operation 

Regel 4 

Motor 

beschleunigen 

Vorwärtsverkettung 



AT II 

Beschreibung von Zeitbedingungen in 

Echtzeitexpertensystemen 

Beispiel: WENN 5 Sekunden nachdem die Pumpe eingeschaltet 

worden ist kein Wasser fließt 

DANN 

ist die Förderleistung der Pumpe beeinträchtigt 

oder es liegt eine Verengung des Zuflusses vor 

– Darstellung zeitlicher Angaben und Beziehungen 

Darstellung absoluter Zeitangaben (z.B. um 11:17 Uhr) 

Darstellung relativer Zeitangaben (z.B. 5 Min. 10 Sek. vor Zugeinfahrt) 

Explizite Darstellung von Zeitintervallen (z.B. 12:00 bis 12:30 Uhr) 

Implizite Darstellung von Zeitintervallen (z.B. "solange Wasser fließt”) 

Darstellung qualitativer Zeitbeziehungen (z.B. früher, später, während) 

Darstellung quantitativer Zeitbeziehungen (z.B. 5 Min. 10 Sek. später) 

– Anforderungen an Echtzeitexpertensysteme 

Zeitmodell zur expliziten Darstellung der Zeit 

Unterbrechbarkeit bei Alarmmeldungen 

Auswertungen müssen ohne Konsistenzprobleme fortsetzbar sein 



AT II 

Künstliche neuronale Netze (KNN) 

Ausgangssignale 

Eingangssignale 

Knoten 

gewichtete 

Kante 

künstliches neuronales Netz (KNN) 

– Arbeitsweise 

Wert eines Knoten wird aus den Werten der vorhergehenden Knoten 

unter Berücksichtigung der Kantengewichtung bestimmt 



AT II 

Vorgehensweise beim Entwurf eines KNNs 

– Auswahl eines geeigneten Netzwerktyps und einer günstigen Topologie 

– Durchführung von Trainings-Experimenten zur Veränderung der Gewichtsfaktoren 

– Im Falle der Konvergenz Einfrieren des neuronalen Netzes 

reale Ausgangsgrößen 

Eingangsgrößen 

Aktorik 

reale technische Anlage 

zu überwachendes 

technisches System 

Sensorik 

Lernalgorithmus 

+ 

_ 

Ausgangsgrößen 

des KNN 

künstliches neuronales Netz (KNN) 

Video: Künstliche Neuronale Netze 



AT II 

Qualitative Modellbildung mit Signum-Variablen 

Prozessgrößen werden qualitativ durch einen Satz von Wertebereiche 

gekennzeichnet. Werteraum bei Signum-Variablen: (+, -, 0) 

Addition [x] + [y] 

Subtraktion [x] - [y] 

Multiplikation [x] [y] 

+ 

+ 

+ 

[y] 

0 

+ 

- 

? 

+ 

[y] 

+ 0 - 

? + + 

+ 

+ 

[y] 

0 

- 

+ 0 - 

[x] 

0 

+ 

0 - 

[x] 0 - 

0 + 

[x] 

0 

0 

0 0 

- 

? 

- 

- 

- 

- 

- 

? 

- 

- 

0 

+ 

[x] 

[y] 

Vorzeichen der Variablen x 

Vorzeichen der Variablen y 



AT II 

Qualitative Modellbildung mit Intervall-Variablen 

Erweiterung gegenüber Signum-Variablen hinsichtlich Einteilung der 

Wertebereiche in beliebige Anzahl von Intervallen. 

Darstellung: Intervall I mit Grenzen a,b und a b 

– Geschlossene Intervalle: x I = [a;b] a x b 

– Offene Intervalle: x I = (a;b) a < x < b 

– Halboffene Intervalle: x I = [a;b) a x < b 

x I = (a;b] a < x b 

– "Entartete Intervalle”: x I = (a;+ ) x > a 

x I = [a;+ ) x a 

x I = (- ;a) x < a 

x I = [a;a] x = a 



AT II 

Beispiele für arithmetische Intervall-Operationen (1) 

a) Addition : [a; b] + [c; d] = [a+c; b+d] 

I 1 

= [a; b] I 2 

= [c; d] 

0 a b c d 

10 

x 

I 1 + I 2 = [ a + c; b + d ] 

I 1 

+ I 2 

= [a + c; b + d] 

0 5 

10 

x 



AT II 

Beispiele für arithmetische Intervall-Operationen (2) 

b) Negation : -[a; b] = [-b; -a] 

l 1 

= [ a; b ] 

-5 

0 

a b 5 

x 

- I 1 

= [-b, -a] 

-5 

-b -a 

0 

5 

x 

c) Subtraktion : [a; b] - [c; d] = [a-d; b-c] 

l 1 

= [ a; b ] l 2 

= [ c; d ] 

-5 

l 1 

- l 2 

= [a - d; b - c] 

a 

b 

c 

d 

5 

x 

-5 

5 

x 



AT II 

Frage zu Kapitel 4.1 

Ein Aufzug steht ohne "Ruf" oder "Kommandos" mit geschlossener Tür auf 

Etage n. Mit Hilfe nachstehender Entscheidungstabelle ist zu bestimmen, ob 

die Tür geöffnet wird und welche Fahrtrichtung festzulegen ist. 

Regeln 

R1 R2 R3 R4 Else 

Ruf oder Kommando 

auf Etage n 


abwärts 


aufwärts 

Sicherheitskreise in 

Ordnung 

Tür öffnen 

Abwärtsfahrt 

Aufwärtsfahrt 

Halt 

1 0 0 - 

- 

- 

1 

0 

0 

1 

- 

- 

1 1 1 0 

1 0 0 0 

0 1 0 0 

0 0 1 0 

1 0 0 1 

0 

0 

0 

1 


AT II 








AT II 

Prozessüberwachung mit qualitativen Modellen 

– Erstellung quantitativer Prozessmodelle zur modellbasierten 

Prozessüberwachung häufig schwierig 

– Für Prozessüberwachung ist qualitative Modellierung häufig ausreichend 

Ansätze zur Informationsorientierten Überwachung mit qualitativen Modellen 

– Prozessüberwachung unter Verwendung von kausalen Netzen 

– Prozessüberwachung unter Verwendung von qualitativen Variablen 

Signum-Variablen 

Intervall-Variablen 

– Prozessüberwachung mit Hilfe von wissensbasierten Methoden 

– Prozessüberwachung mit Hilfe von neuronalen Netzen 



AT II 

Anwendung kausaler Modelle zur Prozessüberwachung 

– Konzept: Erstellung eines Ursache-Wirkungsgeflechts 

Erfassung erkennbarer Wirkungen 

Zuordnung bekannter Wirkungen zu Ursachen 

– Anwendung: Auswertung von Alarmmeldungen aus signalorientierter 

Überwachung 

Bei größeren Anlagen können auf einen Alarm viele Alarme folgen 

(expandierende Ausfälle) 

Auswertung hilft Übersicht zu behalten 



AT II 

Prozessüberwachung mit kausalen Netzen am Beispiel einer 

verfahrenstechnischen Anlage zur Wasserversorgung 

Alarm 3H 

Behälter 3 läuft über 

Regler 

Behälter 

3 

Hochbehälter 

Überlauf 

Alarm 3L 

Behälter 3 leer 

Wasser- 

Zufluss 

(Quelle) 

Behälter 

1 

Überlauf 

Pumpe 

Alarm 4L 

Wasserdruck zu niedrig 

Alarm 1L 


Alarm 2H 

Behälter 2 läuft über 

Regler 

Ventil 

Behälter 

2 

Überlauf 

Alarm 2L 




AT II 

Kausales Netz der Wasserversorgungsanlage in Form eines 

Ereignisgraphen Quelle Behälter 1 Alarm 

trocken läuft leer 1L 

Füllstandsregelung Behälter 2 Alarm 

Behälter 2 läuft leer 2L 

blockiert 

Ventil 

geschlossen 

blockiert 

Ventil ist 

offen blockiert 

Füllstandsregelung 

Behälter 2 

ausgefallen 

Ventil Behälter 2 Alarm 

ist offen läuft über 2H 

Stromausfall 

Pumpen- 

Antriebsmotor 

defekt 

Füllstands- Behälter 3 Alarm 

regelung läuft leer 3L 

Behälter 3 

ausgefallen 

Pumpe 

läuft nicht 

Rohrleitung Wasserdruck Alarm 

zum Verbraucher zu niedrig 4L 

ist verstopft 

Füllstandssensor- Behälter 3 Alarm 

Behälter 3 läuft über 3H 

ausgefallen 

Schütz des 

Pumpenmotors 

öffnet nicht 



AT II 

Zuordnung von Alarmmustern zu Ausfallarten auf Basis des 

ermittelten kausalen Netzes (Live-Mitschrieb) 

Ausfall 

Quelle ist trocken 

Ventil ist offen blockiert 

Ventil ist geschlossen blockiert 

Regler für Behälter 2 blockiert 

Stromausfall 

Pumpen-Antriebsmotor defekt 

Rohrleitung verstopft 

Sensor Behälter 3 ausgefallen 

Schütz Pumpenmotor öffnet nicht 

Alarmmeldungen 

1L 2L 3L 4L 2H 3H 

X X X X 

X 

X X X 

X X X 

X X X 

X X 

X 

X 

X 



AT II 

Prozessüberwachung mit Intervallvariablen 

– Prinzipielles Verfahren der Prozessüberwachung unter Verwendung 

qualitativer Intervallvariablen 

Qualitatives Prozessmodell des 

bestimmungsgemäßen und des 

nicht-bestimmungsgemäßen 

Betriebes der Einzelkomponenten 

des Gesamtsystems 

Auswertung 

Fehler 

arten, 

Fehlerort 

Technischer Prozess 

Reale technische Anlage 

Gemessene 

Ausgangsgrößen 



AT II 

Erstellung eines qualitativen Prozessmodells mit Intervall- 

Variablen zur Prozessüberwachung 

1. Definition von Intervallen für die Prozessgrößen 

2. Aufstellen einer Tabelle aller Intervall-Kombinationen (Situationen) in 

Form einer vollständigen Situationstabelle 

3. Aufstellen der statischen und physikalischen Bedingungen für die 

Prozessgrößen 

4. Anwendung dieser Bedingungen, um eine reduzierte Situationstabelle 

zu erhalten 

5. Aufstellen dynamischer Beziehungen zwischen den Prozessgrößen 

6. Anwendung dieser Beziehungen zur Aufstellung eines dynamischen 

Modells 

7. Auswertung der reduzierten Situationstabelle und der Ergebnisse der 

dynamischen Analyse zur Fehlererkennung und Fehlerortung 



AT II 

Prozessüberwachung mit Intervall-Variablen am Beispiel 

Wasserversorgungsanlage (Teilsystem Hochbehälter) 

Ziel der Überwachung: Ausfälle und nicht-bestimmungsgemäße Betriebszustände 

erkennen und Alarmmeldungen ausgeben 

3 

2 

RI-Fließbild des 

Hochbehälters aus 

der Wasserversorgungsanlage 

1 



AT II 

Beispiel Hochbehälter 

Schritt 1: Intervalldefinition für die Prozessgrößen 

Druck P1 

“L“ (leer) 

[0;0] 

“N“ (normal) 

(0;0,9) 

“V“ (voll) 

[0,9;1) 

“Ü“ (Überlauf) 

[1;1] 

0 

0,9 1 

Zu- bzw. Abfluss Q1 

“-“ 

(- ;0) 

“0“ 

[0;0] 

“+“ 

(0;+ ) 

Überlauf-Abfluss Q2 

“0“ “+“ 

[0;0] (0;+ ) 

0 

Schalterstellung des Schwimmerschalters S1 

“0“ 

“1“ 

[0;0] 

[1;1] 

0 

0 

1 



AT II 


Schritt 2: Vollständige Situationstabelle 

– Vollständige Situationstabelle = Tabelle aller Intervall-Kombinationen 

n(x): 

Zahl der Intervalle für ein Variable x 

n = n(P1) • n(Q1) • n(Q2 ) • n(S) = 4 • 3 • 2 • 2 = 48 



AT II 


Schritt 3: Statische Bedingungen für die Prozessgrößen 

Behälter leer: P 1 = 0; Q 1 0; Q 2 = 0; S = 0 

Behälter teilweise gefüllt 

(Normalbetrieb): 0 P 1 0,9; Q 1 beliebig; Q 2 = 0; S = 0 

Füllstand erreicht die 

vorgesehene max. 

Füllhöhe: P 1 = 0,9; Q 1 beliebig; Q 2 = 0; S = 1 

Füllstand erreicht den 

oberen Behälterrand P 1 1; Q 1 0 Q 2 0; S = 1 

(Überlauf): P 1 = 1; Q 1 0 Q 2 = 0; S = 1 



AT II 


Schritt 4: Reduzierung der Situationstabelle 

Abkürzungen: 

P 1 

Q 1 

Q 2 

L = leer 

N = normal 

V = voll 

Ü = Überlauf 

- = Abfluss 

0 = Null 

+ = Zufluss 

0 = Null 

+ = Überlauf 

vollständige 

Situationstabelle 

(Ausschnitt) 

Berücksichtigung 

statischer 

Bedingungen 

reduzierte 

Situationstabelle 



AT II 


Schritt 5: Untersuchung des dynamischen Verhaltens 

– Bestimmung der Energie tragenden Prozessgrößen: 

nur stetige Änderung des Energieinhalts möglich 

Füllstand 

Druck P1 

– Relationen zwischen Prozessvariablen 

Wasserzufluss (Q1 - Q2 ) 0: Füllstand steigt 

Wasserabfluss (Q1 - Q2 ) 0: Füllstand sinkt 

Quantitativer zeitlicher Zusammenhang: P( t ) P( t ) c ( Q Q ) dt 

t1 

1 1 1 0 1 

t0 

2 



AT II 


Schritt 6: Dynamisches 

Zustandsmodell 



AT II 


Schritt 7: Erkennung von Fehlern und Ausfällen im nichtbestimmungsgemäßen 

Betrieb 

– Reduzierte Situationstabelle: 

Erkennen des Überlaufens oder Leerlaufens des Behälters 

Situationen: 5, 9, 48 

– Dynamische Modellierung: 

Kriterium für die Überprüfung der Sensoren 

Bsp.: Ausfall Schwimmschalter 



AT II 

A 

IAB 

PAB 

C 

S 

B 


Rechts ist das qualitative Prozessmodell eines Ventils dargestellt. Welche der 

hierzu links aufgelisteten Situationen können bei einem fehlerfreien Ventil 

nicht auftreten? Das Ventil ist im geöffneten Zustand für die durchströmende 

Flüssigkeit widerstandsfrei. 

I AB : Flussstärke von A nach B 

P AB : Druckabfall von A nach B 

S: Ventilansteuerung (0 = zu) 

Nr. 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

IAB PAB S 

[0,0] [0,0] 0 

(0, ) [0,0] 0 

[0,0] (0, ) 0 

(0, ) (0, ) 0 

[0,0] [0,0] 1 

(0, ) [0,0] 1 

[0,0] (0 ) 1 

(0, ) (0, ) 1 

 

 

 

 

 

 

 

 


AT II 








AT II 

Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control 

– Fuzzy (engl.): "unscharf", "unsicher", "verschwommen" 

– Fuzzy-Logik = "unscharfe Logik": 

Erweiterung der klassischen Mengenlehre und der binären Logik 

Lotfi A. Zadeh 

Professor an der University of California, Berkley 

1965 Veröffentlichung des grundlegenden Artikels 

"Fuzzy Sets" (in: Information and Control 8, S. 338ff) 

As complexity rises, precise statements lose meaning and 

meaningful statements lose precision. - Lotfi Zadeh 

– Fuzzy-Control bezeichnet die Anwendung der Fuzzy-Logik in der 

Automatisierungstechnik 



AT II 

Merkmale von Fuzzy-Logik 

– Qualitative Aussagen (z.B. "großes Haus") sind gängige Form empirisches 

Wissen zu formulieren 

– Merkmale von Fuzzy-Logik 

Ermöglicht mathematische Darstellung qualitativer Zusammenhänge 

Eignet sich zur Formulierung komplexen empirischen Wissens 

Entspricht dem menschlichen Sprachverständnis 



AT II 

Merkmale von Fuzzy-Control 

– Merkmale von Fuzzy-Control 

Ermöglicht Modellierung auf Basis von empirischem Expertenwissen 

Kein Modell der Regelstrecke notwendig 

Modelle sind einleuchtend und für Anwender transparent 

Komplexe Nichtlinearitäten sind (einfach) zu beherrschen 

– Fuzzy-Logik ist kein Allheilmittel 

Kein Ersatz, sondern Ergänzung zur klassischen Regelungstechnik 

Sehr viele Freiheitsgrade, müssen geeignet berücksichtigt werden 

Fuzzy-Controller gehören zur Klasse der Kennfeld-Regler. Neuartig ist 

die Art, wie man das Kennfeld entwirft. 



AT II 

Klassische Mengen vs. Fuzzy-Mengen 

– Klassische Menge (scharfe Menge) 

Element x gehört entweder zu Menge M oder nicht zu Menge M 

Menge M großer Figuren 

– Fuzzy-Menge (unscharfe Menge) 

Element x gehört zu einem gewissen Grade zur Menge M 

Fuzzy-Menge M großer Figuren 



AT II 

Darstellung einer klassischen Menge 

– Charakteristische Funktion m M (x) legt Zugehörigkeit fest 

m M 

( x) 

1, 

falls 

0, 

falls 

x 

x 

M 

M 

1 

m M (x) 

M { x 2 

, x5} 

0 

x (cm 2 ) 

x 4 x 1 x 3 x 2 x 5 



AT II 

Darstellung einer Fuzzy-Menge 

– Zugehörigkeitsfunktion µ groß (x) legt Zugehörigkeit fest 

groß 

( x) : X 

[0;1] 

linguistischer Term 

groß 

{[ x, 

groß 

( x)]| 

x 

X} 

{( x4;0),( 

x1;0),( 

x3;0,4),( 

x2;1),( 

x 

5 

;1)} 

1 

µ groß (x) 

"groß" 

Menge 

geordneter Paare 

0,4 

0 

µ groß (x 3 ) = 0,4 

x (cm 2 ) 

x 4 x 1 x 3 x 2 x 5 



AT II 

Eigenschaften von Zugehörigkeitsfunktionen 

– Große Vielfalt von Zugehörigkeitsfunktionen möglich 

In der Praxis relevant: abschnittsweise definierte Geraden 

– Wesentliche Kenngrößen sind: 

Träger (engl. Support): 

supp( 

x) : 

{ x | μ(x) 

0} 

Toleranz: 

toleranz( x) : { x | μ(x) 

1} 

1 

"klein" 

"mittel" 

"groß" 

– Fuzzy-Mengen mit gleichem 

Träger und gleicher Toleranz 

heißen fuzzyähnlich 

toleranz(x) 

supp(x) 

– Fuzzy-Mengen mit Maximalwert 1 0 

heißen normal, Fuzzy-Mengen mit 

Maximalwert


AT II 

Abgrenzung zur Wahrscheinlichkeitstheorie 

Mit Zugehörigkeit 0,9 

genießbar 

Mit Wahrscheinlichkeit 

0,9 genießbar 

Schmeckt ziemlich gut 

Falls man Glück hat, schmeckt 

es gut. Falls man Pech hat, 

schmeckt es schlecht. 

– Fuzzy-Logik beschreibt lokale Unsicherheit 

– Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibt globale Unsicherheit 



AT II 

Operatoren auf Fuzzy-Mengen (1) 

– Verknüpfungen auf gleicher Grundmenge 

1 

0 

klein mittel groß 

Vorsicht: i. a. (µ ¬ µ) 0 

UND 

µ klein UND mittel = min(µ klein , µ mittel ) 

ODER 

µ klein ODER mittel = max(µ klein , µ mittel ) 

NICHT 

1 - µ mittel 

Dargestellt sind die gängigsten aber nicht die einzigen Realisierungsformen 



AT II 

Operatoren auf Fuzzy-Mengen (2) 

– Verknüpfungen auf unterschiedliche Grundmengen 

Gleiche Operatoren wie bei Verknüpfung auf gleicher Grundmenge 

Verknüpft werden nur die Antworten der Fuzzy-Mengen auf konkrete 

Eingangswerte 

– Beispiel: klein UND gelb 

1 

0,7 

0 


cm 2 

1 

0,3 

0 

rot 

gelb 

Hz 

grün blau 

Eingangswert 

Eingangswert 

klein UND gelb = min(0,7;0,3) = 0,3 

Beziehungen zwischen unterschiedlichen Grundmengen werden allgemein 

durch Fuzzy-Relationen beschrieben 



AT II 

Fuzzy-Implikation 

Fuzzy-Implikation = Fuzzy-Logische Schlussfolgerung 

Prinzip: Prämisse teilweise wahr 

Konklusion teilweise wahr 

Realisierung am Beispiel: WENN x = klein DANN z = Ausschuss 

– Möglichkeit 1: 

MIN-Methode 

(Abschneiden) 

1 


1 

Ausschuss 

OK 

x 

0 

cm 2 

0 

– Möglichkeit 2: 

Produkt-Methode 

(Skalieren) 

1 

klein mittel 

groß 

1 

Ausschuss 

OK 

x 

0 

cm 2 

0 



AT II 

Logische Struktur eines Fuzzy-Controllers 

Eingangsgrößen 

e1 

WENN ... UND ... 

DANN ... 

e2 


DANN ... 


DANN ... 

Stellgröße 

u 

en 

Fuzzifizierung 

Inferenz 

Defuzzifizierung 

sog. 

Mamdami- 

Controller 

mit 

MAX/MIN- 

Inferenz 



AT II 

Fuzzifizierung 

Eingangswerte Zugehörigkeitsgrade 

Beispiel: Jahreszeiten 

µ Winter µ Frühling 

µ Sommer 

µ Herbst 

Jan Feb März April Mai Juni Juli Aug Sep Okt Nov Dez 

µ Frühling (21.09.) = 

µ Sommer (21.09.) = 

µ Herbst (21.09.) = 

µ Winter (21.09.) = 

0 

0,5 

0,5 

0 



AT II 

Fuzzy-Inferenz 

– Aufbau eines Fuzzy-Regelwerks 

WENN Sommer 

DANN nicht heizen 

WENN (Winter UND kalt) DANN stark heizen 

WENN (Winter UND warm) DANN wenig heizen 

Regeln werden 

ODER-Verknüpft 

.... Bedingungen werden i.d.R. UND-Verknüpft 

– Auswertung eines Fuzzy-Regelwerks 

1. Ermittlung des Erfüllungsgrad der einzelnen Prämissen 

2. Fuzzy-Implikation für jede Regel 

3. Überlagerung sämtlicher Einzel-Konklusionen 

Ergebnis: Resultierende Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktion 



AT II 

Defuzzifizierung 

– Ermittlung einer Ausgangsgröße auf Basis der resultierenden Ausgangs- 

Zugehörigkeitsfunktion 

– Realisierung z.B. Mit Flächenschwerpunktsmethode 

1 

S 

0 

Ausgangsgröße u 



AT II 

Entwurfsschritte 

1. Wahl der Eingangs- und Ausgangsgrößen und Festlegung ihrer 

Wertebereiche 

2. Definition linguistischer Terme und ihrer Zugehörigkeitsfunktionen 

3. Aufstellen der Regelbasis 

Z. B. mittels Experteninterview oder Heuristiken 

Vollständige Berücksichtigung des Eingangswertebereichs 

4. Evaluation z. B. durch Simulation 



AT II 

Wahl der Zugehörigkeitsfunktionen 

– Verwendung ausschließlich normaler Zugehörigkeitsfunktionen 

– Aufteilung der Eingangs- und Ausgangs-Wertebereiche in eine i.d.R. 

ungerade Anzahl von Fuzzy-Mengen 

Eingangs-Fuzzy-Mengen sollten sich zu 20% - 50% überlappen 

– Symmetrische Erweiterung der Rand-Zugehörigkeitsfunktionen des 

Ausgangs-Wertebereichs über die jeweilige Wertebereichsgrenze hinaus 

Ermöglicht Ausgangswerte auf Wertebereichsgrenzen 

NB: negativ big 

NM: negativ medium 

NS: negativ small 

ZO: zero 

PS: positiv small 

PM: positiv medium 

PB: positiv big 



AT II 

Beispiel: Temperaturregelung (1) 

– Aufgabenstellung: Abhängig von der Abweichung der momentanen Ist-Temperatur 

von der Soll-Temperatur sowie der zeitlichen Änderungsrate der Temperatur soll die 

einzustellende Heizleistung bestimmt werden. 

– Eingangsgrößen 

Abweichung e1 mit linguistischen Termen: [zu kalt, ok, zu warm] 

zu kalt 1 ok zu warm 

-10 °C 

0 

10 °C 

Änderungsrate e2 mit linguistischen Termen: [fallend, null, steigend] 

fallend 1 null steigend 

– Ausgangsgrößen 

-1 °C/min 0 

1 °C/min 

Heizleistung u mit linguistischen Termen: [wenig, mittel, stark] 

wenig 1mittel stark 

0 

500 

1000 



AT II 

Beispiel: Temperaturregelung (2) 

– Regeln 

R1: WENN e1 = zu warm DANN u = wenig 

R2: WENN e1 = ok UND e2 = fallend DANN u = mittel 

R3: WENN e1 = ok UND e2 = null DANN u = wenig 

R4: WENN e1 = ok UND e2 = steigend DANN u = wenig 

R5: WENN e1 = zu kalt UND e2 = fallend DANN u = stark 

R6: WENN e1 = zu kalt UND e2 = null DANN u = stark 

R7: WENN e1 = zu kalt UND e2 = steigend DANN u = mittel 



AT II 

Arbeitsweise eines Fuzzy-Controllers am Beispiel 

Temperaturregelung 

MIN 

e1 e2 u 

MAX 



AT II 

Technische Realisierung des Beispiels 

Temperaturregelung mittels eines Kennfelds 



AT II 

Übertragungsverhalten von Fuzzy-Controllern 

– Eingangs-Zugehörigkeitsfunktionen haben großen Einfluss auf die Gestalt 

der Übertragungskennlinie 

Größere Überlappung 

Geringere Einflussbreite 

glatterer Verlauf 

steilerer Verlauf 

– Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktionen haben geringen Einfluss auf die 

Gestalt der Übertragungskennlinie 

Extremfall: Zugehörigkeitsfunktion mit nur einem diskreten Wert (Singleton) 

Beispiel: 

NB NS ZO PS PB 

1 

u 

NB NS ZO PS PB 

e 

e 

u 

-1 



AT II 


Verknüpfen Sie die dargestellten Fuzzy-Mengen entsprechend den 

angegebenen Operationen. 

1 

A 

B 

0 

A und B 

1 

A oder B 

0 

1 

0 


AT II 








AT II 

Zusammenfassung Kapitel 4 (1) 

– Qualitative Modellbildung (von Fließprozessen) bezeichnet eine auf das 

prinzipielle Verhalten reduzierte Modellbildung. 

– Man unterscheidet Modelle mit kausalen Beziehungen (z. B. kausale 

Netze), Modelle mit Regeln (z. B. Entscheidungstabellen) sowie Modelle 

mit qualitativen Variablen (z. B. Intervallvariablen). 

– Entscheidungstabellen bestehen aus einem Bedingungsteil und einem 

Aktionsteil, welche durch WENN-DANN-Regeln verknüpft werden. 

– Qualitative Modelle können zur Prozessüberwachung verwendet werden. 

Vorteil ist ein geringerer Aufwand gegenüber quantitativen Modellen. 

– Kausale Netze werden speziell zur Auswertung von Alarmmeldungen aus 

einer signalorientierten Überwachung verwendet. 

– Bei Verwendung qualitativer Variablen werden die Prozessgrößen durch 

Intervalle dargestellt und zu sog. Situationen kombiniert, welche das 

Prozessgeschehen beschreiben. 



AT II 

Zusammenfassung Kapitel 4 (2) 

– Fuzzy-Logik ist eine Erweiterung der klassischen Mengenlehre und der 

binären Logik. 

– Zur Darstellung "unscharfer" Mengen verwendet Fuzzy-Logik sog. Zugehörigkeitsfunktionen, 

welche durch Fuzzy-Operatoren logisch verknüpft 

werden können. 

– Grundkonzept der Fuzzy-Implikation ist: Wenn Prämisse teilweise wahr, 

dann Konklusion teilweise wahr. 

– Fuzzy-Control bezeichnet die Anwendung der Fuzzy-Logik in der Automatisierungstechnik 

und ermöglicht eine Prozessautomatisierung auf 

Basis empirischen Expertenwissens. 

– Wesentliche Bestandteile eines Fuzzy-Controllers sind die Fuzzifizierung, 

das Regelwerk (Inferenz) sowie die Defuzzifizierung. 

– Ein Fuzzy-Controller entspricht einen Kennfeldregler. 



AT II 

Vorbereitungsfragen zu Kapitel 4 

Frage 1: Fuzzy-Control (SS 12) 

Die Kühlleistung einer begehbaren Industriekühlkammer soll durch einen Fuzzy-Controller 

berechnet werden. Als Eingangswerte stehen die Größen T SOLL (-20 … +15 °C), 

T IST (-25 … +40 °C) und dT IST /dt (-2 .. +5 °C/min) zur Verfügung. Konstruieren Sie einen 

Fuzzy-Controller, der aus der Differenz von Ist- und Solltemperatur sowie der aktuellen 

Änderungsrate die Kühlleistung bestimmt. 

Frage 2: Fuzzy-Control (WS 01/02) 

Eine Heizungsanlage soll mit Hilfe eines Fuzzy-Controllers geregelt werden. Definieren Sie 

hierzu entsprechende Zugehörigkeitsfunktionen für die Regelgröße Raumtemperatur 

(Wertebereich: 10°C bis 25°C). Die Zugehörigkeitsfunktionen sollen sich mindestens zu 25%, 

maximal zu 50% überlappen. Beschriften Sie die Funktionen mit linguistischen Termen.

4 Prozessautomatisierung mit qualitativen Modellen - UniversitÃ¤t ...

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