Lesen - am Institut Arbeit und Wirtschaft - Universität Bremen

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Lesen - am Institut Arbeit und Wirtschaft - Universität Bremen

L E R N W I E D E R !

Institut Arbeit und Wirtschaft

Universität / Arbeitnehmerkammer Bremen

Direktor: Prof. Dr. Rudolf Hickel

Forschungseinheit:

Qualifikationsforschung

und Kompetenzerwerb

zertifiziert nach DIN EN ISO9001:2000

ESF - Projekt „Lern wieder!”

Selbstlernkompetenzen

für benachteiligte Jugendliche

in der beruflichen Bildung -

Lehr- und Lernberatung

für Lehrkräfte, Schüler/-innen

und Auszubildende

EUROPÄISCHE UNION

Europäischer Sozialfonds

Freie Hansestadt Bremen

Senator für Arbeit,

Frauen, Gesundheit,

Jugend und Soziales

Senator für Bildung

und Wissenschaft

SEESTADT

BREMERHAVEN

Der Magistrat

Mathematikdefizite bei

Bildungsbenachteiligten in

beruflichen Bildungsgängen

Eine Förderbedarfsanalyse

für Lehrende und Lernende

Gerlinde Hammer, Rolf Röhrig

Bremen / Bremerhaven, April 2007

www.iaw.uni-bremen.de/netzwerk-lebenslanges-lernen

2


ESF - Projekt LERN WIEDER!

"Selbstlernkompetenzen für benachteiligte Jugendliche in der beruflichen Bildung - Lehr- und

Lernberatung für Lehrkräfte und Schüler/-innen und Auszubildende"

Mathematikdefizite bei Bildungsbenachteiligten in beruflichen Bildungsgängen

Eine Förderbedarfsanalyse für Lehrende und Lernende

Bremen / Bremerhaven, April 2007

Gerlinde Hammer, Rolf Röhrig

Daten und Informationen

Projektleitung

Gerlinde Hammer Tel.: 0049- (0)421-218-9514 E-Mail: ghammer@uni-bremen.de

Mitarbeiter/-in

Änne Hildebrandt Tel.: 0049- (0)421-218-2462 E-Mail: aehilde@uni-bremen.de

Barbara Hummel Tel.: 0049- (0)421-218-9518 E-Mail: bhummel@uni-bremen.de

Susanne Kretzer Tel.: 0049- (0)421-218-2462 E-Mail: skretzer@uni-bremen.de

Eugen Nordloh Tel.: 0049- (0)421-218-9518 E-Mail: enordloh@uni-bremen.de

Laufzeit

01.01.2005 bis 31.12.2007

Postadresse

Universität Bremen / IAW; FVG-Mitte; Celsiusstraße; Postfach 330440; D - 28334 Bremen

Projekt E-Mail

Homepage

lernwieder@iaw.uni-bremen.de

http://www.iaw.uni-bremen.de/netzwerk-lebenslanges-lernen

Förderung und Kooperation

EUROPÄISCHE UNION

Europäischer Sozialfonds

Freie Hansestadt Bremen

Senator für Arbeit,

Frauen, Gesundheit,

Jugend und Soziales

Freie Hansestadt Bremen

Senator für Bildung

und Wissenschaft

SEESTADT

BREMERHAVEN

Der Magistrat

KG Ostertor /

Physionetzwerk


„LERN WIEDER!“

1

Mathematikdefizite bei

Bildungsbenachteiligten in

beruflichen Bildungsgängen

Eine Förderbedarfsanalyse für Lehrende

und Lernende

Gerlinde Hammer,

Rolf Röhrig

Bremen / Bremerhaven, April 2007

ESF - Projekt: Lern wieder!

Selbstlernkompetenzen für benachteiligte Jugendliche in der beruflichen

Bildung - Lehr- und Lernberatung für Lehrkräfte, Schüler/-innen

und Auszubildende


2 „LERN WIEDER!“

Inhaltsverzeichnis

Mathematikdefizite bei Bildungsbenachteiligten in beruflichen Bildungsgängen

Eine Förderbedarfsanalyse für Lehrende und Lernende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1 Mut zur Bildung tut not . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2 "Bildung in Deutschland":

Stand und Defizite in der qualifizierenden Berufsbildung . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2.1 Schülerleistungen und Schulwesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2.2 Prekäre Übergangssysteme: Probleme beim Übergang in die Berufsausbildung .8

2.3 "Kriterienkatalog zur Ausbildungsreife": gemeinsame Anforderungen von

Unternehmen, Schulen und Institutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

2.3.1 Kriterienkatalog Ausbildungsreife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

2.3.2 Schulisches Basiswissen im Bereich Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

3 Mathematik in der beruflichen Bildung: Defizite, Ursachen, Lösungen . . . . . .11

3.1 Kulturtechnik Rechnen: Die Rolle der Mathematik in Gesellschaft und Beruf . .11

3.2 Bildungsbenachteiligte Rechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.3 Fachlich-didaktische Defizite bei Lehrenden: Pisa-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.4 Neue Erkenntnisse und Instrumente der Lernforschung und -förderung:

Arithmasthenie/Dyskalkulie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

3.4.1 Subjektive Algorithmen: Fehler der besonderen Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

3.4.2 Pädagogische Fehlinterpretationen bei subjektiven Algorithmen . . . . . . . . . . .17

3.5 Mängel orthodoxer Fördermethoden: Beispiel Nachhilfe . . . . . . . . . . . . . . . . .17

4 Förderbedarfsanalyse für Lernende und Lehrende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

4.1 Untersuchungsdesign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

4.2 Instrumente: teilstandardisierter Fragebogen und Gesprächsleitfaden für

Experteninterviews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

4.2.1 Fehlertypologie: erhebungsrelevante Defizite bei Schülerinnen und Schülern . .20

4.2.2 Fragebogen und Leitfaden Expertengespräch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

5 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

5.1 Mathematikdefizite bei Lernenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

5.2 Strukturelle Defizite: Lernumfeld, Lern- und Lehrmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

5.3 Fachliche und didaktische Defizite des Lehrpersonals . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29


„LERN WIEDER!“

3

6 Ausblick: Qualifizierungsmodul für Lehrende zur Behebung von

Mathematikdefiziten bei Bildungsbenachteiligten - ein methodischer Aufriss .31

6.1 Baustein 1: Einführung in das Prinzip der Dyskalkulie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

6.2 Baustein 2: Erarbeitung einer Fehlersystematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

6.3 Baustein 3: Methoden der Fehlerdiagnostik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

6.4 Baustein 4: Förderstrategien - eine exemplarische Auswahl . . . . . . . . . . . . . . .37

6.4.1 Der Algorithmus der schriftlichen Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

6.4.2 Division durch 0: Erklärungen statt Verbote präsentieren! . . . . . . . . . . . . . . . .39

6.4.3 Gleichungen mit einer Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Literatur und Links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

Anhang: Leitfaden Experteninterviews und Kurzrechentest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45


4 „LERN WIEDER!“


„LERN WIEDER!“

5

1 Mut zur Bildung tut not

"Im vergangenen Jahr erreichten in Deutschland 80.000 Mädchen und Jungen keinen

Schulabschluss." So lautet der erste Satz der "Berliner Rede" von Bundespräsident Köhler,

die er am 21. September 2006 zur Bildungspolitik gehalten hat. 1 "Beschämend" nannte der

Bundespräsident die Situation der Bildung in Deutschland, obwohl die Lehrerinnen und

Lehrer gewiss ihr Bestes geben und nach den Worten des Staatsoberhauptes "Helden des

Alltags" sind.

Die Wirkungen dieses Zustands sind alarmierend, wie die jüngste Shell-Studie ermittelt hat:

"Jugendliche, die die Schule ohne Bildungsabschluss verlassen haben, können keinesfalls

damit rechnen, einen Ausbildungsplatz zu erhalten."

(Shell-Studie 2006, Süddeutsche Zeitung 22.9.2006)

Die deutsche Wirtschaft sieht ihre Wettbewerbsfähigkeit durch einen zunehmenden

Fachkräftemangel und durch "Bildungsarmut" bei den Jugendlichen bedroht:

"Fast jeder zehnte Schüler eines Jahrgangs schafft keinen Hauptschulabschluss, mehr als

jeder fünfte Jugendliche scheitert in der Berufsschule. Dies geht aus einer Studie des

arbeitgebernahen Instituts der deutschen Wirtschaft hervor (...)."

(Weser-Kurier 26.6.2006)

Hinter hohen Abbrecherquoten verbergen sich nicht nur persönliche Dramen, sondern

auch ein gewaltiges soziales Problem, wie das Institut der Deutschen Wirtschaft vorrechnet.

Die Folgekosten mangelnder Bildungseffizienz, die sich in einer hohen Zahl von Schulabbrechern

und Sitzenbleibern niederschlägt, wird mit 3,7 Milliarden Euro beziffert. 2

Damit rücken Bildungsbenachteiligte mit sozial prekärem oder auch einem Migrationshintergrund

verstärkt ins Blickfeld der bildungspolitischen Diskussion. Denn sie sind es, die

den größten Anteil unter der genannten Klientel stellen.

Die Förderung auch von Bildungsbenachteiligten gehört daher zu den wichtigen Aufgaben

unseres Bildungssystems. Die Überprüfung der bisherigen Fördermaßnahmen und -instrumente

ist ebenso notwendig wie der Mut, innovative Methoden für die Überwindung

der Bildungsmisere einzusetzen. So jedenfalls sieht es die Bundesministerin für Bildung

und Forschung:

1 Bundespräsident Horst Köhler, Berliner Rede 21.9.2006, zitiert nach: Süddeutsche Zeitung 22.9.2006

2 Institut der Deutschen Wirtschaft, zitiert nach: Süddeutsche Zeitung 22.9.2006


6 „LERN WIEDER!“

"Wir müssen (...) ein besonderes Augenmerk auf jene Jugendliche richten, die sich schwer

tun, die schulschwach sind, die nicht im ersten Anlauf zu einer ausreichenden Ausbildungsreife

kommen. (...) Wir brauchen auch eine Bilanz der bisherigen Förderinstrumente

(...). Sind es die richtigen Instrumente, oder brauchen wir nicht längst neue?"

(Die Bundesministerin für Bildung und Forschung, Dr. Annette Schawan, Eröffnungsrede

Jobstarter-Auftaktkonferenz 19./20. Januar 2006, S. 6)

Dem ist nur beizupflichten. Diese Studie versteht sich als bescheidener Versuch, einen kleinen

Beitrag für die große Aufgabe zu leisten, die Bildungssituation auch Benachteiligter in

Deutschland grundlegend zu bessern. Dabei sollen auch innovative Methoden der jüngeren

Lernforschung und -förderung aus dem Gebiet der Arithmasthenie zum Zug kommen.


„LERN WIEDER!“

7

2 "Bildung in Deutschland": Stand und Defizite in der

qualifizierenden Berufsbildung

Der Bericht "Bildung in Deutschland" ist die erste umfassende Bestandsaufnahme des

gesamten deutschen Bildungswesens. Der Herausgeber ist das Konsortium Bildungsberichterstattung

im Auftrag der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der

Bundesrepublik Deutschland und des Bundesministeriums für Bildung und Forschung. 3

Einen Schwerpunkt bildet das berufliche Ausbildungswesen und die besondere Rolle

Bildungsbenachteiligter in der qualifizierenden Berufsbildung, die auch Gegenstand dieser

Förderbedarfsanalyse sind.

2.1 Schülerleistungen und Schulwesen

Erfreulich ist der Anstieg der Bildungsbeteiligung der Bevölkerung insgesamt:

"Im Jahr 2004 besuchten 17 Mio. Menschen Bildungseinrichtungen vom Elementarbereich

bis zur Hochschule. Die Bildungsbeteiligung ist in den letzten Jahrzehnten kontinuierlich

gestiegen"

(Bildung in Deutschland 2006, S. 198)

Die Schwächen aber sind ebenfalls unübersehbar. Die PISA-Studie hat deutliche Kompetenzlücken

vor allen Dingen im Bereich der mathematisch-naturwissenschaftlichen Fächer

offenbart. Darüber hinaus ist zu vermerken, dass ein sehr hoher Anteil von Abgängern ohne

Abschluss bleibt:

"Dessen ungeachtet hat sich aber an einem grundlegenden Problem kaum etwas geändert:

dem nach wie vor hohen Anteil von Abgängern, die die Schule ohne Abschluss verlassen,

sowie der Tatsache, dass ein erheblicher Prozentsatz von Schülerinnen und Schülern auf

einem sehr niedrigen Kompetenzniveau verbleibt."

(Bildung in Deutschland 2006, S. 198)

2.2 Prekäre Übergangssysteme:

Probleme beim Übergang in die Berufsausbildung

Die bildungspolitische Diskussion bezeichnet mit dem Terminus Übergangssystem diverse

berufsvorbereitende Maßnahmen, die zwischen dem Schulabschluss und dem Übergang in

eine reguläre qualifizierende Berufsausbildung liegen. Dazu gehören unter anderem berufsvorbereitende

Maßnahmen der Agentur für Arbeit, aber auch Berufsvorbereitungs- und

Berufsgrundbildungsjahr sowie Berufsfachschulen, die es Schulabgängern ohne Abschluss

ermöglichen, einen allgemeinbildenden Schulabschluss nachzuholen.

3 Vergleiche hierzu Konsortium Bildungsberichterstattung im Auftrag der Ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der

Bundesrepublik Deutschland und des Bundesministeriums für Bildung und Forschung (Hrsg.), Bildung in Deutschland, Bielefeld

2006. Download unter www.bildungsbericht.de Im Folgenden wird der Bericht zitiert als "Bildung in Deutschland 2006".


8 „LERN WIEDER!“

Der Bericht "Bildung in Deutschland" zeigt sich alarmiert über den Bedeutungszuwachs,

den das Übergangssystem erfahren hat:

"40 % der Jugendlichen, die neu in eine Berufsausbildung einsteigen wollen, halten sich

zunächst in einem Übergangssystem auf. (...) Die Teilnehmerzahl des Übergangssystems

hat sich im letzten Jahrzehnt um 44 % auf fast eine halbe Mio. Jugendliche (2004) erhöht.

Die Gefahr, dass hier wichtige Ressourcen von Jugendlichen und ein bedeutsames

Arbeitskräftepotenzial für die Zukunft verspielt werden, ist nicht von der Hand zu weisen."

(Bildung in Deutschland 2006, S. 199)

Dabei sind besonders bildungsbenachteiligte Jugendliche betroffen, die in der Mehrzahl der

Fälle aus sozial schwachen Verhältnissen oder aus Familien mit Migrationshintergrund stammen.

Aber selbst Absolventen mit Realschulabschluss fallen unter die genannte Gruppe:

"Die Schwierigkeiten beim Übergang in eine Berufsausbildung treffen am härtesten die

Jugendlichen auf den untersten Bildungsstufen; aber auch jeder vierte Neuzugang mit

Realschulabschluss beginnt seine Berufsausbildung im Übergangssystem."

(Bildung in Deutschland 2006, S. 199)

Die Gründe für diesen Zustand werden kontrovers diskutiert. Einerseits wird die unverändert

kritische Lage am Arbeitsmarkt genannt, die vielen Jugendlichen kein zureichendes

Angebot an Ausbildungsplätzen machen kann, so dass mit dem betrieblichen auch das

schulische Ausbildungsangebot sinkt. Andererseits werden auch immer wieder Klagen über

die mangelnde Eignung Jugendlicher laut, verursacht durch Defizite im schulischen Bereich

der Wissensvermittlung. Insbesondere die Wirtschaft und ihre Verbände verweisen auf signifikante

Mängel schon bei der Elementarbildung der Ausbildungsplatzbewerber/-innen:

"Über die Gründe für die rapide Ausweitung des Übergangssektors ist viel spekuliert worden:

ob sie mehr in der Krise des Ausbildungsmarktes, d.h. im Rückgang des betrieblichen

und schulischen Ausbildungsplatzangebotes, oder in Defiziten der Schulen in der Vermittlung

elementarer individueller Voraussetzungen für die Aufnahme einer qualifizierenden

Berufsausbildung liegen."

(Bildung in Deutschland 2006, S. 82)

Ob die eine oder andere Ursache dominiert, muss an dieser Stelle ebensowenig entschieden

werden, wie im zitierten Bericht "Bildung in Deutschland". Unstrittig unter Experten ist

jedenfalls, dass beide Faktoren wirksam sind.

2.3 "Kriterienkatalog zur Ausbildungsreife":

gemeinsame Anforderungen von Unternehmen,

Schulen und Institutionen

Auf dieser Basis haben sich Verbände und Institutionen darauf verständigt, einvernehmlich

zu definieren, welche Anforderungen ein Jugendlicher erfüllen sollte, der sich um eine

berufliche Erstqualifizierung bemüht.


„LERN WIEDER!“

9

Am 16. Juni 2004 haben Bundesregierung und die Spitzenverbände der Wirtschaft einen

"Nationalen Pakt für Ausbildung und Fachkräftenachwuchs" auf drei Jahre geschlossen.

Ein Expertengremium wurde damit betraut, ein einheitliches Verständnis der Ausbildungsreife

zu entwickeln, das die Mindeststandards für die Aufnahme einer Berufsausbildung

festlegt. 4

Danach gilt als ausbildungsreif, wer folgende Merkmale aufweist:

"Eine Person kann als ausbildungsreif bezeichnet werden, wenn sie die allgemeinen

Merkmale der Bildungs- und Arbeitsfähigkeit erfüllt und die Mindestvoraussetzungen für

den Einstieg in die berufliche Ausbildung mitbringt. (...) Fehlende Ausbildungsreife zu

einem gegebenen Zeitpunkt schließt nicht aus, dass diese zu einem späteren Zeitpunkt

erreicht werden kann."

(Kriterienkatalog Ausbildungsreife 2006, S. 7)

2.3.1 Kriterienkatalog Ausbildungsreife

Auf Grundlage dieser begrifflichen Festlegung wurden die einzelnen Kriterien definiert,

denen die Ausbildungsreife zu genügen hat. Der Katalog gliedert sich in folgende

Merkmalsbereiche:

• "Schulische Basiskenntnisse

• Psychologische Leistungsmerkmale

• Physische Merkmale

• Psychologische Merkmale des Arbeitsverhaltens und der Persönlichkeit

• Berufswahlreife"

(Kriterienkatalog Ausbildungsreife 2006, S. 9)

Für unsere Untersuchung ist der erste Merkmalsbereich relevant, die schulischen

Basiskenntnisse:

• "(Recht)Schreiben

Lesen - mit Texten und Medien umgehen

• Sprechen und Zuhören (mündliches Ausdrucksvermögen)

• Mathematische Grundkenntnisse"

(Kriterienkatalog Ausbildungsreife 2006, S. 11)

Diese Elementaria werden auch als Kulturtechniken bezeichnet. Denn sie sind auch jenseits

der beruflichen Ausbildung unverzichtbare Werkzeuge zur Orientierung des Individuums

in einem gesellschaftlichen Umfeld, das auf Kommunikation und verständiger

Interaktion beruht.

4 Der "Expertenkreis Ausbildungsreife" hat seine Ergebnisse unter dem Titel "Kriterienkatalog Ausbildungsreife. Ein Konzept für die

Praxis." am 30. Januar 2006 dem Paktlenkungsausschuss vorgelegt. Herausgeber ist die Bundesagentur für Arbeit. Wir zitieren den

Katalog im Folgenden als "Kriterienkatalog Ausbildungsreife 2006".


10 „LERN WIEDER!“

2.3.2 Schulisches Basiswissen im Bereich Mathematik

Für die Kulturtechnik des Rechnens definiert der Kriterienkatalog nun folgende

Mindestanforderungen:

“Beschreibung:

• Jugendliche sind in der Lage, grundlegende mathematische Kenntnisse und

Fertigkeiten anzuwenden und zutreffende Lösungen zu entwickeln.

Zahlen:

• Sie/er kann Rechengesetze (Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren,

Dividieren) anwenden.

• Sie/er beherrscht Prozent- und Bruchrechnung.

• Sie/er führt einfache Berechnungen

(z.B. Kleines Einmaleins) und Überschlagsrechnungen im Kopf durch.

• Sie/er kann einfache Textaufgaben lösen.

• Sie/er beherrscht die Dreisatzrechnung.

Messen:

• Sie/er kann Längen, Flächen und Volumina bestimmen.

• Sie/er wählt Maß-Einheiten von Größen situationsgerecht aus (insbesondere für Zeit,

Masse, Geld, Länge, Fläche, Volumen und Winkel) und kann sie umwandeln.

Raum und Form:

• Sie/er zeichnet und konstruiert geometrische Figuren unter Verwendung

angemessener Hilfsmittel, wie Zirkel, Lineal, Geodreieck.

Daten:

• Sie/er versteht graphische Darstellungen und Tabellen.”

(Kriterienkatalog Ausbildungsreife 2006, S. 15)

Diesen Kriterienkatalog legen wir im Folgenden zugrunde, wenn wir der Frage nachgehen,

wo Defizite in der beruflichen Qualifizierung auf dem Gebiet des Fachrechnens liegen und

wie man diese ermittelt und behebt.


„LERN WIEDER!“

11

3 Mathematik in der beruflichen Bildung:

Defizite, Ursachen, Lösungen

3.1 Kulturtechnik Rechnen:

Die Rolle der Mathematik in Gesellschaft und Beruf

Man geht fehl, wollte man die Mathematik als eine isolierte geistige Disziplin betrachten,

von deren Beherrschung die weitere Betätigung der Intelligenz in unserer Gesellschaft unbehelligt

bliebe. Im Gegenteil, auch die Europäische Union unterstreicht in einer

ihrer jüngsten Stellungnahmen zu den naturwissenschaftlich-mathematischen

Kompetenzen den hohen Stellenwert, den diese in der universellen Bildung des

Staatsbürgers einnehmen:

"Mathematik kann ein Hilfsmittel für andere Fächer wie Physik, Chemie, Biologie und

gesellschaftswissenschaftliche Fächer sein. Mathematische Kenntnisse können sogar ein

selbstverständlicher Bestandteil eines modernen Bildungskonzepts werden.

Wissenschaftliche Kompetenz ist wichtig, weil sie unter anderem dabei hilft,

Zusammenhänge, Ursachen und Wirkungen sowie die Richtigkeit von Informationen zu

erkennen und zu begreifen. Für eine aktive staatsbürgerliche Kompetenz ist eine mathematisch-naturwissenschaftliche

Grundbildung unerlässlich."

(Europäische Union, Entwurf einer Stellungnahme der Fachkommission für Kultur, Bildung

und Forschung zu dem "Vorschlag für eine Empfehlung des Europäischen Parlaments und

des Rates zu Schlüsselkompetenzen für lebenslanges Lernen", Brüssel 20.3.2006)

In der Tat, die Beherrschung der Welt der Zahlen durchdringt alle staatsbürgerlichen

Lebensbereiche und ist für die Autonomie des Individuums unverzichtbar, das sich darin auf

mündige Weise bewegen will.

Im Zählen fassen Individuen die Dinge ihrer bloßen Quantität nach zusammen.

Kardinalzahlen antworten dann auf die Frage, wie viel von etwas vorhanden ist. Im

Rechnen werden dann Zahlen einem strategischen Kalkül unterworfen, das in den

Grundrechenoperationen seine Gesetzmäßigkeiten hat.

Dieser Zugang zur Quantität der Dinge gehört wie das Schreiben und Lesen zurecht in den

Umkreis der sogenannten Kulturtechniken, weil dergleichen unverzichtbares Werkzeug für

Kommunikation und Interaktion im gesellschaftlichen Umfeld ist. Ein korrektes Verständnis

von Zahlen braucht, wer eine Uhr oder einen Fahrplan lesen will. Gehaltsabrechnung und

Kontoverbindung sprechen die Sprache der Zahlen. Die Gebrauchsanleitung für Geräte, die

Packungsbeilage eines Arzneimittels oder das Rezept für ein Sonntagsgericht kommen ohne

Zahlen und deren Verhältnisse einfach nicht aus.

Es ist nur konsequent, dass das Fachrechnen in der beruflichen Bildung einen hohen

Stellenwert einnimmt. Konkrete Problemlösungen müssen erarbeitet werden, und fast

immer ist die Mathematik ein dafür unentbehrliches Handwerkszeug. Ob Auszubildende in

der Elektrotechnik aus Spannung und Stromstärke einen Widerstand ermitteln oder

Lernende der Hauswirtschaftslehre ein Rezept für zwei auf eine Gästetafel von acht


12 „LERN WIEDER!“

Personen anwenden sollen, aus der sachlichen Aufgabenstellung lässt sich eine mathematische

Rechenoperation herleiten, deren Lösung zum gewünschten Ziel führt. Der

Kriterienkatalog zur Ausbildungsreife zählt daher zurecht nicht nur das Merkmal

"Mathematisches Grundwissen", sondern an späterer Stelle das "Rechnerische Denken" zu

den psychologischen Leistungsmerkmalen aufbildungsreifer Personen:

"Rechnerisches Denken: Fähigkeit, schriftlich oder mündlich dargestellt Problemstellungen

zu analysieren und in eine Rechenoperation umzusetzen (Sprachkompetenz und das

Beherrschen der Grundrechenarten wird vorausgesetzt)."

(Kriterienkatalog Ausbildungsreife 2006, S. 18)

3.2 Bildungsbenachteiligte Rechner

Es liegt in der Natur des Fachs Mathematik, dass die Bildungsbenachteiligung auf Grund

sozialer Herkunft oder wegen eines Migrationshintergrundes hier eine besondere Rolle

spielt.

Das Gebäude der Mathematik ist nämlich wie kaum eine andere geistige Disziplin logisch

aufgebaut und strukturiert. Wer den Unterschied von Ziffer und Zahl nicht verstanden hat,

findet sich im dekadischen System nicht zurecht. Eine korrekte Auffassung der dekadischen

Zahldarstellung ist wiederum notwendig, will man das Bündeln und Entbündeln von Zahlen

begreifen, das sich in den arithmetischen Grundoperationen vollzieht. Wer aber Defizite in

den Grundrechenarten nicht abstellen konnte, muss sich auf dem Feld der Sachaufgaben

oder bei Gleichungen mit einer Variablen erst gar nicht versuchen.

Seine Fehler sind dem aktuellen Stoff nämlich vorgängig und liegen auf einer früheren Stufe

im mathematischen Gebäude. Insbesondere bei Bildungsbenachteiligten macht sich der

logisch strukturierte Aufbau der Mathematik nachhaltig geltend. Im Unterschied zu Kindern

aus gehobenen Bildungsschichten treten sie bereits in der Schule im Vergleich zu

Jahrgangsgenossen mit defizitären Kenntnissen der Zahlenwelt an. Der Unterricht in seiner

herkömmlichen Form kann in der Regel mit einer gleichmäßigen Unterweisung des

Klassenverbandes solche Kompetenzgefälle nicht ausgleichen. Sie setzen sich daher, einer

Kettenreaktion vergleichbar, auf den nächsten Stufen des mathematischen Gebäudes fort

und machen sich konsequenterweise auch in der beruflichen Qualifizierung geltend.

3.3 Fachlich-didaktische Defizite bei Lehrenden: Pisa-Plus

Gewiss lassen sich Defizite nicht nur auf Seiten der Lernenden, sondern auch bei den

Lehrenden identifizieren. Pädagoginnen und Pädagogen gehen in der überwiegenden

Mehrzahl der Fälle mit großem Engagement ihrer Aufgabe nach, die unter oft schwierigsten

Bedingungen zu absolvieren ist. Übergroße Klassen gehören ebenso dazu wie ein knapp

bemessener Zeitrahmen. Das Gefälle in Schulklassen ist oftmals so gewaltig, dass es in

Ansehung der durch den Lehrplan vorgegebenen Zeit kaum möglich erscheint, jedem

Einzelfall in vollem Umfang gerecht zu werden.


„LERN WIEDER!“

13

Hinzu kommen auch noch strukturelle Defizite, die nach Auffassung nicht weniger

Lehrerinnen und Lehrer in der beruflichen Bildung auf das Lernfeldkonzept zurückgehen.

Das Lernfeldkonzept stellt das Lernen in den Kontext berufsrelevanter praktischer

Aufgabenstellungen, die auch den Stoff der Unterweisung definieren. Die darin zur

Anwendung gebrachten mathematischen Kenntnisse werden im Wesentlichen als gewusst

vorausgesetzt, sind jedenfalls nicht mehr Gegenstand eines eigenständigen Unterrichts in

Fachrechnen. Diese Prämisse ist allerdings oftmals nicht erfüllt. Rechendefizite insbesondere

bei Bildungsbenachteiligten sind unübersehbar. Das schafft nicht nur zusätzliche

Belastungen. Defizite sind auch aus diesem Grund fast unausweichlich, auch wenn sich jede

Schuldzuweisung an das Lehrpersonal aus den genannten Gründen verbietet. Es kommt

eher einer heroischen Tat gleich, dass auch unter widrigsten Bedingungen ein noch vertretbarer

Unterricht angeboten wird.

Die Studie Pisa-Plus 2003, die im November 2006 vorgestellt wurde, kommt insgesamt zu

einem ernüchternden Befund. In den Jahren 2003 und 2004 wurden bundesweit mehr als

6000 Schüler in der neunten und zehnten Klasse getestet. Ein zentrales Ergebnis:

"Bei der Betrachtung auf Individualebene stellt sich jedoch heraus, dass sich die Zuwächse

sehr unterschiedlich auf die Schülerinnen und Schüler verteilen: Tatsächlich sind es nur

etwa 60 Prozent der Schülerinnen und Schüler, die im curricular orientierten beziehungsweise

grundbildungsbezogenen Test ihre Leistungen deutlich verbessern. Für eine

Teilgruppe mit einer Größenordnung von 8 Prozent sind deutliche Leistungsabnahmen zu

verzeichnen. Etwa ein Drittel der Schülerinnen und Schüler stagniert in der

Leistungsentwicklung."

(Pisa Plus 2003, S. 5 f)

Die Kernaussage der Studie bezüglich der Lernerfolgsentwicklung: 40 % der Schülerinnen

und Schüler lernen in Mathematik, 50 % in den Naturwissenschaften im Laufe eines ganzen

Schuljahres nichts hinzu (vergleiche auch hierzu Süddeutsche Zeitung 20.11.2006).

Das Ergebnis kann nicht einfach auf Bildungsdefizite der Lernenden abgebucht werden.

Eine zusätzliche Untersuchung bei Pädagogen unter dem Titel Coactiv-Studie (Süddeutsche

Zeitung 20.11.2006) wurde vom Max-Planck-Institut für Bildungsforschung präsentiert. Sie

hatte Mathematiklehrerinnen und -lehrer auf ihr fachlich-didaktisches Können hin analysiert.

In beiden Hinsichten ist der Befund wenig zufriedenstellend.

"Die Lehrer mussten zum Beispiel sagen, was sie einem Schüler antworten würden, der sie

fragt, warum minus eins mal minus eins einen positiven Wert ergibt. Hilflos sind die

Reaktionen wie ´Das ist eben so!´ oder ´Das muss man einfach lernen!´"

(Süddeutsche Zeitung 20.11.2006)

Neben solchen fachlichen Schwächen kommen zahlreiche didaktische Defizite hinzu. Dies

alles, wie gesagt, darf nicht als Schuldzuweisung an Pädagogen missverstanden werden.

Dieser Zustand zeugt vielmehr davon, wie sehr die "Helden der Bildung im Alltag", um das

Wort des Bundespräsidenten zu zitieren, selbst von weiterer Hilfestellung und didaktischer

Fortbildung profitieren könnten.


14 „LERN WIEDER!“

3.4 Neue Erkenntnisse und Instrumente der Lernforschung

und -förderung: Arithmasthenie/Dyskalkulie

Alle genannten Defizite sind unter Einsatz der herkömmlichen Unterrichts- und

Fördermethoden zustande gekommen. Und gewiss haben Pädagogen, Lehrerinnen und

Lehrer ihr Bestes gegeben. Dennoch, eine durchgreifende Besserung lässt auf sich warten.

Das bestätigt nicht nur die PISA-Studie, auch die verbreiteten Klagen der Wirtschaft und

anderer Verbände und Institutionen über die mangelnde Ausbildungsreife Jugendlicher

sprechen eine klare Sprache.

Dem folgenden Befund ist daher unseres Erachtens vorbehaltlos zuzustimmen:

"Wir müssen, wenn ich an die Jugendlichen selbst denke, in den nächsten Jahren (...) ein

besonderes Augenmerk auf jene Jugendliche richten, die sich schwer tun, die schulschwach

sind, die nicht im ersten Anlauf zu einer ausreichenden Ausbildungsreife kommen. Wir

müssen an der Nahtstelle zwischen Bildung und Beschäftigung die bisherigen

Fördermaßnahmen auf ihre Wirksamkeit hin überprüfen. Wir müssen gegebenenfalls zu

neuen Instrumenten kommen. (...) Wir brauchen auch eine Bilanz der bisherigen

Förderinstrumente, mit denen erhebliche Mittel in den Ländern in unserer Bundesagentur

auf vielen Ebenen verbunden sind. Nun stellt sich die Frage: Sind es die richtigen

Instrumente, oder brauchen wir nicht längst neue?"

(Die Bundesministerin für Bildung und Forschung, Dr. Annette Schawan, Eröffnungsrede

Jobstarter-Auftaktkonferenz 19./20. Januar 2006, S. 6)

In der Tat sind seit geraumer Zeit neue Erkenntnisse der Lernforschung und -förderung verfügbar,

die insbesondere im Umgang mit Bildungsbenachteiligten Erfolg versprechen. Unter

dem Namen Arithmasthenie oder Dyskalkulie, mitunter als Rechenschwäche übersetzt, hat

die Lernforschung an leistungsschwachen Lernenden Fehlertypen der besonderen Art

ermitteln können, die auch einer neuartigen Fördermethodik bedürfen.

3.4.1 Subjektive Algorithmen: Fehler der besonderen Art

Zum besseren Verständnis der Sache erläutern wir zunächst den Begriff des subjektiven

Algorithmus und geben dann ein Beispiel aus einem Test mit bildungsbenachteiligten

Jugendlichen in der beruflichen Ausbildung. 5

Fehler unterlaufen beim Rechnen immer wieder, dem einen mehr, dem anderen weniger.

Aber Fehler ist nicht gleich Fehler. Hier gibt es entscheidende Unterschiede. Zahlreiche

Fehler lassen sich gewiss unter dem Stichwort Flüchtigkeitsfehler abbuchen. In solchen

Fällen liegt ein mathematisches Wissen um die zu bearbeitende Sache durchaus vor. Aber

wegen einer Unaufmerksamkeit oder Konzentrationsschwäche verfehlt der Kandidat das

richtige Ergebnis. Die Korrektur besteht daher in solchen Fällen in der Regel darin, auf den

gemachten Fehler schlicht hinzuweisen.

5 Vergleiche hierzu Röhrig, Rolf, Dyskalkulie/Rechenschwäche Band 1, Mathematikdefizite bei rechenschwachen Auszubildenden.

Fehlertypen und Ursachen, Bremen 1994. Eine ausführliche Darstellung der Ergebnisse und Methoden der Arithmasthenie findet

sich auch in: Röhrig, Rolf, Mathematik mangelhaft. Fehler entdecken, Ursachen erkennen, Lösungen finden.

Arithmasthenie/Dyskalkulie: Neue Wege beim Lernen, Hamburg 1996


„LERN WIEDER!“

15

Weitere Erläuterungen über den Rechenweg oder mathematische Gesetze erübrigen sich

hier, weil diese, insofern es sich um einen bloßen Flüchtigkeitsfehler handelt, bekannt sind.

Die Praxis zeigt jedoch, dass eine Vielzahl von Fehlern voreilig mit diesem Etikett versehen

wird, und das zeugt eher von einer flüchtigen Betrachtungsweise des Beurteilenden als von

einer treffenden Diagnose.

Ähnliches gilt von der Behauptung, viele Fehler würden einfach aus Unwissenheit begangen.

Natürlich ist nicht zu bestreiten, dass es Kindern und Jugendlichen auf diesem oder

jenem Feld der Mathematik je nach Ausbildungsstand noch an Wissen mangelt. Sicher

scheitern solche Aspiranten dann auch an der Lösung von Aufgaben, welche diesen

Kenntnisstand notwendig voraussetzen. Aber die Banalität, dass ein Viertklässler der

Grundschule an der Integralrechnung verzweifelt, kann wohl kaum die Mathematikdefizite

erklären, die bei einem Probanden dieses Jahrgangs in Rede stehen.

Es verhält sich anders: Ein Großteil der Rechenfehler geht nicht auf nicht vorhandenes

Wissen oder nicht gegebene Aufmerksamkeit zurück. Im Gegenteil: Eine erkleckliche Anzahl

von Rechenmängeln verdankt sich einer konsequent und zielstrebig eingesetzten falschen

subjektiven Logik, mit der ein Proband konzentriert und angestrengt "folgerichtig" zum falschen

Ergebnis kommt. In diesen Fällen liegt kein bloßer Irrtum vor. Der Lernende hat sich

bei seinem verkehrten Rechenweg und daher falschen Ergebnis "etwas gedacht". Was er

sich gedacht hat, ist leider nicht richtig, sondern verweist vielmehr darauf, dass er an einer

vorgelagerten Stelle im Gebäude der Mathematik grundlegende Gesetze und Prinzipien

nicht bzw. falsch verstanden hat. An die Stelle objektiver Gesetze der Mathematik hat der

mit seinem Unverständnis kämpfende Kandidat von ihm selbst erdachte Regeln und

Prinzipien, gewissermaßen subjektive Algorithmen gesetzt. Und dieses falsche Wissen

bringt er nun im weiteren Fortgang zum Einsatz. Das Ergebnis ist bekannt. So kommen

Fehler beim Rechnen zustande, die nur für den oberflächlichen Betrachter mit Flüchtigkeit

oder Unwissen ursächlich zu tun haben.

Wir wollen diesen Sachverhalt an einem Beispiel verdeutlichen, das typisch ist, und zwar

sowohl für die Produktion von subjektiven Algorithmen als auch die falsche Interpretation,

die solchen Fehlleistungen nur allzu oft durch Lehrer, Didaktiker und Pädagogen zuteil wird.

Das Beispiel ist einem Rechentest entnommen, den wir mit Jugendlichen durchgeführt

haben.

Folgende Aufgabe war zu lösen: Subtraktion von zweistelligen positiven ganzen Zahlen

zwischen 0 und 99 im Kopf, schriftliches Notieren von Zwischenergebnissen ist erlaubt. Hier

ein Ergebnis aus dem Test:

(1) 46 - 23 = 17

(2) 65 - 38 = 27

Die erste Subtraktion wurde falsch, die zweite korrekt durchgeführt. Aber warum?

Flüchtigkeit? Zufall? In qualitativen Interviews zum Test und seinen Ergebnissen baten wir

die Schülerinnen und Schüler, ihren Rechenweg zu offenbaren.


16 „LERN WIEDER!“

Und siehe da, lautes Vordenken und -rechnen brachte eine Lösungsstrategie ans Tageslicht,

die mit Aufmerksamkeitsmängeln oder Gleichgültigkeit gegenüber der Aufgabenstellung

rein gar nichts zu schaffen hat:

(3) 40 - 20 = 20

6 - 3 = 3

20 - 3 = 17

(4) 60 - 30 = 30

8 - 5 = 3

30 - 3 = 27

• Dem in (3) skizzierten Lösungsweg liegt folgender Fehler zugrunde: Zunächst zerlegt der

Schüler Minuend und Subtrahend in Zehnerbündel und Einer und subtrahiert jeweils diese

voneinander. Soweit ist das Vorgehen korrekt. Statt nun im dritten Schritt die so ermittelten

Reste zu addieren, subtrahiert er auch hier: 20 - 3 = 17, so lautet das falsche Ergebnis.

Bei dieser Strategie hat eine falsche Überlegung Pate gestanden: Die Vereinfachung einer

Subtraktion durch Zerlegung der Zahlen in Zehnerbündel und Einer, die voneinander abzuziehen

sind, lässt sich der Lernende noch einleuchten. Dass die jeweiligen Restbeträge aber

zu addieren sind, kommt ihm deswegen nicht in den Sinn, weil er die Aufgabe

"Subtrahiere" verkehrt als die mechanische Anweisung auffasst, zwei Zahlen, wo immer sie

ihm auf seinem Lösungsweg bei einer Subtraktionsaufgabe begegnen, voneinander abzuziehen.

Der Algorithmus der Subtraktion per Zerlegung ist also nicht begriffen, sondern

falsch interpretiert worden. Ein verkehrter subjektiver Algorithmus ist an die Stelle des

objektiven mathematischen Verfahrens getreten.

• Und nun kommt das Verblüffende: In Aufgabe (2) 65 - 38 führt - mit einer kleinen

Modifikation - die Anwendung desselben falschen Algorithmus notwendig zum

richtigen Ergebnis.

Zunächst unterscheidet sich diese Aufgabe von der vorhergehenden nur dadurch, dass die

Anzahl Einer im Minuenden kleiner als im Subtrahenden ist. Daher muss bei der Subtraktion

per Zerlegung ein Zehnerbündel in Einer aufgelöst werden (Zehnerübergang), damit die

Subtraktion im Bereich der positiven Zahlen überhaupt ausführbar ist: 60 - 30 = 30, aber

5 - 8 ist ohne Zuhilfenahme negativer Zahlen keine durchführbare Operation. Also wird

beim Zerlegungsverfahren 50 - 30 = 20 ermittelt, so dass nach Auflösung eines

Zehnerbündels noch die Differenz 15 - 8 zu berechnen wäre. Ganz anders verfährt die

Testperson, die ihrem eigenen verkehrten Verfahren treu bleibt: Im Lösungsweg (4) werden

zunächst die Zehnerbündel voneinander abgezogen. Schritt zwei bestünde in der

Subtraktion 5 - 8. Diese Aufgabe ist für den Probanden nicht lösbar, weil er über die negativen

Zahlen nicht verfügt und die im Zerlegungsalgorithmus vorgesehene Auflösung eines

Zehnerbündels nicht begriffen hat. Der gute Wille, auf jeden Fall eine Lösung zu präsentieren,

lässt ihn die Aufgabe daher umstellen: 5 - 8 "geht nicht", also muss man 8 - 5 rechnen,

um überhaupt ein Resultat zu erzielen. Schritt drei subtrahiert wieder die so ermittelten

Reste voneinander - 30 - 3 = 27 und kommt - oh Wunder der Mathematik! - auf diese

denkbar falsche Weise zum richtigen Ergebnis.


„LERN WIEDER!“

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• Mit anderen Worten: Ein und derselbe falsche Algorithmus für die Subtraktion führt in

50 % aller Fälle zum falschen, bei den anderen 50 % (Subtraktion mit Zehnerübergang)

zum richtigen Ergebnis. Und zwar notwendig. Kurz gesagt deshalb, weil dem Schüler ein

doppelter Vorzeichenfehler unterläuft, der alles zum Guten wendet.

3.4.2 Pädagogische Fehlinterpretationen bei

subjektiven Algorithmen

Dass vielen Lehrern und Lehrerinnen, aber auch Eltern wie Schülern und Schülerinnen diese

subjektive Logik verborgen bleibt, gibt zu weitreichenden Fehlschlüssen Anlass. Zunächst

einmal verführt die Tatsache, dass immerhin 50 % der Lösungen korrekt sind, zu der falschen

Auffassung, der Jugendliche beherrsche doch wenigstens im Prinzip die Subtraktion,

vielleicht bei einem Mangel an Routine. Selbstverständlich wird dabei übersehen, dass gerade

das nicht begriffene Subtraktionsverfahren zu einem richtigen Ergebnis führt, weil der

Lernende sich ein subjektives, verkehrtes Regelwerk erdacht hat, das aus den oben dargelegten

Gründen in einigen Fällen erfolgreich ist. Bestärkt fühlen sich manche Pädagogen

und Didaktiker in diesem Fehlurteil erst recht dadurch, dass der Schüler ja immer dann richtig

liegt, wenn er die schwierigeren Aufgaben mit Zehnerübergang zu bearbeiten hat.

Dann wird wohl die leichtere Variante schlicht zur Unaufmerksamkeit und Nachlässigkeit

animieren, weil der Schüler sich unterfordert sieht - so mündet die falsche Diagnose endgültig

auf der schiefen Bahn, die manchem Lernenden zum Verhängnis wird: Er wird zur

Konzentration angehalten, mit Übungsaufgaben bombardiert, um Routine zu gewinnen -

aber nie wird das falsche Verfahren offengelegt und richtiggestellt. Es führt ja zu

Ergebnissen, die eine ganz gegenteilige Mutmaßung über den Wissensstand des

Probanden hervorrufen.

Wir haben es hier mit einem exemplarischen Fall von einem prinzipiellen mathematischen

Denkfehler zu tun, der in der Regel - wie oben gezeigt - ebenso falsch interpretiert wie

behandelt wird. Und das hat negative Konsequenzen für den Schüler wie für seine gutmeinenden

Förderer, wenn sie sich mit Nachhilfeunterricht und Übungen erfolglos an der

Beseitigung von Rechenmängeln abarbeiten, die dadurch nicht selten nur vertieft und verfestigt

werden.

3.5 Mängel orthodoxer Fördermethoden: Beispiel Nachhilfe

Um mit dem Positiven zu beginnen: Selbstverständlich hat der Nachhilfeunterricht eine

wichtige Funktion. Wer die Bruch- oder Prozentrechnung nicht begriffen hat, bekommt sie

per Nachhilfe eben noch einmal erklärt. Fleißiges Üben macht ebenfalls Sinn, weil die bloße

Kenntnis der mathematischen Gesetzmäßigkeiten noch gar nicht die gewünschte Routine

bei der rechnerischen Ausführung derselben einschließt.

Und nun zur negativen Seite: Unsinnig, ja sogar schädlich und kontraproduktiv ist der

Nachhilfeunterricht allerdings immer da, wo er sich an Fehlertypen der oben skizzierten Art

abarbeitet, ohne eine Ahnung davon zu haben.


18 „LERN WIEDER!“

Die Nachhilfe beginnt in solchen Fällen bereits mit einem verkehrten Auftakt: "Richtig rechnet

man das so" ist, bei Lichte betrachtet, keine Hilfestellung für Schülerinnen und Schüler,

die falsch rechnen. Denn so wird die verkehrte Lösung nicht kritisiert, sondern mit dem richtigen

Weg bloß konfrontiert. Auf diese Weise bleibt der Grund des Fehlers im Dunkeln.

Für den Lernenden ergibt sich eine fatale Situation: Seine falsche Denkstrategie wird mangels

Kritik nicht durch die richtige Gesetzmäßigkeit ersetzt, sondern um diese ergänzt. Von

nun an schwankt er zwischen zwei Regeln, die ihm gleichermaßen einleuchten: Die erste,

weil es die eigene ist; die zweite, weil sie ihm von einem Fachmann nahegelegt wird.

Welche wann zum Zug kommt, ist eine Frage des Zufalls und der Willkür. Auf diese Weise

wohnt Rechenmängeln selbst dann ein Prinzip inne, wenn sie auf den ersten Blick in ihrem

Auftreten so inkonsequent und willkürlich aussehen.

Dass auf diese Weise vorliegende Mathematikdefizite fortgeschrieben werden, bemerkt

natürlich ein guter Nachhilfelehrer. Das provoziert nicht selten den Fehlschluss, es mangele

an Übung. Damit aber wird nicht der Fehler behoben, sondern das Material vervielfältigt, in

dem er sich ausdrückt. So wird zu allem Überfluss auch noch die nach wie vor in Kraft

befindliche falsche Logik vertieft.

Im besten Fall zeitigt der Nachhilfeunterricht positive Folgen - und verschlimmert dadurch

die Lage. Der Aspirant, dem nach wie vor sein subjektives falsches Regelwerk einleuchtet,

mag sich dazu entscheiden, wenigstens die ihm dargebotene richtige Strategie auswendig

zu lernen, wenn schon nicht zu begreifen. Das bringt temporäre Erfolge bei Klassenarbeiten

- und rächt sich enorm auf einer späteren Stufe der mathematischen Ausbildung. Der logische

Aufbau des mathematischen Gebäudes führt nämlich dazu, dass Wissenslücken und

Fehler auf einer vorgelagerten Stufe ein Begreifen nachfolgender Theorien fast unmöglich

machen. Wer über die Grundlagen der Arithmetik nicht verfügt, wird Gleichungen mit einer

Variablen nie lösen können.

So hat die Sache am Ende nicht selten einen psychologischen Effekt: Mathematik wird auch

für willige Lernende früher oder später zur reinen Tortur. Denn alles Üben nutzt nichts, der

Fehler wird ja nie behoben. Also stellen sich falsche Ergebnisse ein, und schließlich häuft sich

der damit verbundene Tadel.

Die Demotivierung des Lernenden wird nicht nur als Faulheit gegeißelt, sie gilt auch noch

als Grund der Fehler, obwohl sie die Folge verfehlter Bemühungen ist, Fehler zu beheben.

Das legt vielen Aspiranten den psychologischen Fehlschluss nahe, ein Versager in

Mathematik zu sein, indem sie eine kleine, aber entscheidende semantische Verschiebung

vornehmen. Der Satz "Ich kann Mathematik nicht." gerät vielen Lernenden nach erfolglosem

Bemühen zu dem Seufzer "Ich kann Mathematik nicht.", womit die Diagnose des

Versagers fertig und eine nachhaltige Lernblockade in Kraft gesetzt wäre.


„LERN WIEDER!“

19

4 Förderbedarfsanalyse für Lernende und Lehrende

Im Folgenden werden wir Untersuchungsdesign und Instrumente für unsere Förderbedarfsermittlung

bei Lernenden und Lehrenden vorstellen.

4.1 Untersuchungsdesign

In einem ersten Schritt werden die relevanten Felder des Fachrechnens abgesteckt, auf

denen die Fehler von Schülerinnen und Schülern zu erwarten sind. Selbstverständlich werden

auch vorgängige mathematische Kenntnisse, die auf solchen Gebieten zur Anwendung

kommen, mit in den Blick genommen.

Zum zweiten wird ein Analyseverfahren bestimmt, das selbstreflexiv ist: Ziel ist ja nicht nur

die Erhebung von Schülerfehlern, sondern die Ermittlung von Kompetenzbedarfen bei

Lehrenden. Dies aber dadurch, dass Lehrende über die Leistungen und Fehlleistungen ihrer

Auszubildenden berichten - und über eigene Probleme bei der Überwindung derselben.

Insofern muss der Befragte bei seinen Auskünften über Dritte gleichzeitig seine eigene Rolle

im Lernarrangement reflektieren.

Drittens ist damit eine Vorentscheidung über die Methodik getroffen: Ein quantitatives

Verfahren nach dem Muster des multiple choice ist für die gewünschte

Informationsgenerierung unzureichend. Ein qualitatives Erhebungsinstrument ist nötig, in

dem vorgezeichnete Optionen den Charakter von Wegweisern für den Bericht von individuellen

Erfahrungen mit Schülerinnen und Schülern im Fachrechnen einnehmen.

Dementsprechend wird viertens ein Fragebogen konzipiert, der zugleich als Leitfaden für

qualitative Expertengespräche mit Lehrerinnen und Lehrern der beruflichen Bildung dienen

kann. Dieser Leitfaden wird zum einen an entsprechende Institutionen und Fachvertreter/-

innen mit der Bitte um Bearbeitung verschickt. Zum anderen finden auf Grundlage des

Fragebogens persönliche Gespräche zur Beurteilung von Mathematikdefiziten statt. Ein solcher

Methodenmix von schriftlicher Befragung und mündlicher Interviewtechnik ist für die

Informationsgewinnung hilfreich, weil das Gespräch über die schriftlich standardisierten

Problemstellungen hinaus die Alltagserfahrung der Praktiker vor Ort ausloten und für die

Datenbeschaffung fruchtbar machen kann.

Dem Leitfaden wird ein kleiner Rechentest beigefügt. Sollte nach dem Urteil der

Interviewten das Material aus der täglichen Unterrichtspraxis zur Beantwortung des

Fragebogens nicht hinreichend sein, so kann mit diesem Rechentest, der in der Klasse

durchzuführen ist, die Informationsbasis verbreitert und systematisiert werden.

Schließlich werten wir die Ergebnisse der Expertengespräche aus. Dabei wird sich nicht nur

zeigen, auf welchen Feldern nach dem Urteil der Befragten die häufigsten Fehler und

Fehlerquellen der Schülerinnen und Schülern liegen. Auch die Lehrerinnen und Lehrer werden

ihre eigenen Kompetenzanforderungen an das Ausbildungspersonal im Lichte der

Befragung besser definieren und eigenen Förderbedarf formulieren können.


20 „LERN WIEDER!“

4.2 Instrumente: teilstandardisierter Fragebogen und

Gesprächsleitfaden für Experteninterviews

Zur Konzeption des Fragebogens ist zunächst das Umfeld abzustecken, auf dem die erwartbaren

Fehler und damit auch der etwaige Förderbedarf für Pädagogen liegen wird.

4.2.1 Fehlertypologie: erhebungsrelevante Defizite bei

Schülerinnen und Schülern

Hier sind durchaus auch Fehlleistungen aus dem Elementarbereich der Mathematik in

Rechnung zu stellen, die sich insbesondere bei Bildungsbenachteiligten auch auf höheren

Stufen der Ausbildung reproduzieren. Fehler auf dem Feld des Sach- oder Prozentrechnens

gehen oftmals auf vorgängige Wissensgebiete zurück und haben ihren Ursprung gar nicht

im Stoff, in dem sie sich ausdrücken.

Hier eine Fehlertypologie in Kurzform:

Zahlbegriff & dekadisches System

• Ziffer und Zahl werden verwechselt. Der Begriff der Zahl liegt darin, die Einheit nach

ihrer Anzahl zu bestimmen. Im dekadischen System wird jeder Ziffer ein Stellenwert

zugewiesen. Dieser repräsentiert eine Zehnerpotenz, mit der diese Ziffer in den

Zahlenwert eingeht. Fehlt dieses Wissen, halten Schüler die Zahlen 123 und 321 für

identisch, weil immer dieselben Ziffern vorkommen.

• Die Zahl 0 wird als nicht existent behandelt. Im dekadischen System ist sie unentbehrlich;

zwischen 1.000 und 1 liegen Welten. Nicht so für rechenschwache

Schülerinnen und Schüler. Weil 1 + 0 = 1 ist, "zählt" die 0 "nichts", kann also

vernachlässigt werden.

Zählen und Rechnen

• Kardinal- und Ordinalzahl werden verwechselt. Beim Abzählen werden die

Gegenstände in einer Reihenfolge gezählt. Die Kardinalzahl bestimmt die Mächtigkeit

der Menge, die Ordinalzahl den Rangplatz des gezählten Objektes. Die Verwechslung:

Das Fünfte etwa wird bei der Bestimmung der Mächtigkeit nicht mit 1, sondern dem

Wert 5 notiert.

• Abzählen statt Rechnen. Schülerinnen und Schüler verharren auch bei komplexen

Aufgaben beim Abzählen um 1, statt zu rechnen. Schon einfache

Multiplikationsaufgaben wie 7 x 8 sind kaum mehr ausführbar.


„LERN WIEDER!“

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Arithmetische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division)

• Das Verhältnis von Zehner- und Einerbündeln ist nicht begriffen. Erstere fassen unter

einem identischen Zeichen in einer anderen Position im System der Stellen Einer

zusammen, sind also auch rückwärts wieder darin auflösbar. Das hat Folgen:

• Falsche Algorithmen: 23 - 7 = 4 ist ein typisches Dyskalkulieprodukt. Der Rechenweg:

3 - 7 "geht nicht", also 7 - 3 = 4. Da Zehner und Einer ohne jeden inneren

Zusammenhang gedacht werden, kann der Zehner nicht in Einer aufgelöst werden, um

eine im positiven Zahlbereich durchführbare Aufgabe zu erhalten.

• Addition und Subtraktion werden verwechselt. Weil beim in der Schule gebräuchlichen

additiven Ergänzungsverfahren die Addition als Mittel einer Subtraktion vorkommt,

schließt der Lernende auf die Identität beider Rechenoperationen.

• Es werden 1 und 0 verwechselt: 6 x 0 = 6; 3 + 1 = 3; 7 : 0 = 7.

Einfach deshalb, weil der Proband beide als neutrale Elemente kennengelernt hat, allerdings

ohne zu beachten, dass sich 1 und 0 in ganz unterschiedlichen Operationen neutral verhalten.

1 ist neutrales Element bezüglich der Multiplikation, 0 bezogen auf die Addition. Er

dagegen behandelt 1 wie 0 in beiden Operationen als neutral.

Qualität & Quantität

• Dimensionierte Größen können von reinen Quantitäten nicht unterschieden werden.

7 Äpfel, also eine Anzahl konkreter Dinge, werden mit der Zahl 7, welche nur die reine

Quantität einer Einheit zu sieben Einheiten zusammenfasst, identifiziert. Die Folge:

• Unvereinbare Verknüpfung verschiedener Dimensionen in arithmetischen Operationen.

3 Sekunden + 5 Meter = 8 ist eine dyskalkulieträchtige Gleichung.

Bruch & Prozentrechnung

• Teil und Ganzes werden nicht richtig unterschieden.

• Anzahl der Teile und Größe der Teile werden nicht auseinandergehalten.

• Unterschied von Division und Bruch ist unklar.

• Größenabschätzungen zwischen Brüchen misslingen.

• Das Verhältnis von Bruch und Dezimalbruch ist unbegriffen.

Gleichungen mit einer Variablen

• Umformung von Termen (also mathematischen Ausdrücken aus Zahlen und Variablen)

misslingt, weil die Arithmetik nicht beherrscht wird.

• Zur Isolierung der Variablen falsche Umstellung der Gleichung. Der Merksatz "Etwas

auf die andere Seite bringen" animiert den Lernenden zur einseitigen Ausführung von

Operationen. Die Identität wird dadurch verletzt, weil nicht auf beiden Seiten der

Gleichung dieselbe Operation mit derselben Zahl ausgeführt wird.

Sachaufgaben

• Die Problemlage wird nicht verstanden. Die Ermittlung von quantitativen Verhältnissen

aus sachlichen Zusammenhängen misslingt. Die Folge:

• Willkürliche quantitative Beziehungen werden aufgestellt, um überhaupt "etwas

rechnen" zu können.


22 „LERN WIEDER!“

4.2.2 Fragebogen und Leitfaden Expertengespräch

Der Leitfaden arbeitet teilweise mit Fragen und alternativen Angeboten zur Beantwortung.

Um tiefergehende Informationen zu generieren, werden aber auch Antworten im Klartext

erbeten, die im Gespräch mit den Interviewten vertieft werden können. Insofern kann und

will die Untersuchung keine statistische Relevanz beanspruchen.

Der Leitfaden muss zugleich Defizite bei Schülerinnen und Schülern, aber auch bei

Lehrerinnen und Lehrern ermitteln. Denn das Ziel der Untersuchung besteht ja darin,

Förderhilfen und -angebote für das pädagogische Personal zu konzipieren.

Dem Leitfaden wird schließlich noch ein kleiner Rechentest beigefügt. Sollte nach dem

Urteil der Interviewten nämlich das Material aus der täglichen Unterrichtspraxis zur

Beantwortung des Fragebogens nicht hinreichend sein, so kann mit diesem Rechentest, der

in der Klasse durchzuführen ist, die Informationsbasis verbreitert und systematisiert werden.

Im Anhang dokumentieren wir den Leitfaden für das Expertengespräch ebenso wie den

kleinen Rechentest.


„LERN WIEDER!“

23

5 Auswertung

Fragebogen und Rechentest wurden an elf Weiterbildungseinrichtungen und acht

Schulzentren im Lande Bremen verschickt, die allesamt dem Bereich der beruflichen

Qualifizierung/Bildung zuzuordnen sind und sogenannte Bildungsbenachteiligte zur

Zielgruppe haben. Dabei wurden die Unterlagen in hoher Auflage versandt mit der Bitte, sie

einem möglichst großen Kreis aus dem Lehrpersonal auszuhändigen. Die Kooperation bei

der Verbreitung der Fragebögen und Tests lief äußerst erfolgreich und hat eine erhebliche

Zahl von Lehrkräften/Ausbildungspersonal erreichen können. Dadurch konnte eine breite

Streuung für die Informationsgewinnung gewährleistet werden. Insgesamt war ein sehr

erfreulicher Rücklauf von 35 ausgearbeiteten Fragebögen und Tests zu verbuchen.

Zusätzlich wurden zahlreiche Interviews mit den "Experten und Expertinnen vor Ort" im

Rahmen von Mathematik-Fortbildungsseminaren für Lehrende durchgeführt, die durch das

Netzwerk "Lebenslanges Lernen in der beruflichen Integrationsförderung des Landes

Bremen" angeboten werden. Lehrerinnen und Lehrer, die an Weiterbildungsveranstaltungen

zur Dyskalkulie teilgenommen haben, konnten in vielen ausführlichen Gesprächen

mit der Seminarleitung ihre Alltagserfahrungen einbringen und haben einen wertvollen

Beitrag für die Informationsbasis der Untersuchung geleistet. Etwa ein Drittel der

Teilnehmer und Teilnehmerinnen hatte ein Mathematikstudium für den Lehrerberuf absolviert,

der Rest bestand aus fachfremdem Lehrpersonal, das gleichwohl für Aufgaben des

Fachrechnens zum Einsatz kommt. Da insbesondere die Seminaratmosphäre für ein gegenseitiges

Kennenlernen gute Voraussetzungen schaffen konnte, verliefen die Interviews in

einem entspannten Rahmen, der viele Gesprächspartner dazu animiert hat, ganz unbefangen

aus ihrer alltäglichen Erfahrung zu berichten. Insgesamt 42 solcher Experteninterviews

wurden im Zeitraum August bis Dezember 2006 durchgeführt und dienen als Ergänzung

der schriftlichen Befragung.

Die Resultate der schriftlichen wie mündlichen Erörterung von Mathematikdefiziten in

beruflichen Bildungsgängen lassen sich in drei Kategorien unterteilen:

• Mathematikdefizite bei Lernenden

• strukturelle Defizite: Lernumfeld, Lehr- und Lernmittel

• Defizite beim Lehrpersonal

5.1 Mathematikdefizite bei Lernenden

Diese Studie erhebt keinen Anspruch auf statistische Relevanz, weil die qualitative Analyse

von Rechenfehlern im Mittelpunkt steht. Dennoch geben wir im Folgenden die Fehlertypen,

die mündlich wie schriftlich durch Befragungen und Gespräche mit dem Lehrpersonal erhoben

wurden, nach der Häufigkeit ihrer Nennung wieder. Selbstverständlich lässt sich daraus

allein noch kein Rückschluss auf den tatsächlichen Verbreitungsgrad in einer Klasse unter

Lernenden ziehen. Manche Fehler bleiben unentdeckt, andere liegen nicht im Focus des

Lehrpersonals. Gleichwohl lässt sich die Häufigkeit der Nennung als ein Indikator für die

Verbreitung des Fehlers unter Lernenden interpretieren. Im Anschluss daran skizzieren wir

ausgewählte typische qualitative Beispiele.


24 „LERN WIEDER!“

Fehlertyp

Prozentsatz

arithmetische Grundoperationen 83 %

Bruchrechnung 65 %

Prozentrechnung 54 %

Umgang mit dimensionierten Größen 36 %

Sachaufgaben 93 %

Der Elementarbereich der Grundrechenarten kommt auf fast allen Gebieten zum Einsatz.

Kleines und großes Einmaleins, auch schriftliche Operationen treten bei der Prozent- und

Bruchrechnung, insbesondere aber bei Sachaufgaben auf. Wenn auf diesem Feld also

Defizite vorliegen, so treten sie entsprechend häufig zu Tage. Typische Beispiele:

a) Addition:

226

+ 365

5811

Der Zehnerübertrag unterbleibt. Das dekadische System der Zahlendarstellung, damit der

Stellenwert der Ziffer, ist nicht begriffen. Stattdessen werden untereinander geschriebene

Ziffern paarweise für sich addiert.

b) Subtraktion:

544

- 267

323

Hier wird nach dem Prinzip "größere minus kleinere Zahl" gerechnet, um Zehnerübergänge

zu umgehen.

c) Multiplikation:

84 · 98

756

672

1428

Die falsche Anordnung der Teilprodukte führt zum falschen Ergebnis. Das Prinzip der

Ausrückung auf Grund des Stellenwertunterschieds ist nicht begriffen.

18 · 30

54

Die Null im Multiplikator gilt als irrelevant, weil sie "nichts zählt". Freilich macht die

Einfügung der Null im Stellenwertsystem eine Verzehnfachung des Zahlenwerts aus.


„LERN WIEDER!“

25

d) Division:

240048 : 48 = 51

Die zweite Null im Dividenden wird ignoriert: 0 : 48 = 0 wird nicht durchgeführt. Sie fügt

der Teilung kein positives Ergebnis hinzu, wenn man davon absieht, dass ihre Notation im

Ergebnis den Zahlenwert um eine dekadische Stelle erhöht. Die Division 4 : 48 unterbleibt

ebenso, weil sie kein ganzzahliges Ergebnis erbringt. Insgesamt ist der Algorithmus der

Division nicht verstanden.

Eine vergleichsweise hohe Fehlerrate findet sich auch bei der Bruchrechnung. Der Unterschied

zwischen einer Division und einer Bruchzahl ist oftmals nicht geläufig. Schüler und

Schülerinnen fassen häufig die Bruchzahl als bloß andere Schreibweise einer

Divisionsanweisung auf, in der Regel schon deshalb, weil sie das Rechnen mit Bruchzahlen

vermeiden und auf bekannte Rechenoperationen zurückführen wollen: verlangt, 3:4 zu

rechnen, und das ergibt bekanntlich 0,75. Auf diese Weise bleibt unerfindlich, warum überhaupt

ein Unterschied zwischen Division und Bruch gemacht werden sollte.

Selbstverständlich lässt sich jede Bruchzahl als Division auffassen:

= 3 : 4 = 0,75

ist schließlich eine richtige Gleichung. Allerdings ist auch der Unterschied zwischen Bruch

und Division darin deutlich. Die Division ist zunächst nur die Aufgabe, eine Größe durch

eine andere zu teilen. Erst die durchgeführte Operation bringt dann das Ergebnis hervor.

Der Bruch zeichnet sich dagegen dadurch aus, dass er Rechenaufgabe und

3

Rechenergebnis in einem ist. Der Bruch hält außer dem Teilungsprozess auch die

4

Teilgröße fest, die sich dabei ergibt; insofern ist jeder Bruch eine Bruchzahl. Erst wird ein

Ganzes geviertelt; der Nenner 4 der Bruchzahl fixiert die auf diese Weise erzeugte Teilgröße.

Der Zähler gibt die Anzahl solcher Teile an, die im Bruch zusammengefasst sind. Während

also die Bruchzahl Anzahl und Größe von Teilen eines Ganzen durch einen Bruchstrich

getrennt festhält und als Zähler und Nenner notiert, versteht der Schüler den Bruchstrich

lediglich als Ersatzzeichen für den Doppelpunkt, der zur Division auffordert.

Zahlreiche Rechenoperationen negieren die Differenz von Teilgröße und -anzahl und bringen

die seltsamsten Resultate hervor:

Das Verfahren besteht darin, den Bruchstrich als bloß räumliche Trennung von gewöhnlichen

Summanden aufzufassen, die nach dem bekannten Schema addiert werden. Auch

der folgende Lösungsweg, der bereits eine Überlegung zum Prinzip Hauptnenner enthält,

bleibt diesem Fehler verhaftet:

Die Viertel gelten diesem Erweiterungsversuch nicht als gemeinsame Einheit der im Zähler

notierten Anzahlen, sondern werden wie oben als Summanden aufgefasst.


26 „LERN WIEDER!“

Die Prozentrechnung gehört ebenfalls zu den problematischen Feldern. Das Wesen der

Prozentrechnung ist vielen Schülern gänzlich fremd: Sie gibt ein normiertes Maß für das

Verhältnis von Teil und Ganzem an, das deren Teilungsverhältnis auf ein Ganzes der Größe

100 bezieht. So ist etwa der Ausdruck 25 % keine Zahl, sondern ein Verhältnis zweier

Zahlen, nämlich 25 : 100. Und wo immer die Aufforderung ergeht, 25 % einer anderen

Größe zu ermitteln, ist eine entsprechende Teilung dieser Größe nach dem Maßverhältnis

25 : 100 vorzunehmen.

Ein typisches Fehlerbeispiel: 8 % von 100 = 92. Die 8 wurde hier als Zahl behandelt, der

Ausdruck % in die Aufforderung übersetzt, vom größeren den kleineren Wert zu subtrahieren:

100 - 8 = 92.

Der Unterschied von vermehrter und verminderter Hauptsumme ist weitgehend unbekannt.

Der Nettopreis eines Autos, das mit 16 % Mehrwertsteuer 20.880 kostet, lässt sich

dann nicht mehr berechnen. Hierzu müsste nämlich durchschaut werden, dass der

Bruttopreis der vermehrten Hauptsumme 116 % entspricht: 20.880 entsprechen 116 %,

also entspricht (20.880 : 116) x 100 = 18.000 dem Nettopreis. Lernende nehmen oftmals

die dominante Zahl einer Aufgabe als Grundgröße, die sie mit 100 % ansetzen. In diesem

Fall also 20.880 .

Der Umgang mit dimensionierten Größen ist problematisch. Dimensionierte Größen

können Schüler von reinen Quantitäten häufig nicht unterscheiden. Es werden folglich

Verknüpfungen verschieden dimensionierter unvereinbarer Größen in arithmetischen

Operationen vorgenommen.

3 Sekunden + 5 Meter = 8

3 dm + 27 cm = 30 mm

Es versteht sich, dass Fehler auf diesem vermeintlich unscheinbaren Feld insbesondere für

die berufliche Bildung von großer Bedeutung sind. Denn die Gegenstände des beruflichen

Tuns sind in der Regel von bestimmter Dimension. Ob 220 eine Spannung in Volt oder

einen Widerstand in Ohm bezeichnet, ist nicht nur eine theoretische Frage, sondern von

praktischer Relevanz.

Bemerkenswert ist der Spitzenwert der Fehlerhäufung, der sich bei Sach- oder Textaufgaben

zeigt. Nach Einschätzung der überwiegenden Mehrheit der befragten Experten und

Interviewpartnerinnen - und dieser Befund deckt sich mit neueren Erkenntnissen der

Dyskalkulieforschung - liegt die Schwierigkeit bei diesem Aufgabentypus weniger darin,

dass bei Textaufgaben die ganze Palette der oben erörterten mathematischen Fertigkeiten

zum Einsatz kommen kann, die arithmetischen Grundoperationen ebenso wie die Bruchund

Prozentrechnung. Es verhält sich anders: In der Regel scheitern Lernende schon an vorgelagerten

Hürden:

Das sinnverstehende Lesen des Textes misslingt. Die textlich erläuterten

Zusammenhänge werden nicht als solche erkannt und aufgefasst. Dies gilt auch für

solche Schülerinnen und Schüler, die Deutsch als Muttersprache oder wie eine

Muttersprache sprechen.

Die Reduktion einer sachlichen Problemstellung auf ihren mathematisch fassbaren Kern

gelingt nicht. Lernende stoßen daher erst gar nicht bis zu einer "Aufgabe" vor, die sich

für sie rechnen ließe.


„LERN WIEDER!“

27

Dieses Defizit ist, ähnlich wie der oben angesprochene Umgang mit dimensionierten

Größen, insbesondere für berufliche Bildungsgänge von enormer Bedeutung. Denn gerade

die beruflichen Fähigkeiten und Fertigkeiten bestehen oft darin, praktische Aufgaben und

Probleme auch mathematisch angemessen zu bewältigen. Wie viel Meter Rundstahl werden

für den Zuschnitt von 250 Bolzen benötigt bei einer Bolzenlänge von 15 mm? Wie sind

Maße und Gewichte in einem Rezept für 4 Personen zu verändern, wenn der angehende

Koch oder die künftige Köchin auf der Betriebsfeier 10 Personen zu bewirten hat? An diesen

und anderen berufspraktischen Fragen muss notwendig scheitern, wer das Feld der

mathematischen Sachaufgaben nicht beherrscht.

5.2 Strukturelle Defizite: Lernumfeld, Lern- und Lehrmittel

Bezüglich des Lernumfeldes und der Lernorganisation sind drei Größen von besonderer

Bedeutung: Zeit und Lehrpensum, Klassengröße und -zusammensetzung, Qualität der Lehrund

Lernmittel.

Die Befragung und Interviews haben diesbezüglich folgendes Resultat erbracht, das wir

wieder quantitativ wiedergeben, ohne einen Anspruch auf statistische Relevanz zu erheben:

Defizit

Prozentsatz

Klassengröße 33 %

Zeitrahmen 60 %

Lehr- und Lernmittel 45 %

andere 30 %

Die Größe der Klassen lässt nach Auffassung vieler Befragter keinen Raum, auf individuelle

Probleme des Mathematikverständnisses einzugehen. Das Spektrum der Defizite ist

von einer enormen Spannweite, weil nicht nur mathematische, sondern nicht selten auch

kognitive und sprachliche Kompetenzen berührt sind.

Fast die Hälfte hält die verfügbaren Lehr- und Lernmittel für wenig brauchbar. So sind in

der Regel nur die aus Schulbüchern bekannten Visualisierungen wie etwa der Zahlenstrahl

an der Tafel in Gebrauch. In der Geometrie sind auch Körper und Gefäße verfügbar. Aber

die für die Erarbeitung des Zahlenraums wichtigen Rechenbretter, Perlenschnüre,

Cuisenairestäbe oder Spielgeldscheine fehlen oftmals. Ebenso die nachgebaute

Apothekerwaage, die bei der Einführung in das Gebiet der Gleichungen mit einer

Unbekannten nützliche Dienste leisten kann. An Schulbüchern wurde kritisiert, dass sie oftmals

Rechenwege beschreiben, aber nicht erklären. Das führt Lernende auf ein falsches

Gleis, weil sie mathematische Gesetze mit Rezepten verwechseln, die man nicht begreifen,

sondern nur auswendig lernen kann. Entsprechend kurz ist die Halbwertzeit des memorierten

Wissensersatzes.

Die größte Hürde aber wird in der Zeitvorgabe des Unterrichts angesiedelt. Dabei kommen

die Befragten mit einem Anteil von 60 % zu dem Urteil, dass der Zeitrahmen für das geforderte

Pensum prinzipiell zu klein bemessen ist.


28 „LERN WIEDER!“

Wissenslücken werden so bei vielen Schülerinnen und Schülern nicht ausgeräumt, wenn die

Zeit nicht das schlichte Resultat der Unterweisung bis zum Verständnis der Sache darstellt,

sondern als Vorgabe fungiert, nach deren Ablauf der Unterricht abbricht. Wissenslücken

werden dann nicht mehr geschlossen, im Gegenteil. Sie pflanzen sich von Schuljahr zu

Schuljahr analog einer Kettenreaktion fort. Die logische Strukturierung der Mathematik,

bei der eine Disziplin auf den Resultaten einer vorgängigen aufbaut, führt nämlich dazu,

dass sich Wissenslücken mehr und mehr ausweiten. Wer die Grundrechenoperationen nicht

beherrscht, muss schon deswegen in der Prozentrechnung oder bei Sachaufgaben scheitern.

Insbesondere die berufliche Bildung, erst recht eine solche, die sich Bildungsbenachteiligten

zuwendet, hätte hier die "letzte" Chance, Defizite auszugleichen, die sich im Verlaufe

einer mehrjährigen Schulzeit zu echten Lernblockaden verdichtet haben. Das jedenfalls

wäre unabdingbar, um die gewünschte Ausbildungsreife Jugendlicher herzustellen.

Die Befragung hatte auch noch Spielraum für die Nennung anderer struktureller Defizite

gelassen. Ein knappes Drittel des Lehrpersonals nennt dabei das sogenannte Lernfeld-

Konzept der beruflichen Bildung als neue Schwierigkeit für einen erfolgreichen Unterricht.

1999 hat die Kultusministerkonferenz der Länder (KMK) dieses Konzept in die Diskussion

gebracht, das seitdem länderspezifisch in beruflichen Bildungsgängen umgesetzt wird:

"Lernfelder sind für sich genommen für den Ausbildungsunterricht nicht (unmittelbar)

nutzbar. Lernfelder sind zunächst lediglich fächer- und fachsystematisch unabhängige

"curriculare Einheiten", die die Schwerpunkte des beruflichen Qualifikationsprozesses

herausstellen. Um für den Ausbildungsunterricht genutzt werden zu können, müssen die

beruflichen Fachinhalte herausgearbeitet, in einen sachlich und zeitlich nachvollziehbaren

Zusammenhang geordnet und in Lernsituationen konkretisiert werden, um für die schulische

Berufsausbildung genutzt werden zu können."

(Bundesinstitut für Berufsbildung, download Dezember 2006 www.bibb.de)

Befürworter des Lernfeldkonzeptes betonen die berufspraktische Orientierung der

Ausbildung, weil die curricularen Einheiten Schwerpunkte des Berufshandelns zu ihrem

Inhalt haben. Kritiker dagegen monieren die Unabhängigkeit der Lernfelder von der

Fachsystematik. In der Tat liegt darin eine wesentliche Schwachstelle, die insbesondere dann

ihre Wirkung tut, wenn Auszubildende mit erheblichen mathematischen Wissensdefiziten

oder einer Bildungsbenachteiligung umfassender Art in die beruflichen Bildungsgänge eintreten.

Denn gerade in diesen Fällen wäre eine systematische Erarbeitung der mathematischen

Disziplinen notwendig, die in den berufsrelevanten Problemstellungen zum

Einsatz kommen.

Zum anderen wurde von etlichen Interviewpartnern, -partnerinnen, Experten und

Expertinnen bemängelt, dass mit dem Lernfeldkonzept implizit eine Unterstellung verbunden

ist, die sich in der Praxis oftmals als unrichtig erweist. Der durchaus wertvolle Ansatz,

berufspraktische Aufgabenstellungen ins Zentrum der Lernbemühungen zu stellen, geht

von der Beherrschung des mathematisch-fachlichen Rüstzeugs aus und will es an konkretem

Stoff aus dem beruflichen Alltag zur Anwendung bringen. Von einer solchen

Beherrschung kann allerdings häufig keine Rede sein, schon gleich nicht im Hinblick auf

Bildungsbenachteiligte.


„LERN WIEDER!“

29

Der Ersatz des Fachrechnens durch lernfeldorientierte Module ist also durchaus problematisch.

Und wo das Fachrechnen als eigenständiges Unterrichtsfach entfällt, wird auch der

ausgebildete Mathematiklehrer oder die Mathematiklehrerin entbehrlich. In der

Konsequenz müssen daher sich akkumulierende Rechendefizite Benachteiligter immer öfter

von fachfremdem Lehrpersonal entdeckt und behoben werden. Eine hohe Anforderung, die

zu erfüllen einer Herkulesaufgabe gleicht.

5.3 Fachliche und didaktische Defizite des Lehrpersonals

Mathematikdefizite sind kein Privileg Bildungsbenachteiligter. Ausweislich zahlreicher

Studien, die wir eingangs zitiert haben, fehlt es vielen Jugendlichen insgesamt an einer

gediegenen mathematisch-naturwissenschaftlichen Kenntnis, die ihnen die gewünschte

Ausbildungsreife verleihen könnte. Natürlich treten solche Mängel gehäuft bei jungen

Menschen mit einer gewissen Lernschwierigkeit oder Lernentwöhnung auf. Umso dringender

also ist eine solide Fortbildung des Ausbildungspersonals, um solchen

Mathematikdefiziten auf die Spur zu kommen.

Viele Lehrerinnen und Lehrer haben Schwierigkeiten bei der Diagnostik von

Mathematikdefiziten. Nicht, dass falsche Ergebnisse unerkannt blieben. Aber die Rechenfehler,

die wir weiter oben unter den dyskalkulierelevanten erläutert haben und die sehr

weit verbreitet sind, haben den Charakter falscher Strategien. Der verkehrte Rechenweg ist

nicht offengelegt, wenn ein falsches Rechenergebnis angestrichen wird. Die Ermittlung der

subjektiven falschen Algorithmen kann erst dem Auszubildenden klarmachen, worin sein

Fehler besteht.

Die Behandlung von Mathematikdefiziten kann daher nicht am Prinzip der Nachhilfe orientiert

sein. Die Wiederholung des richtigen Rechenweges bietet keine Hilfe, wo der Schüler

sich einen subjektiven, aber falschen Rechenweg als richtig hat einleuchten lassen. Seine

definitive Ermittlung kommt auch ohne eine Befragung des Lernenden nicht zustande. So

kommt es nur zur Konfrontation zweier Strategien, so dass selbst gutwillige Auszubildende

den eigenen, gar nicht kritisierten Weg festhalten und um den zweiten Weg der

Lehrautorität ergänzen. Der Wechsel zwischen beiden Strategien folgt dann dem Prinzip der

Willkür und macht die Fehler des Schülers endgültig zu einem Rätsel.

Daran knüpft sich - auch bei dem von uns befragten Personenkreis - häufig die pädagogische

Fehlinterpretation, der Lernende sei unkonzentriert, ihm fehle es an Übung oder

gutem Willen. So werden nicht erkannte mathematische Fehlstrategien durch vermeintlich

psychologische oder motivationale Defizite auf Seiten des Lernenden ersetzt. Am Ende

fruchtloser Übungen, die an den Fehler des Lernenden nicht heranreichen, tritt dann oftmals

wirklich Unlust und Frustration ein. Eine Folge falscher Korrekturversuche, die häufig

als Ursache von Mathematikdefiziten missverstanden wird.


30 „LERN WIEDER!“

So wurden die im Fragebogen vorgelegten Schülerfehler nur von 10 % der Lehrerinnen und

Lehrer als falsche Strategien durchschaut. Ein signifikanter Unterschied zwischen

Lehrkräften mit und ohne Mathematikstudium war dabei nicht erkennbar. Eine Aufgabe,

die natürlich dadurch erschwert ist, dass eine Befragung des Schülers nach seinem

Rechenweg in diesem Fall nicht möglich ist. Dennoch zeigt das Ergebnis zumindest eine

mangelnde Vertrautheit mit falschen subjektiven Algorithmen an. Dies ist schon deshalb

nicht verwunderlich, weil die überwiegende Mehrzahl der Befragten angab, dass sie mit

innovativen Lernkonzepten wenig bis gar nicht vertraut ist, wie sie im Rahmen der

Arithmasthenieforschung entwickelt wurden.


„LERN WIEDER!“

31

6 Ausblick: Qualifizierungsmodul für Lehrende zur

Behebung von Mathematikdefiziten bei

Bildungsbenachteiligten - ein methodischer Aufriss

Die skizzierten Mängel auch fachlich-didaktischer Art beim Lehrpersonal sprechen dafür,

den engagierten Kräften vor Ort eine weitergehende Unterstützung zukommen zu lassen.

Priorität hätte nach dieser Studie eine gezielte Weiterbildung auf dem Gebiet der

Dyskalkulie. Eine nachhaltige Verbesserung der Arbeit insbesondere mit

Bildungsbenachteiligten kommt ohne solche innovativen didaktischen Instrumente nicht

mehr aus. Wir stellen daher an den Abschluss einen methodischen Aufriss eines

Qualifizierungsmoduls für Lehrerinnen und Lehrer zur Behebung von Mathematikmängeln

bei Bildungsbenachteiligten.

6.1 Baustein 1: Einführung in das Prinzip der Dyskalkulie

Eine Einführung in den Themenkreis Rechenschwäche und Mathematikdefizite bei

Bildungsbenachteiligten hätte sich an folgenden Schwerpunkten zu orientieren:

1. Fehler, die aus Flüchtigkeit oder Unwissen begangen werden, sind zunächst von dyskalkulierelevanten

zu unterscheiden.

2. Fehler des letzten Typs zeichnen sich dadurch aus, dass sie einer subjektiven Strategie

folgen, die ihre eigene Logik, leider keine richtige hat. Dies ist an Beispielen deutlich zu

machen.

3. Solche subjektiven Algorithmen haben die prekäre Eigenschaft, dass sie in einer gewisssen

Anzahl von Fällen sogar zu richtigen Resultaten führen, in anderen dagegen nicht,

wie wir eingangs an einem Beispiel gezeigt haben. Auch hierfür ist zum Verständnis der

Sache die Erörterung von Fallbeispielen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik

angezeigt.

4. Eine ausschließlich ergebnisorientierte Prüfung von Rechenleistungen ist daher selbst

mangelhaft, weil sie bis zu diesen verkehrten Denkstrategien gar nicht vorstößt und

sich häufig durch richtige Ergebnisse täuschen lässt, die auf falschem Wege gewonnen

wurden. Dieses Prinzip ist am Material der Fallbeispiele nachzuweisen.

5. Auf dieser Grundlage ist der Mangel des Nachhilfeunterrichts zu erläutern.

Er besteht in der Regel darin, Schülerfehler dadurch beheben zu wollen, dass die richtige

Rechenweise dagegen gesetzt und eingeübt wird. Statt Kritik einer falschen Denkstrategie

erfolgt eine bloße Konfrontation mit einer neuen. Im besten Fall rechnet der

Lernende fortan mit zwei Mechanismen, dem eigenen, der nie offenbart, geschweige

denn außer Kraft gesetzt wurde, und dem von einer Autorität empfohlenen. Das

Schwanken zwischen beiden lässt das Schülerverhalten endgültig willkürlich und unerklärlich

erscheinen.


32 „LERN WIEDER!“

6. Üben mündet so niemals in Erfolg, so dass sich am Ende sogar noch Lustlosigkeit

und Abwehrhaltungen auf Seiten der Lernenden einstellen. In der Regel wird dies von

Pädagogen und Pädagoginnen falsch interpretiert: Mangelnde Motivation oder

Faulheit, die Folge der unbehobenen Fehler, gelten als Grund der Fehler. Hier sind

zugleich allgemeine pädagogische Grundsätze angesprochen wie die Kategorie der

Motivation, der Begabung sowie der Über- und Unterforderung. Es sollte deutlich werden,

dass spezielle Verhaltensweisen Rechenschwacher nicht immer mit diesen

Begriffen erfasst werden können.

6.2 Baustein 2: Erarbeitung einer Fehlersystematik

Dyskalkulierelevante Fehler finden sich auf allen Stufen der mathematischen Ausbildung.

Der logisch strukturierte Aufbau der Mathematik führt dazu, dass sich Fehlleistungen auf

einem Gebiet in Form einer Kettenreaktion in nachgelagerten Disziplinen fortpflanzen.

Probleme mit der Bruchrechnung können im Bereich der Elementarmathematik angesiedelt

sein. Daher kommt es darauf an, einen Überblick über die Systematik der Fehler

zu gewinnen, wie sie sich auf den diversen aufeinander folgenden mathematischen

Gebieten zutragen.

Das Folgende ist eine unvollständige kleine Auswahl zur Verdeutlichung des Prinzips einer

Fehlersystematik:

1) Ein Schüler notiert die Zahl 2560 folgendermaßen: 200050060

Fehler: lauttreue Schreibweise und Unverständnis des dekadischen Systems.

2) Merkwürdige Gleichungen: 48 = 84, beide Zahlen gelten als gleich

Fehler: Differenz von Ziffer und Zahl unklar, also ist der Stellenwert unbegriffen; Vorschub

leistet hier auch noch die deutsche Sprache, die erst die Einer, dann die Zehner nennt.

3) Seltsame Rechnungen: 14 + 23 = 64

Fehler: innen und außen addiert, also kein Unterschied zwischen den Stellenwerten der

Ziffern gemacht.

4) Addition

327

+ 465

7812

Fehler: paarweise Addition von Zahlen ohne Übertrag bei Zehnerübergang.

268

+ 91

259

Fehler: Kein Eintrag in eine Leerstelle, weil man mit "nichts" nicht rechnen kann.


„LERN WIEDER!“

33

5) Subtraktion

345

- 258

113

Fehler: größere minus kleinere Zahl, statt Auflösung von Bündeln.

6) Multiplikation

18 • 30

54

Fehler: 0 nicht berücksichtigt, weil sie "nichts zählt". Dekadische Notation

nicht durchschaut.

7) Division

4535 : 5 = 97

Gerechnet wurde so:

4535 : 5 = 97

45

035

35

0

Fehler: Teilergebnis 0 wird im Resultat unterdrückt, wodurch der Stellenwert aller anderen

Zahlen verfälscht wird.

Kreative Division

12 : 0 = 0

12 : 0 = 1

12 : 0 = 12

Fehler: Division durch 0 ist eine mathematisch unsinnige Operation, daher ein Fehler.

8) Bruchrechnung:

oder

Fehler: Bruch einseitig als Aufforderung zur Division gefasst, die zu periodischer Dezimalzahl

führt, mit der nicht weitergerechnet werden kann; falscher Größenvergleich nach dem

Prinzip der "größten Zahl".

9) Gleichungen mit einer Variablen

"Auf die andere Seite bringen!" 15 - 3 x = 6

3 x = 6 + 15

"Man muss x isolieren!" 15 - 3 x = 6

Fehler: Der Begriff der Identität ist nicht verstanden. Stattdessen falsche Anwendung von

Merkregeln.


34 „LERN WIEDER!“

10) Sachaufgaben

- sinnverstehendes Lesen des Textes misslingt

- aus geschilderten Problemstellungen können keine mathematisch relevanten Bezüge von

Quantitäten hergeleitet werden

- Folge: Alles, was im Text als Zahl erscheint, wird in Rechnungen nach subjektivem

Geschmack verarbeitet oder in Formeln eingesetzt, die in keinem Zusammenhang zum

Text stehen.

6.3 Baustein 3: Methoden der Fehlerdiagnostik

Es sind im wesentlichen drei Instrumente, die für eine gediegene Überprüfung des mathematischen

Kenntnisstandes von Bedeutung sind: ein Rechentest, die mündliche Befragung

und die pädagogische Beobachtung und Beurteilung typischer Verhaltensweisen rechenschwacher

Schüler und Schülerinnen.

1. Das Instrument des Rechentests

Es versteht sich von selbst, dass nicht ein Rechentest für alle Testpersonen das passende

Instrument sein kann. Das Repertoire der Aufgabenstellungen muss sich nach dem jeweils

erreichten Wissensstand richten. Dabei ist allerdings eine Einschränkung zu machen. Zwar

ist es sinnlos, einen Grundschüler mit Bruchgleichungen oder gar Integralen zu behelligen.

Hier ist der Kenntnisstand zugleich die Schranke nach oben bezüglich der Testaufgaben.

Keineswegs aber sollte man elementarmathematische Fragestellungen bezüglich Ziffer, Zahl

und arithmetischen Grundoperationen aus einem Test verbannen, der etwa Realschülern

und -schülerinnen gilt. Es zeigt sich nämlich in der Praxis häufig, wie oben bereits erwähnt,

dass sich Denkfehler, die sich ein Kandidat auf einem elementaren Feld des Rechnens zu

eigen gemacht hat, in nachgelagerten Disziplinen geltend machen.

2. Befragung und lautes Vordenken:

Techniken einer nicht ausschließlich ergebnisorientierten Fehlersuche

Dabei sollte sich das Gespräch mit den Kandidaten vernünftigerweise nicht ausschließlich

auf die Lösungen und Lösungsschritte konzentrieren. Die Gesprächsstrategie sollte mindestens

die folgenden vier Gesichtspunkte beachten.

Erstens ist es insbesondere bei Text- und Sachaufgaben ratsam, den Schüler die gestellte

Aufgabe in eigenen Worten wiederholen zu lassen. Hier zeigt sich nicht selten ein auffälliges

Unvermögen, den Sachverhalt selbständig zu reproduzieren. Ein deutlicher Hinweis

darauf, dass die Schwierigkeiten eines solchen Kandidaten nicht erst im rechnerischen

Umgang mit Problemstellungen liegen, sondern bereits beim Verstehen der Problemstellung

selbst anfangen.

Zweitens sollte die Auswahl der Gesprächsthemen auch kleinste Nebenrechnungen auf dem

Lösungsbogen einbeziehen, die scheinbar ohne weitere Bedeutung sind. Oft haben sie eine

solche, und diese liegt weniger in der durchgeführten Zahlenoperation als vielmehr in dem

sich darin ausdrückenden Rechenweg, den der Lernende dort einschlägt, ausprobiert, mitunter

auch wieder durch Streichungen verwirft.


„LERN WIEDER!“

35

Drittens muss die Befragung auch die richtigen Ergebnisse einbeziehen, weil, wie bereits

mehrfach betont, auch verkehrte Operationsweisen zu richtigen Resultaten führen können.

Und viertens schließlich sollte der Gesprächsführende seinen Partner bei den aufgeführten

Themen auffordern, in aller Ausführlichkeit laut vorzudenken, was er sich zu einzelnen

Ansätzen und Rechenschritten gedacht hat. Nur so erschließt sich der geistige Zusammenhang,

in dem bei manchen Aufgaben richtige Ergebnisse, falsche Teilergebnisse und unverstandene

Problemstellung stehen können.

In solchen Gesprächen, aber nicht erst da, zeigen sich bei vielen Lernenden einige

Verhaltensweisen, die einen weiteren Hinweis auf vorhandene Rechenmängel geben.

3. Typische Verhaltensmerkmale von Lernenden mit Mathematikdefiziten

Die folgenden Verhaltensweisen sind bei Lernenden mit Mathematikdefiziten insbesondere

jenseits des schulischen Lern- und Notendrucks, also etwa beim Üben mit Freunden oder

Eltern anzutreffen. Da sie oftmals falsch interpretiert werden, verdienen sie in einem

Qualifizierungsmodul eine etwas eingehendere Würdigung.

Schematische Bearbeitung von Aufgabenbündeln

Mathematische Gesetze anwenden zu können, setzt Routine voraus. Daher haben Schüler

häufig ganze Bündel ein und desselben Aufgabentyps zu bearbeiten. Kandidaten mit

Rechenmängeln zeigen hier ein auffälliges Verhalten: Der bei der ersten Aufgabe einmal

eingeschlagene Lösungsweg wird stur und schematisch auf alle folgenden Aufgaben

erstreckt, auch wenn sich dies aufgrund inhaltlicher Unterschiede bei den verschiedenen

Aufgaben verbietet. Hier wurde also das mathematische Regelwerk nicht begriffen, sondern

als unbegriffenes Schema aufgefasst, unter das alle Fälle subsumiert werden.

Dauerhaftes, unsicheres Nachfragen: "Ist das richtig?"

Dieser Typus Frage zeichnet sich dadurch aus, dass der Schüler nicht eine bloße

Rückversicherung darüber wünscht, ob der von ihm bereits eingeschlagene Rechenweg

richtig ist. Vielmehr zielt sie darauf, bei einem ganz ziel- und kriterienlosen Ausprobieren

von allen möglichen und unmöglichen Ansätzen durch das Kopfnicken der mathematischen

Autorität die Gewissheit über den einzuschlagenden Weg zu erhalten, den man selber gerade

nicht zu bestimmen in der Lage ist.

Ohne äußerlichen Anstoß keine Aktivität beim Üben

Das Phänomen ist allen bestens bekannt, die sich jemals mit Nachhilfe versucht haben: Der

Schüler sitzt bemüht und doch zugleich ohne erkennbare Aktivität über seinen Aufgaben.

Ohne äußerlichen Anstoß - "Nun aber los!" - bleibt das Blatt Papier leer. Dieses Verhalten,

oft als Faulheit oder Unwille gedeutet, lässt in Wirklichkeit in zahlreichen Fällen darauf

schließen, dass der Lernende sich für keine der mathematischen Strategien entscheiden

kann, die ihm durch den Kopf gehen, weil er diese nicht begriffen hat und daher kein

Kriterium für seine Entscheidung zur Verfügung hat.


36 „LERN WIEDER!“

Tipps werden rigide zurückgewiesen: "Das hatten wir in der Schule anders!"

Solche Antworten zeugen davon, dass der Proband nicht in der Lage ist, die mathematische

Hilfestellung geistig seinem eigenen Vorwissen zuzuordnen. Sie wird vielmehr als Störung

eines einmal eingeprägten Schemas zurückgewiesen, das man dem Unterricht entnommen

hat. Dieser verabreicht also im Bewusstsein des Lernenden nicht richtiges mathematisches

Wissen, sondern verbindliche Verfahrensregeln, die man mehr respektiert als begreift.

Der Lernende kann die Aufgabe nicht in eigenen Worten wiedergeben

Hierin liegt ein wichtiger Indikator, insbesondere auf dem Feld der Sachaufgaben. Die

Unfähigkeit des Lernenden, die Aufgabenstellung in eigenen Worten zu erläutern, verweist

darauf, dass seine Schwierigkeit nicht erst beim Lösen eines Problems beginnt. Sehr oft hat

er das Problem selbst nicht verstanden.

Viel Üben - kein Effekt

Üben zielt auf die routinierte Anwendung begriffener mathematischer Gesetze. Wo diese

Voraussetzung nicht erfüllt ist, kann auch die Vervielfältigung des Materials, an dem der

Lernende sich zu bewähren hat, diese Kenntnis nicht herbeiführen. Ein solches Üben hat

daher keinen positiven Effekt. Im Gegenteil: Weil die einzuübenden mathematischen

Gesetze selbst nicht thematisiert werden, kommt dies einer Einladung gleich, das falsche,

vom Schüler mitgebrachte Vorwissen durch reichhaltiges Üben zu vertiefen.

Totales Vergessen nach scheinbar erfolgreichem Üben

Auch diese Variante trifft man häufig bei schwachen Rechnern an. Dann nämlich, wenn sie

die Übungen dazu benutzen, einen schematischen Rechenweg mehr zu erahnen als zu begreifen.

Welchen Aufgabentypus man warum wie rechnet, bleibt so im dunkeln. So erklärt

sich die geringe Halbwertzeit dieser Sorte Wissensersatz: Bis zum Ende der Übungsstunde

hält so etwas vor, aber bei der nächsten Klassenarbeit ist alles "wie weggeblasen".

Mathematik wird zum Angstfach

Der gar nicht verwunderliche Effekt fortwährenden Übens ohne erkennbaren Erfolg liegt

darin, dass Schüler und Schülerinnen Mathematik als unbewältigbare Materie auffassen.

Angst stellt sich ein, weil die Note dieses Schulfaches für den weiteren Karriereweg großes

Gewicht hat.

Schüler und Schülerinnen überspielen ihre Mängel durch Clownerie und Angeberei

Psychologische Reaktionen auf den konstatierten Misserfolg stellen sich prompt ein. Schüler

und Schülerinnen, die sich dem Mathematikunterricht nicht gewachsen zeigen, fühlen sich

als Person erniedrigt und kehren dieses Verhältnis von Sieger und Verlierer ideell um. Sie

erheben sich über das Fach und stellen es mit ihren deplazierten Späßen als nichtig dar oder

geben mit Erfolgen auf anderen Gebieten an, um das Stigma des Verlierers loszuwerden.


„LERN WIEDER!“

37

6.4 Baustein 4: Förderstrategien - eine exemplarische Auswahl

Insbesondere in der berufsqualifizierenden Bildung und im Hinblick auf die Zielgruppe

Bildungsbenachteiligter ist davon auszugehen, dass Mathematikdefizite auf allen Stufen des

mathematischen Lehrgebäudes angesiedelt sind. Fehler können weit zurückreichen in die

Elementarmathematik, so dass selbst einfache Größenvergleiche oder das Kopfrechnen mit

zweistelligen Zahlen nicht beherrscht werden. Die Fehlerdiagnostik gibt darüber Aufschluss,

bei wem welche Fehlstrategien vorliegen. Daran hat sich die Förderstrategie zu orientieren.

Wir zeigen im Folgenden an drei Beispielen, wie man rechenschwachen Schülern und

Schülerinnen über Lernhürden und Fehler hinweghelfen kann.

6.4.1 Der Algorithmus der schriftlichen Division

Unter den vier Grundrechenarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

macht die letztere die meisten Schwierigkeiten. Insbesondere das schriftliche Dividieren ist

selbst guten Rechnern häufig nur als eingeübter Rechenweg vertraut, von dem gar nicht

weiter gesagt werden kann, warum er wie funktioniert.

Die schriftliche Division ist ein komplexes Verfahren, das viele Fertigkeiten voraussetzt:

- Beherrschung des kleinen wie großen Einmaleins

- Überschlagsrechnungen auch mit großen Zahlen im Kopf

- Kenntnis des Stellenwertsystems

- Beherrschung der schriftlichen Subtraktion bei Zwischenergebnissen

- Verständnis der Bedeutung der Null im dekadischen System

- Zerlegung einer Operation in aufeinanderfolgende Teiloperationen

- gegebenenfalls Fixierung von Resten der Division

Betrachten wir also die schriftliche Divisionsaufgabe 5922 : 7

Zunächst ist der Vorgang des Aufteilens für die Vorstellung zu konkretisieren, etwa in der

Art, dass eine Geldsumme von 5922 Euro auf 7 Personen zu verteilen ist. Spielgeldscheine

können als praktisches Hilfsmittel zum Einsatz kommen oder wenigstens in Gedanken diese

Rolle spielen. Tausender sind dabei in Hunderter zu wechseln, diese in Zehner und Zehner

in Einermünzen. Der Aufteilungsvorgang beginnt bei den größten Scheinen in absteigender

Folge.

Um ein Verständnis für den Vorgang der schriftlichen Division zu wecken, empfiehlt sich ein

dreistufiges Vorgehen: halbschriftliches Rechnen, Rechnen mit Hilfe der Stellenwerttafel,

schriftliche Rechnung ohne Stellenwerttafel. Dabei wird der Stellenwert durch die Symbole

T für Tausender, H für Hunderter, Z für Zehner und E für Einer bezeichnet.


38 „LERN WIEDER!“

Stufe 1: halbschriftliches Rechnen

T H Z E

5 9 2 2 : 7

5 6 0 0 : 7 = 800

3 2 2 : 7 = 40

2 8 0

4 2 : 7 = 6

4 2

0

5 9 2 2 : 7 = 846

Die Rechnung in Worten:

- Von 5 Tausendern können keine 7 verteilt werden. Also werden die Tausender in

Hunderter gewechselt.

- Von nun insgesamt 59 Hundertern können 56 verteilt werden. Jeder bekommt 8

Hunderter, also 800, die rechts notiert werden. 3 Hunderter bleiben übrig.

- Diese nicht verteilbaren 3 Hunderter werden in Zehner aufgelöst und mit den schon

vorhandenen 2 Zehnern zusammengenommen. Von diesen 32 Zehnern können 28 verteilt

werden. Jeder bekommt 4 Zehner, also 40, die wieder rechts notiert werden. 4

Zehner bleiben übrig.

- Die 4 Zehner werden in Einer gewechselt und mit den vorhandenen 2 Einern zusammmengenommen.

42 Einer werden verteilt, so dass jeder 6 bekommt, die wieder rechts

schriftlich festgehalten werden.

Die Addition der Teilergebnisse am rechten Rand ergibt das Resultat der Division:

5922 : 7 = 846.

Stufe 2: Rechnen mit Hilfe der Stellenwerttafel

T H Z E T H Z E

5 9 2 2 : 7 = 8 4 6

5 6

3 2

2 8

4 2

4 2

0

Derselbe Rechenvorgang wie in Stufe 1 erscheint hier in abgekürzter Notation dank der

Stellenwerttafel. Die Zwischenergebnisse der Stufe 1 werden rechts gleich als Ziffern mit

entsprechendem Stellenwert eingetragen und erzeugen ganz ohne weitere Addition die

Zahl, die das Endergebnis darstellt.


„LERN WIEDER!“

39

Stufe 3: schriftliche Division ohne Stellenwerttafel

Die Rechenverfahren in Stufe 1 und 2 haben sich dem endgültigen Algorithmus der schriftlichen

Division bereits deutlich angenähert. Er besteht nun darin, dieselben Rechenschritte

ohne Zuhilfenahme der Stellenwerttafel durchzuführen und nimmt so die bekannte

Form an:

5922 : 7 = 846

56

32

28

42

42

0

6.4.2 Division durch 0: Erklärungen statt Verbote präsentieren!

Dieser spezielle Fall der Division durch 0 verdient deshalb an dieser Stelle Aufmerksamkeit,

weil er häufig zu einer grundsätzlich falschen Methodik verleitet. Der mathematische

Sachverhalt, dass die Division durch 0 eine unsinnige und falsche Operation darstellt, ist

nicht ganz leicht verständlich zu machen. Schulbücher und Lehrpersonal behelfen sich

daher des öfteren mit der Aufstellung von Ge- und Verboten nach dem folgenden Muster:

"Division natürlicher Zahlen. Vorsicht: Die Division durch 0 ist nicht erlaubt." (Schulbuch

Cornelsen/Schwann: Zahlen und Größen, Koullen, R. u.a. (Hrsg.), Düsseldorf 1991, S. 101)

Ungeachtet solcher Verbotstafeln führen Schüler und Schülerinnen allerdings häufig die

Division durch 0 so phantasievoll durch, dass sie gleich zu mehreren Ergebnissen kommen:

12 : 0 = 0

12 : 0 = 1

12 : 0 = 12

Berechtigt fühlen sich Didaktiker zur Aufstellung solcher Verbotstafeln immer wieder mit

dem Verweis darauf, dass Lernende mit der Erklärung, warum die Division durch 0 keine

vernünftige mathematische Operation darstellt, einfach überfordert seien. Dabei wäre es

Schülern und Schülerinnen durchaus einsichtig zu machen, warum die Division durch 0

nicht etwa verboten, sondern unsinnig ist. Sie stellt daher auch keine Rechenoperation dar,

die man vernünftigerweise durchführen könnte.

Zum Verständnis hilft bereits ein Rückgriff auf die Kenntnisse über den Zusammenhang von

Multiplikation und Division. Die Multiplikation ist die Umkehrung der Division: Hat man

einen Dividenden durch einen Divisor geteilt, so ist das Produkt aus dem Teilungsergebnis

und dem Divisor dem Dividenden wieder gleich, wie ein einfaches Beispiel demonstriert:

12 : 4 = 3, also ist 3• 4 = 12. Das nutzt man für den folgenden kleinen Beweis aus, der zeigt,

dass die Division durch 0 eine falsche Operation ist.


40 „LERN WIEDER!“

Ist nämlich n > 0 eine beliebige positive natürliche Zahl, so kann es keine andere Zahl m

geben, für die gilt:

n : 0 = m

Denn für solch ein Ergebnis m ist ja die multiplikative Umkehrung

m = n > 0

0 wäre also größer als 0, was ein Widerspruch ist. Selbst jüngeren Lernenden, denen diese

Argumentation nicht eingängig vorkommen mag, lässt sich der Sachverhalt schlüssig darlegen,

und zwar innerhalb der Vorstellungswelt, die sie mit der Division verbinden. Kinder

und Jugendliche fassen - zurecht - das Dividieren durch eine Zahl auch als Prozess des

wiederholten "Wegnehmens" auf, mit dem man ermittelt, wie oft der Divisor wohl im

Dividenden "steckt". Nach dieser Vorstellung führt dann beispielsweise die Aufgabe 12 : 4

zu folgender Prozedur:

12 - 4 = 8

8 - 4 = 4

4 - 4 = 0

Dreimalige Subtraktion des Divisors vom Dividenden "braucht ihn auf", also ist 4 dreimal

in 12 enthalten und das Ergebnis der Division daher 3. Dieses Verfahren wende man an auf

den Fall, dass der Divisor 0 ist. 12 : 0 bedeutet dann: Wie oft muss man 0 von 12 subtrahieren,

bis man 0 erhält und die 12 aufgebraucht hat?

12 - 0 = 12

12 - 0 = 12

12 - 0 = 12

. . .

Und so weiter ad infinitum. Die Antwort liegt auf der Hand: Keine Anzahl durchgeführter

Subtraktionen kann zu diesem Ergebnis führen, weil hier in Wirklichkeit gar kein Prozess des

"Wegnehmens", also Verminderns stattfindet. Oder in der Sprache des Teilens: Die Division

durch 0 ist gar kein wirklicher Teilungsprozess, bringt deshalb auch kein Ergebnis der Teilung

hervor.

Statt einer Erklärung begnügt sich das Schulbuch mit einem Verbotsschild. Und das ausgerechnet

bei einem Fall, der nach Auskunft aller Didaktiker bei Lernenden aller Jahrgänge in

höchstem Maße fehlerträchtig ist: Operationen mit der Zahl 0. Leider wird dadurch nur die

falsche Vorstellung vieler Schüler und Schülerinnen bekräftigt, die Mathematik sei eine

Ansammlung von Rezepten und subjektiv erdachten Regeln, die man durch Ge- und

Verbote etabliert oder wieder außer Kraft setzt. Eben diese irrige Auffassung aber ist es

gerade, die Lernende nur allzu oft anwenden, wenn sie sich ihre eigenen, ganz subjektiven

falschen Algorithmen erfinden, um mit Zahlen operieren zu können.


„LERN WIEDER!“

41

6.4.3 Gleichungen mit einer Unbekannten

Beispiel: 3x + 3 = 2x + 5

Die erste Schwierigkeit liegt für viele Schüler und Schülerinnen darin, den Begriff der

Identität und der Variablen richtig aufzufassen. Gleichungen wie etwa 3 + 2 = 1 + 4 drücken

die Identität beider Seiten aus. Gleichungen mit einer Unbekannten verlangen die

Herstellung einer solchen Identität beider Seiten, und zwar dadurch, dass für die unbekannte

Größe x eine passende Zahl ermittelt wird, für die die Identität beider Seiten dann

gilt. x ist also ein Platzhalter für eine Zahl, die erst noch gesucht werden muss. Dieses

Verständnis der Variablen ist wichtig, weil Lernende häufig mutmaßen, man könne Zahlen

und Buchstaben beim Rechnen nicht einfach durcheinander werfen. Richtig, der Buchstabe

steht nämlich für eine gesuchte Zahl.

Man ermittelt sie durch Umformungen der Gleichung, die natürlich die Identität beider

Seiten wahren müssen. Allerlei Merkregeln sorgen allerdings immer wieder dafür, dass

Lernende ins Straucheln kommen. Hier nur ein Beispiel unter vielen:

Merkregel: "Auf die andere Seite bringen"

3x + 3 = 2x + 5

3x = 2x + 8

Das Bemühen, x auf einer Seite um andere Ausdrücke zu bereinigen, um die unbekannte

Größe zu berechnen, behilft sich mit der Merkregel und bringt in der Tat 3 auf die andere

Seite. Aber eben so, dass der bloß räumliche Transport in einem mathematischen

Verbrechen mündet: Links wurde 3 subtrahiert, rechts dagegen addiert. Die Identität der

Gleichung ist also verletzt.

Um Lernenden klar zu machen, warum die Wahrung der Identität keine willkürliche

Vorschrift, sondern ein gültiges Gesetz ist, kann der Nachbau einer Apothekerwaage oder

ihre bildliche Darstellung eingesetzt werden. Dann ist das Lösen einer Gleichung mit einer

Unbekannten einem wirklichen Wiegevorgang äquivalent, der nur dann zum Ergebnis führt,

wenn die Waagschalen bei jeder Veränderung ihres Inhalts im Gleichgewicht bleiben, also

mathematisch ausgedrückt die Identität der beiden Seiten gewahrt ist.

Die Gleichung 3x + 3 = 2x + 5 lässt sich dann folgendermaßen abbilden. x steht für ein

Objekt unbekannten Gewichts, die Zahlen 3 bzw. 5 für Gewichtssteine mit einem

Einheitsgewicht, wie sie bei jeder Markt- oder Apothekerwaage zum Einsatz kommen. Die

Gleichung besagt dann, dass 3 Objekte, deren Gewicht noch zu bestimmen ist, mit 3

Gewichtssteinen in der linken Waagschale ruhen und so das Gleichgewicht mit der rechten

Schale halten, in der 2 dieser unbekannten Objekte und 5 Einheitsgewichte liegen:


42 „LERN WIEDER!“

linke Waagschale

rechte Waagschale

x x x x x

Entfernt man auf jeder Seite 2 der unbekannten Objekte x, so bleibt die Waage im

Gleichgewicht:

linke Waagschale

rechte Waagschale

x

Nun sind noch 3 Gewichtssteine auf jeder Seite wegzunehmen. So bleibt die Waage im

Gleichgewicht und zeigt das Gewicht des unbekannten Objekts x an:

x


Also ist x = 2. Man überzeugt den Lernenden leicht davon, dass es exakt diese

Veränderungen der Waage zur Messung des Gewichts von x sind, die man rechnerisch bei

der Lösung der Gleichung durchführt:

3x + 3 = 2x + 5

x + 3 = 5

x = 2

(Subtraktion von 2x; entspricht der ersten Manipulation der Waage)

(Subtraktion von 3; entspricht der zweiten Manipulation der Waage)


„LERN WIEDER!“

43

Literatur und Links

Bader, R., Lernfelder konstruieren - Lernsituationen entwickeln. In: Die berufsbildende

Schule 55/2003, S. 210 - 217

Bundesagentur für Arbeit (Hrsg.), Kriterienkatalog zur Ausbildungsreife. Ein Konzept für

die Praxis, Nürnberg/Berlin 2006

Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF), Bildungsbericht markiert Einstieg

in neue Steuerungsphilosophie, Pressemitteilung 4.7.2006

Bundespräsident Horst Köhler, Berliner Rede 21.9.2006, zitiert nach:

Süddeutsche Zeitung 22.9.2006

Deutscher Gewerkschaftsbund, Bundesvorstand, Reife ist eine Frage des Förderns und

Forderns. Eckpunkte des DGB zur Ausbildungsreife, 4.4.2006

Europäische Union, Entwurf einer Stellungnahme der Fachkommission für Kultur, Bildung

und Forschung zu dem "Vorschlag für eine Empfehlung des Europäischen Parlaments und

des Rates zu Schlüsselkompetenzen für lebenslanges Lernen", Brüssel, 20.3.2006

IHK Rheinland-Pfalz, Was erwartet die Wirtschaft von den Schulabgängern?

Download 9/2006

Institut der Deutschen Wirtschaft, in: Süddeutsche Zeitung 22.9.2006

Dr. Annette Schawan, MdB, Bundesministerin für Bildung und Forschung

Jobstarter-Auftaktkonferenz 19./20. Januar 2006, Eröffnungsrede, Konsortium

Bildungsberichterstattung im Auftrag der Ständigen Konferenz der Kultusminister der

Länder in der Bundesrepublik Deutschland und des Bundesministeriums für Bildung und

Forschung (Hrsg.), Bildung in Deutschland, Bielefeld 2006. Download unter www.bildungsbericht.de

Pisa- Konsortium Deutschland, Prenzel, Manfred, Baumert, Jürgen u.a. (Hrsg.), Pisa

2003, Untersuchungen zur Kompetenzentwicklung im Verlaufe eines Schuljahres.

Zusammenfassung, download Dezember 2006, pisa.ipn.uni-kiel.de

Röhrig, Rolf, Dyskalkulie/Rechenschwäche Band 1, Mathematikdefizite bei rechenschwachen

Auszubildenden. Fehlertypen und Ursachen, Bremen 1994

Röhrig, Rolf, Dyskalkulie/Rechenschwäche Band 2, Mathematikdefizite bei rechenschwachen

Auszubildenden. Diagnostik und Gegenstrategien. Handreichungen für Ausbilder,

Bremen 1994

Röhrig, Rolf, Mathematik mangelhaft. Fehler entdecken, Ursachen erkennen, Lösungen

finden. Arithmasthenie/Dyskalkulie: Neue Wege beim Lernen, Hamburg 1996

Röhrig, Rolf, Lerntrainer Mathematik, Sachaufgaben, Hamburg 1998

Shell-Studie "Jugend 2006 - eine pragmatische Generation gerät unter Druck",

Berlin 2006

Links

www.bildungsbericht.de

www.bibb.de

www.bda-online.de

www.pakt-sucht-partner.de

www.pakt-fuer-ausbildung.de

www.bmbf.de

www.dgb.de

www.zdh.de

www.bmas.bund.de


44 „LERN WIEDER!“


„LERN WIEDER!“

45

Anhang

Leitfaden Experteninterviews und Kurzrechentest


46 „LERN WIEDER!“

Rechentest

Liebe Teilnehmerinnen und Teilnehmer,

der folgende Testbogen dient ausschließlich wissenschaftlichen Zwecken. Alle

Arbeitsergebnisse werden streng vertraulich behandelt und gehen nicht in die

Zensurengebung ein. Ziel ist es, anhand der ermittelten Fehler geeignete

Fördermaßnahmen zu entwickeln. Bitte bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben sorgfältig.

Das bedeutet insbesondere:

Notieren Sie nicht nur das Ergebnis, sondern auch den Lösungsweg. Selbst die kleinste

Nebenrechnung soll auf dem Arbeitsbogen festgehalten werden.

Aufgaben, die für das Kopfrechnen vorgesehen sind, sollen bitte auch nur im Kopf

gelöst werden. Daraus ergeben sich Rückschlüsse auf die Rechenfertigkeit, die für alles

Weitere sehr wichtig sind.

Nummerieren Sie bitte die Lösungen genauso wie die zugehörigen Aufgaben.

Herzlichen Dank fürs Mitmachen und viel Spaß beim Knobeln!

Aufgaben

1. Zahlendiktat: Schreiben Sie in Ziffern:

a) dreiundzwanzig

b) neuntausendzweihundertachzig

2. Zwischen welchen Zehnern liegen die folgenden Zahlen?

a) 17 liegt zwischen ....... und ......

b) 43 liegt zwischen ....... und ......

3. Größenabschätzung: Welche der folgenden Zahlen ist größer?

a) 28 oder 36

b) 0,17 oder 0,3

4. Addition

Bitte schriftlich rechnen: 178 + 223 =

5. Subtraktion

Bitte schriftlich rechnen: 345 - 258 =

6. Multiplikation

Bitte schriftlich rechnen: 87 35

7. Division

Bitte schriftlich rechnen: 168 : 7 =


„LERN WIEDER!“

47

8. Bruchrechnen

Wieviel ergeben ein Viertel und ein Drittel zusammen? Bitte schreiben Sie Aufgabe und

Ergebnis als Gleichung auf.

9. Prozentrechnen

a) 8 % von 100 ergibt wieviel?

b) 25 % von 1200 ergibt wieviel?

10.Dimensionierte Größen

a) 3 cm entsprechen wieviel mm?

b) 10 dm entsprechen wieviel cm?

c) 3 dm + 27 cm entsprechen wieviel mm?

11.Gleichungen mit einer Unbekannten:

3x + 2 = 14

12. Sachaufgaben

Für die Fertigung von 60 Bolzen sind 3600 mm Rundstahl erforderlich. Welche

Rundstahllänge wird für 28 Bolzen benötigt?


48 „LERN WIEDER!“

Erläuterung der Aufgabenstellung

(nur für das Lehrpersonal bestimmt)

Die Aufgaben 1 - 3 sind elementarer Art. Im Zahlendiktat wird geprüft, ob den

Testpersonen der Unterschied von Ziffer und Zahl geläufig ist. In Aufgabe 2 und 3 sind

Größenabschätzungen verlangt. Sie geben darüber Auskunft, ob der Schüler den

Zahlenraum strukturiert denken kann, also etwa nach aufsteigenden Zehnerbündeln

geordnet, oder ob für ihn jede Zahl erst durch Abzählen von 1 aufwärts quasi erzeugt

werden muß.

Die Aufgaben 4 - 7 ermitteln die Fertigkeiten in Bezug auf die arithmetischen

Grundrechenoperationen. Dabei sind die Aufgaben so konzipiert, dass verschiedene

Schwierigkeitsgrade Berücksichtigung finden, z.B. Rechnungen ohne und mit

Zehnerübergang.

Aufgabe 8 checkt elementare Kenntnisse der Bruchrechnung. Werden die sprachlich

ausgedrückten Bruchteile korrekt in Bruchzahlen übersetzt? Ist ein Verständnis über die

Notwendigkeit einer gemeinsamen Einheit bei der Addition vorhanden, also ein Wissen

um die Bedeutung des Hauptnenners?

Das Prozentrechnen in Aufgabe 9 gehört zu den großen Schwachpunkten. Liegt ein

Verständnis darüber vor, dass Prozent ein Verhältnis bezeichnet und keine

Dimensionsangabe ist?

Qualität und Quantität müssen geschieden und ebenso in Beziehung gesetzt werden.

Aufgabe 10 überprüft das diesbezügliche Verständnis mit der Aufforderung, unterschiedliche

Einheiten auf eine gemeinsame Einheit zurückzuführen, um

Rechenoperationen durchführbar zu machen.

Aufgabe 11 stellt darauf ab, Kenntnisse des Lernenden über den Begriff des Terms, der

Variablen und der Identität zu ermitteln. Denn bereits in diesem Vorfeld liegen häufig

die Lernhürden, an denen sich viele Schüler/-innen falsch abarbeiten. Die Ergebnisse

dieser falschen Befassung machen sich dann auch in falschen Umformungen der

Gleichungen geltend.

Sachaufgaben wie die in Aufgabe 12 bereiten auch solchen Schülern Kopfschmerzen,

die über die darin eingekleideten mathematischen Inhalte verfügen. Es mangelt häufig

an der Fähigkeit, aus dem konkreten Sachverhalt das Verhältnis abstrakter Quantitäten

zu erschließen, das erst einer mathematischen Behandlung zugänglich ist.

Mit Hilfe eines solchen Rechentests läßt sich das Spektrum mathematischer Fähigkeiten systematisch

abfragen, wie es dem genannten Niveau entspricht. Dennoch, die Grenzen eines

solchen Verfahrens sind offenkundig. Nicht jedes falsche Ergebnis muß gleich für eine falsche

Denkstrategie stehen. Flüchtigkeit und Konzentrationsmängel tun durchaus bei einigen

Fehlleistungen ihr Werk. Und im Gegenzug gilt: Nicht jedes richtige Ergebnis zeugt von

klarem mathematischen Denken, weil auch verkehrte subjektive Algorithmen richtige

Resultate erzeugen können. Daher muss der Rechentest unbedingt um eine Befragung

ergänzt werden, in der die Schülerinnen und Schüler um die Darlegung ihres Rechenweges

gebeten werden.


„LERN WIEDER!“

49

Fragebogen

Stammdaten

Name und Adresse der Schule oder Bildungseinrichtung

Ihre Fachrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ihre Funktion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ihr Name / Telefon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Welche Schülerfehler begegnen Ihnen am häufigsten? (Mehrfachnennung ist möglich)

Fehler beim Verständnis von Ziffer, Zahl und dekadischem System

Fehler beim Zählen (Kardinalund

Ordinalzahlen werden z.B. verwechselt)

Fehler beim Kopfrechnen

Fehler beim schriftlichen Rechnen Addition

(arithmetische Grundoperationen) Subtraktion

Multiplikation

Division

Addition, Qualität und Quantität werden nicht geschieden

(z.B. Addition von Größen verschiedener Dimension)

Fehler in der Bruchrechnung

Fehler in der Prozentrechnung

Fehler bei Gleichungen mit einer Variablen

Sachaufgaben (Textaufgaben) werden nicht oder nicht richtig bearbeitet

2. Bitte geben Sie für die folgenden Gebiete mindestens ein konkretes Beispiel für

Mathematikfehler an, die Ihnen in der Klasse häufiger begegnen:

Fehler bei der schriftlichen Addition:


50 „LERN WIEDER!“

Fehler bei der schriftlichen Subtraktion:

Fehler bei der schriftlichen Multiplikation:

Fehler bei der schriftlichen Division:

Fehler bei der Bruchrechnung:

Fehler bei der Prozentrechnung:


„LERN WIEDER!“

51

Fehler im Umgang mit dimensionierten Größen:

Fehler im Umgang mit Sachaufgaben:

3. Wo bleiben Schwächen der Schüler/-innen und Auszubildenden auch trotz

Wiederholung und Förderung bestehen? Wie erklären Sie sich das?

4. Wo sehen Sie Defizite bei den Lernbedingungen und Lehrmitteln?

(Mehrfachnennung ist möglich)

zu große Klassen

zu wenig Zeit

Defizite bei Schulbüchern

Defizite bei Lehr- und Lernmaterialien

andere Defizite:

Bitte notieren Sie im Klartext:


52 „LERN WIEDER!“

5. Würden Sie für sich selbst als Pädagogin und Pädagoge Qualifizierungsbedarf sehen,

um besser mit den Mathematikproblemen Jugendlicher umgehen zu können?

Wenn ja, wo?

Bitte notieren Sie im Klartext:

6. Wie beurteilen Sie die folgenden häufig auftretenden Schülerfehler?

(Welche Fehler werden gemacht?)

Addition:

a) 23 + 41 = 37

b) 327

+ 465

7812

Beurteilung:

Subtraktion:

345

- 258

113

Beurteilung:


„LERN WIEDER!“

53

Multiplikation:

84 98

756

672

1428

Beurteilung:

Division:

4535 : 5 = 97

Beurteilung:

7. Die moderne Lernforschung und -förderung hat unter dem Namen "Arithmasthenie"

oder "Dyskalkulie" (Rechenschwäche) neue Erkenntnisse über bestimmte Schülerfehler

ermittelt, wie sie unter Punkt 6 angeführt sind. Haben Sie sich schon einmal damit

befasst? Wie sind Ihre Erfahrungen?

Bitte notieren Sie im Klartext:

Bitte senden Sie den Fragebogen zurück an:

Universität Bremen | IAW | FVG-Mitte

Frau Gerlinde Hammer

Postfach 33 04 40

28334 Bremen


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