Statistische Methoden - Institut für Experimentelle und Angewandte ...

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Statistische Methoden - Institut für Experimentelle und Angewandte ...

Statistische Methoden

Fourier Transformation – Power Spektrum

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Institut für Experimentelle und Angewandte Physik

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel

Statistische Methoden – 03.07.2006

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Statistische Methoden


Fourier Transformation

◮ Rechenaufwand der diskreten Fouriertransformation:

Matrixmultiplikation → O(N 2 )

W ≡ e 2πi/N

H n =

N−1


k=0

W nk h k

◮ Fast Fourier Transformation (FFT):

jede diskrete Fourier Transformation der Länge N kann als

Summe zweier diskreter Fourier Transformationen der

Länge N/2 geschrieben werden

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Statistische Methoden


Fourier Transformation

◮ Rechenaufwand der diskreten Fouriertransformation:

Matrixmultiplikation → O(N 2 )

W ≡ e 2πi/N

H n =

N−1


k=0

W nk h k

◮ Fast Fourier Transformation (FFT):

jede diskrete Fourier Transformation der Länge N kann als

Summe zweier diskreter Fourier Transformationen der

Länge N/2 geschrieben werden

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Statistische Methoden


Fast Fourier Transformation

F k =

=

=

N−1


j=0

N/2−1


j=0

N/2−1


j=0

e 2πijk/N f j

N/2−1


e 2πik(2j)/N f 2j +

j=0

N/2−1


e 2πikj/(N/2) f 2j + W k

e 2πik(2j+1)/N f 2j+1

j=0

e 2πikj/(N/2) f 2j+1

= F e k + W k F o k

W ≡ e 2πi/N

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Statistische Methoden


Fast Fourier Transformation

F k =

=

=

N−1


j=0

N/2−1


j=0

N/2−1


j=0

e 2πijk/N f j

N/2−1


e 2πik(2j)/N f 2j +

j=0

N/2−1


e 2πikj/(N/2) f 2j + W k

e 2πik(2j+1)/N f 2j+1

j=0

e 2πikj/(N/2) f 2j+1

= F e k + W k F o k

W ≡ e 2πi/N

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Statistische Methoden


Power Spectrum Estimation

◮ Spektrum enthält genausoviel Information wie die Zeitreihe

◮ wenn Signalfrequenz nicht ein Vielfaches von f c /N ist →

Frequenzleakage (→ data windowing)

◮ Amplitudenfehler immer 100%

◮ längere Zeitreihe → bessere Frequenzauflösung

◮ größere Abtastrate → größere Nyquistfrequenz

◮ → Mitteln

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Statistische Methoden


Data windowing / Fenster

◮ N abgetastete Datenpunkte → Anwendung eines

Rechteckfensters auf unendliche Zeitreihe

◮ Entspricht im Frequenzraum Faltung des Spektrums mit

FFT des Rechteckfensters

◮ “leakage” aus anderen Frequenzbins

◮ Eingangsdaten mit Fenstern behandeln, die langsamer

ansteigen und abfallen als ein Rechteck

◮ Bartlett, Hanning, Hamming, . . .

Unterschiede in highest sidelobe level, sidelobe fall-off,

equivalent noise bandwidth, 3 dB bandwidth, scallop loss,

worst case process loss

◮ je nach Anwendung (Freuenz leakage reduzieren,

Amplituden genau) verschiedene Fenster verwenden

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Statistische Methoden


Data windowing / Fenster

◮ N abgetastete Datenpunkte → Anwendung eines

Rechteckfensters auf unendliche Zeitreihe

◮ Entspricht im Frequenzraum Faltung des Spektrums mit

FFT des Rechteckfensters

◮ “leakage” aus anderen Frequenzbins

◮ Eingangsdaten mit Fenstern behandeln, die langsamer

ansteigen und abfallen als ein Rechteck

◮ Bartlett, Hanning, Hamming, . . .

Unterschiede in highest sidelobe level, sidelobe fall-off,

equivalent noise bandwidth, 3 dB bandwidth, scallop loss,

worst case process loss

◮ je nach Anwendung (Freuenz leakage reduzieren,

Amplituden genau) verschiedene Fenster verwenden

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Statistische Methoden


Data windowing / Fenster

◮ N abgetastete Datenpunkte → Anwendung eines

Rechteckfensters auf unendliche Zeitreihe

◮ Entspricht im Frequenzraum Faltung des Spektrums mit

FFT des Rechteckfensters

◮ “leakage” aus anderen Frequenzbins

◮ Eingangsdaten mit Fenstern behandeln, die langsamer

ansteigen und abfallen als ein Rechteck

◮ Bartlett, Hanning, Hamming, . . .

Unterschiede in highest sidelobe level, sidelobe fall-off,

equivalent noise bandwidth, 3 dB bandwidth, scallop loss,

worst case process loss

◮ je nach Anwendung (Freuenz leakage reduzieren,

Amplituden genau) verschiedene Fenster verwenden

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Statistische Methoden


Data windowing / Fenster

◮ N abgetastete Datenpunkte → Anwendung eines

Rechteckfensters auf unendliche Zeitreihe

◮ Entspricht im Frequenzraum Faltung des Spektrums mit

FFT des Rechteckfensters

◮ “leakage” aus anderen Frequenzbins

◮ Eingangsdaten mit Fenstern behandeln, die langsamer

ansteigen und abfallen als ein Rechteck

◮ Bartlett, Hanning, Hamming, . . .

Unterschiede in highest sidelobe level, sidelobe fall-off,

equivalent noise bandwidth, 3 dB bandwidth, scallop loss,

worst case process loss

◮ je nach Anwendung (Freuenz leakage reduzieren,

Amplituden genau) verschiedene Fenster verwenden

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Statistische Methoden


Data windowing / Fenster

◮ N abgetastete Datenpunkte → Anwendung eines

Rechteckfensters auf unendliche Zeitreihe

◮ Entspricht im Frequenzraum Faltung des Spektrums mit

FFT des Rechteckfensters

◮ “leakage” aus anderen Frequenzbins

◮ Eingangsdaten mit Fenstern behandeln, die langsamer

ansteigen und abfallen als ein Rechteck

◮ Bartlett, Hanning, Hamming, . . .

Unterschiede in highest sidelobe level, sidelobe fall-off,

equivalent noise bandwidth, 3 dB bandwidth, scallop loss,

worst case process loss

◮ je nach Anwendung (Freuenz leakage reduzieren,

Amplituden genau) verschiedene Fenster verwenden

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Statistische Methoden


Hanning Fenster

◮ in 95% aller Fälle ist Hanning ok

w j = 1 [ ( 2πj

1 − cos

2

N

)]

Christian T. Steigies, Franko Greiner

Statistische Methoden

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