und Diplomprüfung in Angewandter Mathematik - Bifie

Kompensationsprüfung zur standardisierten 

schriftlichen Reife- und Diplomprüfung in 

Angewandter Mathematik 

1 Grundlagen 

Für generelle Informationen zum (für alle Unterrichtsfächer geltenden) organisatorischen Ablauf der 

Kompensationsprüfung siehe das Dokument Informationen zum Ablauf der Kompensationsprüfungen zu 

standardisierten Klausuren an Schulen, abrufbar unter https://www.bifie.at/node/2313. 

Informationen zu den rechtlichen Grundlagen finden Sie im Dokument Mündliche Kompensationsprüfung 

– Relevante Auszüge aus Gesetzen und Verordnungen, abrufbar unter https://www.bifie.at/node/2314. 

1.1 Allgemeines 

Die mündliche Kompensationsprüfung in Angewandter Mathematik bietet die Möglichkeit, die negative 

Beurteilung der schriftlichen Klausur im Rahmen desselben Termins zu kompensieren und damit einen 

Laufbahnverlust zu vermeiden. 

Bei dieser Kompensationsprüfung müssen diejenigen Kompetenzen nachgewiesen werden, die auch 

Gegenstand der schriftlichen Überprüfung sind: Grundkompetenzen und clusterspezifische Kompetenzen. 

Im Rahmen des Prüfungsgesprächs wird zusätzlich mit fakultativen Fragestellungen gearbeitet, die die 

Prüferin/der Prüfer mit der Angabe erhält und die während des Prüfungsgesprächs zusätzlich gestellt 

werden können. Die Prüferin/der Prüfer entscheidet, ob und wie viele der vorgegebenen fakultativen Fragestellungen 

zur Anwendung kommen. Diese zusätzlich angeführten fakultativen Fragestellungen dienen 

einerseits dazu, Defizite aus den grundlegenden Kompetenzen womöglich auszugleichen, andererseits 

dazu, den Kandidatinnen und Kandidaten eine zusätzliche Gelegenheit zu geben, über das Grundlegende 

hinausgehende Kompetenzen unter Beweis zu stellen. Wenn fakultative Fragestellungen zur Anwendung 

kommen, werden diese den Kandidatinnen und Kandidaten erst im Rahmen des Prüfungsgesprächs 

gestellt; sie werden den Kandidatinnen und Kandidaten nicht zusammen mit der Aufgabenstellung mitgeliefert. 

Die Kompensationsprüfung unterscheidet sich folglich durch die fakultativen Fragestellungen von der 

standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung in Angewandter Mathematik. 

2 Konzeption der Kompensationsprüfung 

Jeder Kandidatin/jedem Kandidaten wird eine Aufgabenstellung bestehend aus drei oder vier Unteraufgaben 

vorgelegt. Nach Möglichkeit wird die Aufgabenstellung nicht mehr als eine Seite umfassen – Ausnahmen 

sind möglich (Grafiken, Tabellen etc.). Grafiken und Tabellen werden in Schwarz-Weiß zur Verfügung gestellt.

Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 2 

PC oder Laptop mit einem zugelassenen Mathematikprogramm bzw. ein zugelassener grafikfähiger Taschenrechner 

sowie eine für die jeweilige Schulform approbierte Formelsammlung sollten für jede Kandidatin/jeden 

Kandidaten sowohl zur Vorbereitung als auch für die Prüfung zur Verfügung stehen. 

2.1 Charakterisierung der Aufgaben 

Die mathematische Inhaltsdimension mit allen fünf Ausprägungen wird in der Kompensationsprüfung 

möglichst breit gestreut sein (bezogen auf die Kompetenzkataloge für die standardisierte schriftliche 

Reife- und Diplomprüfung in Angewandter Mathematik, die auf der Website des BIFIE unter 

https://www.bifie.at/node/1390 aufrufbar sind). 

Die Handlungsdimension mit allen vier Ausprägungen wird ebenfalls breit abgebildet. Die Unteraufgaben 

jeder Aufgabenstellung sind streng unabhängig voneinander. In den Unteraufgaben werden diejenigen 

Signalwörter (Operatoren) verwendet, die im auf der Website des BIFIE veröffentlichten Katalog (vgl. 

https://www.bifie.at/node/1934) zusammengefasst sind. 

Die Kompensationsprüfungsaufgaben entsprechen stets den inhaltlichen Anforderungen des jeweiligen 

Clusters, das heißt, sie gehen jeweils von einem einheitlichen Kontext aus und decken mit ihren Unteraufgaben 

sowohl die Grundkompetenzen als auch die schulformspezifischen Kompetenzen ab (vgl. Prüfungsordnung 

BHS § 19 i. V. m. § 13 (2) sowie die unter https://www.bifie.at/node/1390 abrufbaren 

Kompetenzkataloge). 

2.2 Didaktischer Hintergrund zu den fakultativen Fragestellungen 

Fakultative Fragestellungen tragen zur Klärung der Beurteilung bei: 

§ 

§ 

§ 

§ 

Als „vertiefende Fragestellungen“ dokumentieren sie die Selbstständigkeit (i. S. d. LBVO) der 

Kandidatin/des Kandidaten. 

Sie ermöglichen ein „genaueres Nachfragen“, falls die ursprüngliche Aufgabenstellung anders 

beantwortet wurde als in der Lösungserwartung vorgesehen bzw. „erwartet“. 

Da eine ausreichende Grundlage für die Beurteilung aller Ausprägungen der Handlungsdimensionen 

vorhanden sein muss, setzt die Prüferin/der Prüfer diese auch ein, um Defizite in anderen Bereichen 

womöglich auszugleichen. 

Diese Fragestellungen können auch über Fehler bei der Lösung der Aufgabenstellung hinweghelfen. 

Beispiel: Man könnte nach der möglichen Interpretation eines Ergebnisses fragen, obwohl 

das Ergebnis zuvor nicht richtig ermittelt wurde.


3 Beurteilung 

3.1 Gesamtkalkül 

Da sowohl die von der Kandidatin/vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung 

als auch das Ergebnis der Klausurarbeit für die Gesamtbeurteilung herangezogen werden, kann das 

Gesamtkalkül nicht besser als „Befriedigend“ lauten. 

3.2 Erläuterungen zur Beurteilung 

Die Prüferin/der Prüfer erhält mit jeder Aufgabenstellung zusätzlich eine vollständige Lösungserwartung mit 

der Angabe der jeweiligen Ausprägung der Dimension Handlung. Des Weiteren gibt es zu fast allen Unteraufgaben 

fakultative Fragestellungen (inklusive Lösungserwartungen und der jeweiligen Ausprägung 

der Dimension Handlung). Pro Unteraufgabe ist eine Seite vorgesehen, wobei darauf geachtet wird, dass 

genügend Platz für Anmerkungen der Prüferin/des Prüfers während des Prüfungsgesprächs bleibt. 

Da die gesetzliche Regelung vorsieht, dass der Prüferin/dem Prüfer und der Beisitzerin/dem Beisitzer bei 

der Beurteilung des Prüfungsgebiets eine gemeinsame Stimme zukommt (vgl. Dokument Mündliche 

Kompensationsprüfung – Relevante Auszüge aus Gesetzen und Verordnungen, abrufbar unter 

https://www.bifie.at/node/2314), erhalten beide stets die den Aufgabenstellungen beigelegten Bewertungs- 

und Beurteilungsraster. Im Bewertungsraster ist die Notendefinition samt Beschreibung der Kompetenzbereiche 

angeführt, im zusätzlichen Beurteilungsraster trägt die Prüferin/der Prüfer das erreichte Ausmaß 

der nachgewiesenen Handlungskompetenzen ein.


3.3 Bewertungsraster 

Beurteilung / 

Kompetenzbereiche 

Anforderungen werden in den 

wesentlichen Bereichen 

überwiegend erfüllt 

Anforderungen werden in den 

wesentlichen Bereichen 

zur Gänze erfüllt 

Anforderungen werden in 

über das Wesentliche hinausgehendem 

Ausmaß erfüllt 

Anforderungen werden in 

weit über das Wesentliche 

hinausgehendem Ausmaß 

erfüllt 

Modellieren & 

Transferieren 

Basismodelle im allgemeinen bzw. 

schulformspezifischen Kontext 

erstellen (im Sinne der Grundkompetenzen) 

Basiszusammenhänge aus dem 

Alltag in einfachster Form in die 

Mathematik transferieren und umgekehrt 

grundlegende Modelle aus dem 

allgemeinen bzw. schulformspezifischen 

Kontext bilden 

grundlegende Zusammenhänge in 

mathematische Beschreibung 

transferieren 

über das Grundlegende hinausgehende 

Modelle aus dem allgemeinen 

bzw. schulformspezifischen 

Kontext bilden 

mathematische Zusammenhänge in 

berufsspezifische Bereiche übertragen 

und umgekehrt 

Modelle im Bereich komplexer 

Problemstellungen und Sachzusammenhänge 

erstellen 

komplexe mathematische Zusammenhänge 

in berufsfeldspezifische 

Bereiche übertragen und umgekehrt 

Operieren & 

Technologieeinsatz 

Rechen- und Konstruktionsabläufe 

auf Basis grundlegenden Operierens 

korrekt durchführen 

grundlegende Technologiekompetenz 

nachweisen 

auf Basis eines zugrunde liegenden 

tieferen Verstehens über die grundlegende 

Rechenkompetenz hinausgehend 

operieren 

operative Tätigkeiten zur Lösung 

grundlegender Problemstellungen 

an die jeweils verfügbare Technologie 

(im Mindestausmaß) auslagern und 

die Technologie adäquat einsetzen 

über die grundlegende Rechenkompetenz 

hinausgehend unter 

Nachweis eines kompetenten 

Technologieeinsatzes anspruchsvoll 

operieren 

in komplexen bzw. anspruchsvollen 

Situationen, auf den jeweiligen 

Cluster abgestimmt, operieren 

über eine tiefgehende Werkzeugkompetenz 

verfügen und diese 

nachweisen 

Reflektieren 

Interpretieren & 

Dokumentieren 

aus Informationen oder mathematischen 

Darstellungen grundlegende 

Fakten, Zusammenhänge oder 

Sachverhalte im Mindestmaß interpretieren 

Lösungswege und Ergebnisse in 

grundlegender Form darstellen 

vorgegebene mathematische 

Zusammenhänge und Ergebnisse 

in allgemeinen und schulformspezifischen 

Kontexten interpretieren 

Lösungsstrategien verständlich und 

nachvollziehbar darstellen 

mathematische Zusammenhänge in 

Fachsprache interpretieren 

Lösungsstrategien in Fachsprache 

nachvollziehbar darstellen 

komplexe mathematische Zusammenhänge, 

auf den jeweiligen 

Cluster abgestimmt, interpretieren 

komplexe Lösungsstrategien, auf 

den jeweiligen Cluster abgestimmt, 

dokumentieren 

Argumentieren & 

Kommunizieren 

grundlegende mathematische 

Sachverhalte erklären 

mathematische Sachverhalte und 

Entscheidungen begründen 


Entscheidungen unter Verwendung 

mathematischer Fachsprache 

begründen und erklären 


Entscheidungen mit mathematischer 

Fachsprache unter Berücksichtigung 

unterschiedlicher Aspekte argumentieren, 

begründen und erklären


3.4 Beurteilungsraster 

Um die Beurteilung zu erleichtern, ist bei jedem Kompetenzbereich jede Unteraufgabe bzw. jede fakultative 

Fragestellung (extra gekennzeichnet) angegeben, das bzw. die in die jeweiligen Ausprägungen der 

Dimension Handlung fällt. 

Beurteilung 


Anforderungen 

werden in den 

wesentlichen 

Bereichen 

überwiegend 

erfüllt 

Anforderungen 


wesentlichen 

Bereichen 


Anforderungen 

werden in über 

das Wesentliche 

hinausgehendem 


Anforderungen 

werden in weit 

über das 

Wesentliche 



Modellieren & 

Transferieren 

Operieren & 



Dokumentieren 

Reflektieren 


Kommunizieren 

4 3 2 1 

Gesamtbeurteilung: __________________________________


3.5 Notenfindung 

Die Prüferin/der Prüfer trägt während der Abhaltung der mündlichen Kompensationsprüfung das jeweilige 

Ausmaß der von der Kandidatin/vom Kandidaten erreichten Kompetenzen in den Beurteilungsraster ein. 

Dabei werden keine Punkte vergeben. Danach werden alle drei Kompetenzbereiche zusammengefasst 

und es wird eine Gesamtbeurteilung gemäß LBVO ermittelt. (Siehe Beispiel.) Das heißt, die Kompensierbarkeit 

zwischen den Ausprägungen der Handlungsdimensionen ist möglich. 

Beispiel: 

Beurteilung 


Anforderungen 


wesentlichen 

Bereichen 

überwiegend 

erfüllt 

Anforderungen 


wesentlichen 

Bereichen 


Anforderungen 

werden in über 

das Wesentliche 



Anforderungen 

werden in weit 

über das 

Wesentliche 



Modellieren & 

Transferieren 

Operieren & 



Dokumentieren 

Reflektieren 


Kommunizieren 

4 3 2 1 

Genügend 

Gesamtbeurteilung: __________________________________ 

Erläuterung zu diesem Beispiel: Die Defizite bei der Ausprägung der Handlungsdimension Reflektieren 

kann die Kandidatin/der Kandidat durch den Überhang bei der Ausprägung der Handlungsdimension 

Operieren & Technologieeinsatz ausgleichen; somit ergibt sich das Gesamtkalkül „Genügend“.


4 Prototypische Aufgaben 

4.1 Schadstoffausbreitung (Cluster 3) 

Aufgabenstellung 

Der Ausstoß von Schadstoffmengen an einem bestimmten Ort in einer bestimmten Entfernung von der 

Schadstoffquelle wird häufig normalverteilt angenommen, vor allem dann, wenn ungefähr zur gleichen 

Tageszeit und am gleichen Ort die Emissionsmenge betrachtet wird. Dies wird bei den folgenden Aufgabenstellungen 

vorausgesetzt. Die Angabe der Schadstoffmengen erfolgt in Milligramm pro Betriebsstunde (mg/h). 

a) Ein Unternehmen gibt an, dass Langzeitmessungen immer um die gleiche Zeit am Vormittag normalverteilte 

Schadstoffwerte mit μ = 140 mg und σ = 8 mg ergeben haben. 

Eine private Bürgerinitiative zieht diese Ergebnisse in Zweifel und möchte Messwerte ermitteln. 

– Ermitteln Sie denjenigen zweiseitigen Bereich, in dem Stichprobenmittelwerte (mit Stichprobenumfang 

n = 10) mit 95 % bzw. 99 % Wahrscheinlichkeit liegen müssten, wenn die Angaben der Firma 

als richtig angesehen werden. 

Es wurde schließlich folgende Messreihe von der Bürgerinitiative ermittelt: 

Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Schadstoffmenge in mg/h 152 166 149 153 172 147 157 164 157 168 

– Bestimmen Sie den Mittelwert und die Stichprobenstandardabweichung dieser Messreihe. 

– Interpretieren Sie die Ergebnisse Ihrer Berechnungen. 

b) Unter der Annahme der Normalverteilung kann man die emittierten Schadstoffmengen sowohl mit Hilfe 

der Dichtefunktion als auch mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschreiben. 

– Skizzieren Sie für μ = 160 mg und σ = 10 mg den Verlauf der Dichtefunktion und der Verteilungsfunktion 

maßstabsgerecht. 

– Erklären Sie den Zusammenhang dieser beiden Funktionen. 

– Zeichnen Sie auch μ und σ in die Grafiken ein. 

c) Die Schadstoffmenge hängt natürlich auch stark von der Entfernung der Emissionsquelle ab. Bei Untersuchungen 

wurde festgestellt: Je Kilometer Entfernung von der Schadstoffquelle nimmt die Schadstoffkonzentration 

um 10 % ab. 

– Erklären Sie, welcher Funktionstyp demnach geeignet ist, die Schadstoffmenge in Abhängigkeit von 

der Entfernung zu beschreiben. 

– Stellen Sie die Funktion auf. 

d) Die Dichtefunktion der sogenannten „normierten Normalverteilung“ lautet: g(u) = 

1 

2 ∙ π · e– u2 2 . 

– Dokumentieren Sie die wichtigsten Rechenschritte, um die Wendepunkte dieser Funktion zu finden.


Lösung und Anleitung für das Prüfungsgespräch 

Unteraufgabe a) 

Lösungsvorschlag 

1) Bestimmung des 95-%- bzw. 99-%-Zufallsstreubereiches für 

den Mittelwert, ausgehend vom gegebenen μ und σ: 

Kompetenzen und fakultative 

Fragestellungen 

Vorwiegend abgeprüfte Kompetenzen: 

„Operieren und Technologieeinsatz“ 

„Interpretieren“, aber auch 

„Modellieren“ (Zufallsstreubereich) 

u 0,975 = 1,96 (95-%-Zufallsstreubereich) 

x unten = μ – u σ 0,975 = 134,32 mg 

n 

x oben = μ + u 0,975 = 155,68 mg 

σn 

u 0,995 = 2,576 (99-%-Zufallsstreubereich) 

x unten = μ – u σ 0,995 = 129,39 mg 

n 

x oben = μ + u 0,995 = 160,61 mg 

σn 

2) Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung der 

10 Messwerte: 

x = 1 n 

s = 

n 

i=1 x i = 158,5 mg 

1 

n – 1 

n 

(x i 

– x) 2 

i=1 = 8,55 mg 

3) Der gemessene Mittelwert liegt außerhalb des 95-%-Zufallsstreubereiches 

ausgehend von den Angaben des Unternehmens, 

aber innerhalb des 99-%-Zufallsstreubereiches. 

Es besteht daher der „Verdacht“, dass die Angaben des Unternehmens 

nicht stimmen, jedoch ist die Irrtumswahrscheinlichkeit 

der Behauptung „Die Angaben des Unternehmens 

stimmen nicht“ jedenfalls größer als 1 %. In vielen Fällen sagt 

man in so einem Fall: „Weitere Untersuchungen anstellen.“


Unteraufgabe b) 

μ – σ 

μ 

μ + σ 


„Interpretieren“ 

„Argumentieren und Kommunizieren“ 

Fakultative Fragen 

• Erklären Sie den Zusammenhang der 

beiden Funktionen in bestimmten Punkten 

(z. B. bei x = μ). 

(→ siehe Skizze: G(μ) = 0,5) 


• Erläutern Sie, wie man den Zusammenhang 

G(x) = 

∫ 0 

x 

g(t)dt umkehren kann. 

Der Erwartungswert μ teilt die Dichtefunktion in zwei symmetrische 

Hälften. Bei μ ± σ sind die Wendepunkte der Dichtefunktion 

(im Bereich μ ± σ liegen ca. 68 % der Werte). 

Für den Zusammenhang Dichtefunktion fi Verteilungsfunktion 

gilt: 

• ( g(x) = dG(x) 

dx ; 

Hauptsatz der Diff.-Int.) 

„Modellieren“ 


G(x) = 

∫ 0 

x 

g(t)dt


Unteraufgabe c) 

Als Funktionstyp kommt nur die Exponentialfunktion in Frage (in 

gleichen Abständen gleiche prozentuelle Abnahme). 

§ 

§ 

Im Wesentlichen kann man 2 verschiedene Vorgangsweisen zur 

Ermittlung der Funktionsgleichung unterscheiden 

(beide Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen): 

1) Direktes Ansetzen mit der Basis 0,9: 

S(d) = S 0 · 0,9 d 

(d … Abstand von der Emissionsquelle in km) 

2) Ansatz über eine e-Funktion: 

S(d) = S 0 · e λ·d 

0,9 · S 0 = S 0 · e λ·1 ⇒ λ = 0,105 km –1 

Vorwiegend abgeprüfte Kompetenz: 

„Modellieren“ 

(beim 2. Ansatz auch „Operieren“) 

Fakultative Frage: 

• Je 2 Kilometer Entfernung von der 

Schadstoffquelle nimmt die Schadstoffkonzentration 

um 10 % ab. Stellen Sie 

die Funktion auf. 

(S(d) = S 0 · 0,9 d 2) 

„Modellieren“


Unteraufgabe d) 

Diese Aufgabe lässt je nach der (noch) zur Verfügung stehenden 

Zeit und des Beurteilungsspielraumes (größere Komplexität) viel 

Spielraum (→ siehe fakultative Fragestellungen). 

Kurzantwort: 

Man muss die zweite Ableitung der Funktion ermitteln und diese 

gleich null setzen. 

Vorwiegend abgeprüfte Kompetenz: 


Fakultative Fragen: 

• Warum muss die 2. Ableitung gleich 0 

gesetzt werden? 

(Wendepunkt als Extremstelle der 

1. Ableitung) 


• Wie berechnen Sie den Wendepunkt mit 

Technologie? 

(Lösung technologieabhängig) 

„Operieren und Technologieeinsatz“ 

g(u) = 

g'(u) = 

g''(u) = 

g''(u) = 0 

1 

2 ∙ π · e– u2 2 

/ 

/ 

1 

· 2 ∙ π ( – 2 ∙ u 

2 ) u2 e– 2 

/ 

/ 

1 

· 2 ∙ π ( –1 · u2 e– 2 – u · ( – 2 ∙ u 

2 ) e– u2 2 

) 

• Führen Sie die Berechnungsschritte ohne 

Technologie durch. 

(Lösung nebenstehend; Anzahl der Lösungsschritte 

je nach zur Verfügung stehenden 

Zeit) 

„Operieren“ 

Dies führt nach Kürzen bzw. Wegstreichen schließlich zur 

Gleichung u 2 = 1 bzw. u = ± 1.


4.2 Kostenfunktion (Cluster 6, 7, 8) 

Aufgabenstellung 

Durch die Punkte P 1 = (1|3), P 2 = (4|5), P 3 = (7|6) und P 4 = (10|9) wird der Graph einer Polynomfunktion 

3. Grades gelegt. 

Dieser Funktionsgraph beschreibt modellhaft eine Kostenfunktion. 

K(x) ... Produktionskosten in Geldeinheiten (GE) bei x ME 

x ... Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME) 

a) – Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem Sie diese Funktion berechnen können. 

b) – Beschreiben Sie die Eigenschaften der abgebildeten Kostenfunktion anhand des Funktionsgraphen 

aus mathematischer Sicht. 

– Erklären Sie die Eigenschaften einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion. 

c) Die Kostenfunktion lautet K(x) = 0,019 · x 3 – 0,28 · x 2 + 1,67 · x + 1,59. 

– Bestimmen Sie die dazugehörige Grenzkostenfunktion. 

– Erläutern Sie die Bedeutung der Grenzkostenfunktion.


d) – Bestimmen Sie mithilfe der vorgegebenen Grafik näherungsweise die dargestellte Erlösfunktion. 

– Ermitteln Sie den Zusammenhang mit der langfristigen Preisuntergrenze.


Lösung und Anleitung für das Prüfungsgespräch 

Lösungsvorschlag 

Unteraufgabe a) 

K(x) = a 3 · x 3 + a 2 · x 2 + a 1 · x + a 0 

K(1) = 3: a 3 + a 2 + a 1 + a 0 = 3 

K(4) = 5: 64a 3 + 16a 2 + 4a 1 + a 0 = 5 

K(7) = 6: 343a 3 + 49a 2 + 7a 1 + a 0 = 6 

K(10) = 9: 1000a 3 + 100a 2 + 10a 1 + a 0 = 9 

Kompetenzen und fakultative 

Fragestellungen 


„Modellieren & Transferieren“ 

Fakultative Fragestellungen: 

Warum wird durch 4 Punkte eine 

Polynomfunktion 3. Grades bestimmt? 

(Die Polynomfunktion 3. Grades beinhaltet 

4 Formvariable, es sind daher 4 Gleichungen 

zur Bestimmung notwendig – aus jedem 

Punkt eine Gleichung.) 


Wie würde sich das Gleichungssystem 

ändern, wenn statt zweier Punkte zwei 

Steigungen in den anderen Punkten 

angegeben wären? 

(Je eine Bedingung würde nicht den 

Funktionswert, sondern die Ableitung 

betreffen, also eine Gleichung aus K(x 1 ) = y 1 , 

eine aus K(x 2 ) = y 2 , eine aus K'(x 1 ) = k 1 und 

eine aus K'(x 2 ) = k 2 .) 


Wie würden Sie dieses Gleichungssystem 

lösen? 

(Die Beantwortung ist abhängig von den im 

Unterricht vermittelten Methoden und der 

verwendeten Technologie.) 

„Operieren & Technologieeinsatz“


Unteraufgabe b) 

streng monoton steigend 

Fixkosten ≥ 0, Bereiche mit zuerst positiver und danach 

negativer Krümmung (oder: Rechts- bzw. Linkskurve, 

konvex/konkav) 

→ zuerst degressiver und danach progressiver Kostenverlauf, 

Wendepunkt 

Kostenkehre (bzw. im Unterricht verwendete Begriffe), 

keine Extremwerte 

Daraus folgen Eigenschaften der Koeffizienten: 

a 0 ≥ 0 

a 3 > 0 

a 2 < 0 

(mögliche erweiterte Interpretation: 

K'(x) = 3a 3 x 2 + 2a 2 x + a 1 → (2 ∙ a 2 ) 2 – 4 ∙ 3 ∙ a 3 ∙ a 1 < 0 

→ 4 ∙ a 2 

2 

– 12 ∙ a 3 ∙ a 1 < 0 

→ a 2 

2 

< 3 ∙ a 3 ∙ a 1 ) 





Welche Eigenschaften weist der Wendepunkt 

auf und wie wird er deshalb 

berechnet? 

(f''(x) = 0, daher Lösung der linearen 

Gleichung y'' = 0) 


Welche Eigenschaften darf eine Kostenfunktion 

nicht haben? 

(Sie darf an keiner Stelle monoton fallend 

sein, sie darf nicht negativ sein.) 

„Argumentieren“ 

Wo kann man die Fixkosten ablesen? 

(K(0)) 


Mit welchem Punkt der Kostenfunktion kann 

man die Kostenkehre ermitteln? 

Wie lässt sich dieser Punkt bestimmen? 

(Wendepunkt, zwischen degressivem und 

progressivem Bereich, K''(x) = 0) 


„Transferieren“


Unteraufgabe c) 

K(x) = 0,019 · x 3 – 0,28 · x 2 + 1,67 · x + 1,59 

K'(x) = 0,057 · x 2 – 0,56 · x + 1,67 

Bedeutung der Grenzkostenfunktion in der Wirtschaft: 

Zunahme bei den Produktionskosten, wenn Produktionsmenge 

um 1 ME erhöht wird 

Vorrangig abgeprüfte Kompetenzen: 

„Operieren & Technologieeinsatz“ 

„Transferieren“ 


Wie kann man diese Funktion 

„händisch“ ableiten? 

(Nennung der entsprechenden 

Differenziationsregeln) 

„Operieren“ 

Erläutern Sie den Unterschied zwischen der 

Definition der Grenzkostenfunktion aus der 

Wirtschaft und der mathematischen 

Definition Differenzialquotient. 

(∆x = 1, also Differenzenquotient, also genau 

genommen nicht Differenzialquotient K'(x)) 

„Argumentieren“


Unteraufgabe d) 

Zu berechnen ist vorerst der Berührpunkt B. 

Vorrangig abgeprüfte Kompetenzen: 


„Argumentieren“ 

Ablesen des Berührpunktes der Erlösfunktion: 

ca.: 8 ME und 6,4 GE (Gesamtkosten) 

→ 0,8 GE/ME Stückkosten 

→ ist die Stelle des Betriebsoptimums 

→ langfristige Preisuntergrenze ist 0,8 GE/ME 

das entspricht auch dem Anstieg der Erlösfunktion 

→ E(x) = 0,8x


5 Konzepterstellungsgruppe 

Ao. Univ.-Prof. Mag. Dr. Karl Fuchs, School of Education der Universität Salzburg 

Mag. Wilfried Rohm, HTL Saalfelden 

Mag. Jörg Kliemann, HLFS St. Florian 

Mag. Andreas Kuba, HLFS Wieselburg 

Mag. Martin Hofer, Projektmanagement SRDP Angewandte Mathematik, BIFIE Wien 

Mag. Martin Schodl, Projektleitung SRDP Angewandte Mathematik, BIFIE Wien

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