Analysis 2 - imng

Analysis mehrerer Veränderlicher 

Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur Höheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite 

www.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/VHM/ für Erläuterungen zur Nutzung und zum Copyright. 

Analysis 2 1-1

Umgebung 

Als ε-Umgebung eines Punktes x ∈ R n bezeichnet man die offene Kugel 

B ε (x) = {y : |y − x| < ε} . 

U 

ε 

x 

Allgemein ist die Umgebung U von x eine Menge, die eine ε-Umgebung 

enthält. 

Analysis 2 – Grundbegriffe Mengen 1-1

Offene Menge 

Eine Menge D ⊆ R n heißt offen, wenn jeder Punkt x ∈ D eine Umgebung 

besitzt, die ganz in D enthalten ist. Insbesondere sind R n und die leere 

Menge ∅ offen. 

U 

x 

D 

Für eine beliebige Menge D bezeichnet ◦ D ⊆ D das Innere von D, d.h, die 

Menge aller Punkte mit einer Umgebung in D. 


Abgeschlossene Menge 

Eine Menge D ⊆ R n heißt abgeschlossen, wenn jede konvergenten Folge 

von Punkten x k ∈ D gegen einen Grenzwert in D strebt. Insbesondere sind 

R n und die leere Menge ∅ abgeschlossen. 

Für eine beliebige Menge D bezeichnet D ⊇ D den Abschluß von D, 

d.h,die Menge aller Grenzwerte von Folgen in D. 


Rand einer Menge 

Der Rand ∂D einer Menge D ⊆ R n besteht aus allen Punkten x die keine 

Umgebung U besitzen, d.h. die entweder ganz in D oder im Komplement 

von D liegt. 

∂D 

x 

U 

D 

Alternativ kann der Rand als Differenz von Abschluß und Inneren, 

∂D = D \ D 

◦ 

definiert werden. 


Kompakte Menge 

Eine beschränkte und abgeschlossene Menge D ⊆ R n bezeichnet man als 

kompakt. 

Äquivalent dazu sind folgende Charakterisierungen: 

Jede Folge in D besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in D. 

Jede Überdeckung von D mit offenen Mengem besitzt eine endliche 

Teilüberdeckung. 


Beispiel: 

Hälfte einer Kreisscheibe: 

D : x 2 + y 2 < 1 ∧ y > 0 

offen wegen strikter Ungleichungen 

y 

1 

D 

0 1 

x 


Rand ∂D von D: Halbkreis 

H : x 2 + y 2 = 1 ∧ y ≥ 0 

und Geradensegment 

S : (−1, 1) × {0} 

H abgeschlossen: 

Relationen =, ≥ und ≤ bleiben bei Grenzwertbildung erhalten 

S weder offen noch abgeschlossen: 

Produkt einer offenen und abgeschlossenen Menge 

¯D, ∂D = H ∪ S kompakt: 

abgeschlossen und beschränkt 


Multivariate Funktionen 

Eine reelle multivariate Funktion (auch als Funktion von mehreren 

Veränderlichen bezeichnet) 

f : R n ⊇ D → R m , x ↦→ f (x) , 

ordnet einem Vektor x = (x 1 , . . . , x n ) t aus dem Definitionsbereich D einen 

Vektor f (x) = f (x 1 , . . . , x n ) = (f 1 (x), . . . , f m (x)) t zu. 

Je nach Dimension m des Bildbereichs unterscheidet man zwischen 

skalaren (m = 1) und vektorwertigen (m > 1) Funktionen. Ist n = 1 (und 

f stetig), so nennt man f eine Parametrisierung einer Kurve. 

Analysis 2 – Grundbegriffe Funktionen 1-1

Für m, n ≤ 3 verwendet man meist keine Indizes und bezeichnet die 

Variablen mit x, y und z. Beispielsweise schreibt man 

( x 

y 

) 

↦→ 

( f (x, y) 

g(x, y) 

) 

im Fall m = n = 2. 


Wie in der Abbildung illustriert, können zur Visualisierung skalarer 

Funktionen der Graph 

{(x, f (x)) : x ∈ D} 

und die Niveauflächen 

benutzt werden. 

{x ∈ D : f (x) = c} 


Multivariate Polynome 

Ein Polynom p in n Variablen x 1 , . . . , x n ist eine Linearkombination von 

Monomen: 

p(x) = ∑ a α x α , x α = x α 1 

1 · · · x n αn , 

α 

mit α i ∈ N 0 . 

Je nach Summationsbereich unterscheidet man zwischen 

totalem Grad ≤ m: ∑ α = α 1 + · · · + α n ≤ m; 

maximalem Grad ≤ m: max α = max i α i ≤ m. 


Man bezeichnet ein Polynom als homogen vom Grad k, wenn die 

Linearkombination nur Monome mit ∑ α = k enthält. Die Anzahl solcher 

homogenen Monome ist ( ) 

k+n−1 

n−1 Folglich ist die Dimension der Polynome 

vom totalen Grad ≤ m gleich 

( ) m + n 

= 

n 

m∑ 

( ) k + n − 1 

. 

n − 1 

k=0 

Die Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad ≤ m ist 

(m + 1) n . 


Beweis: 

(i) bivariate Polynome (n = 2): Auflistung der homogenen Monome 

k = 0 : 1 

k = 1 : 

x, y 

k = 2 : x 2 , xy, y 2 

k = 3 : x 3 , x 2 y, y 2 x, y 3 

. . . , 

Anzahl 

für Grad k 

( ) k + 2 − 1 

k + 1 = 

2 − 1 


Dimension der bivariaten Polynome vom totalen Grad ≤ m: 

( ) 

(m + 2)(m + 1) m + 2 

1 + 2 + · · · + (m + 1) = = 

2 

2 

(m + 1) 2 Monome vom maximalen Grad ≤ m 

x i y j , 

i, j ≤ m 


(ii) n-variate Polynome: 

identifiziere Exponent 

mit einer strikt monotonen Folge 

aus {1, . . . , m + n − 1} 

mit β 0 = 0, β n = m + n 

( ) 

m+n−1 

n−1 Möglichkeiten 

(α 1 , . . . , α n ), ∑ α = m 

β 1 = α 1 + 1 

β 2 = α 1 + α 2 + 2 

. . . 

β n−1 = α 1 + · · · + α n−1 + (n − 1) 

α i = β i − β i−1 − 1 


n-variate Monome vom totalen Grad ≤ m 

←→ (n + 1)-variate homogene Monome vom Grad m: 

x α 1 

1 · · · x αn 

n ⇐⇒ x α 1 

1 · · · x n 

αn 

(Letzter Exponent liegt fest.) 

Dimension ( ) 

m + (n + 1) − 1 

(n + 1) − 1 

x m−∑ α i 

n+1 

Dimension der Polynome vom maximalen Grad ≤ m: 

analog zum bivariaten Fall 


Beispiel: 

Polynom vom totalen Grad ≤ 3 in 2 Variablen: 

p(x, y) = a 3,0 x 3 + a 2,1 x 2 y + a 1,2 xy 2 + a 0,3 y 3 

+a 2,0 x 2 + a 1,1 xy + a 0,2 y 2 

+a 1,0 x + a 0,1 y + a 0,0 

spezielles homogenes bivariates Polynom vom Grad 3: 

4x 3 − 2xy 2 + 5y 3 

Polynom vom totalen Grad ≤ 2 in drei Variablen: 

p(x, y, z) = a 2,0,0 x 2 + a 0,2,0 y 2 + a 0,0,2 z 2 

+a 1,1,0 xy + a 1,0,1 xz + a 0,1,1 yz 

+a 1,0,0 x + a 0,1,0 y + a 0,0,1 z + a 0,0,0 


Stetigkeit multivariater Funktionen 

Eine Funktion f ist in einem Punkt x des Definitionsbereichs D stetig, 

wenn 

D ∋ x k → x =⇒ lim f (x k) = f (x) . 

k→∞ 

Gilt dies für alle x ∈ D, so ist f stetig auf D. 

Existiert der Grenzwert für Punkte x auf dem Rand ∂D des 

Definitionsbereichs, so lässt sich f stetig fortsetzen. 

Für die Verknüpfung stetiger Funktionen mehrerer Veränderlicher gelten 

die gleichen Regeln wie für univariate Funktionen. 

Analysis 2 – Grundbegriffe Stetigkeit 1-1

Beispiel: 

nicht-konstante bivariate Funktion f (ϕ), die nur vom Winkel und nicht 

vom Radius r = √ x 2 + y 2 abhängt, z.B. mit x = r cos ϕ, y = r sin ϕ 

f (x, y) = 

xy 

x 2 = cos ϕ sin ϕ 

+ y 2 

unstetig im Ursprung 


Einschränkung auf Gerade durch den Ursprung 

konstanter Funktionswert: 

f (x, mx) = 

mx 2 

x 2 + (mx) 2 = 

g : y = mx bzw. g : ϕ = c 

für x ≠ 0 nicht stetig fortsetzbar bei (0, 0): 

m 

1 + m 2 = c m bzw. f (ϕ) = cos ϕ sin ϕ = c ϕ , 

m 

lim f (x, mx) = lim 

x→0 x→0 1 + m 2 = m 

1 + m 2 , 

d.h. der Grenzwert ist auf jeder Ursprungsgeraden verschieden 


Extremwerte stetiger Funktionen 

Eine stetige Funktion besitzt auf einer kompakten Menge sowohl ein 

Minimum als auch ein Maximum. 

Auf dem links abgebildeten Funktionsgraphen sind Minimum und 

Maximum markiert. Bei den Niveaulinien erkennt man Extremstellen durch 

geschlossene Kurven, die diese Punkte einschließen 


Äquivalenz von Vektornormen 

Jede Vektornorm ‖ · ‖ im R n ist zur euklidischen Norm | · | äquivalent, d.h. 

es gibt Konstanten c i mit 

für alle x ∈ R n . 

c 1 ‖x‖ ≤ |x| ≤ c 2 ‖x‖ 


Beweis: 

Ungleichungen skalierungsinvariant, d.h. invariant unter der Substitution 

x ↦→ λx 

betrachte nur Vektoren x auf der Einheitssphäre 

S : |x| = 1 

jede Norm ungleich 0 auf S =⇒ Stetigkeit der Funktion 

x ↦→ ‖x‖ 

|x| 

S kompakt ⇒ Existenz von Minimum c 1 und Maximum c 2 


enutzt: Stetigkeit der Norm 

‖x‖ ≤ ‖x − y‖ + ‖y‖ 

‖y‖ ≤ ‖y − x‖ + ‖x‖ 

=⇒ 

| ‖x‖ − ‖y‖ | ≤ ‖x − y‖ , 

d.h. Lipschitz-Stetigkeit der Norm mit Konstante 1 


Lipschitz-Stetigkeit 

Eine Funktion f heißt Lipschitz-stetig auf einer Menge D, wenn eine 

Lipschitz-Konstante c existiert, so dass 

für alle x, y ∈ D. 

||f (x) − f (y)|| ≤ c||x − y|| 

Ist f stetig differenzierbar und D konvex, so kann die Lipschitz-Konstante 

mit Hilfe der Jacobi-Matrix abgeschätzt werden: 

c ≤ sup |f ′ (x)| . 

x∈D 


Beispiel: 

radiale Funktion 

f (x) = r α , r = |x| = 

√ 

x 2 1 + · · · + x 2 n , 

α = 1 α = 2 

α = 0.5 

α = −1 


(i) α = 1: f global Lipschitz-stetig, denn 

|r − r ′ | = ||x| − |x ′ || ≤ |x − x ′ | , 

d.h. c = 1 ist Lipschitz-Konstante für D = R n 

(ii) α > 1: f Lipschitz-stetig auf beschränkten Mengen D 

Mittelwertsatz ⇒ 

|r α − (r ′ ) α | = αs α−1 |r − r ′ | 

mit s zwischen r und r ′ 

Lipschitz-Konstante 

c = max 

x∈D α|x|α−1 


(iii) 0 < α < 1: f stetig aber nicht Lipschitz-stetig in Umgebung von 0: 

Ungleichung 

|r α − 0 α | ≤ c|r − 0| 

für r → 0 nicht erfüllbar 

(iv) α < 0: f unstetig bei 0, denn 

lim r α = ∞ 

r→∞ 


Konvergenz einer Vektor-Folge 

Eine Folge von Vektoren x k ∈ R n konvergiert gegen einen Vektor x, 

lim x k = x bzw. x k → x für k → ∞, 

k→∞ 

wenn für alle ε > 0 ein Index k ε existiert mit 

|x k − x| < ε für k > k ε . 

Mit anderen Worten enthält jede ε-Umgebung 

B ε (x) = {y : |y − x| < ε} 

alle bis auf endlich viele Folgenelemente. 

Äquivalent zur Konvergenz von (x k ) ist die Konvergenz aller 

Komponenten, d.h. es können eindimensionale Konvergenzkriterien 

herangezogen werden. 

Analysis 2 – Grundbegriffe Konvergenz 1-1

Beispiel: 

Ý ÝÜ 

alternierende Projektion auf zwei Geraden 

Folge (x k , y k ) t konvergiert gegen Schnittpunkt 

ÈËÖÖÔÐÑÒØ× ÜÝ½ 

( 

xk 

y k 

) 

: 

( 0 

0 

) ( 0 

, 

1 

) ( 1 

, 2 1 

2 

) ( 1 

) ( 

, 2 1 

, . . . → 1 1 

) 


Konvergenz der ersten Komponente: 

x 2k = x 2k+1 = 1 − (1/2) k → 1 

denn ∣ ∣∣∣∣ ( ) ∣ 

1 

k∣∣∣∣ ( ) 1 k 

1 − 1 + = < ε 

2 2 

für k > k ε = ⌈− ld ε⌉ 


Cauchy-Kriterium für Vektor-Folgen 

Eine Folge von Vektoren x k ∈ R n konvergiert genau dann, wenn sie eine 

Cauchy-Folge ist, d. h. wenn für alle ε > 0 ein k ε existiert mit 

|x l − x k | < ε für l, k > k ε . 

Dies ist gleichbedeutend damit, dass jede der n Komponenten von (x k ) 

eine Cauchy-Folge ist. 


Beispiel: 

ÈËÖÖÔÐÑÒØ× Ü¼ 

binärer Baum: 

Ü ½Ü¾Ü¿Ü Ü 

neue Segmente jeweils um den Faktor λ (0 < λ < 1) verkürzt und im 

45 ◦ -Winkel angefügt geometrische Konvergenz der sukzessiven 

Verzweigungspunkte x k : 

|x k+1 − x k | = cλ k 


Cauchy-Folge, denn 

|x l − x k | = |x l − x l−1 + x l−1 − . . . + . . . − x k+1 + x k+1 − x k | 

≤ |x l − x l−1 | + |x l−1 − x l−2 | + . . . + |x k+2 − x k+1 | + |x k+1 − x k | 

≤ c λ l−1 + c λ l−2 + . . . + c λ k 

= c λ k 1 − λl−k 

1 − λ ≤ c 1 

λ k ≤ c ′ λ k 

} 

1 

{{ 

− λ 

} 

c ′ 

< ε 

für l > k > k ε = ln(ε/c′ ) 

ln λ 


Kontrahierende Abbildung 

Eine Abbildung 

g : D → D 

ist kontrahierend, wenn in einer geeigneten Norm 

‖g(x) − g(y)‖ ≤ c ‖x − y‖, x, y ∈ D , 

mit c < 1 gilt. Dabei ist c die sogenannte Kontraktionskonstante von g. 

Sie kann für eine konvexe Menge D mit Hilfe der Jacobi-Matrix durch 

abgeschätzt werden. 

sup ||g(x)|| 

x∈D 


Beispiel: 

Richardson Iteration für eine symmetrisch positiv definite Matrix A mit 

Eigenwerten λ i 

g(x) = x − ω(Ax − b) 

kontrahierend, falls ω genügend klein 

Begründung: 

g(x) − g(y) = Q(x − y), 

Q = E − ωA 

Eigenwerte von Q: 

ω = 1/ max i λ i =⇒ 

ϱ i = 1 − ωλ i , λ i > 0 

c = ‖Q‖ = max 

i 

ϱ i = 1 − (min 

i 

bei Verwendung der euklidischen Norm 

λ i )/(max λ i ) < 1 

i 


Banachscher Fixpunktsatz 

Ist g eine kontrahierende Abbildung, die eine nichtleere, abgeschlossene 

Menge D ⊂ R n in sich abbildet, d.h. gilt 

D = D 

x ∈ D =⇒ g(x) ∈ D 

‖g(x) − g(y)‖ ≤ c‖x − y‖ 

∀x, y ∈ D 

mit c < 1, dann besitzt g einen eindeutigen Fixpunkt x ∗ = g(x ∗ ) ∈ D. 

Ausgehend von x 0 ∈ D kann x ∗ durch die Iterationsfolge 

approximiert werden. 

x 0 , x 1 = g(x 0 ), x 2 = g(x 1 ), . . . 


Für den Fehler gilt 

‖x ∗ − x l ‖ ≤ 

cl 

1 − c ‖x 1 − x 0 ‖ 

d.h. die Iterationsfolge konvergiert für jeden Startwert linear. 

Der Fixpunktsatz gilt allgemein in vollständigen metrischen Räumen. Da 

die Translationsinvarianz und Homogenität der Norm nicht benötigt wird, 

kann man ‖x − y‖ durch eine allgemeine Abstandfunktion d(x, y) ersetzen. 


Beweis: 

(i) g(D) ⊆ D ⇒ x l ∈ D für alle l > 0 

(ii) Kontraktionsbedingung =⇒ 

Iteration 

‖x l+1 − x l ‖ = ‖g(x l ) − g(x l−1 )‖ ≤ c ‖x l − x l−1 ‖ 

(iii) Dreiecksungleichung =⇒ 

‖x l+1 − x l ‖ ≤ c l ‖x 1 − x 0 ‖ 

‖x j − x l ‖ ≤ ‖x j − x j−1 ‖ + ‖x j−1 − x j−2 ‖ + · · · + ‖x l+1 − x l ‖ 

≤ (c j−1 + · · · + c l )‖x 1 − x 0 ‖ = cj −c l 

1 − x 0 ‖ 

≤ 

cl 

1−c ‖x 1 − x 0 ‖ 

c−1 

Cauchy-Konvergenz der Folge x l gegen einen Grenzwert x ∗ 


(iv) Kontraktionsbedingung =⇒ 

‖g(x ∗ ) − x ∗ ‖ ≤ ‖g(x ∗ ) − g(x j )‖ + ‖g(x j ) − x ∗ ‖ ≤ c ‖x ∗ − x j ‖ + ‖x j+1 − x ∗ ‖ 

Grenzwert j → ∞ =⇒ x ∗ Fixpunkt (v) x ∗ eindeutig, da 

mit c < 1 

‖˜x ∗ − x ∗ ‖ = ‖g(˜x ∗ ) − g(x ∗ )‖ ≤ c‖˜x ∗ − x ∗ ‖ 

(vi) Abschätzung für den Fehler ⇐= Ungleichung für ‖x j − x l ‖ für j → ∞ 


Beispiel: 

gestörtes lineares System: 

Ax + εf (x) = b 

mit einer quadratischen invertierbaren Matrix A und Lipschitz-stetiger 

Funktion f (Konstante c f ) 

Lösung durch Iteration 

x ← g(x) = A −1 (b − εf (x)) 

prüfe Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes bei Wahl 

D = {y : ‖y − p‖ ≤ r}, 

p = A −1 b 


für x ∈ D 

‖g(x) − p‖ = ε‖A −1 f (x)‖ ≤ ε‖A −1 ‖ max ‖f (y)‖ 

y∈D 

g(x) ∈ D (Abstand zu p kleiner gleich r), falls 

Kontraktionsbedingung 

ε ≤ 

r 

‖A −1 ‖ max y∈D ‖f (y)‖ 

‖g(x) − g(y)‖ = ε‖A −1 (f (x) − f (y)‖ ≤ ε‖A −1 ‖c 

} {{ } f ‖x − y‖ 

c 

mit c < 1, falls 

ε < 

1 

‖A −1 ‖c f 

Bedingungen für hinreichend kleines ε erfüllt 


Partielle Ableitungen 

Die partielle Ableitung ∂ i f einer Funktion f nach der i-ten Variablen x i ist 

die Ableitung der univariaten Funktion 

x i ↦→ f (x 1 , . . . , x i , . . . , x n ) , 

bei der die Variablen x j , j ≠ i, als Konstanten betrachtet werden. Man 

schreibt auch 

∂ i f = f xi = ∂f . 

∂x i 

Gemäß der Definition der univariaten Ableitung gilt 

f (. . . , x i + h, . . .) − f (. . . , x i , . . .) 

∂ i f (x) = lim 

. 

h→0 h 

Analysis 2 – Differentiation Partielle Ableitungen 1-1

Partielle Ableitungen sind sowohl für skalare als auch für vektorwertige 

reelle Funktionen definiert. In beiden Fällen bleibt der Funktionstyp beim 

partiellen Ableiten erhalten. Definitionsgemäß gilt 

∂ i 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎞ ⎛ ⎞ 

f 1 ∂ i f 1 

⎟ ⎜ ⎟ 

. ⎠ = ⎝ . ⎠ . 

f n ∂ i f n 

Die partielle Ableitung wird simultan in den Komponenten gebildet. 

Die übliche Konvention ist, sowohl für die Variable x als auch für die 

Funktion f Spaltenvektoren zu verwenden (wichtig bei der Definition der 

totalen Ableitung bzw. der linearen Approximation). 


Beispiel: 

(i) skalare Funktion 

⎛ 

⎝ 

skalare partielle Ableitungen 

⎞ 

x 1 

x 2 

⎠ ↦→ f (x 1 , x 2 , x 3 ) = x1 2 x 2 + 5x 2 x 3 

x 3 

∂ 1 f = 2x 1 x 2 

∂ 2 f = x 2 1 + 5x 3 

∂ 3 f = 5x 2 


(ii) vektorwertige Funktion 

⎛ ⎞ ⎛ 

x 1 

⎝ x 2 

⎠ ↦→ ⎝ 

x 3 

f 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) 

f 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) 

f 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

x2 3x ⎞ 

3 

x 1 x 2 x 3 

⎠ 

x 1 + x 3 

partielle Ableitungen mit gleicher Komponentenanzahl 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

∂ 1 f 1 

0 

∂ 1 f = ⎝ ∂ 1 f 2 

⎠ = ⎝ x 2 x 3 

⎠ 

∂ 1 f 3 1 

∂ 2 f = 

∂ 3 f = 

⎛ 

⎝ 

⎛ 

⎝ 

⎞ 

∂ 2 f 1 

∂ 2 f 2 

⎠ = 

∂ 2 f 3 

⎞ 

∂ 3 f 1 

∂ 3 f 2 

⎠ = 

∂ 3 f 3 

⎛ 

⎝ 

⎛ 

⎝ 

3x 2 2 x 3 

x 1 x 3 

0 

x 3 2 

x 1 x 2 

1 

⎞ 

⎠ 

⎞ 

⎠ 


Mehrfache partielle Ableitungen 

Zweifache (hintereinander ausgeführte) partielle Ableitungen werden mit 

∂ i ∂ j f = f xj x i 

= ∂2 f 

∂x i ∂x j 

bezeichnet. Analog schreibt man ∂ i ∂ j ∂ k . . . f für partielle Ableitungen 

höherer Ordnung. 

Alternativ kann man die Multiindex-Notation 

∂ α f = ∂ α 1 

1 · · · ∂αn n f , α = (α 1 , . . . , α n ) , 

verwenden, wobei der Index α i ∈ N 0 die Anzahl der partiellen Ableitungen 

nach der i-ten Variablen bezeichnet. Die Summe |α| = α 1 + · · · + α n heißt 

Ordnung der partiellen Ableitung. 


Beispiel: 

ebene Welle, y ∈ R n fest gewählt: 

f (x) = exp(ix t y) = exp(i(x 1 y 1 + ... + x n y n )) 

Kettenregel 

∂ k f (x) = iy k exp(ix t y) 

∂ l ∂ k f (x) = (iy l )(iy k ) exp(ix t y) 

und somit 

∂ α f (x) = (iy) α exp(ix t y) = i |α| y α exp(ix t y) 

mit α = (α 1 , ..., α n ) und y α = y α 1 

1 . . . y n 

αn 

z.B. (n = 2): 

∂ (3,4) f = }{{} i 7 y1 3 y2 4 exp(i(x 1 y 1 + x 2 y 2 )) 

−i 


Partielle Ableitungen von multivariaten Polynomen 

Die partielle Ableitung 

∂ α x β = ∂ α 1 

1 . . . ∂αn n 

( ) 

x β 1 

1 . . . x n 

βn 

eines Monoms ist nur dann ungleich Null, wenn 

und in diesem Fall gleich 

α ≤ β ⇔ α i ≤ β i ∀i , 

cx β−α , 

c = ∏ i 

β i (β i − 1) · · · (β i − α i + 1) . 


Insbesondere ist 

∂ α x β | x=0 = α!δ αβ mit α! = ∏ k 

α k ! 

Gilt für ein Polynom p(x) = ∑ β x β 

so hat p totalen Grad < m. 

∂ α p = 0, |α| = α 1 + · · · + α n = m , 


Beweis: 

(i) Beweisidee für n = 2 und |α| = 3: 

0 = p xxx = p xxy = p xyy = p yyy , p(x, y) = ∑ j,k 

c j,k x j y k 

=⇒ Grad p ≤ 2 

c j,k = 0, j + k > 2 

Summand (beispielsweise c 2,1 x 2 y) ungleich Null =⇒ 

Existenz einer partiellen Ableitung dritter Ordnung (im Beispiel p xxy ), die 

diesen Term nicht annulliert 

(ii) allgemeiner Fall: 

∀|β| ≥ m ∃γ : |γ| = m, ∂ γ x β ≠ 0 

z.B. für n = 3, m = 4 und β = (1, 2, 3), 

γ = (1, 2, 1), (1, 1, 2), (1, 0, 3), (0, 2, 2), (0, 1, 3) 


Vertauschbarkeit partieller Ableitungen 

Sind die ersten und zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f stetig, 

so gilt 

∂ i ∂ j f = ∂ j ∂ i f . 

Für hinreichend glatte Funktionen ist also die Reihenfolge partieller 

Ableitungen vertauschbar. Insbesondere rechtfertigt dies die 

Multiindex-Schreibweise. 


Beweis: 

Variablen x k , k ≠ i, j, irrelevant für partielle Ableitungen ∂ i , ∂ j 

betrachte bivariate Funktion f (x, y) 

bezeichne 

ÈËÖÖÔÐÑÒØ× Ý 

mit 

g(x) = f (x, B) − f (x, A), h(y) = f (b, y) − f (a, y) 

die Differenzen in y- bzw. x-Richtung 

 

Ü 


erechne 

Q = f (b, B) − f (b, A) − f (a, B) + f (a, A) 

mit Hilfe des eindimensionalen Mittelwertsatzes auf zwei verschiedene 

Arten: 

Q = [f (b, B) − f (b, A)] − [f (a, B) − f (a, A)] 

= g(b) − g(a) 

MWS 

= (b − a)g x (c) 

mit a ≤ c ≤ b und A ≤ C ≤ B 

= (b − a)[f x (c, B) − f x (c, A)] 

MWS 

= (b − a)(B − A)f xy (c, C) 


und 

Q = [f (b, B) − f (a, B)] − [f (b, A) − f (a, A)] 

= h(B) − h(A) 

MWS 

= (B − A)h y (C ⋆ ) 

= (B − A)[f y (b, C ⋆ ) − f y (a, C ⋆ )] 

MWS 

= (B − A)(b − a)f yx (c ⋆ , C ⋆ ) 

mit a ≤ c ⋆ ≤ b und A ≤ C ⋆ ≤ B 

gleichsetzen =⇒ 

f xy (c, C) = f yx (c ⋆ , C ⋆ ) 

Verkleinerung des Rechtecks durch Grenzübergang, (b → a, B → A) =⇒ 

f xy (a, A) = f yx (a, A) 

aufgrund der Stetigkeit der gemischten zweiten Ableitungen 


Totale Ableitung und Jacobi-Matrix 

Eine reelle Funktion f : R n → R m ist in einem Punkt x differenzierbar, 

wenn 

f (x + h) = f (x) + f ′ (x)h + o(|h|) 

für |h| → 0. 

Die totale Ableitung f ′ ist die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen: 

⎛ 

⎞ 

f ′ = J f = ∂(f ∂ 1 f 1 . . . ∂ n f 1 

1, . . . , f n ) 

∂(x 1 , . . . , x n ) = (∂ ⎜ 

⎟ 

1f , . . . , ∂ n f ) = ⎝ . . ⎠ . 

∂ 1 f m . . . ∂ n f m 


Für eine skalare Funktion (m = 1) bezeichnet man die Ableitung als 

Gradient, 

f ′ = (grad f ) t , 

und für die Parametrisierung einer Kurve (n = 1) als Tangentenvektor. 

Um die lineare Approximation kleiner Änderungen (|h| → 0) 

hervorzuheben, schreibt man 

df = ∂f 

∂x 1 

dx 1 + · · · + ∂f 

∂x n 

dx n 

mit sogenannten Differentialen df und dx i . 

Hinreichend für die Existenz der totalen Ableitung f ′ (x) ist die Stetigkeit 

der partiellen Ableitungen in einer Umgebung von x . 


Beweis: 

(i) zeige: totale Ableitung enthält die partiellen Ableitungen 

für eine bivariate Funktion f (x, y) und h = (s, 0) t , 

f (x + s, y) = f (x, y) + f ′ (x, y) (s, 0) t + o(|(s, 0)|) 

= f (x, y) + (J f ) 1 s + o(|s|) , 

wobei (J f ) 1 die erste Spalte von J f bezeichnet 

Division durch s und s → 0 

f (x + s, y) − f (x, y) 

(J f ) 1 = lim 

= ∂ 1 f (x, y) 

s→0 s 

analoge Argumentation für ∂ 2 f und Funktionen von mehr als zwei 

Variablen 


(ii) zeige: totale Ableitung existiert bei stetigen partiellen Ableitungen 

betrachte skalare Funktion f (x, y), Mittelwertsatz =⇒ 

f (x + s, y + t) = f (x + s, y) − f (x, y) + f (x + s, y + t) 

mit ξ ∈ (x, x + s), η ∈ (y, y + t) 

Stetigkeit von f x und f y =⇒ 

−f (x + s, y) + f (x, y) 

= s f x (ξ, y) + t f y (x + s, η) + f (x, y) , 

f x (ξ, y) → f x (x, y) , f y (x + s, η) → f y (x, y) 

für |h| → 0 und damit die totale Differenzierbarkeit der Funktion f : 

f (x + s, y + t) = f (x, y) + sf x (x, y) + tf y (x, y) + o(|h|) 

separates Betrachten der Komponenten vektorwertiger Fall 


Beispiel: 

(i) 

unstetig im Ursprung: 

f (x, y) = 

xy 

x 2 + y 2 

x 

2 

lim f (x, x) = 

x→0 x 2 + x 2 = 1 2 ≠ −1 2 = lim f (x, −x) 

x→0 

=⇒ nicht differenzierbar bei (0, 0) 

(ii) partielle Ableitungen existieren: 

f (x, 0) = f (0, y) = 0 

=⇒ 

f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 


(iii) beide partielle Ableitungen im Ursprung unstetig: 

betrachte Grenzwert (x, y) → (0, 0) der Ableitung 

auf verschiedenen Kurven: 

und 

f x (x, y) = y 3 − x 2 y 

(x 2 + y 2 ) 2 

y = x lim 

x→0 

f x (x, x) = lim 

x→0 

0 

(x 2 + y 2 ) 2 = 0 

y = x 2 lim 

x→0 

f x (x, x 2 ) = lim 

x→0 

x 2 − 1 

(1 + x 2 ) 2 = −1 

Unstetigkeit der partiellen Ableitung f y im Ursprung folgt analog 

Beispiel =⇒ 

Existenz partieller Ableitungen nicht ausreichend für Differenzierbarkeit 


Beispiel: 

⎛ 

f (x, y) = ⎝ 

⎞ 

x + 2y 

xy ⎠ 

3x 2 + y 2 

prüfe Definition der totalen Ableitung: Es ist 

⎛ 

1 2 

⎞ 

f ′ (x, y) = ⎝ y x ⎠ 

6x 2y 

und 

⎛ 

f (x + s, y + t) = ⎝ 

⎞ 

(x + s) + 2(y + t) 

(x + s)(y + t) ⎠ 

3(x + s) 2 + (y + t) 2 


=⇒ g(s, t) = f (x + s, y + t) − f (x, y) − f ′ (x, y) (s, t) t 

= (0, st, 3s 2 + t 2 ) t = o(|(s, t)|) 

d.h. jede Komponente strebt für (s, t) → (0, 0) schneller gegen 0 als 

|h| = |(s, t)| 


Beispiel: 

(i) Gradient der skalaren Funktion f (x, y) = r = √ x 2 + y 2 

grad f (x, y) = 

( 

∂1 f 

∂ 2 f 

) 

= 

( x/r 

y/r 

) 

(ii) Tangentenvektor, der durch 

f (t) = (cos t, sin t, t) t 

parametrisierten Kurve 

f ′ (t) = (− sin t, cos t, 1) t 


(iii) Jacobi-Matrix, der durch 

⎛ 

⎝ 

x 

y 

z 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

r sin ϑ cos ϕ 

r sin ϑ sin ϕ 

r cos ϑ 

⎞ 

⎠ 

definierten Kugelkoordinaten 

f ′ (r, ϑ, ϕ) = 

⎛ 

∂(x, y, z) 

∂(r, ϑ, ϕ) = ⎝ 

sin ϑ cos ϕ r cos ϑ cos ϕ −r sin ϑ sin ϕ 

sin ϑ sin ϕ r cos ϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ 

cos ϑ −r sin ϑ 0 

⎞ 

⎠ 


Fehlerfortpflanzung bei multivariaten Funktionen 

Für eine stetig differenzierbare Funktion x ↦→ y = f (x) lassen sich die 

Auswirkungen von inakuraten Argumenten x + ∆x ≈ x mit Hilfe der 

partiellen Ableitungen von f beschreiben. Für den absoluten Fehler gilt bei 

Vernachlässigung von Termen der Ordnung o (|∆x|) 

∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f x1 (x)∆x 1 + · · · + f xn (x)∆x n . 

Ist |x i |, |y| ≠ 0 , so folgt für den relativen Fehler 

∆y 

|y| ≈ c ∆x 1 

1 

|x 1 | + · · · + c ∆x n 

n 

|x n | 

mit den Konditionszahlen 

c i = ∂y 

∂x i 

|x i | 

|y| . 


Beispiel: 

Berechnung des Winkels ϕ von Polarkoordinaten aus kartesischen 

Koordinaten 

ϕ = arctan(y/x) 

(i) absoluter Fehler 

∆ϕ ≈ f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y = − y∆x 

x 2 + y 2 + x∆y 

x 2 + y 2 

mögliche Vergrößerung des absoluten Fehlers um einen Faktor proportional 

zu 1/r 


(ii) relativer Fehler 

∆ϕ 

|ϕ| ≈ − y|x| 

(x 2 + y 2 )|ϕ| 

∆x 

|x| + 

x|y| ∆y 

(x 2 + y 2 )|ϕ| |y| 

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ und | sin ϕ/ϕ| ≤ 1 ⇒ Betrag der rechten Seite 

( ≤ 

cos ϕ sin ϕ 

|∆x| 

∣ ϕ ∣ + |∆y| ) ( |∆x| 

≤ 2 max 

|x| |y| 

|x| , |∆y| ) 

|y| 

Verstärkung des relativen Fehlers höchstens um einen Faktor 2 


Tangente 

Der Tangentenvektor einer mit einer stetig differenzierbaren Funktion 

f : t ↦→ (f 1 (t), . . . , f n (t)) t 

parametrisierten Kurve im Punkt f (t 0 ) ist die Ableitung f ′ (t 0 ) , falls 

mindestens eine der Komponenten f 

i ′(t 

0) ungleich Null ist. Die Tangente 

ist die durch 

f (t 0 ) + f ′ (t 0 )(t − t 0 ) , t ∈ R , 

parametrisierte Gerade. 


f(t 0 ) + f ′ (t 0 )(t − t 0 ) 

f(t 0 ) 

f ′ (t 0 ) 

f ′ i (t 0) 

x i 

Ist f ′ (t 0 ) der Nullvektor, so ist die Parametrisierung bei t 0 singulär. Ein 

Tangentenvektor muss nicht existiern, die Tangentenrichtung kann sich im 

Punkt f (t 0 ) abrupt ändern. 


Beispiel: 

Schraubenlinie 

Tangentenvektor 

⎛ 

t ↦→ f (t) = ⎝ 

sin t 

cos t 

t 

⎞ 

⎠ 

f ′ (t) = (cos t, − sin t, 1) t 

30 

20 

10 

1 0 

0 

−1 

−1 

0 

1 


Parametrisierung der Tangente im Punkt f (3π) = (0, −1, 3π) 

⎛ 

0 

⎞ ⎛ ⎞ 

−1 

t ↦→ ⎝ −1 ⎠ + ⎝ 

3π 

0 

1 

⎠ (t − 3π) 


Beispiel: 

(i) 

t ↦→ g(t) = 

( t 

3 

t 2 ) 

abrupte Richtungsänderung für t 0 = 0 von (0, −1) t nach (0, 1) t , 

möglich, da g ′ (t) = (0, 0) t 

1 

y 

g(t) = (t 3 , t 2 ) t 

0 

1 

x 


(ii) 

t ↦→= (t 3 , t 4 ) t 

stetige Tangentenänderung trotz g ′ (0) = (0, 0) t 

Umparametrisierung 

s = t 3 , g(t) = q(s) = 

=⇒ q ′ (s) = (1, 4s 1/3 /3) t stetig bei s = 0 

y 

1 

( s 

s 4/3 ) 

g(t) = (t 3 , t 4 ) t 

0 

1 

x 


Tangentialebene 

Sei f eine stetig differenzierbare Funktion und p = (p 1 , . . . , p n ) die 

Koordinaten eines Punktes P auf der durch 

implizit definierten Fläche. 

f (x 1 , . . . , x n ) = c 

Ist grad f (p) ≠ 0 , so hat die Tangentialebene im Punkt P die Gleichung 

E : (grad f (p)) t (x − p) = 0 . 

Der Normalenvektor ist also parallel zu grad f . 


grad f(p) 

x 

P 


Speziell ist für den Graph einer Funktion x ↦→ y = g (x 1 , . . . , x n−1 ) 

∑n−1 

E : y − g(q) = ∂ i g(q) (x i − q i ) 

die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (q i , . . . , q n−1 , g(q)) t . Die 

partielle Ableitung ∂ i g entspricht somit der Steigung der Tangentialebene 

in Richtung der i-ten Koordinatenachse. 

i=1 


Beweis: 

(i) Definition der totalen Ableitung f ′ = (grad f ) t =⇒ 

f (x) = f (p) + (grad f ) t (x − p) + o(|x − p|) 

Vernachlässigung des Terms o(|x − p|), f (x) = f (p) = c 

Gleichung der Tangentialebene 

(ii) Funktionsgraph: y = g (x 1 , . . . , x n−1 ) 

∑n−1 

∆y = ∂ i g(q)(∆x i ) 

i=1 

mit ∆y = y − g(q) und ∆x = x − q 

Vernachlässigung des Restgliedes 

behauptete Darstellung der Tangentialebene 


Beispiel: 

Kegel 

K : f (x, y, z) = x 2 + y 2 − z 2 = 0 

grad f (x, y, z) = (2x, 2y, −2z) t Tangentialebene 

E : 2x(x − x 0 ) + 2y(y − y 0 ) − 2z 0 (z − z 0 ) = 0 


Tangentialebene im Punkt P = (3, 4, 5) 

E : −10z + 8y + 6x = 0 

grad f (p) = (0, 0, 0) für p = (0, 0, 0) 

keine Tangentialebene an der Spitze des Kegels 


Beispiel: 

Potential eines Dipols mit Ladungen in den Punkten −P und P (mit 

Koordinaten ±p = ±(p 1 , p 2 )) 

Gradient 

g(x) = |x − p| −1 − |x + p| −1 , x = (x 1 , x 2 ) 

grad g(x) = 

(x + p) (x − p) 

− 

|x + p| 3 |x − p| 3 

Tangentialebene im Punkt A mit Koordinaten a = (a 1 , a 2 ) 

x 3 = g(a) + (grad g(a)) t (x − a) 

z.B. für a = (0, 0) 

x 3 = 0 + (2p r /|p| 3 )(x 1 , x 2 ) t 


Tangentialebene verläuft durch den Ursprung und enthält die Gerade 

senkrecht zu P. 

keine Tangentialebenen in den Singularitäten P und −P 


Multivariate Kettenregel 

Für die Hintereinanderschaltung 

h = g ◦ f : x ↦→ y = f (x) ↦→ z = g(y) , 

stetig differenzierbarer Funktionen f : R m → R l und g : R l → R n gilt 

h ′ (x) = g ′ (y)f ′ (x) , 

d.h. die Jacobi-Matrix von h ist das Produkt der Jacobi-Matrizen von f 

und g. Die einzelnen Einträge von h ′ ergeben sich durch 

Matrixmultiplikation: 

∂h i 

∂x k 

= ∑ j 

∂g i 

∂y j 

∂f j 

∂x k 

. 

Analysis 2 – Differentiation Ableitungsregeln 1-1

Insbesondere hat die Kettenregel für den Spezialfall m = n = 1 (d.h. f ist 

eine parametrisierte Kurve und g eine skalare Funktion von l 

Veränderlichen) die Form 

d h 

d x = (grad g)t f ′ (x) . 


Beweis: 

Definition der totalen Ableitung: 

ϕ(x + h) = ϕ(x) + ϕ ′ (x)h + o(|h|) 

Existenz der Ableitungen f ′ (x) und g ′ (y) =⇒ 

g(f (x + h)) = g(f (x) + f ′ (x)h + o(|h|) ) = g(y) + [g ′ (y) ˜h] + o(|˜h|) 

} {{ } 

˜h 

Formel für die Jacobi-Matrix von g ◦ f , da 

und |˜h| = O(|h|) 

[g ′ (y) ˜h] = g ′ (y)f ′ (x)h + o(|h|) 


Beispiel: 

Funktionen 

y = f (x) = 

( ) 

x3 sin(x 1 ) 

e x 2 

, g(y) = 

/x 3 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

y 1 

y 1 + ln(y 2 ) 

0 

y 2 cos(y 1 ) 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

Jacobi-Matrix von h = g ◦ f in p = (π, 0, 1) t : 

( ) 

f ′ cos(x1 )x 

(x) |x=p = 

3 0 sin(x 1 ) 

0 e x 2 

/x 3 −e x 2 

/x3 

2 

|x=p 

= 

( −1 0 0 

0 1 −1 

) 


und 

g ′ (y) |y=f (p) = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 0 

1 1/y 2 

0 0 

−y 2 sin(y 1 ) cos(y 1 ) 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

|y=(0, 1) 

= 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 0 

1 1 

0 0 

0 1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

 

h ′ (π, 0, 1) = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 0 

1 1 

0 0 

0 1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

( −1 0 0 

0 1 −1 

⎛ 

) 

= ⎜ 

⎝ 

−1 0 0 

−1 1 −1 

0 0 0 

0 1 −1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 


Beispiel: 

Kettenregel für eine skalare Funktion f (x, y) entlang einer Kurve 

t ↦→ (x(t), y(t)) t : 

d 

d t f = f xx ′ + f y y ′ 

z.B. 

f (x, y) = √ x 2 + y 2 , x = sin t , y = cos t 

 

d 

d t f (x(t), y(t)) = x 

√ 

x 2 + y cos(t) + y 

√ (− sin(t)) 

2 x 2 + y 2 

sin(t) cos(t) − cos(t) sin(t) 

= 

1 

= 0 


identisch zur direkten Ableitung der zusammengesetzten Funktion 

√ 

f (x(t), y(t)) = sin 2 (t) + cos 2 (t) = 1 


Beispiel: 

Kettenregel für eine vektorwertige Funktion 

(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)) t 

auf einer durch 

parametrisierten Fläche: 

∂(u, v, w) 

∂(s, t) 

(x(s, t), y(s, t), z(s, t)) t 

⎛ 

= ⎝ 

u x u y u z 

⎞ 

v x v y v z 

⎠ 

⎛ 

⎝ 

x s x t 

⎞ 

y s y t 

⎠ 


z.B. radiale Funktion 

(u, v, w) = (x, y, z)/r, r = √ x 2 + y 2 + z 2 , 

auf dem durch 

(x, y, z) = (cos ϕ, sin ϕ, z) , ϕ ∈ (−π, π] , z ∈ R 

parametrisierten Zylindermantel: 

∂(u, v, w) 

∂(x, y, z) 

∂(x, y, z) 

∂(ϕ, z) 

= r −3 ⎛ 

⎝ 

= 

⎛ 

⎝ 

r 2 − x 2 ⎞ 

−xy −xz 

−xy r 2 − y 2 −yz ⎠ 

−xz −yz r 2 − z 2 

− sin ϕ 0 

cos ϕ 0 

0 1 

⎞ 

⎠ 


s = sin ϕ, c = cos ϕ und r = √ 1 + z 2 

⎛ 

= r −3 ⎝ 

∂(u, v, w) 

∂(ϕ, z) 

= r −3 ⎛ 

⎝ 

r 2 − c 2 ⎞ 

−cs −cz 

−cs r 2 − s 2 −sz ⎠ 

−cz −sz r 2 − z 2 

−sr 2 −cz 

⎞ 

cr 2 −sz ⎠ 

0 1 

⎛ 

⎝ 

−s 0 

c 0 

0 1 

⎞ 

⎠ 


Beispiel: 

Berechnung des Gradienten von h = g ◦ f für 

⎛ 

f (u, v) = ⎝ 

u + v 

u − v 

u 2 + v 2 − 1 

⎞ 

⎠ , g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 

Jacobi-Matrix von f 

Gradient von g 

⎛ 

grad g = ⎝ 

⎛ 

f ′ = ⎝ 

2x 

2y 

2z 

⎞ 

1 1 

1 −1 

2u 2v 

⎛ 

⎠ = 2 ⎝ 

⎞ 

⎠ 

u + v 

u − v 

u 2 + v 2 − 1 

⎞ 

⎠ 


Kettenregel =⇒ 

(grad h) t = (grad g) t f ′ 

= 

( u + v + u − v + 2u(u 

2 

+ v 2 − 1) 

u + v − u + v + 2v(u 2 + v 2 − 1) 

) t 

und nach Vereinfachung 

( 

grad h = 4(u 2 + v 2 u 

) 

v 

) 


Beispiel: 

affine Abbildung eines Referenzdreiecks 

D ∗ : x 1 + x 2 ≤ 1, x i ≥ 0 , 

auf ein Dreieck D mit den Eckpunkten P, Q und R: 

y = ϕ(x) = p + (q − p)x 1 + (r − p)x 2 

(0, 1) 

ϕ 

R 

x ∈ D ∗ 

P 

y ∈ D 

Q 

(0, 0) (1, 0) 


Jacobi-Matrix 

∂(y 1 , y 2 ) 

= (q − p, r − p) 

∂(x 1 , x 2 ) 

Kettenregel ⇒ 

( ) 

(grad h(x)) t = (grad g(y)) t q1 − p 1 r 1 − p 1 

, h(x) = g(ϕ(x)) 

q 2 − p 2 r 2 − p 2 

für eine sklalare Funktion ϕ 

Anwendung: 

Aufstellen von Steifigkeitsmatrizen bei Finite-Elemente-Verfahren 


Richtungsableitung 

Die Ableitung einer Funktion f in Richtung eines Vektors v ist 

f (x + hv) − f (x) 

∂ v f (x) = lim 

. 

h→0 h 

Aufgrund der Kettenregel kann sie mit Hilfe der Jacobi-Matrix f ′ durch 

( ) 

d 

dt f (x + tv) = f ′ (x)v 

berechnet werden. Speziell ist ∂ eν f mit e ν dem ν-ten Einheitsvektor die 

partielle Ableitung bzgl. der ν-ten Koordinate. 

t=0 


∂ v f(x) 

grad f 

v 

x 


Für eine skalare Funktion ist 

∂ v f = (grad f (x)) t v . 

Wie in der Abbildung illustriert ist, gibt die Richtungsableitung in diesem 

Fall den Anstieg von f in Richtung v an. Die lokale Änderung wird 

maximal für v ‖ grad f (x) . 


Beispiel: 

Berechnung der Richtungsableitung der Funktion 

im Punkt (x, y) = (2, −1) 

allgemeine Form des Gradienten 

f (x, y) = x 2 y 3 

grad f (x, y) = 

Einsetzen der konkreten Koordinaten 

∂ v f (2, −1) = (−4, 12) 

( 2xy 

3 

3x 2 y 2 ) 

( 

v1 

v 2 

) 

= −4v 1 + 12v 2 


Richtungsableitung maximal für 

v ‖ 

also z.B. für v = (−1, 3) 

größter lokaler Anstieg von f 

( −4 

12 

) 

f (2 − t, −1 + 3t) ≈ f (2, −1) + t∂ v f (2, −1) = −4 + 40t 


Steilster Abstieg 

Die Methode des steilsten Abstiegs dient zur Minimierung multivariater 

Funktionen f (x 1 , . . . , x n ). Zur Durchführung eines Iterationsschrittes 

x → y wird zunächst der negative Gradient 

d = − grad f (x) 

als lokal beste Abstiegsrichtung berechnet. 

Dann wird y als eine Minimalstelle von f in Richtung von d bestimmt: 

f (y) = min f (x + td) . 

t≥0 


x 

y 

d 


Wie in der Abbildung illustriert, ist die Suchrichtung orthogonal zu der 

Niveaumenge durch x und berührt eine Niveaumenge zu einem kleineren 

Funktionswert in y. 

Die Konvergenz der durch die Methode des steilsten Abstiegs erzeugten 

Folge x 0 , x 1 , . . . kann unter sehr allgemeinen Voraussetzungen gezeigt 

werden. Hinreichend ist, dass f nach unten beschränkt ist und grad f in 

einer Umgebung U der Menge {x : f (x) ≤ f (x 0 )} Lipschitz-stetig ist, d.h. 

Dann gilt 

‖ grad f (x) − grad f (˜x)‖ ≤ L‖x − ˜x‖, x, ˜x ∈ U . 

∞∑ 

‖ grad f (x l )‖ 2 < ∞, 

l=0 

und ‖ grad f (x l )‖ ist eine Nullfolge. 


Dies impliziert insbesondere, dass jeder Häufungspunkt der Folge x 0 , x 1 , . . . 

ein kritischer Punkt von f ist. Dass es sich um ein lokales Minimum 

handelt ist statistisch gesehen fast sicher, kann jedoch nicht zwingend 

gefolgert werden. 

In dem Algorithmus braucht die eindimensionale Minimierung nur 

näherungsweise durchgeführt werden. Die Suchrichtung d muss nicht als 

der negative Gradient gewählt und eine globale Minimalstelle y nicht 

bestimmt werden. Entscheidend für die Konvergenz ist lediglich, dass in 

jedem Iterationsschritt eine Reduktion des Funktionswertes proportional zu 

‖ grad f (x)‖ 2 erreicht wird. 


Beispiel: 

steilster Abstieg für eine quadratische Funktion 

f (x) = 1 2 x t Ax − b t x 

mit einer symmetrischen positiv definiten Matrix A 

Iterationsschritt x → y 

y = x + td, d = − grad f (x) = b − Ax, t = d t d 

d t Ad 

eindimensionale Minimierung explizit durchführbar: 

f (x + td) = 1 2 (x + td)t A(x + td) − b t (x + td) 

= 1 2 d t Ad t 2 + (x t Ad − b t d) t + c 

Nullsetzen der Ableitung nach t Formel für den Halbgeradenparameter t 

0 = d t Ad t − (b − Ax) t d = d t Ad t − d t d 


x 0 

x 1 

x ∗ 

unerwünschte Oszillationen bei Eigenwerten stark unterschiedlicher 

Größenordnung von A, z.B. für 

( ) ( ) 

1 0 

0 

A = 

, b = 

0 100 

0 

x = (c, 1) t 

d = − 

( c 

100 

) 

( ) c 

, Ad = − 

10 4 


und 

sowie 

d t d = c 2 + 10 4 , d t Ad = c 2 + 10 6 , t = c2 + 10 4 

( ) c 

y = − c2 + 10 4 ( 

1 c 2 + 10 6 

c 

100 

c 2 + 10 6 

) ( 

= 99c2 10 4 /c 

c 2 + 10 6 −1 

) 

für c = 100 Verbesserung um weniger als 1% 

y = 99 ( ) 

x1 

101 −x 2 


Umkehrfunktion 

Sei f : R n → R n eine in einer Umgebung B eines Punktes x ∗ stetig 

differenzierbare Funktion mit invertierbarer Jacobi-Matrix f ′ (x ∗ ). Dann ist 

f auf einer Umgebung U ⊂ B von x ∗ bijektiv, d.h. es existiert eine stetig 

differenzierbare Umkehrfunktion g = f −1 mit 

y = f (x) ⇐⇒ x = g(y) , x ∈ U. 

Darüber hinaus gilt für die Jacobi-Matrizen 

für alle x ∈ U . 

g ′ (y) = f ′ (x) −1 


Beweis: 

Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes 

eindeutige Lösung der Gleichung f (x) = y in einer Umgebung 

eines Punktes (x ∗ , y ∗ ) 

verwendete Iteration 

U × V = {x : |x − x ∗ | ≤ δ} × {y : |y − y ∗ | ≤ ε} 

x ← ϕ(x) = x − f ′ (x ∗ ) −1 (f (x) − y) 

zeige: 

Für festes y ∈ V ist ϕ eine kontrahierende Selbstabbildung auf U. 


(i) Kontraktionskonstante: 

c ≤ sup ‖ϕ ′ (x)‖ 

x∈U 

mit ‖ · ‖ die der Euklidischen Norm |·| zugeordneten Matrixnorm 

‖ϕ ′ (x)‖ = ‖E − f ′ (x ∗ ) −1 f ′ (x)‖ = ‖f ′ (x ∗ ) −1 (f ′ (x) − f ′ (x ∗ ))‖ 

=⇒ c < 1 für hinreichend kleines δ, denn f ′ (x) → f ′ (x ∗ ) für x → x ∗ 

(ii) Inklusion ϕ(U) ⊆ U: 

Abschätzung der Norm von 

ϕ(x) − x ∗ = x − x ∗ − f ′ (x ∗ ) −1 (f (x) − f (x ∗ ) + y ∗ − y) 

stetige Differenzierbarkeit von f =⇒ 

f (x) − f (x ∗ ) = f ′ (x ∗ )(x − x ∗ ) + R, |R| = o(|x − x ∗ |) 


und 

|ϕ(x) − x ∗ | ≤ ‖f ′ (x ∗ ) −1 ‖(o(δ) + ε) ≤ δ 

für hinreichend kleines δ (o(δ)/δ → 0) und ε 

Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt 


(iii) Formel für g ′ (y): 

formales Differenzieren von x = g(f (x)) mit der Kettenregel =⇒ 

E = g ′ (y)f ′ (x) 

d.h. die Jacobi-Matrix von g ist die Inverse der Jacobi-Matrix von f 

prüfe Formel mit Definition der totalen Ableitung 

für y + ∆y = f (x + ∆x) mit x, x + ∆x ∈ U: 

g(y + ∆y) − g(y) − f ′ (x) −1 (∆y) 

= ∆x − f ′ (x) −1 (f (x + ∆x) − f (x)) = f ′ (x) −1 R 

} {{ } 

f ′ (x)∆x+R 

mit R = o(|∆x|) aufgrund der Differenzierbarkeit von f 


zu zeigen: |∆x| durch |∆y| abschätzbar 

Umformung 

∆x = f ′ (x) −1 (∆y − R) 

Beschränkheit von ‖f ′ (x) −1 ‖ auf U =⇒ 

|∆x| ≤ c ∗ (|∆y| + o (|∆x|)) ≤ ˜c|∆y| 

für hinreichend kleines |∆x| mit Konstanten c ∗ und ˜c 


Beispiel: 

prüfe lokale Invertierbarkeit der Funktion 

( ) ( ) 

x u 

f : ↦→ = 

y v 

im Punkt (x, y) = (2, 1) : 

Jacobi-Matrix 

f ′ (x, y) = 

Einsetzen der konkreten Koordinaten 

J f = f ′ (2, 1) = 

( xy 

x/y 

( ) 

y x 

1/y −x/y 2 

( 1 2 

1 −2 

det J = −4 ≠ 0 ⇒ ∃ Umkehrfunktion g in Umgebung von 

( ) 

( ) 

u∗ 

2 

= f (x, y) = 

v ∗ 2 

) 

) 


Jacobi-Matrix im Punkt (u ∗ , v ∗ ) 

g ′ (2, 2) = J −1 f = 1 4 

( 2 2 

1 −1 

explizite Bestimmung von g durch Auflösen der Ausdrücke für u und v 

nach x und y: 

( ) 

( √ ) 

x uv 

= g(u, v) = √ 

y 

u/v 

Überprüfung der Formel für g ′ (2, 2) auf direktem Weg 

g ′ (u, v) = 1 2 

Übereinstimmung für (u, v) = (2, 2) 

( √ 

v/u 

√ 

u/v 

1/ √ uv − √ u/v 

) 

) 


Beispiel: 

komplexe Exponentialfunktion 

z = x + iy ↦→ exp(z) = u + iv, 

reelle Darstellung: 

( u 

f (x, y) = 

v 

) 

= 

( exp(x) cos y 

exp(x) sin y 

) 

mit Jacobi-Matrix 

( 

f ′ cos y − sin y 

(x, y) = exp(x) 

sin y cos y 

) 


det f ′ (x, y) = exp(2x) > 0 =⇒ 

lokale Existenz einer Umkehrfunktion g (ein Zweig des komplexen 

Logarithmus) mit der Ableitung 

g ′ (u, v) = ( f ′ (x, y) ) ( 

−1 cos y sin y 

= exp(−x) 

− sin y cos y 

keine globale Umkehrfunktion wegen 

) 

f (x, y + 2πk) = f (x, y), 

k ∈ Z 

Periodizität ⇒ unendlich viele Urbilder für jeden Punkt (u, v) ≠ (0, 0) 


Beispiel: 

Polarkoordinaten 

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r = √ x 2 + y 2 

partielle Ableitung des Radius’ nach der Koordinate x: 

Paradox: 

∂r 

∂x = ∂ √ 

x 

∂x 

2 + y 2 = 

x 

√ 

x 2 + y 2 = x r = cos ϕ 

r = x/ cos(ϕ) ⇒ ∂r 

∂x = 1 

cos(ϕ) 

Grund: Bei den Berechnungen der partiellen Ableitungen werden nicht die 

gleichen Variablen konstant gehalten: In der ersten Gleichung ist y 

konstant und bei der zweiten ϕ 


skalare Ableitungsregel 

i.A. falsch für partielle Ableitungen: 

( ) 

dy dx −1 

dx = dy 

x u ≠ (u x ) −1 

für Bijektion (x, y) ↔ (u, v) korrekte Berechnung mit Jacobi-Matrix: 

( ) 

∂(u, v) 

∂(x, y) = ux u y 

, 

v x v y 

( ) 

∂(x, y) 

∂(u, v) = xu x v 

= 

y u y v 

( 

ux u y 

v x v y 

) −1 


im betrachteten Beispiel 

( 

∂(x, y) cos ϕ 

∂(r, ϕ) = sin ϕ 

−r sin ϕ 

r cos ϕ 

) 

Inverse partielle Ableitungen nach x und y: 

( ) 

( ) 

cos ϕ sin ϕ ∂(r, ϕ) 

− 1 r sin ϕ 1 = 

r 

cos ϕ ∂(x, y) = rx r y 

ϕ x ϕ y 

insbesondere: r x = cos ϕ 


Implizite Funktionen 

Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n × R m → R n 

f (x ∗ , y ∗ ) = 0, det f x (x ∗ , y ∗ ) ≠ 0 , 

so lässt sich das Gleichungssystem 

f k (x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y m ) = 0 , k = 1, . . . , n , 

in einer Umgebung von y ∗ nach x auflösen: 

x = ϕ(y) . 


Die implizit definierte Funktion ϕ ist in einer Umgebung von y ∗ stetig 

differenzierbar und besitzt die Jacobi-Matrix 

ϕ ′ = −(f x ) −1 f y . 

Ein entsprechendes Resultat gilt nach Permutation der Variablen, d.h. man 

kann nach x k1 , . . . , x kn auflösen, wenn die Spalten k 1 , . . . , k n der 

Jacobi-Matrix f ′ linear unabhängig sind. Insbesondere ist die Gleichung 

f (x) = 0 für eine skalare Funktion f in einer Umgebung von x ∗ nach x k 

auflösbar, wenn ∂ k f (x ∗ ) ≠ 0. 


Beweis: 

betrachte die Abbildung 

(x, y) ↦→ u(x, y) = (f (x, y), y) 

von R n+m nach R n+m in einer Umgebung von (x ∗ , y ∗ ) 

invertierbare Jacobi Matrix 

( ) 

u ′ fx f 

(x ∗ , y ∗ ) = y 

0 E 

|(x ∗,y ∗) 

=⇒ lokale Existenz einer Umkehrfunktion 

u −1 = (v 1 , . . . , v n+m ) 

E : m × m Einheitsmatrix 


u(x, y) = (f (x, y), y) = (0, y) ⇔ (x, y) = v(0, y) , 

d.h. ϕ(y) = (v 1 (0, y), . . . , v n (0, y)) 

Differenzieren von 

0 = f (ϕ(y), y) 

nach y =⇒ 

0 = f x ϕ ′ + f y , 

d.h. die explizite Formel für die Jacobi-Matrix ϕ ′ 


Beispiel: 

Vivianische Kurve: Schnitt der Einheitssphäre mit einem Zylinder 

C : 

⎛ 

sin t cos t 

t ↦→ ⎝ sin(2t) 

cos t 

⎞ 

⎠ , t ∈ [0, 2π) , 

z 

x 

y 


implizite Form 

f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 

( 

g(x, y, z) = x 2 + y − 1 ) 2 

− 1 = 0 

2 4 

Jacobi-Matrix 

( ) ( 

fx f y f z 2x 2y 2z 

= 

g x g y g z 2x 2y − 1 0 

) 

Satz über implizite Funktion 

Möglichkeit der Parametrisierung durch eine der Koordinaten x, y, z 


(i) Parametrisierung bezüglich x, d.h. auflösen nach y und z: 

( ) 

∂(f , g) 2y 2z 

∂(y, z) = 2y − 1 0 

Invertierbarkeit hinreichend, erfüllt für z ≠ 0 und y ≠ 1/2 

Auflösen nach y und z unter Berücksichtigung von f − g = z 2 − 1 + y = 0 

 

y(x) = 1 √ 

√ 

√ 

1 

2 + δ 4 − x 2 , z(x) = δ ′ 1 1 

2 − δ 4 − x 2 

wobei die Vorzeichen δ, δ ′ ∈ {−1, 1} entsprechend den einzelnen Zweigen 

gewählt werden müssen 

Parametrisierungen singulär in den Punkten (0, 1, 0) t , 

(±1/2, 1/2, ± √ 2/2) t und (±1/2, 1/2, ∓ √ 2/2) t 

geometrisch notwendig: Tangentenrichtung nicht orthogonal zu (1, 0, 0) t , 

d.h. mit nichtrivialer Komponente in x-Richtung 


(ii) Parametrisierung bezüglich y und z: 

hinreichende Bedingungen 

( ) 

( 2x 2z 

2x 2y 

det 

= −4xz ≠ 0 , det 

2x 0 

2x 2y − 1 

keine lokale Parametrisierung im Punkt (0, 1, 0) t 

Jacobi-Matrix 

Rang 1 Doppelpunkt der Kurve 

∂(f , g) 

∂(x, y, z) | (0,1,0) = ( 0 0 0 

0 −1 1 

) 

) 

= −2x ≠ 0 


Beispiel: 

skalare Funktion 

f (x, y, z) = xe y − yz = 0 

nach einer Variablen auflösbar, falls die entsprechende partielle Ableitung 

nicht verschwindet 

Gradient 

(f x , f y , f z ) t = (e y , xe y − z, −y) t 


(i) f x > 0 =⇒ f = 0 für alle (x, y, z) nach x auflösbar: 

x = yze −y 

(ii) Auflösen nach z für y ≠ 0 möglich 

(iii) keine elementare Auflösbarkeit nach y, Satz über implizite Funktionen 

=⇒ Auflösbarkeit in einer Umgebung von (x ∗ , y ∗ , z ∗ ) falls 

f y (x ∗ , y ∗ , z ∗ ) = x ∗ e y∗ − z ∗ ≠ 0 

z.B. erfüllt für die Lösung (0, 0, 1) der Gleichung: 

f y (0, 0, 1) = −1 

 

∃ϕ : f (x, y, z) = 0 ⇔ y = ϕ(x, z) , (x, z) ≈ (0, 1) 


ϕ nicht explizit angebbar; aber der Gradient bestimmbar: 

0 = f (x, ϕ(x, z), z) =⇒ 0 = f x + f y ϕ x , 0 = f z + f y ϕ z 

partielle Ableitungen im Punkt (x ∗ , y ∗ , z ∗ ) 

ϕ x (0, 1) = −f x(0, 0, 1) 

f y (0, 0, 1) = 1 −1 = −1 

ϕ z (0, 1) = −f z(0, 0, 1) 

f y (0, 0, 1) = 0 −1 = 0 


Beispiel: 

algebraische Kurve, definiert durch ein bivariates Polynom p 

C : p(x, y) = 0 

grad p ≠ 0 =⇒ 

C lokal entweder als Funktion von x oder y darstellbar 

grad p = 0 =⇒ 

Singularität möglich 

0.5 

y 

1 

x 


Lemniskate 

C : p(x, y) = y 2 − x 2 + x 4 = 0 

Doppelpunkt bei (0, 0), keine eindeutige Auflösbarkeit nach x oder y 

(i) Tangente senkrecht zur x-Achse bei (±1, 0) 

nur lokale Auflösung nach x möglich: 

√ 

√ 

1 1 

x = σ 

2 + 4 − y 2 

(ii) Tangente waagrecht bei ±(1/ √ 2, 1/2) 

y als Funktion von x darstellbar (nicht umgekehrt): 

y = ± √ x 2 − x 4 


(iii) andere Punkte (x 0 , y 0 ): Auflösbarkeit sowohl nach x oder y 

bei Auflösung nach y 

und 

dy 

dx = −p−1 y p x = 4x 3 − 2x 

2y 

y − y 0 = 4x 3 0 − 2x 0 

2y 0 

(x − x 0 ) 

ist die Gleichung der Tangente im Punkt (x 0 , y 0 ) 


Multivariate Taylor-Approximation 

Eine in einer Umgebung eines Punktes mit Koordinaten a = (a 1 , . . . , a m ) 

skalare (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion f von m 

Veränderlichen x i kann durch ein Taylor-Polynom vom totalen Grad n 

approximiert werden: 

f (x) = ∑ 

|α|≤n 

mit α! = α 1 ! · · · α m ! . 

Das Restglied hat die Form 

R = 

für ein θ ∈ [0, 1] . 

∑ 

|α|=n+1 

1 

α! ∂α f (a)(x − a) α + R , |x − a| < r , 

1 

α! ∂α f (u)(x − a) α , u = a + θ(x − a) , 

Analysis 2 – Differentiation Taylor-Entwicklung 1-1

Beweis: 

Zurückführung auf den univariaten Fall (o.B.d.A. a = 0): 

setze 

f (x 1 , ..., x m ) = f (tx 1 , ..., tx m )| t=1 = g(t)| t=1 

Taylor-Entwicklung der univariaten Funktion g(t) im Nullpunkt 

g(t) = g(0) + g ′ (0) t + · · · + 1 n! g (n) (0)t n + R 

mit 

R = 

1 

(n + 1)! g (n+1) (θt)t n+1 , θ ∈ [0, 1] 


Kettenregel ⇒ 

g(0) = 

∑ 

f (0) 

g ′ (0) = (∂ j f (0))x j 

g ′′ (0) = ∑ i 

. 

j 

∑ 

(∂ i ∂ j f (0))x i x j 

j 

m k Terme bei k-ter Ableitung 

Zusammenfassen gleicher partieller Ableitungen 

Koeffizienten der Entwicklung 

z.B. für m = 2, k = 5, Zusammenfassung von 

∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ 2 ∂ 2 , ∂ 1 ∂ 2 ∂ 1 ∂ 2 ∂ 1 , ∂ 1 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 1 ∂ 1 , ... 

∂ α , α = (3, 2) ( 5 

3) 

= 5!/(3! 2!) Terme 


allgemein 

( ) ( ) ( ) 

k k − α1 k − α1 − . . . − α m−1 

· · · · 

= k!/(α 1 ! . . . α m !) 

α 1 α 2 α m 

Terme, wenn nach der ν-ten Komponente jeweils α ν -mal abgeleitet wird 

Einsetzen der Ableitungen der Funktion g(t) , Kürzen des Faktors k! 

Entwicklung von f 


Beispiel: 

Taylor-Entwicklung einer Funktion von zwei Variablen: 

f (x, y) = f + f x (x − x 0 ) + f y (y − y 0 ) 

+ f xx 

2 (x − x 0) 2 + f xy (x − x 0 ) (y − y 0 ) + f yy 

2 (y − y 0) 2 

+ f xxx 

6 (x − x 0) 3 + f xxy 

2 (x − x 0) 2 (y − y 0 ) 

+ f xyy 

2 (x − x 0) (y − y 0 ) 2 + f yyy 

6 (y − y 0) 3 + R , 

wobei f und sämtliche partielle Ableitungen im Punkt (x 0 , y 0 ) ausgewertet 

werden 

Entwickeln von 

im Punkt (x 0 , y 0 ) = (0, 0) 

f (x, y) = sin(x − ωy) 


wegen 

∂ α x ∂ β y f (0, 0) = sin (α+β) (0) (−ω) β 

Approximation 

mit 

sin(x − ωy) = x − ωy − 1 6 (x 3 − 3ωx 2 y + 3ω 2 xy 2 − ω 3 y 3 ) +R 

} {{ } 

(x−ωy) 3 

für ein θ ∈ [0, 1] 

R = 1 4! (f x 4 + 4f x 3 y + 6f x 2 y 2 + 4f xy 3 + f y 4)(θ(x, y)) 

= 1 4! (x − ωy)4 sin(θ(x − ωy)) 


Alternative Berechnung des Taylor-Polynoms: durch Einsetzen von 

t = x − ωy in die eindimensionale Reihendarstellung der Sinusfunktion: 

t = x − ωy 

sin(t) = t − t3 

3! + t5 

5! − ... . 

f (x, y) = (x − ωy) − 1 3! (x − ωy)3 + 1 cos(θ)(x − ωy)5 

5! 

(univariates Restglied) 


Beispiel: 

Entwicklung des Polynoms 

f (x, y, z) = z 2 − xy 

an der Stelle (0, −2, 1) 

von Null verschiedene Ableitungen 

f x = −y , f y = −x , f z = 2z , f xy = −1 , f zz = 2 

Auswerten am Entwicklungspunkt Taylor-Darstellung 

1 + 2x + (−0)(y + 2) + 2(z − 1) + (−1)x(y + 2) + 1 2 2(z − 1)2 = z 2 − xy 

alternativ: Entwicklung durch Umformung 

substituiere 

y + 2 = η , z − 1 = ζ 

 

f (x, y, z) = (ζ + 1) 2 − x(η − 2) = ζ 2 + 2ζ + 1 − xη + 2x 


Hesse-Matrix 

Die quadratische Taylor-Approximation einer skalaren Funktion f in einem 

Punkt mit Koordinaten a = (a 1 , . . . , a n ) lässt sich in der Form 

f (x 1 , . . . , x n ) = f (a) + (grad f (a)) t (x − a) 

+ 1 2 (x − a)t H f (a)(x − a) + O(|(x − a)| 3 ) 

schreiben, wobei die symmetrische Hesse-Matrix 

⎛ 

⎞ 

∂ 1 ∂ 1 f (a) · · · ∂ 1 ∂ n f (a) 

⎜ 

⎟ 

H f (a) = ⎝ . 

. ⎠ 

∂ n ∂ 1 f (a) · · · ∂ n ∂ n f (a) 

die zweiten Ableitungen enthält. 


Beweis: 

Umschreiben der quadratischen Terme der Taylor-Entwicklung (n = 2) 

f (x, y) = f + f x (x − x 0 ) + f y (y − y 0 ) 

+ 1 2! (f xx (x − x 0 ) 2 + 2f xy (x − x 0 ) (y − y 0 ) + f yy (y − y 0 ) 2 ) + R 

= f + f x (x − x 0 ) + f y (y − y 0 ) 

+ 1 ( ) ( 

2! ((x − x fxx f 

0) , (y − y 0 )) 

xy (x − x0 ) 

f xy f yy (y − y 0 ) 

wobei f und sämtliche partiellen Ableitungen im Punkt (x 0 , y 0 ) 

ausgewertet werden 

) 

+ R , 


Restglied 

mit 

für ein θ ∈ [0, 1] 

Abschätzung 

R = ∑ 

|α|=3 

1 

α! ∂α f (u, v) (x − x 0 ) α 1 

(y − y 0 ) α 2 

(u, v) = (1 − θ)(x 0 , y 0 ) + θ(x, y) 

R = O(|(x − x 0 , y − y 0 )| 3 ) 

Beweis im allgemeinen Fall (n ≥ 2) analog 


Beispiel: 

f (x, y) = ln(x + 1/y) 

partielle Ableitungen 

1 

f x = 

x + 1/y , f y = − 1 

xy 2 + y , 

1 

f xx = − 

(x + 1/y) 2 , f 1 

xy = 

(xy + 1) 2 , f yy = 2xy + 1 

(xy 2 + y) 2 

Gradient und Hesse-Matrix im Punkt (0, 1): 

( ) 

( ) 

1 −1 1 

grad f (0, 1) = , H f (0, 1) = 

−1 

1 1 


die quadratische Taylor-Entwicklung 

( ) x 

f (x, y) = (1, −1) 

y − 1 

+ 1 ( ) ( −1 1 x 

2 (x, y − 1) 1 1 y − 1 

) 

+ O(|(x, y)| 3 ) 

= x − y + 1 + 1 2 

( 

−x 2 + 2x(y − 1) + (y − 1) 2) + O(|(x, y − 1)| 3 ) 


Beispiel: 

quadratische Taylor-Entwicklung von 

im Punkt (1, 1, 1) 

partielle Ableitungen 

f (x, y, z) = (xy) z 

f x = yz(xy) z−1 , f z = ln(xy)(xy) z , 

f xx = y 2 z(z − 1)(xy) z−2 , f zz = (ln(xy)) 2 (xy) z , 

f xy = z(xy) z−1 + xyz(z − 1)(xy) z−2 , f xz = y(xy) z−1 + yz ln(xy)(xy) z−1 

(f y , f yy und f yz durch Vertauschen der Variablen) 


Gradient und Hesse-Matrix: 

⎛ 

grad f (1, 1, 1) = ⎝ 

1 

1 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ , H f (1, 1, 1) = ⎝ 

quadratische Taylor-Entwicklung 

⎛ ⎞ 

x − 1 

f (x, y, z) = 1 + (1, 1, 0) ⎝ y − 1 ⎠ 

z − 1 

⎛ 

+ 1 2 (x − 1, y − 1, z − 1) ⎝ 

+ O(|(x, y, z)| 3 ) 

0 1 1 

1 0 1 

1 1 0 

0 1 1 

1 0 1 

1 1 0 

⎞ ⎛ 

⎠ ⎝ 

= 1 + (x − 1) + (y − 1) + (x − 1)(y − 1) 

+(x − 1)(z − 1) + (y − 1)(z − 1) 

+ O(|(x − 1, y − 1, z − 1)| 3 ) 

⎞ 

⎠ 

x − 1 

y − 1 

z − 1 

⎞ 

⎠ 


Multivariates Newton-Verfahren 

Die Lösung x ∗ ∈ R n eines nichtlinearen Gleichungssystems 

kann mit der durch 

f 1 (x ∗ ) = · · · = f n (x ∗ ) = 0 

x neu = x alt − ∆x, f ′ (x alt )∆x = f (x alt ) 

definierten Newton-Iteration bestimmt werden. 

Ist f zweimal stetig partiell differenzierbar und die Jacobi-Matrix f ′ (x ∗ ) 

invertierbar, so konvergiert das Verfahren quadratisch 

|x neu − x ∗ | ≤ c |x alt − x ∗ | 2 

für Starwerte in einer Umgebung U von x ∗ . Insbesondere ist det f ′ (x) ≠ 0 

für x ∈ U, so dass das lineare Gleichungssystem für ∆x eindeutig lösbar ist. 


Beweis: 

lineare Approximation von f =⇒ 

0 = f (x ∗ ) = f (x alt ) + f ′ (x alt )(x ∗ − x alt ) + R, R = O(|x ∗ − x alt | 2 ) 

Auflösen nach x ∗ und Vernachlässigen des Restglieds 

eine verbesserte Näherung x neu ≈ x ∗ 

x neu = x alt − f ′ (x alt ) −1 f (x alt ) 

Auflösen der ersten Gleichung nach f (x alt ) =⇒ 

f (x alt ) = −f ′ (x alt )(x ∗ − x alt ) − R, 

und nach Einsetzen in die Iterationsvorschrift 

x neu = x ∗ + f ′ (x alt ) −1 R 

stetige Differenzierbarkeit =⇒ 

| (f ′ (x)) −1 | in einer Umgebung U von x ∗ beschränkt und 

|x neu − x ∗ | = ∣ ∣ f ′ (x alt ) −1 R ∣ ∣ ≤ c |x alt − x ∗ | 2 


Beispiel: 

ÈËÖÖÔÐÑÒØ× 

vereinfachte Robotersteuerung 

¬ 

¼« 

È 

Roboterarm mit drei Drehgelenken 

Position P und die Orientierung ϑ des Endeffektors als nichtlineare 

Funktion q der Gelenkwinkel α, β, γ 


q 1 (α, β, γ) = a cos(α) + b cos(α + β − π) + c cos(α + β + γ − 2π) 

q 2 (α, β, γ) = a sin(α) + b sin(α + β − π) + c sin(α + β + γ − 2π) 

q 3 (α, β, γ) = α + β + γ − 2π. 

a = 3, b = 2, c = 1 und Substitution von 

β ′ = α + β, 

ϑ = q 3 = α + β + γ − 2π 

nichtlineares System 

0 = f 1 (α, β ′ ) = p 1 − 3 cos α + 2 cos β ′ − cos ϑ 

0 = f 2 (α, β ′ ) = p 2 − 3 sin α + 2 sin β ′ − sin ϑ 


Ruhelage des Roboterarms: ˜p = (2, 2) t , ˜ϑ = −π/2 

←→ Lösung α 0 = π/2, β 0 ′ = π mit Jacobi-Matrix 

[ 

f ′ (α 0 , β 0) ′ 3 sin α0 −2 sin β 

= 

0 

′ ] 

−3 cos α 0 2 cos β 0 

′ = 

[ 3 0 

0 −2 

erster Schritt des Newton-Verfahrens zur Erreichung der benachbarten 

Position p = (2, 3) t , ϑ = −π/4 

[ ] [ ] [ √ ] 

3 0 ∆α − 2/2 

0 −2 ∆β ′ = √ 

2/2 

] 

=⇒ ∆α = − √ 2/6 , ∆β ′ = − √ 2/4 und 

( ) ( ) 

α1 α0 

= − 

β 0 

β ′ 1 

( ∆α 

∆β ′ ) 

= 

( π/2 + 

√ 

2/6 

π + √ 2/4 

) 

Fehler zur Position p 

f (α 1 , β ′ 1) ≈ (0.1172, 0.0976) 


Kritischer Punkt 

Für eine skalare Funktion f bezeichnet man x als kritischen Punkt, wenn 

grad f (x) = 0 . Ist f zweimal stetig differenzierbar, so wird der Typ des 

kritischen Punktes, d.h. die Form des Funktionsgraphen in einer 

Umgebung von x, durch die Vorzeichen der Eigenwerte λ i der 

Hesse-Matrix H f (x) bestimmt: 

Flachpunkt: Alle Eigenwerte λ i sind Null. 

elliptischer Punkt: Alle Eigenwerte λ i sind ungleich Null und haben 

das gleiche Vorzeichen. Die Funktion f hat in diesem Fall ein lokales 

Extremum bei x. 

hyperbolischer Punkt: Es gibt Eigenwerte λ i mit verschiedenem 

Vorzeichen. Man bezeichnet x auch als Sattelpunkt. 

parabolischer Punkt: Mindestens ein Eigenwert λ i ist Null, und alle 

anderen Eigenwerte haben das gleiche Vorzeichen. 

Motivation der Bezeichnungen: Form der Höhenlinien im bivariaten Fall: 

Analysis 2 – Differentiation Extremwerte 1-1

elliptischer Punkt hyperbolischer Punkt parabolischer Punkt 

Bei Funktionen in zwei Veränderlichen kann der Typ anhand der 

Determinante der Hesse-Matrix klassifiziert werden. Ist det(H f ) > 0 

(< 0), so handelt es sich um ein Extremum (einen Sattelpunkt). 

Für ein Minimum bzw. ein Maximum ist Spur(H f ) > 0 bzw. < 0 . 

Verschwindet die Determinante und ist die Hesse-Matrix nicht Null, so ist 

der Punkt parabolisch. 


Beispiel: 

kritische Punkte der Funktion 

f (x, y) = y(1 − x 2 − y 2 ) 

Gradient und Hesse-Matrix 

( 

) 

( ) 

−2xy 

−2y −2x 

grad f = 

1 − x 2 − 3y 2 , H f = 

−2x −6y 

grad f = 0 ⇔ 

kritische Punkte 

xy = 0 ∧ x 2 = 1 − 3y 2 

( 

0, ±1/ √ ) 

3 , (±1, 0) 

entsprechende Hesse-Matrizen 

( √ ) 

∓2/ 3 0 

0 ∓6/ √ , 

3 

( 0 

) ∓2 

∓2 0 


Punkt (x, y) = ( 0, ±1/ √ 3 ) : 

det(H f ) > 0 und Spur(H f ) = ∓8/ √ 3 

=⇒ Minimum bei (0, −1/ √ 3) und Maximum bei (0, 1/ √ 3) 

Punkt (x, y) = (±1, 0) 

Sattelpunkte 

det(H f ) = −4 < 0 

alternativ: 

Typbestimmung anhand der Nullstellenmenge und der sich daraus 

ergebenden Vorzeichenverteilung von f 

f (x, y) = 0 ⇐⇒ y = 0 ∨ x 2 + y 2 = 1 


(0, 1/ √ 3) 

(−1, 0) 

(1, 0) 

(0, −1/ √ 3) 

Sattelpunkte an Schnittpunkten mit Vorzeichenwechsel 

lokale Extrema in von der Nullstellenmenge eingeschlossenen beschränkten 

Bereichen 


Beispiel: 

f (x, y) = (y − x + x 2 )y 

Gradient 

grad f = 

( ) 

(−1 + 2x)y 

2y − x + x 2 

kritische Punkte (0, 0), (1, 0), (1/2, 1/8) 


(i) Typbestimmung anhand der Vorzeichenverteilung von f : 

+ 

− (1/2, 1/8) 

(0, 0) (1, 0) 

− 

− 

+ 

Sattelpunkte an Schnittpunkten, denn in jeder Umgebung existieren 

sowohl positive als auch negative Werte 

lokales Minimum im grauen Bereich 


(ii) Typbestimmung mit Hilfe der Hesse-Matrix: 

( 2y 2x − 1 

H f = 

2x − 1 2 

) 

Einsetzen der kritischen Punkte 

H f (0, 0) = 

H f (1, 0) = 

H f (1/2, 1/8) = 

( ) 0 −1 

−1 2 

( ) 0 1 

1 2 

( ) 1/4 0 

0 2 

Sattelpunkte bei (0, 0) und (1, 0) , da det(Hf ) < 0 

lokales Minumum bei (1/2, 1/8), da det(Hf ) > 0 und Spur(Hf ) > 0 


Extrema multivariater Funktionen 

Ist f (x ∗ ) ein Minimum (Maximum) einer stetig differenzierbaren skalaren 

Funktion f auf einer Umgebung von x ∗ , so gilt 

grad f (x ∗ ) = 0 . 

Eine hinreichende Bedingung ist, dass zusätzlich alle Eigenwerte der 

Hesse-Matrix im kritischen Punkt x ∗ positiv (negativ) sind. 

Gibt es Eigenwerte mit verschiedenen Vorzeichen, so handelt es sich um 

einen Sattelpunkt, also kein lokales Extremum. Ist mindestens ein 

Eigenwert Null bei gleichen Vorzeichen der von Null verschiedenen 

Eigenwerte, so kann der Typ des kritischen Punktes x ∗ anhand der zweiten 

Ableitungen nicht klassifiziert werden. 


Lokale Minima (Maxima) können auch an Randpunkten des 

Definitionsbereichs D auftreten. In diesen Fall muss die Richtungsableitung 

∂ v f (x ∗ ) für jede ins Innere von D zeigende Richtung v positiv (negativ) 

sein. 

Eine globale Extremstelle einer skalaren Funktion f auf einer Menge D ist 

entweder ein kritischer Punkt (d.h. grad f = 0), ein Randpunkt, oder eine 

Unstetigkeitsstelle einer partiellen Ableitung. Die globalen Minima und 

Maxima lassen sich also durch Vergleich der Funktionswerte an diesen 

Punkten ermitteln. 


Die Abbildung illustriert die verschiedenen Möglichkeiten. Dabei sind lokale 

Extrema durch Kreise und globale Extrema durch Punkte gekennzeichnet. 


Beweis: 

(i) 

betrachte f entlang von Geraden 

g(t) = f (x ∗ + tv), t ∈ R , 

für eine beliebige Richtung v 

x ∗ eine lokale Extremstelle von f =⇒ 

t = 0 Extremstelle von g und folglich 

v beliebig =⇒ grad f (x ∗ ) = 0 

0 = g ′ (0) = (grad f (x ∗ )) t v = ∂ v f (x ∗ ) 

(ii) 

x ∗ ∈ ∂D =⇒ vg ′ (0) ≥ 0 für ins Innere von D zeigende Vektoren v 

(g monoton wachsend auf [0, t] für kleines t) 


(iii) 

Eigenwerte von H f (x ∗ ) > 0 =⇒ 

v t H f (x ∗ )v c > 0, |v| = 1 

Stetigkeit der zweiten Ableitungen ⇒ 

Ungleichung mit einer Konstanten c/2 in einer Umgebung U von x ∗ 

Taylor-Entwicklung 

mit θ ∈ [0, 1] 

g(t) = g(0) + g ′ (0)t + 1 } {{ } 2 g ′′ (θt)t 2 

=0 



g ′′ (θt) = v t H f (x ∗ + θtv)v t 

lokales Minimum von f bei x ∗ in jeder Richtung v, denn 

g(t) g(0) + (c/2)t 2 , t ≈ 0 

(iv) analoge Herleitung der hinreichenden Bedingung für ein Maximum 


Beispiel: 

quadratische Funktion 

f (x) = 1 2 x t Ax − x t b + c, 

A = A t 

Gradient und Hesse-Matrix 

grad f = Ax − b, 

H f = A 

lokale Extremstellen: Lösungen von Ax = b 

Eigenwerte von A ausschließlich positiv oder negativ =⇒ 

det A ≠ 0 und Ax = b eindeutig lösbar 

genau ein lokales und damit ebenfalls globales Extremum von f 


z.B.: 

f (x, y) = 3 2 x 2 + 2xy + 3 2 y 2 + x + 4y − 3, A = 

grad f = (0, 0) 

( 3 2 

2 3 

mit Lösung (x, y) = (1, −2) 

) ( x 

y 

) 

= 

( −1 

−4 

( ) 3 2 

, b = 

2 3 

det A = 5 und Spur A = 6 positiv =⇒ 

Eigenwerte von A positiv und (x, y) ist globales Minimum von f 

) 

( ) −1 

−4 


Beispiel: 

Bestimmung der globalen Extrema der Funktion 

f (x, y) = cos x + cos y + cos(x + y) 

f 2π-periodisch bezüglich x und y und f (y, x) = f (x, y) = f (−x, −y) ⇒ 

nur Bereich (−π, π] × [0, π] zu untersuchen 

keine Randpunkte und Unstetigkeitstellen von partiellen Ableitungen 

nur kritische Punkte relevant 

( ) ( − sin x − sin(x + y) 0 

grad f = 

= 

− sin y − sin(x + y) 0) 

=⇒ 

sin x = − sin(x + y) = sin y , 

also für y ∈ [0, π] insbesondere x = y oder y = π − x 


etrachte alle möglichen Fälle: 

(i) x = y: 

sin x = − sin(2x) = −2 sin x cos x 

kritische Punkte (0, 0), (π, π) und ( 2π 

3 , 2π ) 

3 im betrachteten Bereich 

(ii) y = π − x: 

kritische Punkte (0, π) und (π, 0) 

sin(x) = − sin(π) = 0 


π 

π/2 

−1 

4 

2 

0 

2 

0 

−π/2 

1 

−1 

0 

−π 

−π −π/2 0 π/2 π 

−2 

π 

0 

−π 

π 

0 

−π 

Vergleich der Funktionswerte ⇒ 

globales Maximum mit Wert f (0, 0) = 3 bei (0, 0) 

globales Minimum mit Wert f ( 2π 

3 , 2π ) 

3 = − 

3 

2 bei ( 2π 

3 , 2π ) 

3 


Typbestimmung der anderen kritischen Punkte mit Hilfe der Hesse Matrix 

( ) 

− cos x − cos(x + y) − cos(x + y) 

H f = 

− cos(x + y) − cos y − cos(x + y) 

Punkt (π, π): 

=⇒ Sattelpunkt 

H f = 

( 0 −1 

−1 0 

) 

, det H f < 0 

Punkte (π, 0) und (0, π) (symmetrische Lage) 

( ) 

( 2 1 

0 1 

H f = , H f = 

1 0 

1 2 

=⇒ Sattelpunkte 

) 

, det H f < 0 


globale Maxima (2kπ, 2lπ) k, l ∈ Z, 

globale Minima ( 2π 

( 3 + 2kπ, 2π 3 + 2lπ) bzw. 

− 

2π 

3 + 2kπ, − 2π 3 + 2lπ) , k, l ∈ Z 


Beispiel: 

Steiners Problem: 

Bestimme den Punkt Q ∈ R 2 , so dass die Summe der Abstände zu 

vorgegebenen Punkten P i minimal wird. 

Spezialfall dreier Punkte P 1 , P 2 , P 3 

Q Randpunkt des Dreiecks [P 1 , P 2 , P 3 ] oder ∢(P i , Q, P j ) = 2π/3 ∀i, j 

P 1 

P 2 

P 3 

Q 

2π 

3 


zeige Charakterisierung für einen inneren Punkt: 

d i Abstand zwischen Q = (x, y) und P i = (x i , y i ), d.h. 

d 2 

i = (x − x i ) 2 + (y − y i ) 2 


bzw. 

2d i 

∂d i 

∂x = 2 (x − x i) 

∂d i 

∂x = x − x i 

d i 

und entsprechend ∂d i 

∂y = y − y i 

d i 

 

grad d i = 1 ( ) x − xi 

d i y − y i 


Minimum 

bei innerem Punkt Q ⇒ 

f = d 1 + d 2 + d 3 

( ) 0 

grad f (Q) = , 

0 

da f stetig differenzierbar in Umgebung von Q 

| grad d i | = 1 =⇒ 

Gradienten bilden gleichseitiges Dreieck (Vektorsumme null) 

Winkel 2π/3 zwischen den Gradientenrichtungen 


Lagrange-Multiplikatoren 

Ist x ∗ eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion f unter den 

Nebenbedingungen g i (x) = 0, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λ i , 

so dass 

f ′ (x ∗ ) = λ t g ′ (x ∗ ) . 

Dabei wird vorausgesetzt, dass f und g in einer Umgebung von x ∗ stetig 

differenzierbar sind und dass die Jacobi-Matrix g ′ (x ∗ ) vollen Rang hat. 

Bei nur einer Nebenbedingung hat die Lagrange-Bedingung die einfache 

Form 

grad f (x ∗ ) ‖ grad g(x ∗ ) , 

falls grad g(x ∗ ) ≠ 0, d.h. die Niveauflächen von f und g berühren sich an 

einer Extremstelle. 


Die Lagrange-Bedingung ist nicht hinreichend, um zu entscheiden, ob ein 

lokales Extremum vorliegt und ob es sich um ein Minimum oder ein 

Maximum handelt. Dies lässt sich nur mit Hilfe weiterer Informationen 

feststellen. 

Die globalen Extrema erhält man durch den Vergleich der Funktionswerte 

an den Punkten, welche die Lagrange-Bedingung erfüllen, sowie 

gegebenenfalls den Randpunkten der zulässigen Menge oder Punkten mit 

einem Rangverlust von g ′ . 


Beweis: 

n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen 

m ≥ n ̌: 

n-Vektor grad f ist als Linearkombination von n linear unabhängigen Zeilen 

von g ′ darstellbar 

m < n: 

Partition der Variablen, x = (u, v) ∈ R m × R n−m , wobei nach eventueller 

Permutation die Invertierbarkeit von g u (u ∗ , v ∗ ) vorausgesetzt wird 

Satz über implizite Funktionen =⇒ 

lokale Aufösbarkeit der Nebenbedingungen 

g(u, v) = 0 ⇐⇒ u = ϕ(v), 

v ≈ v ∗ 


Gradient von v ↦→ f (ϕ(v), v) Null an einem Extremum, d.h. 

f u (u ∗ , v ∗ )ϕ ′ (v ∗ ) + f v (u ∗ , v ∗ ) = 0 

Differenzieren der Nebenbedingung g(ϕ(v), v) = 0 =⇒ 

ϕ ′ (v) = −g u (u, v) −1 g v (u, v) 

definiere λ = f u (u ∗ , v ∗ )g u (u ∗ , v ∗ ) −1 und setze Ausdruck für ϕ ′ in den 

Gradienten ein 

f u = λg u , f v = λg v 

(u- und v-Komponenten der Bedingung f ′ = λg ′ im Punkt (u ∗ , v ∗ )) 


Beispiel: 

minimiere 

f (x, y) = y 

unter der Nebenbedinung 

g(x, y) = y 3 − x 2 = 0 

Minimum bei (0, 0) 

g = y 3 − x 2 = 0 

grad f 

(0, 0) 

y = 0 


Lagrange-Bedingung (f x , f y ) = λ(g x , g y ) nicht erfüllt 

(0, 1) ≠ (0, 0) = λ(−2x ∗ , 3y 2 ∗ ) 

Grund: kein maximaler Rang der Jacobi-Matrix g ′ (x ∗ , y ∗ ) = (0, 0) 

Lagrange-Bedingung in singulären Punkten nicht anwendbar 


Beispiel: 

Lagrange Bedingung für Extremstellen (x ∗ , y ∗ ) einer bivariaten Funktion 

f (x, y) unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0: 

d.h. grad g ist parallel zu grad f 

(f x , f y ) = λ(g x , g y ), grad g ≠ 0 

Niveaulinien von f im Punkt (x ∗ , y ∗ ) tangential zu der durch g definierten 

Kurve 


2 

g = 0 

1 

(x ∗ , y ∗ ) 

0 

−1 

f =const 

−2 

−2 −1 0 1 2 


z.B.: 

f (x, y) = (x − 3)(y − 3) → min , g(x, y) = x 2 + y 2 − 2 = 0 

Langrange-Bedingung 

Elimination von λ 

(y − 3, x − 3) = λ(2x, 2y) 

y(y − 3) − x(x − 3) = 0 ⇐⇒ (y − x)(y + x − 3) = 0 

Berücksichtigung der Nebenbedingung x 2 + y 2 − 2 = 0 

mögliche Extremstellen (1, 1) und (−1, −1) 

Existenz von Minimum und Maximum für eine stetige Funktion auf einer 

kompakten Menge =⇒ 

f bei (1, 1) minimal und bei (−1, −1) maximal 


Beispiel: 

Bestimmung der Extrema von 

unter den Nebenbedingungen (A) 

f (x, y, z) = x + 2y − z 

g 1 (x, y, z) = x 2 + y 2 − 8 = 0, g 2 (x, y, z) = x + z − 4 = 0 

(Ellipse: Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene) 

Jacobi-Matrix der Nebenbedingungen 

( 2x 2y 

) 0 

1 0 1 

vollen Rang für (x, y) ≠ 0; auf zulässiger Menge erfüllt 

Lagrange-Bedingung für Extremstellen (x, y, z) 

( ) 

2x 2y 0 

(1, 2, −1) = (λ 1 , λ 2 ) 

1 0 1 


zw. 

1 = 2λ 1 x + λ 2 

2 = 2λ 1 y 

−1 = λ 2 

Einsetzen von λ 1 = 1/y und λ 2 = −1 in die erste Gleichung =⇒ x = y 

Nebenbedingungen mögliche Extrema (2, 2, 2) und (−2, −2, 6) 

Existenz von Minimum und Maximum auf der Ellipse und Vergleich der 

Funktionswerte: 

f (−2, −2, 6) = −12 < 4 = f (2, 2, 2) 

=⇒ f bei (−2, −2, 6) minimal und bei (2, 2, 2) maximal 


Beispiel: 

Gleichgewichtslage einer an zwei Punkten aufgehängten Kette mit 2n 

Kettengliedern der Länge 1 

r 

x 1 

x 2 

potentielle Energie unter Berücksichtigung der Symmetrie 

( x1 

) ( 

f (x) = −2 − 2 x 1 + x ) ( 

2 

− · · · − 2 x 1 + · · · + x n−1 + x ) 

n 

2 

2 

2 

= −a 1 x 1 − · · · − a n x n 

mit a i = 2(n − i) + 1 

Länge der Kette 

g(x) = r/2 − 

n∑ 

i=1 

√ 

1 − x 2 i 

= 0 


Optimierungsproblem 

f → min, g = 0 

Lagrange-Bedingungen 

a i = λ 

x i 

√ 

1 − x 2 i 

Quadrieren und Auflösen nach x i =⇒ 

x 2 i = a2 i 

a 2 i 

+ λ 2 

, i = 1, . . . , n 

Einsetzen in die Nebenbedingung 

√ 

r 

n∑ 

2 = λ 2 

ai 2 + λ 2 

i=1 


√ . . . monotone Funktion von λ 

einfache numerische Lösung 

Bestimmung von x i aus den Nebenbedingungen 


Kuhn-Tucker-Bedingung 

Ist x ∗ ein lokales Minimum einer skalaren Funktion f unter den 

Nebenbedingungen g i (x) ≥ 0 und sind die Gradienten der aktiven 

Gleichungen g i (x ∗ ) = 0, i ∈ I , linear unabhängig, dann existieren 

Lagrange-Multiplikatoren λ i ≥ 0, so dass 

grad f (x ∗ ) = ∑ i∈I 

λ i grad g i (x ∗ ) . 

Für ein lokales Maximum ist entsprechend λ i ≤ 0. 

Die Indexmenge I lässt sich auch implizit durch die Bedingungen 

λ t g(x ∗ ) = 0 , λ ≥ 0 , 

festlegen. Ist g k (x ∗ ) > 0, so folgt λ k = 0, d.h. die nichttrivialen 

Multiplikatoren entsprechen den aktiven Nebenbedingungen. 


grad f 

g i = 0 

grad g i 

Geometrisch bedeutet die Kuhn-Tucker Bedingung für ein Minimum, dass 

der Gradient der Zielfunktion f in dem durch die Gradienten der aktiven 

Nebenbedingungen aufgespannten Kegel (gestrichelt) liegt. 


Beweis: 

inaktive Nebenbedingungen (g j (x ∗ ) > 0, j /∈ I ) irrelevant, da in Umgebung 

von x ∗ keine Einschränkung 

f ebenfalls auf der kleineren Menge, die durch die Gleichungsbedingungen 

g i (x) = 0 beschrieben wird, minimal 

Satz über Lagrange-Multiplikatoren =⇒ behauptete Identität mit λ i ∈ R 

zu zeigen: λ i ≥ 0 

Indirekter Beweis: Annahme λ k < 0 für ein k ∈ I 

lineare Unabhängigkeit der Gradienten =⇒ 

∃v : (grad g k (x ∗ )) t v = 1, (grad g i (x ∗ )) t v = 0, i ∈ I \k 

(v in Tangentialebene der durch g i , i ≠ k, definierten Fläche S) 


wähle t ↦→ x(t) ∈ S mit Anfangspunkt x(0) = x ∗ und Anfangsrichtung 

x ′ (0) = v 

g k (x(t)) = g k (x ∗ ) + ( (grad g k (x ∗ )) t v ) t + O(t 2 ) = 0 + t + O(t 2 ), t → 0 

also x(t) für hinreichend kleines t > 0 zulässig: 

g k (x(t)) ≥ 0, 

g i (x(t)) = 0, i ∈ I \ k 

Konstruktion von v und Identität für grad f =⇒ 

d 

dt f (x(t)) |t=0 = (grad f (x ∗ )) t v = λ k (grad g k (x ∗ )) t v = λ k < 0 

Abnahme von f entlang der Kurve 

Widerspruch zur Minimalität von f (x ∗ ) 


Beispiel: 

Extrema der Funktion 

f (x, y) = y 2 − x 

auf der durch 

y − x 2 ≥ 0 , 2 − x 2 − y 2 ≥ 0 

definierten hellgrauen Menge D: 

2 

f = 9 4 

1 

0 

f = −3 

4 4/3 

−1 0 1 


Kuhn-Tucker-Bedingung 

(−1, 2y) = λ(−2x, 1) + µ(−2x, −2y) 

λ(y − x 2 ) + µ(2 − x 2 − y 2 ) = 0 

mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens 

Gradienten der aktiven Nebenbedingungen für alle zulässigen Punkte linear 

unabhängig (nicht Null und an den Schnittpunkten der Randkurven nicht 

parallel) Kuhn-Tucker-Bedingung für alle Extrema notwendig 

verschiedene Fälle je nach dem welche Nebenbedingungen aktiv sind: 

(i) λ = 0 , µ = 0 (keine Nebenbedingung aktiv): 

(−1, 2y) = (0, 0) 

nicht erfüllbar, keine Extrema von f im Inneren von D 


(ii) λ = 0 , µ ≠ 0 (2 − x 2 − y 2 ≥ 0 aktiv): 

(−1, 2y) = µ(−2x, −2y) 

2 − x 2 − y 2 = 0 

=⇒ µ = −1 < 0 (y = 0 wegen (± √ 2, 0) /∈ D nicht möglich), x = −1/2 

und y = √ 7/2 

=⇒ Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Maximum erfüllt 

(iii) λ ≠ 0 , µ = 0 (y − x 2 ≥ 0 aktiv): 

=⇒ 

(−1, 2y) = λ(−2x, 1) 

y − x 2 = 0 

λ = 2y = 2x 2 ≥ 0 , −1 = (2x 2 )(−2x) ⇔ x = 4 −1/3 und y = 4 −2/3 

Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum ist erfüllt 


(iv) λ ≠ 0 , µ ≠ 0 (y − x 2 ≥ 0 und 2 − x 2 − y 2 ≥ 0 aktiv): 

y = x 2 ∧ x 2 + y 2 = 2 

=⇒ (x, y) = (1, 1) oder (x, y) = (−1, 1) 

Einsetzen in die Gleichung für grad f 

bzw. 

(−1, 2) = λ(−2, 1) + µ(−2, −2) =⇒ λ = 1 , µ = − 1 2 

(−1, 2) = λ(2, 1) + µ(2, −2) =⇒ λ = 1/3 , µ = − 5 6 

keine Extremstellen wegen verschiedenen Vorzeichens der 

Lagrange-Multiplikatoren 

Existenz von Extrema auf kompakten Mengen =⇒ 

Typbestimmung anhand des Vorzeichen der Langrange-Multiplikatoren 

möglich oder auch durch Vergleichen der Funktionswerte 

Maximum von f bei (−1/2, √ 7/2) und Minimum bei ( 4 −1/3 , 4 −2/3) 


Beispiel: 

f (x) → min , 

a i ≤ x i ≤ b i 

Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum 

grad f (x ∗ ) = ∑ i 

(λ i − µ i ) e i 

λ i , µ i ≥ 0 

λ t (x ∗ − a) + µ t (b − x ∗ ) = 0 

mit e i dem i-ten Einheitsvektor 

±∞ als Intervallgrenzen zugelassen 


(i) a i < x ∗,i 

die i-te Komponente g i von grad f (x ∗ ) 

(ii) eine der Ungleichungen für x i aktiv entsprechender 

Lagrange-Multiplikator bestimmt Vorzeichen von g i : 

x ∗,i = a i → g i ≥ 0 ; x ∗,i = b i → g i ≤ 0 


x 2 

a 1 

b 2 

b 1 

a 2 

x 1 

mögliche Richtungen von grad f (x ∗ ) für bivariate Zielfunktionen und 

Minima auf den Seiten und an den Ecken von [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] 

grad f (x ∗ ) = 0 für Minima im Inneren 


Beispiel: 

Lineares Programm: 

Minimierung einer linearen Funktion 

unter linearen Nebenbedingungen 

mit einer m × n-Matrix A 

(c 1 , . . . , c n )x → min 

Ax ≥ b 

Kuhn-Tucker-Bedingungen für eine Lösung x ∗ ∈ R n 

c t = λ t A, λ t (Ax ∗ − b) = 0 

mit λ i ≥ 0 (entsprechend λ i ≤ 0 für ein Maximum) 


z.B. 

ist 

x + y → min, x ≥ 2, y ≥ 1, x + 2y ≥ 8 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

( 1 0 

2 

1 

c = , A = ⎝0 1⎠ , b = ⎝1⎠ 

1) 

1 2 

8 

=⇒ Kuhn-Tucker-Bedingungen 

1 = λ 1 +λ 3 , 1 = λ 2 +2λ 3 , λ 1 [x −2]+λ 2 [y −1]+λ 3 [x +2y −8] = 0 

mit λ i , [. . . ] ≥ 0 


Bedingungen =⇒ genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null, 

drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) 

λ 1 = 0: 

=⇒ λ 3 = 1, λ 2 = −1 

kein Extremum, da verschiedenes Vorzeichen 

λ 2 = 0: 

=⇒ λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 

aktive Nebenbedingungen (x, y) = (2, 3) 

Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein Minimum erfüllt 

λ 3 = 0: 

aktive Nebenbedingungen (x, y) = (2, 1) (ausserhalb des zulässigen 

Bereichs) 

f auf zulässigem Bereich nach unten beschränkt =⇒ 

globales Minimum bei (2, 3) 


y 

5 

4 

3 

(2, 3) 

2 

1 

1 2 3 4 5 6 7 8 

x + y = c 

x 

geometrische Konstruktion der Lösung: Niveaulinie der Zielfunktion 

berührt den zulässigen Bereich in (2, 3) 

Zielfunktion steigt (fällt), wenn die Niveaugeraden den zugelassenen 

Bereich schneiden (nicht schneiden) 


Zwei- und dreidimensionale Simplizes werden als Dreiecke bzw. Tetraeder 

bezeichnet. 

Analysis 2 – Mehrdimensionale Integration Mehrdimensionale Integrale 1-1 

Simplex 

Ein n-dimensionaler Simplex S ist die konvexe Hülle von n + 1 Punkten 

p 0 , . . . , p n , die nicht alle in einem (n − 1)-dimensionalem Unterraum 

liegen: 

S = {x = ∑ α j p j : ∑ α j = 1, α j ≥ 0} 

j 

j 

p 2 

p 3 

p 2 

p 1 

p 0 

p 0 

p 1 

n=2 n=3

Das Volumen eines Simplex lässt sich mit Hilfe der Determinate der 

Vektoren p i − p 0 , i = 1, . . . , n ausdrücken: 

vol S = 1 n! | det(p 1 − p 0 , . . . , p n − p 0 )| . 

Analysis 2 – Mehrdimensionale Integration Mehrdimensionale Integrale 1-2

Parallelepiped 

Ein n-dimensionales Parallelepiped P wird von n linear unabhängigen 

Vektoren a i aufgespannt: 

P = {x = ∑ α i a i : 0 ≤ α i ≤ 1} . 

i 

ÑÒØ× ¾ ÈËÖÖÔÐÑÒØ× 

½ 

¿ ¾½ 

n=2 n=3 

Zwei- und dreidimensionale Parallelepipeds werden als Parallelogramme 

bzw. Spat bezeichnet. 


Das Volumen eines Parallelepipeds ist der Betrag der Determinante der 

aufspannenden Vektoren: 

vol P = | det(a 1 , . . . , a n )| . 


Integrationsbereich 

Ein Elementarbereich V ⊆ R n wird nach einer geeigneten orthogonalen 

Koordinatentransformation x → x ′ durch Graphen stetiger Funktionen a i 

und b i begrenzt: 

a 1 ≤ x ′ 1 ≤ b 1 

a 2 (x ′ 1 ) ≤ x ′ 2 ≤ b 2(x ′ 1 ) 

. 

a n (x ′ 1 , . . . , x ′ n−1 ) ≤ x ′ n ≤ b n (x ′ 1 , . . . , x ′ n−1 ) 


y 

z 

b 2 (x) 

b 3 (x, y) 

a 2 (x) 

x 

a 1 b1 

x 

a 2 (x) 

b 2 (x) 

a 3 (x, y) 

y 

Eine bis auf Randkurven bzw. -flächen disjunkte endliche Vereinigung von 

Elementarbereichen wird als regulärer Bereich bezeichnet. Ein Spezialfall 

ist ein aus Simplizes bestehender polygonaler Bereich. 


Mehrdimensionales Integral 

Das Integral einer stetigen Funktion f auf einem regulären Bereich 

V ⊆ R n kann als Grenzwert von Riemann-Summen definiert werden: 

∫ 

V 

f dV = 

lim 

|∆|→0 

∑ 

f (P i )∆V i , ∆V i = vol(V i ) . 

i 

Dabei wird V durch Vereinigungen V ∆ disjunkter Elementarbereiche V i 

(im Allgemeinen Simplizes oder Parallelepipede) approximiert, d.h. die 

Volumina der Differenzmengen V \V ∆ und V ∆ \V streben gegen Null. Mit 

|∆| wird der maximale Durchmesser der V i bezeichnet, P i sind beliebige 

Punkte in V i . 


Die Schreibweise ∆V i → dV symbolisiert den Grenzprozess, und dV nennt 

man das Volumenelement. Abkürzend schreibt man auch ∫ f oder 

V 

ausführlicher 

∫ 

V 

∫ 

f dV = 

V 

f (x 1 , . . . , x n ) dx 1 . . . dx n , 

wenn man die Integrationsvariablen hervorheben will. 

Aufgrund der Stetigkeit von f ist die Definition des Riemann-Integrals 

sowohl von der Wahl der Elementarbereiche V i als auch der Punkte P i 

unabhängig. 

Für eine positive Funktion entspricht das Integral dem Volumen der Menge 

{(x 1 , . . . , x n , h) : 0 ≤ h ≤ f (x), x ∈ V } . 

Insbesondere ist ∫ V 

1 das Volumen des Integrationsbereiches V . 


P 1 

V 1 V2 V 3 V 4 

Die Glattheitsvoraussetzungen an f und V können abgeschwächt werden, 

indem man das Integral über einen geeigneten Grenzprozess definiert. Man 

spricht dann von einem uneigentlichen Integral. 


Beispiel: 

Integration von 

über dem Bereich 

f (x, y) = xy 

V : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 + x 2 

y 

x 


Approximation für ein Quadratgitter mit Gitterweite h = 1/n 

h 2 

∑ ∑ 

∑ ∑ 

j k 

0≤j

Satz von Fubini 

Ein Integral einer stetigen Funktion über einem Elementarbereich 

V : a j (x 1 , . . . , x j−1 ) ≤ x j ≤ b j (x 1 , . . . , x j−1 ) 

lässt sich durch Hintereinanderausführung eindimensionaler Integrationen 

berechnen: 

∫ 

V 

∫ b 1 ∫ 

f dV = · · · 

b 2 (x 1 ) 

a 1 a 2 (x 1 ) 

∫ 

b n(x 1 ,...,x n−1 ) 

a n(x 1 ,...,x n−1 ) 

f (x 1 , . . . , x n ) dx n · · · dx 2 dx 1 . 


Dabei spielt die Reihenfolge der Variablen bei der Beschreibung des 

Elementarbereichs keine Rolle. Insbesondere gilt für Doppelintegrale mit 

konstanten Integrationsgrenzen 

∫ b ∫ d 

a 

c 

f (x, y) dydx = 

∫ d ∫ b 

c 

a 

f (x, y) dxdy . 


Beispiel: 


über dem Bereich 

f (x, y) = y cos ( x 2) 

V : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ √ x 

y 

1 

y = √ x 

0 

1 

x 


Satz von Fubini Berechnung mit zwei eindimensionale Integrationen: 

⎛ 

∫ ∫ 1 

√ ⎞ 

x 

⎜ 

f = ⎝ y cos ( x 2) ∫ 1 [ 

⎟ y 

2 

dy⎠ dx = 

2 cos ( x 2)] y= √ x 

dx 

V 

= 

0 

∫ 1 

0 

∫ 

0 

1 

2 x cos ( x 2) [ 1 

dx = 

4 sin ( x 2)] 1 

= 1 

0 

4 sin(1) 

Vertauschung der Integrationsreihenfolge 

nicht (explizit) berechenbares Integral 

⎛ 

⎞ 

∫ ∫ 1 ∫ 1 

⎜ 

f = ⎝ y cos ( x 2) ⎟ 

dx⎠ dy 

V 

0 

y 2 

0 

y=0 


Beispiel: 


über den Tetraeder 

f (x, y, z) = x 

T : x, y, z ≥ 0, x + y + z 2 ≤ 1 

Darstellung von T als Elementarbereich: 

T : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x , 0 ≤ z ≤ 2 (1 − x − y) 


z 

2 

1 

x 

1 

y 


Satz von Fubini 

∫ 

f = 

T 

= 

= 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

⎛ 

∫ 

⎜ 

⎝ 

1−x 

0 

⎛ 

∫ 

⎝ 

1−x 

0 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

∫ 

2(1−x−y) 

0 

⎞ 

⎞ 

⎟ ⎟ 

x dz⎠ dy⎠ dx 

⎞ 

2x (1 − x − y) dy⎠ dx 

2x(1 − x) 2 − 2x(1 − x) 2 /2 

} {{ } 

x−2x 2 +x 3 dx = 1 12 


Beispiel: 

Volumen des Durchschnitts der beiden Zylinder 

Z 1 : x 2 + y 2 ≤ r 2 , Z 2 : x 2 + z 2 ≤ r 2 


Symmetrie betrachte Teilkörper im ersten Oktant; 

Integrationsgebiet: Viertelkreisscheibe, definiert durch Z 1 

K : 0 ≤ x ≤ r, 0 ≤ y ≤ √ r 2 − x 2 

Z 2 Höhe h(x, y) = √ r 2 − x 2 des Schnittkörpers über K 

Teilvolumen 

⎛ 

∫ ∫ r 

⎜ 

h = ⎝ 

K 

0 

√ 

r 2 −x 2 

∫ 

0 

⎞ 

√ 

r 2 − x 2 ⎟ 

dy⎠ dx = 

∫ r 

0 

(r 2 − x 2 ) dx = r 3 − 1 3 r 3 = 2r 3 /3 

16r 3 /3 als Volumen für den gesamten Körper 


Beispiel: 

Das Volumen V n der n-dimensionalen Einheitskugel 

ist 

mit der Gamma-Funktion Γ. 

B n = {x ∈ R n : |x| ≤ 1} 

V n = 2√ π n 

n Γ( n 2 ) , 

Für n ≤ 6 sind die Werte in der folgenden Tabelle angegeben: 

n 1 2 3 4 5 6 

V n 2 π 4π/3 π 2 /2 8π 2 /15 π 3 /6 


Definition der Gamma-Funktion 

(B 1 = [−1, 1]) 

Induktionsschritt (n − 1) → n: 

vol B 1 = 2 = 2√ π 

Γ( 1 2 ) 

Schnitt von B n mit der Hyperebene x n = ξ, (−1 ≤ ξ ≤ 1) 

(n − 1)-dimensionale Kugel mit Radius √ 1 − ξ 2 

Satz von Fubini =⇒ 

vol B n = 

∫ 1 

−1 

(1 − ξ 2 ) n−1 

2 vol B n−1 dξ 

(Skalierung des Volumes von B n−1 mit der (n − 1)-ten Potenz des Radius’) 


Substitution ξ = sin t, dξ = cos t dt 

∫ 1 

−1 

( 

1 − ξ 

2 ) n−1 

2 

dξ = 

= 2 

∫ π/2 

−π/2 

∫ π/2 

0 

= √ π Γ ( n+1 

2 

Γ ( n 

( 

1 − sin 2 t ) n−1 

2 

cos t dt 

(cos t) n−1 cos t dt 

) 

2 + 1) 

Induktionsannahme 

vol B n−1 = 

2 √ π n−1 

(n − 1)Γ( n−1 

2 ) 

expliziter Ausdruck für vol B n 


vol B n = √ n+1 

Γ( 

2 

π ) 2 √ π n−1 

Γ( n 2 + 1) (n − 1)Γ( n−1 

2 ) 

Funktionalgleichung der Gamma-Funktion, 

Γ(x + 1) = x Γ(x) 

=⇒ 

vol B n = 

2√ π n n−1 

2 

Γ( n−1 

2 ) 

(n − 1) Γ( n−1 

2 ) n 2 Γ( n 2 ) = 2√ π n 

n Γ( n 2 ) 


Transformation mehrdimensionaler Integrale 

Für eine bijektive, stetig differenzierbare Transformation g eines regulären 

Bereiches U ⊆ R n mit 

det g ′ (x) ≠ 0, x ∈ U , 

gilt für stetige Funktionen f : 

∫ 

∫ 

f ◦ g | det g ′ | dU = 

U 

V 

f dV , V = g(U) , 

wobei det g ′ als Funktionaldeterminante der Transformation bezeichnet 

wird. Sie beschreibt die lokale Änderung des Volumenelementes: 

dV = | det g ′ | dU . 

Analysis 2 – Mehrdimensionale Integration Variablentransformation 1-1

U 

g 

V 

y = g(x) 

x 

Für eine lokal orthogonale Koordinatentransformation g, d.h.bei 

orthogonalen Spalten von g ′ , ist 

| det g ′ | = 

∣ n∏ 

∂g ∣∣∣ 

∣ , 

∂x i 

d.h., der Skalierungsfaktor des Volumenelements ist das Produkt der 

Skalierungsfaktoren der einzelnen Variablen. 

i=1 


Bei einer affinen Transformation y = Ax + b ändert sich das 

Volumenelement gemäß 

dy = | det A| dx . 

Insbesondere gilt für eine Skalierung der Variablen, y i = λ i x i 

dy i = λ i dx i . 

Die Voraussetzungen können etwas abgeschwächt werden. Insbesondere 

muss die Bijektivität von g und die Invertierbarkeit von g ′ nur im Innern 

von U gefordert werden. 

Unstetigkeiten von f und bestimmte Singularitäten sind ebenfalls möglich, 

wenn die Existenz beider Integrale gewährleistet ist. 


Beispiel: 

Bereich V , begrenzt durch zwei geradlinig verbundene Parabelsegmente 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

x u x −1 u 

= 

y u 2 , = + 

y 1 u 2 , 0 ≤ u ≤ 1 

kontinuierliche Verschiebung der Parabelsegmente 

( ) ( ) ( ) 

x −1 u 

= v + 

y 

1 u 2 , 0 ≤ v ≤ 1 

bijektive Abbildung auf das Einheitsquadrat U 

( ) ( ) ( ) 

u x −v + u 

↦→ = 

v y v + u 2 , 0 ≤ u, v ≤ 1 


v 

y 

1 

U 

V 

0 

1 

u 

0 

x 

Jacobi-Matrix der Abbildung 

( 

∂(x, y) 1 −1 

∂(u, v) = 2u 1 

) 

mit Funktionaldeterminante 

det 

∂(x, y) 

∂(u, v) = 2u + 1 > 0 


Volumenelement 

dV = dx dy = (2u + 1)du dv = (2u + 1)dU 

Transformationssatz für f (x, y) = x + y =⇒ 

∫ 

∫ 

[ 

(x + y) dx dy = (−v + u) + (v + u 2 ) ] (2u + 1) du dv 

V 

= 

= 

U 

∫ 1 ∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

(u + u 2 )(2u + 1) du dv 

} {{ } 

0 2u 3 +3u 2 +u 

( 2 

4 2) 

+ 1 + 1 dv = 2 


Beispiel: 

Torus erzeugt durch Drehung der Kreisscheibe 

( ) ( ) 

x R + rs cos ϑ 

= 

, 0 ≤ s ≤ 1 , 0 ≤ ϑ ≤ 2π 

z rs sin ϑ 

mit Radius r < R um die z-Achse 

mögliche Parametrisierung 

⎛ ⎞ 

⎛ 

x 

⎝ y ⎠ = p(s, ϑ, ϕ) = ⎝ 

z 

(R + rs cos ϑ) cos ϕ 

(R + rs cos ϑ) sin ϕ 

rs sin ϑ 

mit 0 ≤ ϕ ≤ 2π 

(Ersetzen von der Richtung (1, 0, 0) durch (cos ϕ, sin ϕ, 0) in der 

Parametrisierung der Kreisscheibe) 

⎞ 

⎠ 


z 

2 

0 

x 

r 

R 

ϑ 

y 

−2 

4 

2 

0 

−2 

−4 

−4 −2 0 2 

4 

Jacobi-Matrix der Transformation p : (s, ϑ, ϕ) t ↦→ (x, y, z) t 

⎛ 

p ′ = (p s , p ϑ , p ϕ ) = ⎝ 

r cos ϑ cos ϕ −rs sin ϑ cos ϕ −(R + rs cos ϑ) sin ϕ 

r cos ϑ sin ϕ −rs sin ϑ sin ϕ (R + rs cos ϑ) cos ϕ 

r sin ϑ rs cos ϑ 0 

⎞ 

⎠ 


orthogonale Spalten Funktionaldeterminate 

| det p ′ | = |p s ||p ϑ ||p ϕ | = |r||rs||R + rs cos ϑ| = r 2 s(R + rs cos ϑ) 

Berechnung des Volumens mit dem Transformationssatz 

∫ 1 ∫ 2π ∫ 2π 

0 

0 

0 

r 2 s(R + rs cos ϑ) dϕ dϑ ds 

= 2πr 2 ⎛ 

⎝ 

= 2πr 2 ⎛ 

⎝ 

∫ 1 ∫ 2π 

0 0 

∫ 1 

0 

sR dϑ ds + 

⎞ 

∫ 1 ∫ 2π 

2πsR ds + 0⎠ = 2π 2 Rr 2 

0 

0 

⎞ 

rs 2 cos ϑ dϑ ds⎠ 


Beispiel: 

Parallelogramm V als Bild einer affinen Transformation des 

Einheitsquadrates U: 

U ∋ x ↦→ y = Ax + b ∈ V 

Eckpunkt b und Spalten von A spannen Parallelogramm auf 

z.B.: 

( ) ( ) 

4 2 

2 

A = , b = 

1 3 

1 

y 2 

1 

x 2 

1 

U 

4 

2 

V 

0 

x 1 

0 

2 4 6 8 

y 1 


Funktionaldeterminante der Transformation 

Integral einer linearen Funktion 

über V : 

∫ ∫ 

f = 

V 

= 

U 

∫ 1 ∫ 1 

0 

det ∂(y 1, y 2 ) 

= det A = 10 

∂(x 1 , x 2 ) 

f (y) = 3y 1 − 4y 2 = (3, −4) 

f (Ax + b) · 10 dU 

0 

( 

y1 

y 2 

) 

(( ) ( ) ( 4 2 x1 2 

(3, −4) 

+ 

1 3 x 2 1 

} {{ } 

8x 1 −6x 2 +2 

)) 

·10 dx 1 dx 2 = 30 


Verallgemeinerung: 

invertierbare affine Abbildung des Einheitswürfels U = [0, 1] n , 

(x 1 , . . . , x n ) t ↦→ Ax + b 

Parallelepiped V , aufgespannt durch die Spalten der Matrix A 

Integral einer linearen Funktion f (y) = c t y über V 

∫ ∫ 

f = c t (Ax + b)| det A| dx = c t (Ae/2 + b)| det A| 

V 

U 

mit e = (1, . . . , 1) t 

Begründung: 

∫ 

c t Ax dx = ∑ 

U 

i 

mit a i den Spalten von A 

∫ 

U 

c t a i x i dx = ∑ i 

c t a i /2 


Volumenelement in Zylinderkoordinaten 

Für die Koordinatentransformation 

ist 

x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = z 

dx dy dz = ϱdϱ dϕ dz . 

Insbesondere gilt damit für das Integral einer Funktion f auf einem 

Zylinder 

Z : 0 ≤ ϱ ≤ ϱ 0 , 0 ≤ z ≤ z 0 

∫ 

Z 

f = 

∫ z 0 ∫ 2π ∫ ϱ 0 

0 

0 

0 

f (ϱ, ϕ, z) ϱ dϱ dϕ dz . 


Speziell ist für eine axialsymmetrische Funktion f (ϱ) 

∫ 

Z 

∫ϱ 0 

f = 2πz 0 

0 

f (ϱ) ϱ dϱ . 

Das Flächenelement für ebene Polarkoordinaten transformiert sich analog. 


Beweis: 

lokal orthogonale Koordinatentransformation 

(x, y, z) = g(ϱ, ϕ, z) 

d.h. Jacobi-Matrix 

⎛ 

g ′ = ⎝ 

cos ϕ −ϱ sin ϕ 0 

sin ϕ ϱ cos ϕ 0 

0 0 1 

⎞ 

⎠ 

mit orthogonalen Spalten 

Funktionaldeterminante 

| det g ′ | = |g ϱ | |g ϕ | |g z | = 1 · ϱ · 1 = ϱ 


Beispiel: 

Integral der Gauß-Funktion: 

∫ ∞ 

−∞ 

exp (−x 2 ) dx = √ π 

berechne zunächst das Quadrat des Integrals: 

⎛ 

⎝ 

∫ ∞ 

−∞ 

⎞ 

exp (−x 2 ) dx⎠ 

= 

= 

2 

⎛ 

⎝ 

∫ ∞ 

⎞ ⎛ 

exp (−x 2 ) dx⎠ 

⎝ 

∫ ∞ 

−∞ 

−∞ 

∫ ∞ ∫ ∞ 

−∞ −∞ 

exp (−x 2 − y 2 ) dx dy 

⎞ 

exp (−y 2 ) dy⎠ 


Polarkoordinaten 

∫ 2π ∫ ∞ 

0 

0 

[ 

exp (−r 2 )r drdϕ = 2π − 1 ] ∞ 

2 exp (−r 2 ) 

0 

= π 


Volumenelement in Kugelkoordinaten 

Für die Koordinatentransformation 

ist 

x = r sin ϑ cos ϕ, y = r sin ϑ sin ϕ, z = r cos ϑ 

dx dy dz = r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ . 

Insbesondere gilt damit für das Integral einer Funktion f auf einer Kugel 

K : 0 ≤ r ≤ R 

∫ 

K 

∫ 2π ∫ π ∫ R 

f = f (r, ϑ, ϕ) r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ . 

0 0 0 


Speziell ist für eine radialsymmetrische Funktiopn f (r) 

∫ 

K 

∫ R 

f = 4π f (r)r 2 dr . 

0 


Beweis: 

lokal orthogonale Koordinatentransformation 

(x, y, z) = g(r, ϑ, ϕ) 

d.h. Jacobi-Matrix 

⎛ 

g ′ = ⎝ 

sin ϑ cos ϕ r cos ϑ cos ϕ −r sin ϑ sin ϕ 

sin ϑ sin ϕ r cos ϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ 

cos ϑ −r sin ϑ 0 

⎞ 

⎠ 

mit orthogonalen Spalten 

Funktionaldeterminante 

| det g ′ | = |g r | |g ϑ | |g ϕ | = 1 · r · r sin ϑ = r 2 sin ϑ 


Integration über ϑ und ϕ bei radialsymmetrische Funktion f : 

∫ 2π ∫ π 

0 0 

sin ϑ dϑ dϕ = 2π [− cos ϑ] π 0 = 4π 

Vorfaktor bei der Berechnung von ∫ f ̂= Flächeninhalt der 

K 

Einheitskugeloberfläche 


Beispiel: 

(i) Integral von r α auf der Kugel K : r ≤ 1: 

∫ 2π ∫ π ∫ 1 

∫ 1 

r 2 r α sin ϑ dr dϑ dϕ = 4π 

r α+2 dr 

0 

0 

0 

0 

existiert nur für α > −3 mit Wert 

[ r 

α+3 1 

4π = 

α + 3] 4π 

0 

α + 3 


(ii) Integral auf R 3 \ K: 

∫ 2π ∫ π ∫ ∞ 

∫ ∞ 

r α r 2 sin ϑdr dϑ dϕ = 4π r α+2 dr 

0 0 1 

1 

existiert nur für α < −3 mit Wert 

[ r 

α+3 ∞ 

4π 

α + 3] 

1 

= −4π 

α + 3 


Beispiel: 

Sauerstoffmenge in der Atmosphäre 

barometrische Höhenformel Druck in der Höhe h über Nullniveau 

p(h) = p 0 e − ϱ 0 gh 

p 0 

mit p 0 = 101300 N dem Normaldruck, ϱ 

m 2 

0 = 0.150 kg der Sauerstoffdichte 

m 3 

auf Nullniveau (21% der Luft sind Sauerstoff) und g = 9, 80 m der 

s 2 

Erdbeschleunigung 

ideale Gasgleichung Dichte 

k B 

m Molekül 

ϱ = 

p 

R s T 

mit R s = = 519 N m 

K kg 

der spezifischen Gaskonstante für Sauerstoff 

und T der in Kelvin gemessenen Temperatur (als konstant −3 ◦ C, also 

T = 270K, angenommen) 


Näherung für die Gesamtmasse des Sauerstoffs in der Atmosphäre 

∫ 

M = 

V 

ϱ dV = 

∫ π ∫ 2π ∫ ∞ 

0 

0 

1 

R s T p 0 e − ϱ 0 gh 

p 0 

r 0 

r 2 sin ϑ drdϕdϑ 

mit r 0 = 6.37 · 10 6 m dem Erdradius 

Substitution von h = r − r 0 und Integration über ϑ und ϕ 

M = 4π p 0 

R s · T e ϱ 0 g 

p 0 

r 0 

zweifache partielle Integration 

(c = ϱ 0g 

p 0 

) 

∫ ∞ 

e −cr r 2 dr = 

[− r 2 ] ∞ 

c e−cr + 

r 

r 0 

0 

∫∞ 

r 0 

e − ϱ 0 g 

p 0 

r r 2 dr 

[ 

− 2r ] ∞ [ 

c 2 e−cr + − 2 ] ∞ 

r 0 

c 3 e−cr r 0 


insgesamt 

M = 4πp 0 

R s T 

( 

c −1 r 2 0 + 2c −2 r 0 + 2c −3) = 2.59 · 10 19 kg 

Zum Vergleich 

– Erdmasse: 6 · 10 24 kg (2.3 · 10 5 M) 

– Mondmasse: 7.4 · 10 22 kg ( 2.9 · 10 3 M ) 


Kurvenintegral 

Das Integral einer stetigen Funktion f entlang einer Kurve C mit regulärer 

stetig differenzierbarer Parametrisierung 

ist als 

t → p(t) ∈ R n , p ′ (t) ≠ 0 , t ∈ [a, b] , 

∫ 

C 

f = 

∫ b 

a 

f (p(t))|p ′ (t)| dt 

definiert und unabhängig von der gewählten Parametrisierung. 

Insbesondere erhält man für f = 1 die Länge der Kurve. 

Die Glattheitsvoraussetzungen an f und p können abgeschwächt werden, 

indem man das Integral über einen geeigneten Grenzprozeß erklärt. 

Analysis 2 – Mehrdimensionale Integration Kurven- und Flächenintegrale 1-1

Beweis: 

Begründung der Definition mit Hilfe von Riemann-Summen 

∫ 

f ≈ ∑ f (p j )|p (t j+1 ) − p (t j ) | 

j 

C 

mit ∆ : a = t 0 < t 1 < · · · < t J = b einer Partition von [a, b] 

p ′ (t j ) 

p(t j+1 ) 

p(t j ) 

C 


Mittelwertsatz =⇒ 

p(t j+1 ) − p(t j ) = 

mit τ ν,j ∈ [t j , t j+1 ] und ∆t j = t j+1 − t j 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

p ′ 1 (τ 1,j) 

. 

p ′ n(τ n,j ) 

gleichmäßige Stetigkeit von p ′ auf [a, b] =⇒ 

⎞ 

⎟ 

⎠ ∆t j 

|p(t j+1 ) − p(t j )| = |p ′ (t j )|∆t j + r j ∆t j 

mit |r j | < ε für |∆t j | < δ 

∫ 

f ≈ ∑ j 

C 

|R| ≤ ∑ j 

f (p(t j )) |p ′ (t j )|∆t j + R 

|f (p(t j ))|∆t j |r j | ≤ max |f |(b − a)ε 

Verfeinerung der Partition ⇒ Riemann-Summe → ∫ b 

a f (p(t)) |p′ (t)| dt 

Approximation unabhängig von der Parametrisierung 


Beispiel: 

Berechnung des Integrals der Funktion 

f (x, y, z) = exp(−z) 

entlang n Windungen der Schraublinie C mit der Parametrisierung 

⎛ 

cos t 

⎞ ⎛ 

− sin t 

⎞ 

C : p(t) = ⎝ sin t 

t 

⎠ , p ′ (t) = ⎝ cos t 

1 

⎠ , t ∈ [0, 2πn] 

|p ′ )| = √ 2 =⇒ 

∫ 

C 

f = 

∫ 

2πn 

0 

exp(−t) √ 2 dt 

= √ 2 [− exp(−t)] 2πn 

0 = √ 2 (1 − exp(−2πn)) 


Eigenschaften des Kurvenintegrals 

Das Kurvenintegral ∫ f ist linear in f und additiv bzgl. C: 

C 

∫ 

∫ ∫ 

αf + βg = α f + β g 

C 

∫ 

C 

C 

∫ ∫ 

f dC = f + f , 

C 1 C 2 

C 

falls C = C 1 ∪ C 2 und C 1 und C 2 bis auf isolierte Punkte disjunkt sind. 

Es hängt nicht von der Parametrisierung und insbesondere auch nicht von 

der Orientierung der Kurve ab. 


Länge einer Kurve 

Die Länge L einer Kurve mit stetig differenzierbarer Parametrisierung 

t ↦→ p(t), a ≤ t ≤ b, ist 

∫ b 

a 

|p ′ (t)| dt . 

Speziell gilt für eine Kurve in der xy-Ebene mit der Parameterdarstellung 

p(t) = (x(t), y(t)) 

L = 

∫ b 

a 

√ 

x ′ (t) 2 + y ′ (t) 2 dt . 

Insbesondere hat der Graph einer Funktion y = f (x) , x ∈ [c, d] die Länge 

L = 

∫ d 

c 

√ 

1 + f ′ (x) 2 dx . 


Die Länge des Kurvenstücks zwischen p(a) und p(t), 

s(t) = 

∫ t 

a 

|p ′ (τ)| dτ , 

kann als kanonischer Kurvenparameter benutzt werden. Man erhält die 

sogenannte Parametrisierung nach Bogenlänge: 

q(s) = p(t), |q ′ | = 1 . 

Aufgrund des normierten Tangentenvektors gilt für diese kanonische 

Parametrisierung 

∫ ∫ L 

f = f (q(s)) ds 

mit L der Länge von C. 

C 

0 


Beispiel: 

Zykloide: Punkte auf entlang der x-Achse rollenden Kreises mit Radius r 

r 

t/r 

0 t 

Bahnkurve: 

x(t) = t + r cos(3π/2 − t/r) = t − r sin(t/r) 

y(t) = r + r sin(3π/2 − t/r) = r − r cos(t/r) 

denn 

t = (2πr)· Drehwinkel /(2π) ⇔ Drehwinkel = t/r 

cos(3π/2 − α) = − sin α, sin(3π/2 − α) = − cos α 


Länge des Bogens für t ∈ [0, 2πr] 

L = 

= 

∫ 2πr 

0 

∫ 2πr 

0 

√ 

x ′ (t) 2 + y ′ (t) 2 dt 

√ 

(1 − cos(t/r)) 2 + (sin(t/r)) 2 dt 

Substitution s = t/r, dt = r ds und Identitäten 

cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 , 

1 − cos ϕ = 2 sin 2 (ϕ/2) 

=⇒ 

L = r 

∫ 2π 

0 

√ 

∫ 2π 

2(1 − cos(s)) ds = r 2 sin(s/2) ds = 8 r 

0 


Beispiel: 

Parametrisierung nach Bogenlänge q(s) der Spirale 

( ) 

( cos t 

C : p(t) = exp(t) , p ′ cos t − sin t 

(t) = exp(t) 

sin t 

cos t + sin t 

Definition =⇒ 

bzw. 

s(t) = 

∫ t 

0 

|p ′ (τ)| dτ = 

t(s) = ln(s/ √ 2 + 1) 

∫ t 

0 

√ 

2 exp(τ) dτ = 

√ 

2(exp(t) − 1) 

) 

Einsetzen in Parametrisierung p =⇒ 

q(s) = (s/ √ ( √ 

cos(ln(s/ 2 + 1)) 

2 + 1) 

sin(ln(s/ √ 2 + 1)) 

) 


Reguläre Parametrisierung eines Flächenstücks 

Eine stetig differenzierbare Parametrisierung 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

x 1 

y 1 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

R ∋ ⎝ . ⎠ ↦→ s(x) = ⎝ . ⎠ 

x n−1 y n 

über einem regulären Bereich R beschreibt ein reguläres 

(n − 1)-dimensionales Flächenstück S = s(R) ⊂ R n , wenn s im Inneren 

von R injektiv ist und die Vektoren ∂ 1 s(x), . . . , ∂ n−1 s(x) für alle x ∈ ◦ R 

linear unabhängig sind. 


ξ 

R 

x 

s 

S 

y 

∂ i s 

Der bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmte Einheitsvektor ξ, 

orthogonal zu der durch ∂ 1 s(x), . . . , ∂ n−1 s(x) aufgespannten 

Tangentialebene, wird als Flächennormale bezeichnet. Er bildet zusammen 

mit den Vektoren ∂ i s(x) eine Basis von R n . 


Flächenintegral 

Das Integral einer stetigen Funktion f über einem regulären Flächenstück 

S mit Parametrisierung 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

x 1 

y 1 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ . ⎠ ↦→ s(x) = ⎝ . ⎠ , x ∈ R , 

x n−1 y n 

und Flächennormale ξ mit |ξ| = 1 ist als 

∫ ∫ 

f dS = (f ◦ s) | det(∂ 1 s, . . . , ∂ n−1 s, ξ)| dR 

S 

R 

definiert und unabhängig von der gewählten Parametrisierung. 


Der Betrag der Determinante ist der Skalierungsfaktor der 

Flächenelemente: 

dS = | det(∂ 1 s, . . . , ∂ n−1 s, ξ)| dR . 

Als Spezialfall erhält man für f = 1 den Flächeninhalt von S. 

Die Glattheitsvoraussetzungen an f und s können abgeschwächt werden, 

indem man das Integral über einen geeigneten Grenzprozess definiert. 

Darüber hinaus kann eine Fläche aus mehreren Flächenstücken 

zusammengesetzt sein. Das Flächenintegral ist dann die Summe der 

Integrale über die einzelnen Flächenstücke. 


Beispiel: 

Integration der Funktion 

f (x, y) = √ x 2 + y 2 

auf dem durch 

⎛ 

(r, ϕ) ↦→ s(r, ϕ) = ⎝ 

(1 + r) cos ϕ 

(1 + r) sin ϕ 

ϕ 

⎞ 

⎠ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − 1 2 ≤ r ≤ 1 2 

parametrisierten Teilstück einer Wendeltreppe S 


Tangentenvektoren: 

⎛ 

s r = ⎝ 

cos ϕ 

sin ϕ 

0 

⎞ 

⎛ 

⎠ , s ϕ = ⎝ 

−(1 + r) sin ϕ 

(1 + r) cos ϕ 

1 

⎞ 

⎠ 

Orthogonalität =⇒ 

| det(s r , s ϕ , ξ)| = |s r | |s ϕ | = 

Einsetzen in Definition des Flächenintegrals 

√ 

(1 + r) 2 + 1 

∫ 

S 

fdS = 

∫ 2π 1 

∫2 

0 

= 2π 3 

− 1 2 

√ 

(1 + r) (1 + r) 2 + 1 dr dϕ = 2π 

[ ((1 

+ r) 2 + 1 ) 3 

2 

] 1 

2 

− 1 2 

= 2π 3 

( (13 

4 

1 

∫2 

− 1 2 

√ 

(1 + r) (1 + r) 2 + 1 dr 

) 3 ( ) 3 

) 

2 5 2 

− 

4 


Beispiel: 

Flächenelement des Graphen S einer Funktion z(x, y): 

√ 

dS = 1 + zx 2 + zy 2 dxdy 

Spezialisierung der allgemeinen Definition für die Parametrisierung 

⎛ ⎞ 

x 

(x, y) ↦→ s(x, y) = ⎝ y 

z(x, y) 

⎠ 

mit Flächennormale ξ parallel zu 

⎛ ⎞ ⎛ 

1 

⎝ 0 ⎠ ⎝ 

× 

z x 

s x 

} {{ } 

0 

1 

⎞ 

⎠ 

= 

z y 

s y 

} {{ } 

⎛ 

⎝ 

−z x 

−z y 

1 

|ξ| = 1, ξ ⊥ s x , s y =⇒ | det(s x , s y , ξ)| = |s x × s y | = 

⎞ 

⎠ 

√ 

1 + z 2 x + z 2 y 


z.B. 

z(x, y) = x 2 + 1 2 y 2 ⇒ dS = √ 1 + 4x 2 + y 2 dxdy 

Integration von f (x, y) = xy über das über dem Rechteck [0, 1] × [0, 2] 

liegende Flächenstück 

∫ 

S 

fdS = 

∫ 1 ∫ 2 

0 

= 1 3 

= 1 3 

0 

∫ 1 

0 

xy √ 1 + 4x 2 + y 2 dy dx 

[ 

] 

x(1 + 4x 2 + y 2 ) 3 2 

2 dx = 1 ∫ 1 

0 3 

0 

( 

) 

x(5 + 4x 2 ) 3 2 − x(1 + 4x 2 ) 3 2 

[( )] 1 

20 (5 + 4x 2 ) 5 1 

1 

2 − 

20 (1 + 4x 2 ) 5 2 = 61 

0 

15 − 5 √ 

5 

6 


Flächenelement in Zylinderkoordinaten 

Das Flächenelement für einen durch 

⎛ 

( ) ϕ 

↦→ ⎝ 

z 

ϱ cos ϕ 

ϱ sin ϕ 

z 

⎞ 

⎠ 

parametrisierten Mantel S eines Zylinders mit Radius ϱ ist 

dS = ϱ dϕ dz . 

Damit gilt für das Integral einer Funktion f in Zylinderkoordinaten 

∫ 

S 

∫z max ∫2π 

f dS = f (ϱ, ϕ, z) ϱ dϕ dz . 

z min 0 


Beweis: 

Orthogonalität der Tangentenvektoren 

⎛ ⎞ 

−ϱ sin ϕ 

⎛ 

s ϕ = ⎝ ϱ cos ϕ 

0 

⎠ , s z = ⎝ 

 

0 

0 

1 

⎞ 

⎠ 

| det(s ϕ , s z , ξ)| = |s ϕ | |s z | = ϱ , 

als Skalierungsfaktor für das Flächenelement 


Flächenelement in Kugelkoordinaten 

Das Flächenelement für eine durch 

⎛ 

( ) ϑ 

↦→ ⎝ 

ϕ 

R sin ϑ cos ϕ 

R sin ϑ sin ϕ 

R cos ϑ 

⎞ 

⎠ 

parametrisierte Sphäre mit Radius R ist 

dS = R 2 sin ϑ dϑ dϕ . 

Damit gilt für das Integral einer Funktion f in Kugelkoordinaten 

∫ 

S 

∫ 2π ∫ π 

f dS = f (R, ϑ, ϕ) R 2 sin ϑ dϑ dϕ . 

0 0 


Beweis: 

Orthogonalität der Tangentenvektoren 

⎛ 

⎞ 

R cos ϑ cos ϕ 

⎛ 

s ϑ = ⎝ R cos ϑ sin ϕ 

−R sin ϑ 

⎠ , s ϕ = ⎝ 

 

−R sin ϑ sin ϕ 

R sin ϑ cos ϕ 

0 

⎞ 

⎠ 

| det(s ϑ , s ϕ , ξ)| = |s ϑ | |s ϕ | = R 2 sin ϑ 

als Skalierungsfaktor für das Flächenelement 


Beispiel: 

Bestimmung des Schwerpunkts S einer Halbkugelschale 

H : x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 , 

bei konstanter Dichte 

Symmetrie =⇒ x- und y-Koordinate des Schwerpunkts = 0 

z-Koordinate: 

s z area(H) = 

∫ 2π π 

∫2 

0 

0 

[ sin 2 ϑ 

(cos ϑ) sin ϑ dϑ dϕ = 2π 

} {{ } 

2 

z 

] π/2 

0 

= π 

area(H) = 2π =⇒ s z = 1 2 


Schwerpunkt 

Die Masse eines Körpers K mit Dichte ϱ(x), x ∈ K , ist durch 

∫ 

m = ϱ(x) dK 

K 

gegeben. Speziell erhält man für ϱ(x) = 1 das Volumen V von K . 

Die ν-te Koordinate des Massenschwerpunktes S berechnet sich gemäß 

∫ 

s ν = m −1 x ν ϱ(x) dK . 

K 

Analysis 2 – Mehrdimensionale Integration Anwendungen 1-1

Für ϱ(x) = 1 ergibt sich 

s ν = V −1 ∫ 

K 

x ν dK , 

und S wird als geometrischer Schwerpunkt oder auch einfach als 

Schwerpunkt bezeichnet. 


Beispiel: 

Kegel K mit Grundkreisradius a und Höhe b : 

K : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ϱ ≤ a (b − z), 0 ≤ z ≤ b 

b 

Volumen V = π 3 a2 b 

z 

b 

y 

x 

a 

a 


Symmetrie x-und y-Koordinate des Schwerpunkts Null, z-Koordinate: 

s z = 1 ∫ 

z 

V 

Transformation auf Zylinderkoordinaten 

V s z = 

∫ b 

0 

∫ b 

= 2π 

= π 

∫ 

K 

a(b−z)/b∫ 2π 

0 

∫ b 

0 

0 

= π 12 a2 b 2 

=⇒ Schwerpunkt: S = (0, 0, b/4) 

∫ 

0 

a(b−z)/b 

0 

ϱ z dϕdϱdz 

ϱ z dϱdz 

z 

( a 

b (b − z) ) 2 

dz 


Trägheitsmoment 

Das Trägheitsmoment eines Körpers K mit Dichte ϱ(x), x ∈ K, um eine 

Achse g ist 

∫ 

I = dist(x, g) 2 ϱ(x) dK , 

wobei dist die Abstandsfunktion bezeichnet. 

K 

g 

x 

dist 

K 


Beispiel: 

Hohlkugel 

Þ 

K : 1 − a ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ ϑ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π 


½ 

Ü 

½ ¼ ½ 

½ 

Ý 


Trägheitsmoment um die z-Achse g bei konstanter Dichte ϱ 

I = 

∫ 2π ∫ π ∫ 1 

0 

0 

= 2πϱ 

5 

= 2πϱ 

5 

= 8πϱ 

15 

ϱ( r} sin {{ ϑ} 

) 2 ( r 2 sin ϑ ) drdϑdϕ 

} {{ } 

1−a dist((x,y,z),g) 

d K 

( 

1 − (1 − a) 

5 ) ∫ π 

sin 3 ϑ dϑ 

0 

( 

1 − (1 − a) 

5 ) [ − cos ϑ + 1 3 cos3 ϑ 

( 

1 − (1 − a) 

5 ) 

] π 

0 


Dichte ϱ bei Masse 1 der Hohlkugel ⇔ 

=⇒ 

∫ 

1 = 

K 

ϱ = 

∫ 2π ∫ π ∫ 1 

0 

0 

1−a 

ϱr 2 sin ϑ drdϑdϕ = 4πϱ 

3 (1 − (1 − a)3 ) 

I (a) = 2 (1 − (1 − a) 5 ) 

5 (1 − (1 − a) 3 ) 

Trägheitsmoment der ganzen Kugel 

Grenzwert für a = 0: I (0) = 2/3 

(Regel von l’Hospital) 

I (1) = 2/5 


Volumen eines Rotationskörpers 

Das Volumen V des durch Rotation des Funktionsgraphen r = f (x) ≥ 0, 

a ≤ x ≤ b, um die x-Achse erzeugten Körpers lässt sich durch Integration 

über die kreisförmigen Querschnitte berechnen: 

∫ b 

V = π f (x) 2 dx . 

a 

d = f(b) 

r = f(x) 

c = f(a) 

y = f(x) 

h(r) 

a 

x 

b 


Alternativ kann man über die Zylindermäntel integrieren: 

∫ d 

V = πc 2 (b − a) + 2π rh(r) dr , 

c 

wobei c bzw. d der minimale bzw. maximale Radius r und h(r) die 

Gesamthöhe des in dem Körper enthaltenen Zylindermantels mit Radius r 

sind. Diese Variante ist vor allem bei monotoner Radiusfunktion f sinnvoll. 


Beweis: 

(i) erste Formel: 

y = f(x) 

r max = f(η i ) 

r min = f(ξ i ) 

a 

x i−1 

x i 

b 


Partition ∆ mit Intervallen [x i−1 , x i ], i = 1 . . . n 

Einschluss des Volumens durch einen Zylinder mit minimalem Radius f (ξ i ) 

und einem Zylinder mit maximalem Radius f (η i ) 

Abschätzung für das Gesamtvolumen 

π 

n∑ 

f (ξ i ) 2 ∆x i ≤ V ≤ π 

i=1 

n∑ 

f (η i ) 2 ∆x i 

i=1 

mit ∆x i = x i − x i−1 

Konvergenz der beiden Riemann-Summen =⇒ 

∫ b 

V = π f (x) 2 dx 

a 


(ii) zweite Formel (monoton wachsendes f ): 

d = f(b) 

y = f(x) 

r = f(x) 

h(r) = b − x 

c = f(a) 

a 

x 

b 


Umformung der behaupteten Formel durch Substitution 

r = f (x) ⇔ x = f −1 (r), 

dr = f ′ (x) dx 

 

2π 

∫ 

d=f (b) 

c=f (a) 

h(r)r dr = π 

=⇒ Äquivalenz zur ersten Formel 

∫ b 

a 

(b − x) 2f (x)f ′ (x) dx 

} {{ } } {{ } 

u v ′ 

= π [ (b − x)f (x) 2] b 

a + π ∫ b 

= −π(b − a)c 2 +π 

} {{ } 

innerer Zylinder 

∫ b 

a 

a 

f (x) 2 dx 

f (x) 2 dx 


(iii) analog: monoton fallendes f 

allgemeiner Fall durch Aufteilung in Monotoniebereiche 


Beispiel: 

Paraboloid: Rotation der Kurve r = √ x um die x-Achse 


(i) horizontale Integration über Kreisscheiben: 

π 

∫ a 

0 

(√ x 

) 2 dx = π 

[ x 

2 

(ii) vertikale Integration über Zylindermäntel: 

2π 

(Höhe h(r)) 

∫ √ a 

0 

2 

] a 

0 

= 1 2 πa2 

r (a − r 2 ) dr = 2π 

[− 1 ] √ a 

} {{ } 

4 (a − r 2 ) 2 = 1 

0 

2 πa2 

h(r) 


Beispiel: 

Torus: Rotation einer Kreisscheibe mit Radius r um eine Achse im 

Abstand R vom Mittelpunkt 


ÜÖ 

Ê 

Ö Ö 


Differenz zweier Rotationskörper (π ∫ (r 2 + − r 2 −)) 

∫ r 

V = π 

= 4π 

−r 

∫ r 

−r 

(R + √ r 2 − x 2 ) 2 

dx − π 

∫ r 

R √ r 2 − x 2 dx 

Substitution x = r sin ϕ, dx = r cos ϕ dϕ 

V = 4πRr 

∫ π/2 

−π/2 

−r 

( 

R − √ r 2 − x 2 ) 2 

dx 

cos ϕ r cos ϕ dϕ = 4πRr 2 π 2 = 2π2 Rr 2 


Beispiel: 

Kugel mit Radius R mit ausgestanztem Zylinder um die vertikale Achse 

mit Radius r 

x 

h(x) 

R 

r 

R 


Integration über Zylindermäntel mit Radius x, r ≤ x ≤ R: 

R = 5, r = 3 

V = 2π 

∫ R 

V = 2π xh(x) dr, h(x) = 2 √ R 2 − x 2 

r 

∫ 5 

3 

2x √ [ 

25 − x 2 dx = 2π − 2 ( 

25 − x 

2 ) ] 5 

3/2 

3 

3 

= 4 3 π(25 − 9)3/2 = 256 

3 π 


Hauptsatz für Mehrfachintegrale 

Bezeichnet ξ die nach außen gerichtete Einheitsnormale eines regulären 

Bereichs V ⊂ R n mit regulärem (n − 1)-dimensionalem Rand ∂V , so gilt 

für eine stetig differenzierbare Funktion f 

∫ ∫ 

∂ ν f = f ξ ν , ν = 1, . . . , n . 

V 

∂V 

Fasst man diese Gleichungen zusammen, erhält man die vektorielle 

Identität 

∫ ∫ 

grad f = f ξ . 

V 

Die Glattheitsvoraussetzungen können abgeschwächt werden, indem man 

die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert. 

∂V 

Analysis 2 – Mehrdimensionale Integration Integralsätze 1-1

Beweisidee: 

Approximation durch stückweise lineare Funktion auf einer Triangulierung 

von V 

ξ 

Aufhebung von Randtermen im Inneren 

nur ein Dreieck bzw. Tetraeder zu betrachten 


3D-Fall 

c 

a 

f : 

1 im Ursprung • 

0 an anderen Eckpunkten ◦ 

b 

f linear: bestimmt durch Werte an den Eckpunkten 

Linearität ⇒ oBdA f null an 3 Eckpunkten 


(i) linke Seite ∫ V grad f : 

bestimme g = grad f aus Richtungsableitungen 

Cramersche Regel ⇒ 

g 1 = 

∣ 

a t g = b t g = c t g = 0 − 1 = −1 

−1 a 2 a 3 

−1 b 2 b 3 

−1 c 2 c 3 

∣ ∣∣∣∣∣ 

/ 

det(a, b, c) 

= [−b 2 c 3 − c 2 a 3 − a 2 b 3 + c 2 b 3 + a 2 c 3 + b 2 a 3 ]/(6 vol V ) 

analoge Berechnung von g 2 , g 3 

ertse Komponente der linken Seite 

(∫ ) 

grad f 

V 

1 

= 1 [. . .] 

6 


(ii) rechte Seite ∫ ∂V f ξ: 

betrachte von a,b aufgespannte Seitenfläche 

S : (s, t) ↦→ sa + tb 

Normale: ξ = −a × b/|a × b| 

Flächenelement dS = |a × b| dt ds 

f (sa + tb) = 1 − s − t ⇒ 

∫ 

∫ 1 

f ξ = (b × a) 

S 

0 

∫ 1−s 

0 

1 − s − t dt ds = 1 (b × a) 

6 

analoge Berechnung für die von b, c bzw. c, a aufgespannten Seitenflächen; 

f null auf vierter Seitenfläche ⇒ 

∫ 

f ξ = 1 (b × a + c × b + a × c) 

6 

∂V 

Übereinstimmung der ersten Komponente mit [. . .] 


Beispiel: 

Hauptsatz für das Quadrat V = [0, 1] 2 : 

⎛ 

∫ 1 ∫ 1 

0 

0 

grad f (x, y) dx dy = ⎜ 

⎝ 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

f (1, y) − f (0, y) dy 

f (x, 1) − f (x, 0) dx 

ξ = (±1, 0), (0, ±1) , ξ v jeweils nur auf zwei gegenüberliegenden 

Randkomponenten ≠ 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

V 

ξ 


Komponenten der Identität univariater Hauptsatz 

z.B. 

∫ 1 

0 

⎛ 

⎝ 

∫ 1 

0 

⎞ 

f x (x, y) dx⎠ dy = 

∫ 1 

0 

[f (x, y)] x=1 

x=0 dy 


Beispiel: 

V ⊆ R n : Simplex, begrenzt durch (n − 1)-dimensionale 

Simplizes V i , i = 1, . . . , n + 1 

ξ i : nach außen gerichtete Einheitsnormale 

s i : Schwerpunkt von V i 

s i 

V i 

ξ i 


(i) konstante Funktion f (x) = b: Hauptsatz =⇒ 

0 = ∑ i 

vol n−1 (V i )ξ i 

(ii) lineare Funktion f (x) = a t x: Hauptsatz =⇒ 

vol n (V ) a = ∑ i 

vol n−1 (V i )(a t s i )ξ i 

denn für einen Simplex mit Schwerpunkt s ist die Quadraturformel 

∫ 

f ≈ vol(S)f (s) 

für lineare Funktionen f exakt 

S 


Beispiel: 

Volumen- und Flächenelement für eine Kugel mit Radius R und 

Oberfläche S = ∂V 

dV = r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ , 

dS = R 2 sin ϑ dϑ dϕ 

(Kugelkoordinaten) 

Einheitsnormale: ξ = (x, y, z) t /R 

Hauptsatz =⇒ 

∫ R ∫ π ∫ 2π 

0 

0 

0 

∫π 

= R 2 

0 

grad f (r, ϑ, ϕ) r 2 sin ϑdϕ dϑ dr 

∫ 2π 

0 

⎛ 

f (R, ϑ, ϕ) ⎝ 

sin ϑ cos ϕ 

sin ϑ sin ϕ 

cos ϑ 

⎞ 

} {{ } 

ξ 

⎠ sin ϑ dϕ dϑ 


z.B.: 

mit 

grad f (x, y, z) = ⎝ 

f (x, y, z) = xz 2 = R 3 sin ϑ cos ϕ cos 2 ϑ 

⎛ 

z 2 

0 

2xz 

⎞ 

⎠ , 

⎛ 

f (x, y, z)ξ = 1 ⎝ 

R 

x 2 z 2 

xyz 2 

xz 3 

⎞ 

⎠ 

erste Komponente des Hauptsatzes 

R 2 

∫ 

0 

π ∫ 2π 

0 

∫ R ∫ π ∫ 2π 

0 

0 

0 

(r cos ϑ) 2 r 2 sin ϑ dϕ dϑ dr = 4 

15 πR5 

1 

R (R sin ϑ cos ϕ)2 (R cos ϑ) 2 sin ϑ dϕ dϑ = 4 

15 πR5 

Symmetrie =⇒ letzten beiden Komponenten null 


Partielle Integration bei Funktionen mehrerer 

Veränderlicher 

Für stetig differenzierbare Funktionen f und g auf einem regulären Bereich 

V ⊆ R n mit regulärem (n − 1)-dimensionalem Rand S = ∂V gilt 

∫ 

∫ ∫ 

f (∂ ν g) = f g ξ ν − (∂ ν f ) g , 

V 

S 

wobei ξ die nach aussen gerichtete Einheitsnormale von S bezeichnet. 

Verschwinden f und g ausserhalb einer beschränkten Menge, so folgt 

insbesondere, dass ∫ 

f (∂ ν g) = − 

R n ∫ 

(∂ ν f ) g 

R n 

und allgemeiner, für glatte Funktionen, 

∫ 

R n 

∫ 

g ∂ α f = (−1) |α| R n f ∂ α g . 

Analysis 2 – Mehrdimensionale Integration Integralsätze 1-1 

V

Beweis: 

Hauptsatz für Mehrfachintegrale =⇒ 

∫ ∫ 

∂ ν (fg) = (fg)ξ ν 

für eine beliebige partielle Ableitung ∂ ν 

Produktregel, 

behauptete Identiät 

V 

∂V 

∂ ν (fg) = g∂ ν f + f ∂ ν g , 

kein Randterm, falls f und g auf S verschwinden 

Identität mit V = R n 

Iteration der Identität 

Formel für partielle Intgration höherer Ableitungen 


Greensche Integralformeln 

Für einen regulären Bereich V ⊆ R n mit regulärer Randfläche S = ∂V gilt 

für zweimal stetig differenzierbare Funktionen f und g 

∫ ∫ 

f ∂ ⊥ g = (grad f ) t grad g + f ∆g , 

S 

V 

wobei ∂ ⊥ g die Ableitung in Richtung der nach außen zeigenden 

Einheitsnormalen ξ ist, d.h. ∂ ⊥ g = ξ t grad g. 

Insbesondere folgt für f = 1 

∫ ∫ 

∂ ⊥ g = ∆g . 

S 

V 


Eine symmetrische Variante der auf Green zurückgehenden Identität ist 

∫ 

∫ 

f ∂ ⊥ g − g∂ ⊥ f = f ∆g − g∆f . 

S 

Bei beiden Greenschen Formeln können die Glattheitsvoraussetzungen 

abgeschwächt werden, indem man die Integrale über geeignete 

Grenzprozesse definiert. 

V 


Beweis: 

Hauptsatz für Mehrfachintegrale ⇒ 

∫ 

∫ 

f ∂ ν g ξ ν = ∂ ν (f ∂ ν g) , ν = 1, · · · , n . 

S 

V 

Produktregel ⇒ 

∂ ν (f ∂ ν g) = (∂ ν f )(∂ ν g) + f (∂ ν ∂ ν g) 

und Summation über ν = 1, . . . , n Greensche Formel 

Vertauschen von f und g 

zweite Formel durch Substraktion der Identitäten für 

∫ 

∫ 

f ∂ ⊥ g und g∂ ⊥ f 

S 

S 

(Aufhebung der Produkte der Gradienten bei den Volumenintegralen)

Analysis 2 - imng

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