Ausgleichsgerade - imng

Ausgleichsgerade
Eine Gerade
p(t) = u + vt ,
die Daten (t i , f i ), i = 1, . . . , n, bestmöglichst approximiert, kann durch
Minimierung der Fehlerquadratsumme
n∑
(f i − p(t i )) 2
ermittelt werden.
i=1
Ausgleichsgerade 1-1

Ausgleichsgerade
Eine Gerade
p(t) = u + vt ,
die Daten (t i , f i ), i = 1, . . . , n, bestmöglichst approximiert, kann durch
Minimierung der Fehlerquadratsumme
n∑
(f i − p(t i )) 2
i=1
ermittelt werden. Man erhält für den Achsenabschnitt u und die Steigung
v die Formeln
u = (∑ t 2 i )(∑ f i ) − ( ∑ t i )( ∑ t i f i )
n( ∑ t 2 i ) − (∑ t i ) 2
v = n(∑ t i f i ) − ( ∑ t i )( ∑ f i )
n( ∑ t 2 i ) − (∑ t i ) 2 ,
wenn mindestens zwei Abszissen t i verschieden sind.
Ausgleichsgerade 1-2

f
p(t) = u + vt
p(t i )
f i
t i
t
Ausgleichsgerade 1-3

Beweis:
(u, v) minimal ⇒ Ableitungen der Fehlerquadratsumme nach u und v Null:
0 = 2 ∑ i
0 = 2 ∑ i
(u + vt i − f i )
t i (u + vt i − f i )
bzw. in Matrixform ( ∑ ) (
∑
n
∑ ti u
ti t
2
} {{ i
v
}
A
)
=
( ∑ )
∑
fi
ti f i
Ausgleichsgerade 2-1

Beweis:
(u, v) minimal ⇒ Ableitungen der Fehlerquadratsumme nach u und v Null:
0 = 2 ∑ i
0 = 2 ∑ i
(u + vt i − f i )
t i (u + vt i − f i )
bzw. in Matrixform ( ∑ ) (
∑
n
∑ ti u
ti t
2
} {{ i
v
}
A
mindestens zwei t i verschieden =⇒
)
=
( ∑ )
∑
fi
ti f i
( ∑
det A = (1
}
+ ·
{{
· · + 1
}
)|(t 1 , . . . , t n ) t | 2 2 −
n mal
i
1 · t i
) 2
> 0
Ausgleichsgerade 2-2

Beweis:
(u, v) minimal ⇒ Ableitungen der Fehlerquadratsumme nach u und v Null:
0 = 2 ∑ i
0 = 2 ∑ i
(u + vt i − f i )
t i (u + vt i − f i )
bzw. in Matrixform ( ∑ ) (
∑
n
∑ ti u
ti t
2
} {{ i
v
}
A
mindestens zwei t i verschieden =⇒
)
=
( ∑ )
∑
fi
ti f i
( ∑
det A = (1
}
+ ·
{{
· · + 1
}
)|(t 1 , . . . , t n ) t | 2 2 −
n mal
i
Cramersche Regel angegebene Lösung
1 · t i
) 2
> 0
Ausgleichsgerade 2-3

Beispiel:
Daten
t i −1 0 2
f i −3 1 4
Ausgleichsgerade 3-1

Beispiel:
Daten
t i −1 0 2
f i −3 1 4
Berechnung der Ausgleichsgerade t ↦→ p(t) = u + tv
∑
ti = 1, ∑ f i = 2, ∑ t 2 i = 5, ∑ t i f i = 11
Ausgleichsgerade 3-2

Beispiel:
Daten
t i −1 0 2
f i −3 1 4
Berechnung der Ausgleichsgerade t ↦→ p(t) = u + tv
∑
ti = 1, ∑ f i = 2, ∑ t 2 i = 5, ∑ t i f i = 11
=⇒
u = (∑ t 2 i )(∑ f i ) − ( ∑ t i )( ∑ t i f i )
n( ∑ t 2 i ) − (∑ t i ) 2 = 5 · 2 − 1 · 11
3 · 5 − 1 2 = − 1 14
v =
n( ∑ t i f i ) − ( ∑ t i )( ∑ f i )
n( ∑ ti 2) − (∑ t i ) 2 = 3 · 11 − 1 · 2
3 · 5 − 1 2 = 31
14
Ausgleichsgerade 3-3