Positiv definite Matrizen - imng

Positiv definite Matrix
Eine quadratische Matrix A heißt positiv definit, falls
v ∗ Av > 0 ∀v ≠ 0 .
Positiv definite Matrizen 1-1

Positiv definite Matrix
Eine quadratische Matrix A heißt positiv definit, falls
v ∗ Av > 0 ∀v ≠ 0 .
Ist v ∗ Av lediglich nichtnegativ, so bezeichnet man A als positiv semidefinit.
Positiv definite Matrizen 1-2

Positiv definite Matrix
Eine quadratische Matrix A heißt positiv definit, falls
v ∗ Av > 0 ∀v ≠ 0 .
Ist v ∗ Av lediglich nichtnegativ, so bezeichnet man A als positiv semidefinit.
Eine positiv definite Matrix A hat ausschließlich positive Diagonalelemente
und Eigenwerte. Insbesondere ist A invertierbar und die Inverse ist
ebenfalls positiv definit.
Positiv definite Matrizen 1-3

Beispiel
Gramsche Matrix einer Basis {v 1 , · · · , v n }
G : g ij = 〈v i , v j 〉
Positiv definite Matrizen 2-1

Beispiel
Gramsche Matrix einer Basis {v 1 , · · · , v n }
G : g ij = 〈v i , v j 〉
positiv definit, da
x ∗ Gx = ∑ i,j
x i g ij x j
= 〈 ∑ x i v i , ∑ x j v j 〉
} {{ }
u
= 〈u, u〉 > 0
für u ≠ 0 ⇔ x ≠ 0
Positiv definite Matrizen 2-2