Theoretische und praktische Untersuchungen zur Akustik von ...

5.2. FE-Formulierung für das Fluid
Eine sehr einfache Möglichkeit zur Simulation von unendlichen Gebieten bietet die Möglichkeit,
eine Impedanz an der künstlichen Grenze des Gebiets vorzugeben. Diese Impedanz
entspricht der von Luft
Z n = ρ f c f (5.9)
und ist nicht reflektierend für Schallwellen, die senkrecht auf die künstliche Grenze des Gebiets
auftreffen. Dabei ist allerdings darauf zu achten, dass der Abstand dieser künstlichen
Grenze von der abstrahlenden Fläche ausreichend groß ist.
Die Herleitung der Finite-Element-Gleichungen erfolgt nun in Anlehnung an die Methode von
Galerkin. Daraus folgt die diskretisierte Form von (5.5) in Matrizenschreibweise
(
K − ω 2 M ) p(x) = f(x), (5.10)
mit der Steifigkeits- oder Kompressibilitätsmatrix
∫
K = ∇N∇N dΩ (5.11)
und der Massenmatrix
M = 1 ∫
c 2 f
Ω
Ω
N T N dΩ. (5.12)
Der Lastvektor lautet z.B. für eine flexible Wand und einen lokal agierenden Randknoten
∫
f = ρω 2 Nu 3 dΓ 3 + i ω ∫
NdΓ 2 , (5.13)
Γ 3
c Γ 2
wobei der Anteil für die lokal agierenden Randknoten effizient in das Gleichungssystem eingebracht
werden kann.
Für das erste Integral aus (5.13) ergibt sich, falls die begrenzende, flexible Wand ebenfalls
durch Finite Elemente beschrieben und die Durchbiegungen u 3 durch die Ansatzfunktionen
N S approximiert werden
ρω 2 u 3 N
∫Γ T F N S dΓ 3 (5.14)
3
mit der Kopplungsmatrix C T ∫
C T = N T F N S dΓ. (5.15)
Γ
Es sind Hexaeder-Elemente implementiert worden, die aufgrund ihrer C 0 -stetigen Ansatzfunktionen
die Konvergenzkriterien erfüllen, die eine deutlich bessere Konvergenzrate als z.B.
Tetraeder-Elemente aufweisen. Die verwendeten Elemente bilden den Würfel geometrisch exakt
ab (siehe Kapitel 5.3 auf der nächsten Seite). Die Ansatzfunktionen lassen sich als Produkt
dreier Lagrangescher Polynome 1. bzw. 2. Ordnung darstellen. Sie sind beispielsweise in [17]
angegeben.
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