Skriptes - Uni Bremen - Universität Bremen

Endliche Automaten
Sei A = (Q,Σ,q 0 ,∆,F) ein NEA. Nach der Definition von NEAs gilt w ∈ L(A) gdw. die
w
Menge {q ∈ Q | q 0 =⇒ A q} ∈ 2 Q mindestens einen Endzustand enthält. Wir definieren
also die Übergangsfunktion δ und Endzustandsmenge F ′ des DEAs so, dass für alle
w ∈ Σ ∗ gilt:
w
1. δ({q 0 },w) = {q | q 0 =⇒ A q} und
w
2. {q | q 0 =⇒ A q} ist DEA-Endzustand wenn mindestens ein Endzustand des ursprünglichen
NEAs enthalten ist.
Intuitiv simuliert damit der eindeutige Lauf des DEAs auf einer Eingabew alle möglichen
Läufe des ursprünglichen NEAs auf w.
Beweis. Sei der NEA A = (Q,Σ,q 0 ,∆,F) gegeben. Der DEA A ′ = (2 Q ,Σ,{q 0 },δ,F ′ )
ist definiert durch:
• δ(P,a) = ⋃ {p ′ | (p,a,p ′ ) ∈ ∆} für alle P ∈ 2 Q und a ∈ Σ
p∈P
• F ′ = {P ∈ 2 Q | P ∩F ≠ ∅}
Wir benötigen im Folgenden die
Hilfsaussage: q ′ ∈ δ({q 0 },w) gdw. q 0
w
=⇒ A q ′ (⋆)
Daraus folgt L(A) = L(A ′ ), da:
w ∈ L(A) gdw.
w
∃q ∈ F : q 0 =⇒ A q (Def. L(A))
gdw. ∃q ∈ F : q ∈ δ({q 0 },w) (Hilfsaussage)
gdw. δ({q 0 },w)∩F ≠ ∅
gdw. δ({q 0 },w) ∈ F ′ (Def. F ′ )
gdw. w ∈ L(A ′ )
Beweis der Hilfsaussage mittels Induktion über |w|:
Induktionsanfang: |w| = 0
q ′ ∈ δ({q 0 },ε) gdw. q 0 = q ′
gdw. q 0
ε
=⇒ A q ′
Induktionsannahme: Die Hilfsaussage ist bereits gezeigt für alle w ∈ Σ ∗ mit |w| ≤ n
Induktionsschritt: |w| = n+1
Sei w = ua mit u ∈ Σ ∗ , |u| = n und a ∈ Σ. Es gilt:
δ({q 0 },ua) = δ(δ({q 0 },u),a) (Def. 1.3)
⋃
= {q ′′ | (q ′ ,a,q ′′ ) ∈ ∆} (Def. δ)
=
q ′ ∈δ({q 0 },u)
⋃
q 0
u
=⇒ A q ′ {q ′′ | (q ′ ,a,q ′′ ) ∈ ∆} (Ind.Voraus.)
= {q ′′ | q 0
ua
=⇒ A q ′′ } (Def. Pfad)
Daraus folgt sofort die Hilfsaussage für w = ua.
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