Kontextfreie Sprachen & Kellerautomaten

Elimination von nutzlosen Symbolen
Satz 3.14
Sei G = (!, N, P, S) eine kontextfreie Grammatik mit L(G) " /. Sei G 1 = (! 1 , N 1 , P 1 , S)
die Grammatik, die sich aus dem folgenden Verfahren ergibt:
1. Es werden alle Symbole, die nichts erzeugen, und alle Regeln, die eines oder
mehrere dieser Symbole enthalten, eliminiert. Die hieraus entstehende
Grammatik bezeichnen wird durch G 2 = (! 2 , N 2 , P 2 , S).
2. Es werden aus G 2 alle Symbole, die nicht in G 2 erreichbar sind, eliminiert,
sowie alle Regeln, die eines oder mehrere dieser Symbole enthalten.
Dann enthält G 1 keine nutzlosen Symbole und es gilt: L(G) = L(G 1 )
Anmerkung:
• Da L(G) " /, ist S erzeugend, und kann somit nicht eliminiert werden.
Beweis zur selbständigen Nacharbeit (vgl. Vossen & Witt, Kap. 5.1.2). Zu zeigen ist:
1. G 1 enthält keine nutzlosen Symbole; hier spielt die Reihenfolge der zwei
Eliminationsstufen eine Rolle: G ! G 2 ! G 1
2. L(G) = L(G 1 ), hier ist L(G) , L(G 1 ) die nicht-triviale Richtung des Beweises.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [33]
Berechnung der erzeugenden Symbole
Definition 3.15 (Algorithmus zur Berechnung der erzeugenden Symbole)
Sei G = (!, N, P, S) eine kontextfreie Grammatik.
Induktive Definition eines Algorithmus zur Berechnung der erzeugenden Symbole:
1. Alle a ! !, d.h. alle terminalen Symbole, sind erzeugend.
2. Wenn für eine Regel A # w gilt, dass jedes Symbol in w erzeugend ist, dann ist
A erzeugend.
Regeln: S # AB | a A# b Ableitungsbäume
1. a, b sind erzeugend, da Terminalsymbole
2. S ist erzeugend wg. S # a
A ist erzeugend wg. A # b
S # AB erfüllt nicht die Bedingungen
von (2).
3. Alle Regeln sind berücksichtigt; das
Verfahren ist abgeschlossen.
FGI-1 Habel / Eschenbach Kap 13 Kontextfreie Sprachen & Grammatiken [34]